Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - elliptic.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.1 lcov report (development 25819-e703fe1174) Lines: 3854 4184 92.1 %
Date: 2020-09-18 06:10:04 Functions: 345 362 95.3 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                       ELLIPTIC CURVES                          **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : #undef coordch
      22             : 
      23             : /* Transforms a curve E into short Weierstrass form E' modulo p.
      24             :    Returns a vector, the first two entries of which are a4' and a6'.
      25             :    The third entry is a vector describing the isomorphism E' \to E.
      26             : */
      27             : 
      28             : static ulong
      29      349877 : Fl_c4_to_a4(ulong c4, ulong p)
      30      349877 : { return Fl_neg(Fl_mul(c4, 27, p), p); }
      31             : static void
      32      349408 : Fl_c4c6_to_a4a6(ulong c4, ulong c6, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      33             : {
      34      349408 :   *a4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
      35      349408 :   *a6 = Fl_neg(Fl_mul(c6, 54, p), p);
      36      349408 : }
      37             : static GEN
      38     2819853 : c4_to_a4(GEN c4, GEN p)
      39     2819853 : { return Fp_neg(Fp_mulu(c4, 27, p), p); }
      40             : static void
      41     2819856 : c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      42             : {
      43     2819856 :   *a4 = c4_to_a4(c4, p);
      44     2819850 :   *a6 = Fp_neg(Fp_mulu(c6, 54, p), p);
      45     2819464 : }
      46             : static GEN
      47       74875 : Fq_c4_to_a4(GEN c4, GEN T, GEN p)
      48       74875 : { return Fq_neg(Fq_mulu(c4, 27, T,p), T,p); }
      49             : static void
      50       74878 : Fq_c4c6_to_a4a6(GEN c4, GEN c6, GEN T, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      51             : {
      52       74878 :   *a4 = Fq_c4_to_a4(c4, T,p);
      53       74854 :   *a6 = Fq_neg(Fq_mulu(c6, 54, T,p), T,p);
      54       74871 : }
      55             : static void
      56     2819702 : ell_to_a4a6(GEN E, GEN p, GEN *a4, GEN *a6)
      57             : {
      58     2819702 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      59     2819705 :   GEN c6 = Rg_to_Fp(ell_get_c6(E),p);
      60     2819713 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      61     2819318 : }
      62             : static void
      63      349408 : Fl_ell_to_a4a6(GEN E, ulong p, ulong *a4, ulong *a6)
      64             : {
      65      349408 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
      66      349408 :   ulong c6 = Rg_to_Fl(ell_get_c6(E),p);
      67      349408 :   Fl_c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, a4, a6);
      68      349408 : }
      69             : 
      70             : /* [6,3b2,3a1,108a3] */
      71             : static GEN
      72       23228 : a4a6_ch(GEN E, GEN p)
      73             : {
      74       23228 :   GEN a1 = Rg_to_Fp(ell_get_a1(E),p);
      75       23228 :   GEN a3 = Rg_to_Fp(ell_get_a3(E),p);
      76       23228 :   GEN b2 = Rg_to_Fp(ell_get_b2(E),p);
      77       23228 :   retmkvec4(modsi(6,p),Fp_mulu(b2,3,p),Fp_mulu(a1,3,p),Fp_mulu(a3,108,p));
      78             : }
      79             : static GEN
      80         469 : a4a6_ch_Fl(GEN E, ulong p)
      81             : {
      82         469 :   ulong a1 = Rg_to_Fl(ell_get_a1(E),p);
      83         469 :   ulong a3 = Rg_to_Fl(ell_get_a3(E),p);
      84         469 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E),p);
      85         469 :   return mkvecsmall4(6 % p,Fl_mul(b2,3,p),Fl_mul(a1,3,p),Fl_mul(a3,108,p));
      86             : }
      87             : 
      88             : static GEN
      89       23228 : ell_to_a4a6_bc(GEN E, GEN p)
      90             : {
      91             :   GEN A4, A6;
      92       23228 :   ell_to_a4a6(E, p, &A4, &A6);
      93       23228 :   retmkvec3(A4, A6, a4a6_ch(E,p));
      94             : }
      95             : GEN
      96           0 : point_to_a4a6(GEN E, GEN P, GEN p, GEN *pa4)
      97             : {
      98           0 :   GEN c4 = Rg_to_Fp(ell_get_c4(E),p);
      99           0 :   *pa4 = c4_to_a4(c4, p);
     100           0 :   return FpE_changepointinv(RgV_to_FpV(P,p), a4a6_ch(E,p), p);
     101             : }
     102             : GEN
     103         469 : point_to_a4a6_Fl(GEN E, GEN P, ulong p, ulong *pa4)
     104             : {
     105         469 :   ulong c4 = Rg_to_Fl(ell_get_c4(E),p);
     106         469 :   *pa4 = Fl_c4_to_a4(c4, p);
     107         469 :   return Fle_changepointinv(RgV_to_Flv(P,p), a4a6_ch_Fl(E,p), p);
     108             : }
     109             : 
     110             : /* shallow basistoalg */
     111             : static GEN
     112      388276 : nftoalg(GEN nf, GEN x)
     113             : {
     114      388276 :   switch(typ(x))
     115             :   {
     116      384517 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_POLMOD: return x;
     117        3759 :     default: return basistoalg(nf, x);
     118             :   }
     119             : }
     120             : 
     121             : void
     122      308457 : checkellpt(GEN z)
     123             : {
     124      308457 :   if (typ(z)!=t_VEC) pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     125      308450 :   switch(lg(z))
     126             :   {
     127      303214 :     case 3: break;
     128        5236 :     case 2: if (isintzero(gel(z,1))) break;
     129             :     /* fall through */
     130           0 :     default: pari_err_TYPE("checkellpt", z);
     131             :   }
     132      308450 : }
     133             : void
     134       72212 : checkell5(GEN E)
     135             : {
     136       72212 :   long l = lg(E);
     137       72212 :   if (typ(E)!=t_VEC || (l != 17 && l != 6)) pari_err_TYPE("checkell5",E);
     138       72212 : }
     139             : void
     140     4354009 : checkell(GEN E)
     141     4354009 : { if (!checkell_i(E)) pari_err_TYPE("checkell",E); }
     142             : void
     143        3472 : checkellisog(GEN v)
     144        3472 : { if (typ(v)!=t_VEC || lg(v) != 4) pari_err_TYPE("checkellisog",v); }
     145             : 
     146             : void
     147        4060 : checkell_Q(GEN E)
     148             : {
     149        4060 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Q)
     150           7 :     pari_err_TYPE("checkell over Q",E);
     151        4053 : }
     152             : 
     153             : void
     154           0 : checkell_Qp(GEN E)
     155             : {
     156           0 :   if (!checkell_i(E) || ell_get_type(E)!=t_ELL_Qp)
     157           0 :     pari_err_TYPE("checkell over Qp",E);
     158           0 : }
     159             : 
     160             : static int
     161      528404 : ell_over_Fq(GEN E)
     162             : {
     163      528404 :   long t = ell_get_type(E);
     164      528404 :   return t==t_ELL_Fp || t==t_ELL_Fq;
     165             : }
     166             : 
     167             : void
     168      279391 : checkell_Fq(GEN E)
     169             : {
     170      279391 :   if (!checkell_i(E) || !ell_over_Fq(E)) pari_err_TYPE("checkell over Fq", E);
     171      279384 : }
     172             : 
     173             : GEN
     174      180579 : ellff_get_p(GEN E)
     175             : {
     176      180579 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
     177      180579 :   return typ(fg)==t_INT? fg: FF_p_i(fg);
     178             : }
     179             : 
     180             : int
     181         315 : ell_is_integral(GEN E)
     182             : {
     183         315 :   return typ(ell_get_a1(E)) == t_INT
     184         273 :       && typ(ell_get_a2(E)) == t_INT
     185         259 :       && typ(ell_get_a3(E)) == t_INT
     186         259 :       && typ(ell_get_a4(E)) == t_INT
     187         588 :       && typ(ell_get_a6(E)) == t_INT;
     188             : }
     189             : 
     190             : static void
     191       72793 : checkcoordch(GEN z)
     192       72793 : { if (typ(z)!=t_VEC || lg(z) != 5) pari_err_TYPE("checkcoordch",z); }
     193             : 
     194             : /* 4 X^3 + b2 X^2 + 2b4 X + b6 */
     195             : GEN
     196       13639 : ec_bmodel(GEN e)
     197             : {
     198       13639 :   GEN b2 = ell_get_b2(e), b6 = ell_get_b6(e), b42 = gmul2n(ell_get_b4(e),1);
     199       13639 :   return mkpoln(4, utoipos(4), b2, b42, b6);
     200             : }
     201             : 
     202             : static int
     203        6432 : invcmp(void *E, GEN x, GEN y) { (void)E; return -gcmp(x,y); }
     204             : 
     205             : /* prec = working precision, prec0 = target precision */
     206             : static GEN
     207        8620 : doellR_roots_i(GEN e, long prec, long prec0)
     208             : {
     209        8620 :   GEN d1, d2, d3, e1, e2, e3, R = cleanroots(ec_bmodel(e), prec);
     210        8620 :   long s = ellR_get_sign(e);
     211        8620 :   if (s > 0)
     212             :   { /* sort 3 real roots in decreasing order */
     213        2144 :     R = real_i(R);
     214        2144 :     gen_sort_inplace(R, NULL, &invcmp, NULL);
     215        2144 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     216        2144 :     d3 = subrr(e1,e2);
     217        2144 :     d1 = subrr(e2,e3);
     218        2144 :     d2 = subrr(e1,e3);
     219        2144 :     if (realprec(d3) < prec0 || realprec(d1) < prec0) return NULL;
     220             :   } else {
     221        6476 :     e1 = gel(R,1); e2 = gel(R,2); e3 = gel(R,3);
     222        6476 :     if (s < 0)
     223             :     { /* make sure e1 is real, imag(e2) > 0 and imag(e3) < 0 */
     224        2185 :       e1 = real_i(e1);
     225        2185 :       if (signe(gel(e2,2)) < 0) swap(e2, e3);
     226        2185 :       d1 = mkcomplex(gen_0, gsub(gel(e2,2),gel(e3,2)));
     227             :     }
     228             :     else
     229        4291 :       d1 = gsub(e2,e3);
     230        6476 :     d3 = gsub(e1,e2);
     231        6476 :     d2 = gsub(e1,e3);
     232        6476 :     if (precision(d1) < prec0
     233        6463 :         || precision(d2) < prec0
     234        6476 :         || precision(d3) < prec0) return NULL;
     235             :   }
     236        8585 :   return mkcol6(e1,e2,e3,d1,d2,d3);
     237             : }
     238             : static GEN
     239        5134 : doellR_roots(GEN e, long prec0)
     240             : {
     241             :   long p;
     242        5169 :   for (p = prec0;; p = precdbl(p))
     243          35 :   {
     244        5169 :     GEN v = doellR_roots_i(e, p, prec0);
     245        5169 :     if (v) return v;
     246          35 :     if (DEBUGLEVEL) pari_warn(warnprec,"doellR_roots", p);
     247             :   }
     248             : }
     249             : static GEN
     250        1106 : ellR_root(GEN e, long prec) { return gel(ellR_roots(e,prec),1); }
     251             : 
     252             : /* Given E and the x-coordinate of a point Q = [xQ, yQ], return
     253             :  *   f(xQ) = xQ^3 + E.a2 * xQ^2 + E.a4 * xQ + E.a6
     254             :  * where E is given by y^2 + h(x)y = f(x). */
     255             : GEN
     256      529333 : ec_f_evalx(GEN E, GEN x)
     257             : {
     258      529333 :   pari_sp av = avma;
     259             :   GEN z;
     260      529333 :   z = gadd(ell_get_a2(E),x);
     261      529333 :   z = gadd(ell_get_a4(E), gmul(x,z));
     262      529333 :   z = gadd(ell_get_a6(E), gmul(x,z));
     263      529333 :   return gerepileupto(av, z); /* ((x + E.a2) * x + E.a4) * x + E.a6 */
     264             : }
     265             : 
     266             : /* a1 x + a3 */
     267             : GEN
     268      546539 : ec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     269             : {
     270      546539 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     271      546539 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     272      546539 :   return gadd(a3, gmul(x,a1));
     273             : }
     274             : static GEN
     275      517447 : Zec_h_evalx(GEN e, GEN x)
     276             : {
     277      517447 :   GEN a1 = ell_get_a1(e);
     278      517447 :   GEN a3 = ell_get_a3(e);
     279      517447 :   return signe(a1)? addii(a3, mulii(x, a1)): a3;
     280             : }
     281             : /* y^2 + a1 xy + a3 y = y^2 + h(x)y */
     282             : static GEN
     283       15988 : ec_LHS_evalQ(GEN e, GEN Q)
     284             : {
     285       15988 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     286       15988 :   return gmul(y, gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
     287             : }
     288             : 
     289             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     290             :  *   3 * xQ^2 + 2 * E.a2 * xQ + E.a4 - E.a1 * yQ.
     291             :  * which is the derivative of the curve equation
     292             :  *   f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     293             :  * wrt x evaluated at Q */
     294             : GEN
     295        2562 : ec_dFdx_evalQ(GEN E, GEN Q)
     296             : {
     297        2562 :   pari_sp av = avma;
     298        2562 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     299        2562 :   GEN a1 = ell_get_a1(E);
     300        2562 :   GEN a2 = ell_get_a2(E);
     301        2562 :   GEN a4 = ell_get_a4(E);
     302        2562 :   GEN tmp = gmul(gadd(gmulsg(3L,x), gmul2n(a2,1)), x);
     303        2562 :   return gerepileupto(av, gadd(tmp, gsub(a4, gmul(a1, y))));
     304             : }
     305             : 
     306             : /* 2y + a1 x + a3 = -ec_dFdy_evalQ */
     307             : GEN
     308        5810 : ec_dmFdy_evalQ(GEN e, GEN Q)
     309             : {
     310        5810 :   GEN x = gel(Q,1), y = gel(Q,2);
     311        5810 :   return gadd(ec_h_evalx(e,x), gmul2n(y,1));
     312             : }
     313             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     314             :  *  -(2 * yQ + E.a1 * xQ + E.a3)
     315             :  * which is the derivative of the curve equation
     316             :  *  f(x) - (y^2 + h(x)y) = 0
     317             :  * wrt y evaluated at Q */
     318             : GEN
     319         532 : ec_dFdy_evalQ(GEN E, GEN Q)
     320             : {
     321         532 :   pari_sp av = avma;
     322         532 :   return gerepileupto(av, gneg(ec_dmFdy_evalQ(E,Q)));
     323             : }
     324             : 
     325             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     326             :  *   4 xQ^3 + E.b2 xQ^2 + 2 E.b4 xQ + E.b6
     327             :  * which is the 2-division polynomial of E evaluated at Q */
     328             : GEN
     329        1806 : ec_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     330             : {
     331        1806 :   pari_sp av = avma;
     332        1806 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), x4 = gmul2n(x,2), t1, t2;
     333        1806 :   GEN b42 = gmul2n(ell_get_b4(E), 1);
     334        1806 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     335        1806 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
     336             :   {
     337          91 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E);
     338          91 :     t1 = nfmul(nf, nfadd(nf, x4, b2), x);
     339          91 :     t2 = nfadd(nf, t1, b42);
     340          91 :     t2 = nfadd(nf, nfmul(nf, t2, x), b6);
     341          91 :     t2 = nftoalg(nf, t2);
     342             :   }
     343             :   else
     344             :   {
     345        1715 :     t1 = gmul(gadd(x4, b2), x);
     346        1715 :     t2 = gadd(t1, b42);
     347        1715 :     t2 = gadd(gmul(t2, x), b6);
     348             :   }
     349        1806 :   return gerepileupto(av, t2);
     350             : }
     351             : 
     352             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     353             :  *   3 xQ^4 + E.b2 xQ^3 + 3 E.b4 xQ^2 + 3*E.b6 xQ + E.b8
     354             :  * which is the 3-division polynomial of E evaluated at Q */
     355             : GEN
     356          14 : ec_3divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     357             : {
     358          14 :   pari_sp av = avma;
     359          14 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     360          14 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     361          14 :   GEN b6 = ell_get_b6(E);
     362          14 :   GEN b8 = ell_get_b8(E);
     363          14 :   GEN x2 = gsqr(x);
     364          14 :   GEN t1 = gadd(gadd(gmulsg(3L, x2), gmul(b2, x)), gmulsg(3L, b4));
     365          14 :   GEN t2 = gadd(gmul(gmulsg(3L, b6), x), b8);
     366          14 :   return gerepileupto(av, gadd(gmul(t1, x2), t2));
     367             : }
     368             : 
     369             : /* Given E and a point Q = [xQ, yQ], return
     370             :  *   6 xQ^2 + E.b2 xQ + E.b4
     371             :  * which, if f is the curve equation, is 2 dfdx - E.a1 dfdy evaluated at Q */
     372             : GEN
     373        1519 : ec_half_deriv_2divpol_evalx(GEN E, GEN x)
     374             : {
     375        1519 :   pari_sp av = avma;
     376        1519 :   GEN b2 = ell_get_b2(E);
     377        1519 :   GEN b4 = ell_get_b4(E);
     378        1519 :   GEN res = gadd(gmul(gadd(gmulsg(6L, x), b2), x), b4);
     379        1519 :   return gerepileupto(av, res);
     380             : }
     381             : 
     382             : /* Return the characteristic of the ring over which E is defined. */
     383             : GEN
     384        2891 : ellbasechar(GEN E)
     385             : {
     386        2891 :   pari_sp av = avma;
     387        2891 :   GEN D = ell_get_disc(E);
     388        2891 :   return gerepileuptoint(av, characteristic(D));
     389             : }
     390             : 
     391             : /* Initialize basic elliptic struct y[1..12] for initsmall
     392             :  * (do not include j to allow for singular Weistrass model)
     393             :  * Also allocate room for n dynamic members. */
     394             : static GEN
     395      686351 : initsmall_i(GEN x, long n)
     396             : {
     397             :   GEN a1,a2,a3,a4,a6, b2,b4,b6,b8, c4,c6, D;
     398      686351 :   GEN y = obj_init(15, n);
     399      686351 :   switch(lg(x))
     400             :   {
     401           7 :     case 1:
     402             :     case 2:
     403             :     case 4:
     404             :     case 5:
     405           7 :       pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     406             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     407       16716 :     case 3:
     408       16716 :       a1 = a2 = a3 = gen_0;
     409       16716 :       a4 = gel(x,1);
     410       16716 :       a6 = gel(x,2);
     411       16716 :       b2 = gen_0;
     412       16716 :       b4 = gmul2n(a4,1);
     413       16716 :       b6 = gmul2n(a6,2);
     414       16716 :       b8 = gneg(gsqr(a4));
     415       16716 :       c4 = gmulgs(a4,-48);
     416       16716 :       c6 = gmulgs(a6,-864);
     417       16716 :       D = gadd(gmul(gmulgs(a4,-64), gsqr(a4)), gmulsg(-432,gsqr(a6)));
     418       16716 :       break;
     419      669628 :     default: /* l > 5 */
     420             :     { GEN a11, a13, a33, b22;
     421      669628 :       a1 = gel(x,1);
     422      669628 :       a2 = gel(x,2);
     423      669628 :       a3 = gel(x,3);
     424      669628 :       a4 = gel(x,4);
     425      669628 :       a6 = gel(x,5);
     426      669628 :       a11= gsqr(a1);
     427      669628 :       b2 = gadd(a11, gmul2n(a2,2));
     428      669628 :       a13= gmul(a1, a3);
     429      669629 :       b4 = gadd(a13, gmul2n(a4,1));
     430      669629 :       a33= gsqr(a3);
     431      669629 :       b6 = gadd(a33, gmul2n(a6,2));
     432      669629 :       b8 = gsub(gadd(gmul(a11,a6), gmul(b6, a2)), gmul(a4, gadd(a4,a13)));
     433      669628 :       b22= gsqr(b2);
     434      669628 :       c4 = gadd(b22, gmulsg(-24,b4));
     435      669627 :       c6 = gadd(gmul(b2,gsub(gmulsg(36,b4),b22)), gmulsg(-216,b6));
     436      669629 :       D  = gsub(gmul(b4, gadd(gmulsg(9,gmul(b2,b6)),gmulsg(-8,gsqr(b4)))),
     437             :                 gadd(gmul(b22,b8),gmulsg(27,gsqr(b6))));
     438      669629 :       break;
     439             :     }
     440             :   }
     441      686345 :   gel(y,1) = a1;
     442      686345 :   gel(y,2) = a2;
     443      686345 :   gel(y,3) = a3;
     444      686345 :   gel(y,4) = a4;
     445      686345 :   gel(y,5) = a6;
     446      686345 :   gel(y,6) = b2; /* a1^2 + 4a2 */
     447      686345 :   gel(y,7) = b4; /* a1 a3 + 2a4 */
     448      686345 :   gel(y,8) = b6; /* a3^2 + 4 a6 */
     449      686345 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
     450      686345 :   gel(y,10)= c4; /* b2^2 - 24 b4 */
     451      686345 :   gel(y,11)= c6; /* 36 b2 b4 - b2^3 - 216 b6 */
     452      686345 :   gel(y,12)= D;
     453      686345 :   gel(y,16) = zerovec(n);
     454      686344 :   return y;
     455             : }
     456             : /* return basic elliptic struct y[1..13], y[14] (domain type) and y[15]
     457             :  * (domain-specific data) are left uninitialized, from x[1], ..., x[5].
     458             :  * Also allocate room for n dynamic members (actually stored in the last
     459             :  * component y[16])*/
     460             : static GEN
     461      686330 : initsmall(GEN x, long n)
     462             : {
     463      686330 :   GEN j, y = initsmall_i(x, n), c4 = ell_get_c4(y), D = ell_get_disc(y);
     464      686323 :   if (gequal0(D)) { gel(y, 13) = gen_0; return NULL; }
     465             : 
     466      678343 :   if (typ(D) == t_POL && typ(c4) == t_POL && varn(D) == varn(c4))
     467         329 :   { /* c4^3 / D, simplifying incrementally */
     468         329 :     GEN g = RgX_gcd(D, c4);
     469         329 :     if (degpol(g) == 0)
     470         287 :       j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     471             :     else
     472             :     {
     473          42 :       GEN d, c = RgX_div(c4, g);
     474          42 :       D = RgX_div(D, g);
     475          42 :       g = RgX_gcd(D,c4);
     476          42 :       if (degpol(g) == 0)
     477           7 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gsqr(c4),c), D);
     478             :       else
     479             :       {
     480          35 :         D = RgX_div(D, g);
     481          35 :         d = RgX_div(c4, g);
     482          35 :         g = RgX_gcd(D,c4);
     483          35 :         if (degpol(g))
     484             :         {
     485          21 :           D = RgX_div(D, g);
     486          21 :           c4 = RgX_div(c4, g);
     487             :         }
     488          35 :         j = gred_rfrac_simple(gmul(gmul(c4, d),c), D);
     489             :       }
     490             :     }
     491             :   }
     492             :   else
     493      678014 :     j = gdiv(gmul(gsqr(c4),c4), D);
     494      678344 :   gel(y,13) = j;
     495      678344 :   return y;
     496             : }
     497             : void
     498           0 : ellprint(GEN e)
     499             : {
     500           0 :   pari_sp av = avma;
     501             :   long vx, vy;
     502             :   GEN z;
     503           0 :   checkell5(e);
     504           0 :   vx = fetch_var(); name_var(vx, "X");
     505           0 :   vy = fetch_var(); name_var(vy, "Y"); z = mkvec2(pol_x(vx), pol_x(vy));
     506           0 :   err_printf("%Ps - (%Ps)\n", ec_LHS_evalQ(e, z), ec_f_evalx(e, pol_x(vx)));
     507           0 :   (void)delete_var();
     508           0 :   (void)delete_var(); set_avma(av);
     509           0 : }
     510             : 
     511             : /* compute a,b such that E1: y^2 = x(x-a)(x-b) ~ E */
     512             : static GEN
     513         203 : doellR_ab(GEN E, long prec)
     514             : {
     515         203 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), R = ellR_roots(E, prec);
     516         203 :   GEN e1 = gel(R,1), d2 = gel(R,5), d3 =  gel(R,6), a, b, t;
     517             : 
     518         203 :   t = gmul2n(gadd(mulur(12,e1), b2), -4); /* = (12 e1 + b2) / 16 */
     519         203 :   if (ellR_get_sign(E) > 0)
     520         105 :     b = mulrr(d3,d2);
     521             :   else
     522          98 :     b = cxnorm(d3);
     523         203 :   b = sqrtr(b); /* = sqrt( (e1 - e2)(e1 - e3) ) */
     524         203 :   if (gsigne(t) > 0) togglesign(b);
     525         203 :   a = gsub(gmul2n(b,-1),t);
     526         203 :   return mkvec2(a, b);
     527             : }
     528             : GEN
     529        1106 : ellR_ab(GEN E, long prec)
     530        1106 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_AB, &doellR_ab, prec); }
     531             : 
     532             : /* q a t_REAL*/
     533             : static long
     534          84 : real_prec(GEN q)
     535          84 : { return signe(q)? realprec(q): LONG_MAX; }
     536             : /* q a t_PADIC */
     537             : static long
     538         252 : padic_prec(GEN q)
     539         252 : { return signe(gel(q,4))? precp(q)+valp(q): valp(q); }
     540             : 
     541             : /* check whether moduli are consistent */
     542             : static void
     543       99936 : chk_p(GEN p, GEN p2)
     544       99936 : { if (!equalii(p, p2)) pari_err_MODULUS("ellinit", p,p2); }
     545             : 
     546             : static int
     547       36442 : fix_nftype(GEN *pp)
     548             : {
     549       36442 :   switch(nftyp(*pp))
     550             :   {
     551       36442 :     case typ_NF: case typ_BNF: break;
     552           0 :     case typ_BNR:*pp = bnr_get_bnf(*pp); break;
     553           0 :     default: return 0;
     554             :   }
     555       36442 :   return 1;
     556             : }
     557             : static long
     558      716382 : base_ring(GEN x, GEN *pp, long *prec)
     559             : {
     560      716382 :   long i, e = *prec, ep = LONG_MAX, imax = minss(lg(x), 6);
     561      716382 :   GEN p = NULL;
     562      716382 :   long t = t_FRAC;
     563      716382 :   if (*pp) switch(t = typ(*pp))
     564             :   {
     565      491141 :     case t_INT:
     566      491141 :       if (cmpis(*pp,2) < 0) { t = t_FRAC; p = NULL; break; }
     567        1995 :       p = *pp;
     568        1995 :       t = t_INTMOD;
     569        1995 :       break;
     570         665 :     case t_INTMOD:
     571         665 :       p = gel(*pp, 1);
     572         665 :       break;
     573          28 :     case t_REAL:
     574          28 :       e = real_prec(*pp);
     575          28 :       p = NULL;
     576          28 :       break;
     577         224 :     case t_PADIC:
     578         224 :       ep = padic_prec(*pp);
     579         224 :       p = gel(*pp, 2);
     580         224 :       break;
     581       18151 :     case t_FFELT:
     582       18151 :       p = *pp;
     583       18151 :       break;
     584       36442 :     case t_VEC:
     585       36442 :       t = t_VEC; p = *pp;
     586       36442 :       if (fix_nftype(&p)) break;
     587             :     default:
     588           7 :       pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", *pp);
     589           0 :       return 0;
     590             :   }
     591             :   /* Possible cases:
     592             :    * t = t_VEC (p an nf or bnf)
     593             :    * t = t_FFELT (p t_FFELT)
     594             :    * t = t_INTMOD (p a prime)
     595             :    * t = t_PADIC (p a prime, ep = padic prec)
     596             :    * t = t_REAL (p = NULL, e = real prec)
     597             :    * t = t_FRAC (p = NULL) */
     598     4242575 :   for (i = 1; i < imax; i++)
     599             :   {
     600     3528783 :     GEN p2, q = gel(x,i);
     601     3528783 :     switch(typ(q)) {
     602          49 :       case t_PADIC:
     603          49 :         p2 = gel(q,2);
     604             :         switch(t)
     605             :         {
     606          21 :           case t_FRAC:  t = t_PADIC; p = p2; break;
     607          14 :           case t_PADIC: chk_p(p,p2); break;
     608          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     609             :         }
     610          28 :         ep = minss(ep, padic_prec(q));
     611          28 :         break;
     612      124935 :       case t_INTMOD:
     613      124935 :         p2 = gel(q,1);
     614             :         switch(t)
     615             :         {
     616       25027 :           case t_FRAC:  t = t_INTMOD; p = p2; break;
     617          49 :           case t_FFELT: chk_p(FF_p_i(p),p2); break;
     618       99845 :           case t_INTMOD:chk_p(p,p2); break;
     619          14 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     620             :         }
     621      124921 :         break;
     622      256130 :       case t_FFELT:
     623             :         switch(t)
     624             :         {
     625          14 :           case t_INTMOD: chk_p(p, FF_p_i(q)); /* fall through */
     626       96068 :           case t_FRAC:   t = t_FFELT; p = q; break;
     627      160055 :           case t_FFELT:
     628      160055 :             if (!FF_samefield(p,q) && FF_f(q)>1) pari_err_MODULUS("ellinit", p,q);
     629      160055 :             break;
     630           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     631             :         }
     632      256123 :         break;
     633             : 
     634     3143868 :       case t_INT: case t_FRAC: break;
     635          56 :       case t_REAL:
     636             :         switch(t)
     637             :         {
     638          35 :           case t_REAL: e = minss(e, real_prec(q)); break;
     639          21 :           case t_FRAC: e = real_prec(q); t = t_REAL; break;
     640           0 :           default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     641             :         }
     642          56 :         break;
     643        3731 :       case t_COL:
     644             :       case t_POL:
     645             :       case t_POLMOD:
     646        3731 :         if (t == t_VEC) break;
     647             :       default: /* base ring too general */
     648        2541 :         return t_COMPLEX;
     649             :     }
     650             :   }
     651      713792 :   *pp = p; *prec = (t == t_PADIC)? ep: e; return t;
     652             : }
     653             : 
     654             : /* s = 0 complex, else real;
     655             :  * if (s = 2) set s = sign(D), else accept s as is */
     656             : static GEN
     657        6020 : ellinit_Rg(GEN x, long s, long prec)
     658             : {
     659             :   GEN y;
     660        6020 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     661             :   {
     662           7 :     case t_ELL_Rg:
     663           7 :     case t_ELL_Q: break;
     664           7 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     665             :   }
     666        6013 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     667        6013 :   if (s == 2) s = gsigne(ell_get_disc(y));
     668        6013 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Rg);
     669        6013 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     670        6013 :   return y;
     671             : }
     672             : 
     673             : static GEN
     674         196 : ellinit_Qp(GEN x, GEN p, long prec)
     675             : {
     676             :   GEN y;
     677         196 :   if (lg(x) > 6)
     678             :   {
     679          28 :     switch(ell_get_type(x))
     680             :     { /* sanity checks */
     681          21 :       case t_ELL_Q: break;
     682           7 :       case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x), p); break;
     683           0 :       default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     684             :     }
     685          21 :     x = vecslice(x,1,5);
     686             :   }
     687         189 :   x = QpV_to_QV(x); /* make entries rational */
     688         189 :   if (!(y = initsmall(x, 2))) return NULL;
     689         189 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Qp);
     690         189 :   gel(y,15) = mkvec(zeropadic(p, prec));
     691         189 :   return y;
     692             : }
     693             : 
     694             : static GEN
     695      497854 : ellinit_Q(GEN x, long prec)
     696             : {
     697             :   GEN y;
     698             :   long s;
     699      497854 :   if (!(y = initsmall(x, 8))) return NULL;
     700      497721 :   s = gsigne( ell_get_disc(y) );
     701      497721 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Q);
     702      497721 :   gel(y,15) = mkvec(mkvecsmall2(prec2nbits(prec), s));
     703      497721 :   return y;
     704             : }
     705             : 
     706             : static GEN
     707       37030 : nfVtoalg(GEN nf, GEN x)
     708             : {
     709             :   long i, l;
     710       37030 :   GEN y = cgetg_copy(x,&l);
     711      221319 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = nftoalg(nf,gel(x,i));
     712       37030 :   return y;
     713             : }
     714             : 
     715             : static GEN
     716       37016 : ellinit_nf(GEN x, GEN p)
     717             : {
     718             :   GEN y, nf;
     719       37016 :   if (lg(x) > 6) x = vecslice(x,1,5);
     720       37016 :   nf = checknf(p);
     721       37016 :   x = nfVtoalg(nf, x);
     722       37016 :   if (!(y = initsmall(x, 5))) return NULL;
     723       37016 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_NF);
     724       37016 :   gel(y,15) = mkvec(p);
     725       37016 :   return y;
     726             : }
     727             : 
     728             : /* FF_ellinit allows singular cubic, return NULL in that case */
     729             : static GEN
     730      114177 : FF_ellinit_ns(GEN x, GEN fg)
     731             : {
     732      114177 :   x = FF_ellinit(x,fg);
     733      114177 :   return FF_equal0(ell_get_disc(x))? NULL: x;
     734             : }
     735             : 
     736             : static GEN
     737       30948 : ellinit_Fp(GEN x, GEN p)
     738             : {
     739             :   long i;
     740             :   GEN y, disc;
     741       30948 :   if (lg(x) > 6) switch(ell_get_type(x))
     742             :   {
     743        2429 :     case t_ELL_Q: break;
     744           0 :     case t_ELL_Fp: chk_p(ellff_get_p(x),p); break;
     745           7 :     case t_ELL_Qp: chk_p(ellQp_get_p(x),p); break;
     746           0 :     default: pari_err_TYPE("elliptic curve base_ring", x);
     747             :   }
     748       30941 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     749             :   /* ell_to_a4a6_bc does not handle p<=3 */
     750       26000 :   if (abscmpiu(p,3)<=0) return FF_ellinit_ns(y,p_to_FF(p,0));
     751       23228 :   disc = Rg_to_Fp(ell_get_disc(y),p);
     752       23228 :   if (!signe(disc)) return NULL;
     753      325048 :   for(i=1;i<=13;i++)
     754      301827 :     gel(y,i) = Fp_to_mod(Rg_to_Fp(gel(y,i),p),p);
     755       23221 :   gel(y,14) = mkvecsmall(t_ELL_Fp);
     756       23221 :   gel(y,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(y, p));
     757       23221 :   return y;
     758             : }
     759             : 
     760             : static GEN
     761      114317 : ellinit_Fq(GEN x, GEN fg)
     762             : {
     763             :   GEN y;
     764      114317 :   if (!(y = initsmall(x, 4))) return NULL;
     765      111405 :   return FF_ellinit_ns(y,fg);
     766             : }
     767             : 
     768             : static GEN
     769        3535 : ellnf_to_Fq(GEN nf, GEN x, GEN P, GEN *pp, GEN *pT)
     770             : {
     771        3535 :   GEN e = vecslice(x,1,5);
     772             :   GEN p, modP;
     773        3535 :   if (get_modpr(P))
     774             :   { /* modpr accept */
     775        3234 :     modP = P;
     776        3234 :     p = modpr_get_p(modP);
     777             :   }
     778             :   else
     779             :   { /* pr, initialize modpr */
     780         301 :     GEN d = Q_denom(e);
     781         301 :     p = pr_get_p(P);
     782         301 :     modP = dvdii(d,p)? nfmodprinit(nf,P): zkmodprinit(nf,P);
     783             :   }
     784        3535 :   *pp = p;
     785        3535 :   *pT = modpr_get_T(modP);
     786        3535 :   return nfV_to_FqV(e, nf, modP);
     787             : }
     788             : static GEN
     789        3514 : ellinit_nf_to_Fq(GEN nf, GEN E, GEN P)
     790             : {
     791             :   GEN T,p;
     792        3514 :   E = ellnf_to_Fq(nf, E, P, &p, &T);
     793        3514 :   return T? ellinit_Fq(E,Tp_to_FF(T,p)): ellinit_Fp(E,p);
     794             : }
     795             : 
     796             : GEN
     797      681914 : ellinit(GEN x, GEN D, long prec)
     798             : {
     799      681914 :   pari_sp av = avma;
     800             :   GEN y;
     801      681914 :   switch(typ(x))
     802             :   {
     803           7 :     case t_STR: x = gel(ellsearchcurve(x),2); break;
     804      681907 :     case t_VEC:
     805      681907 :       if (lg(x) > 6) checkell(x);
     806      681907 :       break;
     807           0 :     default: pari_err_TYPE("ellxxx [not an elliptic curve (ell5)]",x);
     808             :   }
     809      681914 :   if (D && get_prid(D))
     810             :   {
     811        3052 :     if (lg(x) == 6 || ell_get_type(x) != t_ELL_NF) pari_err_TYPE("ellinit",x);
     812        3052 :     y = ellinit_nf_to_Fq(ellnf_get_nf(x), x, D);
     813        3052 :     goto END;
     814             :   }
     815      678862 :   switch (base_ring(x, &D, &prec))
     816             :   {
     817         196 :   case t_PADIC:
     818         196 :     y = ellinit_Qp(x, D, prec);
     819         189 :     break;
     820       27658 :   case t_INTMOD:
     821       27658 :     y = ellinit_Fp(x, D);
     822       27652 :     break;
     823      114093 :   case t_FFELT:
     824      114093 :     y = ellinit_Fq(x, D);
     825      114093 :     break;
     826      497854 :   case t_FRAC:
     827      497854 :     y = ellinit_Q(x, prec);
     828      497847 :     break;
     829          28 :   case t_REAL:
     830          28 :     y = ellinit_Rg(x, 2, prec);
     831          21 :     break;
     832       36442 :   case t_VEC:
     833       36442 :     y = ellinit_nf(x, D);
     834       36442 :     break;
     835        2541 :   default:
     836        2541 :     y = ellinit_Rg(x, 0, prec);
     837             :   }
     838      681837 : END:
     839      681837 :   if (!y) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
     840      673836 :   return gerepilecopy(av,y);
     841             : }
     842             : 
     843             : /********************************************************************/
     844             : /**                                                                **/
     845             : /**                     COORDINATE CHANGE                          **/
     846             : /**  Apply [u,r,s,t]. All coordch_* functions update E[1..14] only **/
     847             : /**  and copy E[15] (type-specific data), E[16] (dynamic data)     **/
     848             : /**  verbatim                                                      **/
     849             : /**                                                                **/
     850             : /********************************************************************/
     851             : /* [1,0,0,0] */
     852             : static GEN
     853     2568013 : init_ch(void) { return mkvec4(gen_1,gen_0,gen_0,gen_0); }
     854             : static int
     855      457674 : is_trivial_change(GEN v)
     856             : {
     857             :   GEN u, r, s, t;
     858      457674 :   if (typ(v) == t_INT) return 1;
     859      457674 :   u = gel(v,1); r = gel(v,2); s = gel(v,3); t = gel(v,4);
     860      457674 :   return isint1(u) && isintzero(r) && isintzero(s) && isintzero(t);
     861             : }
     862             : 
     863             : /* Accumulate the effects of variable changes w o v, where
     864             :  * w = [u,r,s,t], *vtotal = v = [U,R,S,T]. No assumption on types */
     865             : static void
     866        1008 : gcomposev(GEN *vtotal, GEN w)
     867             : {
     868        1008 :   GEN v = *vtotal;
     869             :   GEN U2, U, R, S, T, u, r, s, t;
     870             : 
     871        1008 :   if (!v || typ(v) == t_INT) { *vtotal = w; return; }
     872         980 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
     873         980 :   u = gel(w,1); r = gel(w,2); s = gel(w,3); t = gel(w,4);
     874         980 :   U2 = gsqr(U);
     875         980 :   gel(v,1) = gmul(U, u);
     876         980 :   gel(v,2) = gadd(R, gmul(U2, r));
     877         980 :   gel(v,3) = gadd(S, gmul(U, s));
     878         980 :   gel(v,4) = gadd(T, gmul(U2, gadd(gmul(U, t), gmul(S, r))));
     879             : }
     880             : 
     881             : /* [u,r,s,t]^-1 = [ 1/u,-r/u^2,-s/u, (rs-t)/u^3 ] */
     882             : GEN
     883          21 : ellchangeinvert(GEN w)
     884             : {
     885             :   GEN u,r,s,t, u2,u3, U,R,S,T;
     886          21 :   if (typ(w) == t_INT) return w;
     887          21 :   u = gel(w,1);
     888          21 :   r = gel(w,2);
     889          21 :   s = gel(w,3);
     890          21 :   t = gel(w,4);
     891          21 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u2,u);
     892          21 :   U = ginv(u);
     893          21 :   R = gdiv(gneg(r), u2);
     894          21 :   S = gdiv(gneg(s), u);
     895          21 :   T = gdiv(gsub(gmul(r,s), t), u3);
     896          21 :   return mkvec4(U,R,S,T);
     897             : }
     898             : 
     899             : static GEN
     900       99435 : ell_to_nfell10(GEN e)
     901             : {
     902             :   long i;
     903       99435 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
     904       99435 :   GEN y = cgetg(11,t_VEC);
     905     1093785 :   for(i=1; i<=10; i++)
     906      994350 :     gel(y, i) = nf_to_scalar_or_basis(nf, gel(e, i));
     907       99435 :   return y;
     908             : }
     909             : 
     910             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
     911             : static GEN
     912      153594 : nf_coordch_uinv(GEN nf, GEN e, GEN u)
     913             : {
     914             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u8;
     915             :   long lx;
     916      153594 :   if (gequal1(u)) return e;
     917      153139 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     918      153139 :   u2 = nfsqr(nf,u); u3 = nfmul(nf,u,u2); u4 = nfsqr(nf,u2);
     919      153139 :   u6 = nfsqr(nf,u3); u8 = nfsqr(nf,u4);
     920      153139 :   gel(y,1) = nfmul(nf,ell_get_a1(e),  u);
     921      153139 :   gel(y,2) = nfmul(nf,ell_get_a2(e), u2);
     922      153139 :   gel(y,3) = nfmul(nf,ell_get_a3(e), u3);
     923      153139 :   gel(y,4) = nfmul(nf,ell_get_a4(e), u4);
     924      153139 :   gel(y,5) = nfmul(nf,ell_get_a6(e), u6);
     925      153139 :   if (lx == 6) return y;
     926      153132 :   gel(y,6) = nfmul(nf,ell_get_b2(e), u2);
     927      153132 :   gel(y,7) = nfmul(nf,ell_get_b4(e), u4);
     928      153132 :   gel(y,8) = nfmul(nf,ell_get_b6(e), u6);
     929      153132 :   gel(y,9) = nfmul(nf,ell_get_b8(e), u8);
     930      153132 :   return y;
     931             : }
     932             : /* apply [1,r,0,0] */
     933             : static GEN
     934      267365 : nf_coordch_r(GEN nf, GEN e, GEN r)
     935             : {
     936             :   GEN a2, a4, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
     937             :   long lx;
     938      267365 :   if (gequal0(r)) return e;
     939      238980 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
     940      238980 :   a2 = ell_get_a2(e); a4 = ell_get_a4(e);
     941      238980 :   rx3 = gmulsg(3,r);
     942             : 
     943      238980 :   gel(y,1) = ell_get_a1(e);
     944             :   /* A2 = a2 + 3r */
     945      238980 :   gel(y,2) = nfadd(nf,a2,rx3);
     946             :   /* A3 = a1 r + a3 */
     947      238980 :   gel(y,3) = nfadd(nf,ell_get_a3(e), nfmul(nf,ell_get_a1(e),r));
     948             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
     949      238980 :   gel(y,4) = nfadd(nf,a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(a2,1),rx3)));
     950             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
     951      238980 :   gel(y,5) = nfadd(nf,ell_get_a6(e),nfmul(nf,r,nfadd(nf, a4, nfmul(nf,r,nfadd(nf,a2, r)))));
     952      238980 :   if (lx == 6) return y;
     953             : 
     954      238973 :   b4 = ell_get_b4(e);
     955      238973 :   b6 = ell_get_b6(e);
     956             :   /* B2 = 12r + b2 */
     957      238973 :   gel(y,6) = nfadd(nf,ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
     958      238973 :   b2r = nfmul(nf,r, ell_get_b2(e));
     959      238973 :   r2 = nfsqr(nf,r);
     960             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
     961      238973 :   gel(y,7) = nfadd(nf,b4,nfadd(nf,b2r, gmulsg(6,r2)));
     962             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
     963      238973 :   gel(y,8) = nfadd(nf,b6,nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmul2n(b4,1), nfadd(nf,b2r,gmul2n(r2,2)))));
     964             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
     965      238973 :   p1 = nfadd(nf,gmulsg(3,b4),nfadd(nf,b2r, gmulsg(3,r2)));
     966      238973 :   gel(y,9) = nfadd(nf,ell_get_b8(e), nfmul(nf,r,nfadd(nf,gmulsg(3,b6), nfmul(nf,r,p1))));
     967      238973 :   return y;
     968             : }
     969             : 
     970             : static GEN
     971      109557 : nf_coordch_s(GEN nf, GEN e, GEN s)
     972             : {
     973             :   GEN a1, y;
     974      109557 :   if (gequal0(s)) return e;
     975      109557 :   a1 = ell_get_a1(e);
     976      109557 :   y = leafcopy(e);
     977             : 
     978             :   /* A1 = a1 + 2s */
     979      109557 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
     980             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
     981      109557 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
     982             :   /* A4 = a4 - s a3 */
     983      109557 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfmul(nf,s,ell_get_a3(e)));
     984      109557 :   return y;
     985             : }
     986             : /* apply [1,0,0,t] */
     987             : static GEN
     988      251916 : nf_coordch_t(GEN nf, GEN e, GEN t)
     989             : {
     990             :   GEN a1, a3, y;
     991      251916 :   if (gequal0(t)) return e;
     992      251454 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
     993      251454 :   y = leafcopy(e);
     994             :   /* A3 = 2t + a3 */
     995      251454 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3, gmul2n(t,1));
     996             :   /* A4 = a4 - a1 t */
     997      251454 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e), nfmul(nf,t,a1));
     998             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
     999      251454 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1000      251454 :   return y;
    1001             : }
    1002             : 
    1003             : /* apply [1,0,s,t] */
    1004             : static GEN
    1005       12978 : nf_coordch_st(GEN nf, GEN e, GEN s, GEN t)
    1006             : {
    1007             :   GEN y, a1, a3;
    1008       12978 :   if (gequal0(s)) return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1009       12516 :   if (gequal0(t)) return nf_coordch_s(nf, e, s);
    1010       12516 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1011       12516 :   y = leafcopy(e);
    1012             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1013       12516 :   gel(y,1) = nfadd(nf,a1,gmul2n(s,1));
    1014             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1015       12516 :   gel(y,2) = nfsub(nf,ell_get_a2(e),nfmul(nf,s,nfadd(nf,a1,s)));
    1016             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1017       12516 :   gel(y,3) = nfadd(nf,a3,gmul2n(t,1));
    1018             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1019       12516 :   gel(y,4) = nfsub(nf,ell_get_a4(e),nfadd(nf,nfmul(nf,t,a1),nfmul(nf,s,gel(y,3))));
    1020             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1021       12516 :   gel(y,5) = nfsub(nf,ell_get_a6(e), nfmul(nf,t,nfadd(nf,t, a3)));
    1022       12516 :   return y;
    1023             : }
    1024             : 
    1025             : static GEN
    1026      171094 : nf_coordch_rt(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN t)
    1027             : {
    1028      171094 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1029      171094 :   return nf_coordch_t(nf, e, t);
    1030             : }
    1031             : 
    1032             : /* apply [1,r,s,t] */
    1033             : static GEN
    1034         462 : nf_coordch_rst(GEN nf, GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1035             : {
    1036         462 :   e = nf_coordch_r(nf, e, r);
    1037         462 :   return nf_coordch_st(nf, e, s, t);
    1038             : }
    1039             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1040             : static GEN
    1041         462 : nf_coordch(GEN nf, GEN e, GEN w)
    1042             : {
    1043         462 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1044         462 :   e = nf_coordch_rst(nf, e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1045         462 :   return nf_coordch_uinv(nf, e, nfinv(nf, gel(w,1)));
    1046             : }
    1047             : 
    1048             : /* apply [u^(-1),0,0,0] */
    1049             : static GEN
    1050       73752 : coordch_uinv(GEN e, GEN u)
    1051             : {
    1052             :   GEN y, u2, u3, u4, u6, u12, D, c4, c6;
    1053             :   long lx;
    1054       73752 :   if (gequal1(u)) return e;
    1055       73423 :   y = cgetg_copy(e, &lx);
    1056       73423 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2); u4 = gsqr(u2); u6 = gsqr(u3);
    1057       73423 :   gel(y,1) = gmul(ell_get_a1(e),  u);
    1058       73423 :   gel(y,2) = gmul(ell_get_a2(e), u2);
    1059       73423 :   gel(y,3) = gmul(ell_get_a3(e), u3);
    1060       73423 :   gel(y,4) = gmul(ell_get_a4(e), u4);
    1061       73423 :   gel(y,5) = gmul(ell_get_a6(e), u6);
    1062       73423 :   if (lx == 6) return y;
    1063       73423 :   gel(y,6) = gmul(ell_get_b2(e), u2);
    1064       73423 :   gel(y,7) = gmul(ell_get_b4(e), u4);
    1065       73423 :   gel(y,8) = gmul(ell_get_b6(e), u6);
    1066       73423 :   gel(y,9) = gmul(ell_get_b8(e), gsqr(u4));
    1067       73423 :   u12 = gsqr(u6);
    1068       73423 :   D = ell_get_disc(e);
    1069       73423 :   c4 = ell_get_c4(e);
    1070       73423 :   c6 = ell_get_c6(e);
    1071       73423 :   c4 = gmul(c4, u4);
    1072       73423 :   c6 = gmul(c6, u6);
    1073       73423 :   D = gmul(D, u12);
    1074       73423 :   gel(y,10)= c4;
    1075       73423 :   gel(y,11)= c6;
    1076       73423 :   gel(y,12)= D;
    1077       73423 :   gel(y,13)= ell_get_j(e);
    1078       73423 :   gel(y,14)= gel(e,14);
    1079       73423 :   gel(y,15)= gel(e,15);
    1080       73423 :   gel(y,16)= gel(e,16);
    1081       73423 :   return y;
    1082             : }
    1083             : /* apply [1,r,0,0] */
    1084             : static GEN
    1085      611282 : coordch_r(GEN e, GEN r)
    1086             : {
    1087             :   GEN a2, b4, b6, y, p1, r2, b2r, rx3;
    1088      611282 :   if (gequal0(r)) return e;
    1089      511819 :   y = leafcopy(e);
    1090      511819 :   a2 = ell_get_a2(e);
    1091      511819 :   rx3 = gmulsg(3,r);
    1092             : 
    1093             :   /* A2 = a2 + 3r */
    1094      511819 :   gel(y,2) = gadd(a2,rx3);
    1095             :   /* A3 = a1 r + a3 */
    1096      511819 :   gel(y,3) = ec_h_evalx(e,r);
    1097             :   /* A4 = 3r^2 + 2a2 r + a4 */
    1098      511819 :   gel(y,4) = gadd(ell_get_a4(e), gmul(r,gadd(gmul2n(a2,1),rx3)));
    1099             :   /* A6 = r^3 + a2 r^2 + a4 r + a6 */
    1100      511819 :   gel(y,5) = ec_f_evalx(e,r);
    1101      511819 :   if (lg(y) == 6) return y;
    1102             : 
    1103      511812 :   b4 = ell_get_b4(e);
    1104      511812 :   b6 = ell_get_b6(e);
    1105             :   /* B2 = 12r + b2 */
    1106      511812 :   gel(y,6) = gadd(ell_get_b2(e),gmul2n(rx3,2));
    1107      511812 :   b2r = gmul(r, ell_get_b2(e));
    1108      511812 :   r2 = gsqr(r);
    1109             :   /* B4 = 6r^2 + b2 r + b4 */
    1110      511812 :   gel(y,7) = gadd(b4,gadd(b2r, gmulsg(6,r2)));
    1111             :   /* B6 = 4r^3 + 2b2 r^2 + 2b4 r + b6 */
    1112      511812 :   gel(y,8) = gadd(b6,gmul(r,gadd(gmul2n(b4,1), gadd(b2r,gmul2n(r2,2)))));
    1113             :   /* B8 = 3r^4 + b2 r^3 + 3b4 r^2 + 3b6 r + b8 */
    1114      511812 :   p1 = gadd(gmulsg(3,b4),gadd(b2r, gmulsg(3,r2)));
    1115      511812 :   gel(y,9) = gadd(ell_get_b8(e), gmul(r,gadd(gmulsg(3,b6), gmul(r,p1))));
    1116      511812 :   return y;
    1117             : }
    1118             : /* apply [1,0,s,0] */
    1119             : static GEN
    1120      118069 : coordch_s(GEN e, GEN s)
    1121             : {
    1122             :   GEN a1, y;
    1123      118069 :   if (gequal0(s)) return e;
    1124      118069 :   a1 = ell_get_a1(e);
    1125      118069 :   y = leafcopy(e);
    1126             : 
    1127             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1128      118069 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1129             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1130      118069 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1131             :   /* A4 = a4 - s a3 */
    1132      118069 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gmul(s,ell_get_a3(e)));
    1133      118069 :   return y;
    1134             : }
    1135             : /* apply [1,0,0,t] */
    1136             : static GEN
    1137      345044 : coordch_t(GEN e, GEN t)
    1138             : {
    1139             :   GEN a1, a3, y;
    1140      345044 :   if (gequal0(t)) return e;
    1141      275072 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1142      275072 :   y = leafcopy(e);
    1143             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1144      275072 :   gel(y,3) = gadd(a3, gmul2n(t,1));
    1145             :   /* A4 = a4 - a1 t */
    1146      275072 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e), gmul(t,a1));
    1147             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1148      275072 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1149      275072 :   return y;
    1150             : }
    1151             : /* apply [1,0,s,t] */
    1152             : static GEN
    1153      347592 : coordch_st(GEN e, GEN s, GEN t)
    1154             : {
    1155             :   GEN y, a1, a3;
    1156      347592 :   if (gequal0(s)) return coordch_t(e, t);
    1157      246050 :   if (gequal0(t)) return coordch_s(e, s);
    1158      127981 :   a1 = ell_get_a1(e); a3 = ell_get_a3(e);
    1159      127981 :   y = leafcopy(e);
    1160             :   /* A1 = a1 + 2s */
    1161      127981 :   gel(y,1) = gadd(a1,gmul2n(s,1));
    1162             :   /* A2 = a2 - (a1 s + s^2) */
    1163      127981 :   gel(y,2) = gsub(ell_get_a2(e),gmul(s,gadd(a1,s)));
    1164             :   /* A3 = 2t + a3 */
    1165      127981 :   gel(y,3) = gadd(a3,gmul2n(t,1));
    1166             :   /* A4 = a4 - (a1 t + s (2t + a3)) */
    1167      127981 :   gel(y,4) = gsub(ell_get_a4(e),gadd(gmul(t,a1),gmul(s,gel(y,3))));
    1168             :   /* A6 = a6 - t(t + a3) */
    1169      127981 :   gel(y,5) = gsub(ell_get_a6(e), gmul(t,gadd(t, a3)));
    1170      127981 :   return y;
    1171             : }
    1172             : /* apply [1,r,s,t] */
    1173             : static GEN
    1174      347592 : coordch_rst(GEN e, GEN r, GEN s, GEN t)
    1175             : {
    1176      347592 :   e = coordch_r(e, r);
    1177      347592 :   return coordch_st(e, s, t);
    1178             : }
    1179             : /* apply w = [u,r,s,t] */
    1180             : static GEN
    1181       72275 : coordch(GEN e, GEN w)
    1182             : {
    1183       72275 :   if (typ(w) == t_INT) return e;
    1184       72275 :   e = coordch_rst(e, gel(w,2), gel(w,3), gel(w,4));
    1185       72275 :   return coordch_uinv(e, ginv(gel(w,1)));
    1186             : }
    1187             : 
    1188             : /* the ch_* routines update E[14] (type), E[15] (type specific data), E[16]
    1189             :  * (dynamic data) */
    1190             : static GEN
    1191          35 : ch_Qp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1192             : {
    1193          35 :   GEN S, p = ellQp_get_zero(E), u2 = NULL, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1194          35 :   long prec = valp(p);
    1195          35 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_PADIC) return ellinit(E, p, prec);
    1196          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_ROOT)))
    1197             :   {
    1198           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1199           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_ROOT, gdiv(gsub(S, r), u2));
    1200             :   }
    1201          35 :   if ((S = obj_check(e, Qp_TATE)))
    1202             :   {
    1203           7 :     GEN U2 = gel(S,1), U = gel(S,2), Q = gel(S,3), AB = gel(S,4), L = gel(S,5);
    1204           7 :     if (!u2) u2 = gsqr(u);
    1205           7 :     U2 = gmul(U2, u2);
    1206           7 :     U = gmul(U, u);
    1207           7 :     AB = gdiv(AB, u2);
    1208           7 :     obj_insert_shallow(E, Qp_TATE, mkvec5(U2,U,Q,AB,L));
    1209             :   }
    1210          35 :   return E;
    1211             : }
    1212             : 
    1213             : /* common to Q and Rg */
    1214             : static GEN
    1215       37352 : ch_R(GEN E, GEN e, GEN w)
    1216             : {
    1217       37352 :   GEN S, u = gel(w,1), r = gel(w,2);
    1218       37352 :   if ((S = obj_check(e, R_PERIODS)))
    1219          28 :     obj_insert_shallow(E, R_PERIODS, gmul(S, u));
    1220       37352 :   if ((S = obj_check(e, R_ETA)))
    1221          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ETA, gmul(S, u));
    1222       37352 :   if ((S = obj_check(e, R_ROOTS)))
    1223             :   {
    1224          28 :     GEN ro = cgetg(4, t_VEC), u2 = gsqr(u);
    1225             :     long i;
    1226         112 :     for (i = 1; i <= 3; i++) gel(ro,i) = gdiv(gsub(gel(S,i), r), u2);
    1227          28 :     obj_insert_shallow(E, R_ROOTS, ro);
    1228             :   }
    1229       37352 :   return E;
    1230             : }
    1231             : 
    1232             : static GEN
    1233           7 : ch_Rg(GEN E, GEN e, GEN w)
    1234             : {
    1235           7 :   GEN p = NULL;
    1236           7 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1237           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_REAL) return ellinit(E, p, prec);
    1238           7 :   ch_R(E, e, w); return E;
    1239             : }
    1240             : 
    1241             : static GEN
    1242       37352 : ch_Q(GEN E, GEN e, GEN w)
    1243             : {
    1244       37352 :   long prec = ellR_get_prec(E);
    1245       37352 :   GEN S, v = NULL, p = NULL;
    1246       37352 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FRAC) return ellinit(E, p, prec);
    1247       37345 :   ch_R(E, e, w);
    1248       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_GROUPGEN)))
    1249           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1250       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    1251             :   {
    1252        1463 :     if (lg(S) == 2)
    1253             :     { /* model was minimal */
    1254           7 :       if (!is_trivial_change(w)) /* no longer minimal */
    1255           7 :         S = mkvec3(gel(S,1), ellchangeinvert(w), e);
    1256           7 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1257             :     }
    1258             :     else
    1259             :     {
    1260        1456 :       v = gel(S,2);
    1261        1456 :       if (gequal(v, w) || (is_trivial_change(v) && is_trivial_change(w)))
    1262        1442 :         S = mkvec(gel(S,1)); /* now minimal */
    1263             :       else
    1264             :       {
    1265          14 :         w = ellchangeinvert(w);
    1266          14 :         gcomposev(&w, v); v = w;
    1267          14 :         S = leafcopy(S); /* don't modify S in place: would corrupt e */
    1268          14 :         gel(S,2) = v;
    1269             :       }
    1270        1456 :       (void)obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    1271             :     }
    1272             :   }
    1273       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    1274          14 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    1275       37345 :   if ((S = obj_check(e, Q_ROOTNO)))
    1276           0 :     S = obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S);
    1277       37345 :   return E;
    1278             : }
    1279             : 
    1280             : static void
    1281         126 : ch_FF(GEN E, GEN e, GEN w)
    1282             : {
    1283             :   GEN S;
    1284         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_CARD)))
    1285          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_CARD, S);
    1286         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUP)))
    1287          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUP, S);
    1288         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_GROUPGEN)))
    1289          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_GROUPGEN, ellchangepoint(S, w));
    1290         126 :   if ((S = obj_check(e, FF_O)))
    1291          21 :     S = obj_insert_shallow(E, FF_O, S);
    1292         126 : }
    1293             : 
    1294             : /* FF_CARD, FF_GROUP, FF_O are invariant */
    1295             : static GEN
    1296           7 : ch_Fp(GEN E, GEN e, GEN w)
    1297             : {
    1298           7 :   long prec = 0;
    1299           7 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1300           7 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_INTMOD) return ellinit(E, p, prec);
    1301           7 :   gel(E,15) = mkvec2(p, ell_to_a4a6_bc(E, p));
    1302           7 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1303             : }
    1304             : static GEN
    1305         119 : ch_Fq(GEN E, GEN e, GEN w)
    1306             : {
    1307         119 :   long prec = 0;
    1308         119 :   GEN p = ellff_get_field(E);
    1309         119 :   if (base_ring(E, &p, &prec) != t_FFELT) return ellinit(E, p, prec);
    1310         119 :   gel(E,15) = FF_elldata(E, p);
    1311         119 :   ch_FF(E, e, w); return E;
    1312             : }
    1313             : 
    1314             : static void
    1315       72191 : ell_reset(GEN E)
    1316       72191 : { gel(E,16) = zerovec(lg(gel(E,16))-1); }
    1317             : 
    1318             : GEN
    1319       72212 : ellchangecurve(GEN e, GEN w)
    1320             : {
    1321       72212 :   pari_sp av = avma;
    1322             :   GEN E;
    1323       72212 :   checkell5(e);
    1324       72212 :   if (equali1(w)) return gcopy(e);
    1325       72205 :   checkcoordch(w);
    1326       72205 :   E = coordch(leafcopy(e), w);
    1327       72205 :   if (lg(E) != 6)
    1328             :   {
    1329       72191 :     ell_reset(E);
    1330       72191 :     switch(ell_get_type(E))
    1331             :     {
    1332          35 :       case t_ELL_Qp: E = ch_Qp(E,e,w); break;
    1333           7 :       case t_ELL_Fp: E = ch_Fp(E,e,w); break;
    1334         119 :       case t_ELL_Fq: E = ch_Fq(E,e,w); break;
    1335       35917 :       case t_ELL_Q:  E = ch_Q(E,e,w);  break;
    1336           7 :       case t_ELL_Rg: E = ch_Rg(E,e,w); break;
    1337             :     }
    1338          14 :   }
    1339       72205 :   return gerepilecopy(av, E);
    1340             : }
    1341             : 
    1342             : /* v o= [1,r,0,0] */
    1343             : static void
    1344      164395 : nf_compose_r(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r)
    1345             : {
    1346      164395 :   GEN v = *vtotal;
    1347             :   GEN U2, R, S, T;
    1348      164395 :   if (gequal0(r)) return;
    1349       95809 :   *e = nf_coordch_r(nf, *e,r);
    1350       95809 :   U2 = nfsqr(nf,gel(v,1)); R = gel(v,2); S = gel(v, 3); T = gel(v, 4);
    1351       95809 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1352       95809 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfmul(nf,S, r)));
    1353             : }
    1354             : /* v o= [1,0,s,0]; never used for s = 0 */
    1355             : static void
    1356      109557 : nf_compose_s(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s)
    1357             : {
    1358      109557 :   GEN v = *vtotal;
    1359             :   GEN U, S;
    1360      109557 :   *e = nf_coordch_s(nf,*e,s);
    1361      109557 :   U = gel(v,1); S = gel(v,3);
    1362      109557 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf, U, s));
    1363      109557 : }
    1364             : /* v o= [1,0,0,t] */
    1365             : static void
    1366      254030 : nf_compose_t(GEN nf ,GEN *vtotal, GEN *e, GEN t)
    1367             : {
    1368      254030 :   GEN v = *vtotal;
    1369             :   GEN U3, U, T;
    1370      254030 :   if (gequal0(t)) return;
    1371       80360 :   *e = nf_coordch_t(nf,*e,t);
    1372       80360 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U, nfsqr(nf,U)); T = gel(v,4);
    1373       80360 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U3, t));
    1374             : }
    1375             : /* v o= [1,r,0,t] */
    1376             : static void
    1377      251846 : nf_compose_rt(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN r, GEN t)
    1378             : {
    1379      251846 :   GEN v = *vtotal;
    1380             :   GEN U2, U, R, S, T;
    1381      251846 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_r(nf, vtotal, e, r); return; }
    1382      171094 :   *e = nf_coordch_rt(nf,*e,r,t);
    1383      171094 :   U = gel(v,1); R = gel(v,2); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1384      171094 :   U2 = nfsqr(nf,U);
    1385      171094 :   gel(v,2) = nfadd(nf,R, nfmul(nf,U2, r));
    1386      171094 :   gel(v,4) = nfadd(nf,T, nfmul(nf,U2, nfadd(nf,nfmul(nf,U, t), nfmul(nf,S, r))));
    1387             : }
    1388             : /* v o= [1,0,s,t] */
    1389             : static void
    1390      184345 : nf_compose_st(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN s, GEN t)
    1391             : {
    1392      184345 :   GEN v = *vtotal;
    1393             :   GEN U3, U, S, T;
    1394      184345 :   if (gequal0(s)) { nf_compose_t(nf, vtotal, e, t); return; }
    1395      122073 :   if (gequal0(t)) { nf_compose_s(nf, vtotal, e, s); return; }
    1396       12516 :   *e = nf_coordch_st(nf, *e,s,t);
    1397       12516 :   U = gel(v,1); U3 = nfmul(nf,U,nfsqr(nf,U)); S = gel(v,3); T = gel(v,4);
    1398       12516 :   gel(v,3) = nfadd(nf, S, nfmul(nf,U, s));
    1399       12516 :   gel(v,4) = nfadd(nf, T, nfmul(nf,U3, t));
    1400             : }
    1401             : 
    1402             : /* v o= [u,0,0,0] */
    1403             : static void
    1404      153132 : nf_compose_u(GEN nf, GEN *vtotal, GEN *e, GEN u, GEN uinv)
    1405             : {
    1406      153132 :   GEN v = *vtotal;
    1407      153132 :   *e = nf_coordch_uinv(nf, *e,uinv); gel(v,1) = nfmul(nf,gel(v,1), u);
    1408      153132 : }
    1409             : 
    1410             : /* X = (x-r)/u^2
    1411             :  * Y = (y - s(x-r) - t) / u^3 */
    1412             : static GEN
    1413         525 : ellchangepoint0(GEN P, GEN v2, GEN v3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1414             : {
    1415             :   GEN a, x, y;
    1416         525 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1417         511 :   x = gel(P,1); y = gel(P,2); a = gsub(x,r);
    1418         511 :   retmkvec2(gmul(v2, a), gmul(v3, gsub(y, gadd(gmul(s,a),t))));
    1419             : }
    1420             : 
    1421             : GEN
    1422         525 : ellchangepoint(GEN x, GEN ch)
    1423             : {
    1424             :   GEN y, v, v2, v3, r, s, t, u;
    1425         525 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1426         525 :   pari_sp av = avma;
    1427             : 
    1428         525 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepoint",x);
    1429         525 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1430         525 :   checkcoordch(ch);
    1431         525 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1432         525 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1433         525 :   v = ginv(u); v2 = gsqr(v); v3 = gmul(v,v2);
    1434         525 :   tx = typ(gel(x,1));
    1435         525 :   if (is_matvec_t(tx))
    1436             :   {
    1437          21 :     y = cgetg(lx,tx);
    1438          42 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1439          21 :       gel(y,i) = ellchangepoint0(gel(x,i),v2,v3,r,s,t);
    1440             :   }
    1441             :   else
    1442         504 :     y = ellchangepoint0(x,v2,v3,r,s,t);
    1443         525 :   return gerepilecopy(av,y);
    1444             : }
    1445             : 
    1446             : /* x = u^2*X + r
    1447             :  * y = u^3*Y + s*u^2*X + t */
    1448             : static GEN
    1449          63 : ellchangepointinv0(GEN P, GEN u2, GEN u3, GEN r, GEN s, GEN t)
    1450             : {
    1451             :   GEN a, X, Y;
    1452          63 :   if (ell_is_inf(P)) return P;
    1453          63 :   X = gel(P,1); Y = gel(P,2); a = gmul(u2,X);
    1454          63 :   return mkvec2(gadd(a, r), gadd(gmul(u3, Y), gadd(gmul(s, a), t)));
    1455             : }
    1456             : GEN
    1457          63 : ellchangepointinv(GEN x, GEN ch)
    1458             : {
    1459             :   GEN y, u, r, s, t, u2, u3;
    1460          63 :   long tx, i, lx = lg(x);
    1461          63 :   pari_sp av = avma;
    1462             : 
    1463          63 :   if (typ(x) != t_VEC) pari_err_TYPE("ellchangepointinv",x);
    1464          63 :   if (equali1(ch)) return gcopy(x);
    1465          63 :   checkcoordch(ch);
    1466          63 :   if (lx == 1) return cgetg(1, t_VEC);
    1467          63 :   u = gel(ch,1); r = gel(ch,2); s = gel(ch,3); t = gel(ch,4);
    1468          63 :   u2 = gsqr(u); u3 = gmul(u,u2);
    1469          63 :   tx = typ(gel(x,1));
    1470          63 :   if (is_matvec_t(tx))
    1471             :   {
    1472           7 :     y = cgetg(lx,tx);
    1473          14 :     for (i=1; i<lx; i++)
    1474           7 :       gel(y,i) = ellchangepointinv0(gel(x,i),u2,u3,r,s,t);
    1475             :   }
    1476             :   else
    1477          56 :     y = ellchangepointinv0(x,u2,u3,r,s,t);
    1478          63 :   return gerepilecopy(av,y);
    1479             : }
    1480             : 
    1481             : GEN
    1482       28504 : elltwist(GEN E, GEN P)
    1483             : {
    1484       28504 :   pari_sp av = avma;
    1485             :   GEN a1, a2, a3, a4, a6;
    1486             :   GEN a, b, c, ac, D, D2;
    1487             :   GEN V;
    1488       28504 :   checkell(E);
    1489       28504 :   if (!P)
    1490             :   {
    1491             :     GEN a4, a6;
    1492       27188 :     checkell_Fq(E);
    1493       27188 :     switch (ell_get_type(E))
    1494             :     {
    1495           0 :       case t_ELL_Fp:
    1496             :         {
    1497           0 :           GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    1498           0 :           Fp_elltwist(gel(e,1), gel(e, 2), p, &a4, &a6);
    1499       27188 :           return gerepilecopy(av, FpV_to_mod(mkvec5(gen_0, gen_0, gen_0, a4, a6), p));
    1500             :         }
    1501       27188 :       case t_ELL_Fq:
    1502       27188 :         return FF_elltwist(E);
    1503             :     }
    1504             :   }
    1505        1316 :   a1 = ell_get_a1(E); a2 = ell_get_a2(E); a3 = ell_get_a3(E);
    1506        1316 :   a4 = ell_get_a4(E); a6 = ell_get_a6(E);
    1507        1316 :   if (typ(P) == t_INT)
    1508             :   {
    1509        1302 :     if (equali1(P))
    1510         322 :       retmkvec5(gcopy(a1),gcopy(a2),gcopy(a3),gcopy(a4),gcopy(a6));
    1511         980 :     P = quadpoly(P);
    1512             :   } else
    1513             :   {
    1514          14 :     if (typ(P) != t_POL) pari_err_TYPE("elltwist",P);
    1515          14 :     if (degpol(P) != 2 )
    1516           0 :       pari_err_DOMAIN("elltwist", "degree(P)", "!=", gen_2, P);
    1517             :   }
    1518         994 :   a = gel(P, 4); b = gel(P, 3); c = gel(P, 2);
    1519         994 :   ac = gmul(a, c);
    1520         994 :   D = gsub(gsqr(b), gmulsg(4, ac));
    1521         994 :   D2 = gsqr(D);
    1522         994 :   V = cgetg(6, t_VEC);
    1523         994 :   gel(V, 1) =  gmul(a1, b);
    1524         994 :   gel(V, 2) =  gsub(gmul(a2, D), gmul(gsqr(a1), ac));
    1525         994 :   gel(V, 3) =  gmul(gmul(a3, b), D);
    1526         994 :   gel(V, 4) =  gsub(gmul(a4, D2), gmul(gmul(gmul(gmulsg(2, a3), a1), ac), D));
    1527         994 :   gel(V, 5) =  gsub(gmul(a6, gmul(D, D2)), gmul(gmul(gsqr(a3), ac), D2));
    1528         994 :   return gerepilecopy(av, V);
    1529             : }
    1530             : 
    1531             : /********************************************************************/
    1532             : /**                      E/Q: MINIMAL TWIST                        **/
    1533             : /**      Cf Ian Connell, Elliptic Curve Handbook, chap. 5          **/
    1534             : /**                http://www.math.mcgill.ca/connell/              **/
    1535             : /********************************************************************/
    1536             : 
    1537             : static long
    1538        3185 : safe_Z_lval(GEN n, ulong p)
    1539        3185 : { return signe(n)==0? -1: Z_lval(n, p); }
    1540             : 
    1541             : /* Twist by d2 = 1,-4,-8,8, to get minimal discriminant at 2 after
    1542             :  * ellminimalmodel / ellQ_minimalu; assume vg = min(3*v4,2*v6,vD) >= 6.
    1543             :  * If non-trivial, v(d2) = 2 or 3 and let t = [(vg+6v(d2))/12].
    1544             :  * Good case if reduction in ellQ_minimalu i.e. t = 2 (v4 < 6 or v6 < 9 or
    1545             :  * vD < 18) or 3 and "d--" does not occur. Minimal model => t = 3 iff
    1546             :  * v4 = 6, v6 = 9 and vD >= 18. Total net effect is
    1547             :  *   v4 += 2v(d2) - 4t, v6 += 3v(d2) - 6t, vD += 6 v(d2) - 12t
    1548             :  * After rescaling in ellQ_minimalu (c4 >>= 4t, c6 >>= 6t) we need
    1549             :  *   c6 % 4 = 3 OR  (v4 >= 4 AND (v6 >= 5 or c6 % 32 = 8)) */
    1550             : static long
    1551         392 : twist2(GEN c4, GEN c6, GEN disc, long vg)
    1552             : { /* v4 >= 4, v6 >= 3 (and c6 = 0,8 mod 32). After twist + minimization,
    1553             :    * either same condition OR v(C4) = 0, C6 = 0,3 mod 4 */
    1554             :   long v4, v6, vD;
    1555             : 
    1556         392 :   if (vg == 18) /* v4=6, v6=9, vD>=18; only case with t = 3 */
    1557          56 :     return (umodi2n(c6, 11)>>9) == 1 ? -8: 8; /* need C6 % 4 = 3 */
    1558             : 
    1559             :   /* 100 = oo, any number >= 8 would do */
    1560         336 :   v4 = signe(c4)? vali(c4): 100; if (v4 == 5) return 1;
    1561             :   /* 100 = oo, any number > 9 would do */
    1562         329 :   v6 = signe(c6)? vali(c6): 100; if (v6 == 7) return 1;
    1563             : 
    1564             :   /* handle case v(DISC) = 0 or v(C4) = 0 after twist, only case with d2 = -4 */
    1565         329 :   if (vg == 12 && ((v4==4 && v6==6) || (v4>=8 && v6==9))) return -4;
    1566             : 
    1567             :   /* Now, d2 = 1 OR v(d2) = 3, t = 2 => v4 -= 2, v6 -= 3, vD -= 6 */
    1568         266 :   if (v4 < 6 || v6 < 6) return 1; /* v(C4) >= 4, v(C6) >= 3 */
    1569         175 :   vD = vali(disc);
    1570         175 :   if (v6==6 && vD==6 && (umodi2n(c6,8)>>6) == 1) return 8; /* C6 % 32 = 8 */
    1571         168 :   return -8;
    1572             : }
    1573             : 
    1574             : /* Return D such that E_D has minimal discriminant.
    1575             :    It also has minimal conductor in Z[1/2]
    1576             : */
    1577             : GEN
    1578         637 : ellminimaltwist(GEN e)
    1579             : {
    1580         637 :   pari_sp av = avma;
    1581         637 :   GEN c4, c6, disc, g, N, M, F, E, D = gen_1;
    1582             :   long i, lF;
    1583         637 :   checkell_Q(e);
    1584         637 :   E = ellminimalmodel(e, NULL);
    1585         637 :   c4 = ell_get_c4(E);
    1586         637 :   c6 = ell_get_c6(E);
    1587         637 :   disc = ell_get_disc(E);
    1588         637 :   g = gcdii(disc, sqri(c6));
    1589         637 :   ellQ_get_Nfa(E, &N, &M);
    1590         637 :   F = gel(M, 1); lF = lg(F);
    1591             :   /* on twist by d, (c4,c6,D,g) -> (d^2 c4, d^3 c6, d^6 D, d^6 g),
    1592             :    * then apply ellQ_minimalu(). Since model is minimal, v(g) < 12 unless p=3
    1593             :    * and v(g) < 14 or p = 2 and v(g) <= 18 */
    1594        2366 :   for(i = 1; i < lF; i++)
    1595             :   {
    1596        1729 :     GEN p = gel(F, i);
    1597        1729 :     long vg = Z_pval(g,p), d2;
    1598        1729 :     if (vg < 6) continue;
    1599             :     /* twist by fund. discriminant d2; in ellQ_minimalu,
    1600             :      * we have v(g) = vg + 6*v(d2) */
    1601        1197 :     switch(itou_or_0(p))
    1602             :     {
    1603         441 :       default: /* p > 3, 6 <= v(g) < 12 => v(D) -= 6 */
    1604         441 :         D = mulii(D, (mod4(p)==1)? p: negi(p));
    1605         441 :         break;
    1606         364 :       case 3: /* bad case: v(final_c6) = 2 => no reduction; else v(D) -= 6 */
    1607         364 :         if (safe_Z_lval(c6,3) != 5) D = mulis(D, -3);
    1608         364 :         break;
    1609         392 :       case 2:
    1610         392 :         d2 = twist2(c4,c6,disc,vg);
    1611         392 :         if (d2 != 1) D = mulis(D,d2);
    1612         392 :         break;
    1613             :     }
    1614             :   }
    1615         637 :   obj_free(E);
    1616         637 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1617             : }
    1618             : 
    1619             : /*
    1620             : Reference:
    1621             : William A. Stein and Mark Watkins
    1622             : A Database of Elliptic Curves-First Report
    1623             : ANTS 5
    1624             : <http://modular.math.washington.edu/papers/stein-watkins/ants.pdf>
    1625             : */
    1626             : static GEN localred_23(GEN e, long p);
    1627             : GEN
    1628         371 : ellminimaltwistcond(GEN e)
    1629             : {
    1630         371 :   pari_sp av = avma;
    1631         371 :   GEN D = ellminimaltwist(e);
    1632         371 :   GEN eD = ellinit(elltwist(e, D), NULL, DEFAULTPREC);
    1633         371 :   GEN R = localred_23(ellintegralmodel_i(eD,NULL), 2);
    1634         371 :   long f = itos(gel(R,1)), v = vali(D);
    1635         371 :   if (f==4) D = negi(v==3 ? D: shifti(D, v==0? 2: -2));
    1636         357 :   else if (f==6)
    1637             :   {
    1638             :     long s, t;
    1639          21 :     if (v < 3) s = v==0? 3: 1;
    1640             :     else
    1641             :     {
    1642          14 :       t = (v==3 && mod32(D) == 8)? 1: -1;
    1643          14 :       s = signe(D)==t ? -3: -1;
    1644             :     }
    1645          21 :     D = shifti(D, s);
    1646             :   }
    1647         371 :   return gerepileuptoleaf(av, D);
    1648             : }
    1649             : 
    1650             : GEN
    1651         448 : ellminimaltwist0(GEN e, long flag)
    1652             : {
    1653         448 :   switch(flag)
    1654             :   {
    1655         266 :     case 0: return ellminimaltwist(e);
    1656         182 :     case 1: return ellminimaltwistcond(e);
    1657             :   }
    1658           0 :   pari_err_FLAG("ellminimaltwist");
    1659             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1660             : }
    1661             : 
    1662             : static long
    1663           7 : ellexpo(GEN E)
    1664             : {
    1665           7 :   long i, f, e = -(long)HIGHEXPOBIT;
    1666          42 :   for (i=1; i<=5; i++)
    1667             :   {
    1668          35 :     f = gexpo(gel(E,i));
    1669          35 :     if (f > e) e = f;
    1670             :   }
    1671           7 :   return e;
    1672             : }
    1673             : 
    1674             : /* Exactness of lhs and rhs in the following depends in non-obvious ways
    1675             :  * on the coeffs of the curve as well as on the components of the point z.
    1676             :  * Thus if e is exact, with a1==0, and z has exact y coordinate only, the
    1677             :  * lhs will be exact but the rhs won't. */
    1678             : int
    1679       16065 : oncurve(GEN e, GEN z)
    1680             : {
    1681             :   GEN LHS, RHS, x;
    1682             :   long pl, pr, ex, expx;
    1683             :   pari_sp av;
    1684             : 
    1685       16065 :   checkellpt(z); if (ell_is_inf(z)) return 1; /* oo */
    1686       15988 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF) z = nfVtoalg(ellnf_get_nf(e), z);
    1687       15988 :   av = avma;
    1688       15988 :   LHS = ec_LHS_evalQ(e,z);
    1689       15988 :   RHS = ec_f_evalx(e,gel(z,1)); x = gsub(LHS,RHS);
    1690       15988 :   if (gequal0(x)) return gc_bool(av,1);
    1691          21 :   pl = precision(LHS);
    1692          21 :   pr = precision(RHS);
    1693          21 :   if (!pl && !pr) return gc_bool(av,0); /* both of LHS, RHS are exact */
    1694             :   /* at least one of LHS,RHS is inexact */
    1695           7 :   ex = pr? gexpo(RHS): gexpo(LHS); /* don't take exponent of exact 0 */
    1696           7 :   if (!pr || (pl && pl < pr)) pr = pl; /* min among nonzero elts of {pl,pr} */
    1697           7 :   expx = gexpo(x);
    1698           7 :   pr = (expx < ex - prec2nbits(pr) + 15
    1699           7 :      || expx < ellexpo(e) - prec2nbits(pr) + 5);
    1700           7 :   return gc_bool(av,pr);
    1701             : }
    1702             : 
    1703             : GEN
    1704       17213 : ellisoncurve(GEN e, GEN x)
    1705             : {
    1706       17213 :   long i, tx = typ(x), lx;
    1707             : 
    1708       17213 :   checkell(e);
    1709       17213 :   if (!is_vec_t(tx)) pari_err_TYPE("ellisoncurve [point]", x);
    1710       17213 :   lx = lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,tx);
    1711       17213 :   tx = typ(gel(x,1));
    1712       17213 :   if (is_vec_t(tx))
    1713             :   {
    1714        1687 :     GEN z = cgetg(lx,tx);
    1715        3514 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = ellisoncurve(e,gel(x,i));
    1716        1687 :     return z;
    1717             :   }
    1718       15526 :   return oncurve(e, x)? gen_1: gen_0;
    1719             : }
    1720             : 
    1721             : /* y1 = y2 or -LHS0-y2 */
    1722             : static GEN
    1723        1785 : slope_samex(GEN e, GEN x, GEN y1, GEN y2)
    1724             : {
    1725             :   GEN dy,dx;
    1726        1785 :   if (y1 != y2)
    1727             :   {
    1728             :     int eq;
    1729         259 :     if (precision(y1) || precision(y2))
    1730           7 :       eq = (gexpo(gadd(ec_h_evalx(e,x),gadd(y1,y2))) >= gexpo(y1));
    1731             :     else
    1732         252 :       eq = gequal(y1,y2);
    1733         259 :     if (!eq) return NULL;
    1734             :   }
    1735        1778 :   dx = ec_dmFdy_evalQ(e,mkvec2(x,y1));
    1736        1778 :   if (gequal0(dx)) return NULL;
    1737        1743 :   dy = gadd(gsub(ell_get_a4(e),gmul(ell_get_a1(e),y1)),
    1738             :             gmul(x,gadd(gmul2n(ell_get_a2(e),1),gmulsg(3,x))));
    1739        1743 :   return gdiv(dy,dx);
    1740             : }
    1741             : 
    1742             : GEN
    1743       13384 : elladd(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1744             : {
    1745             :   GEN s, z, x, y, x1, x2, y1, y2;
    1746       13384 :   pari_sp av = avma;
    1747             : 
    1748       13384 :   checkell(e); checkellpt(z1); checkellpt(z2);
    1749       13384 :   if (ell_is_inf(z1)) return gcopy(z2);
    1750       10983 :   if (ell_is_inf(z2)) return gcopy(z1);
    1751             : 
    1752        9331 :   x1 = gel(z1,1); y1 = gel(z1,2);
    1753        9331 :   x2 = gel(z2,1); y2 = gel(z2,2);
    1754        9331 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1755             :   {
    1756         539 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1757         539 :     x1 = nftoalg(nf, x1);
    1758         539 :     x2 = nftoalg(nf, x2);
    1759         539 :     y1 = nftoalg(nf, y1);
    1760         539 :     y2 = nftoalg(nf, y2);
    1761             :   }
    1762        9331 :   if (cx_approx_equal(x1,x2))
    1763             :   {
    1764        1785 :     s = slope_samex(e, x1, y1, y2);
    1765        1785 :     if (!s) { set_avma(av); return ellinf(); }
    1766             :   }
    1767             :   else
    1768        7546 :     s = gdiv(gsub(y2,y1), gsub(x2,x1));
    1769        9289 :   x = gsub(gmul(s,gadd(s,ell_get_a1(e))), gadd(gadd(x1,x2),ell_get_a2(e)));
    1770        9289 :   y = gadd(gadd(y1, ec_h_evalx(e,x)), gmul(s,gsub(x,x1)));
    1771        9289 :   z = cgetg(3,t_VEC);
    1772        9289 :   gel(z,1) = gcopy(x);
    1773        9289 :   gel(z,2) = gneg(y); return gerepileupto(av, z);
    1774             : }
    1775             : 
    1776             : static GEN
    1777          49 : ellneg_i(GEN e, GEN z)
    1778             : {
    1779             :   GEN t, x, y;
    1780          49 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1781          49 :   x = gel(z,1);
    1782          49 :   y = gel(z,2);
    1783          49 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)
    1784             :   {
    1785           0 :     GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    1786           0 :     x = nftoalg(nf,x);
    1787           0 :     y = nftoalg(nf,y);
    1788             :   }
    1789          49 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1790          49 :   gel(t,1) = x;
    1791          49 :   gel(t,2) = gneg_i(gadd(y, ec_h_evalx(e,x)));
    1792          49 :   return t;
    1793             : }
    1794             : 
    1795             : GEN
    1796         994 : ellneg(GEN e, GEN z)
    1797             : {
    1798             :   pari_sp av;
    1799             :   GEN t, y;
    1800         994 :   checkell(e); checkellpt(z);
    1801         994 :   if (ell_is_inf(z)) return z;
    1802         994 :   t = cgetg(3,t_VEC);
    1803         994 :   gel(t,1) = gcopy(gel(z,1));
    1804         994 :   av = avma;
    1805         994 :   y = gneg(gadd(gel(z,2), ec_h_evalx(e,gel(z,1))));
    1806         994 :   gel(t,2) = gerepileupto(av, y);
    1807         994 :   return t;
    1808             : }
    1809             : 
    1810             : GEN
    1811          49 : ellsub(GEN e, GEN z1, GEN z2)
    1812             : {
    1813          49 :   pari_sp av = avma;
    1814          49 :   checkell(e); checkellpt(z2);
    1815          49 :   return gerepileupto(av, elladd(e, z1, ellneg_i(e,z2)));
    1816             : }
    1817             : 
    1818             : /* E an ell, x a scalar */
    1819             : static GEN
    1820        1484 : ellordinate_i(GEN E, GEN x, long prec)
    1821             : {
    1822        1484 :   pari_sp av = avma;
    1823        1484 :   GEN a, b, D, d, y, p, nf = NULL;
    1824             : 
    1825        1484 :   if (ell_get_type(E) == t_ELL_NF)
    1826             :   {
    1827         532 :     nf = ellnf_get_nf(E);
    1828         532 :     x = nftoalg(nf,x);
    1829             :   }
    1830        1484 :   a = ec_f_evalx(E,x);
    1831        1484 :   b = ec_h_evalx(E,x);
    1832        1484 :   D = gadd(gsqr(b), gmul2n(a,2));
    1833             :   /* solve y*(y+b) = a */
    1834        1484 :   if (gequal0(D)) {
    1835         336 :     if (ell_get_type(E) == t_ELL_Fq && absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1836           0 :       retmkvec( FF_sqrt(a) );
    1837         336 :     b = gneg_i(b); y = cgetg(2,t_VEC);
    1838         336 :     gel(y,1) = gmul2n(b,-1);
    1839         336 :     return gerepileupto(av,y);
    1840             :   }
    1841             :   /* D != 0 */
    1842        1148 :   switch(ell_get_type(E))
    1843             :   {
    1844          28 :     case t_ELL_Fp: /* imply p!=2 */
    1845          28 :       p = ellff_get_p(E);
    1846          28 :       D = gel(D,2);
    1847          28 :       if (kronecker(D, p) < 0) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1848           7 :       d = Fp_sqrt(D, p);
    1849           7 :       break;
    1850         217 :     case t_ELL_Fq:
    1851         217 :       if (absequaliu(ellff_get_p(E),2))
    1852             :       {
    1853          77 :         GEN F = FFX_roots(mkpoln(3, gen_1, b, a), D);
    1854          77 :         if (lg(F) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1855          28 :         return gerepileupto(av, F);
    1856             :       }
    1857         140 :       if (!FF_issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1858         105 :       break;
    1859         357 :     case t_ELL_Q:
    1860         357 :       if (typ(x) == t_COMPLEX) { d = gsqrt(D, prec); break; }
    1861         350 :       if (!issquareall(D,&d)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1862         266 :       break;
    1863             : 
    1864         525 :     case t_ELL_NF:
    1865             :     {
    1866         525 :       GEN T = mkpoln(3, gen_1, gen_0, gneg(D));
    1867         525 :       setvarn(T, fetch_var_higher());
    1868         525 :       d = nfroots(nf, T);
    1869         525 :       delete_var();
    1870         525 :       if (lg(d) == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    1871         511 :       d = gel(d,1);
    1872         511 :       break;
    1873             :     }
    1874             : 
    1875          14 :     case t_ELL_Qp:
    1876          14 :       p = ellQp_get_p(E);
    1877          14 :       D = cvtop(D, p, ellQp_get_prec(E));
    1878          14 :       if (!issquare(D)) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    1879          14 :       d = Qp_sqrt(D);
    1880          14 :       break;
    1881             : 
    1882           7 :     default:
    1883           7 :       d = gsqrt(D,prec);
    1884             :   }
    1885         917 :   a = gsub(d,b); y = cgetg(3,t_VEC);
    1886         917 :   gel(y,1) = gmul2n(a, -1);
    1887         917 :   gel(y,2) = gsub(gel(y,1),d);
    1888         917 :   return gerepileupto(av,y);
    1889             : }
    1890             : 
    1891             : GEN
    1892        1484 : ellordinate(GEN e, GEN x, long prec)
    1893             : {
    1894        1484 :   checkell(e);
    1895        1484 :   if (is_matvec_t(typ(x)))
    1896             :   {
    1897             :     long i, lx;
    1898           0 :     GEN v = cgetg_copy(x, &lx);
    1899           0 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(v,i) = ellordinate(e,gel(x,i),prec);
    1900           0 :     return v;
    1901             :   }
    1902        1484 :   return ellordinate_i(e, x, prec);
    1903             : }
    1904             : 
    1905             : GEN
    1906      243978 : ellrandom(GEN E)
    1907             : {
    1908             :   GEN fg;
    1909      243978 :   checkell_Fq(E);
    1910      243978 :   fg = ellff_get_field(E);
    1911      243978 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1912      243950 :     return FF_ellrandom(E);
    1913             :   else
    1914             :   {
    1915          28 :     pari_sp av = avma;
    1916          28 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    1917          28 :     GEN P = random_FpE(gel(e,1),gel(e,2),p);
    1918          28 :     P = FpE_to_mod(FpE_changepoint(P,gel(e,3),p),p);
    1919          28 :     return gerepileupto(av, P);
    1920             :   }
    1921             : }
    1922             : 
    1923             : /* n t_QUAD or t_COMPLEX, P != [0] */
    1924             : static GEN
    1925          14 : ellmul_CM(GEN e, GEN P, GEN n)
    1926             : {
    1927          14 :   GEN p1p, q1p, x, y, p0, p1, q0, q1, z1, z2, grdx, b2ov12, N = gnorm(n);
    1928             :   long ln, vn;
    1929             : 
    1930          14 :   if (typ(N) != t_INT)
    1931           0 :     pari_err_TYPE("ellmul (non integral CM exponent)",N);
    1932          14 :   ln = itos_or_0(shifti(addiu(N, 1UL), 3));
    1933          14 :   if (!ln) pari_err_OVERFLOW("ellmul_CM [norm too large]");
    1934          14 :   vn = ((ln>>1)-4)>>2;
    1935          14 :   z1 = ellwpseries(e, 0, ln);
    1936          14 :   z2 = ser_unscale(z1, n);
    1937          14 :   p0 = gen_0; p1 = gen_1;
    1938          14 :   q0 = gen_1; q1 = gen_0;
    1939             :   do
    1940             :   {
    1941          21 :     GEN p2,q2, ss = gen_0;
    1942             :     do
    1943             :     {
    1944          28 :       long ep = (-valp(z2)) >> 1;
    1945          28 :       ss = gadd(ss, gmul(gel(z2,2), pol_xnall(ep, 0)));
    1946          28 :       z2 = gsub(z2, gmul(gel(z2,2), gpowgs(z1, ep)));
    1947             :     }
    1948          28 :     while (valp(z2) <= 0);
    1949          21 :     p2 = gadd(p0, gmul(ss,p1)); p0 = p1; p1 = p2;
    1950          21 :     q2 = gadd(q0, gmul(ss,q1)); q0 = q1; q1 = q2;
    1951          21 :     if (!signe(z2)) break;
    1952           7 :     z2 = ginv(z2);
    1953             :   }
    1954           7 :   while (degpol(p1) < vn);
    1955          14 :   if (degpol(p1) > vn || signe(z2))
    1956           0 :     pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]", n);
    1957          14 :   q1p = RgX_deriv(q1);
    1958          14 :   b2ov12 = gdivgs(ell_get_b2(e), 12);
    1959          14 :   grdx = gadd(gel(P,1), b2ov12); /* x(P) + b2/12 */
    1960          14 :   q1 = poleval(q1, grdx);
    1961          14 :   if (gequal0(q1)) return ellinf();
    1962             : 
    1963          14 :   p1p = RgX_deriv(p1);
    1964          14 :   p1 = poleval(p1, grdx);
    1965          14 :   p1p = poleval(p1p, grdx);
    1966          14 :   q1p = poleval(q1p, grdx);
    1967             : 
    1968          14 :   x = gdiv(p1,q1);
    1969          14 :   y = gdiv(gsub(gmul(p1p,q1), gmul(p1,q1p)), gmul(n,gsqr(q1)));
    1970          14 :   x = gsub(x, b2ov12);
    1971          14 :   y = gsub( gmul(ec_dmFdy_evalQ(e,P), y), ec_h_evalx(e,x));
    1972          14 :   return mkvec2(x, gmul2n(y,-1));
    1973             : }
    1974             : 
    1975             : static GEN
    1976         637 : _sqr(void *e, GEN x) { return elladd((GEN)e, x, x); }
    1977             : static GEN
    1978         196 : _mul(void *e, GEN x, GEN y) { return elladd((GEN)e, x, y); }
    1979             : 
    1980             : static GEN
    1981      248502 : ellffmul(GEN E, GEN P, GEN n)
    1982             : {
    1983      248502 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    1984      248502 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    1985      247366 :     return FF_ellmul(E, P, n);
    1986             :   else
    1987             :   {
    1988        1136 :     pari_sp av = avma;
    1989        1136 :     GEN p = fg, e = ellff_get_a4a6(E), Q;
    1990        1136 :     GEN Pp = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(P, p), gel(e,3), p);
    1991        1136 :     GEN Qp = FpE_mul(Pp, n, gel(e,1), p);
    1992        1048 :     Q = FpE_to_mod(FpE_changepoint(Qp, gel(e,3), p), p);
    1993        1048 :     return gerepileupto(av, Q);
    1994             :   }
    1995             : }
    1996             : /* [n] z, n integral */
    1997             : static GEN
    1998      249013 : ellmul_Z(GEN e, GEN z, GEN n)
    1999             : {
    2000             :   long s;
    2001      249013 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2002      249013 :   if (ell_over_Fq(e)) return ellffmul(e,z,n);
    2003         511 :   s = signe(n);
    2004         511 :   if (!s) return ellinf();
    2005         462 :   if (s < 0) z = ellneg_i(e,z);
    2006         462 :   if (is_pm1(n)) return z;
    2007         392 :   return gen_pow(z, n, (void*)e, &_sqr, &_mul);
    2008             : }
    2009             : 
    2010             : /* x a t_REAL, try to round it to an integer */
    2011             : enum { OK, LOW_PREC, NO };
    2012             : static long
    2013          42 : myroundr(GEN *px)
    2014             : {
    2015          42 :   GEN x = *px;
    2016             :   long e;
    2017          42 :   if (bit_prec(x) - expo(x) < 5) return LOW_PREC;
    2018          42 :   *px = grndtoi(x, &e);
    2019          42 :   if (e >= -5) return NO;
    2020          42 :   return OK;
    2021             : }
    2022             : 
    2023             : /* E has CM by Q, t_COMPLEX or t_QUAD. Return q such that E has CM by Q/q
    2024             :  * or gen_1 (couldn't find q > 1)
    2025             :  * or NULL (doesn't have CM by Q) */
    2026             : static GEN
    2027          14 : CM_factor(GEN E, GEN Q)
    2028             : {
    2029             :   GEN w, tau, D, v, x, y, F, dF, q, r, fk, fkb, fkc;
    2030             :   long prec;
    2031             : 
    2032          14 :   if (ell_get_type(E) != t_ELL_Q) return gen_1;
    2033          14 :   switch(typ(Q))
    2034             :   {
    2035           0 :     case t_COMPLEX:
    2036           0 :       D = utoineg(4);
    2037           0 :       v = gel(Q,2);
    2038           0 :       break;
    2039          14 :     case t_QUAD:
    2040          14 :       D = quad_disc(Q);
    2041          14 :       v = gel(Q,3);
    2042          14 :       break;
    2043           0 :     default:
    2044           0 :       return NULL; /*-Wall*/
    2045             :   }
    2046             :   /* disc Q = v^2 D, D < 0 fundamental */
    2047          14 :   w = ellR_omega(E, DEFAULTPREC + nbits2nlong(expi(D)));
    2048          14 :   tau = gdiv(gel(w,2), gel(w,1));
    2049          14 :   prec = precision(tau);
    2050             :   /* disc tau = -4 k^2 (Im tau)^2 for some integral k
    2051             :    * Assuming that E has CM by Q, then disc Q / disc tau = f^2 is a square.
    2052             :    * Compute f*k */
    2053          14 :   x = gel(tau,1);
    2054          14 :   y = gel(tau,2); /* tau = x + Iy */
    2055          14 :   fk = gmul(gdiv(v, gmul2n(y, 1)), sqrtr_abs(itor(D, prec)));
    2056          14 :   switch(myroundr(&fk))
    2057             :   {
    2058           0 :     case NO: return NULL;
    2059           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2060             :   }
    2061          14 :   fk = absi_shallow(fk);
    2062             : 
    2063          14 :   fkb = gmul(fk, gmul2n(x,1));
    2064          14 :   switch(myroundr(&fkb))
    2065             :   {
    2066           0 :     case NO: return NULL;
    2067           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2068             :   }
    2069             : 
    2070          14 :   fkc = gmul(fk, cxnorm(tau));
    2071          14 :   switch(myroundr(&fkc))
    2072             :   {
    2073           0 :     case NO: return NULL;
    2074           0 :     case LOW_PREC: return gen_1;
    2075             :   }
    2076             : 
    2077             :   /* tau is a root of fk (X^2 - b X + c) \in Z[X],  */
    2078          14 :   F = Q_primpart(mkvec3(fk, fkb, fkc));
    2079          14 :   dF = qfb_disc(F); /* = disc tau, E has CM by orders of disc dF q^2, all q */
    2080          14 :   q = dvmdii(dF, D, &r);
    2081          14 :   if (r != gen_0 || !Z_issquareall(q, &q)) return NULL;
    2082             :   /* disc(Q) = disc(tau) (v / q)^2 */
    2083          14 :   v = dvmdii(absi_shallow(v), q, &r);
    2084          14 :   if (r != gen_0) return NULL;
    2085          14 :   return is_pm1(v)? gen_1: v; /* E has CM by Q/q: [Q] = [q] o [Q/q] */
    2086             : }
    2087             : 
    2088             : /* [a + w] z, a integral, w pure imaginary */
    2089             : static GEN
    2090          14 : ellmul_CM_aux(GEN e, GEN z, GEN a, GEN w)
    2091             : {
    2092             :   GEN A, B, q;
    2093          14 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_Z",a);
    2094          14 :   q = CM_factor(e, w);
    2095          14 :   if (!q) pari_err_TYPE("ellmul [not a complex multiplication]",w);
    2096          14 :   if (q != gen_1) w = gdiv(w, q);
    2097             :   /* compute [a + q w] z, z has CM by w */
    2098          14 :   if (typ(w) == t_QUAD && is_pm1(gel(gel(w,1), 3)))
    2099             :   { /* replace w by w - u, u in Z, so that N(w-u) is minimal
    2100             :      * N(w - u) = N w - Tr w u + u^2, minimal for u = Tr w / 2 */
    2101           7 :     GEN u = gtrace(w);
    2102           7 :     if (typ(u) != t_INT) pari_err_TYPE("ellmul_CM",w);
    2103           7 :     u = shifti(u, -1);
    2104           7 :     if (signe(u))
    2105             :     {
    2106           0 :       w = gsub(w, u);
    2107           0 :       a = addii(a, mulii(q,u));
    2108             :     }
    2109             :     /* [a + w]z = [(a + qu)] z + [q] [(w - u)] z */
    2110             :   }
    2111          14 :   A = ellmul_Z(e,z,a);
    2112          14 :   B = ellmul_CM(e,z,w);
    2113          14 :   if (q != gen_1) B = ellmul_Z(e, B, q);
    2114          14 :   return elladd(e, A, B);
    2115             : }
    2116             : GEN
    2117      249076 : ellmul(GEN e, GEN z, GEN n)
    2118             : {
    2119      249076 :   pari_sp av = avma;
    2120             : 
    2121      249076 :   checkell(e); checkellpt(z);
    2122      249069 :   if (ell_is_inf(z)) return ellinf();
    2123      249013 :   switch(typ(n))
    2124             :   {
    2125      248999 :     case t_INT: return gerepilecopy(av, ellmul_Z(e,z,n));
    2126          14 :     case t_QUAD: {
    2127          14 :       GEN pol = gel(n,1), a = gel(n,2), b = gel(n,3);
    2128          14 :       if (signe(gel(pol,2)) < 0) pari_err_TYPE("ellmul_CM",n); /* disc > 0 ? */
    2129          14 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkquad(pol, gen_0,b)));
    2130             :     }
    2131           0 :     case t_COMPLEX: {
    2132           0 :       GEN a = gel(n,1), b = gel(n,2);
    2133           0 :       return gerepileupto(av, ellmul_CM_aux(e,z,a,mkcomplex(gen_0,b)));
    2134             :     }
    2135             :   }
    2136           0 :   pari_err_TYPE("ellmul (non integral, non CM exponent)",n);
    2137             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2138             : }
    2139             : 
    2140             : /********************************************************************/
    2141             : /**                                                                **/
    2142             : /**                       Periods                                  **/
    2143             : /**                                                                **/
    2144             : /********************************************************************/
    2145             : 
    2146             : /* References:
    2147             :   The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic logarithms
    2148             :   John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914
    2149             : */
    2150             : 
    2151             : static GEN
    2152        4805 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
    2153             : {
    2154        4805 :   GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
    2155        4805 :   GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
    2156        4805 :   retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
    2157             : }
    2158             : 
    2159             : static GEN
    2160        3306 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
    2161             : {
    2162        3306 :   pari_sp av = avma;
    2163        3306 :   GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPRECWORD);
    2164        3306 :   GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
    2165        3306 :   GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
    2166        3306 :   return gerepileupto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
    2167             : }
    2168             : 
    2169             : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
    2170             :  * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
    2171             :  * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
    2172             : static GEN
    2173        4805 : doellR_omega(GEN E, long prec)
    2174             : {
    2175        4805 :   pari_sp av = avma;
    2176             :   GEN roots, d2, z, a, b, c;
    2177        4805 :   if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
    2178        1499 :   roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPRECWORD);
    2179        1499 :   d2 = gel(roots,5);
    2180        1499 :   z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
    2181        1499 :   a = gel(z,1); /* >= 0 */
    2182        1499 :   b = gel(z,2);
    2183        1499 :   c = gabs(z, prec);
    2184        1499 :   z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
    2185        1499 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
    2186             : }
    2187             : static GEN
    2188          70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
    2189          70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPRECWORD); return elleta(w, prec); }
    2190             : 
    2191             : GEN
    2192        6286 : ellR_omega(GEN E, long prec)
    2193        6286 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
    2194             : GEN
    2195          84 : ellR_eta(GEN E, long prec)
    2196          84 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
    2197             : GEN
    2198        6191 : ellR_roots(GEN E, long prec)
    2199        6191 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ROOTS, &doellR_roots, prec); }
    2200             : 
    2201             : GEN
    2202        2450 : ellR_area(GEN E, long prec)
    2203             : {
    2204        2450 :   pari_sp av = avma;
    2205             :   GEN w, w1, w2, a,b,c,d;
    2206        2450 :   w = ellR_omega(E, prec);
    2207        2450 :   w1 = gel(w,1); a = real_i(w1); b = imag_i(w1);
    2208        2450 :   w2 = gel(w,2); c = real_i(w2); d = imag_i(w2);
    2209        2450 :   return gerepileupto(av, gabs(gsub(gmul(a,d),gmul(b,c)), prec));
    2210             : }
    2211             : 
    2212             : /********************************************************************/
    2213             : /**                                                                **/
    2214             : /**                       ELLIPTIC FUNCTIONS                       **/
    2215             : /**                                                                **/
    2216             : /********************************************************************/
    2217             : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
    2218             :  * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
    2219             : static GEN
    2220          14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
    2221             : {
    2222          14 :   GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
    2223          14 :   GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
    2224          14 :   GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
    2225          14 :   GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
    2226          14 :   GEN z = gel(om,2);
    2227          14 :   if (gcmp(d1, d2) <= 0)
    2228           0 :   { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
    2229             :   else
    2230          14 :   { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
    2231          14 :   return gmul2n(z, -1);
    2232             : }
    2233             : 
    2234             : static GEN
    2235          35 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
    2236             : {
    2237          35 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2238          35 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2239          35 :   if (gequal0(y0))
    2240           0 :     return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
    2241             :   else
    2242             :   {
    2243          35 :     GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
    2244          35 :     GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
    2245          35 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2246          35 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2247          35 :     GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
    2248             :     /* |a+b| < |a-b| */
    2249          35 :     if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
    2250          35 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2251             :   }
    2252             : }
    2253             : 
    2254             : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
    2255             : static GEN
    2256           0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
    2257             : {
    2258           0 :   GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2259           0 :   if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
    2260             :   else
    2261             :   {
    2262           0 :     GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2263           0 :     GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
    2264           0 :     GEN a = gsqrt(d2,prec);
    2265           0 :     GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
    2266           0 :     GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
    2267           0 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
    2268           0 :     GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
    2269           0 :     return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
    2270             :   }
    2271             : }
    2272             : 
    2273             : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
    2274             : static GEN
    2275          21 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
    2276             : {
    2277          21 :   GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPRECWORD);
    2278          21 :   GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
    2279          21 :   if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
    2280           7 :   e1 = gel(R,1);
    2281           7 :   e2 = gel(R,2);
    2282           7 :   e3 = gel(R,3);
    2283           7 :   d2 = gel(R,5);
    2284           7 :   d3 = gel(R,6);
    2285           7 :   a = gsqrt(d2,prec);
    2286           7 :   b = gsqrt(d3,prec);
    2287           7 :   if (gcmp(x0,e1)>0) {
    2288           7 :     GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
    2289           7 :     GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
    2290           7 :     return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
    2291             :   } else {
    2292           0 :     GEN om = ellR_omega(E,prec);
    2293           0 :     GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
    2294           0 :     GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
    2295           0 :     return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
    2296             :   }
    2297             : }
    2298             : 
    2299             : static void
    2300           7 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
    2301             : {
    2302           7 :   if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
    2303           7 :     pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
    2304           0 :   pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
    2305           0 : }
    2306             : static GEN
    2307         161 : get_r0(GEN E, long prec)
    2308             : {
    2309         161 :   GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
    2310         161 :   return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
    2311             : }
    2312             : static GEN
    2313         112 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
    2314             : {
    2315         112 :   pari_sp av = avma;
    2316             :   GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
    2317             :   long vq, vt, Q, R;
    2318         112 :   if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
    2319         105 :   ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
    2320         105 :   u = ellQp_u(E, prec);
    2321         105 :   q = ellQp_q(E, prec);
    2322         105 :   x = gel(P,1);
    2323         105 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2324         105 :   c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
    2325         105 :   if (typ(c0) != t_PADIC) pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
    2326          98 :   r = gsub(a,b);
    2327          98 :   ar = gmul(a, r);
    2328          98 :   if (gequal0(c0))
    2329             :   {
    2330           7 :     x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
    2331           7 :     if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
    2332             :   }
    2333             :   else
    2334             :   {
    2335          91 :     delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
    2336          91 :     t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
    2337          91 :     if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
    2338          84 :     x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
    2339             :   }
    2340          91 :   y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1))));
    2341          91 :   Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
    2342             : 
    2343          91 :   t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
    2344          91 :   t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
    2345             :   /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
    2346          91 :   if (typ(t) == t_PADIC)
    2347          56 :     vt = valp(t);
    2348             :   else
    2349          35 :     vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
    2350          91 :   vq = valp(q); /* > 0 */
    2351          91 :   Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
    2352          91 :   if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
    2353          91 :   if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
    2354          91 :   return gerepileupto(av, t);
    2355             : }
    2356             : 
    2357             : static GEN
    2358          56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
    2359             : {
    2360          56 :   pari_sp av = avma;
    2361             :   GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
    2362             :   long v;
    2363          56 :   if (gequal1(t)) return ellinf();
    2364             : 
    2365          56 :   AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
    2366          56 :   u = ellQp_u(E,prec);
    2367          56 :   u2= ellQp_u2(E,prec);
    2368          56 :   x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
    2369          56 :   y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
    2370          56 :   Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
    2371          56 :   r0 = get_r0(E, prec);
    2372             : 
    2373          56 :   ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
    2374          56 :   x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
    2375          56 :   s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
    2376          56 :   y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
    2377          56 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(x0,y0));
    2378             : }
    2379             : 
    2380             : static GEN
    2381          56 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
    2382             : {
    2383             :   GEN t;
    2384             :   long s;
    2385          56 :   (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
    2386          56 :   if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
    2387          56 :   s = ellR_get_sign(e);
    2388          56 :   if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
    2389          21 :     t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
    2390             :   else
    2391          35 :     t = zellcx(e,z,prec);
    2392          56 :   return t;
    2393             : }
    2394             : static GEN ellnfembed(GEN E, long prec);
    2395             : static GEN ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec);
    2396             : static void ellnfembed_free(GEN L);
    2397             : GEN
    2398         161 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
    2399             : {
    2400         161 :   pari_sp av = avma;
    2401         161 :   checkell(E); checkellpt(P);
    2402         161 :   switch(ell_get_type(E))
    2403             :   {
    2404         112 :     case t_ELL_Qp:
    2405         112 :       prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
    2406         112 :       return ellQp_P2t(E, P, prec);
    2407           7 :     case t_ELL_NF:
    2408             :     {
    2409           7 :       GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    2410           7 :       long i, l = lg(Pe);
    2411          21 :       for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
    2412           7 :       ellnfembed_free(Ee); return gerepilecopy(av, Pe);
    2413             :     }
    2414           7 :     case t_ELL_Q: break;
    2415          35 :     case t_ELL_Rg: break;
    2416           0 :     default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
    2417             :   }
    2418          42 :   return gerepileupto(av, zell_i(E, P, prec));
    2419             : }
    2420             : 
    2421             : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
    2422             : /* normalization / argument reduction for ellptic functions */
    2423             : typedef struct {
    2424             :   enum period_type type;
    2425             :   GEN in; /* original input */
    2426             :   GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
    2427             :   GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
    2428             :   GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
    2429             :   GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
    2430             :   GEN x,y; /* t_INT */
    2431             :   int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
    2432             :   int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
    2433             :   int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
    2434             :   int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
    2435             :   int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
    2436             :   int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
    2437             :   long prec; /* precision(Z) */
    2438             :   long prec0; /* required precision for result */
    2439             : } ellred_t;
    2440             : 
    2441             : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
    2442             :    fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
    2443             : static void
    2444       23744 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
    2445             : {
    2446       23744 :   GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
    2447       23744 :   long e = gexpo(gel(t0,2));
    2448       23744 :   if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
    2449       23744 :   t = t0;
    2450       23744 :   a = d = gen_1;
    2451       23744 :   b = c = gen_0;
    2452             :   for(;;)
    2453       21924 :   {
    2454       45668 :     GEN m, n = ground(gel(t,1));
    2455       45668 :     if (signe(n))
    2456             :     { /* apply T^n */
    2457       27248 :       t = gsub(t,n);
    2458       27248 :       a = subii(a, mulii(n,c));
    2459       27248 :       b = subii(b, mulii(n,d));
    2460             :     }
    2461       45668 :     m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
    2462       21924 :     t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
    2463       21924 :     togglesign_safe(&c); swap(a,c);
    2464       21924 :     togglesign_safe(&d); swap(b,d);
    2465             :   }
    2466       23744 :   if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
    2467       23744 :   *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
    2468       23744 : }
    2469             : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
    2470             :  * Set *pU to U. */
    2471             : GEN
    2472        9135 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
    2473             : {
    2474             :   GEN a,b,c,d;
    2475        9135 :   set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
    2476        9135 :   *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
    2477        9135 :   *czd = gadd(gmul(c,z), d);
    2478        9135 :   return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
    2479             : }
    2480             : GEN
    2481        9100 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
    2482             : {
    2483        9100 :   pari_sp av = avma;
    2484             :   GEN czd;
    2485        9100 :   t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
    2486        9100 :   gerepileall(av, 2, &t, pU); return t;
    2487             : }
    2488             : 
    2489             : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
    2490             :  * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
    2491             : static void
    2492       14609 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
    2493             : {
    2494             :   long s, p;
    2495       14609 :   T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
    2496       14609 :   if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
    2497       14609 :   s = gsigne(imag_i(T->tau));
    2498       14609 :   if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
    2499             :                           mkvec2(T->w1,T->w2));
    2500       14609 :   T->swap = (s < 0);
    2501       14609 :   if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
    2502       14609 :   p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
    2503       14609 :   set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
    2504             :   /* update lattice */
    2505       14609 :   p = precision(T->tau);
    2506       14609 :   if (p)
    2507             :   {
    2508       14231 :     T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
    2509       14231 :     T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
    2510             :   }
    2511       14609 :   T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
    2512       14609 :   T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
    2513       14609 :   T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
    2514       14609 :   if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2515       14609 :   p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
    2516       14609 : }
    2517             : /* is z real or pure imaginary ? */
    2518             : static void
    2519       15680 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
    2520             : {
    2521       15680 :   if (typ(z) != t_COMPLEX)      { *real = 1; *imag = 0; }
    2522       10283 :   else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
    2523        9758 :   else *real = *imag = 0;
    2524       15680 : }
    2525             : static void
    2526        9933 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
    2527             : {
    2528             :   long p;
    2529             :   GEN Z;
    2530        9933 :   switch(typ(z))
    2531             :   {
    2532        9933 :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
    2533           0 :     case t_QUAD:
    2534           0 :       z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
    2535           0 :       break;
    2536           0 :     default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
    2537             :   }
    2538        9933 :   Z = gdiv(z, T->W2);
    2539        9933 :   T->z = z;
    2540        9933 :   T->x = ground(gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau)));
    2541        9933 :   if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
    2542        9933 :   T->y = ground(real_i(Z));
    2543        9933 :   if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
    2544        9933 :   T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
    2545             :   /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
    2546        9933 :   check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2547        9933 :   if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
    2548             :   {
    2549             :     int W2real, W2imag;
    2550        4872 :     check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
    2551        4872 :     if (W2real)
    2552         399 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
    2553        4473 :     else if (W2imag)
    2554         406 :       check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
    2555             :   }
    2556        9933 :   p = precision(Z);
    2557        9933 :   if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - prec2nbits(p)))
    2558          28 :     Z = NULL; /*z in L*/
    2559        9933 :   if (p && p < T->prec) T->prec = p;
    2560        9933 :   T->Z = Z;
    2561        9933 : }
    2562             : /* return x.eta1 + y.eta2 */
    2563             : static GEN
    2564        8904 : eta_correction(ellred_t *T, GEN eta)
    2565             : {
    2566        8904 :   GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
    2567        8904 :   if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
    2568        8904 :   if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
    2569        8904 :   if (!y1) return y2? y2: gen_0;
    2570        4219 :   return y2? gadd(y1, y2): y1;
    2571             : }
    2572             : /* e is either
    2573             :  * - [w1,w2]
    2574             :  * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
    2575             :  * - an ellinit structure */
    2576             : static void
    2577       14609 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
    2578             : {
    2579             :   GEN w, e;
    2580       14609 :   T->q_is_real = 0;
    2581       14609 :   T->some_q_is_real = 0;
    2582       14609 :   switch(T->type)
    2583             :   {
    2584        1064 :     case t_PER_ELL:
    2585             :     {
    2586        1064 :       long pr, p = prec;
    2587        1064 :       if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
    2588        1064 :       e = T->in;
    2589        1064 :       w = ellR_omega(e, p);
    2590        1064 :       T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
    2591        1064 :       break;
    2592             :     }
    2593       13363 :     case t_PER_W:
    2594       13363 :       w = T->in; break;
    2595         182 :     default: /*t_PER_WETA*/
    2596         182 :       w = gel(T->in,1); break;
    2597             :   }
    2598       14609 :   T->w1 = gel(w,1);
    2599       14609 :   T->w2 = gel(w,2);
    2600       14609 :   red_modSL2(T, prec);
    2601       14609 :   if (z) reduce_z(z, T);
    2602       14609 : }
    2603             : static int
    2604       14616 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
    2605             : {
    2606             :   GEN w1;
    2607       14616 :   if (typ(e) != t_VEC) return 0;
    2608       14616 :   T->in = e;
    2609       14616 :   switch(lg(e))
    2610             :   {
    2611        1071 :     case 17:
    2612        1071 :       T->type = t_PER_ELL;
    2613        1071 :       break;
    2614       13545 :     case 3:
    2615       13545 :       w1 = gel(e,1);
    2616       13545 :       if (typ(w1) != t_VEC)
    2617       13363 :         T->type = t_PER_W;
    2618             :       else
    2619             :       {
    2620         182 :         if (lg(w1) != 3) return 0;
    2621         182 :         T->type = t_PER_WETA;
    2622             :       }
    2623       13545 :       break;
    2624           0 :     default: return 0;
    2625             :   }
    2626       14616 :   return 1;
    2627             : }
    2628             : static int
    2629       14532 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
    2630             : {
    2631       14532 :   if (!check_periods(e, T)) return 0;
    2632       14532 :   compute_periods(T, z, prec); return 1;
    2633             : }
    2634             : 
    2635             : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary */
    2636             : static GEN
    2637       23562 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
    2638             : /* (2iPi/W2)^k E_k(W1/W2) */
    2639             : static GEN
    2640       13580 : _elleisnum(ellred_t *T, long k)
    2641             : {
    2642       13580 :   GEN z = gmul(cxEk(T->Tau, k, T->prec), gpowgs(PiI2div(T->W2, T->prec), k));
    2643       13580 :   return cxtoreal(z);
    2644             : }
    2645             : 
    2646             : /* Return (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), with L = <w1,w2>, k > 0 even
    2647             :  * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum(n>=1, n^(k-1) q^n/(1-q^n))
    2648             :  * If flag is != 0 and k=4 or 6, compute g2 = E4/12 or g3 = -E6/216 resp. */
    2649             : GEN
    2650        4459 : elleisnum(GEN om, long k, long flag, long prec)
    2651             : {
    2652        4459 :   pari_sp av = avma;
    2653             :   GEN y;
    2654             :   ellred_t T;
    2655             : 
    2656        4459 :   if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
    2657        4459 :   if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
    2658        4459 :   if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
    2659        4459 :   y = _elleisnum(&T, k);
    2660        4459 :   if (k==2 && signe(T.c))
    2661        4011 :   {
    2662        4011 :     GEN a = gmul(Pi2n(1,T.prec), mului(12, T.c));
    2663        4011 :     y = gsub(y, mulcxI(gdiv(a, gmul(T.w2, T.W2))));
    2664             :   }
    2665         448 :   else if (k==4 && flag) y = gdivgs(y,  12);
    2666         420 :   else if (k==6 && flag) y = gdivgs(y,-216);
    2667        4459 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2668             : }
    2669             : 
    2670             : /* return quasi-periods attached to [T->W1,T->W2] */
    2671             : static GEN
    2672        8939 : _elleta(ellred_t *T)
    2673             : {
    2674        8939 :   GEN y1, y2, e2 = gdivgs(_elleisnum(T,2), -12);
    2675        8939 :   y2 = gmul(T->W2, e2);
    2676        8939 :   y1 = gsub(gmul(T->W1,e2), PiI2div(T->W2, T->prec));
    2677        8939 :   retmkvec2(y1, y2);
    2678             : }
    2679             : 
    2680             : /* compute eta1, eta2 */
    2681             : GEN
    2682          84 : elleta(GEN om, long prec)
    2683             : {
    2684          84 :   pari_sp av = avma;
    2685             :   GEN y1, y2, E2, pi;
    2686             :   ellred_t T;
    2687             : 
    2688          84 :   if (!check_periods(om, &T)) pari_err_TYPE("elleta",om);
    2689          84 :   if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
    2690             : 
    2691          77 :   compute_periods(&T, NULL, prec);
    2692          77 :   prec = T.prec;
    2693          77 :   pi = mppi(prec);
    2694          77 :   E2 = cxEk(T.Tau, 2, prec); /* E_2(Tau) */
    2695          77 :   if (signe(T.c))
    2696             :   {
    2697          21 :     GEN u = gdiv(T.w2, T.W2);
    2698             :     /* E2 := u^2 E2 + 6iuc/pi = E_2(tau) */
    2699          21 :     E2 = gadd(gmul(gsqr(u), E2), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T.c), u), pi)));
    2700             :   }
    2701          77 :   y2 = gdiv(gmul(E2, sqrr(pi)), gmulsg(3, T.w2));
    2702          77 :   if (T.swap)
    2703             :   {
    2704           7 :     y1 = y2;
    2705           7 :     y2 = gadd(gmul(T.tau,y1), PiI2div(T.w2, prec));
    2706             :   }
    2707             :   else
    2708          70 :     y1 = gsub(gmul(T.tau,y2), PiI2div(T.w2, prec));
    2709          77 :   switch(typ(T.w1))
    2710             :   {
    2711          49 :     case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL:
    2712          49 :       y1 = real_i(y1);
    2713             :   }
    2714          77 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(y1,y2));
    2715             : }
    2716             : GEN
    2717          49 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
    2718             : {
    2719          49 :   pari_sp av = avma;
    2720             :   ellred_t T;
    2721          49 :   if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
    2722          49 :   switch(flag)
    2723             :   {
    2724          14 :     case 0: return gerepilecopy(av, mkvec2(T.W1, T.W2));
    2725          35 :     case 1: return gerepilecopy(av, mkvec2(mkvec2(T.W1, T.W2), _elleta(&T)));
    2726           0 :     default: pari_err_FLAG("ellperiods");
    2727             :              return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    2728             :   }
    2729             : }
    2730             : 
    2731             : /* 2Pi Im(z)/log(2) */
    2732             : static double
    2733        9793 : get_toadd(GEN z) { return (2*M_PI/M_LN2)*gtodouble(imag_i(z)); }
    2734             : 
    2735             : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
    2736             :  * return NULL if z in L.  If flall=1, compute also wp' */
    2737             : static GEN
    2738         987 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
    2739             : {
    2740             :   long toadd;
    2741         987 :   pari_sp av = avma, av1;
    2742             :   GEN q, u, y, yp, u1, u2, qn;
    2743             :   ellred_t T;
    2744             :   int simple_case;
    2745             : 
    2746         987 :   if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
    2747         987 :   if (!T.Z) return NULL;
    2748         966 :   prec = T.prec;
    2749             : 
    2750             :   /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
    2751         966 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    2752         966 :   u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    2753         966 :   u1 = gsubsg(1,u);
    2754         966 :   u2 = gsqr(u1); /* (1-u)^2 = -4u sin^2(Pi Z) */
    2755         966 :   if (gequal0(gnorm(u2))) return NULL; /* possible if loss of accuracy */
    2756         966 :   y = gdiv(u,u2); /* -1/4(sin^2(Pi Z)) */
    2757         966 :   if (T.abs_u_is_1) y = real_i(y);
    2758         966 :   simple_case = T.abs_u_is_1 && T.q_is_real;
    2759         966 :   y = gadd(mkfrac(gen_1, utoipos(12)), y);
    2760         966 :   yp = flall? gen_0: NULL;
    2761         966 :   toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2762             : 
    2763         966 :   av1 = avma; qn = q;
    2764             :   for(;;)
    2765       11872 :   { /* y += u q^n [ 1/(1-q^n u)^2 + 1/(q^n-u)^2 ] - 2q^n /(1-q^n)^2 */
    2766             :     /* analogous formula for yp */
    2767       12838 :     GEN yadd, ypadd = NULL;
    2768       12838 :     GEN qnu = gmul(qn,u); /* q^n u */
    2769       12838 :     GEN a = gsubsg(1,qnu);/* 1 - q^n u */
    2770       12838 :     GEN a2 = gsqr(a);     /* (1 - q^n u)^2 */
    2771       12838 :     if (yp) ypadd = gdiv(gaddsg(1,qnu),gmul(a,a2));
    2772       12838 :     if (simple_case) /* conj(u) = 1/u: formula simplifies */
    2773         388 :       yadd = gmul2n(real_i(gdiv(u,a2)), 1);
    2774             :     else
    2775             :     {
    2776       12450 :       GEN b = gsub(qn,u);/* q^n - u */
    2777       12450 :       GEN b2 = gsqr(b);  /* (q^n - u)^2 */
    2778       12450 :       yadd = gmul(u, gadd(ginv(a2),ginv(b2)));
    2779       12450 :       if (yp) ypadd = gadd(ypadd, gdiv(gadd(qn,u),gmul(b,b2)));
    2780             :     }
    2781       12838 :     yadd = gsub(yadd, gmul2n(ginv(gsqr(gsubsg(1,qn))), 1));
    2782       12838 :     y = gadd(y, gmul(qn,yadd));
    2783       12838 :     if (yp) yp = gadd(yp, gmul(qn,ypadd));
    2784             : 
    2785       12838 :     qn = gmul(q,qn);
    2786       12838 :     if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2787       11872 :     if (gc_needed(av1,1))
    2788             :     {
    2789           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellwp");
    2790           0 :       gerepileall(av1, flall? 3: 2, &y, &qn, &yp);
    2791             :     }
    2792             :   }
    2793         966 :   if (yp)
    2794             :   {
    2795         903 :     if (simple_case) yp = gsub(yp, conj_i(gmul(yp,gsqr(u))));
    2796         903 :     yp = gadd(yp, gdiv(gaddsg(1,u), gmul(u1,u2)));
    2797             :   }
    2798             : 
    2799         966 :   u1 = PiI2div(T.W2, prec);
    2800         966 :   u2 = gsqr(u1);
    2801         966 :   y = gmul(u2,y); /* y *= (2i pi / w2)^2 */
    2802         966 :   if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
    2803         567 :     y = real_i(y);
    2804         966 :   if (yp)
    2805             :   {
    2806         903 :     yp = gmul(u, gmul(gmul(u1,u2),yp));/* yp *= u (2i pi / w2)^3 */
    2807         903 :     if (T.some_q_is_real)
    2808             :     {
    2809         903 :       if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
    2810         385 :       else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
    2811             :     }
    2812         903 :     y = mkvec2(y, yp);
    2813             :   }
    2814         966 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2815             : }
    2816             : static GEN
    2817         301 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
    2818             : {
    2819             :   long i, k, l;
    2820             :   pari_sp av;
    2821         301 :   GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
    2822             : 
    2823         301 :   res[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(v);
    2824         301 :   if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
    2825             : 
    2826        2520 :   for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
    2827         301 :   _1 = Rg_get_1(c4);
    2828         301 :   switch(PRECDL)
    2829             :   {
    2830         301 :     default:P[6] = gdivgs(c6,6048);
    2831         301 :     case 6:
    2832         301 :     case 5: P[4] = gdivgs(c4, 240);
    2833         301 :     case 4:
    2834         301 :     case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
    2835         301 :     case 2:
    2836         301 :     case 1: P[0] = _1;
    2837             :   }
    2838         301 :   if (PRECDL <= 8) return res;
    2839         301 :   av = avma;
    2840         301 :   P[8] = gerepileupto(av, gdivgs(gsqr(P[4]), 3));
    2841        1085 :   for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
    2842             :   {
    2843         784 :     av = avma;
    2844         784 :     t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
    2845        1239 :     for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
    2846         784 :     t = gmul2n(t, 1);
    2847         784 :     if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
    2848         784 :     if (k % 3 == 2)
    2849         273 :       t = gdivgs(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
    2850             :     else /* same value, more efficient */
    2851         511 :       t = gdivgs(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
    2852         784 :     P[k<<1] = gerepileupto(av, t);
    2853             :   }
    2854         301 :   return res;
    2855             : }
    2856             : 
    2857             : static int
    2858         294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
    2859             : {
    2860         294 :   if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
    2861             :   {
    2862         203 :     case 17:
    2863         203 :       *c4 = ell_get_c4(w);
    2864         203 :       *c6 = ell_get_c6(w);
    2865         203 :       return 1;
    2866          91 :     case 3:
    2867             :     {
    2868             :       ellred_t T;
    2869          91 :       if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
    2870          91 :       *c4 = _elleisnum(&T, 4);
    2871          91 :       *c6 = gneg(_elleisnum(&T, 6));
    2872          91 :       return 1;
    2873             :     }
    2874             :   }
    2875           0 :   *c4 = *c6 = NULL;
    2876           0 :   return 0;
    2877             : }
    2878             : 
    2879             : GEN
    2880          14 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
    2881             : {
    2882             :   GEN c4, c6;
    2883          14 :   checkell(e);
    2884          14 :   c4 = ell_get_c4(e);
    2885          14 :   c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
    2886             : }
    2887             : 
    2888             : GEN
    2889           0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
    2890           0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
    2891             : 
    2892             : GEN
    2893         182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
    2894             : {
    2895         182 :   pari_sp av = avma;
    2896             :   GEN y;
    2897             : 
    2898         182 :   if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
    2899         182 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2900         182 :   y = toser_i(z);
    2901         182 :   if (y)
    2902             :   {
    2903         105 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2904             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2905         105 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
    2906         105 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
    2907         105 :     if (gequal0(y)) {
    2908           0 :       set_avma(av);
    2909           0 :       if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
    2910           0 :       retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
    2911             :     }
    2912         105 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2913         105 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2914         105 :     if (!flag)
    2915         105 :       return gerepileupto(av, Q);
    2916             :     else
    2917             :     {
    2918           0 :       GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
    2919           0 :       return gerepilecopy(av, R);
    2920             :     }
    2921             :   }
    2922          77 :   y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
    2923          77 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
    2924          70 :   return gerepileupto(av, y);
    2925             : }
    2926             : 
    2927             : GEN
    2928         161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
    2929             : {
    2930             :   long prec;
    2931         161 :   pari_sp av = avma;
    2932         161 :   GEN pi2, q, y, et = NULL;
    2933             :   ellred_t T;
    2934             : 
    2935         161 :   if (!z) z = pol_x(0);
    2936         161 :   y = toser_i(z);
    2937         161 :   if (y)
    2938             :   {
    2939          91 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    2940             :     GEN P, Q, c4,c6;
    2941          91 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
    2942          91 :     if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
    2943          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    2944          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    2945          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    2946          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    2947          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    2948             :   }
    2949          70 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
    2950          70 :   if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
    2951          70 :   prec = T.prec;
    2952          70 :   if (signe(T.x) || signe(T.y)) et = eta_correction(&T, _elleta(&T));
    2953             : 
    2954          70 :   pi2 = Pi2n(1, prec);
    2955          70 :   q = expIPiC(gmul2n(T.Tau,1), prec);
    2956          70 :   y = mulcxI(gmul(cxEk(T.Tau,2,prec), gmul(T.Z,divrs(pi2,-12))));
    2957          70 :   if (!T.abs_u_is_1 || (!gequal(T.Z,ghalf) && !gequal(T.Z,gneg(ghalf))))
    2958             :   { /* else u = -1 and this vanishes */
    2959          70 :     long toadd = (long)ceil(get_toadd(T.Z));
    2960          70 :     GEN qn, u, v, S = gen_0;
    2961             :     pari_sp av1;
    2962          70 :     u = expIPiC(gmul2n(T.Z,1), prec);
    2963          70 :     v = gadd(ghalf, ginv(gsubgs(u, 1)));
    2964          70 :     if (T.abs_u_is_1) gel(v,1) = gen_0; /*v = (u+1)/2(u-1), pure imaginary*/
    2965          70 :     y = gadd(y, v);
    2966             :     /* add sum_n q^n ( u/(u*q^n - 1) + 1/(u - q^n) )
    2967             :      *     = (u^2 - 1) sum_n q^n / (uq^n - 1)(u - q^n) */
    2968          70 :     av1 = avma;
    2969          70 :     for (qn = q;;)
    2970             :     {
    2971         835 :       S = gadd(S, gdiv(qn, gmul(gsubgs(gmul(qn,u),1), gsub(u,qn))));
    2972         835 :       qn = gmul(q,qn);
    2973         835 :       if (gexpo(qn) <= - prec2nbits(prec) - 5 - toadd) break;
    2974         765 :       if (gc_needed(av1,1))
    2975             :       {
    2976           0 :         if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellzeta");
    2977           0 :         gerepileall(av1,2, &S,&qn);
    2978             :       }
    2979             :     }
    2980          70 :     y = gadd(y, gmul(gsubgs(gsqr(u),1), S));
    2981             :   }
    2982          70 :   y = mulcxI(gmul(gdiv(pi2,T.W2), y));
    2983          70 :   if (T.some_q_is_real)
    2984             :   {
    2985          70 :     if (T.some_z_is_real)
    2986             :     {
    2987          28 :       if (!et || typ(et) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
    2988             :     }
    2989          42 :     else if (T.some_z_is_pure_imag)
    2990             :     {
    2991          21 :       if (!et || (typ(et) == t_COMPLEX && isintzero(gel(et,1))))
    2992          21 :         gel(y,1) = gen_0;
    2993             :     }
    2994             :   }
    2995          70 :   if (et) y = gadd(y, et);
    2996          70 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    2997             : }
    2998             : 
    2999             : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
    3000             : GEN
    3001        8974 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
    3002             : {
    3003             :   long toadd, prec, n;
    3004        8974 :   pari_sp av = avma, av1;
    3005             :   GEN u, urn, urninv, z0, pi, pi2, q, q8, qn2, qn, y, y1, uinv, et, etnew;
    3006             :   ellred_t T;
    3007             : 
    3008        8974 :   if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
    3009             : 
    3010        8974 :   if (!z) z = pol_x(0);
    3011        8974 :   y = toser_i(z);
    3012        8974 :   if (y)
    3013             :   {
    3014          98 :     long vy = varn(y), v = valp(y);
    3015             :     GEN P, Q, c4,c6;
    3016          98 :     if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3017          98 :     if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
    3018          98 :     if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
    3019          91 :     if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
    3020          91 :     P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
    3021          91 :     P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
    3022             :     /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
    3023          91 :     P = integser(serchop0(P));
    3024          91 :     P = gexp(P, prec0);
    3025          91 :     setvalp(P, valp(P)+1);
    3026          91 :     Q = gsubst(P, varn(P), y);
    3027          91 :     return gerepileupto(av, Q);
    3028             :   }
    3029        8876 :   if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
    3030        8876 :   if (!T.Z)
    3031             :   {
    3032           7 :     if (!flag) return gen_0;
    3033           7 :     pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
    3034             :   }
    3035        8869 :   prec = T.prec;
    3036        8869 :   pi2 = Pi2n(1,prec);
    3037        8869 :   pi  = mppi(prec);
    3038             : 
    3039        8869 :   urninv = uinv = NULL;
    3040        8869 :   if (typ(T.Z) == t_FRAC && equaliu(gel(T.Z,2), 2) && equalim1(gel(T.Z,1)))
    3041             :   {
    3042         112 :     toadd = 0;
    3043         112 :     urn = mkcomplex(gen_0, gen_m1); /* Z = -1/2 => urn = -I */
    3044         112 :     u = gen_1;
    3045             :   }
    3046             :   else
    3047             :   {
    3048        8757 :     toadd = (long)ceil(fabs( get_toadd(T.Z) ));
    3049        8757 :     urn = expIPiC(T.Z, prec); /* exp(i Pi Z) */
    3050        8757 :     u = gneg_i(gsqr(urn));
    3051        8757 :     if (!T.abs_u_is_1) { urninv = ginv(urn); uinv = gneg_i(gsqr(urninv)); }
    3052             :   }
    3053        8869 :   q8 = expIPiC(gmul2n(T.Tau, -2), prec);
    3054        8869 :   q = gpowgs(q8,8); av1 = avma;
    3055        8869 :   y = gen_0; qn = q; qn2 = gen_1;
    3056        8869 :   for(n=0;;n++)
    3057             :   { /* qn = q^(n+1), qn2 = q^(n(n+1)/2), urn = u^((n+1)/2)
    3058             :      * if |u| = 1, will multiply by 2*I at the end ! */
    3059       66313 :     y = gadd(y, gmul(qn2, uinv? gsub(urn,urninv): imag_i(urn)));
    3060       66313 :     qn2 = gmul(qn,qn2);
    3061       66313 :     if (gexpo(qn2) + n*toadd <= - prec2nbits(prec) - 5) break;
    3062       57444 :     qn  = gmul(q,qn);
    3063       57444 :     urn = gmul(urn,u);
    3064       57444 :     if (uinv) urninv = gmul(urninv,uinv);
    3065       57444 :     if (gc_needed(av1,1))
    3066             :     {
    3067           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"ellsigma");
    3068           0 :       gerepileall(av1,urninv? 5: 4, &y,&qn,&qn2,&urn,&urninv);
    3069             :     }
    3070             :   }
    3071        8869 :   y = gmul(y, gdiv(q8, gmul(pi2, gpowgs(trueeta(T.Tau,prec),3))));
    3072        8869 :   y = gmul(y, T.abs_u_is_1? gmul2n(T.W2,1): mulcxmI(T.W2));
    3073             : 
    3074        8869 :   et = _elleta(&T);
    3075        8869 :   z0 = gmul(T.Z,T.W2);
    3076        8869 :   y1 = gadd(z0, gmul2n(gadd(gmul(T.x,T.W1), gmul(T.y,T.W2)),-1));
    3077        8869 :   etnew = gmul(eta_correction(&T, et), y1);
    3078        8869 :   y1 = gadd(etnew, gmul2n(gmul(gmul(T.Z,z0),gel(et,2)),-1));
    3079        8869 :   if (flag)
    3080             :   {
    3081        8799 :     y = gadd(y1, glog(y,prec));
    3082        8799 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gadd(y, mulcxI(pi));
    3083             :     /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
    3084        8799 :     if (T.some_q_is_real && isintzero(imag_i(z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
    3085          21 :       y = real_i(y);
    3086             :   }
    3087             :   else
    3088             :   {
    3089          70 :     y = gmul(y, gexp(y1,prec));
    3090          70 :     if (mpodd(T.x) || mpodd(T.y)) y = gneg_i(y);
    3091          70 :     if (T.some_q_is_real)
    3092             :     {
    3093             :       int re, cx;
    3094          70 :       check_complex(z,&re,&cx);
    3095          70 :       if (re) y = real_i(y);
    3096          49 :       else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
    3097             :     }
    3098             :   }
    3099        8869 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
    3100             : }
    3101             : 
    3102             : GEN
    3103         966 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
    3104             : {
    3105         966 :   pari_sp av = avma;
    3106             :   GEN v;
    3107             : 
    3108         966 :   checkell(e);
    3109         966 :   if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
    3110             :   {
    3111          56 :     prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
    3112          56 :     return ellQp_t2P(e, z, prec);
    3113             :   }
    3114         910 :   v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
    3115         910 :   if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
    3116         896 :   gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgs(ell_get_b2(e),12));
    3117         896 :   gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
    3118         896 :   return gerepilecopy(av, v);
    3119             : }
    3120             : 
    3121             : /********************************************************************/
    3122             : /**                                                                **/
    3123             : /**                 Tate's algorithm e (cf Anvers IV)              **/
    3124             : /**               Kodaira types, global minimal model              **/
    3125             : /**                                                                **/
    3126             : /********************************************************************/
    3127             : /* structure to hold incremental computation of standard minimal model/Q */
    3128             : typedef struct {
    3129             :   long a1; /*{0,1}*/
    3130             :   long a2; /*{-1,0,1}*/
    3131             :   long a3; /*{0,1}*/
    3132             :   long b2; /* centermod(-c6, 12), in [-5,6] */
    3133             :   GEN u, u2, u3, u4, u6;
    3134             :   GEN a4, a6, b4, b6, b8, c4, c6, D;
    3135             : } ellmin_t;
    3136             : 
    3137             : /* u from [u,r,s,t] */
    3138             : static void
    3139      517762 : min_set_u(ellmin_t *M, GEN u)
    3140             : {
    3141      517762 :   M->u = u;
    3142      517762 :   if (is_pm1(u))
    3143      454244 :     M->u2 = M->u3 = M->u4 = M->u6 = gen_1;
    3144             :   else
    3145             :   {
    3146       63518 :     M->u2 = sqri(u);
    3147       63518 :     M->u3 = mulii(M->u2, u);
    3148       63518 :     M->u4 = sqri(M->u2);
    3149       63518 :     M->u6 = sqri(M->u3);
    3150             :   }
    3151      517762 : }
    3152             : /* E = original curve */
    3153             : static void
    3154      517762 : min_set_c(ellmin_t *M, GEN E)
    3155             : {
    3156      517762 :   GEN c4 = ell_get_c4(E), c6 = ell_get_c6(E);
    3157      517762 :   if (!is_pm1(M->u4)) {
    3158       63518 :     c4 = diviiexact(c4, M->u4);
    3159       63518 :     c6 = diviiexact(c6, M->u6);
    3160             :   }
    3161      517762 :   M->c4 = c4;
    3162      517762 :   M->c6 = c6;
    3163      517762 : }
    3164             : static void
    3165      517454 : min_set_D(ellmin_t *M, GEN E)
    3166             : {
    3167      517454 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    3168      517454 :   if (!is_pm1(M->u6)) D = diviiexact(D, sqri(M->u6));
    3169      517454 :   M->D = D;
    3170      517454 : }
    3171             : static void
    3172      517615 : min_set_b(ellmin_t *M)
    3173             : {
    3174             :   long b22, b2;
    3175      517615 :   M->b2 = b2 = Fl_center(12 - umodiu(M->c6,12), 12, 6);
    3176      517615 :   b22 = b2 * b2; /* in [0,36] */
    3177      517615 :   M->b4 = diviuexact(subui(b22, M->c4), 24);
    3178      517615 :   M->b6 = diviuexact(subii(mulsi(b2, subiu(mului(36,M->b4),b22)), M->c6), 216);
    3179      517615 : }
    3180             : static void
    3181      517475 : min_set_a(ellmin_t *M)
    3182             : {
    3183      517475 :   long a1, a2, a3, a13, b2 = M->b2;
    3184      517475 :   GEN b4 = M->b4, b6 = M->b6;
    3185      517475 :   if (odd(b2))
    3186             :   {
    3187      257306 :     a1 = 1;
    3188      257306 :     a2 = (b2 - 1) >> 2;
    3189             :   }
    3190             :   else
    3191             :   {
    3192      260169 :     a1 = 0;
    3193      260169 :     a2 = b2 >> 2;
    3194             :   }
    3195      517475 :   M->a1 = a1;
    3196      517475 :   M->a2 = a2;
    3197      517475 :   M->a3 = a3 = Mod2(b6)? 1: 0;
    3198      517475 :   a13 = a1 & a3; /* a1 * a3 */
    3199      517475 :   M->a4 = shifti(subiu(b4, a13), -1);
    3200      517475 :   M->a6 = shifti(subiu(b6, a3), -2);
    3201      517475 : }
    3202             : static void
    3203      517447 : min_set_all(ellmin_t *M, GEN E, GEN u)
    3204             : {
    3205      517447 :   min_set_u(M, u);
    3206      517447 :   min_set_c(M, E);
    3207      517447 :   min_set_D(M, E);
    3208      517447 :   min_set_b(M);
    3209      517447 :   min_set_a(M);
    3210      517447 : }
    3211             : static GEN
    3212      504357 : min_to_ell(ellmin_t *M, GEN E)
    3213             : {
    3214      504357 :   GEN b8, y = obj_init(15, 8);
    3215             :   long a11, a13;
    3216      504357 :   gel(y,1) = M->a1? gen_1: gen_0;
    3217      504357 :   gel(y,2) = stoi(M->a2);
    3218      504357 :   gel(y,3) = M->a3? gen_1: gen_0;
    3219      504357 :   gel(y,4) = M->a4;
    3220      504357 :   gel(y,5) = M->a6;
    3221      504357 :   gel(y,6) = stoi(M->b2);
    3222      504357 :   gel(y,7) = M->b4;
    3223      504357 :   gel(y,8) = M->b6;
    3224      504357 :   a11 = M->a1;
    3225      504357 :   a13 = M->a1 & M->a3;
    3226      504357 :   b8 = subii(addii(mului(a11,M->a6), mulis(M->b6, M->a2)),
    3227             :              mulii(M->a4, addiu(M->a4,a13)));
    3228      504357 :   gel(y,9) = b8; /* a1^2 a6 + 4a6 a2 + a2 a3^2 - a4(a4 + a1 a3) */
    3229      504357 :   gel(y,10)= M->c4;
    3230      504357 :   gel(y,11)= M->c6;
    3231      504357 :   gel(y,12)= M->D;
    3232      504357 :   gel(y,13)= gel(E,13);
    3233      504357 :   gel(y,14)= gel(E,14);
    3234      504357 :   gel(y,15)= gel(E,15);
    3235      504357 :   return y;
    3236             : }
    3237             : static GEN
    3238      517447 : min_get_v(ellmin_t *M, GEN E)
    3239             : {
    3240             :   GEN r, s, t;
    3241      517447 :   r = diviuexact(subii(mulis(M->u2,M->b2), ell_get_b2(E)), 12);
    3242      517447 :   s = shifti(subii(M->a1? M->u: gen_0, ell_get_a1(E)), -1);
    3243      517447 :   t = shifti(subii(M->a3? M->u3: gen_0, Zec_h_evalx(E,r)), -1);
    3244      517447 :   return mkvec4(M->u,r,s,t);
    3245             : }
    3246             : 
    3247             : /* return v_p(u), where [u,r,s,t] is the variable change to minimal model */
    3248             : static long
    3249     1686709 : get_vp_u_small(GEN E, ulong p, long *pv6, long *pvD)
    3250             : {
    3251     1686709 :   GEN c6 = ell_get_c6(E);
    3252     1686709 :   long d, v6, vD = Z_lval(ell_get_disc(E), p);
    3253     1686709 :   if (!signe(c6))
    3254             :   {
    3255        2933 :     d = vD / 12;
    3256        2933 :     if (d)
    3257             :     {
    3258        1071 :       if (p == 2)
    3259             :       {
    3260         819 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3261         819 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3262         819 :         if (a) d--;
    3263             :       }
    3264        1071 :       if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3265             :     }
    3266        2933 :     v6 = 12; /* +oo */
    3267             :   }
    3268             :   else
    3269             :   {
    3270     1683776 :     v6 = Z_lval(c6,p);
    3271     1683776 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3272     1683776 :     if (d) {
    3273      181167 :       if (p == 2) {
    3274      109739 :         GEN c4 = ell_get_c4(E);
    3275      109739 :         long a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    3276      109739 :         long b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    3277      109739 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) d--;
    3278       71428 :       } else if (p == 3) {
    3279       45199 :         if (v6 == 6*d+2) d--;
    3280             :       }
    3281      181167 :       if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3282             :     }
    3283             :   }
    3284     1686709 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3285             : }
    3286             : static long
    3287      879410 : get_vp_u(GEN E, GEN p, long *pv6, long *pvD)
    3288             : {
    3289             :   GEN c6;
    3290             :   long d, v6, vD;
    3291      879410 :   if (lgefint(p) == 3) return get_vp_u_small(E, p[2], pv6, pvD);
    3292          39 :   c6 = ell_get_c6(E);
    3293          39 :   vD = Z_pval(ell_get_disc(E), p);
    3294          39 :   if (!signe(c6))
    3295             :   {
    3296           0 :     d = vD / 12;
    3297           0 :     if (d) vD -= 12*d; /* non minimal model */
    3298           0 :     v6 = 12; /* +oo */
    3299             :   }
    3300             :   else
    3301             :   {
    3302          39 :     v6 = Z_pval(c6,p);
    3303          39 :     d = minss(2*v6, vD) / 12;
    3304          39 :     if (d) { v6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    3305             :   }
    3306          39 :   *pv6 = v6; *pvD = vD; return d;
    3307             : }
    3308             : 
    3309             : /* Given an integral elliptic curve in ellinit form, and a prime p, returns the
    3310             :   type of the fiber at p of the Neron model, as well as the change of variables
    3311             :   in the form [f, kod, v, c].
    3312             : 
    3313             :   * The integer f is the conductor's exponent.
    3314             : 
    3315             :   * The integer kod is the Kodaira type using the following notation:
    3316             :     II , III , IV  -->  2, 3, 4
    3317             :     I0  -->  1
    3318             :     Inu --> 4+nu for nu > 0
    3319             :   A '*' negates the code (e.g I* --> -2)
    3320             : 
    3321             :   * v is a quadruple [u, r, s, t] yielding a minimal model
    3322             : 
    3323             :   * c is the Tamagawa number.
    3324             : 
    3325             :   Uses Tate's algorithm (Anvers IV). Given the remarks at the bottom of
    3326             :   page 46, the "long" algorithm is used for p = 2,3 only. */
    3327             : static GEN
    3328     1734257 : localred_result(long f, long kod, long c, GEN v)
    3329             : {
    3330     1734257 :   GEN z = cgetg(5, t_VEC);
    3331     1734257 :   gel(z,1) = stoi(f);
    3332     1734257 :   gel(z,2) = stoi(kod);
    3333     1734257 :   gel(z,3) = gcopy(v);
    3334     1734257 :   gel(z,4) = stoi(c); return z;
    3335             : }
    3336             : static GEN
    3337           0 : localredbug(GEN p, const char *s)
    3338             : {
    3339           0 :   if (BPSW_psp(p)) pari_err_BUG(s);
    3340           0 :   pari_err_PRIME("localred",p);
    3341             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3342             : }
    3343             : 
    3344             : /* v_p( denom(j(E)) ) >= 0 */
    3345             : static long
    3346      880768 : j_pval(GEN E, GEN p) { return Z_pval(Q_denom(ell_get_j(E)), p); }
    3347             : 
    3348             : /* p > 3, e integral */
    3349             : static GEN
    3350      879410 : localred_p(GEN e, GEN p)
    3351             : {
    3352             :   long k, f, kod, c, nuj, nuD, nu6;
    3353      879410 :   GEN p2, v, tri, c4, c6, D = ell_get_disc(e);
    3354             : 
    3355      879410 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3356      879410 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3357      879410 :   nuj = j_pval(e, p);
    3358      879410 :   nuD = Z_pval(D, p);
    3359      879410 :   k = get_vp_u(e, p, &nu6, &nuD);
    3360      879410 :   if (!k) v = init_ch();
    3361             :   else
    3362             :   { /* model not minimal */
    3363             :     ellmin_t M;
    3364       13097 :     min_set_all(&M, e, powiu(p,k));
    3365       13097 :     v = min_get_v(&M, e);
    3366       13097 :     c4 = M.c4; c6 = M.c6; D = M.D;
    3367             :   }
    3368             : 
    3369      879410 :   if (nuj > 0) switch(nuD - nuj)
    3370             :   {
    3371      761236 :     case 0: f = 1; kod = 4+nuj; /* Inu */
    3372      761236 :       switch(kronecker(negi(c6),p))
    3373             :       {
    3374      392455 :         case  1: c = nuD; break;
    3375      368781 :         case -1: c = odd(nuD)? 1: 2; break;
    3376           0 :         default: return localredbug(p,"localred (p | c6)");
    3377             :       }
    3378      761236 :       break;
    3379       45703 :     case 6:
    3380             :     {
    3381       45703 :       GEN d = Fp_red(diviiexact(D, powiu(p, 6+nuj)), p);
    3382       45703 :       if (nuj & 1) d = Fp_mul(d, diviiexact(c6, powiu(p,3)), p);
    3383       45703 :       f = 2; kod = -4-nuj; c = 3 + kronecker(d, p); /* Inu* */
    3384       45703 :       break;
    3385             :     }
    3386           0 :     default: return localredbug(p,"localred (nu_D - nu_j != 0,6)");
    3387             :   }
    3388       72471 :   else switch(nuD)
    3389             :   {
    3390         539 :     case  0: f = 0; kod = 1; c = 1; break; /* I0, regular */
    3391       11683 :     case  2: f = 2; kod = 2; c = 1; break; /* II   */
    3392       10332 :     case  3: f = 2; kod = 3; c = 2; break; /* III  */
    3393        5635 :     case  4: f = 2; kod = 4; /* IV   */
    3394        5635 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6,sqri(p)), p);
    3395        5635 :       break;
    3396       16842 :     case  6: f = 2; kod = -1; /* I0*  */
    3397       16842 :       p2 = sqri(p);
    3398             :       /* x^3 - 3c4/p^2 x - 2c6/p^3 */
    3399       16842 :       tri = mkpoln(4, gen_1, gen_0,
    3400             :                             negi(mului(3, diviiexact(c4, p2))),
    3401             :                             negi(shifti(diviiexact(c6, mulii(p2,p)), 1)));
    3402       16842 :       c = 1 + FpX_nbroots(tri, p);
    3403       16842 :       break;
    3404       11620 :     case  8: f = 2; kod = -4; /* IV*  */
    3405       11620 :       c = 2 + krosi(-6,p) * kronecker(diviiexact(c6, sqri(sqri(p))), p);
    3406       11620 :       break;
    3407       10227 :     case  9: f = 2; kod = -3; c = 2; break; /* III* */
    3408        5593 :     case 10: f = 2; kod = -2; c = 1; break; /* II*  */
    3409           0 :     default: return localredbug(p,"localred");
    3410             :   }
    3411      879410 :   return localred_result(f, kod, c, v);
    3412             : }
    3413             : 
    3414             : /* return a_{ k,l } in Tate's notation, pl = p^l */
    3415             : static ulong
    3416      888818 : aux(GEN ak, ulong q, ulong pl)
    3417      888818 : { return umodiu(ak, q) / pl; }
    3418             : 
    3419             : static ulong
    3420     1421938 : aux2(GEN ak, ulong p, GEN pl)
    3421     1421938 : { pari_sp av = avma; return gc_ulong(av, umodiu(diviiexact(ak, pl), p)); }
    3422             : 
    3423             : /* number of distinct roots of X^3 + aX^2 + bX + c modulo p = 2 or 3
    3424             :  * assume a,b,c in {0, 1} [ p = 2 ] or {0, 1, 2} [ p = 3 ]
    3425             :  * if there's a multiple root, put it in *mult */
    3426             : static long
    3427      244300 : numroots3(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3428             : {
    3429      244300 :   if (p == 2)
    3430             :   {
    3431      141162 :     if ((c + a * b) & 1) return 3;
    3432      122444 :     *mult = b; return (a + b) & 1 ? 2 : 1;
    3433             :   }
    3434             :   /* p = 3 */
    3435      103138 :   if (!a) { *mult = -c; return b ? 3 : 1; }
    3436       69027 :   *mult = a * b;
    3437       69027 :   if (b == 2)
    3438       22974 :     return (a + c) == 3 ? 2 : 3;
    3439             :   else
    3440       46053 :     return c ? 3 : 2;
    3441             : }
    3442             : 
    3443             : /* same for aX^2 +bX + c */
    3444             : static long
    3445      788928 : numroots2(long a, long b, long c, long p, long *mult)
    3446             : {
    3447      788928 :   if (p == 2) { *mult = c; return b & 1 ? 2 : 1; }
    3448             :   /* p = 3 */
    3449      301084 :   *mult = a * b; return (b * b - a * c) % 3 ? 2 : 1;
    3450             : }
    3451             : 
    3452             : /* p = 2 or 3 */
    3453             : static GEN
    3454      704361 : localred_23(GEN e, long p)
    3455             : {
    3456             :   long c, nu, nu6, nuD, r, s, t;
    3457             :   long k, theroot, p2, p3, p4, p5, a21, a42, a63, a32, a64;
    3458             :   GEN v;
    3459             : 
    3460      704361 :   k = get_vp_u_small(e, p, &nu6, &nuD);
    3461      704361 :   if (!k) v = init_ch();
    3462             :   else
    3463             :   {
    3464             :     ellmin_t M;
    3465       48776 :     min_set_all(&M, e, powuu(p, k));
    3466       48776 :     v = min_get_v(&M, e);
    3467       48776 :     e = min_to_ell(&M, e);
    3468             :   }
    3469             :   /* model is minimal */
    3470      704361 :   nuD = Z_lval(ell_get_disc(e), (ulong)p);
    3471      704361 :   if (p == 2) { p2 = 4; p3 = 8;  p4 = 16; p5 = 32; }
    3472      322826 :   else        { p2 = 9; p3 = 27; p4 = 81; p5 =243; }
    3473             : 
    3474      704361 :   if (!nuD) return localred_result(0, 1, 1, v); /* I0 */
    3475      702898 :   if (umodiu(ell_get_b2(e), p)) /* p \nmid b2 */
    3476             :   {
    3477      386162 :     if (umodiu(negi(ell_get_c6(e)), p == 2 ? 8 : 3) == 1)
    3478      196056 :       c = nuD;
    3479             :     else
    3480      190106 :       c = 2 - (nuD & 1);
    3481      386162 :     return localred_result(1, 4 + nuD, c, v); /* Inu */
    3482             :   }
    3483      316736 :   if (p == 2)
    3484             :   {
    3485      185913 :     r = umodiu(ell_get_a4(e), 2);
    3486      185913 :     s = umodiu(ell_get_a2(e), 2);
    3487      185913 :     t = umodiu(ell_get_a6(e), 2);
    3488      185913 :     if (r) { t = (s + t) & 1; s = (s + 1) & 1; }
    3489             :   }
    3490             :   else /* p == 3 */
    3491             :   {
    3492      130823 :     r = - umodiu(ell_get_b6(e), 3);
    3493      130823 :     s = umodiu(ell_get_a1(e), 3);
    3494      130823 :     t = umodiu(ell_get_a3(e), 3);
    3495      130823 :     if (s) { t  = (t + r*s) % 3; if (t < 0) t += 3; }
    3496             :   }
    3497             :   /* p | (a1, a2, a3, a4, a6) */
    3498      316736 :   if (r || s || t) e = coordch_rst(e, stoi(r), stoi(s), stoi(t));
    3499      316736 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p2))
    3500       22288 :     return localred_result(nuD, 2, 1, v); /* II */
    3501      294448 :   if (umodiu(ell_get_b8(e), p3))
    3502       27636 :     return localred_result(nuD - 1, 3, 2, v); /* III */
    3503      266812 :   if (umodiu(ell_get_b6(e), p3))
    3504             :   {
    3505       22512 :     if (umodiu(ell_get_b6(e), (p==2)? 32: 27) == (ulong)p2)
    3506       11529 :       c = 3;
    3507             :     else
    3508       10983 :       c = 1;
    3509       22512 :     return localred_result(nuD - 2, 4, c, v); /* IV */
    3510             :   }
    3511             : 
    3512      244300 :   if (umodiu(ell_get_a6(e), p3))
    3513       91063 :     e = coordch_t(e, p == 2? gen_2: modis(ell_get_a3(e), 9));
    3514             :       /* p | a1, a2; p^2  | a3, a4; p^3 | a6 */
    3515      244300 :   a21 = aux(ell_get_a2(e), p2, p);
    3516      244300 :   a42 = aux(ell_get_a4(e), p3, p2);
    3517      244300 :   a63 = aux(ell_get_a6(e), p4, p3);
    3518      244300 :   switch (numroots3(a21, a42, a63, p, &theroot))
    3519             :   {
    3520       35987 :     case 3:
    3521       35987 :       c = a63 ? 1: 2;
    3522       35987 :       if (p == 2)
    3523       18718 :         c += ((a21 + a42 + a63) & 1);
    3524             :       else {
    3525       17269 :         if (((1 + a21 + a42 + a63) % 3) == 0) c++;
    3526       17269 :         if (((1 - a21 + a42 - a63) % 3) == 0) c++;
    3527             :       }
    3528       35987 :       return localred_result(nuD - 4, -1, c, v); /* I0* */
    3529      130354 :     case 2:
    3530             :     { /* compute nu */
    3531             :       GEN pk, pk1, p2k;
    3532             :       long al, be, ga;
    3533      130354 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot * p));
    3534             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3535      130354 :       nu = 1;
    3536      130354 :       pk  = utoipos(p2);
    3537      130354 :       p2k = utoipos(p4);
    3538             :       for(;;)
    3539             :       {
    3540      387709 :         be =  aux2(ell_get_a3(e), p, pk);
    3541      387709 :         ga = -aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3542      387709 :         al = 1;
    3543      387709 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3544      323260 :         if (theroot) e = coordch_t(e, mulsi(theroot,pk));
    3545      323260 :         pk1 = pk;
    3546      323260 :         pk  = mului(p, pk);
    3547      323260 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3548             : 
    3549      323260 :         al = a21;
    3550      323260 :         be = aux2(ell_get_a4(e), p, pk);
    3551      323260 :         ga = aux2(ell_get_a6(e), p, p2k);
    3552      323260 :         if (numroots2(al, be, ga, p, &theroot) == 2) break;
    3553      257355 :         if (theroot) e = coordch_r(e, mulsi(theroot, pk1));
    3554      257355 :         p2k = mului(p, p2k); nu++;
    3555             :       }
    3556      130354 :       if (p == 2)
    3557       72268 :         c = 4 - 2 * (ga & 1);
    3558             :       else
    3559       58086 :         c = 3 + kross(be * be - al * ga, 3);
    3560      130354 :       return localred_result(nuD - 4 - nu, -4 - nu, c, v); /* Inu* */
    3561             :     }
    3562       77959 :     case 1:
    3563       77959 :       if (theroot) e = coordch_r(e, stoi(theroot*p));
    3564             :           /* p | a1; p^2  | a2, a3; p^3 | a4; p^4 | a6 */
    3565       77959 :       a32 = aux(ell_get_a3(e), p3, p2);
    3566       77959 :       a64 = aux(ell_get_a6(e), p5, p4);
    3567       77959 :       if (numroots2(1, a32, -a64, p, &theroot) == 2)
    3568             :       {
    3569       29799 :         if (p == 2)
    3570       20349 :           c = 3 - 2 * a64;
    3571             :         else
    3572        9450 :           c = 2 + kross(a32 * a32 + a64, 3);
    3573       29799 :         return localred_result(nuD - 6, -4, c, v); /* IV* */
    3574             :       }
    3575       48160 :       if (theroot) e = coordch_t(e, stoi(theroot*p2));
    3576             :           /* p | a1; p^2 | a2; p^3 | a3, a4; p^5 | a6 */
    3577       48160 :       if (umodiu(ell_get_a4(e), p4))
    3578       28966 :         return localred_result(nuD - 7, -3, 2, v); /* III* */
    3579             : 
    3580             :       /* p^6 \nmid a6, otherwise wouldn't be minimal */
    3581       19194 :       return localred_result(nuD - 8, -2, 1, v); /* II* */
    3582             :   }
    3583             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    3584             : }
    3585             : 
    3586             : /* e is integral */
    3587             : static GEN
    3588     1583386 : localred(GEN e, GEN p)
    3589             : {
    3590     1583386 :   if (abscmpiu(p, 3) > 0) /* p != 2,3 */
    3591      879410 :     return localred_p(e,p);
    3592             :   else
    3593             :   {
    3594      703976 :     long l = itos(p);
    3595      703976 :     if (l < 2) pari_err_PRIME("localred",p);
    3596      703976 :     return localred_23(e, l);
    3597             :   }
    3598             : }
    3599             : 
    3600             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 2 and z algebraic integer,
    3601             :  * return b algebraic integer such that z + 2b in  J */
    3602             : static GEN
    3603       26306 : approx_mod2(GEN J, GEN z)
    3604             : {
    3605       26306 :   GEN b = z;
    3606             :   long i;
    3607       26306 :   if (typ(b) == t_INT)
    3608             :   {
    3609       26215 :     if (mpodd(b)) b = addii(b, gcoeff(J,1,1));
    3610       26215 :     return shifti(negi(b),-1);
    3611             :   }
    3612         273 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3613             :   {
    3614         182 :     if (mpodd(gel(b,i))) b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3615             :   }
    3616          91 :   return gshift(ZC_neg(b), -1);
    3617             : }
    3618             : 
    3619             : /* Given J an ideal in HNF coprime to 3 and z algebraic integer,
    3620             :  * return b algebraic integer such that z + 3b in  J */
    3621             : static GEN
    3622       13153 : approx_mod3(GEN J, GEN z)
    3623             : {
    3624       13153 :   GEN b = z;
    3625             :   long i;
    3626       13153 :   if (typ(b) == t_INT)
    3627             :   {
    3628       13104 :     long s = smodis(b,3);
    3629       13104 :     if (s)
    3630             :     {
    3631           0 :       GEN Jz = gcoeff(J,1,1);
    3632           0 :       if (smodis(Jz, 3) == s)
    3633           0 :         b = subii(b, Jz);
    3634             :       else
    3635           0 :         b = addii(b, Jz);
    3636             :     }
    3637       13104 :     return diviiexact(b, stoi(-3));
    3638             :   }
    3639         147 :   for (i = lg(J)-1; i >= 1; i--)
    3640             :   {
    3641          98 :     long s = smodis(gel(b,i), 3);
    3642          98 :     if (!s) continue;
    3643          49 :     if (smodis(gcoeff(J,i,i), 3) == s)
    3644          21 :       b = ZC_sub(b, gel(J,i));
    3645             :     else
    3646          28 :       b = ZC_add(b, gel(J,i));
    3647             :   }
    3648          49 :   return ZC_Z_divexact(b, stoi(-3));
    3649             : }
    3650             : 
    3651             : /* return a such that v_P(a) = -1, integral elsewhere */
    3652             : static GEN
    3653        3752 : get_piinv(GEN P)
    3654             : {
    3655        3752 :   GEN z = pr_get_tau(P);
    3656        3752 :   if (typ(z) == t_MAT) z = gel(z,1);
    3657        3752 :   return gdiv(z, pr_get_p(P));
    3658             : }
    3659             : /* pi = local uniformizer, pv = 1/pi */
    3660             : static void
    3661      150486 : get_uniformizers(GEN nf, GEN P, GEN *pi, GEN *pv)
    3662             : {
    3663      150486 :   if (pr_is_inert(P))
    3664             :   {
    3665      146769 :     *pi = pr_get_p(P);
    3666      146769 :     *pv = mkfrac(gen_1, *pi);
    3667             :   }
    3668             :   else
    3669             :   {
    3670        3717 :     *pv = get_piinv(P);
    3671        3717 :     *pi = nfinv(nf, *pv);
    3672             :   }
    3673      150486 : }
    3674             : /* x^2+E.a1*x-E.a2 */
    3675             : static GEN
    3676      242060 : pola1a2(GEN e, GEN nf, GEN modP)
    3677             : {
    3678      242060 :   GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3679      242060 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3680      242060 :   return mkpoln(3, gen_1, a1, gneg(a2));
    3681             : }
    3682             : 
    3683             : /* x^2+E.a3*pv3*x-E.a6*pv6 */
    3684             : static GEN
    3685      392007 : pola3a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv3, GEN pv6)
    3686             : {
    3687      392007 :   GEN a3 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a3(e), pv3), modP);
    3688      392007 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3689      392007 :   return mkpoln(3, gen_1, a3, gneg(a6));
    3690             : }
    3691             : 
    3692             : /* E.a2*pv2*x^2 + E.a4*pv4*x + E.a6*pv6 */
    3693             : 
    3694             : static GEN
    3695      216468 : pola2a4a6(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pv2, GEN pv4, GEN pv6)
    3696             : {
    3697      216468 :   GEN a2 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a2(e), pv2), modP);
    3698      216468 :   GEN a4 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a4(e), pv4), modP);
    3699      216468 :   GEN a6 = nf_to_Fq(nf, nfmul(nf, ell_get_a6(e), pv6), modP);
    3700      216468 :   return mkpoln(3, a2, a4, a6);
    3701             : }
    3702             : 
    3703             : static GEN
    3704      585130 : pol2sqrt_23(GEN modP, GEN Q)
    3705             : {
    3706      585130 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3707      585130 :   GEN r = absequaliu(p,2) ? gel(Q,2): gel(Q,3);
    3708      585130 :   if (!gequal1(gel(Q,4))) r = Fq_div(r, gel(Q,4), T, p);
    3709      585130 :   if (absequaliu(p,2)) r = Fq_sqrt(r,T,p);
    3710      585130 :   return Fq_to_nf(r, modP);
    3711             : }
    3712             : 
    3713             : static GEN
    3714       15512 : nflocalred_section7(GEN e, GEN nf, GEN modP, GEN pi, GEN pv, long vD, GEN ch)
    3715             : {
    3716       15512 :   GEN p = modpr_get_p(modP), T = modpr_get_T(modP);
    3717       15512 :   GEN pi3 = nfsqr(nf,pi);
    3718       15512 :   GEN pv3 = nfsqr(nf,pv), pv4 = nfmul(nf,pv,pv3), pv6 = nfsqr(nf,pv3);
    3719       15512 :   long n = 1;
    3720             :   while(1)
    3721       24682 :   {
    3722       40194 :     GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv3, pv6);
    3723             :     GEN gama;
    3724       40194 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3725             :     {
    3726        8071 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3727        8071 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3728             :     }
    3729       32123 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3730       32123 :     nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi3));
    3731       32123 :     pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3732       32123 :     Q = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv4, pv6);
    3733       32123 :     if (FqX_is_squarefree(Q, T, p))
    3734             :     {
    3735        7441 :       long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3736        7441 :       return localred_result(vD-n-4,-4-n,nr+2,ch);
    3737             :     }
    3738       24682 :     gama = pol2sqrt_23(modP, Q);
    3739       24682 :     nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama, pi3));
    3740       24682 :     pi3 = nfmul(nf,pi, pi3);
    3741       24682 :     pv3 = pv4; pv4 = nfmul(nf,pv,pv4); pv6 = nfmul(nf,pv,pv6); n++;
    3742             :   }
    3743             : }
    3744             : 
    3745             : /* Tate algorithm, following J.H. Silverman GTM 151, chapt. IV, algo 9.4 */
    3746             : /* Dedicated to John Tate for his kind words */
    3747             : 
    3748             : static GEN
    3749       99435 : nflocalred_23(GEN nf, GEN e, GEN D, GEN P, long *ap)
    3750             : {
    3751             :   GEN T, p, modP;
    3752             :   long vD;
    3753             :   GEN ch, pv, pv2, pv4, pi, pol;
    3754       99435 :   modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3755       99435 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &pv);
    3756       99435 :   ch = init_ch();
    3757       99435 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3758       99435 :   *ap = 0;
    3759             :   while(1)
    3760             :   {
    3761      252567 :     if (vD==0)
    3762         721 :       return localred_result(0,1,1,ch);
    3763             :     else
    3764             :     {
    3765      251846 :       GEN a1 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a1(e), modP);
    3766      251846 :       GEN a2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a2(e), modP);
    3767      251846 :       GEN a3 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a3(e), modP);
    3768      251846 :       GEN a4 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a4(e), modP);
    3769      251846 :       GEN a6 = nf_to_Fq(nf, ell_get_a6(e), modP);
    3770             :       GEN x0, y0;
    3771      251846 :       if (absequaliu(p,2))
    3772             :       {
    3773             :         GEN x02, y02;
    3774      164444 :         if (signe(a1))
    3775             :         {
    3776       30191 :           x0 = Fq_div(a3, a1, T, p);
    3777       30191 :           x02 = Fq_sqr(x0,T,p);
    3778       30191 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(x02,Fq_add(x0,a2,T,p),T,p),Fq_add(Fq_mul(a4,x0,T,p),a6,T,p),T,p);
    3779             :         }
    3780             :         else
    3781             :         {
    3782      134253 :           x0 = Fq_sqrt(a4, T, p);
    3783      134253 :           y02 = Fq_add(Fq_mul(a4,a2,T,p),a6,T,p);
    3784             :         }
    3785      164444 :         y0 = Fq_sqrt(y02,T,p);
    3786             :       }
    3787             :       else
    3788             :       {
    3789       87402 :         GEN a12 = Fq_add(Fq_sqr(a1,T,p),a2,T,p);
    3790       87402 :         if (signe(a12))
    3791       27524 :           x0 = Fq_div(Fq_sub(a4,Fq_mul(a3,a1,T,p),T,p),a12,T,p);
    3792             :         else
    3793       59878 :           x0 = Fq_sqrtn(Fq_neg(Fq_add(Fq_sqr(a3,T,p),a6,T,p),T,p),p,T,p,NULL);
    3794       87402 :         y0 = Fq_add(Fq_mul(a1, x0, T, p), a3, T, p);
    3795             :       }
    3796      251846 :       x0 = Fq_to_nf(x0, modP);
    3797      251846 :       y0 = Fq_to_nf(y0, modP);
    3798      251846 :       nf_compose_rt(nf, &ch, &e, x0, y0);
    3799             :     }
    3800             :     /* 2 */
    3801             :     {
    3802      251846 :       GEN b2 = nf_to_Fq(nf, ell_get_b2(e), modP);
    3803      251846 :       if (signe(b2) != 0)
    3804             :       {
    3805       57715 :         GEN Q = pola1a2(e, nf, modP);
    3806       57715 :         long nr = FqX_nbroots(Q, T, p);
    3807       57715 :         if (nr==2) { *ap =  1; return localred_result(1,vD+4,vD,ch); /* Inu */ }
    3808       27895 :         else       { *ap = -1; return localred_result(1,vD+4,odd(vD)?1:2,ch);  }
    3809             :       }
    3810             :     }
    3811             :     /* 3 */
    3812             :     {
    3813      194131 :       long va6 = nfval(nf,ell_get_a6(e),P);
    3814      194131 :       if (va6 <= 1) return localred_result(vD,2,1,ch); /* II */
    3815             :     }
    3816             :     /* 4 */
    3817             :     {
    3818      191429 :       long vb8 = nfval(nf,ell_get_b8(e),P);
    3819      191429 :       if (vb8 <= 2) return localred_result(vD-1,3,2,ch);/* III */
    3820             :     }
    3821             :     /* 5 */
    3822      187719 :     pv2 = nfsqr(nf,pv);
    3823             :     {
    3824      187719 :       long vb6 = nfval(nf,ell_get_b6(e),P);
    3825      187719 :       if (vb6<=2)
    3826             :       {
    3827        3374 :         GEN Q = pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2);
    3828        3374 :         long nr = FqX_nbroots(Q,T,p);
    3829        3374 :         return localred_result(vD-2,4,1+nr,ch);/* IV */
    3830             :       }
    3831             :     }
    3832             :     /* 6 */
    3833             :     {
    3834      184345 :       GEN pv3 = nfmul(nf,pv, pv2);
    3835      184345 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pola1a2(e, nf, modP));
    3836      184345 :       GEN beta  = pol2sqrt_23(modP, pola3a6(e, nf, modP, pv, pv2));
    3837             :       GEN po2, E, F, mr;
    3838             :       long i, lE;
    3839      184345 :       nf_compose_st(nf, &ch, &e, alpha, nfmul(nf, beta, pi));
    3840      184345 :       po2 = pola2a4a6(e, nf, modP, pv, pv2, pv3);
    3841      184345 :       if (signe(po2)) /* po2 = 0 is frequent when non-minimal */
    3842             :       {
    3843       69748 :         pol = RgX_add(pol_xn(3,0), po2);
    3844       69748 :         F = FqX_factor(pol, T, p); E = gel(F,2);
    3845       69748 :         lE = lg(E);
    3846       69748 :         if (E[1] == 1 && (lE == 2 || E[2] == 1))
    3847             :         { /* T squarefree, degree pattern is (3), (12) or (111) */
    3848             :           long c; /* 1 + number of roots */
    3849        4739 :           switch(lE)
    3850             :           {
    3851        1764 :             case 2: c = 1; break;
    3852        2625 :             case 3: c = 2; break;
    3853         350 :             default: c = 4; break;
    3854             :           }
    3855        4739 :           return localred_result(vD-4,-1,c,ch);/* I0* */
    3856             :         }
    3857             :       /* 7 */
    3858       65009 :         i = (lE == 2 || E[1] == 2)? 1: 2; /* index of multiple root */
    3859       65009 :         mr = constant_coeff(gmael(F,1,i)); /* - multiple root */
    3860       65009 :         if (!gequal0(mr))
    3861             :         { /* not so frequent */
    3862       58961 :           GEN gama = Fq_to_nf(Fq_neg(mr, T, p), modP);
    3863       58961 :           nf_compose_r(nf, &ch, &e, nfmul(nf, gama,pi));
    3864             :         }
    3865       65009 :         if (lE == 3)
    3866       15512 :           return nflocalred_section7(e, nf, modP, pi, pv, vD, ch); /* Inu* */
    3867             :       }
    3868             :     }
    3869      164094 :     pv4 = nfsqr(nf,pv2);
    3870      164094 :     pol = pola3a6(e, nf, modP, pv2, pv4);
    3871             :     /*  8 */
    3872      164094 :     if (FqX_is_squarefree(pol,T,p))
    3873             :     {
    3874        4459 :       long nr = FqX_nbroots(pol, T, p);
    3875        4459 :       return localred_result(vD-6,-4,1+nr,ch); /* IV* */
    3876             :     }
    3877             :     /*  9 */
    3878             :     {
    3879      159635 :       GEN alpha = pol2sqrt_23(modP, pol);
    3880      159635 :       nf_compose_t(nf, &ch, &e, nfmul(nf, alpha, nfsqr(nf,pi)));
    3881      159635 :       if (nfval(nf, ell_get_a4(e), P) == 3)
    3882        3962 :         return localred_result(vD-7,-3,2,ch); /* III* */
    3883             :     }
    3884             :     /* 10 */
    3885      155673 :     if (nfval(nf, ell_get_a6(e), P) == 5)
    3886        2541 :       return localred_result(vD-8,-2,1,ch); /* II* */
    3887             :     /* 11 */
    3888      153132 :     nf_compose_u(nf, &ch, &e, pi, pv);
    3889      153132 :     vD -= 12;
    3890             :   }
    3891             : }
    3892             : 
    3893             : /* Local reduction, residual characteristic >= 5. E/nf, P prid
    3894             : * Output: f, kod, [u,r,s,t], c */
    3895             : static GEN
    3896       51051 : nflocalred_p(GEN e, GEN P)
    3897             : {
    3898       51051 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e), T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    3899             :   long c, f, vD, nuj, kod, m;
    3900             :   GEN ch, c4, c6, D, z, pi, piinv;
    3901             : 
    3902       51051 :   c4 = ell_get_c4(e);
    3903       51051 :   c6 = ell_get_c6(e);
    3904       51051 :   D = ell_get_disc(e);
    3905       51051 :   vD = nfval(nf,D,P);
    3906       51051 :   nuj = nfval(nf,ell_get_j(e),P);
    3907       51051 :   nuj = nuj >= 0? 0: -nuj; /* v_P(denom(j)) */
    3908       51051 :   m = (vD - nuj)/12;
    3909       51051 :   get_uniformizers(nf,P, &pi, &piinv);
    3910             : 
    3911       51051 :   if(m <= 0) ch = init_ch();
    3912             :   else
    3913             :   { /* model not minimal */
    3914             :     GEN r,s,t, a1,a2,a3, u,ui,ui2,ui4,ui6,ui12;
    3915       13153 :     u = nfpow_u(nf,pi,m);
    3916       13153 :     ui = nfpow_u(nf,piinv,m);
    3917       13153 :     ui2 = nfsqr(nf,ui);
    3918       13153 :     ui4 = nfsqr(nf,ui2);
    3919       13153 :     ui6 = nfmul(nf,ui2,ui4);
    3920       13153 :     ui12 = nfsqr(nf,ui6);
    3921       13153 :     c4 = nfmul(nf,c4,ui4);
    3922       13153 :     c6 = nfmul(nf,c6,ui6);
    3923       13153 :     D = nfmul(nf,D,ui12);  vD -= 12*m;
    3924       13153 :     a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(e));
    3925       13153 :     a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(e));
    3926       13153 :     a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(e));
    3927       13153 :     s = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(m)),   a1);
    3928       13153 :     r = gsub(a2, nfmul(nf,s,gadd(a1,s)));
    3929       13153 :     r = approx_mod3(idealpow(nf,P,stoi(2*m)), r);
    3930       13153 :     t = gadd(a3, nfmul(nf,r,a1));
    3931       13153 :     t = approx_mod2(idealpow(nf,P,stoi(3*m)), t);
    3932       13153 :     ch = mkvec4(u,r,s,t);
    3933             :   }
    3934             : 
    3935       51051 :   kod = 1; c = 1;
    3936             :   /* minimal at P */
    3937       51051 :   if (nuj > 0)
    3938             :   { /* v(j) < 0 */
    3939       47320 :     if (vD == nuj)
    3940             :     { /* v(c4) = v(c6) = 0, multiplicative reduction */
    3941       45227 :       f = 1; kod = 4+vD;
    3942       45227 :       z = Fq_neg(nf_to_Fq(nf,c6,modP), T,p);
    3943       45227 :       if (Fq_issquare(z,T,p))
    3944       24066 :         c = vD;/* split */
    3945             :       else
    3946       21161 :         c = odd(vD)?1 : 2; /* non-split */
    3947             :     }
    3948             :     else
    3949             :     { /* v(c4) = 2, v(c6) = 3, potentially multiplicative */
    3950             :       GEN Du;
    3951        2093 :       f = 2; kod = 2-vD;
    3952        2093 :       (void)nfvalrem(nf, D, P, &Du);
    3953        2093 :       z = nf_to_Fq(nf, Du, modP);
    3954        2093 :       if(odd(vD))
    3955             :       {
    3956             :         GEN c6u;
    3957        1120 :         (void)nfvalrem(nf, c6, P, &c6u);
    3958        1120 :         c6u = nf_to_Fq(nf, c6u, modP);
    3959        1120 :         z = Fq_mul(z, c6u, T,p);
    3960             :       }
    3961        2093 :       c = Fq_issquare(z,T,p)? 4: 2;
    3962             :     }
    3963             :   }
    3964             :   else
    3965             :   { /* v(j) >= 0 */
    3966        3731 :     f = vD? 2: 0;
    3967        3731 :     switch(vD)
    3968             :     {
    3969             :       GEN piinv2, piinv3, piinv4, w;
    3970          84 :       case 0: kod = 1; c = 1; break;
    3971         616 :       case 2: kod = 2; c = 1; break;
    3972         497 :       case 3: kod = 3; c = 2; break;
    3973         273 :       case 4: kod = 4;
    3974         273 :         z = nfmul(nf,c6,nfsqr(nf,piinv));
    3975         273 :         z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3976         273 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3977         273 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3978         273 :         break;
    3979         903 :       case 6: kod = -1;
    3980         903 :         piinv2 = nfsqr(nf,piinv);
    3981         903 :         piinv3 = nfmul(nf,piinv,piinv2);
    3982         903 :         z = nfmul(nf,c4,piinv2); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3983         903 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-3), T,p);
    3984         903 :         w = nfmul(nf,c6,piinv3); w = nf_to_Fq(nf, w, modP);
    3985         903 :         w = Fq_Fp_mul(w,gen_m2, T,p);
    3986         903 :         c = 1 + FqX_nbroots(mkpoln(4, gen_1,gen_0,z,w), T,p);
    3987         903 :         break;
    3988         609 :       case 8: kod = -4;
    3989         609 :         piinv4 = nfpow_u(nf,piinv,4);
    3990         609 :         z = nfmul(nf,c6,piinv4); z = nf_to_Fq(nf, z, modP);
    3991         609 :         z = Fq_Fp_mul(z,stoi(-6),T,p);
    3992         609 :         c = Fq_issquare(z,T,p)? 3: 1;
    3993         609 :         break;
    3994         476 :       case 9: kod = -3; c = 2; break;
    3995         273 :       case 10: kod = -2; c = 1; break;
    3996             :     }
    3997       51051 :   }
    3998       51051 :   return localred_result(f,kod,c,ch);
    3999             : }
    4000             : /* E is integral */
    4001             : static GEN
    4002      101353 : nflocalred(GEN E, GEN pr)
    4003             : {
    4004      101353 :   GEN p = pr_get_p(pr);
    4005      101353 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4006             :   {
    4007             :     long i, ap, vu;
    4008       50302 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4009       50302 :     GEN q = nflocalred_23(nf,e,D,pr,&ap), v = gel(q,3), u = gel(v,1);
    4010       50302 :     gel(q,3) = v;
    4011             :     /* do nothing if already minimal or equation was not pr-integral */
    4012       50302 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4013       50302 :     if (vu > 0)
    4014             :     { /* remove denominators in r,s,t on nf.zk */
    4015       49315 :       GEN D, r = gel(v,2), s = gel(v,3), t = gel(v,4);
    4016       49315 :       D = Q_denom(mkvec3(r, s, t));
    4017       49315 :       if (!equali1(D))
    4018             :       { /* Beware: D may not be coprime to pr */
    4019             :         GEN a;
    4020         413 :         (void)nfvalrem(nf, D, pr, &D);
    4021             :         /* a in D/p^oo, = 1 mod (u^6) locally */
    4022         413 :         a = idealaddtoone_i(nf, D, idealpows(nf, pr, 6*vu));
    4023         413 :         gel(v,2) = nfmul(nf, r, a);
    4024         413 :         gel(v,3) = nfmul(nf, s, a);
    4025         413 :         gel(v,4) = nfmul(nf, t, a);
    4026             :       }
    4027             :     }
    4028      251510 :     for(i=1; i <= 4; i++) gel(v,i) = nftoalg(nf, gel(v,i));
    4029       50302 :     return q;
    4030             :   }
    4031       51051 :   return nflocalred_p(E,pr);
    4032             : }
    4033             : 
    4034             : static GEN
    4035     3351417 : checkellp(GEN *pE, GEN p, GEN *pv, const char *s)
    4036             : {
    4037     3351417 :   GEN q, E = *pE;
    4038             :   long tE;
    4039     3351417 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    4040     3351404 :   if (pv) *pv = NULL;
    4041     3351404 :   if (p) switch(typ(p))
    4042             :   {
    4043     2995818 :     case t_INT:
    4044     2995818 :       if (cmpis(p, 2) < 0) pari_err_DOMAIN(s,"p", "<", gen_2, p);
    4045     2995806 :       break;
    4046      196882 :     case t_VEC:
    4047      196882 :       q = get_prid(p);
    4048      196882 :       if (q && tE == t_ELL_NF)
    4049             :       {
    4050      196882 :         *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4051      196882 :         return q;
    4052             :       }
    4053           7 :     default: pari_err_TYPE(s,p);
    4054             :   }
    4055     3154503 :   switch(tE)
    4056             :   {
    4057      180208 :     case t_ELL_Fp:
    4058      180208 :     case t_ELL_Fq: q = ellff_get_p(E); break;
    4059         273 :     case t_ELL_Qp: q = ellQp_get_p(E); break;
    4060     2974022 :     case t_ELL_Q: if (p) { q = p; p = NULL; break; }
    4061             :     default:
    4062          14 :       pari_err_TYPE(stack_strcat(s," [can't determine p]"), E);
    4063             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4064             :   }
    4065     3154489 :   if (p && !equalii(p, q)) pari_err_MODULUS(s, p,q);
    4066     3154454 :   if (tE == t_ELL_Q || tE == t_ELL_Qp || tE == t_ELL_NF)
    4067     2974245 :     *pE = ellintegralmodel_i(E, pv);
    4068     3154460 :   return q;
    4069             : }
    4070             : 
    4071             : GEN
    4072      197085 : elllocalred(GEN E, GEN p)
    4073             : {
    4074      197085 :   pari_sp av = avma;
    4075             :   GEN v, q;
    4076      197085 :   checkell(E);
    4077      197085 :   p = checkellp(&E, p, &v, "elllocalred");
    4078      197071 :   switch(ell_get_type(E))
    4079             :   {
    4080       99477 :     case t_ELL_Qp:
    4081       99477 :     case t_ELL_Q:  q = localred(E, p); break;
    4082       97594 :     case t_ELL_NF: q = nflocalred(E, p); break;
    4083           0 :     default: pari_err_TYPE("elllocalred", E);
    4084             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4085             :   }
    4086      197071 :   if (v)
    4087             :   { /* compose local change of variables with v */
    4088          28 :     GEN u = gel(v,1), w = gel(q,3);
    4089          28 :     if (is_trivial_change(w))
    4090          21 :       gel(q,3) = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4091             :     else
    4092           7 :       gel(w,1) = gmul(u, gel(w,1));
    4093             :   }
    4094      197071 :   return gerepilecopy(av, q);
    4095             : }
    4096             : 
    4097             : /* typ(c) = t_INT or t_FRAC */
    4098             : static GEN
    4099        9247 : handle_Q(GEN c, GEN *pd)
    4100             : {
    4101        9247 :   *pd = (typ(c) == t_INT)? NULL: gel(c,2);
    4102        9247 :   return c;
    4103             : }
    4104             : static GEN
    4105    18159304 : handle_coeff(GEN nf, GEN c, GEN *pd)
    4106             : {
    4107    18159304 :   *pd = NULL;
    4108    18159304 :   switch(typ(c))
    4109             :   {
    4110    18148064 :     case t_INT: *pd = NULL; return c;
    4111        1995 :     case t_FRAC: *pd = gel(c,2); return c;
    4112        9247 :     case t_POL: case t_POLMOD: case t_COL:
    4113        9247 :       if (nf)
    4114             :       {
    4115        9247 :         c = nf_to_scalar_or_basis(nf,c);
    4116        9247 :         return handle_Q(Q_content(c), pd);
    4117             :       }
    4118           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",c);
    4119             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    4120             :   }
    4121             : }
    4122             : /* Return an integral model for e / nf, Q. Set v = NULL (already integral)
    4123             :  * or the variable change [u,0,0,0], u = 1/t, t > 1 integer making e integral */
    4124             : GEN
    4125     3631888 : ellintegralmodel_i(GEN e, GEN *pv)
    4126             : {
    4127             :   GEN a, t, u, L, nf;
    4128             :   long i, l, k;
    4129             : 
    4130     3631888 :   if (pv) *pv = NULL;
    4131             :   /* t_ELL_Qp is also possible */
    4132     3631888 :   nf = (ell_get_type(e) == t_ELL_NF)?ellnf_get_nf(e): NULL;
    4133     3631883 :   L = cgetg(1, t_VEC); a = cgetg(6, t_VEC);
    4134    21791167 :   for (i = 1; i < 6; i++)
    4135             :   {
    4136             :     GEN d;
    4137    18159271 :     gel(a,i) = handle_coeff(nf, gel(e,i), &d);
    4138    18159309 :     if (d) /* partial factorization of denominator */
    4139        2968 :       L = shallowconcat(L, gel(Z_factor_limit(d, 0),1));
    4140             :   }
    4141             :   /* a = [a1, a2, a3, a4, a6] */
    4142     3631896 :   l = lg(L); if (l == 1) return e;
    4143        1474 :   L = ZV_sort_uniq(L);
    4144        1477 :   l = lg(L);
    4145             : 
    4146        1477 :   t = gen_1;
    4147        3500 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4148             :   {
    4149        2023 :     GEN p = gel(L,k);
    4150        2023 :     long n = 0, m;
    4151       12138 :     for (i = 1; i < 6; i++)
    4152       10115 :       if (!gequal0(gel(a,i)))
    4153             :       {
    4154        5215 :         long r = (i == 5)? 6: i; /* a5 is missing */
    4155        5215 :         m = r * n + Q_pval(gel(a,i), p);
    4156        7651 :         while (m < 0) { n++; m += r; }
    4157             :       }
    4158        2023 :     t = mulii(t, powiu(p, n));
    4159             :   }
    4160        1477 :   u = ginv(t);
    4161        1477 :   if (pv) *pv = mkvec4(u,gen_0,gen_0,gen_0);
    4162        1477 :   return coordch_uinv(e, t);
    4163             : }
    4164             : GEN
    4165         329 : ellintegralmodel(GEN e, GEN *pv)
    4166             : {
    4167         329 :   pari_sp av = avma;
    4168         329 :   checkell(e);
    4169         329 :   switch(ell_get_type(e))
    4170             :   {
    4171         329 :     case t_ELL_Q:
    4172             :     case t_ELL_Qp:
    4173         329 :     case t_ELL_NF: break;
    4174           0 :     default: pari_err_TYPE("ellintegralmodel",e);
    4175             :   }
    4176         329 :   e = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4177         329 :   if (!pv || !*pv)
    4178             :   {
    4179         308 :     e = gerepilecopy(av, e);
    4180         308 :     if (pv) *pv = init_ch();
    4181             :   }
    4182             :   else
    4183          21 :     gerepileall(av, 2, &e, pv);
    4184         329 :   return e;
    4185             : }
    4186             : 
    4187             : /* return an integral model with a1 = a3 = 0 */
    4188             : GEN
    4189           0 : ellintegralbmodel(GEN e, GEN *pv)
    4190             : {
    4191           0 :   GEN f = ellintegralmodel_i(e, pv);
    4192           0 :   GEN a1 = ell_get_a1(f), a3 = ell_get_a3(f);
    4193           0 :   if (signe(a1)==0 && signe(a3)==0)
    4194             :   {
    4195           0 :     if (!*pv) *pv = init_ch();
    4196           0 :     return f;
    4197             :   }
    4198             :   else
    4199             :   {
    4200           0 :     GEN urst = mkvec4(mpodd(a1) || mpodd(a3) ? ghalf: gen_1,
    4201             :         gen_0, gdivgs(a1,-2), gdivgs(a3,-2));
    4202           0 :     gcomposev(pv, urst);
    4203           0 :     return coordch(f, urst);
    4204             :   }
    4205             : }
    4206             : 
    4207             : static long
    4208        2520 : F2_card(ulong a1, ulong a2, ulong a3, ulong a4, ulong a6)
    4209             : {
    4210        2520 :   long N = 1; /* oo */
    4211        2520 :   if (!a3) N ++; /* x = 0, y=0 or 1 */
    4212        2387 :   else if (!a6) N += 2; /* x = 0, y arbitrary */
    4213        2520 :   if ((a3 ^ a1) == 0) N++; /* x = 1, y = 0 or 1 */
    4214        2107 :   else if (a2 ^ a4 ^ a6) N += 2; /* x = 1, y arbitrary */
    4215        2520 :   return N;
    4216             : }
    4217             : static long
    4218        3115 : F3_card(ulong b2, ulong b4, ulong b6)
    4219             : {
    4220        3115 :   ulong Po = 1+2*b4, Pe = b2+b6;
    4221             :   /* kro(x,3)+1 = (x+1)%3, N = 4 + sum(kro) = 1+ sum(1+kro) */
    4222        3115 :   return 1+(b6+1)%3+(Po+Pe+1)%3+(2*Po+Pe+1)%3;
    4223             : }
    4224             : static long
    4225        2499 : cardmod2(GEN e)
    4226             : { /* solve y(1 + a1x + a3) = x (1 + a2 + a4) + a6 */
    4227        2499 :   ulong a1 = Rg_to_F2(ell_get_a1(e));
    4228        2499 :   ulong a2 = Rg_to_F2(ell_get_a2(e));
    4229        2499 :   ulong a3 = Rg_to_F2(ell_get_a3(e));
    4230        2499 :   ulong a4 = Rg_to_F2(ell_get_a4(e));
    4231        2499 :   ulong a6 = Rg_to_F2(ell_get_a6(e));
    4232        2499 :   return F2_card(a1,a2,a3,a4,a6);
    4233             : }
    4234             : static long
    4235        2975 : cardmod3(GEN e)
    4236             : {
    4237        2975 :   ulong b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(e), 3);
    4238        2975 :   ulong b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(e), 3);
    4239        2975 :   ulong b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(e), 3);
    4240        2975 :   return F3_card(b2,b4,b6);
    4241             : }
    4242             : 
    4243             : static ulong
    4244         378 : ZtoF2(GEN x) { return (ulong)mpodd(x); }
    4245             : 
    4246             : /* complete local reduction at 2, u = 2^d */
    4247             : static void
    4248          28 : min_set_2(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4249             : {
    4250          28 :   min_set_u(M, int2n(d));
    4251          28 :   min_set_c(M, E);
    4252          28 :   min_set_b(M);
    4253          28 :   min_set_a(M);
    4254          28 : }
    4255             : /* local reduction at 3, u = 3^d, don't compute the a_i */
    4256             : static void
    4257         140 : min_set_3(ellmin_t *M, GEN E, long d)
    4258             : {
    4259         140 :   min_set_u(M, powuu(3, d));
    4260         140 :   min_set_c(M, E);
    4261         140 :   min_set_b(M);
    4262         140 : }
    4263             : 
    4264             : static long
    4265      102326 : ellQap_u(GEN E, ulong p, int *good_red)
    4266             : {
    4267      102326 :   long vc6, vD, d = get_vp_u_small(E, p, &vc6, &vD);
    4268      102326 :   if (vD) /* bad reduction */
    4269             :   {
    4270             :     GEN c6;
    4271             :     long s;
    4272      102018 :     *good_red = 0;
    4273      102018 :     if (vc6) return 0;
    4274       75124 :     c6 = ell_get_c6(E);
    4275       75124 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powuu(p, 6*d));
    4276       75124 :     s = kroiu(c6,p);
    4277       75124 :     if ((p & 3) == 3) s = -s;
    4278       75124 :     return s;
    4279             :   }
    4280         308 :   *good_red = 1;
    4281         308 :   if (p == 2)
    4282             :   {
    4283             :     ellmin_t M;
    4284          21 :     if (!d) return 3 - cardmod2(E);
    4285          21 :     min_set_2(&M, E, d);
    4286          21 :     return 3 - F2_card(M.a1, M.a2 & 1, M.a3, ZtoF2(M.a4), ZtoF2(M.a6));
    4287             :   }
    4288         287 :   else if (p == 3)
    4289             :   {
    4290             :     ellmin_t M;
    4291         140 :     if (!d) return 4 - cardmod3(E);
    4292         140 :     min_set_3(&M, E, d);
    4293         140 :     return 4 - F3_card(M.b2, umodiu(M.b4,3), umodiu(M.b6,3));
    4294             :   }
    4295             :   else
    4296             :   {
    4297             :     ellmin_t M;
    4298         147 :     GEN a4, a6, pp = utoipos(p);
    4299         147 :     min_set_u(&M, powuu(p,d));
    4300         147 :     min_set_c(&M, E);
    4301         147 :     c4c6_to_a4a6(M.c4, M.c6, pp, &a4,&a6);
    4302         147 :     return itos( subui(p+1, Fp_ellcard(a4, a6, pp)) );
    4303             :   }
    4304             : }
    4305             : 
    4306             : static GEN
    4307       98553 : ellQap(GEN E, GEN p, int *good_red)
    4308             : {
    4309             :   GEN a4,a6, c4, c6, D;
    4310             :   long vc6, vD, d;
    4311       98553 :   if (lgefint(p) == 3) return stoi( ellQap_u(E, p[2], good_red) );
    4312           0 :   c6 = ell_get_c6(E);
    4313           0 :   D = ell_get_disc(E);
    4314           0 :   vc6 = Z_pval(c6,p); vD = Z_pval(D,p);
    4315           0 :   d = minss(2*vc6, vD) / 12;
    4316           0 :   if (d) { vc6 -= 6*d; vD -= 12*d; } /* non minimal model */
    4317           0 :   if (vD) /* bad reduction */
    4318             :   {
    4319             :     long s;
    4320           0 :     *good_red = 0;
    4321           0 :     if (vc6) return gen_0;
    4322           0 :     if (d) c6 = diviiexact(c6, powiu(p, 6*d));
    4323           0 :     s = kronecker(c6,p);
    4324           0 :     if (mod4(p) == 3) s = -s;
    4325           0 :     return s < 0? gen_m1: gen_1;
    4326             :   }
    4327           0 :   *good_red = 1;
    4328           0 :   c4 = ell_get_c4(E);
    4329           0 :   if (d)
    4330             :   {
    4331           0 :     GEN u2 = powiu(p, 2*d), u4 = sqri(u2), u6 = mulii(u2,u4);
    4332           0 :     c4 = diviiexact(c4, u4);
    4333           0 :     c6 = diviiexact(c6, u6);
    4334             :   }
    4335           0 :   c4c6_to_a4a6(c4, c6, p, &a4,&a6);
    4336           0 :   return subii(addiu(p,1), Fp_ellcard(a4, a6, p));
    4337             : }
    4338             : 
    4339             : static GEN
    4340      117110 : doellcard(GEN E)
    4341             : {
    4342      117110 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    4343      117110 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    4344       95403 :     return FF_ellcard(E);
    4345             :   else
    4346             :   {
    4347       21707 :     GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    4348       21707 :     return Fp_ellcard(gel(e,1),gel(e,2),fg);
    4349             :   }
    4350             : }
    4351             : 
    4352             : static GEN
    4353      173187 : ellnfap(GEN E, GEN P, int *good_red)
    4354             : {
    4355      173187 :   GEN a4,a6, card, nf = ellnf_get_nf(E);
    4356      173185 :   GEN T,p, modP = nf_to_Fq_init(nf,&P,&T,&p);
    4357      173180 :   if (abscmpiu(p, 3) <= 0)
    4358             :   {
    4359             :     long ap;
    4360       49133 :     GEN nf = ellnf_get_nf(E), e = ell_to_nfell10(E), D = ell_get_disc(E);
    4361       49133 :     GEN L = nflocalred_23(nf, e,D,P,&ap), kod = gel(L,2);
    4362       49133 :     if (!equali1(kod)) { *good_red = 0; return stoi(ap); }
    4363         462 :     *good_red = 1;
    4364         462 :     E = nf_coordch(nf, vecslice(e,1,5), gel(L,3));
    4365         462 :     E = ellinit_nf_to_Fq(nf, E, modP);
    4366         462 :     card = FF_ellcard(E);
    4367             :   }
    4368             :   else
    4369             :   {
    4370      124045 :     GEN c6 = ell_get_c6(E), c4 = ell_get_c4(E);
    4371      124037 :     long vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), P);
    4372      124007 :     if (vD)
    4373             :     {
    4374             :       GEN c6new;
    4375       49168 :       long d, vc6 = nfvalrem(nf,c6,P, &c6new);
    4376       49168 :       d = ((vc6 == LONG_MAX)? vD: minss(vD,2*vc6)) / 12;
    4377       49168 :       if (vD > 12*d)
    4378             :       { /* bad reduction */
    4379       49133 :         *good_red = 0;
    4380       92911 :         if (vc6 != 6*d) return gen_0;
    4381       43778 :         c6 = nf_to_Fq(nf, c6new, modP);
    4382       43778 :         return Fq_issquare(gneg(c6),T,p)? gen_1: gen_m1;
    4383             :       }
    4384          35 :       if (d)
    4385             :       { /* model not minimal at P */
    4386          35 :         GEN piinv = get_piinv(P);
    4387          35 :         GEN ui2 = nfpow(nf, piinv, stoi(2*d));
    4388          35 :         GEN ui4 = nfsqr(nf, ui2);
    4389          35 :         GEN ui6 = nfmul(nf, ui2, ui4);
    4390          35 :         c4 = nfmul(nf, c4, ui4);
    4391          35 :         c6 = nfmul(nf, c6, ui6);
    4392             :       }
    4393             :     }
    4394       74874 :     *good_red = 1;
    4395       74874 :     c4 = nf_to_Fq(nf, c4, modP);
    4396       74887 :     c6 = nf_to_Fq(nf, c6, modP);
    4397       74892 :     Fq_c4c6_to_a4a6(c4, c6, T,p, &a4,&a6);
    4398       74915 :     card = T? FpXQ_ellcard(Fq_to_FpXQ(a4,T,p),Fq_to_FpXQ(a6,T,p),T,p)
    4399       74870 :             : Fp_ellcard(a4,a6,p);
    4400             :   }
    4401       75376 :   return subii(addiu(pr_norm(P),1), card);
    4402             : }
    4403             : 
    4404             : /* a, b not both 0; sorted list of primes dividing gcd(a,b), using coprime
    4405             :  * basis */
    4406             : static GEN
    4407      456491 : Z_gcd_primes(GEN a, GEN b)
    4408             : {
    4409             :   GEN P;
    4410      456491 :   if (!signe(a))
    4411        1715 :     P = gel(absZ_factor(b), 1);
    4412      454776 :   else if (!signe(b))
    4413         959 :     P = gel(absZ_factor(a), 1);
    4414             :   else
    4415             :   {
    4416      453817 :     GEN A, B, v = Z_ppio(a,b), d = gel(v,1); /* = gcd(a,b) */
    4417             :     long k, l;
    4418      453817 :     if (is_pm1(d)) return cgetg(1, t_COL);
    4419      345429 :     A = gel(v,2); /* gcd(a, b^oo) */
    4420      345429 :     B = diviiexact(b, Z_ppo(b, d)); /* gcd(b, a^oo) */
    4421             :     /* d = gcd(A,B) */
    4422      345429 :     P = Z_cba(A, B); /* use coprime basis to help as much as possible */
    4423      345429 :     l = lg(P);
    4424      807849 :     for (k = 1; k < l; k++) gel(P,k) = gel(Z_factor(gel(P,k)), 1);
    4425      345429 :     P = shallowconcat1(P);
    4426      345429 :     P = ZV_sort(P);
    4427             :   }
    4428      348103 :   settyp(P, t_VEC); return P;
    4429             : }
    4430             : /* E/Q, integral model, Laska-Kraus-Connell algorithm. Set *pDP to a list
    4431             :  * of known prime divisors of minimal discriminant */
    4432             : static GEN
    4433      455581 : ellQ_minimalu(GEN E, GEN *pDP)
    4434             : {
    4435             :   pari_sp av;
    4436      455581 :   GEN D = ell_get_disc(E);
    4437      455581 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    4438      455581 :   GEN c6 = ell_get_c6(E), g, u, P, DP;
    4439             :   long l, k;
    4440             : 
    4441      455581 :   P = Z_gcd_primes(c4, c6);
    4442      455581 :   l = lg(P); if (l == 1) { if(pDP) *pDP = P; return gen_1; }
    4443      347333 :   DP = coltrunc_init(l);
    4444      347333 :   av = avma;
    4445      347333 :   g = gcdii(sqri(c6), D);
    4446      347333 :   u = gen_1;
    4447      854616 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4448             :   {
    4449      507283 :     GEN p = gel(P, k);
    4450      507283 :     long vg = Z_pval(g, p), d = vg / 12, r = vg % 12;
    4451      507283 :     if (d) switch(itou_or_0(p))
    4452             :     {
    4453       57323 :       case 2:
    4454             :       {
    4455             :         long a, b;
    4456       57323 :         a = Mod16( shifti(c4, -4*d) );
    4457       57323 :         b = Mod32( shifti(c6, -6*d) );
    4458       57323 :         if ((b & 3) != 3 && (a || (b && b!=8))) { d--; r += 12; }
    4459       57323 :         break;
    4460             :       }
    4461        2821 :       case 3:
    4462        2821 :         if (safe_Z_lval(c6,3) == 6*d+2) { d--; r += 12; }
    4463        2821 :         break;
    4464             :     }
    4465      507283 :     if (r) vectrunc_append(DP, p);
    4466      507283 :     if (d) u = mulii(u, powiu(p, d));
    4467             :   }
    4468      347333 :   if (pDP) *pDP = DP;
    4469      347333 :   return gerepileuptoint(av, u);
    4470             : }
    4471             : 
    4472             : /* Ensure a1 and a3 are 2-restricted and a2 is 3-restricted */
    4473             : static GEN
    4474          35 : nfrestrict23(GEN nf, GEN E)
    4475             : {
    4476          35 :   GEN a1 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a1(E)), A1, A2, A3, r, s, t;
    4477          35 :   GEN a2 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a2(E));
    4478          35 :   GEN a3 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_a3(E));
    4479             : 
    4480          35 :   A1 = gmodgs(a1,2);
    4481          35 :   s = gshift(gsub(A1,a1), -1);
    4482          35 :   s = lift_if_rational(basistoalg(nf, s));
    4483          35 :   A2 = nfsub(nf, a2, nfmul(nf,s, nfadd(nf,a1,s)));
    4484          35 :   r = gdivgs(gsub(gmodgs(A2,3), A2), 3);
    4485          35 :   r = lift_if_rational(basistoalg(nf, r));
    4486          35 :   A3 = nfadd(nf, a3, nfmul(nf,r,A1));
    4487          35 :   t = nfadd(nf, nfmul(nf, r,s), gshift(gsub(gmodgs(A3,2), A3), -1));
    4488          35 :   t = lift_if_rational(basistoalg(nf, t));
    4489          35 :   return mkvec4(gen_1, r, s, t);
    4490             : }
    4491             : 
    4492             : static GEN
    4493        2604 : zk_capZ(GEN nf, GEN x)
    4494             : {
    4495        2604 :   GEN mx = zk_scalar_or_multable(nf, x);
    4496        2604 :   return (typ(mx) == t_INT)? mx: zkmultable_capZ(mx);
    4497             : }
    4498             : static GEN
    4499         910 : ellnf_c4c6_primes(GEN E)
    4500             : {
    4501         910 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4502         910 :   GEN c4Z = zk_capZ(nf, ell_get_c4(E));
    4503         910 :   GEN c6Z = zk_capZ(nf, ell_get_c6(E));
    4504         910 :   return Z_gcd_primes(c4Z, c6Z); /* primes dividing (c4,c6) \cap Z */
    4505             : }
    4506             : static GEN
    4507         784 : ellnf_D_primes(GEN E)
    4508             : {
    4509         784 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    4510         784 :   GEN P = ellnf_c4c6_primes(E);
    4511         784 :   GEN DZ = zk_capZ(nf, ell_get_disc(E));
    4512         784 :   long k, l = lg(P);
    4513        1890 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(DZ, gel(P,k), &DZ);
    4514         784 :   if (!is_pm1(DZ))
    4515             :   {
    4516         693 :     GEN Q = gel(absZ_factor(DZ),1);
    4517         693 :     settyp(Q, t_VEC); P = ZV_sort(shallowconcat(P, Q));
    4518             :   }
    4519         784 :   return P;
    4520             : }
    4521             : 
    4522             : /* convert vector of localreds to NF_MINIMALPRIMES */
    4523             : static GEN
    4524         889 : Q_to_minimalprimes(GEN nf, GEN P, GEN Q)
    4525             : {
    4526             :   GEN L, Lr, Ls, Lt, U;
    4527         889 :   long k, l = lg(P);
    4528         889 :   Lr = vectrunc_init(l);
    4529         889 :   Ls = vectrunc_init(l);
    4530         889 :   Lt = vectrunc_init(l);
    4531         889 :   L = vectrunc_init(l); settyp(L,t_COL);
    4532         889 :   U = vectrunc_init(l); settyp(U,t_COL);
    4533        4326 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4534             :   {
    4535        3437 :     GEN pr = gel(P, k), q = gel(Q, k), v, u;
    4536             :     long vu;
    4537        3437 :     v = gel(q,3);
    4538        3437 :     u = gel(v,1);
    4539        3437 :     vu = nfval(nf, u, pr);
    4540        3437 :     if (!vu) continue;
    4541         784 :     vectrunc_append(Lr, gel(v,2));
    4542         784 :     vectrunc_append(Ls, gel(v,3));
    4543         784 :     vectrunc_append(Lt, gel(v,4));
    4544         784 :     vectrunc_append(L, pr);
    4545         784 :     vectrunc_append(U, stoi(vu));
    4546             :   }
    4547         889 :   return mkvec5(L, U, Lr, Ls, Lt);
    4548             : }
    4549             : /* E integral */
    4550             : static GEN
    4551         931 : ellminimalprimes(GEN E)
    4552             : {
    4553             :   GEN S, nf, c4, c6, P, Q;
    4554             :   long j, k, l;
    4555             : 
    4556         931 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALPRIMES))) return S;
    4557         126 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4558         126 :   c4 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c4(E));
    4559         126 :   c6 = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_c6(E));
    4560         126 :   if (typ(c4) == t_INT) c4 = NULL;
    4561         126 :   if (typ(c6) == t_INT) c6 = NULL;
    4562         126 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_c4c6_primes(E));
    4563         126 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4564         574 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4565             :   {
    4566         448 :     GEN pr = gel(P, k);
    4567         448 :     if (c4 && !ZC_prdvd(c4,pr)) continue;
    4568         406 :     if (c6 && !ZC_prdvd(c6,pr)) continue;
    4569         399 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, pr); /* pr | (c4,c6) */
    4570         399 :     gel(P,j++) = pr;
    4571             :   }
    4572         126 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4573         126 :   return obj_insert(E, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4574             : }
    4575             : static GEN
    4576         812 : ellnf_minimalnormu(GEN E0)
    4577             : {
    4578         812 :   GEN E, S, L, U, P, v, Nu = NULL, nf = ellnf_get_nf(E0);
    4579             :   long i, l;
    4580         812 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4581         812 :   S = ellminimalprimes(E);
    4582         812 :   L = gel(S,1);
    4583         812 :   U = gel(S,2);
    4584         812 :   if (v) Nu = idealnorm(nf, gel(v,1));
    4585         812 :   P = cgetg_copy(L, &l);
    4586        1484 :   for (i = 1; i < l; i++) gel(P,i) = pr_norm(gel(L,i));
    4587         812 :   P = factorback2(P, U);
    4588         812 :   if (Nu) P = gmul(Nu, P);
    4589         812 :   return P;
    4590             : }
    4591             : /* E integral model; return change of variable to miminal model (t_VEC)
    4592             :  * or (non-trivial) Weierstrass class (t_COL) */
    4593             : static GEN
    4594          56 : bnf_get_v(GEN E)
    4595             : {
    4596          56 :   GEN bnf = ellnf_get_bnf(E);
    4597             :   GEN nf, L, Lr, Ls, Lt, F, C, U, R, S, T;
    4598             : 
    4599          56 :   if (!bnf) pari_err_TYPE("ellminimalmodel (need a bnf)", ellnf_get_nf(E));
    4600          56 :   S = ellminimalprimes(E);
    4601          56 :   L = gel(S,1);
    4602          56 :   U = gel(S,2);
    4603          56 :   Lr = gel(S,3);
    4604          56 :   Ls = gel(S,4);
    4605          56 :   Lt = gel(S,5);
    4606          56 :   F = isprincipalfact(bnf, NULL, L, U, nf_GEN);
    4607          56 :   if (!gequal0(gel(F,1))) return gel(F,1);
    4608          35 :   nf = bnf_get_nf(bnf);
    4609          35 :   C = idealchinese(nf, mkmat2(L, ZC_z_mul(U,6)), NULL);
    4610          35 :   U = basistoalg(nf, gel(F,2));
    4611          35 :   R = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lr));
    4612          35 :   S = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Ls));
    4613          35 :   T = basistoalg(nf, idealchinese(nf, C, Lt));
    4614          35 :   return lift_if_rational(mkvec4(U,R,S,T));
    4615             : }
    4616             : 
    4617             : GEN
    4618          70 : ellminimaldisc(GEN E)
    4619             : {
    4620          70 :   pari_sp av = avma;
    4621          70 :   checkell(E);
    4622          70 :   switch(ell_get_type(E))
    4623             :   {
    4624           7 :     case t_ELL_Q:
    4625           7 :       E = ellminimalmodel(E,NULL);
    4626           7 :       return gerepileuptoint(av, absi_shallow(ell_get_disc(E)));
    4627          63 :     case t_ELL_NF:
    4628             :     {
    4629          63 :       GEN nf = ellnf_get_nf(E), S, L, U, D;
    4630          63 :       E = ellintegralmodel_i(E,NULL);
    4631          63 :       S = ellminimalprimes(E);
    4632          63 :       L = gel(S,1);
    4633          63 :       U = ZC_z_mul(gel(S,2), 12);
    4634          63 :       D = idealfactorback(nf, L, U, 0);
    4635          63 :       return gerepileupto(av, idealdiv(nf, ell_get_disc(E), D));
    4636             :     }
    4637           0 :     default: pari_err_TYPE("ellminimaldisc (E / number field)", E);
    4638             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4639             :   }
    4640             : }
    4641             : 
    4642             : /* update Q_MINIMALMODEL entry in E, but don't update type-specific data on
    4643             :  * ellminimalmodel(E) */
    4644             : static GEN
    4645      456932 : ellminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4646             : {
    4647             :   GEN S, y, e, v, v0, u, DP;
    4648             :   ellmin_t M;
    4649      456932 :   if ((S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL)))
    4650             :   {
    4651        1358 :     if (lg(S) != 2)
    4652             :     {
    4653          56 :       E = gel(S,3);
    4654          56 :       v = gel(S,2);
    4655             :     }
    4656             :     else
    4657        1302 :       v = init_ch();
    4658        1358 :     if (ptv) *ptv = v;
    4659        1358 :     return gcopy(E);
    4660             :   }
    4661      455574 :   e = ellintegralmodel_i(E, &v0);
    4662      455574 :   u = ellQ_minimalu(e, &DP);
    4663      455574 :   min_set_all(&M, e, u);
    4664      455574 :   v = min_get_v(&M, e);
    4665      455574 :   y = min_to_ell(&M, e);
    4666      455574 :   if (v0) { gcomposev(&v0, v); v = v0; }
    4667      455574 :   if (is_trivial_change(v))
    4668             :   {
    4669      454020 :     v = init_ch();
    4670      454020 :     S = mkvec(DP);
    4671             :   }
    4672             :   else
    4673        1554 :     S = mkvec3(DP, v, y);
    4674      455574 :   obj_insert(E, Q_MINIMALMODEL, S);
    4675      455574 :   if (ptv) *ptv = v; return y;
    4676             : }
    4677             : 
    4678             : static GEN
    4679        2016 : ellQminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4680             : {
    4681        2016 :   pari_sp av = avma;
    4682        2016 :   GEN S, DP, v, y = ellminimalmodel_i(E, &v);
    4683        2016 :   if (!is_trivial_change(v)) ch_Q(y, E, v);
    4684        2016 :   S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4685        2016 :   DP = gel(S,1);
    4686        2016 :   obj_insert_shallow(y, Q_MINIMALMODEL, mkvec(DP));
    4687        2016 :   if (!ptv)
    4688        1981 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4689             :   else
    4690          35 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4691        2016 :   return y;
    4692             : }
    4693             : 
    4694             : static GEN
    4695          56 : ellnfminimalmodel_i(GEN E, GEN *ptv)
    4696             : {
    4697             :   GEN S, y, v, v2;
    4698          56 :   if ((S = obj_check(E, NF_MINIMALMODEL)))
    4699             :   {
    4700           0 :     switch(lg(S))
    4701             :     {
    4702           0 :       case 1: v = init_ch(); break;
    4703           0 :       case 2: v = NULL; E = gel(S,1); break;
    4704           0 :       default: E = gel(S,2); v = gel(S,1); break;
    4705             :     }
    4706           0 :     *ptv = v;
    4707           0 :     return gcopy(E);
    4708             :   }
    4709          56 :   *ptv = NULL;
    4710          56 :   y = ellintegralmodel_i(E, &v);
    4711          56 :   v2 = bnf_get_v(y);
    4712          56 :   if (typ(v2) == t_COL)
    4713             :   {
    4714          21 :     obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, mkvec(v2));
    4715          21 :     return v2; /* non-trivial Weierstrass class */
    4716             :   }
    4717          35 :   y = coordch(y, v2);
    4718          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4719          35 :   v2 = nfrestrict23(ellnf_get_nf(E), y);
    4720          35 :   y = coordch(y, v2);
    4721             :   /* copy to avoid inserting twice in y = E */
    4722          35 :   y = obj_reinit(y);
    4723          35 :   gcomposev(&v, v2);
    4724          35 :   if (is_trivial_change(v))
    4725             :   {
    4726           7 :     v = init_ch();
    4727           7 :     S = cgetg(1,t_VEC);
    4728             :   }
    4729             :   else
    4730             :   {
    4731          28 :     v = lift_if_rational(v);
    4732          28 :     S = mkvec2(v, y);
    4733             :   }
    4734          35 :   obj_insert(E, NF_MINIMALMODEL, S);
    4735          35 :   *ptv = v; return y;
    4736             : }
    4737             : static GEN
    4738          56 : ellnfminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4739             : {
    4740          56 :   pari_sp av = avma;
    4741          56 :   GEN v, y = ellnfminimalmodel_i(E, &v);
    4742          56 :   if (v) obj_insert_shallow(y, NF_MINIMALMODEL, cgetg(1,t_VEC));
    4743          56 :   if (!v || !ptv)
    4744          28 :     y = gerepilecopy(av, y);
    4745             :   else
    4746          28 :   { *ptv = v; gerepileall(av, 2, &y, ptv); }
    4747          56 :   return y;
    4748             : }
    4749             : GEN
    4750        2079 : ellminimalmodel(GEN E, GEN *ptv)
    4751             : {
    4752        2079 :   checkell(E);
    4753        2079 :   switch(ell_get_type(E))
    4754             :   {
    4755        2016 :     case t_ELL_Q: return ellQminimalmodel(E, ptv);
    4756          56 :     case t_ELL_NF: return ellnfminimalmodel(E, ptv);
    4757           7 :     default: pari_err_TYPE("ellminimalmodel (E / number field)", E);
    4758             :              return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    4759             :   }
    4760             : }
    4761             : 
    4762             : /* Reduction of a rational curve E to its standard minimal model, don't
    4763             :  * update type-dependant components.
    4764             :  * Set v = [u, r, s, t] = change of variable E -> minimal model, with u > 0
    4765             :  * Set gr = [N, [u,r,s,t], c, fa, L], where
    4766             :  *   N = arithmetic conductor of E
    4767             :  *   c = product of the local Tamagawa numbers cp
    4768             :  *   fa = factorization of N
    4769             :  *   L = list of localred(E,p) for p | N. */
    4770             : static GEN
    4771      454510 : ellQ_globalred(GEN e)
    4772             : {
    4773             :   long k, l, iN;
    4774             :   GEN S, c, E, L, P, NP, NE, D;
    4775             : 
    4776      454510 :   E = ellminimalmodel_i(e, NULL);
    4777      454510 :   S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4778      454510 :   P = gel(S,1); l = lg(P); /* some known prime divisors of D */
    4779      454510 :   D  = ell_get_disc(E);
    4780      863233 :   for (k = 1; k < l; k++) (void)Z_pvalrem(D, gel(P,k), &D);
    4781      454510 :   if (!is_pm1(D)) P = ZV_sort( shallowconcat(P, gel(absZ_factor(D),1)) );
    4782      454510 :   l = lg(P); c = gen_1;
    4783      454510 :   iN = 1;
    4784      454510 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4785      454510 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4786      454510 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4787     1938405 :   for (k = 1; k < l; k++)
    4788             :   {
    4789     1483895 :     GEN p = gel(P,k), q = localred(E, p), ex = gel(q,1);
    4790     1483895 :     if (!signe(ex)) continue;
    4791     1483895 :     gel(NP, iN) = p;
    4792     1483895 :     gel(NE, iN) = ex;
    4793     1483895 :     gel(L, iN) = q; iN++;
    4794     1483895 :     gel(q,3) = gen_0; /*delete variable change*/
    4795     1483895 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4796             :   }
    4797      454510 :   setlg(L, iN);
    4798      454510 :   setlg(NP, iN);
    4799      454510 :   setlg(NE, iN);
    4800      454510 :   return mkvec4(factorback2(NP,NE), c, mkmat2(NP,NE), L);
    4801             : }
    4802             : static GEN
    4803      460684 : ellglobalred_i(GEN E)
    4804      460684 : { return obj_checkbuild(E, Q_GLOBALRED, &ellQ_globalred); }
    4805             : 
    4806             : static GEN
    4807         784 : Q_to_globalred(GEN nf, GEN P, GEN Q, GEN v)
    4808             : {
    4809             :   GEN c, L, NP, NE;
    4810         784 :   long j, k, l = lg(P);
    4811         784 :   c = gen_1;
    4812         784 :   NP = cgetg(l, t_COL);
    4813         784 :   NE = cgetg(l, t_COL);
    4814         784 :   L = cgetg(l, t_VEC);
    4815        3878 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4816             :   {
    4817        3094 :     GEN p = gel(P,k), q = gel(Q,k), ex;
    4818        3094 :     ex = gel(q,1);
    4819        3094 :     if (!signe(ex)) continue;
    4820        2891 :     gel(NP, j) = p;
    4821        2891 :     gel(NE, j) = ex;
    4822        2891 :     gel(L, j) = q; j++;
    4823        2891 :     c = mulii(c, gel(q,4));
    4824             :   }
    4825         784 :   setlg(L, j); setlg(NP, j); setlg(NE, j);
    4826         784 :   return mkvec5(idealfactorback(nf,NP,NE,0), v, c, mkmat2(NP,NE), L);
    4827             : }
    4828             : 
    4829             : static GEN
    4830         784 : ellnfglobalred(GEN E0)
    4831             : {
    4832             :   GEN E, P, Q, D, nf, v;
    4833             :   long j, k, l;
    4834             : 
    4835         784 :   E = ellintegralmodel_i(E0, &v);
    4836         784 :   if (!v) v = init_ch();
    4837         784 :   nf = ellnf_get_nf(E);
    4838         784 :   P = nf_pV_to_prV(nf, ellnf_D_primes(E));
    4839         784 :   D = nf_to_scalar_or_basis(nf, ell_get_disc(E));
    4840         784 :   if (typ(D) == t_INT) D = NULL;
    4841         784 :   Q = cgetg_copy(P, &l);
    4842        6083 :   for (k = j = 1; k < l; k++)
    4843             :   {
    4844        5299 :     GEN p = gel(P,k);
    4845        5299 :     if (D && !ZC_prdvd(D, p)) continue;
    4846        3094 :     gel(Q,j) = nflocalred(E, p);
    4847        3094 :     gel(P,j++) = p;
    4848             :   }
    4849         784 :   setlg(P,j); setlg(Q,j);
    4850         784 :   if (!obj_check(E0, NF_MINIMALPRIMES))
    4851         763 :     (void)obj_insert(E0, NF_MINIMALPRIMES, Q_to_minimalprimes(nf,P,Q));
    4852         784 :   return Q_to_globalred(nf,P,Q,v);
    4853             : }
    4854             : 
    4855             : GEN
    4856      453957 : ellglobalred(GEN E)
    4857             : {
    4858      453957 :   pari_sp av = avma;
    4859             :   GEN S, gr, v;
    4860      453957 :   checkell(E);
    4861      453957 :   switch(ell_get_type(E))
    4862             :   {
    4863           0 :     default: pari_err_TYPE("ellglobalred",E);
    4864      452921 :     case t_ELL_Q:
    4865      452921 :       gr = ellglobalred_i(E);
    4866      452921 :       S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    4867      452921 :       v = (lg(S) == 2)? init_ch(): gel(S,2);
    4868      452921 :       v = mkvec5(gel(gr,1), v, gel(gr,2),gel(gr,3),gel(gr,4));
    4869      452921 :       break;
    4870        1036 :     case t_ELL_NF:
    4871        1036 :       v = obj_checkbuild(E, NF_GLOBALRED, &ellnfglobalred);
    4872        1036 :       break;
    4873             :   }
    4874      453957 :   return gerepilecopy(av, v);
    4875             : }
    4876             : 
    4877             : static GEN doellrootno(GEN e);
    4878             : /* Return E = ellminimalmodel(e), but only update E[1..14].
    4879             :  * insert MINIMALMODEL, GLOBALRED, ROOTNO in both e (regular insertion)
    4880             :  * and E (shallow insert) */
    4881             : GEN
    4882        2226 : ellanal_globalred(GEN e, GEN *ch)
    4883             : {
    4884        2226 :   GEN E, S, v = NULL;
    4885        2226 :   checkell_Q(e);
    4886        2226 :   if (!(S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    4887             :   {
    4888         378 :     E = ellminimalmodel_i(e, &v);
    4889         378 :     S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    4890         378 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4891             :   }
    4892        1848 :   else if (lg(S) == 2) /* trivial change */
    4893        1834 :     E = e;
    4894             :   else
    4895             :   {
    4896          14 :     v = gel(S,2);
    4897          14 :     E = gcopy(gel(S,3));
    4898          14 :     obj_insert_shallow(E, Q_MINIMALMODEL, mkvec(gel(S,1)));
    4899             :   }
    4900        2226 :   if (ch) *ch = v;
    4901        2226 :   S = ellglobalred_i(e);
    4902        2226 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_GLOBALRED, S);
    4903        2226 :   S = obj_check(e, Q_ROOTNO);
    4904        2226 :   if (!S)
    4905             :   {
    4906        1078 :     S = doellrootno(E);
    4907        1078 :     obj_insert(e, Q_ROOTNO, S); /* insert in e */
    4908             :   }
    4909        2226 :   if (E != e) obj_insert_shallow(E, Q_ROOTNO, S); /* ... and in E */
    4910        2226 :   return E;
    4911             : }
    4912             : 
    4913             : static long
    4914         448 : nb_real_components(GEN E) { return signe(ell_get_disc(E)) > 0? 2: 1; }
    4915             : /* E minimal, \Omega_E^s in "La constante de Manin et le degre modulaire
    4916             :  * d'une courbe elliptique" */
    4917             : GEN
    4918        1407 : ellQtwist_bsdperiod(GEN E, long s)
    4919             : {
    4920        1407 :   GEN w = ellR_omega(E,DEFAULTPREC);
    4921        1407 :   if (s == 1)
    4922         994 :     w = gel(w,1);
    4923         413 :   else if (nb_real_components(E) == 2)
    4924         147 :     w = gneg(gel(w,2));
    4925             :   else
    4926         266 :     w = mkcomplex(gen_0, gneg(gmul2n(imag_i(gel(w,2)), 1)));
    4927        1407 :   return w;
    4928             : }
    4929             : 
    4930             : static GEN
    4931          35 : ellQ_tamagawa(GEN e)
    4932             : {
    4933          35 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4934          35 :   return muliu(tam, nb_real_components(e));
    4935             : }
    4936             : 
    4937             : static GEN
    4938         784 : ellnf_tamagawa(GEN e)
    4939             : {
    4940         784 :   GEN red = ellglobalred(e), tam = gel(red,3);
    4941         784 :   GEN nf  = ellnf_get_nf(e), s = nfsign(nf, ell_get_disc(e));
    4942             :   long r1, r2;
    4943         784 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2);
    4944         784 :   return shifti(tam, r2 + r1 - hammingweight(s));
    4945             : }
    4946             : 
    4947             : GEN
    4948          42 : elltamagawa(GEN E)
    4949             : {
    4950          42 :   pari_sp av = avma;
    4951             :   GEN v;
    4952          42 :   checkell(E);
    4953          42 :   switch(ell_get_type(E))
    4954             :   {
    4955           0 :     default: pari_err_TYPE("elltamagawa",E);
    4956          14 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_tamagawa(E);  break;
    4957          28 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_tamagawa(E); break;
    4958             :   }
    4959          42 :   return gerepileuptoint(av, v);
    4960             : }
    4961             : 
    4962             : static GEN
    4963        1106 : ellnf_get_nf_prec(GEN E, long prec)
    4964             : {
    4965        1106 :   GEN S, nf = ellnf_get_nf(E);
    4966        1106 :   if (nf_get_prec(nf) >= prec) return nf;
    4967        1008 :   if ((S = obj_check(E, NF_NF)) && nf_get_prec(S) >= prec) return S;
    4968         805 :   return obj_insert(E, NF_NF, nfnewprec_shallow(nf, prec));
    4969             : }
    4970             : /* true nf, use nf prec */
    4971             : static GEN
    4972        5236 : nfembedall(GEN nf, GEN x)
    4973             : {
    4974             :   long r1, r2;
    4975             :   GEN cx;
    4976        5236 :   nf_get_sign(nf,&r1,&r2);
    4977        5236 :   x = nf_to_scalar_or_basis(nf,x);
    4978        5236 :   if (typ(x) != t_COL) return const_vec(r1+r2, x);
    4979        2905 :   x = Q_primitive_part(x, &cx);
    4980        2905 :   x = RgM_RgC_mul(nf_get_M(nf), x);
    4981        2905 :   if (cx) x = RgC_Rg_mul(x,cx);
    4982        2905 :   return x;
    4983             : }
    4984             : static long
    4985        1106 : nfembed_extraprec(GEN x)
    4986        1106 : { long e = gexpo(x); return (e < 8)? 0: nbits2extraprec(e); }
    4987             : static GEN
    4988        1008 : ellnfembed(GEN E, long prec)
    4989             : {
    4990        1008 :   GEN E0, nf = ellnf_get_nf(E), Eb = cgetg(6,t_VEC), e = cgetg(6,t_VEC), L, sD;
    4991             :   long prec0, r1, r2, n, i;
    4992             : 
    4993        1008 :   nf_get_sign(nf, &r1, &r2); n = r1+r2;
    4994        1008 :   E0 = RgC_to_nfC(nf, vecslice(E,1,5));
    4995        1008 :   prec0 = prec + EXTRAPRECWORD;
    4996             :   /* need accuracy 3b for bmodel to ensure roots are correct to b bits */
    4997        1008 :   prec += (prec0-2)*3 + nfembed_extraprec(E0);
    4998        1008 :   L =  cgetg(n+1, t_VEC);
    4999        1008 :   sD = nfeltsign(nf, ell_get_disc(E), identity_perm(r1));
    5000             :   for(;;)
    5001             :   {
    5002        1008 :     nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5003        6048 :     for (i=1; i<=5; i++) gel(Eb,i) = nfembedall(nf,gel(E0,i));
    5004        4459 :     for (i=1; i<=n; i++)
    5005             :     {
    5006             :       GEN Ei, r;
    5007             :       long j;
    5008       20706 :       for (j=1; j<=5; j++) gel(e,j) = gmael(Eb,j,i);
    5009        3451 :       gel(L,i) = Ei = ellinit_Rg(e, i<=r1? signe(gel(sD,i)): 0, prec);
    5010        3451 :       if (!Ei) break;
    5011        3451 :       r = doellR_roots_i(Ei, prec, prec0);
    5012        3451 :       if (!r) break;
    5013             :     }
    5014        1008 :     if (i > n) return L;
    5015           0 :     prec = precdbl(prec);
    5016           0 :     if (DEBUGLEVEL>1) pari_warn(warnprec,"ellnfembed", prec);
    5017             :   }
    5018             : }
    5019             : 
    5020             : static GEN
    5021          98 : ellpointnfembed(GEN E, GEN P, long prec)
    5022             : {
    5023          98 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E), Px, Py, L;
    5024             :   long i, l;
    5025          98 :   P = RgC_to_nfC(nf, P);
    5026          98 :   prec += nfembed_extraprec(P);
    5027          98 :   nf = ellnf_get_nf_prec(E, prec);
    5028          98 :   Px = nfembedall(nf, gel(P,1));
    5029          98 :   Py = nfembedall(nf, gel(P,2));
    5030          98 :   l = lg(Px); L =  cgetg(l, t_VEC);
    5031         273 :   for(i = 1; i < l; i++) gel(L,i) = mkvec2(gel(Px,i), gel(Py,i));
    5032          98 :   return L;
    5033             : }
    5034             : 
    5035             : static void
    5036         917 : ellnfembed_free(GEN L)
    5037             : {
    5038         917 :   long i, l = lg(L);
    5039        4207 :   for(i = 1; i < l; i++) obj_free(gel(L,i));
    5040         917 : }
    5041             : 
    5042             : static GEN
    5043         154 : ellnf_vec_wrap(GEN (*fun)(GEN, long), GEN E, long prec)
    5044             : {
    5045         154 :   pari_sp av = avma;
    5046         154 :   GEN V = ellnfembed(E, prec);
    5047         154 :   long i, l = lg(V);
    5048         154 :   GEN P = cgetg(l, t_VEC);
    5049         406 :   for(i=1; i<l; i++) gel(P,i) = fun(gel(V,i), prec);
    5050         154 :   ellnfembed_free(V);
    5051         154 :   return gerepilecopy(av, P);
    5052             : }
    5053             : 
    5054             : GEN
    5055          91 : ellnf_vecarea(GEN E, long prec)
    5056          91 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_area, E, prec); }
    5057             : 
    5058             : GEN
    5059          28 : ellnf_veceta(GEN E, long prec)
    5060          28 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_eta, E, prec); }
    5061             : 
    5062             : GEN
    5063          35 : ellnf_vecomega(GEN E, long prec)
    5064          35 : { return ellnf_vec_wrap(&ellR_omega, E, prec); }
    5065             : 
    5066             : static GEN
    5067         756 : ellnf_bsdperiod(GEN E, long prec)
    5068             : {
    5069         756 :   pari_sp av = avma;
    5070         756 :   GEN Eb = ellnfembed(E, prec), per = gtofp(ellnf_minimalnormu(E), prec);
    5071         756 :   long i, l = lg(Eb), r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(E));
    5072        3780 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5073             :   {
    5074        3024 :     GEN e = gel(Eb, i);
    5075        3024 :     GEN pi = (i <= r1)? gel(ellR_omega(e, prec),1): ellR_area(e, prec);
    5076        3024 :     per = mulrr(per, pi);
    5077             :   }
    5078         756 :   ellnfembed_free(Eb);
    5079         756 :   return gerepileuptoleaf(av, per);
    5080             : }
    5081             : static GEN
    5082         756 : ellnf_adelicvolume(GEN E, long prec)
    5083             : {
    5084         756 :   GEN t = ellnf_tamagawa(E);
    5085         756 :   return gmul(t, ellnf_bsdperiod(E, prec));
    5086             : }
    5087             : 
    5088             : static GEN
    5089          42 : ellnf_bsd(GEN E, long prec)
    5090             : {
    5091          42 :   GEN v = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5092          42 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5093          42 :   GEN D = itor(nf_get_disc(ellnf_get_nf(E)), prec);
    5094          42 :   return divrr(divri(v, sqri(tor)), sqrtr_abs(D));
    5095             : }
    5096             : 
    5097             : static GEN
    5098          21 : ellQ_bsd(GEN E, long prec)
    5099             : {
    5100          21 :   GEN per = gel(ellR_omega(E, prec),1);
    5101          21 :   GEN tam = ellQ_tamagawa(E);
    5102          21 :   GEN tor = gel(elltors(E),1);
    5103          21 :   GEN S = obj_check(E, Q_MINIMALMODEL);
    5104          21 :   if (lg(S) != 2)
    5105             :   { /* switch to minimal model if needed */
    5106          14 :     GEN v = gel(S,2), u = gel(v,1);
    5107          14 :     per = gmul(per,u);
    5108             :   }
    5109          21 :   return divri(mulri(per,tam), sqri(tor));
    5110             : }
    5111             : 
    5112             : GEN
    5113          63 : ellbsd(GEN E, long prec)
    5114             : {
    5115          63 :   pari_sp av = avma;
    5116             :   GEN v;
    5117          63 :   checkell(E);
    5118          63 :   switch(ell_get_type(E))
    5119             :   {
    5120           0 :     default: pari_err_TYPE("ellbsd",E);
    5121          21 :     case t_ELL_Q:  v = ellQ_bsd(E, prec);  break;
    5122          42 :     case t_ELL_NF: v = ellnf_bsd(E, prec); break;
    5123             :   }
    5124          63 :   return gerepileupto(av, v);
    5125             : }
    5126             : 
    5127             : static GEN
    5128           0 : QE_to_ZJ(GEN P)
    5129             : {
    5130           0 :   if (ell_is_inf(P))
    5131           0 :     return mkvec3(gen_1, gen_1, gen_0);
    5132             :   else
    5133             :   {
    5134           0 :     GEN D1 = denom(gel(P,1)), D2 = denom(gel(P,2));
    5135           0 :     GEN R  = diviiexact(D2, gcdii(D1,D2));
    5136           0 :     GEN R2 = sqri(R), R3 = mulii(R2, R);
    5137           0 :     GEN Q1 = gmul(gel(P,1),R2);
    5138           0 :     GEN Q2 = gmul(gel(P,2),R3);
    5139           0 :     GEN Z  = denom(mkvec2(Q1, Q2));
    5140           0 :     GEN Z2 = sqri(Z), Z3 = mulii(Z, Z2);
    5141           0 :     retmkvec3(gmul(Q1, Z2), gmul(Q2, Z3), mulii(Z, R));
    5142             :   }
    5143             : }
    5144             : 
    5145             : static GEN
    5146           0 : QEV_to_ZJV(GEN x)
    5147           0 : { pari_APPLY_same(QE_to_ZJ(gel(x,i))) }
    5148             : 
    5149             : static GEN
    5150           0 : FljV_changepointinv_pre(GEN x, GEN a4a6, ulong p, ulong pi)
    5151             : {
    5152           0 :   pari_APPLY_same(Flj_changepointinv_pre(gel(x,i), a4a6, p, pi))
    5153             : }
    5154             : 
    5155             : static GEN
    5156           0 : ellQ_factorback1(GEN A, GEN L, GEN E, ulong p)
    5157             : {
    5158           0 :   pari_sp av = avma;
    5159           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    5160           0 :   GEN c4 = ell_get_c4(E);
    5161           0 :   ulong a4 = Fl_c4_to_a4(Rg_to_Fl(c4, p), p);
    5162           0 :   GEN a4a6 = a4a6_ch_Fl(E,p);
    5163           0 :   GEN a = FljV_changepointinv_pre(A, a4a6, p , pi);
    5164           0 :   GEN Hp = FljV_factorback_pre(a, L, a4, p, pi);
    5165           0 :   Hp = Flj_to_Fle_pre(Hp, p, pi);
    5166           0 :   Hp = Fle_changepoint(Hp, a4a6, p);
    5167           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Hp);
    5168             : }
    5169             : 
    5170             : static GEN
    5171           0 : ellQ_factorback_slice(GEN A, GEN L, GEN E, GEN P, GEN *mod)
    5172             : {
    5173           0 :   pari_sp av = avma;
    5174           0 :   long i, n = lg(P)-1;
    5175             :   GEN H, T;
    5176           0 :   if (n == 1)
    5177             :   {
    5178           0 :     ulong p = uel(P,1);
    5179           0 :     GEN Hp = ellQ_factorback1(ZM_to_Flm(A, p), L, E, p);
    5180           0 :     *mod = utoi(p);
    5181           0 :     return Flv_to_ZV(Hp);
    5182             :   }
    5183           0 :   T = ZV_producttree(P);
    5184           0 :   A = ZM_nv_mod_tree(A, P, T);
    5185           0 :   H = cgetg(n+1, t_VEC);
    5186           0 :   for(i=1; i <= n; i++)
    5187           0 :     gel(H,i) = ellQ_factorback1(gel(A,i),L,E,uel(P,i));
    5188           0 :   H = ncV_chinese_center_tree(H, P, T, ZV_chinesetree(P,T));
    5189           0 :   *mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    5190           0 :   gerepileall(av, 2, &H, mod);
    5191           0 :   return H;
    5192             : }
    5193             : 
    5194             : GEN
    5195           0 : ellQ_factorback_worker(GEN P, GEN E, GEN A, GEN L)
    5196             : {
    5197           0 :   GEN V = cgetg(3, t_VEC);
    5198           0 :   gel(V,1) = ellQ_factorback_slice(A, L, E, P, &gel(V,2));
    5199           0 :   return V;
    5200             : }
    5201             : 
    5202             : static GEN
    5203           0 : ellQ_factorback(GEN E, GEN A, GEN L)
    5204             : {
    5205           0 :   pari_sp av = avma;
    5206           0 :   GEN mod = gen_1, H = NULL;
    5207             :   forprime_t S;
    5208           0 :   GEN worker = strtoclosure("_ellQ_factorback_worker", 3, E, QEV_to_ZJV(A), L);
    5209           0 :   ulong bound = 1;
    5210           0 :   init_modular_big(&S);
    5211             :   while (1)
    5212           0 :   {
    5213             :     GEN amax, r;
    5214           0 :     gen_inccrt("ellQ_factorback", worker, NULL, bound, 0,
    5215             :             &S, &H, &mod, ncV_chinese_center, FpC_center);
    5216           0 :     amax = sqrti(shifti(mod,-2));
    5217           0 :     r = FpC_ratlift(H, mod, amax, amax, NULL);
    5218           0 :     if (r) settyp(r,t_VEC);
    5219           0 :     if (r && oncurve(E,r)) return gerepileupto(av, r);
    5220           0 :     bound <<=1;
    5221             :   }
    5222             : }
    5223             : 
    5224             : static GEN
    5225           0 : ellQ_vecfactorback(GEN E, GEN G, GEN x)
    5226           0 : { pari_APPLY_type(t_VEC,ellQ_factorback(E, G, gel(x,i))) }
    5227             : 
    5228             : GEN
    5229           0 : ellQ_genreduce(GEN E, GEN G, long prec)
    5230             : {
    5231           0 :   GEN M = ellheightmatrix(E, G, prec);
    5232           0 :   GEN L = lllgram(M);
    5233           0 :   return ellQ_vecfactorback(E, G, L);
    5234             : }
    5235             : 
    5236             : /********************************************************************/
    5237             : /**                                                                **/
    5238             : /**           ROOT NUMBER (after Halberstadt at p = 2,3)           **/
    5239             : /**                                                                **/
    5240             : /********************************************************************/
    5241             : /* x a t_INT */
    5242             : static long
    5243        1953 : val_aux(GEN x, long p, long pk, long *u)
    5244             : {
    5245             :   long v;
    5246             :   GEN z;
    5247        1953 :   if (!signe(x)) { *u = 0; return 12; }
    5248        1799 :   v = Z_lvalrem(x,p,&z);
    5249        1799 :   *u = umodiu(z,pk); return v;
    5250             : }
    5251             : static void
    5252         651 : val_init(GEN e, long p, long pk,
    5253             :          long *v4, long *u, long *v6, long *v, long *vD, long *d1)
    5254             : {
    5255         651 :   GEN c4 = ell_get_c4(e), c6 = ell_get_c6(e), D = ell_get_disc(e);
    5256         651 :   pari_sp av = avma;
    5257         651 :   *v4 = val_aux(c4, p,pk, u);
    5258         651 :   *v6 = val_aux(c6, p,pk, v);
    5259         651 :   *vD = val_aux(D , p,pk, d1); set_avma(av);
    5260         651 : }
    5261             : 
    5262             : static long
    5263         651 : kod_23(GEN e, long p)
    5264             : {
    5265             :   GEN S, nv;
    5266         651 :   if ((S = obj_check(e, Q_GLOBALRED)))
    5267             :   {
    5268         637 :     GEN NP = gmael(S,3,1), L = gel(S,4);
    5269         637 :     nv = absequaliu(gel(NP,1), p)? gel(L,1): gel(L,2); /* localred(p) */
    5270             :   }
    5271             :   else
    5272          14 :     nv = localred_23(e, p);
    5273         651 :   return itos(gel(nv,2));
    5274             : }
    5275             : 
    5276             : /* v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5277             : static long
    5278         385 : neron_2(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5279             : {
    5280         385 :   if (kod > 4) return 1;
    5281         217 :   switch(kod)
    5282             :   {
    5283           0 :     case 1: return (v6>0) ? 2 : 1;
    5284           7 :     case 2:
    5285           7 :       if (vD==4) return 1;
    5286             :       else
    5287             :       {
    5288           0 :         if (vD==7) return 3;
    5289           0 :         else return v4==4 ? 2 : 4;
    5290             :       }
    5291          63 :     case 3:
    5292          63 :       switch(vD)
    5293             :       {
    5294          42 :         case 6: return 3;
    5295           0 :         case 8: return 4;
    5296          14 :         case 9: return 5;
    5297           7 :         default: return v4==5 ? 2 : 1;
    5298             :       }
    5299          42 :     case 4: return v4>4 ? 2 : 1;
    5300          14 :     case -1:
    5301          14 :       switch(vD)
    5302             :       {
    5303           0 :         case 9: return 2;
    5304           0 :         case 10: return 4;
    5305          14 :         default: return v4>4 ? 3 : 1;
    5306             :       }
    5307           7 :     case -2:
    5308           7 :       switch(vD)
    5309             :       {
    5310           7 :         case 12: return 2;
    5311           0 :         case 14: return 3;
    5312           0 :         default: return 1;
    5313             :       }
    5314           0 :     case -3:
    5315           0 :       switch(vD)
    5316             :       {
    5317           0 :         case 12: return 2;
    5318           0 :         case 14: return 3;
    5319           0 :         case 15: return 4;
    5320           0 :         default: return 1;
    5321             :       }
    5322          49 :     case -4: return v6==7 ? 2 : 1;
    5323          21 :     case -5: return (v6==7 || v4==6) ? 2 : 1;
    5324           7 :     case -6:
    5325           7 :       switch(vD)
    5326             :       {
    5327           7 :         case 12: return 2;
    5328           0 :         case 13: return 3;
    5329           0 :         default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5330             :       }
    5331           0 :     case -7: return (vD==12 || v4==6) ? 2 : 1;
    5332           7 :     default: return v4==6 ? 2 : 1;
    5333             :   }
    5334             : }
    5335             : /* p = 3; v(c4), v(c6), v(D) for minimal model, +oo is coded by 12 */
    5336             : static long
    5337         147 : neron_3(long v4, long v6, long vD, long kod)
    5338             : {
    5339         147 :   if (labs(kod) > 4) return 1;
    5340         112 :   switch(kod)
    5341             :   {
    5342          28 :     case -1: case 1: return v4&1 ? 2 : 1;
    5343          28 :     case -3: case 3: return (2*v6>vD+3) ? 2 : 1;
    5344          49 :     case -4: case 2:
    5345          49 :       switch (vD%6)
    5346             :       {
    5347           0 :         case 4: return 3;
    5348           0 :         case 5: return 4;
    5349          49 :         default: return v6%3==1 ? 2 : 1;
    5350             :       }
    5351           7 :     default: /* kod = -2 et 4 */
    5352           7 :       switch (vD%6)
    5353             :       {
    5354           0 :         case 0: return 2;
    5355           0 :         case 1: return 3;
    5356           7 :         default: return 1;
    5357             :       }
    5358             :   }
    5359             : }
    5360             : 
    5361             : static long
    5362         385 : ellrootno_2(GEN e)
    5363             : {
    5364             :   long n2, kod, u, v, x1, y1, D1, vD, v4, v6;
    5365         385 :   long d = get_vp_u_small(e, 2, &v6, &vD);
    5366             : 
    5367         385 :   if (!vD) return 1;
    5368         385 :   if (d) { /* not minimal */
    5369             :     ellmin_t M;
    5370           7 :     min_set_2(&M, e, d);
    5371           7 :     min_set_D(&M, e);
    5372           7 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5373             :   }
    5374         385 :   val_init(e, 2,64,&v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5375         385 :   kod = kod_23(e,2);
    5376         385 :   n2 = neron_2(v4,v6,vD, kod);
    5377         385 :   if (kod>=5)
    5378             :   {
    5379             :     long a2, a3;
    5380         168 :     a2 = ZtoF2(ell_get_a2(e));
    5381         168 :     a3 = ZtoF2(ell_get_a3(e));
    5382         168 :     return odd(a2 + a3) ? 1 : -1;
    5383             :   }
    5384         217 :   if (kod<-9) return (n2==2) ? -kross(-1,v) : -1;
    5385         210 :   x1 = u+v+v;
    5386         210 :   switch(kod)
    5387             :   {
    5388           0 :     case 1: return 1;
    5389           7 :     case 2:
    5390             :       switch(n2)
    5391             :       {
    5392           7 :         case 1:
    5393           7 :           switch(v4)
    5394             :           {
    5395           7 :             case 4: return kross(-1,u);
    5396           0 :             case 5: return 1;
    5397           0 :             default: return -1;
    5398             :           }
    5399           0 :         case 2: return (v6==7) ? 1 : -1;
    5400           0 :         case 3: return (v%8==5 || (u*v)%8==5) ? 1 : -1;
    5401           0 :         case 4: if (v4>5) return kross(-1,v);
    5402           0 :           return (v4==5) ? -kross(-1,u) : -1;
    5403             :       }
    5404             :     case 3:
    5405             :       switch(n2)
    5406             :       {
    5407           7 :         case 1: return -kross(2,u*v);
    5408           0 :         case 2: return -kross(2,v);
    5409          42 :         case 3: y1 = (u - (v << (v6-5))) & 15;
    5410          42 :           return (y1==7 || y1==11) ? 1 : -1;
    5411           0 :         case 4: return (v%8==3 || (2*u+v)%8==7) ? 1 : -1;
    5412          14 :         case 5: return v6==8 ? kross(2,x1) : kross(-2,u);
    5413             :       }
    5414             :     case -1:
    5415             :       switch(n2)
    5416             :       {
    5417          14 :         case 1: return -kross(2,x1);
    5418           0 :         case 2: return (v%8==7) || (x1%32==11) ? 1 : -1;
    5419           0 :         case 3: return v4==6 ? 1 : -1;
    5420           0 :         case 4: if (v4>6) return kross(-1,v);
    5421           0 :           return v4==6 ? -kross(-1,u*v) : -1;
    5422             :       }
    5423           7 :     case -2: return n2==1 ? kross(-2,v) : kross(-1,v);
    5424           0 :     case -3:
    5425             :       switch(n2)
    5426             :       {
    5427           0 :         case 1: y1=(u-2*v)%64; if (y1<0) y1+=64;
    5428           0 :           return (y1==3) || (y1==19) ? 1 : -1;
    5429           0 :         case 2: return kross(2*kross(-1,u),v);
    5430           0 :         case 3: return -kross(-1,u)*kross(-2*kross(-1,u),u*v);
    5431           0 :         case 4: return v6==11 ? kross(-2,x1) : -kross(-2,u);
    5432             :       }
    5433             :     case -5:
    5434          21 :       if (n2==1) return x1%32==23 ? 1 : -1;
    5435           0 :       else return -kross(2,2*u+v);
    5436           7 :     case -6:
    5437             :       switch(n2)
    5438             :       {
    5439           0 :         case 1: return 1;
    5440           7 :         case 2: return v6==10 ? 1 : -1;
    5441           0 :         case 3: return (u%16==11) || ((u+4*v)%16==3) ? 1 : -1;
    5442             :       }
    5443             :     case -7:
    5444           0 :       if (n2==1) return 1;
    5445             :       else
    5446             :       {
    5447           0 :         y1 = (u + (v << (v6-8))) & 15;
    5448           0 :         if (v6==10) return (y1==9 || y1==13) ? 1 : -1;
    5449           0 :         else return (y1==9 || y1==5) ? 1 : -1;
    5450             :       }
    5451           0 :     case -8: return n2==2 ? kross(-1,v*D1) : -1;
    5452           0 :     case -9: return n2==2 ? -kross(-1,D1) : -1;
    5453          91 :     default: return -1;
    5454             :   }
    5455             : }
    5456             : 
    5457             : static long
    5458         266 : ellrootno_3(GEN e)
    5459             : {
    5460             :   long n2, kod, u, v, D1, r6, K4, K6, vD, v4, v6;
    5461         266 :   long d = get_vp_u_small(e, 3, &v6, &vD);
    5462             : 
    5463         266 :   if (!vD) return 1;
    5464         266 :   if (d) { /* not minimal */
    5465             :     ellmin_t M;
    5466           0 :     min_set_3(&M, e, d);
    5467           0 :     min_set_a(&M);
    5468           0 :     min_set_D(&M, e);
    5469           0 :     e = min_to_ell(&M, e);
    5470             :   }
    5471         266 :   val_init(e, 3,81, &v4,&u, &v6,&v, &vD,&D1);
    5472         266 :   kod = kod_23(e,3);
    5473         266 :   K6 = kross(v,3); if (kod>4) return K6;
    5474         147 :   n2 = neron_3(v4,v6,vD,kod);
    5475         147 :   r6 = v%9; K4 = kross(u,3);
    5476         147 :   switch(kod)
    5477             :   {
    5478          28 :     case 1: case 3: case -3: return 1;
    5479           0 :     case 2:
    5480             :       switch(n2)
    5481             :       {
    5482           0 :         case 1: return (r6==4 || r6>6) ? 1 : -1;
    5483           0 :         case 2: return -K4*K6;
    5484           0 :         case 3: return 1;
    5485           0 :         case 4: return -K6;
    5486             :       }
    5487             :     case 4:
    5488             :       switch(n2)
    5489             :       {
    5490           7 :         case 1: return K6*kross(D1,3);
    5491           0 :         case 2: return -K4;
    5492           0 :         case 3: return -K6;
    5493             :       }
    5494           0 :     case -2: return n2==2 ? 1 : K6;
    5495          49 :     case -4:
    5496             :       switch(n2)
    5497             :       {
    5498          42 :         case 1:
    5499          42 :           if (v4==4) return (r6==4 || r6==8) ? 1 : -1;
    5500          42 :           else return (r6==1 || r6==2) ? 1 : -1;
    5501           7 :         case 2: return -K6;
    5502           0 :         case 3: return (r6==2 || r6==7) ? 1 : -1;
    5503           0 :         case 4: return K6;
    5504             :       }
    5505          63 :     default: return -1;
    5506             :   }
    5507             : }
    5508             : 
    5509             : /* p > 3. Don't assume that e is minimal or even integral at p */
    5510             : static long
    5511        1358 : ellrootno_p(GEN e, GEN p)
    5512             : {
    5513             :   long nuj, nuD, nu;
    5514        1358 :   GEN D = ell_get_disc(e);
    5515             :   long ep, z;
    5516             : 
    5517        1358 :   nuD = Q_pval(D, p);
    5518        1358 :   if (!nuD) return 1;
    5519        1358 :   nuj = j_pval(e, p);
    5520        1358 :   nu = (nuD - nuj) % 12;
    5521        1358 :   if (nu == 0)
    5522             :   {
    5523             :     GEN c6;
    5524             :     long d, vg;
    5525        1155 :     if (!nuj) return 1; /* good reduction */
    5526             :    /* p || N */
    5527        1155 :     c6 = ell_get_c6(e); /* != 0 */
    5528        1155 :     vg = minss(2*Q_pval(c6, p), nuD);
    5529        1155 :     d = vg / 12;
    5530        1155 :     if (d)
    5531             :     {
    5532           7 :       GEN q = powiu(p,6*d);
    5533           7 :       c6 = (typ(c6) == t_INT)? diviiexact(c6, q): gdiv(c6, q);
    5534             :     }
    5535        1155 :     if (typ(c6) != t_INT) c6 = Rg_to_Fp(c6,p);
    5536             :     /* c6 in minimal model */
    5537        1155 :     return -kronecker(negi(c6), p);
    5538             :   }
    5539         203 :   if (nuj) return krosi(-1,p);
    5540         175 :   ep = 12 / ugcd(12, nu);
    5541         175 :   if (ep==4) z = 2; else z = (ep&1) ? 3 : 1;
    5542         175 :   return krosi(-z, p);
    5543             : }
    5544             : 
    5545             : static GEN
    5546        1092 : doellrootno(GEN e)
    5547             : {
    5548        1092 :   GEN V, P, S = ellglobalred_i(e);
    5549        1092 :   long i, l, s = -1;
    5550             : 
    5551        1092 :   V = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL);
    5552        1092 :   if (lg(V) != 2) e = gel(V,3);
    5553        1092 :   P = gmael(S,3,1); l = lg(P);
    5554        1092 :   V = cgetg(l, t_VECSMALL);
    5555        3080 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5556             :   {
    5557        1988 :     GEN p = gel(P,i);
    5558             :     long t;
    5559        1988 :     switch(itou_or_0(p))
    5560             :     {
    5561         371 :       case 2: t = ellrootno_2(e); break;
    5562         266 :       case 3: t = ellrootno_3(e); break;
    5563        1351 :       default:t = ellrootno_p(e, p);
    5564             :     }
    5565        1988 :     V[i] = t; if (t < 0) s = -s;
    5566             :   }
    5567        1092 :   return mkvec2(stoi(s), V);
    5568             : }
    5569             : 
    5570             : /* local epsilon factor at p (over Q), including p=0 for the infinite place.
    5571             :  * Global if p==1 or NULL. */
    5572             : static long
    5573          84 : ellQ_rootno(GEN e, GEN p)
    5574             : {
    5575          84 :   pari_sp av = avma;
    5576             :   GEN S;
    5577             :   long s;
    5578          84 :   if (!p || isint1(p)) return ellrootno_global(e);
    5579          70 :   if (!signe(p)) return -1; /* local factor at infinity */
    5580          70 :   if ( (S = obj_check(e, Q_ROOTNO)) )
    5581             :   {
    5582          49 :     GEN T = obj_check(e, Q_GLOBALRED), NP = gmael(T,3,1);
    5583          49 :     long i = ZV_search(NP, p);
    5584          49 :     if (i) { GEN V = gel(S,2); return V[i]; }
    5585           0 :     return 1;
    5586             :   }
    5587          21 :   switch(itou_or_0(p))
    5588             :   {
    5589          14 :     case 2:
    5590          14 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5591          14 :       s = ellrootno_2(e); break;
    5592           0 :     case 3:
    5593           0 :       e = ellintegralmodel_i(e, NULL);
    5594           0 :       s = ellrootno_3(e); break;
    5595           7 :     default:
    5596           7 :       s = ellrootno_p(e,p); break;
    5597             :   }
    5598          21 :   return gc_long(av, s);
    5599             : }
    5600             : 
    5601             : /* global root number over number field
    5602             :  * Root numbers and parity of ranks of elliptic curves, Tim and Vladimir Dokchitser
    5603             :  * https://arxiv.org/abs/0906.1815
    5604             :  */
    5605             : 
    5606             : static GEN
    5607         322 : ellrnfup(GEN rnf, GEN E, long prec)
    5608             : {
    5609             :   long i;
    5610         322 :   GEN Eb = cgetg(6, t_VEC);
    5611        1932 :   for(i=1; i<=5; i++)
    5612        1610 :     gel(Eb, i) = rnfeltup(rnf,gel(E, i));
    5613         322 :   return ellinit_nf(Eb, rnf_build_nfabs(rnf, prec));
    5614             : }
    5615             : 
    5616             : static GEN
    5617         252 : ellnf2isog(GEN E, GEN z)
    5618             : {
    5619         252 :   long v = fetch_var_higher();
    5620         252 :   GEN S = deg1pol(gen_1, gneg(z), v);
    5621         252 :   GEN E2 = ellisogeny(E, S, 1, -1, -1);
    5622         252 :   delete_var();
    5623         252 :   return ellinit_nf(E2, ellnf_get_nf(E));
    5624             : }
    5625             : 
    5626             : static GEN
    5627         217 : ellnf_reladelicvolume(GEN E, GEN P, GEN z, long prec)
    5628             : {
    5629         217 :   pari_sp av = avma;
    5630         217 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5631         217 :   GEN rnf = rnfinit0(nf, P, 1);
    5632         217 :   GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5633         217 :   GEN E2 = ellnf2isog(Et, rnfeltreltoabs(rnf, z));
    5634         217 :   GEN c1 = ellnf_adelicvolume(Et, prec), c2 = ellnf_adelicvolume(E2, prec);
    5635         217 :   obj_free(rnf); obj_free(Et); obj_free(E2);
    5636         217 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(c1,c2));
    5637             : }
    5638             : 
    5639             : static long
    5640         252 : rootnovalp(GEN z, ulong p, long prec)
    5641         252 : { return mpodd(ground(gdiv(glog(z, prec), glog(utoi(p),prec)))); }
    5642             : 
    5643             : static GEN
    5644         259 : ec_bmodel_var(GEN E, long v)
    5645             : {
    5646         259 :   GEN P = ec_bmodel(E);
    5647         259 :   setvarn(P,v); return P;
    5648             : }
    5649             : 
    5650             : static long
    5651         147 : ellnf_rootno_global(GEN E)
    5652             : {
    5653         147 :   pari_sp av = avma;
    5654         147 :   GEN nf = ellnf_get_nf(E);
    5655         147 :   long prec = nf_get_prec(nf);
    5656         147 :   long v, var = fetch_var_higher();
    5657             :   GEN F;
    5658         147 :   E = ellintegralmodel_i(E, NULL);
    5659         147 :   F = nfroots(nf, ec_bmodel_var(E, var));
    5660         147 :   if (lg(F)>1)
    5661             :   {
    5662          35 :     GEN Et = ellnf2isog(E, gel(F,1));
    5663          35 :     GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec), cKt = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5664          35 :     obj_free(Et);
    5665          35 :     v = rootnovalp(divrr(cK,cKt), 2, prec);
    5666             :   } else
    5667             :   {
    5668         112 :     GEN D = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(ell_get_disc(E)), var);
    5669         112 :     GEN P = RgX_divs(RgX_rescale(ec_bmodel_var(E, var), utoi(4)), 4);
    5670         112 :     GEN c = ellnf_reladelicvolume(E, P, gmul2n(pol_x(var),-2), prec);
    5671         112 :     GEN cL = gel(c,1), cLt = gel(c,2);
    5672         112 :     GEN F = nfroots(nf, D);
    5673         112 :     if (lg(F)>1)
    5674           7 :       v = rootnovalp(divrr(cL,cLt), 2, prec);
    5675             :     else
    5676             :     {
    5677         105 :       GEN cK = ellnf_adelicvolume(E, prec);
    5678         105 :       GEN cp = nfcompositum(nf, P, D, 3);
    5679         105 :       GEN cc = ellnf_reladelicvolume(E, gel(cp,1), gmul2n(gel(cp,2),-2), prec);
    5680         105 :       GEN cF = gel(cc,1), cFt = gel(cc,2);
    5681         105 :       GEN rnf = rnfinit0(nf,D,1);
    5682         105 :       GEN Et = ellrnfup(rnf, E, prec);
    5683         105 :       GEN cKv = ellnf_adelicvolume(Et, prec);
    5684         105 :       long v2 = rootnovalp(divrr(gmul(cL,cF),gmul(cLt,cFt)), 2, prec);
    5685         105 :       long v3 = rootnovalp(divrr(gmul(cF,gsqr(cK)),gmul(cKv,gsqr(cL))), 3, prec);
    5686         105 :       obj_free(rnf); obj_free(Et);
    5687         105 :       v = odd(v2+v3);
    5688             :     }
    5689             :   }
    5690         147 :   delete_var();
    5691         147 :   return gc_long(av, v? -1: 1);
    5692             : }
    5693             : 
    5694             : static GEN
    5695         147 : doellnfrootno(GEN e)
    5696         147 : { return stoi(ellnf_rootno_global(e)); }
    5697             : 
    5698             : long
    5699        2219 : ellrootno_global(GEN e)
    5700             : {
    5701        2219 :   pari_sp av = avma;
    5702             :   GEN S;
    5703        2219 :   switch(ell_get_type(e))
    5704             :   {
    5705        1946 :     case t_ELL_Q:
    5706        1946 :       S = gel(obj_checkbuild(e, Q_ROOTNO, &doellrootno),1);
    5707        1946 :       break;
    5708         273 :     case t_ELL_NF:
    5709         273 :       S = obj_checkbuild(e, NF_ROOTNO, &doellnfrootno);
    5710         273 :       break;
    5711           0 :     default:
    5712             :       pari_err_TYPE("ellrootno", e); return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5713             :   }
    5714        2219 :   return gc_long(av, itos(S));
    5715             : }
    5716             : 
    5717             : long
    5718         182 : ellrootno(GEN e, GEN p)
    5719             : {
    5720         182 :   checkell(e);
    5721         182 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("ellrootno", p);
    5722         182 :   if (p && signe(p) < 0) pari_err_PRIME("ellrootno",p);
    5723         182 :   switch(ell_get_type(e))
    5724             :   {
    5725          84 :     case t_ELL_Q:
    5726          84 :       return ellQ_rootno(e, p);
    5727           0 :     default: pari_err_TYPE("ellrootno", e);
    5728          98 :     case t_ELL_NF:
    5729          98 :       if (p) pari_err_IMPL("local root number for number fields");
    5730          98 :       return ellrootno_global(e);
    5731             :   }
    5732             : }
    5733             : 
    5734             : /********************************************************************/
    5735             : /**                                                                **/
    5736             : /**                       TRACE OF FROBENIUS                       **/
    5737             : /**                                                                **/
    5738             : /********************************************************************/
    5739             : 
    5740             : /* assume p does not divide disc E */
    5741             : long
    5742      353118 : ellap_CM_fast(GEN E, ulong p, long CM)
    5743             : {
    5744             :   ulong a4, a6;
    5745      353118 :   if (p == 2) return 3 - cardmod2(E);
    5746      351494 :   if (p == 3) return 4 - cardmod3(E);
    5747      349408 :   Fl_ell_to_a4a6(E, p, &a4, &a6);
    5748      349408 :   return Fl_elltrace_CM(CM, a4, a6, p);
    5749             : }
    5750             : 
    5751             : static void
    5752         693 : checkell_int(GEN e)
    5753             : {
    5754         693 :   checkell_Q(e);
    5755         693 :   if (typ(ell_get_a1(e)) != t_INT ||
    5756         693 :       typ(ell_get_a2(e)) != t_INT ||
    5757         693 :       typ(ell_get_a3(e)) != t_INT ||
    5758         693 :       typ(ell_get_a4(e)) != t_INT ||
    5759         693 :       typ(ell_get_a6(e)) != t_INT) pari_err_TYPE("ellanQ [not an integral model]",e);
    5760         693 : }
    5761             : 
    5762             : long
    5763        2919 : ellQ_get_CM(GEN e)
    5764             : {
    5765        2919 :   GEN j = ell_get_j(e);
    5766        2919 :   long CM = 0;
    5767        2919 :   if (typ(j) == t_INT) switch(itos_or_0(j))
    5768             :   {
    5769         121 :     case 0:
    5770         121 :       if (!signe(j)) CM = -3;
    5771         121 :       break;
    5772         126 :     case 1728: CM = -4; break;
    5773          21 :     case -3375: CM = -7; break;
    5774          21 :     case  8000: CM = -8; break;
    5775          21 :     case 54000: CM = -12; break;
    5776          21 :     case -32768: CM = -11; break;
    5777          21 :     case 287496: CM = -16; break;
    5778           7 :     case -884736: CM = -19; break;
    5779          21 :     case -12288000: CM = -27; break;
    5780          21 :     case  16581375: CM = -28; break;
    5781           7 :     case -884736000: CM = -43; break;
    5782             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    5783           6 :     case -147197952000L: CM = -67; break;
    5784           6 :     case -262537412640768000L: CM = -163; break;
    5785             : #endif
    5786             :   }
    5787        2919 :   return CM;
    5788             : }
    5789             : 
    5790             : /* bad reduction at p */
    5791             : static void
    5792        3717 : sievep_bad(ulong p, GEN an, ulong n)
    5793             : {
    5794             :   ulong m, N;
    5795        3717 :   switch (an[p]) /* (-c6/p) */
    5796             :   {
    5797        1071 :     case -1: /* non-split */
    5798        1071 :       N = n/p;
    5799      457575 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5800      456504 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = -an[m];
    5801        1071 :       break;
    5802        1302 :     case 0: /* additive */
    5803      862589 :       for (m=2*p; m<=n; m+=p) an[m] = 0;
    5804        1302 :       break;
    5805        1344 :     case 1: /* split */
    5806        1344 :       N = n/p;
    5807      149957 :       for (m=2; m<=N; m++)
    5808      148613 :         if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = an[m];
    5809        1344 :       break;
    5810             :   }
    5811        3717 : }
    5812             : /* good reduction at p */
    5813             : static void
    5814      345656 : sievep_good(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn)
    5815             : {
    5816      345656 :   const long ap = an[p];
    5817             :   ulong m;
    5818      345656 :   if (p <= SQRTn) {
    5819       13158 :     ulong pk, oldpk = 1;
    5820       53698 :     for (pk=p; pk <= n; oldpk=pk, pk *= p)
    5821             :     {
    5822       40540 :       if (pk != p) an[pk] = ap * an[oldpk] - p * an[oldpk/p];
    5823     5046119 :       for (m = n/pk; m > 1; m--)
    5824     5005579 :         if (an[m] != LONG_MAX && m%p) an[m*pk] = an[m] * an[pk];
    5825             :     }
    5826             :   } else {
    5827     1769227 :     for (m = n/p; m > 1; m--)
    5828     1436729 :       if (an[m] != LONG_MAX) an[m*p] = ap * an[m];
    5829             :   }
    5830      345656 : }
    5831             : static void
    5832      349373 : sievep(ulong p, GEN an, ulong n, ulong SQRTn, int good_red)
    5833             : {
    5834      349373 :   if (good_red)
    5835      345656 :     sievep_good(p, an, n, SQRTn);
    5836             :   else
    5837        3717 :     sievep_bad(p, an, n);
    5838      349373 : }
    5839             : 
    5840             : static long
    5841      349373 : ellan_get_ap(ulong p, int *good_red, int CM, GEN e)
    5842             : {
    5843      349373 :   if (!umodiu(ell_get_disc(e),p)) /* p|D, bad reduction or non-minimal model */
    5844        3773 :     return ellQap_u(e, p, good_red);
    5845             :   else /* good reduction */
    5846             :   {
    5847      345600 :     *good_red = 1;
    5848      345600 :     return ellap_CM_fast(e, p, CM);
    5849             :   }
    5850             : }
    5851             : GEN
    5852        2380 : ellanQ_zv(GEN e, long n0)
    5853             : {
    5854             :   pari_sp av;
    5855        2380 :   ulong p, SQRTn, n = (ulong)n0;
    5856             :   GEN an;
    5857             :   int CM;
    5858             : 
    5859        2380 :   if (n0 <= 0) return cgetg(1,t_VEC);
    5860        2380 :   if (n >= LGBITS)
    5861           0 :     pari_err_IMPL( stack_sprintf("ellan for n >= %lu", LGBITS) );
    5862        2380 :   e = ellintegralmodel_i(e,NULL);
    5863        2380 :   SQRTn = usqrt(n);
    5864        2380 :   CM = ellQ_get_CM(e);
    5865             : 
    5866        2380 :   an = const_vecsmall(n, LONG_MAX);
    5867        2380 :   an[1] = 1; av = avma;
    5868     2857730 :   for (p=2; p<=n; p++)
    5869             :   {
    5870             :     int good_red;
    5871     2855350 :     if (an[p] != LONG_MAX) continue; /* p not prime */
    5872      349373 :     an[p] = ellan_get_ap(p, &good_red, CM, e);
    5873      349373 :     sievep(p, an, n, SQRTn, good_red);
    5874             :   }
    5875        2380 :   set_avma(av); return an;
    5876             : }
    5877             : 
    5878             : static GEN
    5879         329 : ellanQ(GEN e, long N)
    5880         329 : { return vecsmall_to_vec_inplace(ellanQ_zv(e,N)); }
    5881             : 
    5882             : static GEN
    5883       74070 : ellnflocal(GEN E, GEN p, long n)
    5884             : {
    5885       74070 :   pari_sp av = avma;
    5886       74070 :   GEN LP = idealprimedec_limit_f(ellnf_get_nf(E), p, n-1), T = NULL;
    5887       74071 :   long l = lg(LP), i;
    5888      148161 :   for (i = 1; i < l; i++)
    5889             :   {
    5890             :     int goodred;
    5891       74085 :     GEN P = gel(LP,i), T2;
    5892       74085 :     GEN ap = ellnfap(E, P, &goodred);
    5893       74054 :     long f = pr_get_f(P);
    5894       74057 :     if (goodred)
    5895       73875 :       T2 = mkpoln(3, pr_norm(P), negi(ap), gen_1);
    5896             :     else
    5897             :     {
    5898         182 :       if (!signe(ap)) continue;
    5899         168 :       T2 = deg1pol_shallow(negi(ap), gen_1, 0);
    5900             :     }
    5901       74061 :     if (f > 1) T2 = RgX_inflate(T2, f);
    5902       74077 :     T = T? ZX_mul(T, T2): T2;
    5903             :   }
    5904       74076 :   if (!T) { set_avma(av); return pol_1(0); }
    5905       40309 :   return gerepileupto(av, RgXn_inv_i(T, n));
    5906             : }
    5907             : 
    5908             : GEN
    5909        4704 : direllnf_worker(GEN P, ulong X, GEN E)
    5910             : {
    5911        4704 :   pari_sp av = avma;
    5912        4704 :   long i, l = lg(P);
    5913        4704 :   GEN W = cgetg(l, t_VEC);
    5914       78781 :   for(i = 1; i < l; i++)
    5915             :   {
    5916       74077 :     ulong p = uel(P,i);
    5917       74077 :     long d = ulogint(X, p) + 1; /* minimal d such that p^d > X */
    5918       74074 :     gel(W,i) = ellnflocal(E, utoi(uel(P,i)), d);
    5919             :   }
    5920        4704 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(P,W));
    5921             : }
    5922             : 
    5923             : static GEN
    5924         203 : ellnfan(GEN E, long N)
    5925             : {
    5926         203 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_direllnf_worker"), mkvec(E));
    5927         203 :   return pardireuler(worker, gen_2, stoi(N), NULL, NULL);
    5928             : }
    5929             : 
    5930             : GEN
    5931         525 : ellan(GEN E, long N)
    5932             : {
    5933         525 :   checkell(E);
    5934         525 :   switch(ell_get_type(E))
    5935             :   {
    5936         322 :     case t_ELL_Q: return ellanQ(E, N);
    5937         203 :     case t_ELL_NF: return ellnfan(E, N);
    5938           0 :     default:
    5939           0 :       pari_err_TYPE("ellan",E);
    5940             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5941             :   }
    5942             : }
    5943             : 
    5944             : static GEN
    5945         735 : apk_good(GEN ap, GEN p, long e)
    5946             : {
    5947             :   GEN u, v, w;
    5948             :   long j;
    5949         735 :   if (e == 1) return ap;
    5950         112 :   u = ap;
    5951         112 :   w = subii(sqri(ap), p);
    5952         126 :   for (j=3; j<=e; j++)
    5953             :   {
    5954          14 :     v = u; u = w;
    5955          14 :     w = subii(mulii(ap,u), mulii(p,v));
    5956             :   }
    5957         112 :   return w;
    5958             : }
    5959             : 
    5960             : GEN
    5961         693 : akell(GEN e, GEN n)
    5962             : {
    5963             :   long i, j, s;
    5964         693 :   pari_sp av = avma;
    5965             :   GEN fa, P, E, D, u, y;
    5966             : 
    5967         693 :   checkell_int(e);
    5968         693 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("akell",n);
    5969         693 :   if (signe(n)<= 0) return gen_0;
    5970         693 :   if (gequal1(n)) return gen_1;
    5971         693 :   D = ell_get_disc(e);
    5972         693 :   u = Z_ppo(n, D);
    5973         693 :   y = gen_1;
    5974         693 :   s = 1;
    5975         693 :   if (!equalii(u, n))
    5976             :   { /* bad reduction at primes dividing n/u */
    5977         441 :     fa = Z_factor(diviiexact(n, u));
    5978         441 :     P = gel(fa,1);
    5979         441 :     E = gel(fa,2);
    5980        1022 :     for (i=1; i<lg(P); i++)
    5981             :     {
    5982         581 :       GEN p = gel(P,i);
    5983         581 :       long ex = itos(gel(E,i));
    5984             :       int good_red;
    5985         581 :       GEN ap = ellQap(e,p,&good_red);
    5986         581 :       if (good_red) { y = mulii(y, apk_good(ap, p, ex)); continue; }
    5987         350 :       j = signe(ap);
    5988         350 :       if (!j) { set_avma(av); return gen_0; }
    5989         350 :       if (odd(ex) && j < 0) s = -s;
    5990             :     }
    5991             :   }
    5992         693 :   if (s < 0) y = negi(y);
    5993         693 :   fa = Z_factor(u);
    5994         693 :   P = gel(fa,1);
    5995         693 :   E = gel(fa,2);
    5996        1197 :   for (i=1; i<lg(P); i++)
    5997             :   { /* good reduction */
    5998         504 :     GEN p = gel(P,i);
    5999         504 :     GEN ap = ellap(e,p);
    6000         504 :     y = mulii(y, apk_good(ap, p, itos(gel(E,i))));
    6001             :   }
    6002         693 :   return gerepileuptoint(av,y);
    6003             : }
    6004             : 
    6005             : GEN
    6006        3563 : ellQ_get_N(GEN e)
    6007        3563 : { GEN v = ellglobalred_i(e); return gel(v,1); }
    6008             : void
    6009         882 : ellQ_get_Nfa(GEN e, GEN *N, GEN *faN)
    6010         882 : { GEN v = ellglobalred_i(e); *N = gel(v,1); *faN = gel(v,3); }
    6011             : 
    6012             : GEN
    6013          14 : elllseries(GEN e, GEN s, GEN A, long prec)
    6014             : {
    6015          14 :   pari_sp av = avma, av1;
    6016             :   ulong l, n;
    6017             :   long eps, flun;
    6018             :   GEN z, cg, v, cga, cgb, s2, K, gs, N;
    6019             : 
    6020          14 :   if (!A) A = gen_1;
    6021             :   else
    6022             :   {
    6023           7 :     if (gsigne(A)<=0)
    6024           0 :       pari_err_DOMAIN("elllseries", "cut-off point", "<=", gen_0,A);
    6025           7 :     if (gcmpgs(A,1) < 0) A = ginv(A);
    6026             :   }
    6027          14 :   if (isint(s, &s) && signe(s) <= 0) { set_avma(av); return gen_0; }
    6028          14 :   flun = gequal1(A) && gequal1(s);
    6029          14 :   checkell_Q(e);
    6030          14 :   e = ellanal_globalred(e, NULL);
    6031          14 :   N = ellQ_get_N(e);
    6032          14 :   eps = ellrootno_global(e);
    6033          14 :   if (flun && eps < 0) { set_avma(av); return real_0(prec); }
    6034             : 
    6035          14 :   gs = ggamma(s, prec);
    6036          14 :   cg = divrr(Pi2n(1, prec), gsqrt(N,prec));
    6037          14 :   cga = gmul(cg, A);
    6038          14 :   cgb = gdiv(cg, A);
    6039          14 :   l = (ulong)((prec2nbits_mul(prec, M_LN2) +
    6040          14 :               fabs(gtodouble(real_i(s))-1.) * log(rtodbl(cga)))
    6041          14 :             / rtodbl(cgb) + 1);
    6042          14 :   if ((long)l < 1) l = 1;
    6043          14 :   v = ellanQ_zv(e, minss(l,LGBITS-1));
    6044          14 :   s2 = K = NULL; /* gcc -Wall */
    6045          14 :   if (!flun) { s2 = gsubsg(2,s); K = gpow(cg, gsubgs(gmul2n(s,1),2),prec); }
    6046          14 :   z = gen_0;
    6047          14 :   av1 = avma;
    6048        1344 :   for (n = 1; n <= l; n++)
    6049             :   {
    6050        1330 :     GEN p1, an, gn = utoipos(n), ns;
    6051        1330 :     an = ((ulong)n<LGBITS)? stoi(v[n]): akell(e,gn);
    6052        1330 :     if (!signe(an)) continue;
    6053             : 
    6054        1106 :     ns = gpow(gn,s,prec);
    6055        1106 :     p1 = gdiv(incgam0(s,mulur(n,cga),gs,prec), ns);
    6056        1106 :     if (flun)
    6057           0 :       p1 = gmul2n(p1, 1);
    6058             :     else
    6059             :     {
    6060        1106 :       GEN p2 = gdiv(gmul(gmul(K,ns), incgam(s2,mulur(n,cgb),prec)), sqru(n));
    6061        1106 :       if (eps < 0) p2 = gneg_i(p2);
    6062        1106 :       p1 = gadd(p1, p2);
    6063             :     }
    6064        1106 :     z = gadd(z, gmul(p1, an));
    6065        1106 :     if (gc_needed(av1,1))
    6066             :     {
    6067           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"lseriesell");
    6068           0 :       z = gerepilecopy(av1,z);
    6069             :     }
    6070             :   }
    6071          14 :   return gerepileupto(av, gdiv(z,gs));
    6072             : }
    6073             : 
    6074             : /********************************************************************/
    6075             : /**                                                                **/
    6076             : /**                       CANONICAL HEIGHT                         **/
    6077             : /**                                                                **/
    6078             : /********************************************************************/
    6079             : 
    6080             : static GEN
    6081          56 : ellnf_volume(GEN e, long prec)
    6082             : {
    6083          56 :   GEN V = ellnf_vecarea(e,prec);
    6084          56 :   long i, r1 = nf_get_r1(ellnf_get_nf(e)), l = lg(V);
    6085          56 :   GEN r = gen_1;
    6086         133 :   for(i=1; i <= r1; i++) r = gmul(r, gel(V,i));
    6087          63 :   for(   ; i < l  ; i++) r = gmul(r, gsqr(gel(V,i)));
    6088          56 :   return r;
    6089             : }
    6090             : 
    6091             : /* The function follows
    6092             : <https://publications.ias.edu/sites/default/files/Number52.pdf>
    6093             : <https://resnumtheor.springeropen.com/track/pdf/10.1007/s40993-017-0077-7>
    6094             : */
    6095             : 
    6096             : static GEN
    6097          63 : ellheightfaltings(GEN e, long prec)
    6098             : {
    6099             :   GEN h;
    6100             :   long d;
    6101          63 :   pari_sp av = avma;
    6102          63 :   checkell(e);
    6103          63 :   switch(ell_get_type(e))
    6104             :   {
    6105           7 :     case t_ELL_Q:
    6106           7 :       d = 1;
    6107           7 :       h = gmul(gsqr(ellQ_minimalu(e,NULL)), ellR_area(e, prec));
    6108           7 :       break;
    6109          56 :     case t_ELL_NF:
    6110          56 :       d = nf_get_degree(ellnf_get_nf(e));
    6111          56 :       h = gmul(gsqr(ellnf_minimalnormu(e)), ellnf_volume(e, prec));
    6112          56 :       break;
    6113           0 :     default:
    6114           0 :       pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6115             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6116             :   }
    6117          63 :   return gerepileupto(av, gdivgs(logr_abs(h), -2*d));
    6118             : }
    6119             : 
    6120             : static GEN
    6121         707 : Q_numer(GEN x) { return typ(x) == t_INT? x: gel(x,1); }
    6122             : 
    6123             : /* one root of X^2 - t X + c */
    6124             : static GEN
    6125        1106 : quad_root(GEN t, GEN c, long prec)
    6126             : {
    6127        1106 :   return gmul2n(gadd(t, gsqrt(gsub(gsqr(t), gmul2n(c,2)),prec)), -1);
    6128             : }
    6129             : 
    6130             : /* exp( h_oo(z) ), assume z on neutral component.
    6131             :  * If flag, return exp(4 h_oo(z)) instead */
    6132             : static GEN
    6133        1106 : exphellagm(GEN e, GEN z, int flag, long prec)
    6134             : {
    6135        1106 :   GEN x_a, ab, a, b, e1, r, V = cgetg(1, t_VEC), x = gel(z,1);
    6136        1106 :   long n, ex = 5-prec2nbits(prec), p = prec+EXTRAPRECWORD;
    6137             : 
    6138        1106 :   if (typ(x) == t_REAL && realprec(x) < p) x = gprec_w(x, p);
    6139        1106 :   ab = ellR_ab(e, p);
    6140        1106 :   a = gel(ab, 1);
    6141        1106 :   b = gel(ab, 2);
    6142        1106 :   e1= gel(obj_check(e,R_ROOTS), 1); /* use maximal accuracy, don't truncate */
    6143        1106 :   x = gsub(x, e1);
    6144        1106 :   x = quad_root(gadd(x,b), gmul(a,x), prec);
    6145             : 
    6146        1106 :   x_a = gsub(x, a);
    6147        1106 :   if (gsigne(a) > 0) { GEN a0=a; x = gsub(x, b); a = gneg(b); b = gsub(a0, b); }
    6148        1106 :   a = gsqrt(gneg(a), prec);
    6149        1106 :   b = gsqrt(gneg(b), prec);
    6150             :   /* compute height on isogenous curve E1 ~ E0 */
    6151        1106 :   for(n=0;; n++)
    6152        4943 :   {
    6153        6049 :     GEN p1, p2, ab, a0 = a;
    6154        6049 :     a = gmul2n(gadd(a0,b), -1);
    6155        6049 :     r = gsub(a, a0);
    6156        6049 :     if (gequal0(r) || gexpo(r) < ex) break;
    6157        4943 :     ab = gmul(a0, b);
    6158        4943 :     b = gsqrt(ab, prec);
    6159             : 
    6160        4943 :     p1 = gmul2n(gsub(x, ab), -1);
    6161        4943 :     p2 = gsqr(a);
    6162        4943 :     x = gadd(p1, gsqrt(gadd(gsqr(p1), gmul(x, p2)), prec));
    6163        4943 :     V = shallowconcat(V, gadd(x, p2));
    6164             :   }
    6165        1106 :   if (n) {
    6166        1106 :     x = gel(V,n);
    6167        4943 :     while (--n > 0) x = gdiv(gsqr(x), gel(V,n));
    6168             :   } else
    6169           0 :     x = gadd(x, gsqr(a));
    6170             :   /* height on E1 is log(x)/2. Go back to E0 */
    6171        1106 :   return flag? gsqr(gdiv(gsqr(x), x_a)): gdiv(x, sqrtr(mpabs_shallow(x_a)));
    6172             : }
    6173             : /* is P \in E(R)^0, the neutral component ? */
    6174             : static int
    6175        1106 : ellR_on_neutral(GEN E, GEN P, long prec)
    6176             : {
    6177        1106 :   GEN x = gel(P,1), e1 = ellR_root(E, prec);
    6178        1106 :   return gcmp(x, e1) >= 0;
    6179             : }
    6180             : 
    6181             : /* hoo + 1/2 log(den(x)) */
    6182             : static GEN
    6183        1106 : hoo_aux(GEN E, GEN z, GEN d, long prec)
    6184             : {
    6185        1106 :   pari_sp av = avma;
    6186             :   GEN h;
    6187        1106 :   if (!ellR_on_neutral(E, z, prec))
    6188             :   {
    6189         455 :     GEN eh = exphellagm(E, elladd(E, z,z), 0, prec);
    6190             :     /* h_oo(2P) = 4h_oo(P) - log |2y + a1x + a3| */
    6191         455 :     h = gmul(eh, gabs(ec_dmFdy_evalQ(E, z), prec));
    6192             :   }
    6193             :   else
    6194         651 :     h = exphellagm(E, z, 1, prec);
    6195        1106 :   if (!is_pm1(d)) h = gmul(h, sqri(d));
    6196        1106 :   return gerepileuptoleaf(av, gmul2n(mplog(h), -2));
    6197             : }
    6198             : GEN
    6199        1001 : ellheightoo(GEN E, GEN z, long prec) { return hoo_aux(E, z, gen_1, prec); }
    6200             : 
    6201             : /* Formula from Silverman GTM 151 Theorem 3.2 page 466 */
    6202             : static GEN
    6203          28 : ellheight_C(GEN E, GEN P, long prec)
    6204             : {
    6205          28 :   pari_sp av = avma;
    6206          28 :   GEN z = zell(E, P, prec);
    6207          28 :   GEN per = ellperiods(E, 1, prec);
    6208          28 :   GEN w = gel(per,1), w1 = gel(w,1), w2 = gel(w, 2), w1c = conj_i(w1);
    6209          28 :   GEN e = gel(per,2), e1 = gel(e,1), e2 = gel(e, 2);
    6210          28 :   GEN D = gsub(gmul(w1, conj_i(w2)),gmul(w1c, w2));
    6211          28 :   GEN b = gdiv(gsub(gmul(w1, conj_i(z)),gmul(w1c, z)), D);
    6212          28 :   GEN a = gdiv(gsub(z, gmul(b, w2)), w1);
    6213          28 :   GEN eta = gadd(gmul(a, e1), gmul(b, e2));
    6214          28 :   GEN r = gmul2n(real_i(gmul(z, eta)), -1);
    6215          28 :   GEN l = real_i(ellsigma(per, z, 1, prec));
    6216          28 :   return gerepileupto(av, gsub(r, l));
    6217             : }
    6218             : 
    6219             : static GEN
    6220         140 : _hell(GEN E, GEN p, long n, GEN P)
    6221         140 : { return p? ellpadicheight(E,p,n, P): ellheight(E,P,n); }
    6222             : static GEN
    6223          35 : ellheightpairing(GEN E, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6224             : {
    6225          35 :   pari_sp av = avma;
    6226          35 :   GEN a = _hell(E,p,n, elladd(E,P,Q));
    6227          35 :   GEN b = _hell(E,p,n, ellsub(E,P,Q));
    6228          35 :   return gerepileupto(av, gmul2n(gsub(a,b), -2));
    6229             : }
    6230             : GEN
    6231         224 : ellheight0(GEN e, GEN a, GEN b, long n)
    6232         224 : { return b? ellheightpairing(e,NULL,n, a,b): a? ellheight(e,a,n): ellheightfaltings(e,n); }
    6233             : GEN
    6234          70 : ellpadicheight0(GEN e, GEN p, long n, GEN P, GEN Q)
    6235          70 : { return Q? ellheightpairing(e,p,n, P,Q): ellpadicheight(e,p,n, P); }
    6236             : 
    6237             : static GEN
    6238         245 : ellnf_localheight(GEN e, GEN P, GEN pr)
    6239             : {
    6240             :   long v1, v2, vD, vu;
    6241         245 :   GEN nf = ellnf_get_nf(e);
    6242         245 :   GEN lr = nflocalred(e,pr);
    6243         245 :   GEN k = gel(lr, 2), urst = gel(lr, 3), u = gel(urst, 1);
    6244         245 :   GEN E = ellchangecurve(e, urst);
    6245         245 :   GEN Q = ellchangepoint(P, urst);
    6246             :   GEN v;
    6247         245 :   vu = nfval(nf, u, pr);
    6248         245 :   v1 = nfval(nf, ec_dFdx_evalQ(E, Q), pr);
    6249         245 :   v2 = nfval(nf, ec_dmFdy_evalQ(E, Q), pr);
    6250         245 :   vD = nfval(nf, ell_get_disc(E), pr);
    6251         245 :   if (v1<0)
    6252           7 :     vu = 0;
    6253         245 :   if (v1<=0 || v2<=0)
    6254         210 :     v = gen_0;
    6255          35 :   else if (cmpis(k,5) >= 0)
    6256             :   {
    6257          21 :     GEN a = sstoQ(minss(2*v2,vD), 2*vD);
    6258          21 :     v = gmul(gsub(gsqr(a),a), sstoQ(vD,2));
    6259             :   }
    6260             :   else
    6261             :   {
    6262          14 :     long v3 = nfval(nf, ec_3divpol_evalx(E, gel(Q,1)), pr);
    6263          28 :     v = (v2<LONG_MAX && v3>=3*v2) ? sstoQ(-v2,3):
    6264          14 :                                     sstoQ(-v3,8);
    6265             :   }
    6266         245 :   return gsubgs(v,vu);
    6267             : }
    6268             : 
    6269             : static GEN
    6270         112 : ellnf_height(GEN E, GEN P, long prec)
    6271             : {
    6272         112 :   pari_sp av = avma;
    6273             :   GEN x, nf, disc, d, F, Ee, Pe, s;
    6274             :   long i, n, l, r1;
    6275         112 :   if (signe(ellorder(E, P, NULL))) return gen_0;
    6276          91 :   x = gel(P,1);
    6277          91 :   if (gequal0(ec_2divpol_evalx(E, x))) { set_avma(av); return gen_0; }
    6278          91 :   nf = ellnf_get_nf(E); r1 = nf_get_r1(nf);
    6279          91 :   disc = ell_get_disc(E);
    6280          91 :   d = idealnorm(nf, gel(idealnumden(nf, x), 2));
    6281          91 :   F = gel(idealfactor(nf, disc), 1);
    6282          91 :   Ee = ellnfembed(E, prec);
    6283          91 :   Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
    6284          91 :   n = lg(Ee); l = lg(F);
    6285          91 :   s = gmul2n(glog(d, prec), -1);
    6286         224 :   for (i=1; i<=r1; i++)
    6287         133 :     s = gadd(s, ellheightoo(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec));
    6288         119 :   for (   ; i<n; i++)
    6289          28 :     s = gadd(s, gmul2n(ellheight_C(gel(Ee, i), gel(Pe, i), prec), 1));
    6290         336 :   for (i=1; i<l; i++)
    6291             :   {
    6292         245 :     GEN pr = gel(F,i), p = pr_get_p(pr);
    6293         245 :     long f = pr_get_f(pr);
    6294         245 :     GEN lam = ellnf_localheight(E, P, pr);
    6295         245 :     s = gadd(s, gmul(lam, mulrs(glog(p, prec), f)));
    6296             :   }
    6297          91 :   return gerepileupto(av, gmul2n(s, 1));
    6298             : }
    6299             : 
    6300             : static GEN
    6301         133 : ellQ_height(GEN e, GEN a, long prec)
    6302             : {
    6303             :   long i, lx;
    6304             :   pari_sp av;
    6305             :   GEN Lp, x, y, z, phi2, psi2, psi3;
    6306             :   GEN v, S, b2, b4, b6, b8, a1, a2, a4, c4, D;
    6307             : 
    6308         133 :   if (!RgV_is_QV(a)) pari_err_TYPE("ellheight [not a rational point]",a);
    6309         126 :   if (ellorder_Q(e, a)) return gen_0;
    6310         112 :   av = avma;
    6311         112 :   if ((S = obj_check(e, Q_MINIMALMODEL)))
    6312             :   { /* switch to minimal model if needed */
    6313          84 :     if (lg(S) != 2)
    6314             :     {
    6315           7 :       v = gel(S,2);
    6316           7 :       e = gel(S,3);
    6317           7 :       a = ellchangepoint(a, v);
    6318             :     }
    6319             :   }
    6320             :   else
    6321             :   {
    6322          28 :     e = ellminimalmodel_i(e, &v);
    6323          28 :     a = ellchangepoint(a, v);
    6324             :   }
    6325         112 :   if (!oncurve(e,a))
    6326           7 :     pari_err_DOMAIN("ellheight", "point", "not on", strtoGENstr("E"),a);
    6327         105 :   psi2 = Q_numer(ec_dmFdy_evalQ(e,a));
    6328         105 :   if (!signe(psi2)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6329         105 :   x = gel(a,1);
    6330         105 :   y = gel(a,2);
    6331         105 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6332         105 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6333         105 :   b6 = ell_get_b6(e);
    6334         105 :   b8 = ell_get_b8(e);
    6335         105 :   psi3 = Q_numer( /* b8 + 3x b6 + 3x^2 b4 + x^3 b2 + 3 x^4 */
    6336             :     poleval(mkvec5(b8, mului(3,b6), mului(3,b4), b2, utoipos(3)), x)
    6337             :   );
    6338         105 :   if (!signe(psi3)) { set_avma(av); return gen_0; }
    6339         105 :   a1 = ell_get_a1(e);
    6340         105 :   a2 = ell_get_a2(e);
    6341         105 :   a4 = ell_get_a4(e);
    6342         105 :   phi2 = Q_numer( /* a4 + 2a2 x + 3x^2 - y a1*/
    6343             :     poleval(mkvec3(gsub(a4,gmul(a1,y)), shifti(a2,1), utoipos(3)), x)
    6344             :   );
    6345         105 :   c4 = ell_get_c4(e);
    6346         105 :   D = ell_get_disc(e);
    6347         105 :   z = hoo_aux(e,a,Q_denom(x),prec);  /* hoo(a) + log(den(x))/2 */
    6348         105 :   Lp = gel(Z_factor(gcdii(psi2,phi2)),1);
    6349         105 :   lx = lg(Lp);
    6350         217 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6351             :   {
    6352         112 :     GEN p = gel(Lp,i);
    6353             :     long u, v, n, n2;
    6354         112 :     if (!dvdii(c4,p))
    6355             :     { /* p \nmid c4 */
    6356          35 :       long N = Z_pval(D,p);
    6357          35 :       if (!N) continue;
    6358          35 :       n2 = Z_pval(psi2,p); n = n2<<1;
    6359          35 :       if (n > N) n = N;
    6360          35 :       u = n * ((N<<1) - n);
    6361          35 :       v = N << 3;
    6362             :     }
    6363             :     else
    6364             :     {
    6365          77 :       n2 = Z_pval(psi2, p);
    6366          77 :       n  = Z_pval(psi3, p);
    6367          77 :       if (n >= 3*n2) { u = n2; v = 3; } else { u = n; v = 8; }
    6368             :     }
    6369             :     /* z -= u log(p) / v */
    6370         112 :     z = gsub(z, divru(mulur(u, logr_abs(itor(p,prec))), v));
    6371             :   }
    6372         105 :   return gerepileupto(av, gmul2n(z, 1));
    6373             : }
    6374             : 
    6375             : GEN
    6376         245 : ellheight(GEN e, GEN a, long prec)
    6377             : {
    6378         245 :   checkell(e); checkellpt(a);
    6379         245 :   switch(ell_get_type(e))
    6380             :   {
    6381         133 :     case t_ELL_Q:
    6382         133 :       return ellQ_height(e, a, prec);
    6383           0 :     default: pari_err_TYPE("ellheight", e);
    6384         112 :     case t_ELL_NF:
    6385         112 :       return ellnf_height(e, a, prec);
    6386             :   }
    6387             : }
    6388             : 
    6389             : GEN
    6390          21 : ellpadicheightmatrix(GEN e, GEN p, long n, GEN x)
    6391             : {
    6392             :   GEN D, A, B;
    6393          21 :   long lx = lg(x), i, j;
    6394          21 :   pari_sp av = avma;
    6395             : 
    6396          21 :   if (!is_vec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("ellheightmatrix",x);
    6397          21 :   D = cgetg(lx,t_VEC);
    6398          21 :   A = cgetg(lx,t_MAT);
    6399          21 :   B = cgetg(lx,t_MAT);
    6400          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6401             :   {
    6402          42 :     gel(D,i) = _hell(e,p,n, gel(x,i));
    6403          42 :     gel(A,i) = cgetg(lx,t_COL);
    6404          42 :     gel(B,i) = cgetg(lx,t_COL); /*unused if p = NULL */
    6405             :   }
    6406          63 :   for (i=1; i<lx; i++)
    6407             :   {
    6408          42 :     GEN h = gel(D,i);
    6409          42 :     if (p)
    6410             :     {
    6411          28 :       gcoeff(A,i,i) = gel(h,1);
    6412          28 :       gcoeff(B,i,i) = gel(h,2);
    6413             :     }
    6414             :     else
    6415          14 :       gcoeff(A,i,i) = h;
    6416          70 :     for (j=i+1; j<lx; j++)
    6417             :     {
    6418          28 :       h = _hell(e,p,n, elladd(e,gel(x,i),gel(x,j)));
    6419          28 :       h = gmul2n(gsub(h, gadd(gel(D,i),gel(D,j))), -1);
    6420          28 :       if (p)
    6421             :       {
    6422          21 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = gel(h,1);
    6423          21 :         gcoeff(B,j,i) = gcoeff(B,i,j) = gel(h,2);
    6424             :       }
    6425             :       else
    6426           7 :         gcoeff(A,j,i) = gcoeff(A,i,j) = h;
    6427             :     }
    6428             :   }
    6429          21 :   return gerepilecopy(av, p? mkvec2(A,B): A);
    6430             : }
    6431             : GEN
    6432           7 : ellheightmatrix(GEN E, GEN x, long n)
    6433           7 : { return ellpadicheightmatrix(E,NULL,n, x); }
    6434             : 
    6435             : /* Q an actual point, P a point or vector/matrix of points */
    6436             : static GEN
    6437          21 : bilhell_i(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6438             : {
    6439             :   GEN y;
    6440          21 :   long i, l = lg(P);
    6441          21 :   if (l==1) return cgetg(1,typ(P));
    6442          21 :   if (!is_matvec_t( typ(gel(P,1)) )) return ellheight0(E,P,Q,n);
    6443           7 :   y = cgetg(l, typ(P));
    6444          21 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = bilhell_i(E,gel(P,i),Q,n);
    6445           7 :   return y;
    6446             : }
    6447             : GEN
    6448           7 : bilhell(GEN E, GEN P, GEN Q, long n)
    6449             : {
    6450           7 :   long t1 = typ(P), t2 = typ(Q);
    6451           7 :   if (!is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("ellbil",P);
    6452           7 :   if (!is_matvec_t(t2)) pari_err_TYPE("ellbil",Q);
    6453           7 :   if (lg(P)==1) return cgetg(1,t1);
    6454           7 :   if (lg(Q)==1) return cgetg(1,t2);
    6455           7 :   t2 = typ(gel(Q,1));
    6456           7 :   if (is_matvec_t(t2))
    6457             :   {
    6458           0 :     t1 = typ(gel(P,1));
    6459           0 :     if (is_matvec_t(t1)) pari_err_TYPE("bilhell",P);
    6460           0 :     return bilhell_i(E,Q,P,n);
    6461             :   }
    6462           7 :   return bilhell_i(E,P,Q,n);
    6463             : }
    6464             : /********************************************************************/
    6465             : /**                                                                **/
    6466             : /**                    Modular Parametrization                     **/
    6467             : /**                                                                **/
    6468             : /********************************************************************/
    6469             : /* t*x^v (1 + O(x)), t != 0 */
    6470             : static GEN
    6471           0 : triv_ser(GEN t, long v)
    6472             : {
    6473           0 :   GEN s = cgetg(3,t_SER);
    6474           0 :   s[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(v) | evalvarn(0);
    6475           0 :   gel(s,2) = t; return s;
    6476             : }
    6477             : 
    6478             : GEN
    6479          14 : elltaniyama(GEN e, long prec)
    6480             : {
    6481             :   GEN x, w, c, d, X, C, b2, b4;
    6482             :   long n, m;
    6483          14 :   pari_sp av = avma;
    6484             : 
    6485          14 :   checkell_Q(e);
    6486          14 :   if (prec < 0) pari_err_DOMAIN("elltaniyama","precision","<",gen_0,stoi(prec));
    6487           7 :   if (!prec) retmkvec2(triv_ser(gen_1,-2), triv_ser(gen_m1,-3));
    6488             : 
    6489           7 :   x = cgetg(prec+3,t_SER);
    6490           7 :   x[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6491           7 :   d = ginv(RgV_to_ser(ellanQ(e,prec+1), 0, prec+3)); setvalp(d,-1);
    6492             :   /* 2y(q) + a1x + a3 = d qx'(q). Solve for x(q),y(q):
    6493             :    * 4y^2 = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 */
    6494           7 :   c = gsqr(d);
    6495             :   /* solve 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6 = c (q x'(q))^2; c = 1/q^2 + O(1/q)
    6496             :    * Take derivative then divide by 2x':
    6497             :    *  b2 x + b4 = (1/2) (q c')(q x') + c q (q x')' - 6x^2.
    6498             :    * Write X[i] = coeff(x, q^i), C[i] = coeff(c, q^i), we obtain for all n
    6499             :    *  ((n+1)(n+2)-12) X[n+2] =  b2 X[n] + b4 delta_{n = 0}
    6500             :    *   + 6    \sum_{m = -1}^{n+1} X[m] X[n-m]
    6501             :    *   - (1/2)\sum_{m = -2}^{n+1} (n+m) m C[n-m]X[m].
    6502             :    * */
    6503           7 :   C = c+4;
    6504           7 :   X = x+4;
    6505           7 :   gel(X,-2) = gen_1;
    6506           7 :   gel(X,-1) = gmul2n(gel(C,-1), -1); /* n = -3, X[-1] = C[-1] / 2 */
    6507           7 :   b2 = ell_get_b2(e);
    6508           7 :   b4 = ell_get_b4(e);
    6509         112 :   for (n=-2; n <= prec-4; n++)
    6510             :   {
    6511         105 :     pari_sp av2 = avma;
    6512             :     GEN s1, s2, s3;
    6513         105 :     if (n != 2)
    6514             :     {
    6515          98 :       s3 = gmul(b2, gel(X,n));
    6516          98 :       if (!n) s3 = gadd(s3, b4);
    6517          98 :       s2 = gen_0;
    6518        1001 :       for (m=-2; m<=n+1; m++)
    6519         903 :         if (m) s2 = gadd(s2, gmulsg(m*(n+m), gmul(gel(X,m),gel(C,n-m))));
    6520          98 :       s2 = gmul2n(s2,-1);
    6521          98 :       s1 = gen_0;
    6522         476 :       for (m=-1; m+m < n; m++) s1 = gadd(s1, gmul(gel(X,m),gel(X,n-m)));
    6523          98 :       s1 = gmul2n(s1, 1);
    6524          98 :       if (m+m==n) s1 = gadd(s1, gsqr(gel(X,m)));
    6525             :       /* ( (n+1)(n+2) - 12 ) X[n+2] = (6 s1 + s3 - s2) */
    6526          98 :       s1 = gdivgs(gsub(gadd(gmulsg(6,s1),s3),s2), (n+2)*(n+1)-12);
    6527             :     }
    6528             :     else
    6529             :     {
    6530           7 :       GEN b6 = ell_get_b6(e);
    6531           7 :       GEN U = cgetg(9, t_SER);
    6532           7 :       U[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(-2) | evalvarn(0);
    6533           7 :       gel(U,2) = gel(x,2);
    6534           7 :       gel(U,3) = gel(x,3);
    6535           7 :       gel(U,4) = gel(x,4);
    6536           7 :       gel(U,5) = gel(x,5);
    6537           7 :       gel(U,6) = gel(x,6);
    6538           7 :       gel(U,7) = gel(x,7);
    6539           7 :       gel(U,8) = gen_0; /* defined mod q^5 */
    6540             :       /* write x = U + x_4 q^4 + O(q^5) and expand original equation */
    6541           7 :       w = derivser(U); setvalp(w,-2); /* q X' */
    6542             :       /* 4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6 */
    6543           7 :       s1 = gadd(b6, gmul(U, gadd(gmul2n(b4,1), gmul(U,gadd(b2,gmul2n(U,2))))));
    6544             :       /* s2 = (qX')^2 - (4X^3 + b2 U^2 + 2b4 U + b6) = 28 x_4 + O(q) */
    6545           7 :       s2 = gsub(gmul(c,gsqr(w)), s1);
    6546           7 :       s1 = signe(s2)? gdivgs(gel(s2,2), 28): gen_0; /* = x_4 */
    6547             :     }
    6548         105 :     gel(X,n+2) = gerepileupto(av2, s1);
    6549             :   }
    6550           7 :   w = gmul(d,derivser(x)); setvalp(w, valp(w)+1);
    6551           7 :   w = gsub(w, ec_h_evalx(e,x));
    6552           7 :   c = cgetg(3,t_VEC);
    6553           7 :   gel(c,1) = gcopy(x);
    6554           7 :   gel(c,2) = gmul2n(w,-1); return gerepileupto(av, c);
    6555             : }
    6556             : 
    6557             : /********************************************************************/
    6558             : /**                                                                **/
    6559             : /**                       TORSION POINTS (over Q)                  **/
    6560             : /**                                                                **/
    6561             : /********************************************************************/
    6562             : static GEN
    6563       19285 : doellff_get_o(GEN E)
    6564             : {
    6565       19285 :   GEN G = ellff_get_group(E), d = (lg(G) == 1)? gen_1: gel(G,1);
    6566       19285 :   return mkvec2(d, Z_factor(d));
    6567             : }
    6568             : GEN
    6569       19824 : ellff_get_o(GEN E)
    6570       19824 : { return obj_checkbuild(E, FF_O, &doellff_get_o); }
    6571             : 
    6572             : static void
    6573         497 : RgE2_Fp_init(GEN E, GEN *pP, GEN *pQ, GEN *a4, GEN p)
    6574             : {
    6575         497 :   GEN e = ellff_get_a4a6(E);
    6576         497 :   *a4 = gel(e, 1);
    6577         497 :   *pP = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pP,p), gel(e,3), p);
    6578         497 :   *pQ = FpE_changepointinv(RgE_to_FpE(*pQ,p), gel(e,3), p);
    6579         497 : }
    6580             : GEN
    6581         140 : elllog(GEN E, GEN a, GEN g, GEN o)
    6582             : {
    6583         140 :   pari_sp av = avma;
    6584             :   GEN p;
    6585         140 :   checkell_Fq(E); checkellpt(a); checkellpt(g);
    6586         140 :   p = ellff_get_field(E);
    6587         140 :   if (!o) o = ellff_get_o(E);
    6588         140 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elllog(E, a, g, o);
    6589             :   else
    6590             :   {
    6591             :     GEN a4;
    6592          49 :     RgE2_Fp_init(E, &a, &g, &a4, p);
    6593          49 :     return gerepileuptoint(av, FpE_log(a, g, o, a4, p));
    6594             :   }
    6595             : }
    6596             : 
    6597             : GEN
    6598        5250 : ellweilpairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6599             : {
    6600             :   GEN p;
    6601        5250 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6602        5243 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("ellweilpairing",m);
    6603        5243 :   p = ellff_get_field(E);
    6604        5243 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_ellweilpairing(E, P, Q, m);
    6605             :   else
    6606             :   {
    6607         245 :     pari_sp av = avma;
    6608             :     GEN w, a4;
    6609         245 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6610         245 :     w = FpE_weilpairing(P, Q, m, a4, p);
    6611         245 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(w, p));
    6612             :   }
    6613             : }
    6614             : 
    6615             : GEN
    6616         301 : elltatepairing(GEN E, GEN P, GEN Q, GEN m)
    6617             : {
    6618             :   GEN p;
    6619         301 :   checkell_Fq(E); checkellpt(P); checkellpt(Q);
    6620         301 :   if (typ(m)!=t_INT) pari_err_TYPE("elltatepairing",m);
    6621         301 :   p = ellff_get_field(E);
    6622         301 :   if (typ(p)==t_FFELT) return FF_elltatepairing(E, P, Q, m);
    6623             :   else
    6624             :   {
    6625         203 :     pari_sp av = avma;
    6626             :     GEN t, a4;
    6627         203 :     RgE2_Fp_init(E, &P, &Q, &a4, p);
    6628         203 :     t = FpE_tatepairing(P, Q, m, a4, p);
    6629         203 :     return gerepileupto(av, Fp_to_mod(t, p));
    6630             :   }
    6631             : }
    6632             : 
    6633             : /* E/Q or Qp, return cardinality including the (possible) ramified point */
    6634             : static GEN
    6635     2874303 : ellcard_ram(GEN E, GEN p, int *good_red)
    6636             : {
    6637     2874303 :   GEN a4, a6, D = Rg_to_Fp(ell_get_disc(E), p);
    6638     2874280 :   if (!signe(D))
    6639             :   {
    6640       97972 :     pari_sp av = avma;
    6641       97972 :     GEN ap = ellQap(E, p, good_red);
    6642       97972 :     return gerepileuptoint(av, subii(addiu(p,1), ap));
    6643             :   }
    6644     2776308 :   *good_red = 1;
    6645     2776308 :   if (absequaliu(p,2)) return utoi(cardmod2(E));
    6646     2775431 :   if (absequaliu(p,3)) return utoi(cardmod3(E));
    6647     2774560 :   ell_to_a4a6(E,p,&a4,&a6);
    6648     2774175 :   return Fp_ellcard(a4, a6, p);
    6649             : }
    6650             : 
    6651             : GEN
    6652     3027591 : ellap(GEN E, GEN p)
    6653             : {
    6654     3027591 :   pari_sp av = avma;
    6655             :   GEN q, card;
    6656             :   int goodred;
    6657     3027591 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellap");
    6658     3027549 :   switch(ell_get_type(E))
    6659             :   {
    6660         112 :   case t_ELL_Fp:
    6661         112 :     q = p; card = ellff_get_card(E);
    6662         112 :     break;
    6663       54467 :   case t_ELL_Fq:
    6664       54467 :     q = FF_q(ellff_get_field(E)); card = ellff_get_card(E);
    6665       54467 :     break;
    6666     2873896 :   case t_ELL_Qp:
    6667             :   case t_ELL_Q:
    6668     2873896 :     q = p; card = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6669     2873934 :     break;
    6670       99071 :   case t_ELL_NF:
    6671       99071 :     return ellnfap(E, p, &goodred);
    6672           0 :   default:
    6673           0 :     pari_err_TYPE("ellap",E);
    6674             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6675             :   }
    6676     2928513 :   return gerepileuptoint(av, subii(addiu(q,1), card));
    6677             : }
    6678             : 
    6679             : /* N.B. q > minq, then the list of potential orders in ellsea will not contain
    6680             :  * an ambiguity => oo-loop. E.g. ellsea(ellinit([1,519],523)) */
    6681             : GEN
    6682         126 : ellsea(GEN E, long smallfact)
    6683             : {
    6684         126 :   const ulong minq = 523;
    6685         126 :   checkell_Fq(E);
    6686         126 :   switch(ell_get_type(E))
    6687             :   {
    6688         112 :   case t_ELL_Fp:
    6689             :     {
    6690         112 :       GEN p = ellff_get_field(E), e = ellff_get_a4a6(E);
    6691         112 :       if (abscmpiu(p, minq) <= 0) return Fp_ellcard(gel(e,1), gel(e,2), p);
    6692         105 :       return Fp_ellcard_SEA(gel(e,1), gel(e,2), p, smallfact);
    6693             :     }
    6694          14 :   case t_ELL_Fq:
    6695             :     {
    6696          14 :       GEN fg = ellff_get_field(E);
    6697          14 :       if (abscmpiu(FF_p_i(fg), 7) <= 0 || abscmpiu(FF_q(fg), minq) <= 0)
    6698           0 :         return FF_ellcard(E);
    6699          14 :       return FF_ellcard_SEA(E, smallfact);
    6700             :     }
    6701             :   }
    6702             :   return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6703             : }
    6704             : 
    6705             : GEN
    6706      162890 : ellff_get_card(GEN E)
    6707      162890 : { return obj_checkbuild(E, FF_CARD, &doellcard); }
    6708             : 
    6709             : GEN
    6710       87409 : ellcard(GEN E, GEN p)
    6711             : {
    6712       87409 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellcard");
    6713       87402 :   switch(ell_get_type(E))
    6714             :   {
    6715       86947 :   case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6716       86947 :     return icopy(ellff_get_card(E));
    6717         420 :   case t_ELL_Qp:
    6718             :   case t_ELL_Q:
    6719             :     {
    6720         420 :       pari_sp av = avma;
    6721             :       int goodred;
    6722         420 :       GEN N = ellcard_ram(E, p, &goodred);
    6723         420 :       if (!goodred) N = subiu(N, 1); /* remove singular point */
    6724         420 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6725             :     }
    6726          35 :   case t_ELL_NF:
    6727             :     {
    6728          35 :       pari_sp av = avma;
    6729             :       int goodred;
    6730          35 :       GEN N = subii(pr_norm(p), ellnfap(E, p, &goodred));
    6731          35 :       if (goodred) N = addiu(N, 1);
    6732          35 :       return gerepileuptoint(av, N);
    6733             :     }
    6734           0 :   default:
    6735           0 :     pari_err_TYPE("ellcard",E);
    6736             :     return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6737             :   }
    6738             : }
    6739             : 
    6740             : /* assume model is p-minimal */
    6741             : static GEN
    6742       21917 : ellgroup_m(GEN E, GEN p, GEN *pm)
    6743             : {
    6744       21917 :   GEN a4, a6, N = ellcard(E, p); /* #E^ns(Fp) */
    6745       21917 :   *pm = gen_1;
    6746       21917 :   if (equali1(N)) return cgetg(1,t_VEC);
    6747       21917 :   if (absequaliu(p, 2)) return mkvec(N);
    6748       21917 :   if (absequaliu(p, 3))
    6749             :   { /* The only possible non-cyclic group is [2,2] which happens 9 times */
    6750             :     ulong b2, b4, b6;
    6751           0 :     if (!absequaliu(N, 4)) return mkvec(N);
    6752             :     /* If the group is not cyclic, T = 4x^3 + b2 x^2 + 2b4 x + b6
    6753             :      * must have 3 roots else 1 root. Test T(0) = T(1) = 0 mod 3 */
    6754           0 :     b6 = Rg_to_Fl(ell_get_b6(E), 3);
    6755           0 :     if (b6) return mkvec(N);
    6756             :     /* b6 = T(0) = 0 mod 3. Test T(1) */
    6757           0 :     b2 = Rg_to_Fl(ell_get_b2(E), 3);
    6758           0 :     b4 = Rg_to_Fl(ell_get_b4(E), 3);
    6759           0 :     if ((1 + b2 + (b4<<1)) % 3) return mkvec(N);
    6760           0 :     return mkvec2s(2, 2);
    6761             :   } /* Now assume p > 3 */
    6762       21917 :   ell_to_a4a6(E, p, &a4,&a6);
    6763       21917 :   return Fp_ellgroup(a4,a6,N,p, pm);
    6764             : }
    6765             : 
    6766             : static GEN
    6767       40971 : doellGm(GEN E)
    6768             : {
    6769       40971 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6770       40971 :   GEN m, G = (typ(fg) == t_FFELT)? FF_ellgroup(E, &m): ellgroup_m(E, fg, &m);
    6771       40971 :   return mkvec2(G, m);
    6772             : }
    6773             : static GEN
    6774       80493 : ellff_Gm(GEN E)
    6775       80493 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUP, &doellGm); }
    6776             : GEN
    6777       61810 : ellff_get_group(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 1); }
    6778             : GEN
    6779       18683 : ellff_get_m(GEN E) { return gel(ellff_Gm(E), 2); }
    6780             : GEN
    6781       18683 : ellff_get_D(GEN E)
    6782             : {
    6783       18683 :   GEN G = ellff_get_group(E), o = ellff_get_o(E);
    6784       18683 :   switch(lg(G))
    6785             :   {
    6786          91 :     case 1: return G;
    6787       15876 :     case 2: return mkvec(o);
    6788        2716 :     default: return mkvec2(o, gel(G,2));
    6789             :   }
    6790             : }
    6791             : 
    6792             : /* E / Fp */
    6793             : static GEN
    6794       18683 : doellgens(GEN E)
    6795             : {
    6796       18683 :   GEN fg = ellff_get_field(E);
    6797       18683 :   if (typ(fg)==t_FFELT)
    6798       18109 :     return FF_ellgens(E);
    6799             :   else
    6800             :   {
    6801         574 :     GEN F, p = fg, e = ellff_get_a4a6(E);
    6802         574 :     F = Fp_ellgens(gel(e,1),gel(e,2),gel(e,3), ellff_get_D(E),ellff_get_m(E),p);
    6803         574 :     return FpVV_to_mod(F,p);
    6804             :   }
    6805             : }
    6806             : 
    6807             : GEN
    6808       18760 : ellff_get_gens(GEN E)
    6809       18760 : { return obj_checkbuild(E, FF_GROUPGEN, &doellgens); }
    6810             : 
    6811             : GEN
    6812       22323 : ellgroup(GEN E, GEN p)
    6813             : {
    6814       22323 :   pari_sp av = avma;
    6815             :   GEN m, G;
    6816       22323 :   p = checkellp(&E,p, NULL, "ellgroup");
    6817       22316 :   switch(ell_get_type(E))
    6818             :   {
    6819       21882 :     case t_ELL_Fp:
    6820       21882 :     case t_ELL_Fq: G = ellff_get_group(E); break;
    6821         392 :     case t_ELL_Qp:
    6822             :     case t_ELL_Q:
    6823         392 :       if (Z_pval(Q_numer(ell_get_disc(E)), p))
    6824             :       {
    6825          14 :         GEN Q = localred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6826          14 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6827          14 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6828             :       }
    6829         378 :       G = ellgroup_m(E,p,&m); break;
    6830          42 :     case t_ELL_NF:
    6831          42 :       if (nfval(ellnf_get_nf(E), ell_get_disc(E), p))
    6832             :       {
    6833          21 :         GEN Q = nflocalred(E,p), kod = gel(Q,2);
    6834          21 :         E = ellchangecurve(E, gel(Q,3));
    6835          21 :         if (!equali1(kod)) { G = mkvec(ellcard(E,p)); break; }
    6836             :       }
    6837          28 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6838          28 :       G = ellff_get_group(E);
    6839          28 :       G = gcopy(G); obj_free(E); break;
    6840           0 :     default:
    6841           0 :       pari_err_TYPE("ellgroup", E);
    6842             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6843             :   }
    6844       22316 :   return gerepilecopy(av, G);
    6845             : }
    6846             : 
    6847             : GEN
    6848       21483 : ellgroup0(GEN E, GEN p, long flag)
    6849             : {
    6850       21483 :   pari_sp av = avma;
    6851       21483 :   long tE, freeE = 0;
    6852             :   GEN G;
    6853       21483 :   if (flag==0) return ellgroup(E, p);
    6854        1946 :   if (flag!=1) pari_err_FLAG("ellgroup");
    6855        1946 :   checkell(E); tE = ell_get_type(E);
    6856        1946 :   if (tE != t_ELL_Fp && tE != t_ELL_Fq)
    6857             :   {
    6858        1869 :     GEN Q = elllocalred(E, p), v = gel(Q,3), u = gel(v,1), kod = gel(Q,2);
    6859             :     long vu;
    6860        1862 :     switch(tE)
    6861             :     {
    6862          70 :       case t_ELL_Qp: p = ellQp_get_p(E);/*fall through*/
    6863        1841 :       case t_ELL_Q:  vu = Q_pval(u, p); break;
    6864          21 :       case t_ELL_NF: vu = nfval(ellnf_get_nf(E), u, p); break;
    6865           0 :       default: pari_err_TYPE("ellgroup", E); vu = 0;
    6866             :     }
    6867        1862 :     if (vu) pari_err_TYPE("ellgroup [not a p-minimal curve]",E);
    6868        1855 :     if (!equali1(kod)) /* bad reduction */
    6869             :     {
    6870          91 :       GEN Ep = obj_init(15, 4), T = NULL, q = p, ap = ellap(E,p);
    6871          91 :       if (typ(p) == t_INT)
    6872             :       {
    6873             :         long i;
    6874         910 :         for (i = 1; i <= 12; i++) gel(Ep,i) = gel(E,i);
    6875             :       }
    6876             :       else
    6877             :       {
    6878          21 :         q = pr_norm(p);
    6879          21 :         Ep = initsmall_i(ellnf_to_Fq(ellnf_get_nf(E), E, p, &p, &T), 4);
    6880             :       }
    6881          91 :       E = FF_ellinit(Ep, Tp_to_FF(T, p)); /* singular curve */
    6882          91 :       obj_insert(E, FF_CARD, subii(q, ap));
    6883             :     }
    6884             :     else
    6885        1764 :       E = ellinit(E, p, 0);
    6886        1855 :     freeE = 1;
    6887             :   }
    6888        1932 :   G = mkvec3(ellff_get_card(E), ellff_get_group(E), ellff_get_gens(E));
    6889        1932 :   if (!freeE) return gerepilecopy(av, G);
    6890        1855 :   G = gcopy(G); obj_free(E); return gerepileupto(av, G);
    6891             : }
    6892             : 
    6893             : GEN
    6894       16842 : ellgenerators(GEN E)
    6895             : {
    6896       16842 :   checkell(E);
    6897       16842 :   switch(ell_get_type(E))
    6898             :   {
    6899           7 :     case t_ELL_Q:
    6900           7 :       return obj_checkbuild(E, Q_GROUPGEN, &elldatagenerators);
    6901       16828 :     case t_ELL_Fp: case t_ELL_Fq:
    6902       16828 :       return gcopy(ellff_get_gens(E));
    6903           7 :     default:
    6904           7 :       pari_err_TYPE("ellgenerators",E);
    6905             :       return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
    6906             :   }
    6907             : }
    6908             : 
    6909             : /* char != 2,3, j != 0, 1728 */
    6910             : static GEN
    6911       22575 : ellfromj_simple(GEN j)
    6912             : {
    6913       22575 :   pari_sp av = avma;
    6914       22575 :   GEN k = gsubsg(1728,j), kj = gmul(k, j), k2j = gmul(kj, k);
    6915       22575 :   GEN E = zerovec(5);
    6916       22575 :   gel(E,4) = gmulsg(3,kj);
    6917       22575 :   gel(E,5) = gmulsg(2,k2j); return gerepileupto(av, E);
    6918             : }
    6919             : GEN
    6920       33852 : ellfromj(GEN j)
    6921             : {
    6922       33852 :   GEN T = NULL, p = typ(j)==t_FFELT? FF_p_i(j): NULL;
    6923             :   /* trick: use j^0 to get 1 in the proper base field */
    6924       33852 :   if ((p || (Rg_is_FpXQ(j,&T,&p) && p)) && lgefint(p) == 3) switch(p[2])
    6925             :   {
    6926        3549 :     case 2:
    6927        3549 :       if (gequal0(j))
    6928           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0,gen_0);
    6929             :       else
    6930        3542 :         retmkvec5(gpowgs(j,0),gen_0,gen_0, gen_0,ginv(j));
    6931        7637 :     case 3:
    6932        7637 :       if (gequal0(j))
    6933           7 :         retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6934             :       else
    6935             :       {
    6936        7630 :         GEN E = zerovec(5);
    6937        7630 :         pari_sp av = avma;
    6938        7630 :         gel(E,5) = gerepileupto(av, gneg(gsqr(j)));
    6939        7630 :         gel(E,2) = gcopy(j);
    6940        7630 :         return E;
    6941             :       }
    6942             :   }
    6943       22666 :   if (gequal0(j)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0));
    6944       22638 :   if (gequalgs(j,1728)) retmkvec5(gen_0,gen_0,gen_0, gpowgs(j,0), gen_0);
    6945       22575 :   return ellfromj_simple(j);
    6946             : }
    6947             : 
    6948             : /********************************************************************/
    6949             : /**                                                                **/
    6950             : /**                       IS SUPERSINGULAR                         **/
    6951             : /**                                                                **/
    6952             : /********************************************************************/
    6953             : 
    6954             : int
    6955      164703 : elljissupersingular(GEN x)
    6956             : {
    6957      164703 :   pari_sp av = avma;
    6958             :   int res;
    6959             : 
    6960      164703 :   if (typ(x) == t_INTMOD) {
    6961         497 :     GEN p = gel(x, 1);
    6962         497 :     GEN j = gel(x, 2);
    6963         497 :     res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    6964      164206 :   } else if (typ(x) == t_FFELT) {
    6965      164199 :     GEN j = FF_to_FpXQ_i(x);
    6966      164199 :     GEN p = FF_p_i(x);
    6967      164199 :     GEN T = FF_mod(x);
    6968      164199 :     res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    6969             :   } else {
    6970           7 :     pari_err_TYPE("elljissupersingular", x);
    6971             :     return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    6972             :   }
    6973      164696 :   set_avma(av);
    6974      164696 :   return res;
    6975             : }
    6976             : 
    6977             : int
    6978      164913 : ellissupersingular(GEN E, GEN p)
    6979             : {
    6980             :   pari_sp av;
    6981             :   GEN j;
    6982      164913 :   if (typ(E)!=t_VEC && !p) return elljissupersingular(E);
    6983       17010 :   p = checkellp(&E, p, NULL, "ellissupersingular");
    6984       16996 :   j = ell_get_j(E);
    6985       16996 :   switch(ell_get_type(E))
    6986             :   {
    6987       16800 :   case t_ELL_Fp:
    6988             :   case t_ELL_Fq:
    6989       16800 :     return elljissupersingular(j);
    6990          56 :   case t_ELL_Qp:
    6991             :   case t_ELL_Q:
    6992          56 :     if (typ(j)==t_FRAC && dvdii(gel(j,2), p)) return 0;
    6993          21 :     av = avma;
    6994          21 :     return gc_bool(av, Fp_elljissupersingular(Rg_to_Fp(j,p), p));
    6995         140 :   case t_ELL_NF:
    6996             :     {
    6997         140 :       GEN modP, T, nf = ellnf_get_nf(E), pr = p;
    6998             :       int res;
    6999         140 :       av = avma;
    7000         140 :       j = nf_to_scalar_or_basis(nf, j);
    7001         140 :       if (dvdii(Q_denom(j), pr_get_p(pr)))
    7002             :       {
    7003          14 :         if (typ(j) == t_FRAC || nfval(nf, j, pr) < 0) return 0;
    7004           0 :         modP = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7005             :       }
    7006             :       else
    7007         126 :         modP = zk_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
    7008         126 :       j = nf_to_Fq(nf, j, modP);
    7009         126 :       if (typ(j) == t_INT)
    7010          98 :         res = Fp_elljissupersingular(j, p);
    7011             :       else
    7012          28 :         res = FpXQ_elljissupersingular(j, T, p);
    7013         126 :       return gc_bool(av, res);
    7014             :     }
    7015           0 :   default:
    7016           0 :     pari_err_TYPE("ellissupersingular",E);
    7017             :   }
    7018             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    7019             : }
    7020             : 
    7021             : /* n <= 4, N is the characteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7022             : static GEN
    7023        5663 : elldivpol4(GEN e, GEN N, long n, long v)
    7024             : {
    7025             :   GEN b2,b4,b6,b8, res;
    7026        5663 :   if (n==0) return pol_0(v);
    7027        5663 :   if (n<=2) return N? scalarpol_shallow(mkintmod(gen_1,N),v): pol_1(v);
    7028        1211 :   b2 = ell_get_b2(e); b4 = ell_get_b4(e);
    7029        1211 :   b6 = ell_get_b6(e); b8 = ell_get_b8(e);
    7030        1211 :   if (n==3)
    7031         672 :     res = mkpoln(5, N? modsi(3,N): utoi(3),b2,gmulsg(3,b4),gmulsg(3,b6),b8);
    7032             :   else
    7033             :   {
    7034         539 :     GEN b10 = gsub(gmul(b2, b8), gmul(b4, b6));
    7035         539 :     GEN b12 = gsub(gmul(b8, b4), gsqr(b6));
    7036         539 :     res = mkpoln(7, N? modsi(2,N): gen_2,b2,gmulsg(5,b4),gmulsg(10,b6),gmulsg(10,b8),b10,b12);
    7037             :   }
    7038        1211 :   setvarn(res, v); return res;
    7039             : }
    7040             : 
    7041             : /* T = (2y + a1x + a3)^4 modulo the curve equation. Store elldivpol(e,n,v)
    7042             :  * in t[n]. N is the caracteristic of the base ring or NULL (char 0) */
    7043             : static GEN
    7044        4207 : elldivpol0(GEN e, GEN t, GEN N, GEN T, long n, long v)
    7045             : {
    7046             :   GEN ret;
    7047        4207 :   long m = n/2;
    7048        4207 :   if (gel(t,n)) return gel(t,n);
    7049        2478 :   if (n<=4) ret = elldivpol4(e, N, n, v);
    7050         728 :   else if (odd(n))
    7051             :   {
    7052         441 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7053             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m,v),3));
    7054         441 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v),
    7055             :                      gpowgs(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v),3));
    7056         441 :     if (odd(m))/*f_{4l+3} = f_{2l+3}f_{2l+1}^3 - T f_{2l}f_{2l+2}^3, m=2l+1*/
    7057         105 :       ret = RgX_sub(t1, RgX_mul(T,t2));
    7058             :     else       /*f_{4l+1} = T f_{2l+2}f_{2l}^3 - f_{2l-1}f_{2l+1}^3, m=2l*/
    7059         336 :       ret = RgX_sub(RgX_mul(T,t1), t2);
    7060             :   }
    7061             :   else
    7062             :   { /* f_2m = f_m(f_{m+2}f_{m-1}^2 - f_{m-2}f_{m+1}^2) */
    7063         287 :     GEN t1 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m+2,v),
    7064             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m-1,v)));
    7065         287 :     GEN t2 = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m-2,v),
    7066             :                      RgX_sqr(elldivpol0(e,t,N,T,m+1,v)));
    7067         287 :     ret = RgX_mul(elldivpol0(e,t,N,T,m,v), RgX_sub(t1,t2));
    7068             :   }
    7069        2478 :   gel(t,n) = ret;
    7070        2478 :   return ret;
    7071             : }
    7072             : 
    7073             : GEN
    7074        4123 : elldivpol(GEN e, long n0, long v)
    7075             : {
    7076        4123 :   pari_sp av = avma;
    7077             :   GEN f, D, N;
    7078        4123 :   long n = labs(n0);
    7079             : 
    7080        4123 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7081        4123 :   if (v < 0) v = 0;
    7082        4123 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7083        4123 :   N = characteristic(D); if (!signe(N)) N = NULL;
    7084        4123 :   if (n==1 || n==3)
    7085         210 :     f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7086             :   else
    7087             :   {
    7088        3913 :     GEN d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7089        3913 :     setvarn(d2,v);
    7090        3913 :     if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7091        3913 :     if (n <= 4)
    7092        3703 :       f = elldivpol4(e, N, n, v);
    7093             :     else
    7094         210 :       f = elldivpol0(e, const_vec(n,NULL), N,RgX_sqr(d2), n, v);
    7095        3913 :     if (n%2==0) f = RgX_mul(f, d2);
    7096             :   }
    7097        4123 :   if (n0 < 0) return gerepileupto(av, RgX_neg(f));
    7098        4102 :   return gerepilecopy(av, f);
    7099             : }
    7100             : 
    7101             : /* return [phi_n, (psi_n)^2] such that x[nP] = phi_n / (psi_n)^2 */
    7102             : GEN
    7103         413 : ellxn(GEN e, long n, long v)
    7104             : {
    7105         413 :   pari_sp av = avma;
    7106             :   GEN d2, D, N, A, B;
    7107         413 :   checkell(e); D = ell_get_disc(e);
    7108         413 :   if (v==-1) v = 0;
    7109         413 :   if (varncmp(gvar(D), v) <= 0) pari_err_PRIORITY("elldivpol", e, "<=", v);
    7110         413 :   N = characteristic(D);
    7111         413 :   if (!signe(N)) N = NULL;
    7112         413 :   if (n < 0) n = -n;
    7113         413 :   d2 = ec_bmodel(e); /* (2y + a1x + 3)^2 mod E */
    7114         413 :   setvarn(d2,v);
    7115         413 :   if (N && !mod2(N)) { gel(d2,5) = modsi(4,N); d2 = normalizepol(d2); }
    7116         413 :   if (n == 0)
    7117             :   {
    7118          21 :     A = pol_0(v);
    7119          21 :     B = pol_0(v);
    7120             :   }
    7121         392 :   else if (n == 1)
    7122             :   {
    7123           7 :     A = pol_1(v);
    7124           7 :     B = pol_x(v);
    7125             :   }
    7126         385 :   else if (n == 2)
    7127             :   {
    7128         119 :     GEN b4 = ell_get_b4(e);
    7129         119 :     GEN b6 = ell_get_b6(e);
    7130         119 :     GEN b8 = ell_get_b8(e);
    7131         119 :     A = d2;
    7132             :     /* phi_2 = x^4 - b4*x^2 - 2b6*x - b8 */
    7133         119 :     B = mkpoln(5, gen_1, gen_0, gneg(b4), gmul2n(gneg(b6),1), gneg(b8));
    7134         119 :     setvarn(B,v);
    7135             :   }
    7136             :   else
    7137             :   {
    7138         266 :     GEN t = const_vec(n+1,NULL), T = RgX_sqr(d2);
    7139         266 :     GEN f = elldivpol0(e, t, N, T, n, v); /* f_n / d2^(n odd)*/
    7140         266 :     GEN g = elldivpol0(e, t, N, T, n-1, v); /* f_{n-1} / d2^(n even) */
    7141         266 :     GEN h = elldivpol0(e, t, N, T, n+1, v); /* f_{n+1} / d2^(n even) */
    7142         266 :     GEN f2 = RgX_sqr(f), u = RgX_mul(g,h);
    7143         266 :     if (!odd(n))
    7144           7 :       A = RgX_mul(f2, d2);
    7145             :     else
    7146         259 :     { A = f2; u = RgX_mul(u,d2); }
    7147             :     /* A = psi_n^2, u = psi_{n-1} psi_{n+1} */
    7148         266 :     B = RgX_sub(RgX_shift(A,1), u);
    7149             :   }
    7150         413 :   return gerepilecopy(av, mkvec2(B,A));
    7151             : }

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