Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /********************************************************************/
16 : /** **/
17 : /** ELLIPTIC and MODULAR FUNCTIONS **/
18 : /** (as complex or p-adic functions) **/
19 : /** **/
20 : /********************************************************************/
21 : #include "pari.h"
22 : #include "paripriv.h"
23 :
24 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_ell
25 :
26 : /* add3, add4, mul3, mul4 and these 2 should be exported as convenience
27 : * functions (cf dirichlet.c, lfunlarge.c, hypergeom.c) */
28 : static GEN
29 406 : gadd3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gadd(gadd(a, b), c); }
30 : static GEN
31 2492 : gmul3(GEN a, GEN b, GEN c) { return gmul(gmul(a, b), c); }
32 : static GEN
33 1827 : gmul4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return gmul(gmul(a, b), gmul(c,d)); }
34 :
35 : /********************************************************************/
36 : /** exp(I*Pi*x) with attention to rational arguments **/
37 : /********************************************************************/
38 :
39 : /* sqrt(3)/2 */
40 : static GEN
41 2079 : sqrt32(long prec) { GEN z = sqrtr_abs(utor(3,prec)); setexpo(z, -1); return z; }
42 : /* exp(i k pi/12) */
43 : static GEN
44 4411 : e12(ulong k, long prec)
45 : {
46 : int s, sPi, sPiov2;
47 : GEN z, t;
48 4411 : k %= 24;
49 4411 : if (!k) return gen_1;
50 4404 : if (k == 12) return gen_m1;
51 4404 : if (k >12) { s = 1; k = 24 - k; } else s = 0; /* x -> 2pi - x */
52 4404 : if (k > 6) { sPi = 1; k = 12 - k; } else sPi = 0; /* x -> pi - x */
53 4404 : if (k > 3) { sPiov2 = 1; k = 6 - k; } else sPiov2 = 0; /* x -> pi/2 - x */
54 4404 : z = cgetg(3, t_COMPLEX);
55 4404 : switch(k)
56 : {
57 1605 : case 0: gel(z,1) = icopy(gen_1); gel(z,2) = gen_0; break;
58 777 : case 1: t = gmul2n(addrs(sqrt32(prec), 1), -1);
59 777 : gel(z,1) = sqrtr(t);
60 777 : gel(z,2) = gmul2n(invr(gel(z,1)), -2); break;
61 :
62 1302 : case 2: gel(z,1) = sqrt32(prec);
63 1302 : gel(z,2) = real2n(-1, prec); break;
64 :
65 720 : case 3: gel(z,1) = sqrtr_abs(real2n(-1,prec));
66 720 : gel(z,2) = rcopy(gel(z,1)); break;
67 : }
68 4404 : if (sPiov2) swap(gel(z,1), gel(z,2));
69 4404 : if (sPi) togglesign(gel(z,1));
70 4404 : if (s) togglesign(gel(z,2));
71 4404 : return z;
72 : }
73 : /* z a t_FRAC */
74 : static GEN
75 15958 : expIPifrac(GEN z, long prec)
76 : {
77 15958 : GEN n = gel(z,1), d = gel(z,2);
78 15958 : ulong r, q = uabsdivui_rem(12, d, &r);
79 15958 : if (!r) return e12(q * umodiu(n, 24), prec); /* d | 12 */
80 11554 : n = centermodii(n, shifti(d,1), d);
81 11554 : return expIr(divri(mulri(mppi(prec), n), d));
82 : }
83 : /* exp(i Pi z), z a t_INT or t_FRAC */
84 : GEN
85 2170 : expIPiQ(GEN z, long prec)
86 : {
87 2170 : if (typ(z) == t_INT) return mpodd(z)? gen_m1: gen_1;
88 1974 : return expIPifrac(z, prec);
89 : }
90 :
91 : /* convert power of 2 t_REAL to rational */
92 : static GEN
93 7603 : real2nQ(GEN x)
94 : {
95 7603 : long e = expo(x);
96 : GEN z;
97 7603 : if (e < 0)
98 4149 : z = mkfrac(signe(x) < 0? gen_m1: gen_1, int2n(-e));
99 : else
100 : {
101 3454 : z = int2n(e);
102 3454 : if (signe(x) < 0) togglesign_safe(&z);
103 : }
104 7603 : return z;
105 : }
106 : /* x a real number */
107 : GEN
108 184612 : expIPiR(GEN x, long prec)
109 : {
110 184612 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
111 184612 : switch(typ(x))
112 : {
113 3231 : case t_INT: return mpodd(x)? gen_m1: gen_1;
114 1763 : case t_FRAC: return expIPifrac(x, prec);
115 : }
116 179618 : return expIr(mulrr(mppi(prec), x));
117 : }
118 : /* z a t_COMPLEX */
119 : GEN
120 330033 : expIPiC(GEN z, long prec)
121 : {
122 : GEN pi, r, x, y;
123 330033 : if (typ(z) != t_COMPLEX) return expIPiR(z, prec);
124 146465 : x = gel(z,1);
125 146465 : y = gel(z,2); if (gequal0(y)) return expIPiR(x, prec);
126 145421 : pi = mppi(prec);
127 145421 : r = gmul(pi, y); togglesign(r); r = mpexp(r); /* exp(-pi y) */
128 145421 : if (typ(x) == t_REAL && absrnz_equal2n(x)) x = real2nQ(x);
129 145421 : switch(typ(x))
130 : {
131 16358 : case t_INT: if (mpodd(x)) togglesign(r);
132 16358 : return r;
133 12221 : case t_FRAC: return gmul(r, expIPifrac(x, prec));
134 : }
135 116842 : return gmul(r, expIr(mulrr(pi, x)));
136 : }
137 : /* exp(I x y), more efficient for x in R, y pure imaginary */
138 : GEN
139 596273 : expIxy(GEN x, GEN y, long prec) { return gexp(gmul(x, mulcxI(y)), prec); }
140 :
141 : /********************************************************************/
142 : /** PERIODS **/
143 : /********************************************************************/
144 : /* The complex AGM, periods of elliptic curves over C and complex elliptic
145 : * logarithms; John E. Cremona, Thotsaphon Thongjunthug, arXiv:1011.0914 */
146 :
147 : static GEN
148 52465 : ellomega_agm(GEN a, GEN b, GEN c, long prec)
149 : {
150 52465 : GEN pi = mppi(prec), mIpi = mkcomplex(gen_0, negr(pi));
151 52465 : GEN Mac = agm(a,c,prec), Mbc = agm(b,c,prec);
152 52465 : retmkvec2(gdiv(pi, Mac), gdiv(mIpi, Mbc));
153 : }
154 :
155 : static GEN
156 42829 : ellomega_cx(GEN E, long prec)
157 : {
158 42829 : pari_sp av = avma;
159 42829 : GEN roots = ellR_roots(E, prec + EXTRAPREC64);
160 42829 : GEN d1=gel(roots,4), d2=gel(roots,5), d3=gel(roots,6);
161 42829 : GEN a = gsqrt(d3,prec), b = gsqrt(d1,prec), c = gsqrt(d2,prec);
162 42829 : return gc_upto(av, ellomega_agm(a,b,c,prec));
163 : }
164 :
165 : /* return [w1,w2] for E / R; w1 > 0 is real.
166 : * If e.disc > 0, w2 = -I r; else w2 = w1/2 - I r, for some real r > 0.
167 : * => tau = w1/w2 is in upper half plane */
168 : static GEN
169 52465 : doellR_omega(GEN E, long prec)
170 : {
171 52465 : pari_sp av = avma;
172 : GEN roots, d2, z, a, b, c;
173 52465 : if (ellR_get_sign(E) >= 0) return ellomega_cx(E,prec);
174 9636 : roots = ellR_roots(E,prec + EXTRAPREC64);
175 9636 : d2 = gel(roots,5);
176 9636 : z = gsqrt(d2,prec); /* imag(e1-e3) > 0, so that b > 0*/
177 9636 : a = gel(z,1); /* >= 0 */
178 9636 : b = gel(z,2);
179 9636 : c = gabs(z, prec);
180 9636 : z = ellomega_agm(a,b,c,prec);
181 9636 : return gc_GEN(av, mkvec2(gel(z,1),gmul2n(gadd(gel(z,1),gel(z,2)),-1)));
182 : }
183 : static GEN
184 70 : doellR_eta(GEN E, long prec)
185 70 : { GEN w = ellR_omega(E, prec + EXTRAPREC64); return elleta(w, prec); }
186 :
187 : GEN
188 92799 : ellR_omega(GEN E, long prec)
189 92799 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_PERIODS, &doellR_omega, prec); }
190 : GEN
191 98 : ellR_eta(GEN E, long prec)
192 98 : { return obj_checkbuild_realprec(E, R_ETA, &doellR_eta, prec); }
193 :
194 : /* P = [x,0] is 2-torsion on y^2 = g(x). Return w1/2, (w1+w2)/2, or w2/2
195 : * depending on whether x is closest to e1,e2, or e3, the 3 complex root of g */
196 : static GEN
197 14 : zell_closest_0(GEN om, GEN x, GEN ro)
198 : {
199 14 : GEN e1 = gel(ro,1), e2 = gel(ro,2), e3 = gel(ro,3);
200 14 : GEN d1 = gnorm(gsub(x,e1));
201 14 : GEN d2 = gnorm(gsub(x,e2));
202 14 : GEN d3 = gnorm(gsub(x,e3));
203 14 : GEN z = gel(om,2);
204 14 : if (gcmp(d1, d2) <= 0)
205 0 : { if (gcmp(d1, d3) <= 0) z = gel(om,1); }
206 : else
207 14 : { if (gcmp(d2, d3)<=0) z = gadd(gel(om,1),gel(om,2)); }
208 14 : return gmul2n(z, -1);
209 : }
210 :
211 : static GEN
212 28735 : zellcx(GEN E, GEN P, long prec)
213 : {
214 28735 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
215 28735 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
216 28735 : if (gequal0(y0))
217 0 : return zell_closest_0(ellomega_cx(E,prec),x0,R);
218 : else
219 : {
220 28735 : GEN e2 = gel(R,2), e3 = gel(R,3), d2 = gel(R,5), d3 = gel(R,6);
221 28735 : GEN a = gsqrt(d2,prec), b = gsqrt(d3,prec);
222 28735 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
223 28735 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
224 28735 : GEN ar = real_i(a), br = real_i(b), ai = imag_i(a), bi = imag_i(b);
225 : /* |a+b| < |a-b| */
226 28735 : if (gcmp(gmul(ar,br), gneg(gmul(ai,bi))) < 0) b = gneg(b);
227 28735 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
228 : }
229 : }
230 :
231 : /* Assume E/R, disc E < 0, and P \in E(R) ==> z \in R */
232 : static GEN
233 0 : zellrealneg(GEN E, GEN P, long prec)
234 : {
235 0 : GEN x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
236 0 : if (gequal0(y0)) return gmul2n(gel(ellR_omega(E,prec),1),-1);
237 : else
238 : {
239 0 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
240 0 : GEN d2 = gel(R,5), e3 = gel(R,3);
241 0 : GEN a = gsqrt(d2,prec);
242 0 : GEN z = gsqrt(gsub(x0,e3), prec);
243 0 : GEN ar = real_i(a), zr = real_i(z), ai = imag_i(a), zi = imag_i(z);
244 0 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gnorm(z),1));
245 0 : GEN r2 = ginv(gsqrt(gaddsg(1,gdiv(gmul(ai,zi),gmul(ar,zr))),prec));
246 0 : return zellagmcx(ar,gabs(a,prec),r2,gmul(t,r2),prec);
247 : }
248 : }
249 :
250 : /* Assume E/R, disc E > 0, and P \in E(R) */
251 : static GEN
252 28 : zellrealpos(GEN E, GEN P, long prec)
253 : {
254 28 : GEN R = ellR_roots(E, prec+EXTRAPREC64);
255 28 : GEN d2,d3,e1,e2,e3, a,b, x0 = gel(P,1), y0 = ec_dmFdy_evalQ(E,P);
256 28 : if (gequal0(y0)) return zell_closest_0(ellR_omega(E,prec), x0,R);
257 14 : e1 = gel(R,1);
258 14 : e2 = gel(R,2);
259 14 : e3 = gel(R,3);
260 14 : d2 = gel(R,5);
261 14 : d3 = gel(R,6);
262 14 : a = gsqrt(d2,prec);
263 14 : b = gsqrt(d3,prec);
264 14 : if (gcmp(x0,e1)>0) {
265 7 : GEN r = gsqrt(gdiv(gsub(x0,e3), gsub(x0,e2)),prec);
266 7 : GEN t = gdiv(gneg(y0), gmul2n(gmul(r,gsub(x0,e2)),1));
267 7 : return zellagmcx(a,b,r,t,prec);
268 : } else {
269 7 : GEN om = ellR_omega(E,prec);
270 7 : GEN r = gdiv(a,gsqrt(gsub(e1,x0),prec));
271 7 : GEN t = gdiv(gmul(r,y0),gmul2n(gsub(x0,e3),1));
272 7 : return gsub(zellagmcx(a,b,r,t,prec),gmul2n(gel(om,2),-1));
273 : }
274 : }
275 :
276 : static void
277 21 : ellQp_P2t_err(GEN E, GEN z)
278 : {
279 21 : if (typ(ellQp_u(E,1)) == t_POLMOD)
280 21 : pari_err_IMPL("ellpointtoz when u not in Qp");
281 0 : pari_err_DOMAIN("ellpointtoz", "point", "not on", strtoGENstr("E"),z);
282 0 : }
283 : static GEN
284 182 : get_r0(GEN E, long prec)
285 : {
286 182 : GEN b2 = ell_get_b2(E), e1 = ellQp_root(E, prec);
287 182 : return gadd(e1,gmul2n(b2,-2));
288 : }
289 : static GEN
290 133 : ellQp_P2t(GEN E, GEN P, long prec)
291 : {
292 133 : pari_sp av = avma;
293 : GEN a, b, ab, c0, r0, ar, r, x, delta, x1, y1, t, u, q;
294 : long vq, vt, Q, R;
295 133 : if (ell_is_inf(P)) return gen_1;
296 126 : ab = ellQp_ab(E, prec); a = gel(ab,1); b = gel(ab,2);
297 126 : u = ellQp_u(E, prec);
298 126 : q = ellQp_q(E, prec);
299 126 : x = gel(P,1);
300 126 : r0 = get_r0(E, prec);
301 126 : c0 = gadd(x, gmul2n(r0,-1));
302 126 : if (typ(c0) != t_PADIC || !is_scalar_t(typ(gel(P,2))))
303 7 : pari_err_TYPE("ellpointtoz",P);
304 119 : r = gsub(a,b);
305 119 : ar = gmul(a, r);
306 119 : if (gequal0(c0))
307 : {
308 7 : x1 = Qp_sqrt(gneg(ar));
309 7 : if (!x1) ellQp_P2t_err(E,P);
310 : }
311 : else
312 : {
313 112 : delta = gdiv(ar, gsqr(c0));
314 112 : t = Qp_sqrt(gsubsg(1,gmul2n(delta,2)));
315 112 : if (!t) ellQp_P2t_err(E,P);
316 105 : x1 = gmul(gmul2n(c0,-1), gaddsg(1,t));
317 : }
318 112 : y1 = gsubsg(1, gdiv(ar, gsqr(x1)));
319 112 : if (gequal0(y1))
320 : {
321 14 : y1 = Qp_sqrt(gmul(x1, gmul(gadd(x1, a), gadd(x1, r))));
322 14 : if (!y1) ellQp_P2t_err(E,P);
323 : }
324 : else
325 98 : y1 = gdiv(gmul2n(ec_dmFdy_evalQ(E,P), -1), y1);
326 98 : Qp_descending_Landen(ellQp_AGM(E,prec), &x1,&y1);
327 :
328 98 : t = gmul(u, gmul2n(y1,1)); /* 2u y_oo */
329 98 : t = gdiv(gsub(t, x1), gadd(t, x1));
330 : /* Reduce mod q^Z: we want 0 <= v(t) < v(q) */
331 98 : if (typ(t) == t_PADIC)
332 56 : vt = valp(t);
333 : else
334 42 : vt = valp(gnorm(t)) / 2; /* v(t) = v(Nt) / (e*f) */
335 98 : vq = valp(q); /* > 0 */
336 98 : Q = vt / vq; R = vt % vq; if (R < 0) Q--;
337 98 : if (Q) t = gdiv(t, gpowgs(q,Q));
338 98 : if (padicprec_relative(t) > prec) t = gprec(t, prec);
339 98 : return gc_upto(av, t);
340 : }
341 :
342 : static GEN
343 56 : ellQp_t2P(GEN E, GEN t, long prec)
344 : {
345 56 : pari_sp av = avma;
346 : GEN AB, A, R, x0,x1, y0,y1, u, u2, r0, s0, ar;
347 : long v;
348 56 : if (gequal1(t)) return ellinf();
349 :
350 56 : AB = ellQp_AGM(E,prec); A = gel(AB,1); R = gel(AB,3); v = itos(gel(AB,4));
351 56 : u = ellQp_u(E,prec);
352 56 : u2= ellQp_u2(E,prec);
353 56 : x1 = gdiv(t, gmul(u2, gsqr(gsubsg(1,t))));
354 56 : y1 = gdiv(gmul(x1,gaddsg(1,t)), gmul(gmul2n(u,1),gsubsg(1,t)));
355 56 : Qp_ascending_Landen(AB, &x1,&y1);
356 56 : r0 = get_r0(E, prec);
357 :
358 56 : ar = gmul(gel(A,1), gel(R,1)); setvalp(ar, valp(ar)+v);
359 56 : x0 = gsub(gadd(x1, gdiv(ar, x1)), gmul2n(r0,-1));
360 56 : s0 = gmul2n(ec_h_evalx(E, x0), -1);
361 56 : y0 = gsub(gmul(y1, gsubsg(1, gdiv(ar,gsqr(x1)))), s0);
362 56 : return gc_GEN(av, mkvec2(x0,y0));
363 : }
364 :
365 : static GEN
366 28763 : zell_i(GEN e, GEN z, long prec)
367 : {
368 : GEN t;
369 : long s;
370 28763 : (void)ellR_omega(e, prec); /* type checking */
371 28763 : if (ell_is_inf(z)) return gen_0;
372 28763 : s = ellR_get_sign(e);
373 28763 : if (s && typ(gel(z,1))!=t_COMPLEX && typ(gel(z,2))!=t_COMPLEX)
374 28 : t = (s < 0)? zellrealneg(e,z,prec): zellrealpos(e,z,prec);
375 : else
376 28735 : t = zellcx(e,z,prec);
377 28763 : return t;
378 : }
379 :
380 : GEN
381 28903 : zell(GEN E, GEN P, long prec)
382 : {
383 28903 : pari_sp av = avma;
384 28903 : checkell(E);
385 28903 : if (!checkellpt_i(P)) pari_err_TYPE("ellpointtoz", P);
386 28889 : switch(ell_get_type(E))
387 : {
388 133 : case t_ELL_Qp:
389 133 : prec = minss(ellQp_get_prec(E), padicprec_relative(P));
390 133 : return ellQp_P2t(E, P, prec);
391 7 : case t_ELL_NF:
392 : {
393 7 : GEN Ee = ellnfembed(E, prec), Pe = ellpointnfembed(E, P, prec);
394 7 : long i, l = lg(Pe);
395 21 : for (i = 1; i < l; i++) gel(Pe,i) = zell_i(gel(Ee,i), gel(Pe,i), prec);
396 7 : ellnfembed_free(Ee); return gc_GEN(av, Pe);
397 : }
398 14 : case t_ELL_Q: break;
399 28735 : case t_ELL_Rg: break;
400 0 : default: pari_err_TYPE("ellpointtoz", E);
401 : }
402 28749 : return gc_upto(av, zell_i(E, P, prec));
403 : }
404 :
405 : /********************************************************************/
406 : /** COMPLEX ELLIPTIC FUNCTIONS **/
407 : /********************************************************************/
408 :
409 : enum period_type { t_PER_W, t_PER_WETA, t_PER_ELL };
410 : /* normalization / argument reduction for elliptic functions */
411 : typedef struct {
412 : enum period_type type;
413 : GEN in; /* original input */
414 : GEN w1,w2,tau; /* original basis for L = <w1,w2> = w2 <1,tau> */
415 : GEN W1,W2,Tau; /* new basis for L = <W1,W2> = W2 <1,tau> */
416 : GEN ETA; /* quasi-periods for [W1,W2] or NULL */
417 : GEN a,b,c,d; /* t_INT; tau in F = h/Sl2, tau = g.t, g=[a,b;c,d] in SL(2,Z) */
418 : GEN z,Z; /* z/w2 defined mod <1,tau>, Z = z/w2 + x*tau+y reduced mod <1,tau>*/
419 : GEN x,y; /* t_INT */
420 : int swap; /* 1 if we swapped w1 and w2 */
421 : int some_q_is_real; /* exp(2iPi g.tau) for some g \in SL(2,Z) */
422 : int some_z_is_real; /* z + xw1 + yw2 is real for some x,y \in Z */
423 : int some_z_is_pure_imag; /* z + xw1 + yw2 in i*R */
424 : int q_is_real; /* exp(2iPi tau) \in R */
425 : int abs_u_is_1; /* |exp(2iPi Z)| = 1 */
426 : long prec; /* precision(Z) */
427 : long prec0; /* required precision for result */
428 : } ellred_t;
429 :
430 : /* compute g in SL_2(Z), g.t is in the usual
431 : fundamental domain. Internal function no check, no garbage. */
432 : static void
433 44660 : set_gamma(GEN *pt, GEN *pa, GEN *pb, GEN *pc, GEN *pd)
434 : {
435 44660 : GEN a, b, c, d, t, t0 = *pt, run = dbltor(1. - 1e-8);
436 44660 : long e = gexpo(gel(t0,2));
437 44660 : if (e < 0) t0 = gprec_wensure(t0, precision(t0)+nbits2extraprec(-e));
438 44660 : t = t0;
439 44660 : a = d = gen_1;
440 44660 : b = c = gen_0;
441 : for(;;)
442 37464 : {
443 82124 : GEN m, n = ground(gel(t,1));
444 82124 : if (signe(n))
445 : { /* apply T^n */
446 43961 : t = gsub(t,n);
447 43961 : a = subii(a, mulii(n,c));
448 43961 : b = subii(b, mulii(n,d));
449 : }
450 82124 : m = cxnorm(t); if (gcmp(m,run) > 0) break;
451 37464 : t = gneg_i(gdiv(conj_i(t), m)); /* apply S */
452 37464 : togglesign_safe(&c); swap(a,c);
453 37464 : togglesign_safe(&d); swap(b,d);
454 : }
455 44660 : if (e < 0 && (signe(b) || signe(c))) *pt = t0;
456 44660 : *pa = a; *pb = b; *pc = c; *pd = d;
457 44660 : }
458 : /* Im z > 0. Return U.z in PSl2(Z)'s standard fundamental domain.
459 : * Set *pU to U. */
460 : GEN
461 336 : cxredsl2_i(GEN z, GEN *pU, GEN *czd)
462 : {
463 : GEN a,b,c,d;
464 336 : set_gamma(&z, &a, &b, &c, &d);
465 336 : *pU = mkmat2(mkcol2(a,c), mkcol2(b,d));
466 336 : *czd = gadd(gmul(c,z), d);
467 336 : return gdiv(gadd(gmul(a,z), b), *czd);
468 : }
469 : GEN
470 294 : cxredsl2(GEN t, GEN *pU)
471 : {
472 294 : pari_sp av = avma;
473 : GEN czd;
474 294 : t = cxredsl2_i(t, pU, &czd);
475 294 : return gc_all(av, 2, &t, pU);
476 : }
477 :
478 : /* swap w1, w2 so that Im(t := w1/w2) > 0. Set tau = representative of t in
479 : * the standard fundamental domain, and g in Sl_2, such that tau = g.t */
480 : static void
481 73206 : red_modSL2(ellred_t *T, long prec)
482 : {
483 : long s, p;
484 73206 : T->tau = gdiv(T->w1,T->w2);
485 73206 : if (isintzero(real_i(T->tau))) T->some_q_is_real = 1;
486 73206 : s = gsigne(imag_i(T->tau));
487 73206 : if (!s) pari_err_DOMAIN("elliptic function", "det(w1,w2)", "=", gen_0,
488 : mkvec2(T->w1,T->w2));
489 73206 : T->swap = (s < 0);
490 73206 : if (T->swap) { swap(T->w1, T->w2); T->tau = ginv(T->tau); }
491 73206 : p = precision(T->tau); T->prec0 = p? p: prec;
492 73206 : if (T->type == t_PER_WETA)
493 : {
494 28882 : T->a = T->d = gen_1; T->W1 = T->w1;
495 28882 : T->b = T->c = gen_0; T->W2 = T->w2; T->Tau = T->tau;
496 : }
497 : else
498 : {
499 44324 : set_gamma(&T->tau, &T->a, &T->b, &T->c, &T->d);
500 : /* update lattice */
501 44324 : p = precision(T->tau);
502 44324 : if (p)
503 : {
504 43792 : T->w1 = gprec_wensure(T->w1, p);
505 43792 : T->w2 = gprec_wensure(T->w2, p);
506 : }
507 44324 : T->W1 = gadd(gmul(T->a,T->w1), gmul(T->b,T->w2));
508 44324 : T->W2 = gadd(gmul(T->c,T->w1), gmul(T->d,T->w2));
509 44324 : T->Tau = gdiv(T->W1, T->W2);
510 : }
511 73206 : if (isintzero(real_i(T->Tau))) T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
512 73206 : p = precision(T->Tau); T->prec = p? p: prec;
513 73206 : }
514 : /* is z real or pure imaginary ? */
515 : static void
516 79016 : check_complex(GEN z, int *real, int *imag)
517 : {
518 79016 : if (typ(z) != t_COMPLEX) { *real = 1; *imag = 0; }
519 65191 : else if (isintzero(gel(z,1))) { *real = 0; *imag = 1; }
520 59290 : else *real = *imag = 0;
521 79016 : }
522 : static void
523 39557 : reduce_z(GEN z, ellred_t *T)
524 : {
525 : GEN x, Z;
526 : long p, e;
527 39557 : switch(typ(z))
528 : {
529 39557 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: break;
530 0 : case t_QUAD:
531 0 : z = isexactzero(gel(z,2))? gel(z,1): quadtofp(z, T->prec);
532 0 : break;
533 0 : default: pari_err_TYPE("reduction mod 2-dim lattice (reduce_z)", z);
534 : }
535 39557 : Z = gdiv(z, T->W2);
536 39557 : T->z = z;
537 39557 : x = gdiv(imag_i(Z), imag_i(T->Tau));
538 39557 : T->x = grndtoi(x, &e); /* |Im(Z - x*Tau)| <= Im(Tau)/2 */
539 : /* Avoid Im(Z) << 0; take 0 <= Im(Z - x*Tau) < Im(Tau) instead.
540 : * Leave round when Im(Z - x*Tau) ~ 0 to allow detecting Z in <1,Tau>
541 : * at the end */
542 39557 : if (e > -10) T->x = gfloor(x);
543 39557 : if (signe(T->x)) Z = gsub(Z, gmul(T->x,T->Tau));
544 39557 : T->y = ground(real_i(Z));/* |Re(Z - y)| <= 1/2 */
545 39557 : if (signe(T->y)) Z = gsub(Z, T->y);
546 39557 : T->abs_u_is_1 = (typ(Z) != t_COMPLEX);
547 : /* Z = - y - x tau + z/W2, x,y integers */
548 39557 : check_complex(z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
549 39557 : if (!T->some_z_is_real && !T->some_z_is_pure_imag)
550 : {
551 : int W2real, W2imag;
552 29638 : check_complex(T->W2,&W2real,&W2imag);
553 29638 : if (W2real)
554 3969 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_real), &(T->some_z_is_pure_imag));
555 25669 : else if (W2imag)
556 5782 : check_complex(Z, &(T->some_z_is_pure_imag), &(T->some_z_is_real));
557 : }
558 39557 : p = precision(Z);
559 39557 : if (gequal0(Z) || (p && gexpo(Z) < 5 - p)) Z = NULL; /*z in L*/
560 39557 : if (p && p < T->prec) T->prec = p;
561 39557 : T->Z = Z;
562 39557 : }
563 : /* return x.eta1 + y.eta2 */
564 : static GEN
565 75208 : _period(ellred_t *T, GEN eta)
566 : {
567 75208 : GEN y1 = NULL, y2 = NULL;
568 75208 : if (signe(T->x)) y1 = gmul(T->x, gel(eta,1));
569 75208 : if (signe(T->y)) y2 = gmul(T->y, gel(eta,2));
570 75208 : if (!y1) return y2? y2: gen_0;
571 28167 : return y2? gadd(y1, y2): y1;
572 : }
573 : /* e is either
574 : * - [w1,w2]
575 : * - [[w1,w2],[eta1,eta2]]
576 : * - an ellinit structure */
577 : static void
578 73206 : compute_periods(ellred_t *T, GEN z, long prec)
579 : {
580 : GEN w, e;
581 73206 : T->ETA = NULL;
582 73206 : T->q_is_real = 0;
583 73206 : T->some_q_is_real = 0;
584 73206 : switch(T->type)
585 : {
586 30653 : case t_PER_ELL:
587 : {
588 30653 : long pr, p = prec;
589 30653 : if (z && (pr = precision(z))) p = pr;
590 30653 : e = T->in;
591 30653 : w = ellR_omega(e, p);
592 30653 : T->some_q_is_real = T->q_is_real = 1;
593 30653 : break;
594 : }
595 13671 : case t_PER_W:
596 13671 : w = T->in; break;
597 28882 : default: /*t_PER_WETA*/
598 28882 : w = gel(T->in,1);
599 28882 : T->ETA = gel(T->in, 2); break;
600 : }
601 73206 : T->w1 = gel(w,1);
602 73206 : T->w2 = gel(w,2);
603 73206 : red_modSL2(T, prec);
604 73206 : if (z) reduce_z(z, T);
605 73206 : }
606 : static int
607 71435 : ispair(GEN w) { return typ(w) == t_VEC && lg(w) == 3; }
608 : static int
609 73213 : check_periods(GEN e, ellred_t *T)
610 : {
611 73213 : if (typ(e) != t_VEC) return 0;
612 73213 : T->in = e;
613 73213 : switch(lg(e))
614 : {
615 30660 : case 17:
616 30660 : T->type = t_PER_ELL;
617 30660 : break;
618 42553 : case 3:
619 42553 : if (!ispair(gel(e,1)))
620 13671 : T->type = t_PER_W;
621 : else
622 : {
623 28882 : if (!ispair(gel(e,2))) return 0;
624 28882 : T->type = t_PER_WETA;
625 : }
626 42553 : break;
627 0 : default: return 0;
628 : }
629 73213 : return 1;
630 : }
631 : static int
632 73129 : get_periods(GEN e, GEN z, ellred_t *T, long prec)
633 : {
634 73129 : if (!check_periods(e, T)) return 0;
635 73129 : compute_periods(T, z, prec); return 1;
636 : }
637 :
638 : /* pi^2/3 */
639 : static GEN
640 39641 : pi23(long prec) { return divru(sqrr(mppi(prec)), 3); }
641 : /* 2iPi/x, more efficient when x pure imaginary (rectangular lattice) */
642 : static GEN
643 41685 : PiI2div(GEN x, long prec) { return gdiv(Pi2n(1, prec), mulcxmI(x)); }
644 : /* 2iPi/x)^2 = -4pi^2 / x */
645 : static GEN
646 4725 : PiI2div_sqr(GEN x, long prec)
647 : {
648 4725 : GEN p = sqrr(Pi2n(1, prec)); setsigne(p, -1);
649 4725 : return gdiv(p, gsqr(x));
650 : }
651 :
652 : static void
653 5222 : elleisnum_testk(long k)
654 : {
655 5222 : if (k<=0) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k", "<=", gen_0, stoi(k));
656 5215 : if (k&1) pari_err_DOMAIN("elleisnum", "k % 2", "!=", gen_0, stoi(k));
657 5201 : }
658 :
659 : /* quasi-periods eta1, eta2 attached to [W1,W2] = W2 [Tau, 1] */
660 : static GEN
661 66374 : elleta_W(ellred_t *T)
662 : {
663 : long prec;
664 : GEN e, E2;
665 :
666 66374 : if (T->ETA) return T->ETA;
667 37583 : prec = precision(T->W2)? T->prec: T->prec + EXTRAPREC64;
668 37583 : E2 = cxEk(T->Tau, 2, prec);
669 37583 : e = cxtoreal(gdiv(gmul(E2, pi23(prec)), gsqr(T->W2)));
670 : /* y2 Tau - y1 = 2i pi/W2 => y2 W1 - y1 W2 = 2i pi */
671 37583 : return mkvec2(gsub(gmul(T->W1, e), PiI2div(T->W2, prec)), gmul(T->W2, e));
672 : }
673 :
674 : /* quasi-periods eta1, eta2 attached to [w1, w2] = w2 [tau, 1] */
675 : static GEN
676 77 : elleta_w(ellred_t *T)
677 : {
678 77 : GEN y1, y2, e, iw = PiI2div(T->w2, T->prec), pi = mppi(T->prec);
679 :
680 77 : e = cxEk(T->Tau, 2, T->prec); /* E_2(Tau) */
681 77 : if (signe(T->c))
682 : {
683 21 : GEN u = gdiv(T->w2, T->W2); /* E2(tau) = u^2 E2(Tau) + 6iuc/pi */
684 21 : e = gadd(gmul(gsqr(u), e), mulcxI(gdiv(gmul(mului(6,T->c), u), pi)));
685 : }
686 77 : e = gmul(e, pi23(T->prec)); /* E2(tau) pi^2 / 3 */
687 77 : if (T->swap)
688 : {
689 7 : y1 = gdiv(e, T->w2);
690 7 : y2 = gadd(gmul(T->tau,y1), iw);
691 : }
692 : else
693 : {
694 70 : y2 = gdiv(e, T->w2);
695 70 : y1 = gsub(gmul(T->tau,y2), iw);
696 : }
697 77 : if (is_real_t(typ(T->w1))) y1 = real_i(y1);
698 77 : return mkvec2(y1, y2);
699 : }
700 : /* compute eta1, eta2 */
701 : GEN
702 84 : elleta(GEN om, long prec)
703 : {
704 84 : pari_sp av = avma;
705 : ellred_t T;
706 :
707 84 : if (!check_periods(om, &T))
708 : {
709 0 : pari_err_TYPE("elleta",om);
710 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
711 : }
712 84 : if (T.type == t_PER_ELL) return ellR_eta(om, prec);
713 77 : compute_periods(&T, NULL, prec);
714 77 : return gc_GEN(av, elleta_w(&T));
715 : }
716 : GEN
717 28756 : ellperiods(GEN w, long flag, long prec)
718 : {
719 28756 : pari_sp av = avma;
720 : ellred_t T;
721 : GEN W;
722 28756 : if (!get_periods(w, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellperiods",w);
723 28756 : W = mkvec2(T.W1, T.W2);
724 28756 : switch(flag)
725 : {
726 28735 : case 1: W = mkvec2(W, elleta_W(&T)); /* fall through */
727 28756 : case 0: break;
728 0 : default: pari_err_FLAG("ellperiods");
729 : }
730 28756 : return gc_GEN(av, W);
731 : }
732 :
733 : /********************************************************************/
734 : /** Jacobi sine theta **/
735 : /********************************************************************/
736 :
737 : /* check |q| < 1 */
738 : static GEN
739 21 : check_unit_disc(const char *fun, GEN q, long prec)
740 : {
741 21 : GEN Q = gtofp(q, prec), Qlow;
742 21 : Qlow = (prec > LOWDEFAULTPREC)? gtofp(Q,LOWDEFAULTPREC): Q;
743 21 : if (gcmp(gnorm(Qlow), gen_1) >= 0)
744 0 : pari_err_DOMAIN(fun, "abs(q)", ">=", gen_1, q);
745 21 : return Q;
746 : }
747 :
748 : GEN
749 7 : thetanullk(GEN q, long k, long prec)
750 : {
751 : long l, n;
752 7 : pari_sp av = avma;
753 : GEN p1, ps, qn, y, ps2;
754 :
755 7 : if (k < 0)
756 0 : pari_err_DOMAIN("thetanullk", "k", "<", gen_0, stoi(k));
757 7 : l = precision(q);
758 7 : if (l) prec = l;
759 7 : q = check_unit_disc("thetanullk", q, prec);
760 :
761 7 : if (!odd(k)) { set_avma(av); return gen_0; }
762 7 : qn = gen_1;
763 7 : ps2 = gsqr(q);
764 7 : ps = gneg_i(ps2);
765 7 : y = gen_1;
766 7 : for (n = 3;; n += 2)
767 280 : {
768 : GEN t;
769 287 : qn = gmul(qn,ps);
770 287 : ps = gmul(ps,ps2);
771 287 : t = gmul(qn, powuu(n, k)); y = gadd(y, t);
772 287 : if (gexpo(t) < -prec2nbits(prec)) break;
773 : }
774 7 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
775 7 : if (k&2) y = gneg_i(y);
776 7 : return gc_upto(av, gmul(p1, y));
777 : }
778 :
779 : /* q2 = q^2 */
780 : static GEN
781 42039 : vecthetanullk_loop(GEN q2, long k, long prec)
782 : {
783 42039 : GEN ps, qn = gen_1, y = const_vec(k, gen_1);
784 42039 : pari_sp av = avma;
785 42039 : const long bit = prec2nbits(prec);
786 : long i, n;
787 :
788 42039 : if (gexpo(q2) < -2*bit) return y;
789 42039 : ps = gneg_i(q2);
790 42039 : for (n = 3;; n += 2)
791 227409 : {
792 269448 : GEN t = NULL/*-Wall*/, P = utoipos(n), N2 = sqru(n);
793 269448 : qn = gmul(qn,ps);
794 269448 : ps = gmul(ps,q2);
795 808344 : for (i = 1; i <= k; i++)
796 : {
797 538896 : t = gmul(qn, P); gel(y,i) = gadd(gel(y,i), t);
798 538896 : P = mulii(P, N2);
799 : }
800 269448 : if (gexpo(t) < -bit) return y;
801 227409 : if (gc_needed(av,2))
802 : {
803 0 : if (DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"vecthetanullk_loop, n = %ld",n);
804 0 : (void)gc_all(av, 3, &qn, &ps, &y);
805 : }
806 : }
807 : }
808 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1] */
809 : GEN
810 0 : vecthetanullk(GEN q, long k, long prec)
811 : {
812 0 : long i, l = precision(q);
813 0 : pari_sp av = avma;
814 : GEN p1, y;
815 :
816 0 : if (l) prec = l;
817 0 : q = check_unit_disc("vecthetanullk", q, prec);
818 0 : y = vecthetanullk_loop(gsqr(q), k, prec);
819 0 : p1 = gmul2n(gsqrt(gsqrt(q,prec),prec),1);
820 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
821 0 : return gc_upto(av, gmul(p1, y));
822 : }
823 :
824 : /* [d^i theta/dz^i(q, 0), i = 1, 3, .., 2*k - 1], q = exp(2iPi tau) */
825 : GEN
826 0 : vecthetanullk_tau(GEN tau, long k, long prec)
827 : {
828 0 : long i, l = precision(tau);
829 0 : pari_sp av = avma;
830 : GEN q4, y;
831 :
832 0 : if (l) prec = l;
833 0 : if (typ(tau) != t_COMPLEX || gsigne(gel(tau,2)) <= 0)
834 0 : pari_err_DOMAIN("vecthetanullk_tau", "imag(tau)", "<=", gen_0, tau);
835 0 : q4 = expIPiC(gmul2n(tau,-1), prec); /* q^(1/4) */
836 0 : y = vecthetanullk_loop(gpowgs(q4,8), k, prec);
837 0 : for (i = 2; i <= k; i += 2) gel(y,i) = gneg_i(gel(y,i));
838 0 : return gc_upto(av, gmul(gmul2n(q4,1), y));
839 : }
840 :
841 : /********************************************************************/
842 : /* Riemann-Jacobi 1-variable theta functions, does not use AGM */
843 : /********************************************************************/
844 : /* theta(z,tau,0) should be identical to riemann_theta([z]~, Mat(tau))
845 : * from Jean Kieffer. */
846 :
847 : static long
848 112 : equali01(GEN x)
849 : {
850 112 : if (!signe(x)) return 0;
851 84 : if (!equali1(x)) pari_err_FLAG("theta");
852 84 : return 1;
853 : }
854 :
855 : static long
856 140 : thetaflag(GEN v)
857 : {
858 : long v1, v2;
859 140 : if (!v) return 0;
860 140 : switch(typ(v))
861 : {
862 84 : case t_INT:
863 84 : if (signe(v) < 0 || cmpis(v, 4) > 0) pari_err_FLAG("theta");
864 84 : return itou(v);
865 56 : case t_VEC:
866 56 : if (RgV_is_ZV(v) && lg(v) == 3) break;
867 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
868 : }
869 56 : v1 = equali01(gel(v,1));
870 56 : v2 = equali01(gel(v,2)); return v1? (v2? -1: 2): (v2? 4: 3);
871 : }
872 :
873 : /* Automorphy factor for bringing tau towards standard fundamental domain
874 : * (we stop when im(tau) >= 1/2, no need to go all the way to sqrt(3)/2).
875 : * At z = 0 if NULL */
876 : static GEN
877 40068 : autojtau(GEN *pz, GEN *ptau, long *psumr, long *pct, long prec)
878 : {
879 40068 : GEN S = gen_1, z = *pz, tau = *ptau;
880 40068 : long ct = 0, sumr = 0;
881 40068 : if (z && gequal0(z)) z = NULL;
882 40201 : while (gexpo(imag_i(tau)) < -1)
883 : {
884 133 : GEN r = ground(real_i(tau)), taup;
885 133 : tau = gsub(tau, r); taup = gneg(ginv(tau));
886 133 : S = gdiv(S, gsqrt(mulcxmI(tau), prec));
887 133 : if (z)
888 : {
889 77 : S = gmul(S, expIPiC(gmul(taup, gsqr(z)), prec));
890 77 : z = gneg(gmul(z, taup));
891 : }
892 133 : ct++; tau = taup; sumr = (sumr + Mod8(r)) & 7;
893 : }
894 40068 : if (pct) *pct = ct;
895 40068 : *psumr = sumr; *pz = z; *ptau = tau; return S;
896 : }
897 :
898 : /* At 0 if z = NULL. Real(tau) = n is an integer; 4 | n if fl = 1 or 2 */
899 : static void
900 124096 : clearim(GEN *v, GEN z, long fl)
901 : {
902 124096 : if (!z || gequal0(imag_i(z)) || (fl != 1 && gequal0(real_i(z))))
903 82131 : *v = real_i(*v);
904 124096 : }
905 :
906 : static GEN
907 31024 : clearimall(GEN z, GEN n, GEN VS)
908 : {
909 31024 : long nmod4 = Mod4(n);
910 31024 : clearim(&gel(VS,1), z, 3);
911 31024 : clearim(&gel(VS,2), z, 4);
912 31024 : if (!nmod4)
913 : {
914 31024 : clearim(&gel(VS,3), z, 2);
915 31024 : clearim(&gel(VS,4), z, 1);
916 : }
917 31024 : return VS;
918 : }
919 :
920 : /* Implementation of all 4 theta functions */
921 :
922 : /* If z = NULL, we are at 0 */
923 : static long
924 40145 : thetaprec(GEN z, GEN tau, long prec)
925 : {
926 40145 : long l = precision(tau);
927 40145 : if (z)
928 : {
929 39690 : long n = precision(z);
930 39690 : if (n && n < l) l = n;
931 : }
932 40145 : return l? l: prec;
933 : }
934 :
935 : static GEN
936 39683 : redmod2Z(GEN z)
937 : {
938 39683 : GEN k = ground(gmul2n(real_i(z), -1));
939 39683 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("theta", z);
940 39676 : if (signe(k)) z = gsub(z, shifti(k, 1));
941 39676 : return z;
942 : }
943 :
944 : /* Return theta[0,0], theta[0,1], theta[1,0] and theta[1,1] at (z,tau).
945 : * If pT0 != NULL, assume z != NULL and set *pT0 to
946 : * theta[0,0], theta[0,1], theta[1,0] and theta[1,1]' at (0,tau).
947 : * Note that theta[1,1](0, tau) is identically 0, hence the derivative.
948 : * If z = NULL, return theta[1,1]'(0) */
949 : static GEN
950 40068 : thetaall(GEN z, GEN tau, GEN *pT0, long prec)
951 : {
952 : pari_sp av;
953 : GEN zold, tauold, k, u, un, q, q2, qd, qn;
954 : GEN S, Skeep, S00, S01, S10, S11, u2, ui2, uin;
955 40068 : GEN Z00 = gen_1, Z01 = gen_1, Z10 = gen_0, Z11 = gen_0;
956 40068 : long n, ct, eS, B, sumr, precold = prec;
957 40068 : int theta1p = !z;
958 :
959 40068 : if (z) z = redmod2Z(z);
960 40061 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
961 40061 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
962 40061 : z = zold = z? gtofp(z, prec): NULL;
963 40061 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
964 40061 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, &ct, prec);
965 40061 : Skeep = S;
966 40061 : k = gen_0; S00 = S01 = gen_1; S10 = S11 = gen_0;
967 40061 : if (z)
968 : {
969 39578 : GEN y = imag_i(z);
970 39578 : if (!gequal0(y)) k = roundr(divrr(y, gneg(imag_i(tau))));
971 39578 : if (signe(k))
972 : {
973 18697 : GEN Sz = expIPiC(gadd(gmul(sqri(k), tau), gmul(shifti(k,1), z)), prec);
974 18697 : S = gmul(S, Sz);
975 18697 : z = gadd(z, gmul(tau, k));
976 : }
977 : }
978 40061 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
979 : {
980 13445 : prec = nbits2prec(eS + prec2nbits(prec));
981 13445 : if (z) z = gprec_w(z, prec);
982 13445 : tau = gprec_w(tau, prec);
983 : }
984 40061 : q = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q2 = gsqr(q); qn = gen_1;
985 40061 : if (!z) u = u2 = ui2 = un = uin = NULL; /* constant, equal to 1 */
986 : else
987 : {
988 39578 : u = expIPiC(z, prec); u2 = gsqr(u); ui2 = ginv(u2);
989 39578 : un = uin = gen_1;
990 : }
991 40061 : qd = q; B = prec2nbits(prec);
992 40061 : av = avma;
993 40061 : for (n = 1;; n++)
994 229927 : { /* qd = q^(4n-3), qn = q^(4(n-1)^2), un = u^(2n-2), uin = 1/un */
995 269988 : long e = 0, eqn, prec2;
996 : GEN tmp;
997 269988 : if (u) uin = gmul(uin, ui2);
998 269988 : qn = gmul(qn, qd); /* q^((2n-1)^2) */
999 269988 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
1000 269988 : S10 = gadd(S10, tmp);
1001 269988 : if (pT0) Z10 = gadd(Z10, gmul2n(qn, 1));
1002 269988 : if (z)
1003 : {
1004 268175 : tmp = gmul(qn, gsub(un, uin));
1005 268175 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1006 268175 : e = maxss(0, gexpo(un)); un = gmul(un, u2);
1007 268175 : e = maxss(e, gexpo(un));
1008 : }
1009 1813 : else if (theta1p) /* theta'[1,1] at 0 */
1010 : {
1011 1624 : tmp = gmulsg(2*n-1, tmp);
1012 1624 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1013 : }
1014 269988 : if (pT0)
1015 : {
1016 267653 : tmp = gmulsg(4*n-2, qn);
1017 267653 : Z11 = odd(n)? gsub(Z11, tmp): gadd(Z11, tmp);
1018 : }
1019 269988 : qd = gmul(qd, q2); qn = gmul(qn, qd); /* q^(4n^2) */
1020 269988 : tmp = u? gmul(qn, gadd(un, uin)): gmul2n(qn, 1);
1021 269988 : S00 = gadd(S00, tmp);
1022 269988 : S01 = odd(n)? gsub(S01, tmp): gadd(S01, tmp);
1023 269988 : if (pT0)
1024 : {
1025 267653 : tmp = gmul2n(qn, 1); Z00 = gadd(Z00, tmp);
1026 267653 : Z01 = odd(n)? gsub(Z01, tmp): gadd(Z01, tmp);
1027 : }
1028 269988 : eqn = gexpo(qn) + e; if (eqn < -B) break;
1029 229927 : qd = gmul(qd, q2);
1030 229927 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 64));
1031 229927 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1032 229927 : if (u) { un = gprec_w(un, prec2); uin = gprec_w(uin, prec2); }
1033 229927 : if (gc_needed(av, 1))
1034 : {
1035 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"theta");
1036 0 : gc_all(av, pT0? 12: (u? 8: 6), &qd, &qn, &S00,&S01,&S10,&S11, &un,&uin,
1037 : &Z00,&Z01,&Z10,&Z11);
1038 : }
1039 : }
1040 40061 : if (u)
1041 : {
1042 39578 : S10 = gmul(u, S10);
1043 39578 : S11 = gmul(u, S11);
1044 : }
1045 : /* automorphic factor
1046 : * theta[1,1]: I^ct
1047 : * theta[1,0]: exp(-I*Pi/4*sumr)
1048 : * theta[0,1]: (-1)^k
1049 : * theta[1,1]: (-1)^k exp(-I*Pi/4*sumr) */
1050 40061 : S11 = z? mulcxpowIs(S11, ct + 3): gmul(mppi(prec), S11);
1051 40061 : if (pT0) Z11 = gmul(mppi(prec), Z11);
1052 40061 : if (ct&1L) { swap(S10, S01); if (pT0) swap(Z10, Z01); }
1053 40061 : if (sumr & 7)
1054 : {
1055 0 : GEN zet = e12(sumr * 3, prec); /* exp(I Pi sumr / 4) */
1056 0 : if (odd(sumr)) { swap(S01, S00); if (pT0) swap(Z01, Z00); }
1057 0 : S10 = gmul(S10, zet); S11 = gmul(S11, zet);
1058 0 : if (pT0) { Z10 = gmul(Z10, zet); Z11 = gmul(Z11, zet); }
1059 : }
1060 40061 : if (theta1p) S11 = gmul(gsqr(S), S11);
1061 39606 : else if (mpodd(k)) { S01 = gneg(S01); S11 = gneg(S11); }
1062 40061 : if (pT0) Z11 = gmul(gsqr(Skeep), Z11);
1063 40061 : S = gmul(S, mkvec4(S00, S01, S10, S11));
1064 40061 : if (precold < prec) S = gprec_wtrunc(S, precold);
1065 40061 : if (pT0)
1066 : {
1067 39501 : *pT0 = gmul(Skeep, mkvec4(Z00, Z01, Z10, Z11));
1068 39501 : if (precold < prec) *pT0 = gprec_wtrunc(*pT0, precold);
1069 : }
1070 40061 : if (isint(real_i(tauold), &k))
1071 : {
1072 15736 : S = clearimall(zold, k, S);
1073 15736 : if (pT0) *pT0 = clearimall(NULL, k, *pT0);
1074 : }
1075 40061 : return S;
1076 : }
1077 :
1078 : static GEN
1079 455 : thetanull_i(GEN tau, long prec) { return thetaall(NULL, tau, NULL, prec); }
1080 :
1081 : GEN
1082 112 : theta(GEN z, GEN tau, GEN flag, long prec)
1083 : {
1084 112 : pari_sp av = avma;
1085 : GEN T;
1086 112 : if (!flag)
1087 : { /* backward compatibility: sine theta */
1088 14 : GEN pi = mppi(prec), q = z; z = tau; /* input (q = exp(i pi tau), Pi*z) */
1089 14 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
1090 14 : q = check_unit_disc("theta", q, prec);
1091 14 : z = gdiv(gtofp(z, prec), pi);
1092 14 : tau = gdiv(mulcxmI(glog(q, prec)), pi);
1093 14 : flag = gen_1;
1094 : }
1095 112 : T = thetaall(z, tau, NULL, prec);
1096 105 : switch (thetaflag(flag))
1097 : {
1098 28 : case -1: T = gel(T,4); break;
1099 21 : case 0: break;
1100 14 : case 1: T = gneg(gel(T,4)); break;
1101 14 : case 2: T = gel(T,3); break;
1102 14 : case 3: T = gel(T,1); break;
1103 14 : case 4: T = gel(T,2); break;
1104 0 : default: pari_err_FLAG("theta");
1105 : }
1106 105 : return gc_GEN(av, T);
1107 : }
1108 :
1109 : /* Same as 2*Pi*eta(tau,1)^3 = - thetanull_i(tau)[4], faster than both. */
1110 : static GEN
1111 7 : thetanull11(GEN tau, long prec)
1112 : {
1113 7 : GEN z = NULL, tauold, q, q8, qd, qn, S, S11;
1114 7 : long n, eS, B, sumr, precold = prec;
1115 :
1116 7 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
1117 7 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
1118 7 : S = autojtau(&z, &tau, &sumr, NULL, prec);
1119 7 : S11 = gen_1; ;
1120 7 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
1121 : {
1122 0 : prec += nbits2extraprec(eS);
1123 0 : tau = gprec_w(tau, prec);
1124 : }
1125 7 : q8 = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q = gpowgs(q8, 8);
1126 7 : qn = gen_1; qd = q; B = prec2nbits(prec);
1127 7 : for (n = 1;; n++)
1128 42 : { /* qd = q^n, qn = q^((n^2-n)/2) */
1129 : long eqn, prec2;
1130 : GEN tmp;
1131 49 : qn = gmul(qn, qd); tmp = gmulsg(2*n+1, qn); eqn = gexpo(tmp);
1132 49 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1133 49 : if (eqn < -B) break;
1134 42 : qd = gmul(qd, q);
1135 42 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 32));
1136 42 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1137 : }
1138 7 : if (precold < prec) prec = precold;
1139 7 : S11 = gmul3(S11, q8, e12(3*sumr, prec));
1140 7 : S11 = gmul3(Pi2n(1, prec), gpowgs(S, 3), S11);
1141 7 : if (isint(real_i(tauold), &q) && !Mod4(q)) clearim(&S11, z, 1);
1142 7 : return S11;
1143 : }
1144 :
1145 : GEN
1146 35 : thetanull(GEN tau, GEN flag, long prec)
1147 : {
1148 35 : pari_sp av = avma;
1149 35 : long fl = thetaflag(flag);
1150 : GEN T0;
1151 35 : if (fl == 1) T0 = thetanull11(tau, prec);
1152 35 : else if (fl == -1) T0 = gneg(thetanull11(tau, prec));
1153 : else
1154 : {
1155 28 : T0 = thetanull_i(tau, prec);
1156 28 : switch (fl)
1157 : {
1158 7 : case 0: break;
1159 7 : case 2: T0 = gel(T0,3); break;
1160 7 : case 3: T0 = gel(T0,1); break;
1161 7 : case 4: T0 = gel(T0,2); break;
1162 0 : default: pari_err_FLAG("thetanull");
1163 : }
1164 : }
1165 35 : return gc_GEN(av, T0);
1166 : }
1167 :
1168 : static GEN
1169 70 : autojtauprime(GEN *pz, GEN *ptau, GEN *pmat, long *psumr, long *pct, long prec)
1170 : {
1171 70 : GEN S = gen_1, z = *pz, tau = *ptau, M = matid(2);
1172 70 : long ct = 0, sumr = 0;
1173 70 : while (gexpo(imag_i(tau)) < -1)
1174 : {
1175 0 : GEN r = ground(real_i(tau)), taup;
1176 0 : tau = gsub(tau, r); taup = gneg(ginv(tau));
1177 0 : S = gdiv(S, gsqrt(mulcxmI(tau), prec));
1178 0 : S = gmul(S, expIPiC(gmul(taup, gsqr(z)), prec));
1179 0 : M = gmul(mkmat22(gen_1, gen_0, gmul(z, PiI2n(1, prec)), tau), M);
1180 0 : z = gneg(gmul(z, taup));
1181 0 : ct++; tau = taup; sumr = (sumr + Mod8(r)) & 7;
1182 : }
1183 70 : if (pct) *pct = ct;
1184 70 : *pmat = M; *psumr = sumr; *pz = z; *ptau = tau; return S;
1185 : }
1186 :
1187 : /* computes theta_{1,1} and theta'_{1,1} together */
1188 :
1189 : static GEN
1190 70 : theta11prime(GEN z, GEN tau, long prec)
1191 : {
1192 70 : pari_sp av = avma;
1193 : GEN zold, tauold, k, u, un, q, q2, qd, qn;
1194 : GEN S, S11, S11prime, S11all, u2, ui2, uin;
1195 : GEN y, mat;
1196 70 : long n, ct, eS, B, sumr, precold = prec;
1197 :
1198 70 : if (z) z = redmod2Z(z);
1199 70 : if (!z || gequal0(z)) pari_err(e_MISC, "z even integer in theta11prime");
1200 70 : tau = upper_to_cx(tau, &prec);
1201 70 : prec = thetaprec(z, tau, prec);
1202 70 : z = zold = z? gtofp(z, prec): NULL;
1203 70 : tau = tauold = gtofp(tau, prec);
1204 70 : S = autojtauprime(&z, &tau, &mat, &sumr, &ct, prec);
1205 70 : k = gen_0; S11 = gen_0; S11prime = gen_0;
1206 70 : y = imag_i(z);
1207 70 : if (!gequal0(y)) k = roundr(divrr(y, gneg(imag_i(tau))));
1208 70 : if (signe(k))
1209 : {
1210 28 : GEN Sz = expIPiC(gadd(gmul(sqri(k), tau), gmul(shifti(k,1), z)), prec);
1211 28 : mat = gmul(mkmat22(gen_1, gen_0, gneg(gmul(k, PiI2n(1, prec))), gen_1), mat);
1212 28 : S = gmul(S, Sz);
1213 28 : z = gadd(z, gmul(tau, k));
1214 : }
1215 70 : if ((eS = gexpo(S)) > 0)
1216 : {
1217 28 : prec = nbits2prec(eS + prec2nbits(prec));
1218 28 : z = gprec_w(z, prec);
1219 28 : tau = gprec_w(tau, prec);
1220 : }
1221 70 : q = expIPiC(gmul2n(tau,-2), prec); q2 = gsqr(q); qn = gen_1;
1222 70 : u = expIPiC(z, prec); u2 = gsqr(u); ui2 = ginv(u2);
1223 70 : un = uin = gen_1;
1224 70 : qd = q; B = prec2nbits(prec);
1225 70 : for (n = 1;; n++)
1226 315 : { /* qd = q^(4n-3), qn = q^(4(n-1)^2), un = u^(2n-2), uin = 1/un */
1227 385 : long e = 0, eqn, prec2;
1228 : GEN tmp, tmpprime;
1229 385 : uin = gmul(uin, ui2);
1230 385 : qn = gmul(qn, qd); /* q^((2n-1)^2) */
1231 385 : tmp = gmul(qn, gsub(un, uin));
1232 385 : tmpprime = gmulsg(2*n - 1, gmul(qn, gadd(un, uin)));
1233 385 : S11 = odd(n)? gsub(S11, tmp): gadd(S11, tmp);
1234 385 : S11prime = odd(n)? gsub(S11prime, tmpprime): gadd(S11prime, tmpprime);
1235 385 : e = maxss(0, gexpo(un)); un = gmul(un, u2); e = maxss(e, gexpo(un));
1236 385 : qd = gmul(qd, q2); qn = gmul(qn, qd); /* q^(4n^2) */
1237 385 : eqn = gexpo(qn) + e; if (eqn < -B) break;
1238 315 : qd = gmul(qd, q2);
1239 315 : prec2 = minss(prec, nbits2prec(eqn + B + 64));
1240 315 : qn = gprec_w(qn, prec2); qd = gprec_w(qd, prec2);
1241 315 : un = gprec_w(un, prec2); uin = gprec_w(uin, prec2);
1242 : }
1243 70 : S11prime = gmul(S11prime, PiI2n(0, prec));
1244 70 : S11all = gmul(u, mkcol2(S11, S11prime));
1245 70 : S11all = mulcxpowIs(S11all, ct + 3);
1246 70 : if (sumr & 7) S11all = gmul(e12(sumr * 3, prec), S11all);
1247 70 : if (mpodd(k)) S11all = gneg(S11all);
1248 70 : if (precold < prec) S11all = gprec_w(S11all, precold);
1249 70 : return gc_upto(av, gmul(S, gmul(ginv(mat) , S11all)));
1250 : }
1251 :
1252 : /* is q = exp(2ipi tau) a real number ? */
1253 : static int
1254 427 : isqreal(GEN tau) { return gequal0(gfrac(gmul2n(real_i(tau), 1))); }
1255 : static void
1256 427 : cxE4E6(GEN tau, GEN *pE4, GEN *pE6, long prec)
1257 : {
1258 427 : GEN z2, z3, z4, T0 = thetanull_i(tau, prec);
1259 427 : int fl = isqreal(tau);
1260 427 : z3 = gpowgs(gel(T0, 1), 4);
1261 427 : z4 = gpowgs(gel(T0, 2), 4);
1262 427 : z2 = gpowgs(gel(T0, 3), 4);
1263 427 : if (pE4)
1264 : {
1265 406 : GEN e = gadd3(gsqr(z2), gsqr(z3), gsqr(z4));
1266 406 : *pE4 = gmul2n(fl? real_i(e): e, -1); /* N.B. g2 = (2ipi)^4 E4 / 12 */
1267 : }
1268 427 : if (pE6)
1269 : { /* the roots (e1,e2,e3) of 4x^3 - g2x - g3 are z3+z4, -(z2+z3), z2-z4 */
1270 392 : GEN e = gmul3(gadd(z3, z4), gadd(z2, z3), gsub(z4, z2));
1271 392 : *pE6 = gmul2n(fl? real_i(e): e, -1); /* N.B. g3 = (2ipi)^6 E6 / -216 */
1272 : }
1273 427 : }
1274 :
1275 : /* Weierstrass elliptic data in terms of thetas */
1276 : /* tau,z reduced */
1277 : static GEN
1278 1890 : ellwp_cx(GEN tau, GEN z, GEN *pyp, long prec)
1279 : {
1280 1890 : GEN P, T0, T = thetaall(z, tau, &T0, prec);
1281 1890 : GEN z1 = gel(T0, 1), z3 = gel(T0, 3), t2 = gel(T, 2), t4 = gel(T, 4);
1282 1890 : P = gmul(pi23(prec), gsub(gmulgs(gsqr(gdiv(gmul3(z1, z3, t2), t4)), 3),
1283 : gadd(gpowgs(z1, 4), gpowgs(z3, 4))));
1284 1890 : if (pyp)
1285 : {
1286 1827 : GEN t1 = gel(T, 1), t3 = gel(T, 3);
1287 1827 : GEN c = gmul(Pi2n(1, prec), gsqr(gel(T0, 4)));
1288 1827 : *pyp = gdiv(gmul4(c, t1, t2, t3), gpowgs(t4, 3));
1289 : }
1290 1890 : return P;
1291 : }
1292 :
1293 : /* computes the numerical value of wp(z | L), L = om1 Z + om2 Z
1294 : * return NULL if z in L. If flall=1, compute also wp' */
1295 : static GEN
1296 1911 : ellwpnum_all(GEN e, GEN z, long flall, long prec)
1297 : {
1298 1911 : pari_sp av = avma;
1299 1911 : GEN yp = NULL, y, u1;
1300 : ellred_t T;
1301 :
1302 1911 : if (!get_periods(e, z, &T, prec)) pari_err_TYPE("ellwp",e);
1303 1911 : if (!T.Z) return NULL;
1304 1890 : prec = T.prec;
1305 :
1306 : /* Now L,Z normalized to <1,tau>. Z in fund. domain of <1, tau> */
1307 1890 : y = ellwp_cx(T.Tau, T.Z, flall? &yp: NULL, prec);
1308 1890 : u1 = gsqr(T.W2); y = gdiv(y, u1);
1309 1890 : if (yp) yp = gdiv(yp, gmul(u1, T.W2));
1310 1890 : if (T.some_q_is_real && (T.some_z_is_real || T.some_z_is_pure_imag))
1311 1029 : y = real_i(y);
1312 1890 : if (yp)
1313 : {
1314 1827 : if (T.some_q_is_real)
1315 : {
1316 1827 : if (T.some_z_is_real) yp = real_i(yp);
1317 847 : else if (T.some_z_is_pure_imag) yp = mkcomplex(gen_0, imag_i(yp));
1318 : }
1319 1827 : y = mkvec2(y, yp);
1320 : }
1321 1890 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
1322 : }
1323 : static GEN
1324 553 : ellwpseries_aux(GEN c4, GEN c6, long v, long PRECDL)
1325 : {
1326 : long i, k, l;
1327 : pari_sp av;
1328 553 : GEN _1, t, res = cgetg(PRECDL+2,t_SER), *P = (GEN*)(res + 2);
1329 :
1330 553 : res[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(-2) | evalvarn(v);
1331 553 : if (!PRECDL) { setsigne(res,0); return res; }
1332 :
1333 7245 : for (i=1; i<PRECDL; i+=2) P[i]= gen_0;
1334 553 : _1 = Rg_get_1(c4);
1335 553 : switch(PRECDL)
1336 : {
1337 553 : default:P[6] = gdivgu(c6,6048);
1338 553 : case 6:
1339 553 : case 5: P[4] = gdivgu(c4, 240);
1340 553 : case 4:
1341 553 : case 3: P[2] = gmul(_1,gen_0);
1342 553 : case 2:
1343 553 : case 1: P[0] = _1;
1344 : }
1345 553 : if (PRECDL <= 8) return res;
1346 546 : av = avma;
1347 546 : P[8] = gc_upto(av, gdivgu(gsqr(P[4]), 3));
1348 4550 : for (k=5; (k<<1) < PRECDL; k++)
1349 : {
1350 4004 : av = avma;
1351 4004 : t = gmul(P[4], P[(k-2)<<1]);
1352 16940 : for (l=3; (l<<1) < k; l++) t = gadd(t, gmul(P[l<<1], P[(k-l)<<1]));
1353 4004 : t = gmul2n(t, 1);
1354 4004 : if ((k & 1) == 0) t = gadd(gsqr(P[k]), t);
1355 4004 : if (k % 3 == 2)
1356 1435 : t = gdivgu(gmulsg(3, t), (k-3)*(2*k+1));
1357 : else /* same value, more efficient */
1358 2569 : t = gdivgu(t, ((k-3)*(2*k+1)) / 3);
1359 4004 : P[k<<1] = gc_upto(av, t);
1360 : }
1361 546 : return res;
1362 : }
1363 :
1364 : static int
1365 294 : get_c4c6(GEN w, GEN *c4, GEN *c6, long prec)
1366 : {
1367 294 : if (typ(w) == t_VEC) switch(lg(w))
1368 : {
1369 203 : case 17:
1370 203 : *c4 = ell_get_c4(w);
1371 203 : *c6 = ell_get_c6(w); return 1;
1372 91 : case 3:
1373 : {
1374 : GEN E4, E6, a2, a;
1375 : ellred_t T;
1376 91 : if (!get_periods(w,NULL,&T, prec)) break;
1377 91 : a = gdiv(pi23(T.prec + EXTRAPREC64), gsqr(T.W2));
1378 91 : cxE4E6(T.Tau, &E4, &E6, prec); a2 = gsqr(a);
1379 91 : *c4 = gmul(gmulgs(E4, 144), a2);
1380 91 : *c6 = gmul(gmulgs(E6, 1728), gmul(a2,a)); return 1;
1381 : }
1382 : }
1383 0 : *c4 = *c6 = NULL;
1384 0 : return 0;
1385 : }
1386 :
1387 : GEN
1388 42 : ellwpseries(GEN e, long v, long PRECDL)
1389 : {
1390 : GEN c4, c6;
1391 42 : checkell(e);
1392 42 : c4 = ell_get_c4(e);
1393 42 : c6 = ell_get_c6(e); return ellwpseries_aux(c4,c6,v,PRECDL);
1394 : }
1395 :
1396 : GEN
1397 0 : ellwp(GEN w, GEN z, long prec)
1398 0 : { return ellwp0(w,z,0,prec); }
1399 :
1400 : GEN
1401 182 : ellwp0(GEN w, GEN z, long flag, long prec)
1402 : {
1403 182 : pari_sp av = avma;
1404 : GEN y;
1405 :
1406 182 : if (flag && flag != 1) pari_err_FLAG("ellwp");
1407 182 : if (!z) z = pol_x(0);
1408 182 : y = toser_i(z);
1409 182 : if (y)
1410 : {
1411 105 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1412 : GEN P, Q, c4,c6;
1413 105 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec)) pari_err_TYPE("ellwp",w);
1414 105 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellwp(t_SER) away from 0");
1415 105 : if (gequal0(y)) {
1416 0 : set_avma(av);
1417 0 : if (!flag) return zeroser(vy, -2*v);
1418 0 : retmkvec2(zeroser(vy, -2*v), zeroser(vy, -3*v));
1419 : }
1420 105 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1421 105 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1422 105 : if (!flag)
1423 105 : return gc_upto(av, Q);
1424 : else
1425 : {
1426 0 : GEN R = mkvec2(Q, gdiv(derivser(Q), derivser(y)));
1427 0 : return gc_GEN(av, R);
1428 : }
1429 : }
1430 77 : y = ellwpnum_all(w,z,flag,prec);
1431 77 : if (!y) pari_err_DOMAIN("ellwp", "argument","=", gen_0,z);
1432 70 : return gc_upto(av, y);
1433 : }
1434 :
1435 : static GEN
1436 70 : ellzeta_cx(ellred_t *T)
1437 : {
1438 70 : GEN e, y, TALL = theta11prime(T->Z, T->Tau, T->prec), ETA = elleta_W(T);
1439 70 : y = gadd(gmul(T->Z, gel(ETA,2)),
1440 70 : gdiv(gel(TALL,2), gmul(gel(TALL,1), T->W2)));
1441 70 : e = _period(T, ETA);
1442 70 : if (T->some_q_is_real)
1443 : {
1444 70 : if (T->some_z_is_real)
1445 : {
1446 28 : if (e == gen_0 || typ(e) != t_COMPLEX) y = real_i(y);
1447 : }
1448 42 : else if (T->some_z_is_pure_imag)
1449 : {
1450 21 : if (e == gen_0 || (typ(e) == t_COMPLEX && isintzero(gel(e,1))))
1451 21 : gel(y,1) = gen_0;
1452 : }
1453 : }
1454 70 : return gprec_wtrunc(e != gen_0? gadd(y, e): y, T->prec0);
1455 : }
1456 : GEN
1457 161 : ellzeta(GEN w, GEN z, long prec0)
1458 : {
1459 161 : pari_sp av = avma;
1460 : ellred_t T;
1461 : GEN y;
1462 :
1463 161 : if (!z) z = pol_x(0);
1464 161 : y = toser_i(z);
1465 161 : if (y)
1466 : {
1467 91 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1468 : GEN P, Q, c4,c6;
1469 91 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta",w);
1470 91 : if (v <= 0) pari_err(e_IMPL,"ellzeta(t_SER) away from 0");
1471 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
1472 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1473 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
1474 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1475 91 : return gc_upto(av, Q);
1476 : }
1477 70 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellzeta", w);
1478 70 : if (!T.Z) pari_err_DOMAIN("ellzeta", "z", "=", gen_0, z);
1479 70 : return gc_GEN(av, ellzeta_cx(&T));
1480 : }
1481 :
1482 : static GEN
1483 37569 : ellsigma_cx(ellred_t *T, long flag)
1484 : {
1485 37569 : long prec = T->prec;
1486 37569 : GEN t0, t = thetaall(T->Z, T->Tau, &t0, prec), ETA = elleta_W(T);
1487 37569 : GEN y1, y = gmul(T->W2, gdiv(gel(t, 4), gel(t0, 4)));
1488 :
1489 : /* y = W2 theta_1(q, Z) / theta_1'(q, 0)
1490 : * = sigma([W1, W2], W2 Z) * exp(-eta2 W2 Z^2/2)
1491 : * We have z/W2 = Z + x Tau + y, so
1492 : * sigma([W1,W2], z) = (-1)^(x+y+xy) sigma([W1,W2], W2 Z) exp(W2 y1) where
1493 : * y1 = eta2 Z^2/2 + (x eta1 + y eta2)(Z + (x Tau + y)/2) */
1494 :
1495 37569 : y1 = gadd(T->Z, gmul2n(_period(T, mkvec2(T->Tau,gen_1)), -1));
1496 37569 : y1 = gadd(gmul(_period(T, ETA), y1),
1497 37569 : gmul2n(gmul(gsqr(T->Z),gel(ETA,2)), -1));
1498 37569 : if (flag)
1499 : {
1500 37499 : y = gadd(gmul(T->W2,y1), glog(y,prec));
1501 37499 : if (mpodd(T->x) || mpodd(T->y)) y = gadd(y, PiI2n(0, prec));
1502 : /* log(real number): im(y) = 0 or Pi */
1503 37499 : if (T->some_q_is_real && isintzero(imag_i(T->z)) && gexpo(imag_i(y)) < 1)
1504 7 : y = real_i(y);
1505 : }
1506 : else
1507 : {
1508 70 : y = gmul(y, gexp(gmul(T->W2, y1), prec));
1509 70 : if (mpodd(T->x) || mpodd(T->y)) y = gneg_i(y);
1510 70 : if (T->some_q_is_real)
1511 : {
1512 : int re, cx;
1513 70 : check_complex(T->z,&re,&cx);
1514 70 : if (re) y = real_i(y);
1515 49 : else if (cx && typ(y) == t_COMPLEX) gel(y,1) = gen_0;
1516 : }
1517 : }
1518 37569 : return gprec_wtrunc(y, T->prec0);
1519 : }
1520 : /* if flag=0, return ellsigma, otherwise return log(ellsigma) */
1521 : GEN
1522 37674 : ellsigma(GEN w, GEN z, long flag, long prec0)
1523 : {
1524 37674 : pari_sp av = avma;
1525 : ellred_t T;
1526 : GEN y;
1527 :
1528 37674 : if (flag < 0 || flag > 1) pari_err_FLAG("ellsigma");
1529 37674 : if (!z) z = pol_x(0);
1530 37674 : y = toser_i(z);
1531 37674 : if (y)
1532 : {
1533 98 : long vy = varn(y), v = valser(y);
1534 : GEN P, Q, c4,c6;
1535 98 : if (!get_c4c6(w,&c4,&c6,prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
1536 98 : if (v <= 0) pari_err_IMPL("ellsigma(t_SER) away from 0");
1537 98 : if (flag) pari_err_TYPE("log(ellsigma)",y);
1538 91 : if (gequal0(y)) { set_avma(av); return zeroser(vy, -v); }
1539 91 : P = ellwpseries_aux(c4,c6, vy, lg(y)-2);
1540 91 : P = integser(gneg(P)); /* \zeta' = - \wp*/
1541 : /* (log \sigma)' = \zeta; remove log-singularity first */
1542 91 : P = integser(serchop0(P));
1543 91 : P = gexp(P, prec0);
1544 91 : setvalser(P, valser(P)+1);
1545 91 : Q = gsubst(P, varn(P), y);
1546 91 : return gc_upto(av, Q);
1547 : }
1548 37576 : if (!get_periods(w, z, &T, prec0)) pari_err_TYPE("ellsigma",w);
1549 37576 : if (!T.Z)
1550 : {
1551 7 : if (!flag) return gen_0;
1552 7 : pari_err_DOMAIN("log(ellsigma)", "argument","=",gen_0,z);
1553 : }
1554 37569 : return gc_GEN(av, ellsigma_cx(&T, flag));
1555 : }
1556 :
1557 : GEN
1558 1890 : pointell(GEN e, GEN z, long prec)
1559 : {
1560 1890 : pari_sp av = avma;
1561 : GEN v;
1562 :
1563 1890 : checkell(e);
1564 1890 : if (ell_get_type(e) == t_ELL_Qp)
1565 : {
1566 56 : prec = minss(ellQp_get_prec(e), padicprec_relative(z));
1567 56 : return ellQp_t2P(e, z, prec);
1568 : }
1569 1834 : v = ellwpnum_all(e,z,1,prec);
1570 1834 : if (!v) { set_avma(av); return ellinf(); }
1571 1820 : gel(v,1) = gsub(gel(v,1), gdivgu(ell_get_b2(e),12));
1572 1820 : gel(v,2) = gmul2n(gsub(gel(v,2), ec_h_evalx(e,gel(v,1))),-1);
1573 1820 : return gc_GEN(av, v);
1574 : }
1575 :
1576 : /********************************************************************/
1577 : /** Eisenstein series of level 1 **/
1578 : /********************************************************************/
1579 :
1580 : GEN
1581 82289 : upper_to_cx(GEN x, long *prec)
1582 : {
1583 82289 : long tx = typ(x), l;
1584 82289 : if (tx == t_QUAD) { x = quadtofp(x, *prec); tx = typ(x); }
1585 82289 : switch(tx)
1586 : {
1587 82268 : case t_COMPLEX:
1588 82268 : if (gsigne(gel(x,2)) > 0) break; /*fall through*/
1589 : case t_REAL: case t_INT: case t_FRAC:
1590 14 : pari_err_DOMAIN("modular function", "Im(argument)", "<=", gen_0, x);
1591 7 : default:
1592 7 : pari_err_TYPE("modular function", x);
1593 : }
1594 82268 : l = precision(x); if (l) *prec = l;
1595 82268 : return x;
1596 : }
1597 :
1598 : static GEN
1599 42116 : qq(GEN x, long prec)
1600 : {
1601 42116 : long tx = typ(x);
1602 : GEN y;
1603 :
1604 42116 : if (is_scalar_t(tx))
1605 : {
1606 42074 : if (tx == t_PADIC) return x;
1607 42060 : x = upper_to_cx(x, &prec);
1608 42046 : return cxtoreal(expIPiC(gmul2n(x,1), prec)); /* e(x) */
1609 : }
1610 42 : if (! ( y = toser_i(x)) ) pari_err_TYPE("modular function", x);
1611 42 : return y;
1612 : }
1613 :
1614 : /* P = ellwpseries_aux(E4, E6, 0, kmax), where kmax >= k+2. Beware we use
1615 : * E4,E6 instead of c4,c6: coeffs rescale to (k-1) G_k / (2pi)^k */
1616 : static GEN
1617 392 : Ek_from_wp(GEN P, long k)
1618 : { /* P[k+2] = Ek * (k-1) * 2 zeta(k) / (2pi)^k = Ek * (k-1) * |B_k| / k! */
1619 392 : return gdiv(gmul(gel(P, k + 2), muliu(mpfact(k-2), k)),
1620 : absfrac_shallow(bernfrac(k)));
1621 : }
1622 : /* P = ellwpseries(e, kmax), where kmax >= k+2 */
1623 : static GEN
1624 231 : elleis_from_wp(GEN P, long k)
1625 231 : { return gneg(gmul(gel(P, k + 2), gdiv(muliu(mpfact(k-2), k), bernfrac(k)))); }
1626 :
1627 : /* k > 0 even, tau reduced (in particular Im tau > 0). Return
1628 : * E_k(tau) = 1 + 2/zeta(1-k) * sum_n n^(k-1) q^n/(1-q^n) */
1629 : GEN
1630 42385 : cxEk(GEN tau, long k, long prec)
1631 : {
1632 42385 : pari_sp av = avma;
1633 42385 : GEN P, y, E4 = NULL, E6 = NULL;
1634 : long b;
1635 :
1636 42385 : if ((b = precision(tau))) prec = b;
1637 42385 : if (gcmpgs(imag_i(tau), (M_LN2 / (2*M_PI)) * (prec2nbits(prec)+1+10)) > 0)
1638 17 : return real_1(prec);
1639 42368 : if (k == 2)
1640 : { /* -theta^(3)(tau/2) / theta^(1)(tau/2) */
1641 42039 : y = vecthetanullk_loop(qq(tau,prec), 2, prec);
1642 42039 : return gdiv(gel(y,2), gel(y,1));
1643 : }
1644 329 : if (k > 8) cxE4E6(tau, &E4, &E6, k < 16? prec: prec + EXTRAPREC64);
1645 329 : switch (k)
1646 : {
1647 21 : case 4: cxE4E6(tau, &E4, NULL, prec); return gc_GEN(av, E4);
1648 21 : case 6: cxE4E6(tau, NULL, &E6, prec); return gc_GEN(av, E6);
1649 14 : case 8: cxE4E6(tau, &E4, NULL, prec); return gc_upto(av, gsqr(E4));
1650 28 : case 10: return gc_upto(av, gmul(E4, E6));
1651 14 : case 12:
1652 : {
1653 14 : GEN e = gadd(gmulsg(441, gpowgs(E4,3)), gmulsg(250, gsqr(E6)));
1654 14 : return gc_upto(av, gdivgs(e, 691));
1655 : }
1656 14 : case 14: return gc_upto(av, gmul(gsqr(E4), E6));
1657 : }
1658 217 : P = ellwpseries_aux(E4, E6, 0, k + 2);
1659 217 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(Ek_from_wp(P, k), prec));
1660 : }
1661 :
1662 : static GEN
1663 4025 : E2_correction(ellred_t *T)
1664 4025 : { return gmul(mului(12, T->c), PiI2div(gmul(T->W2,T->w2), T->prec)); }
1665 :
1666 : /* Return y = (2iPi)^k E_k(L) = (2iPi/w2)^k E_k(tau), L = <w1,w2>, k > 0 even.
1667 : * Let G_k(L) = sum' 1/l^k = 2 zeta(k) E_k(L) = - y * B_k / k! then
1668 : * z^2 wp(L,z) = 1 + sum_{k > 1} (k-1)G_k z^k */
1669 : GEN
1670 4781 : elleisnum(GEN om, long k, long prec)
1671 : {
1672 4781 : pari_sp av = avma;
1673 : GEN y, w, Ek;
1674 : ellred_t T;
1675 :
1676 4781 : elleisnum_testk(k);
1677 4767 : if (checkell_i(om)) switch(k)
1678 : {
1679 14 : case 2:
1680 14 : y = ellR_eta(om, prec);
1681 14 : w = ellR_omega(om, prec);
1682 14 : return gc_upto(av, gdiv(gmulgs(gel(y,2), -12), gel(w,2)));
1683 14 : case 4: return gcopy(ell_get_c4(om));
1684 7 : case 6: return gneg(ell_get_c6(om));
1685 14 : default:
1686 14 : y = ellwpseries(om, 0, k + 2);
1687 14 : return gc_upto(av, elleis_from_wp(y, k));
1688 : }
1689 4718 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
1690 4718 : Ek = cxEk(T.Tau, k, T.prec);
1691 4718 : y = cxtoreal( gmul(Ek, gpowgs(PiI2div_sqr(T.W2, T.prec), k/2)));
1692 4718 : if (k==2 && signe(T.c)) y = gsub(y, E2_correction(&T));
1693 4718 : return gc_GEN(av, gprec_wtrunc(y, T.prec0));
1694 : }
1695 :
1696 : GEN
1697 448 : elleisnum0(GEN om, GEN k, long prec)
1698 : {
1699 448 : pari_sp av = avma;
1700 448 : GEN iW2, W, E4, E6, vG, P = NULL;
1701 : long i, l, kmax;
1702 : ellred_t T;
1703 :
1704 448 : if (typ(k) == t_INT) return elleisnum(om, itos(k), prec);
1705 28 : if (typ(k) != t_VEC || !RgV_is_ZV(k)) pari_err_TYPE("elleisnum",k);
1706 28 : l = lg(k); if (l == 2) retmkvec(elleisnum(om, itos(gel(k,1)), prec));
1707 28 : k = ZV_to_zv(k); kmax = 0;
1708 462 : for (i = 1; i < l; i++)
1709 : {
1710 441 : elleisnum_testk(k[i]);
1711 434 : if (k[i] > kmax) kmax = k[i];
1712 : }
1713 21 : if (checkell_i(om))
1714 : {
1715 14 : if (l == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
1716 14 : P = ellwpseries(om, 0, kmax + 2);
1717 14 : vG = cgetg(l, t_VEC);
1718 238 : for (i = 1; i < l; i++)
1719 : {
1720 224 : long ki = k[i];
1721 224 : gel(vG, i) = (ki == 2)? elleisnum(om, 2, prec) : elleis_from_wp(P, ki);
1722 : }
1723 14 : return gc_GEN(av, vG);
1724 : }
1725 7 : if (!get_periods(om, NULL, &T, prec)) pari_err_TYPE("elleisnum",om);
1726 7 : if (l == 1) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
1727 7 : cxE4E6(T.tau, &E4, &E6, kmax < 16? prec: prec + EXTRAPREC64);
1728 7 : if (kmax > 10) P = ellwpseries_aux(E4, E6, 0, kmax+2);
1729 7 : iW2 = PiI2div_sqr(T.W2, prec); /* (2iPi / W2)^2 */
1730 7 : W = gpowers0(iW2, kmax/2, iW2); /* .[k] = (2ipi/W2)^(2k) */
1731 7 : vG = cgetg(l, t_VEC);
1732 217 : for (i = 1; i < l; i++)
1733 : {
1734 210 : long ki = k[i];
1735 : GEN e, G;
1736 210 : switch(ki)
1737 : {
1738 7 : case 2: e = cxEk(T.Tau, 2, prec); break;
1739 7 : case 4: e = E4; break;
1740 7 : case 6: e = E6; break;
1741 7 : case 8: e = gsqr(E4); break;
1742 7 : case 10:e = gmul(E4, E6); break;
1743 175 : default: e = Ek_from_wp(P, ki);
1744 : }
1745 210 : G = cxtoreal( gmul(e, gel(W, ki/2)) ); /* (2iPi/W2)^ki E_k(W1/W2) */
1746 210 : if (ki == 2 && signe(T.c)) G = gsub(G, E2_correction(&T));
1747 210 : gel(vG, i) = gprec_wtrunc(G, T.prec0);
1748 : }
1749 7 : return gc_GEN(av, vG);
1750 : }
1751 :
1752 : /********************************************************************/
1753 : /** Eta function(s) and j-invariant **/
1754 : /********************************************************************/
1755 :
1756 : /* return (y * X^d) + x. Assume d > 0, x != 0, valser(x) = 0 */
1757 : static GEN
1758 21 : ser_addmulXn(GEN y, GEN x, long d)
1759 : {
1760 21 : long i, lx, ly, l = valser(y) + d; /* > 0 */
1761 : GEN z;
1762 :
1763 21 : lx = lg(x);
1764 21 : ly = lg(y) + l; if (lx < ly) ly = lx;
1765 21 : if (l > lx-2) return gcopy(x);
1766 21 : z = cgetg(ly,t_SER);
1767 77 : for (i=2; i<=l+1; i++) gel(z,i) = gel(x,i);
1768 70 : for ( ; i < ly; i++) gel(z,i) = gadd(gel(x,i),gel(y,i-l));
1769 21 : z[1] = x[1]; return z;
1770 : }
1771 :
1772 : /* q a t_POL s.t. q(0) != 0, v > 0, Q = x^v*q; return \prod_i (1-Q^i) */
1773 : static GEN
1774 28 : RgXn_eta(GEN q, long v, long lim)
1775 : {
1776 28 : pari_sp av = avma;
1777 : GEN qn, ps, y;
1778 : ulong vps, vqn, n;
1779 :
1780 28 : if (!degpol(q) && isint1(gel(q,2))) return eta_ZXn(v, lim+v);
1781 7 : y = qn = ps = pol_1(0);
1782 7 : vps = vqn = 0;
1783 7 : for(n = 0;; n++)
1784 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2),
1785 : * vps, vqn valuation of ps, qn HERE */
1786 14 : pari_sp av2 = avma;
1787 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v; /* valuation of t at END of loop body */
1788 : long k1, k2;
1789 : GEN t;
1790 14 : vqn += v; vps = vt + vqn; /* valuation of qn, ps at END of body */
1791 14 : k1 = lim + v - vt + 1;
1792 14 : k2 = k1 - vqn; /* = lim + v - vps + 1 */
1793 14 : if (k1 <= 0) break;
1794 14 : t = RgX_mul(q, RgX_sqr(qn));
1795 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1796 14 : t = RgX_mul(ps,t);
1797 14 : t = RgXn_red_shallow(t, k1);
1798 14 : t = RgX_neg(t); /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1799 14 : t = gc_upto(av2, t);
1800 14 : y = RgX_addmulXn_shallow(t, y, vt);
1801 14 : if (k2 <= 0) break;
1802 :
1803 7 : qn = RgX_mul(qn,q);
1804 7 : ps = RgX_mul(t,qn);
1805 7 : ps = RgXn_red_shallow(ps, k2);
1806 7 : y = RgX_addmulXn_shallow(ps, y, vps);
1807 :
1808 7 : if (gc_needed(av,1))
1809 : {
1810 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta, n = %ld", n);
1811 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1812 : }
1813 : }
1814 7 : return y;
1815 : }
1816 :
1817 : static GEN
1818 7639 : inteta(GEN q)
1819 : {
1820 7639 : long tx = typ(q);
1821 : GEN ps, qn, y;
1822 :
1823 7639 : y = gen_1; qn = gen_1; ps = gen_1;
1824 7639 : if (tx==t_PADIC)
1825 : {
1826 28 : if (valp(q) <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1827 : for(;;)
1828 56 : {
1829 77 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1830 77 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1831 77 : t = y;
1832 77 : y = gadd(y,ps); if (gequal(t,y)) return y;
1833 : }
1834 : }
1835 :
1836 7611 : if (tx == t_SER)
1837 : {
1838 : ulong vps, vqn;
1839 42 : long l = lg(q), v, n;
1840 : pari_sp av;
1841 :
1842 42 : v = valser(q); /* handle valuation separately to avoid overflow */
1843 42 : if (v <= 0) pari_err_DOMAIN("eta", "v_p(q)", "<=",gen_0,q);
1844 35 : y = ser2pol_i(q, l); /* t_SER inefficient when input has low degree */
1845 35 : n = degpol(y);
1846 35 : if (n <= (l>>2))
1847 : {
1848 28 : GEN z = RgXn_eta(y, v, l-2);
1849 28 : setvarn(z, varn(y)); return RgX_to_ser(z, l+v);
1850 : }
1851 7 : q = leafcopy(q); av = avma;
1852 7 : setvalser(q, 0);
1853 7 : y = scalarser(gen_1, varn(q), l+v);
1854 7 : vps = vqn = 0;
1855 7 : for(n = 0;; n++)
1856 7 : { /* qn = q^n, ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2) */
1857 14 : ulong vt = vps + 2*vqn + v;
1858 : long k;
1859 : GEN t;
1860 14 : t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1861 : /* t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1862 14 : y = ser_addmulXn(t, y, vt);
1863 14 : vqn += v; vps = vt + vqn;
1864 14 : k = l+v - vps; if (k <= 2) return y;
1865 :
1866 7 : qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1867 7 : y = ser_addmulXn(ps, y, vps);
1868 7 : setlg(q, k);
1869 7 : setlg(qn, k);
1870 7 : setlg(ps, k);
1871 7 : if (gc_needed(av,3))
1872 : {
1873 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1874 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1875 : }
1876 : }
1877 : }
1878 : {
1879 7569 : long l = -prec2nbits(precision(q));
1880 7569 : pari_sp av = avma;
1881 :
1882 : for(;;)
1883 20750 : {
1884 28319 : GEN t = gneg_i(gmul(ps,gmul(q,gsqr(qn))));
1885 : /* qn = q^n
1886 : * ps = (-1)^n q^(n(3n+1)/2)
1887 : * t = (-1)^(n+1) q^(n(3n+1)/2 + 2n+1) */
1888 28319 : y = gadd(y,t); qn = gmul(qn,q); ps = gmul(t,qn);
1889 28319 : y = gadd(y,ps);
1890 28319 : if (gexpo(ps)-gexpo(y) < l) return y;
1891 20750 : if (gc_needed(av,3))
1892 : {
1893 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"eta");
1894 0 : (void)gc_all(av, 3, &y, &qn, &ps);
1895 : }
1896 : }
1897 : }
1898 : }
1899 :
1900 : GEN
1901 77 : eta(GEN x, long prec)
1902 : {
1903 77 : pari_sp av = avma;
1904 77 : GEN z = inteta( qq(x,prec) );
1905 49 : if (typ(z) == t_SER) return gc_GEN(av, z);
1906 14 : return gc_upto(av, z);
1907 : }
1908 :
1909 : /* s(h,k) = sum(n = 1, k-1, (n/k)*(frac(h*n/k) - 1/2))
1910 : * Knuth's algorithm. h integer, k integer > 0, (h,k) = 1 */
1911 : GEN
1912 6300 : sumdedekind_coprime(GEN h, GEN k)
1913 : {
1914 6300 : pari_sp av = avma;
1915 : GEN s2, s1, p, pp;
1916 : long s;
1917 6300 : if (lgefint(k) == 3 && uel(k,2) <= (2*(ulong)LONG_MAX) / 3)
1918 : {
1919 6293 : ulong kk = k[2], hh = umodiu(h, kk);
1920 : long s1, s2;
1921 : GEN v;
1922 6293 : if (signe(k) < 0) { k = negi(k); hh = Fl_neg(hh, kk); }
1923 6293 : v = u_sumdedekind_coprime(hh, kk);
1924 6293 : s1 = v[1]; s2 = v[2];
1925 6293 : return gc_upto(av, gdiv(addis(mulis(k,s1), s2), muluu(12, kk)));
1926 : }
1927 7 : s = 1;
1928 7 : s1 = gen_0; p = gen_1; pp = gen_0;
1929 7 : s2 = h = modii(h, k);
1930 35 : while (signe(h)) {
1931 28 : GEN r, nexth, a = dvmdii(k, h, &nexth);
1932 28 : if (is_pm1(h)) s2 = s == 1? addii(s2, p): subii(s2, p);
1933 28 : s1 = s == 1? addii(s1, a): subii(s1, a);
1934 28 : s = -s;
1935 28 : k = h; h = nexth;
1936 28 : r = addii(mulii(a,p), pp); pp = p; p = r;
1937 : }
1938 : /* at this point p = original k */
1939 7 : if (s == -1) s1 = subiu(s1, 3);
1940 7 : return gc_upto(av, gdiv(addii(mulii(p,s1), s2), muliu(p,12)));
1941 : }
1942 : /* as above, for ulong arguments.
1943 : * k integer > 0, 0 <= h < k, (h,k) = 1. Returns [s1,s2] such that
1944 : * s(h,k) = (s2 + k s1) / (12k). Requires max(h + k/2, k) < LONG_MAX
1945 : * to avoid overflow, in particular k <= LONG_MAX * 2/3 is fine */
1946 : GEN
1947 6293 : u_sumdedekind_coprime(long h, long k)
1948 : {
1949 6293 : long s = 1, s1 = 0, s2 = h, p = 1, pp = 0;
1950 11466 : while (h) {
1951 5173 : long r, nexth = k % h, a = k / h; /* a >= 1, a >= 2 if h = 1 */
1952 5173 : if (h == 1) s2 += p * s; /* occurs exactly once, last step */
1953 5173 : s1 += a * s;
1954 5173 : s = -s;
1955 5173 : k = h; h = nexth;
1956 5173 : r = a*p + pp; pp = p; p = r; /* p >= pp >= 0 */
1957 : }
1958 : /* in the above computation, p increases from 1 to original k,
1959 : * -k/2 <= s2 <= h + k/2, and |s1| <= k */
1960 6293 : if (s < 0) s1 -= 3; /* |s1| <= k+3 ? */
1961 : /* But in fact, |s2 + p s1| <= k^2 + 1/2 - 3k; if (s < 0), we have
1962 : * |s2| <= k/2 and it follows that |s1| < k here as well */
1963 : /* p = k; s(h,k) = (s2 + p s1)/12p. */
1964 6293 : return mkvecsmall2(s1, s2);
1965 : }
1966 : GEN
1967 28 : sumdedekind(GEN h, GEN k)
1968 : {
1969 28 : pari_sp av = avma;
1970 : GEN d;
1971 28 : if (typ(h) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",h);
1972 28 : if (typ(k) != t_INT) pari_err_TYPE("sumdedekind",k);
1973 28 : d = gcdii(h,k);
1974 28 : if (!is_pm1(d))
1975 : {
1976 7 : h = diviiexact(h, d);
1977 7 : k = diviiexact(k, d);
1978 : }
1979 28 : return gc_upto(av, sumdedekind_coprime(h,k));
1980 : }
1981 :
1982 : /* eta(x); assume Im x >> 0 (e.g. x in SL2's standard fundamental domain) */
1983 : static GEN
1984 8477 : eta_reduced(GEN x, long prec)
1985 : {
1986 8477 : GEN z = expIPiC(gdivgu(x, 12), prec); /* e(x/24) */
1987 8477 : if (24 * gexpo(z) >= -prec2nbits(prec))
1988 7548 : z = gmul(z, inteta( gpowgs(z,24) ));
1989 8477 : return z;
1990 : }
1991 :
1992 : /* x = U.z (flag = 1), or x = U^(-1).z (flag = 0)
1993 : * Return [s,t] such that eta(z) = eta(x) * sqrt(s) * exp(I Pi t) */
1994 : static GEN
1995 8491 : eta_correction(GEN x, GEN U, long flag)
1996 : {
1997 : GEN a,b,c,d, s,t;
1998 : long sc;
1999 8491 : a = gcoeff(U,1,1);
2000 8491 : b = gcoeff(U,1,2);
2001 8491 : c = gcoeff(U,2,1);
2002 8491 : d = gcoeff(U,2,2);
2003 : /* replace U by U^(-1) */
2004 8491 : if (flag) {
2005 119 : swap(a,d);
2006 119 : togglesign_safe(&b);
2007 119 : togglesign_safe(&c);
2008 : }
2009 8491 : sc = signe(c);
2010 8491 : if (!sc) {
2011 2219 : if (signe(d) < 0) togglesign_safe(&b);
2012 2219 : s = gen_1;
2013 2219 : t = uutoQ(umodiu(b, 24), 12);
2014 : } else {
2015 6272 : if (sc < 0) {
2016 1764 : togglesign_safe(&a);
2017 1764 : togglesign_safe(&b);
2018 1764 : togglesign_safe(&c);
2019 1764 : togglesign_safe(&d);
2020 : } /* now c > 0 */
2021 6272 : s = mulcxmI(gadd(gmul(c,x), d));
2022 6272 : t = gadd(gdiv(addii(a,d),muliu(c,12)), sumdedekind_coprime(negi(d),c));
2023 : /* correction : exp(I Pi (((a+d)/12c) + s(-d,c)) ) sqrt(-i(cx+d)) */
2024 : }
2025 8491 : return mkvec2(s, t);
2026 : }
2027 :
2028 : /* returns the true value of eta(x) for Im(x) > 0, using reduction to
2029 : * standard fundamental domain */
2030 : GEN
2031 35 : trueeta(GEN x, long prec)
2032 : {
2033 35 : pari_sp av = avma;
2034 : GEN U, st, s, t;
2035 :
2036 35 : if (!is_scalar_t(typ(x))) pari_err_TYPE("trueeta",x);
2037 35 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2038 35 : x = cxredsl2(x, &U);
2039 35 : st = eta_correction(x, U, 1);
2040 35 : x = eta_reduced(x, prec);
2041 35 : s = gel(st, 1);
2042 35 : t = gel(st, 2);
2043 35 : x = gmul(x, expIPiQ(t, prec));
2044 35 : if (s != gen_1) x = gmul(x, gsqrt(s, prec));
2045 35 : return gc_upto(av, x);
2046 : }
2047 :
2048 : GEN
2049 112 : eta0(GEN x, long flag,long prec)
2050 112 : { return flag? trueeta(x,prec): eta(x,prec); }
2051 :
2052 : /* eta(q) = 1 + \sum_{n>0} (-1)^n * (q^(n(3n-1)/2) + q^(n(3n+1)/2)) */
2053 : static GEN
2054 7 : ser_eta(long prec)
2055 : {
2056 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
2057 : long n, j;
2058 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
2059 7 : gel(ed,0) = gen_1;
2060 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = gen_0;
2061 49 : for (n = 1, j = 0; n < prec; n++)
2062 : {
2063 : GEN s;
2064 49 : j += 3*n-2; /* = n*(3*n-1) / 2 */;
2065 49 : if (j >= prec) break;
2066 42 : s = odd(n)? gen_m1: gen_1;
2067 42 : gel(ed, j) = s;
2068 42 : if (j+n >= prec) break;
2069 42 : gel(ed, j+n) = s;
2070 : }
2071 7 : return e;
2072 : }
2073 :
2074 : static GEN
2075 476 : coeffEu(GEN fa)
2076 : {
2077 476 : pari_sp av = avma;
2078 476 : return gc_INT(av, mului(65520, usumdivk_fact(fa,11)));
2079 : }
2080 : /* E12 = 1 + q*E/691 */
2081 : static GEN
2082 7 : ser_E(long prec)
2083 : {
2084 7 : GEN e = cgetg(prec+2, t_SER), ed = e+2;
2085 7 : GEN F = vecfactoru_i(2, prec); /* F[n] = factoru(n+1) */
2086 : long n;
2087 7 : e[1] = evalsigne(1)|_evalvalser(0)|evalvarn(0);
2088 7 : gel(ed,0) = utoipos(65520);
2089 483 : for (n = 1; n < prec; n++) gel(ed,n) = coeffEu(gel(F,n));
2090 7 : return e;
2091 : }
2092 : /* j = E12/Delta + 432000/691, E12 = 1 + q*E/691 */
2093 : static GEN
2094 7 : ser_j2(long prec, long v)
2095 : {
2096 7 : pari_sp av = avma;
2097 7 : GEN iD = gpowgs(ginv(ser_eta(prec)), 24); /* q/Delta */
2098 7 : GEN J = gmul(ser_E(prec), iD);
2099 7 : setvalser(iD,-1); /* now 1/Delta */
2100 7 : J = gadd(gdivgu(J, 691), iD);
2101 7 : J = gc_upto(av, J);
2102 7 : if (prec > 1) gel(J,3) = utoipos(744);
2103 7 : setvarn(J,v); return J;
2104 : }
2105 :
2106 : /* j(q) = \sum_{n >= -1} c(n)q^n,
2107 : * \sum_{n = -1}^{N-1} c(n) (-10n \sigma_3(N-n) + 21 \sigma_5(N-n))
2108 : * = c(N) (N+1)/24 */
2109 : static GEN
2110 14 : ser_j(long prec, long v)
2111 : {
2112 : GEN j, J, S3, S5, F;
2113 : long i, n;
2114 14 : if (prec > 64) return ser_j2(prec, v);
2115 7 : S3 = cgetg(prec+1, t_VEC);
2116 7 : S5 = cgetg(prec+1,t_VEC);
2117 7 : F = vecfactoru_i(1, prec);
2118 35 : for (n = 1; n <= prec; n++)
2119 : {
2120 28 : GEN fa = gel(F,n);
2121 28 : gel(S3,n) = mului(10, usumdivk_fact(fa,3));
2122 28 : gel(S5,n) = mului(21, usumdivk_fact(fa,5));
2123 : }
2124 7 : J = cgetg(prec+2, t_SER),
2125 7 : J[1] = evalvarn(v)|evalsigne(1)|evalvalser(-1);
2126 7 : j = J+3;
2127 7 : gel(j,-1) = gen_1;
2128 7 : gel(j,0) = utoipos(744);
2129 7 : gel(j,1) = utoipos(196884);
2130 21 : for (n = 2; n < prec; n++)
2131 : {
2132 14 : pari_sp av = avma;
2133 14 : GEN c, s3 = gel(S3,n+1), s5 = gel(S5,n+1);
2134 14 : c = addii(s3, s5);
2135 49 : for (i = 0; i < n; i++)
2136 : {
2137 35 : s3 = gel(S3,n-i); s5 = gel(S5,n-i);
2138 35 : c = addii(c, mulii(gel(j,i), subii(s5, mului(i,s3))));
2139 : }
2140 14 : gel(j,n) = gc_INT(av, diviuexact(muliu(c,24), n+1));
2141 : }
2142 7 : return J;
2143 : }
2144 :
2145 : GEN
2146 42 : jell(GEN x, long prec)
2147 : {
2148 42 : long tx = typ(x);
2149 42 : pari_sp av = avma;
2150 : GEN q, h, U;
2151 :
2152 42 : if (!is_scalar_t(tx))
2153 : {
2154 : long v;
2155 21 : if (gequalX(x)) return ser_j(precdl, varn(x));
2156 21 : q = toser_i(x); if (!q) pari_err_TYPE("ellj",x);
2157 14 : v = fetch_var_higher();
2158 14 : h = ser_j(lg(q)-2, v);
2159 14 : h = gsubst(h, v, q);
2160 14 : delete_var(); return gc_upto(av, h);
2161 : }
2162 21 : if (tx == t_PADIC)
2163 : {
2164 7 : GEN p2, p1 = gdiv(inteta(gsqr(x)), inteta(x));
2165 7 : p1 = gmul2n(gsqr(p1),1);
2166 7 : p1 = gmul(x,gpowgs(p1,12));
2167 7 : p2 = gaddsg(768,gadd(gsqr(p1),gdivsg(4096,p1)));
2168 7 : p1 = gmulsg(48,p1);
2169 7 : return gc_upto(av, gadd(p2,p1));
2170 : }
2171 : /* Let h = Delta(2x) / Delta(x), then j(x) = (1 + 256h)^3 / h */
2172 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2173 7 : x = cxredsl2(x, &U); /* forget about Ua : j has weight 0 */
2174 : { /* cf eta_reduced, raised to power 24
2175 : * Compute
2176 : * t = (inteta(q(2x)) / inteta(q(x))) ^ 24;
2177 : * then
2178 : * h = t * (q(2x) / q(x) = t * q(x);
2179 : * but inteta(q) costly and useless if expo(q) << 1 => inteta(q) = 1.
2180 : * log_2 ( exp(-2Pi Im tau) ) < -prec2nbits(prec)
2181 : * <=> Im tau > prec2nbits(prec) * log(2) / 2Pi */
2182 7 : long C = (long)prec2nbits_mul(prec, M_LN2/(2*M_PI));
2183 7 : q = expIPiC(gmul2n(x,1), prec); /* e(x) */
2184 7 : if (gcmpgs(gel(x,2), C) > 0) /* eta(q(x)) = 1 : no need to compute q(2x) */
2185 0 : h = q;
2186 : else
2187 : {
2188 7 : GEN t = gdiv(inteta(gsqr(q)), inteta(q));
2189 7 : h = gmul(q, gpowgs(t, 24));
2190 : }
2191 : }
2192 : /* real_1 important ! gaddgs(, 1) could increase the accuracy ! */
2193 7 : return gc_upto(av, gdiv(gpowgs(gadd(gmul2n(h,8), real_1(prec)), 3), h));
2194 : }
2195 :
2196 : static GEN
2197 8372 : to_form(GEN a, GEN w, GEN C, GEN D)
2198 8372 : { return mkqfb(a, w, diviiexact(C, a), D); }
2199 : static GEN
2200 8372 : form_to_quad(GEN f, GEN sqrtD)
2201 : {
2202 8372 : long a = itos(gel(f,1)), a2 = a << 1;
2203 8372 : GEN b = gel(f,2);
2204 8372 : return mkcomplex(gdivgs(b, -a2), gdivgs(sqrtD, a2));
2205 : }
2206 : static GEN
2207 8372 : eta_form(GEN f, GEN sqrtD, GEN *s_t, long prec)
2208 : {
2209 8372 : GEN U, t = form_to_quad(redimagsl2(f, &U), sqrtD);
2210 8372 : *s_t = eta_correction(t, U, 0);
2211 8372 : return eta_reduced(t, prec);
2212 : }
2213 :
2214 : /* eta(t/p)eta(t/q) / (eta(t)eta(t/pq)), t = (-w + sqrt(D)) / 2a */
2215 : GEN
2216 2093 : double_eta_quotient(GEN a, GEN w, GEN D, long p, long q, GEN pq, GEN sqrtD)
2217 : {
2218 2093 : GEN C = shifti(subii(sqri(w), D), -2);
2219 : GEN d, t, z, zp, zq, zpq, s_t, s_tp, s_tpq, s, sp, spq;
2220 2093 : long prec = realprec(sqrtD);
2221 :
2222 2093 : z = eta_form(to_form(a, w, C, D), sqrtD, &s_t, prec);
2223 2093 : s = gel(s_t, 1);
2224 2093 : zp = eta_form(to_form(mului(p, a), w, C, D), sqrtD, &s_tp, prec);
2225 2093 : sp = gel(s_tp, 1);
2226 2093 : zpq = eta_form(to_form(mulii(pq, a), w, C, D), sqrtD, &s_tpq, prec);
2227 2093 : spq = gel(s_tpq, 1);
2228 2093 : if (p == q) {
2229 0 : z = gdiv(gsqr(zp), gmul(z, zpq));
2230 0 : t = gsub(gmul2n(gel(s_tp,2), 1),
2231 0 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2232 0 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, sp);
2233 : } else {
2234 : GEN s_tq, sq;
2235 2093 : zq = eta_form(to_form(mului(q, a), w, C, D), sqrtD, &s_tq, prec);
2236 2093 : sq = gel(s_tq, 1);
2237 2093 : z = gdiv(gmul(zp, zq), gmul(z, zpq));
2238 2093 : t = gsub(gadd(gel(s_tp,2), gel(s_tq,2)),
2239 2093 : gadd(gel(s_t,2), gel(s_tpq,2)));
2240 2093 : if (sp != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sp, prec));
2241 2093 : if (sq != gen_1) z = gmul(z, gsqrt(sq, prec));
2242 : }
2243 2093 : d = NULL;
2244 2093 : if (s != gen_1) d = gsqrt(s, prec);
2245 2093 : if (spq != gen_1) {
2246 2065 : GEN x = gsqrt(spq, prec);
2247 2065 : d = d? gmul(d, x): x;
2248 : }
2249 2093 : if (d) z = gdiv(z, d);
2250 2093 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
2251 : }
2252 :
2253 : typedef struct { GEN u; long v, t; } cxanalyze_t;
2254 :
2255 : /* Check whether a t_COMPLEX, t_REAL or t_INT z != 0 can be written as
2256 : * z = u * 2^(v/2) * exp(I Pi/4 t), u > 0, v = 0,1 and -3 <= t <= 4.
2257 : * Allow z t_INT/t_REAL to simplify handling of eta_correction() output */
2258 : static int
2259 84 : cxanalyze(cxanalyze_t *T, GEN z)
2260 : {
2261 : GEN a, b;
2262 : long ta, tb;
2263 :
2264 84 : T->u = z;
2265 84 : T->v = 0;
2266 84 : if (is_intreal_t(typ(z)))
2267 : {
2268 70 : T->u = mpabs_shallow(z);
2269 70 : T->t = signe(z) < 0? 4: 0;
2270 70 : return 1;
2271 : }
2272 14 : a = gel(z,1); ta = typ(a);
2273 14 : b = gel(z,2); tb = typ(b);
2274 :
2275 14 : T->t = 0;
2276 14 : if (ta == t_INT && !signe(a))
2277 : {
2278 0 : T->u = R_abs_shallow(b);
2279 0 : T->t = gsigne(b) < 0? -2: 2;
2280 0 : return 1;
2281 : }
2282 14 : if (tb == t_INT && !signe(b))
2283 : {
2284 0 : T->u = R_abs_shallow(a);
2285 0 : T->t = gsigne(a) < 0? 4: 0;
2286 0 : return 1;
2287 : }
2288 14 : if (ta != tb || ta == t_REAL) return 0;
2289 : /* a,b both non zero, both t_INT or t_FRAC */
2290 14 : if (ta == t_INT)
2291 : {
2292 7 : if (!absequalii(a, b)) return 0;
2293 7 : T->u = absi_shallow(a);
2294 7 : T->v = 1;
2295 7 : if (signe(a) == signe(b))
2296 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2297 : else
2298 7 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2299 : }
2300 : else
2301 : {
2302 7 : if (!absequalii(gel(a,2), gel(b,2)) || !absequalii(gel(a,1),gel(b,1)))
2303 7 : return 0;
2304 0 : T->u = absfrac_shallow(a);
2305 0 : T->v = 1;
2306 0 : a = gel(a,1);
2307 0 : b = gel(b,1);
2308 0 : if (signe(a) == signe(b))
2309 0 : { T->t = signe(a) < 0? -3: 1; }
2310 : else
2311 0 : { T->t = signe(a) < 0? 3: -1; }
2312 : }
2313 7 : return 1;
2314 : }
2315 :
2316 : /* z * sqrt(st_b) / sqrt(st_a) exp(I Pi (t + t0)). Assume that
2317 : * sqrt2 = gsqrt(gen_2, prec) or NULL */
2318 : static GEN
2319 42 : apply_eta_correction(GEN z, GEN st_a, GEN st_b, GEN t0, GEN sqrt2, long prec)
2320 : {
2321 42 : GEN t, s_a = gel(st_a, 1), s_b = gel(st_b, 1);
2322 : cxanalyze_t Ta, Tb;
2323 : int ca, cb;
2324 :
2325 42 : t = gsub(gel(st_b,2), gel(st_a,2));
2326 42 : if (t0 != gen_0) t = gadd(t, t0);
2327 42 : ca = cxanalyze(&Ta, s_a);
2328 42 : cb = cxanalyze(&Tb, s_b);
2329 42 : if (ca || cb)
2330 42 : { /* compute sqrt(s_b) / sqrt(s_a) in a more efficient way:
2331 : * sb = ub sqrt(2)^vb exp(i Pi/4 tb) */
2332 42 : GEN u = gdiv(Tb.u,Ta.u);
2333 42 : switch(Tb.v - Ta.v)
2334 : {
2335 0 : case -1: u = gmul2n(u,-1); /* fall through: write 1/sqrt2 = sqrt2/2 */
2336 7 : case 1: u = gmul(u, sqrt2? sqrt2: sqrtr_abs(real2n(1, prec)));
2337 : }
2338 42 : if (!isint1(u)) z = gmul(z, gsqrt(u, prec));
2339 42 : t = gadd(t, gmul2n(stoi(Tb.t - Ta.t), -3));
2340 : }
2341 : else
2342 : {
2343 0 : z = gmul(z, gsqrt(s_b, prec));
2344 0 : z = gdiv(z, gsqrt(s_a, prec));
2345 : }
2346 42 : return gmul(z, expIPiQ(t, prec));
2347 : }
2348 :
2349 : /* sqrt(2) eta(2x) / eta(x) */
2350 : GEN
2351 14 : weberf2(GEN x, long prec)
2352 : {
2353 14 : pari_sp av = avma;
2354 : GEN z, sqrt2, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2355 :
2356 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2357 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2358 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,1), &Ub);
2359 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2360 0 : z = gen_1;
2361 : else
2362 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2363 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2364 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2365 14 : sqrt2 = sqrtr_abs(real2n(1, prec));
2366 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, sqrt2, prec);
2367 14 : return gc_upto(av, gmul(z, sqrt2));
2368 : }
2369 :
2370 : /* eta(x/2) / eta(x) */
2371 : GEN
2372 14 : weberf1(GEN x, long prec)
2373 : {
2374 14 : pari_sp av = avma;
2375 : GEN z, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2376 :
2377 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2378 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2379 14 : b = cxredsl2(gmul2n(x,-1), &Ub);
2380 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2381 0 : z = gen_1;
2382 : else
2383 14 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2384 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2385 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2386 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, gen_0, NULL, prec);
2387 14 : return gc_upto(av, z);
2388 : }
2389 : /* exp(-I*Pi/24) * eta((x+1)/2) / eta(x) */
2390 : GEN
2391 14 : weberf(GEN x, long prec)
2392 : {
2393 14 : pari_sp av = avma;
2394 : GEN z, t0, a,b, Ua,Ub, st_a,st_b;
2395 14 : x = upper_to_cx(x, &prec);
2396 14 : a = cxredsl2(x, &Ua);
2397 14 : b = cxredsl2(gmul2n(gaddgs(x,1),-1), &Ub);
2398 14 : if (gequal(a,b)) /* not infrequent */
2399 7 : z = gen_1;
2400 : else
2401 7 : z = gdiv(eta_reduced(b,prec), eta_reduced(a,prec));
2402 14 : st_a = eta_correction(a, Ua, 1);
2403 14 : st_b = eta_correction(b, Ub, 1);
2404 14 : t0 = mkfrac(gen_m1, utoipos(24));
2405 14 : z = apply_eta_correction(z, st_a, st_b, t0, NULL, prec);
2406 14 : if (typ(z) == t_COMPLEX && isexactzero(real_i(x)))
2407 0 : z = gc_GEN(av, gel(z,1));
2408 : else
2409 14 : z = gc_upto(av, z);
2410 14 : return z;
2411 : }
2412 : GEN
2413 42 : weber0(GEN x, long flag,long prec)
2414 : {
2415 42 : switch(flag)
2416 : {
2417 14 : case 0: return weberf(x,prec);
2418 14 : case 1: return weberf1(x,prec);
2419 14 : case 2: return weberf2(x,prec);
2420 0 : default: pari_err_FLAG("weber");
2421 : }
2422 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2423 : }
2424 :
2425 : /********************************************************************/
2426 : /** Jacobi sn, cn, dn **/
2427 : /********************************************************************/
2428 :
2429 : static GEN
2430 42 : elljacobi_cx(GEN z, GEN k, long prec)
2431 : {
2432 42 : GEN K = ellK(k, prec), Kp = ellK(gsqrt(gsubsg(1, gsqr(k)), prec), prec);
2433 42 : GEN zet = gdiv(gmul2n(z, -1), K), tau = mulcxI(gdiv(Kp, K));
2434 42 : GEN T0, T = thetaall(zet, tau, &T0, prec);
2435 42 : GEN t1 = gneg(gel(T,4)), t2 = gel(T,3), t3 = gel(T,1), t4 = gel(T,2);
2436 42 : GEN z2 = gel(T0,3), z3 = gel(T0,1), z4 = gel(T0,2), z2t4 = gmul(z2, t4);
2437 : GEN SN, CN, DN;
2438 42 : SN = gdiv(gmul(z3, t1), z2t4);
2439 42 : CN = gdiv(gmul(z4, t2), z2t4);
2440 42 : DN = gdiv(gmul(z4, t3), gmul(z3, t4));
2441 42 : return mkvec3(SN, CN, DN);
2442 : }
2443 :
2444 : /* N >= 1 */
2445 : static GEN
2446 14 : elljacobi_pol(long N, GEN k)
2447 : {
2448 14 : GEN S = cgetg(N, t_VEC), C = cgetg(N+1, t_VEC), D = cgetg(N+1, t_VEC);
2449 14 : GEN SS, SC, SD, F, P, k2 = gsqr(k);
2450 : long n, j;
2451 14 : if (N == 1)
2452 : {
2453 7 : SS = cgetg(2, t_SER); SS[1] = evalsigne(0) | _evalvalser(1);
2454 7 : SC = cgetg(4, t_SER); SC[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2455 7 : SD = cgetg(4, t_SER); SD[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2456 7 : gel(SC, 2) = gel(SD, 2) = gen_1;
2457 7 : gel(SC, 3) = gel(SD, 3) = gen_0; return mkvec3(SS, SC, SD);
2458 : }
2459 : /* N > 1 */
2460 7 : gel(C,1) = gel(D,1) = gel(S,1) = gen_1;
2461 7 : P = matqpascal(2*N-1, NULL);
2462 63 : for (n = 1; n < N; n++)
2463 : {
2464 : GEN TD, TC, TS;
2465 63 : TC = gmulgs(gel(D, n), 2*n-1);
2466 63 : TD = gmulgs(gel(C, n), 2*n-1); /* j = 0 */
2467 315 : for (j = 1; j < n; j++)
2468 : {
2469 252 : GEN a = gmul(gcoeff(P, 1 + 2*n-1, 1 + 2*j+1), gel(S, j+1));
2470 252 : TC = gadd(TC, gmul(a, gel(D, n-j)));
2471 252 : TD = gadd(TD, gmul(a, gel(C, n-j)));
2472 : }
2473 63 : gel(C, n+1) = TC;
2474 63 : gel(D, n+1) = gmul(TD, k2);
2475 63 : if (n+1 == N) break;
2476 56 : TS = gadd(gel(C, n+1), gel(D, n+1)); /* j = 0 and n */
2477 252 : for (j = 1; j < n; j++)
2478 196 : TS = gadd(TS, gmul3(gcoeff(P, 1+2*n, 1+2*j), gel(C,j+1), gel(D,n+1-j)));
2479 56 : gel(S, n+1) = TS;
2480 : }
2481 7 : F = cgetg(2*N, t_VEC); gel(F,1) = gen_1;
2482 133 : for (j = 2; j < 2*N; j++) gel(F,j) = mulis(gel(F,j-1), odd(j)? j: -j);
2483 7 : SS = cgetg(2*N, t_SER); SS[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(1);
2484 7 : SC = cgetg(2*N+2, t_SER); SC[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2485 7 : SD = cgetg(2*N+2, t_SER); SD[1] = evalsigne(1) | _evalvalser(0);
2486 7 : gel(SC, 2) = gel(SD, 2) = gel(SS, 2) = gen_1;
2487 7 : gel(SC, 3) = gel(SD, 3) = gel(SS, 3) = gen_0;
2488 70 : for (j = 2; j <= N; j++)
2489 : {
2490 63 : GEN q = gel(F, 2*j-2); /* (-1)^(j-1) (2j-2)! */
2491 63 : gel(SC, 2*j) = gdiv(gel(C,j), q);
2492 63 : gel(SD, 2*j) = gdiv(gel(D,j), q);
2493 63 : gel(SC, 2*j+1) = gen_0;
2494 63 : gel(SD, 2*j+1) = gen_0;
2495 63 : if (j < N)
2496 : {
2497 56 : q = gel(F, 2*j-1); /* (-1)^(j-1) (2j-1)! */
2498 56 : gel(SS, 2*j) = gdiv(gel(S,j), q);
2499 56 : gel(SS, 2*j+1) = gen_0;
2500 : }
2501 : }
2502 7 : return mkvec3(SS, SC, SD);
2503 : }
2504 :
2505 : GEN
2506 70 : elljacobi(GEN z, GEN k, long prec)
2507 : {
2508 70 : pari_sp av = avma;
2509 70 : long N = (precdl + 3) >> 1;
2510 70 : if (!z) z = pol_x(0);
2511 70 : switch (typ(z))
2512 : {
2513 0 : case t_QUAD: z = gtofp(z, prec); /* fall through */
2514 42 : case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX:
2515 42 : return gc_GEN(av, elljacobi_cx(z, k, prec)); break;
2516 7 : case t_POL:
2517 7 : if (lg(z) > 2 && !gequal0(gel(z,2)))
2518 7 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2519 0 : break;
2520 7 : case t_RFRAC:
2521 : {
2522 7 : GEN b = gel(z,2);
2523 7 : if (gequal0(gel(b,2)) || !gequal0(gsubst(gel(z,1), varn(b), gen_0)))
2524 7 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2525 0 : break;
2526 : }
2527 14 : case t_SER:
2528 14 : if (valser(z) <= 0)
2529 0 : pari_err(e_IMPL, "elljacobi(t_SER) away from 0");
2530 14 : N = lg(z) - 1; break;
2531 0 : default: pari_err_TYPE("elljacobi", z);
2532 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2533 : }
2534 14 : return gc_upto(av, gsubst(elljacobi_pol(N, k), 0, z));
2535 : }
|
