Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 : #include "pari.h"
15 : #include "paripriv.h"
16 :
17 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_alg
18 :
19 : #define dbg_printf(lvl) if (DEBUGLEVEL >= (lvl) + 3) err_printf
20 :
21 : /********************************************************************/
22 : /** **/
23 : /** ASSOCIATIVE ALGEBRAS, CENTRAL SIMPLE ALGEBRAS **/
24 : /** contributed by Aurel Page (2014) **/
25 : /** **/
26 : /********************************************************************/
27 : static GEN alg_subalg(GEN al, GEN basis);
28 : static GEN alg_maximal_primes(GEN al, GEN P);
29 : static GEN algnatmultable(GEN al, long D);
30 : static GEN _tablemul_ej(GEN mt, GEN x, long j);
31 : static GEN _tablemul_ej_Fp(GEN mt, GEN x, long j, GEN p);
32 : static GEN _tablemul_ej_Fl(GEN mt, GEN x, long j, ulong p);
33 : static ulong algtracei(GEN mt, ulong p, ulong expo, ulong modu);
34 : static GEN alg_pmaximal(GEN al, GEN p);
35 : static GEN alg_maximal(GEN al);
36 : static GEN algtracematrix(GEN al);
37 : static GEN algtableinit_i(GEN mt0, GEN p);
38 : static GEN algbasisrightmultable(GEN al, GEN x);
39 : static GEN algbasismul(GEN al, GEN x, GEN y);
40 : static GEN algbasismultable(GEN al, GEN x);
41 : static GEN algbasismultable_Flm(GEN mt, GEN x, ulong m);
42 : static GEN algeltfromnf_i(GEN al, GEN x);
43 : static void computesplitting(GEN al, long d, long v, long flag);
44 : static GEN alg_change_overorder_shallow(GEN al, GEN ord);
45 :
46 : static GEN H_inv(GEN x);
47 : static GEN H_norm(GEN x, long abs);
48 : static GEN H_trace(GEN x, long abs);
49 :
50 : static int
51 1411465 : checkalg_i(GEN al)
52 : {
53 : GEN mt, rnf;
54 : long t;
55 1411465 : if (typ(al) != t_VEC || lg(al) != 12) return 0;
56 1411136 : mt = alg_get_multable(al);
57 1411136 : if (typ(mt) != t_VEC || lg(mt) == 1 || typ(gel(mt,1)) != t_MAT) return 0;
58 1411115 : rnf = alg_get_splittingfield(al);
59 1411115 : if (isintzero(rnf) || !gequal0(alg_get_char(al)))
60 543933 : return 1;
61 867182 : if (typ(gel(al,2)) != t_VEC || lg(gel(al,2)) == 1) return 0;
62 : /* not checkrnf_i: beware placeholder from alg_csa_table */
63 867175 : t = typ(rnf);
64 867175 : return t==t_COMPLEX || t==t_REAL || (t==t_VEC && lg(rnf)==13);
65 : }
66 : void
67 1538809 : checkalg(GEN al)
68 : {
69 1538809 : if (al && !checkalg_i(al))
70 203 : pari_err_TYPE("checkalg [please apply alginit()]",al);
71 1538606 : }
72 :
73 : static int
74 186858 : checklat_i(GEN al, GEN lat)
75 : {
76 : long N,i,j;
77 : GEN m,t,c;
78 186858 : if (typ(lat)!=t_VEC || lg(lat) != 3) return 0;
79 186858 : t = gel(lat,2);
80 186858 : if (typ(t) != t_INT && typ(t) != t_FRAC) return 0;
81 186858 : if (gsigne(t)<=0) return 0;
82 186858 : m = gel(lat,1);
83 186858 : if (typ(m) != t_MAT) return 0;
84 186858 : N = alg_get_absdim(al);
85 186858 : if (lg(m)-1 != N || lg(gel(m,1))-1 != N) return 0;
86 1686020 : for (i=1; i<=N; i++)
87 14154399 : for (j=1; j<=N; j++) {
88 12655237 : c = gcoeff(m,i,j);
89 12655237 : if (typ(c) != t_INT) return 0;
90 12655237 : if (j<i && signe(gcoeff(m,i,j))) return 0;
91 12655237 : if (i==j && !signe(gcoeff(m,i,j))) return 0;
92 : }
93 186851 : return 1;
94 : }
95 186858 : void checklat(GEN al, GEN lat)
96 186858 : { if (!checklat_i(al,lat)) pari_err_TYPE("checklat [please apply alglathnf()]", lat); }
97 :
98 : /** ACCESSORS **/
99 : long
100 10007257 : alg_type(GEN al)
101 : {
102 : long t;
103 10007257 : if (!al) return al_REAL;
104 9877064 : t = typ(alg_get_splittingfield(al));
105 9877064 : if (t==t_REAL || t==t_COMPLEX) return al_REAL;
106 9873543 : if (isintzero(alg_get_splittingfield(al)) || !gequal0(alg_get_char(al))) return al_TABLE;
107 7704166 : switch(typ(gmael(al,2,1))) {
108 1691116 : case t_MAT: return al_CSA;
109 6013015 : case t_INT:
110 : case t_FRAC:
111 : case t_POL:
112 6013015 : case t_POLMOD: return al_CYCLIC;
113 35 : default: return al_NULL;
114 : }
115 : return -1; /*LCOV_EXCL_LINE*/
116 : }
117 : long
118 2254 : algtype(GEN al)
119 2254 : { return checkalg_i(al)? alg_type(al): al_NULL; }
120 :
121 : static long /* is a square special case? */
122 1183 : alg_is_asq(GEN al) { return typ(gmael(al,6,1)) == t_VEC; }
123 :
124 : /* absdim == dim for al_TABLE. */
125 : static long
126 259 : algreal_dim(GEN al)
127 : {
128 259 : switch(lg(alg_get_multable(al))) {
129 161 : case 2: case 3: return 1;
130 91 : case 5: return 4;
131 7 : default: pari_err_TYPE("algreal_dim", al);
132 : }
133 : return -1; /*LCOV_EXCL_LINE*/
134 : }
135 : long
136 410673 : alg_get_dim(GEN al)
137 : {
138 : long d;
139 410673 : if (!al) return 4;
140 410673 : switch(alg_type(al)) {
141 19478 : case al_TABLE: return lg(alg_get_multable(al))-1;
142 391083 : case al_CSA: return lg(alg_get_relmultable(al))-1;
143 77 : case al_CYCLIC: d = alg_get_degree(al); return d*d;
144 28 : case al_REAL: return algreal_dim(al);
145 7 : default: pari_err_TYPE("alg_get_dim", al);
146 : }
147 : return -1; /*LCOV_EXCL_LINE*/
148 : }
149 :
150 : long
151 2562139 : alg_get_absdim(GEN al)
152 : {
153 2562139 : if (!al) return 4;
154 2515421 : switch(alg_type(al)) {
155 924099 : case al_TABLE: case al_REAL: return lg(alg_get_multable(al))-1;
156 198884 : case al_CSA: return alg_get_dim(al)*nf_get_degree(alg_get_center(al));
157 1392431 : case al_CYCLIC:
158 1392431 : return rnf_get_absdegree(alg_get_splittingfield(al))*alg_get_degree(al);
159 7 : default: pari_err_TYPE("alg_get_absdim", al);
160 : }
161 : return -1;/*LCOV_EXCL_LINE*/
162 : }
163 :
164 : long
165 6216 : algdim(GEN al, long abs)
166 : {
167 6216 : checkalg(al);
168 6195 : if (abs) return alg_get_absdim(al);
169 5551 : return alg_get_dim(al);
170 : }
171 :
172 : /* only cyclic */
173 : GEN
174 20937 : alg_get_auts(GEN al)
175 : {
176 20937 : long ta = alg_type(al);
177 20937 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_REAL)
178 0 : pari_err_TYPE("alg_get_auts [noncyclic algebra]", al);
179 20937 : return gel(al,2);
180 : }
181 : GEN
182 1169 : alg_get_aut(GEN al)
183 : {
184 1169 : long ta = alg_type(al);
185 1169 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_REAL)
186 28 : pari_err_TYPE("alg_get_aut [noncyclic algebra]", al);
187 1141 : return gel(alg_get_auts(al),1);
188 : }
189 : GEN
190 63 : algaut(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_aut(al); }
191 : GEN
192 19992 : alg_get_b(GEN al)
193 : {
194 19992 : long ta = alg_type(al);
195 19992 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_REAL)
196 28 : pari_err_TYPE("alg_get_b [noncyclic algebra]", al);
197 19964 : return gel(al,3);
198 : }
199 : GEN
200 91 : algb(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_b(al); }
201 :
202 : /* only CSA */
203 : GEN
204 394009 : alg_get_relmultable(GEN al)
205 : {
206 394009 : if (alg_type(al) != al_CSA)
207 14 : pari_err_TYPE("alg_get_relmultable [algebra not given via mult. table]", al);
208 393995 : return gel(al,2);
209 : }
210 : GEN
211 70 : algrelmultable(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_relmultable(al); }
212 : GEN
213 84 : alg_get_splittingdata(GEN al)
214 : {
215 84 : if (alg_type(al) != al_CSA)
216 14 : pari_err_TYPE("alg_get_splittingdata [algebra not given via mult. table]",al);
217 70 : return gel(al,3);
218 : }
219 : GEN
220 84 : algsplittingdata(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_splittingdata(al); }
221 : GEN
222 4347 : alg_get_splittingbasis(GEN al)
223 : {
224 4347 : if (alg_type(al) != al_CSA)
225 0 : pari_err_TYPE("alg_get_splittingbasis [algebra not given via mult. table]",al);
226 4347 : return gmael(al,3,2);
227 : }
228 : GEN
229 4347 : alg_get_splittingbasisinv(GEN al)
230 : {
231 4347 : if (alg_type(al) != al_CSA)
232 0 : pari_err_TYPE("alg_get_splittingbasisinv [algebra not given via mult. table]",al);
233 4347 : return gmael(al,3,3);
234 : }
235 :
236 : /* only cyclic and CSA */
237 : GEN
238 25824049 : alg_get_splittingfield(GEN al) { return gel(al,1); }
239 : GEN
240 161 : algsplittingfield(GEN al)
241 : {
242 : long ta;
243 161 : checkalg(al);
244 161 : ta = alg_type(al);
245 161 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA && ta != al_REAL)
246 7 : pari_err_TYPE("alg_get_splittingfield [use alginit]",al);
247 154 : return alg_get_splittingfield(al);
248 : }
249 : long
250 2495165 : alg_get_degree(GEN al)
251 : {
252 : long ta;
253 2495165 : ta = alg_type(al);
254 2495165 : if (ta == al_REAL) return algreal_dim(al)==1? 1 : 2;
255 2495081 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA)
256 21 : pari_err_TYPE("alg_get_degree [use alginit]",al);
257 2495060 : return rnf_get_degree(alg_get_splittingfield(al));
258 : }
259 : long
260 679 : algdegree(GEN al)
261 : {
262 679 : checkalg(al);
263 672 : return alg_get_degree(al);
264 : }
265 :
266 : GEN
267 542462 : alg_get_center(GEN al)
268 : {
269 : long ta;
270 542462 : ta = alg_type(al);
271 542462 : if (ta == al_REAL)
272 : {
273 28 : if (algreal_dim(al) != 4) return alg_get_splittingfield(al);
274 14 : return stor(1, LOWDEFAULTPREC);
275 : }
276 542434 : if (ta != al_CSA && ta != al_CYCLIC)
277 14 : pari_err_TYPE("alg_get_center [use alginit]",al);
278 542420 : return rnf_get_nf(alg_get_splittingfield(al));
279 : }
280 : GEN
281 315 : alg_get_splitpol(GEN al)
282 : {
283 315 : long ta = alg_type(al);
284 315 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA)
285 0 : pari_err_TYPE("alg_get_splitpol [use alginit]",al);
286 315 : return rnf_get_pol(alg_get_splittingfield(al));
287 : }
288 : GEN
289 102957 : alg_get_abssplitting(GEN al)
290 : {
291 102957 : long ta = alg_type(al), prec;
292 102957 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA)
293 0 : pari_err_TYPE("alg_get_abssplitting [use alginit]",al);
294 102957 : prec = nf_get_prec(alg_get_center(al));
295 102957 : return rnf_build_nfabs(alg_get_splittingfield(al), prec);
296 : }
297 : GEN
298 2198 : alg_get_hasse_i(GEN al)
299 : {
300 2198 : long ta = alg_type(al);
301 2198 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA && ta != al_REAL)
302 7 : pari_err_TYPE("alg_get_hasse_i [use alginit]",al);
303 2191 : if (ta == al_CSA && !alg_is_asq(al))
304 21 : pari_err_IMPL("computation of Hasse invariants over table CSA");
305 2170 : return gel(al,4);
306 : }
307 : GEN
308 266 : alghassei(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_hasse_i(al); }
309 : GEN
310 4550 : alg_get_hasse_f(GEN al)
311 : {
312 4550 : long ta = alg_type(al);
313 : GEN hf;
314 4550 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA)
315 7 : pari_err_TYPE("alg_get_hasse_f [use alginit]",al);
316 4543 : if (ta == al_CSA && !alg_is_asq(al))
317 7 : pari_err_IMPL("computation of Hasse invariants over table CSA");
318 4536 : hf = gel(al,5);
319 4536 : if (typ(hf) == t_INT) /* could be computed on the fly */
320 35 : pari_err(e_MISC, "Hasse invariants were not computed for this algebra");
321 4501 : return hf;
322 : }
323 : GEN
324 364 : alghassef(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_hasse_f(al); }
325 :
326 : /* all types */
327 : GEN
328 3297 : alg_get_basis(GEN al) { return gel(al,7); }
329 : GEN
330 154 : algbasis(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_basis(al); }
331 : GEN
332 86738 : alg_get_invbasis(GEN al) { return gel(al,8); }
333 : GEN
334 84 : alginvbasis(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_invbasis(al); }
335 : GEN
336 3757027 : alg_get_multable(GEN al) { return gel(al,9); }
337 : GEN
338 308 : algmultable(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_multable(al); }
339 : GEN
340 11651584 : alg_get_char(GEN al) { if (!al) return gen_0; return gel(al,10); }
341 : GEN
342 112 : algchar(GEN al) { checkalg(al); return alg_get_char(al); }
343 : GEN
344 652287 : alg_get_tracebasis(GEN al) { return gel(al,11); }
345 : GEN
346 3774 : alg_get_invol(GEN al) { return gmael(al,6,2); }
347 :
348 : /* lattices */
349 : GEN
350 251188 : alglat_get_primbasis(GEN lat) { return gel(lat,1); }
351 : GEN
352 296779 : alglat_get_scalar(GEN lat) { return gel(lat,2); }
353 :
354 : /* algmodpr */
355 : GEN
356 3948 : algmodpr_get_pr(GEN data) { return gel(data,1); }
357 : long
358 5005 : algmodpr_get_k(GEN data) { return gel(data,2)[1]; } /* target M_k(F_p^m) */
359 : long
360 2219 : algmodpr_get_m(GEN data) { return gel(data,2)[2]; } /* target M_k(F_p^m) */
361 : GEN
362 1715 : algmodpr_get_ff(GEN data) { return gel(data,3); }
363 : GEN
364 1708 : algmodpr_get_proj(GEN data) { return gel(data,4); }
365 : GEN
366 3003 : algmodpr_get_lift(GEN data) { return gel(data,5); }
367 : GEN
368 1729 : algmodpr_get_tau(GEN data) { return gel(data,6); }
369 : GEN
370 3948 : algmodpr_get_p(GEN data) { return pr_get_p(algmodpr_get_pr(data)); }
371 : GEN
372 3801 : algmodpr_get_T(GEN data) { return gel(data,2)[2]==1 ? NULL : gel(data,7); }
373 :
374 : /** ADDITIONAL **/
375 :
376 : /* is N=smooth*prime? */
377 12126 : static int Z_easyfactor(GEN N, ulong lim)
378 : {
379 : GEN fa;
380 12126 : if (lgefint(N) <= 3) return 1;
381 10324 : fa = absZ_factor_limit(N, lim);
382 10324 : return BPSW_psp(veclast(gel(fa,1)));
383 : }
384 :
385 : /* no garbage collection */
386 : static GEN
387 1820 : backtrackfacto(GEN y0, long n, GEN red, GEN pl, GEN nf, GEN data, int (*test)(GEN,GEN), GEN* fa, GEN N, GEN I)
388 : {
389 : long b, i;
390 1820 : ulong lim = 1UL << 17;
391 1820 : long *v = new_chunk(n+1);
392 1820 : pari_sp av = avma;
393 1820 : for (b = 0;; b += (2*b)/(3*n) + 1)
394 377 : {
395 : GEN ny, y1, y2;
396 2197 : set_avma(av);
397 6423 : for (i = 1; i <= n; i++) v[i] = -b;
398 2197 : v[n]--;
399 : for(;;)
400 : {
401 14876 : i = n;
402 15568 : while (i > 0)
403 15191 : { if (v[i] == b) v[i--] = -b; else { v[i]++; break; } }
404 14876 : if (i==0) break;
405 :
406 14499 : y1 = y0;
407 32222 : for (i = 1; i <= n; i++) y1 = nfadd(nf, y1, ZC_z_mul(gel(red,i), v[i]));
408 14499 : if (!nfchecksigns(nf, y1, pl)) continue;
409 :
410 12126 : ny = absi_shallow(nfnorm(nf, y1));
411 12126 : if (!signe(ny)) continue;
412 12126 : ny = diviiexact(ny, gcdii(ny, N));
413 12126 : if (!Z_easyfactor(ny, lim)) continue;
414 :
415 2316 : y2 = idealdivexact(nf, y1, idealadd(nf,y1,I));
416 2316 : *fa = idealfactor(nf, y2);
417 2316 : if (!data || test(data,*fa)) return y1;
418 : }
419 : }
420 : }
421 :
422 : /* if data == NULL, the test is skipped */
423 : /* in the test, the factorization does not contain the known factors */
424 : static GEN
425 1827 : factoredextchinesetest(GEN nf, GEN x, GEN y, GEN pl, GEN* fa, GEN data, int (*test)(GEN,GEN))
426 : {
427 1827 : pari_sp av = avma;
428 : long n,i;
429 1827 : GEN x1, y0, y1, red, N, I, P = gel(x,1), E = gel(x,2);
430 1827 : n = nf_get_degree(nf);
431 1827 : x = idealchineseinit(nf, mkvec2(x,pl));
432 1827 : x1 = gel(x,1);
433 1827 : red = lg(x1) == 1? matid(n): gmael(x1,1,1);
434 1827 : y0 = idealchinese(nf, x, y);
435 :
436 1820 : E = shallowcopy(E);
437 1820 : if (!gequal0(y0))
438 7776 : for (i=1; i<lg(E); i++)
439 : {
440 5956 : long v = nfval(nf,y0,gel(P,i));
441 5956 : if (cmpsi(v, gel(E,i)) < 0) gel(E,i) = stoi(v);
442 : }
443 : /* N and I : known factors */
444 1820 : I = factorbackprime(nf, P, E);
445 1820 : N = idealnorm(nf,I);
446 :
447 1820 : y1 = backtrackfacto(y0, n, red, pl, nf, data, test, fa, N, I);
448 :
449 : /* restore known factors */
450 7776 : for (i=1; i<lg(E); i++) gel(E,i) = stoi(nfval(nf,y1,gel(P,i)));
451 1820 : *fa = famat_reduce(famat_mul_shallow(*fa, mkmat2(P, E)));
452 1820 : return gc_all(av, 2, &y1, fa);
453 : }
454 :
455 : static GEN
456 1414 : factoredextchinese(GEN nf, GEN x, GEN y, GEN pl, GEN* fa)
457 1414 : { return factoredextchinesetest(nf,x,y,pl,fa,NULL,NULL); }
458 :
459 : /** OPERATIONS ON ASSOCIATIVE ALGEBRAS algebras.c **/
460 :
461 : /*
462 : Convention:
463 : (K/F,sigma,b) = sum_{i=0..n-1} u^i*K
464 : t*u = u*sigma(t)
465 :
466 : Natural basis:
467 : 1<=i<=d*n^2
468 : b_i = u^((i-1)/(dn))*ZKabs.((i-1)%(dn)+1)
469 :
470 : Integral basis:
471 : Basis of some order.
472 :
473 : al structure:
474 : 1- rnf of the cyclic splitting field of degree n over the center nf of degree d
475 : 2- VEC of aut^i 1<=i<=n if n>1, or i=0 if n=1
476 : 3- b in nf
477 : 4- infinite hasse invariants (mod n) : VECSMALL of size r1, values only 0 or n/2 (if integral)
478 : 5- finite hasse invariants (mod n) : VEC[sorted VEC of primes, VECSMALL of hasse inv mod n]
479 : 6- VEC
480 : 6.1- 0, or [a,b,sa] where sa^2=a if al is quaternion algebra (a,b)
481 : 6.2- dn^2*dn^2 matrix of stored involution
482 : 7* dn^2*dn^2 matrix expressing the integral basis in terms of the natural basis
483 : 8* dn^2*dn^2 matrix expressing the natural basis in terms of the integral basis
484 : 9* VEC of dn^2 matrices giving the dn^2*dn^2 left multiplication tables of the integral basis
485 : 10* characteristic of the base field (used only for algebras given by a multiplication table)
486 : 11* trace of basis elements
487 :
488 : If al is given by a multiplication table (al_TABLE), only the * fields are present.
489 : The other ones are filled with gen_0 placeholders.
490 : */
491 :
492 : /* assumes same center and same variable */
493 : /* currently only works for coprime degrees */
494 : GEN
495 84 : algtensor(GEN al1, GEN al2, long flag) {
496 84 : pari_sp av = avma;
497 : long v, k, d1, d2;
498 : GEN nf, P1, P2, aut1, aut2, b1, b2, C, rnf, aut, b, x1, x2, al, rnfpol;
499 :
500 84 : checkalg(al1);
501 70 : checkalg(al2);
502 63 : if (alg_type(al1) != al_CYCLIC || alg_type(al2) != al_CYCLIC)
503 21 : pari_err_IMPL("tensor of noncyclic algebras"); /* TODO: do it. */
504 :
505 42 : nf = alg_get_center(al1);
506 42 : if (!gequal(alg_get_center(al2),nf))
507 7 : pari_err_OP("tensor product [not the same center]", al1, al2);
508 :
509 35 : P1=alg_get_splitpol(al1); aut1=alg_get_aut(al1); b1=alg_get_b(al1);
510 35 : P2=alg_get_splitpol(al2); aut2=alg_get_aut(al2); b2=alg_get_b(al2);
511 35 : v=varn(P1);
512 :
513 35 : d1=alg_get_degree(al1);
514 35 : d2=alg_get_degree(al2);
515 35 : if (ugcd(d1,d2) != 1)
516 7 : pari_err_IMPL("tensor of cyclic algebras of noncoprime degrees"); /* TODO */
517 :
518 28 : if (d1==1) return gcopy(al2);
519 21 : if (d2==1) return gcopy(al1);
520 :
521 14 : C = nfcompositum(nf, P1, P2, 3);
522 14 : rnfpol = gel(C,1);
523 14 : if (!(flag & al_FACTOR)) rnfpol = mkvec2(rnfpol, stoi(1<<20));
524 14 : rnf = rnfinit(nf, rnfpol);
525 : /* TODO use integral basis of P1 and P2 to get that of C */
526 14 : x1 = gel(C,2);
527 14 : x2 = gel(C,3);
528 14 : k = itos(gel(C,4));
529 14 : aut = gadd(gsubst(aut2,v,x2),gmulsg(k,gsubst(aut1,v,x1)));
530 14 : b = nfmul(nf,nfpow_u(nf,b1,d2),nfpow_u(nf,b2,d1));
531 14 : al = alg_cyclic(rnf, aut, b, flag);
532 14 : return gc_GEN(av,al);
533 : }
534 :
535 : /* M an n x d Flm of rank d, n >= d. Initialize Mx = y solver */
536 : static GEN
537 8913 : Flm_invimage_init(GEN M, ulong p)
538 : {
539 8913 : GEN v = Flm_indexrank(M, p), perm = gel(v,1);
540 8913 : GEN MM = rowpermute(M, perm); /* square invertible */
541 8913 : return mkvec2(Flm_inv(MM,p), perm);
542 : }
543 : /* assume Mx = y has a solution, v = Flm_invimage_init(M,p); return x */
544 : static GEN
545 619387 : Flm_invimage_pre(GEN v, GEN y, ulong p)
546 : {
547 619387 : GEN inv = gel(v,1), perm = gel(v,2);
548 619387 : return Flm_Flc_mul(inv, vecsmallpermute(y, perm), p);
549 : }
550 :
551 : GEN
552 14760 : algradical(GEN al)
553 : {
554 14760 : pari_sp av = avma;
555 : GEN I, x, traces, K, MT, P, mt;
556 : long l,i,ni, n;
557 : ulong modu, expo, p;
558 14760 : checkalg(al);
559 14760 : if (alg_type(al) != al_TABLE) return gen_0;
560 14669 : P = alg_get_char(al);
561 14669 : mt = alg_get_multable(al);
562 14669 : n = alg_get_absdim(al);
563 14669 : dbg_printf(1)("algradical: char=%Ps, dim=%d\n", P, n);
564 14669 : traces = algtracematrix(al);
565 14669 : if (!signe(P))
566 : {
567 546 : dbg_printf(2)(" char 0, computing kernel...\n");
568 546 : K = ker(traces);
569 546 : dbg_printf(2)(" ...done.\n");
570 546 : ni = lg(K)-1; if (!ni) return gc_const(av, gen_0);
571 70 : return gc_upto(av, K);
572 : }
573 14123 : dbg_printf(2)(" char>0, computing kernel...\n");
574 14123 : K = FpM_ker(traces, P);
575 14123 : dbg_printf(2)(" ...done.\n");
576 14123 : ni = lg(K)-1; if (!ni) return gc_const(av, gen_0);
577 7815 : if (abscmpiu(P,n)>0) return gc_upto(av, K);
578 :
579 : /* tough case, p <= n. Ronyai's algorithm */
580 4940 : p = P[2]; l = 1;
581 4940 : expo = p; modu = p*p;
582 4940 : dbg_printf(2)(" char>0, hard case.\n");
583 9601 : while (modu<=(ulong)n) { l++; modu *= p; }
584 4940 : MT = ZMV_to_FlmV(mt, modu);
585 4940 : I = ZM_to_Flm(K,p); /* I_0 */
586 13306 : for (i=1; i<=l; i++) {/*compute I_i, expo = p^i, modu = p^(l+1) > n*/
587 : long j, lig,col;
588 8913 : GEN v = cgetg(ni+1, t_VECSMALL);
589 8913 : GEN invI = Flm_invimage_init(I, p);
590 8913 : dbg_printf(2)(" computing I_%d:\n", i);
591 8913 : traces = cgetg(ni+1,t_MAT);
592 60273 : for (j = 1; j <= ni; j++)
593 : {
594 51360 : GEN M = algbasismultable_Flm(MT, gel(I,j), modu);
595 51360 : uel(v,j) = algtracei(M, p,expo,modu);
596 : }
597 60273 : for (col=1; col<=ni; col++)
598 : {
599 51360 : GEN t = cgetg(n+1,t_VECSMALL); gel(traces,col) = t;
600 51360 : x = gel(I, col); /*col-th basis vector of I_{i-1}*/
601 670747 : for (lig=1; lig<=n; lig++)
602 : {
603 619387 : GEN y = _tablemul_ej_Fl(MT,x,lig,p);
604 619387 : GEN z = Flm_invimage_pre(invI, y, p);
605 619387 : uel(t,lig) = Flv_dotproduct(v, z, p);
606 : }
607 : }
608 8913 : dbg_printf(2)(" computing kernel...\n");
609 8913 : K = Flm_ker(traces, p);
610 8913 : dbg_printf(2)(" ...done.\n");
611 8913 : ni = lg(K)-1; if (!ni) return gc_const(av, gen_0);
612 8366 : I = Flm_mul(I,K,p);
613 8366 : expo *= p;
614 : }
615 4393 : return Flm_to_ZM(I);
616 : }
617 :
618 : /* compute the multiplication table of the element x, where mt is a
619 : * multiplication table in an arbitrary ring */
620 : static GEN
621 476 : Rgmultable(GEN mt, GEN x)
622 : {
623 476 : long i, l = lg(x);
624 476 : GEN z = NULL;
625 6188 : for (i = 1; i < l; i++)
626 : {
627 5712 : GEN c = gel(x,i);
628 5712 : if (!gequal0(c))
629 : {
630 714 : GEN M = RgM_Rg_mul(gel(mt,i),c);
631 714 : z = z? RgM_add(z, M): M;
632 : }
633 : }
634 476 : return z;
635 : }
636 :
637 : static GEN
638 56 : change_Rgmultable(GEN mt, GEN P, GEN Pi)
639 : {
640 : GEN mt2;
641 56 : long lmt = lg(mt), i;
642 56 : mt2 = cgetg(lmt,t_VEC);
643 532 : for (i=1;i<lmt;i++) {
644 476 : GEN mti = Rgmultable(mt,gel(P,i));
645 476 : gel(mt2,i) = RgM_mul(Pi, RgM_mul(mti,P));
646 : }
647 56 : return mt2;
648 : }
649 :
650 : /* S: lift (basis of quotient) ; Si: proj */
651 : static GEN
652 37977 : alg_quotient0(GEN al, GEN S, GEN Si, long nq, GEN p, long maps)
653 : {
654 37977 : GEN mt = cgetg(nq+1,t_VEC), P, Pi, d;
655 : long i;
656 37977 : dbg_printf(3)(" alg_quotient0: char=%Ps, dim=%d, dim I=%d\n", p, alg_get_absdim(al), lg(S)-1);
657 173582 : for (i=1; i<=nq; i++) {
658 135605 : GEN mti = algbasismultable(al,gel(S,i));
659 135605 : if (signe(p)) gel(mt,i) = FpM_mul(Si, FpM_mul(mti,S,p), p);
660 6076 : else gel(mt,i) = RgM_mul(Si, RgM_mul(mti,S));
661 : }
662 37977 : if (!signe(p) && !isint1(Q_denom(mt))) {
663 42 : dbg_printf(3)(" bad case: denominator=%Ps\n", Q_denom(mt));
664 42 : P = Q_remove_denom(Si,&d);
665 42 : P = ZM_hnf(P);
666 42 : P = RgM_Rg_div(P,d); /* P: new basis (Z-basis of image of order in al) */
667 42 : Pi = RgM_inv(P);
668 42 : mt = change_Rgmultable(mt,P,Pi);
669 42 : Si = RgM_mul(Pi,Si);
670 42 : S = RgM_mul(S,P);
671 : }
672 37977 : al = algtableinit_i(mt,p);
673 37977 : if (maps) al = mkvec3(al,Si,S); /* algebra, proj, lift */
674 37977 : return al;
675 : }
676 :
677 : /* quotient of an algebra by a nontrivial two-sided ideal */
678 : GEN
679 12235 : alg_quotient(GEN al, GEN I, long maps)
680 : {
681 12235 : pari_sp av = avma;
682 : GEN p, IS, ISi, S, Si;
683 : long n, ni;
684 :
685 12235 : checkalg(al);
686 12235 : if (alg_type(al) != al_TABLE) pari_err_TYPE("alg_quotient [not a table algebra]", al);
687 12228 : p = alg_get_char(al);
688 12228 : n = alg_get_absdim(al);
689 12228 : ni = lg(I)-1;
690 :
691 : /* force first vector of complement to be the identity */
692 12228 : IS = shallowconcat(I, gcoeff(alg_get_multable(al),1,1));
693 12228 : if (signe(p)) {
694 12200 : IS = FpM_suppl(IS,p);
695 12200 : ISi = FpM_inv(IS,p);
696 : }
697 : else {
698 28 : IS = suppl(IS);
699 28 : ISi = RgM_inv(IS);
700 : }
701 12228 : S = vecslice(IS, ni+1, n);
702 12228 : Si = rowslice(ISi, ni+1, n);
703 12228 : return gc_GEN(av, alg_quotient0(al, S, Si, n-ni, p, maps));
704 : }
705 :
706 : static GEN
707 39079 : image_keep_first(GEN m, GEN p) /* assume first column is nonzero or m==0, no GC */
708 : {
709 : GEN ir, icol, irow, M, c, x;
710 : long i;
711 39079 : if (gequal0(gel(m,1))) return zeromat(nbrows(m),0);
712 :
713 39065 : if (signe(p)) ir = FpM_indexrank(m,p);
714 1708 : else ir = indexrank(m);
715 :
716 39065 : icol = gel(ir,2);
717 39065 : if (icol[1]==1) return extract0(m,icol,NULL);
718 :
719 15 : irow = gel(ir,1);
720 15 : M = extract0(m, irow, icol);
721 15 : c = extract0(gel(m,1), irow, NULL);
722 15 : if (signe(p)) x = FpM_FpC_invimage(M,c,p);
723 0 : else x = inverseimage(M,c); /* TODO modulo a small prime */
724 :
725 22 : for (i=1; i<lg(x); i++)
726 : {
727 22 : if (!gequal0(gel(x,i)))
728 : {
729 15 : icol[i] = 1;
730 15 : vecsmall_sort(icol);
731 15 : return extract0(m,icol,NULL);
732 : }
733 : }
734 :
735 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
736 : }
737 :
738 : /* z[1],...z[nz] central elements such that z[1]A + z[2]A + ... + z[nz]A = A
739 : * is a direct sum. idempotents ==> first basis element is identity */
740 : GEN
741 12516 : alg_centralproj(GEN al, GEN z, long maps)
742 : {
743 12516 : pari_sp av = avma;
744 : GEN S, U, Ui, alq, p;
745 12516 : long i, iu, lz = lg(z), ta;
746 :
747 12516 : checkalg(al);
748 12516 : ta = alg_type(al);
749 12516 : if (ta != al_TABLE) pari_err_TYPE("algcentralproj [not a table algebra]", al);
750 12509 : if (typ(z) != t_VEC) pari_err_TYPE("alcentralproj",z);
751 12502 : p = alg_get_char(al);
752 12502 : dbg_printf(3)(" alg_centralproj: char=%Ps, dim=%d, #z=%d\n", p, alg_get_absdim(al), lz-1);
753 12502 : S = cgetg(lz,t_VEC); /* S[i] = Im(z_i) */
754 38265 : for (i=1; i<lz; i++)
755 : {
756 25763 : GEN mti = algbasismultable(al, gel(z,i));
757 25763 : gel(S,i) = image_keep_first(mti,p);
758 : }
759 12502 : U = shallowconcat1(S); /* U = [Im(z_1)|Im(z_2)|...|Im(z_nz)], n x n */
760 12502 : if (lg(U)-1 < alg_get_absdim(al)) pari_err_TYPE("alcentralproj [z[i]'s not surjective]",z);
761 12495 : if (signe(p)) Ui = FpM_inv(U,p);
762 854 : else Ui = RgM_inv(U);
763 : if (!Ui) pari_err_BUG("alcentralproj"); /*LCOV_EXCL_LINE*/
764 :
765 12495 : alq = cgetg(lz,t_VEC);
766 38244 : for (iu=0,i=1; i<lz; i++)
767 : {
768 25749 : long nq = lg(gel(S,i))-1, ju = iu + nq;
769 25749 : GEN Si = rowslice(Ui, iu+1, ju);
770 25749 : gel(alq, i) = alg_quotient0(al,gel(S,i),Si,nq,p,maps);
771 25749 : iu = ju;
772 : }
773 12495 : return gc_GEN(av, alq);
774 : }
775 :
776 : /* al is an al_TABLE */
777 : static GEN
778 32999 : algtablecenter(GEN al)
779 : {
780 32999 : pari_sp av = avma;
781 : long n, i, j, k, ic;
782 : GEN C, cij, mt, p;
783 :
784 32999 : n = alg_get_absdim(al);
785 32999 : mt = alg_get_multable(al);
786 32999 : p = alg_get_char(al);
787 32999 : C = cgetg(n+1,t_MAT);
788 157861 : for (j=1; j<=n; j++)
789 : {
790 124862 : gel(C,j) = cgetg(n*n-n+1,t_COL);
791 124862 : ic = 1;
792 1117184 : for (i=2; i<=n; i++) {
793 992322 : if (signe(p)) cij = FpC_sub(gmael(mt,i,j),gmael(mt,j,i),p);
794 57694 : else cij = RgC_sub(gmael(mt,i,j),gmael(mt,j,i));
795 19692678 : for (k=1; k<=n; k++, ic++) gcoeff(C,ic,j) = gel(cij, k);
796 : }
797 : }
798 32999 : if (signe(p)) return gc_upto(av, FpM_ker(C,p));
799 1785 : else return gc_upto(av, ker(C));
800 : }
801 :
802 : GEN
803 11795 : algcenter(GEN al)
804 : {
805 11795 : checkalg(al);
806 11795 : if (alg_type(al)==al_TABLE) return algtablecenter(al);
807 2821 : return alg_get_center(al);
808 : }
809 :
810 : /* Only in positive characteristic. Assumes that al is semisimple. */
811 : GEN
812 9573 : algprimesubalg(GEN al)
813 : {
814 9573 : pari_sp av = avma;
815 : GEN p, Z, F, K;
816 : long nz, i;
817 9573 : checkalg(al);
818 9573 : p = alg_get_char(al);
819 9573 : if (!signe(p)) pari_err_DOMAIN("algprimesubalg","characteristic","=",gen_0,p);
820 :
821 9559 : Z = algtablecenter(al);
822 9559 : nz = lg(Z)-1;
823 9559 : if (nz==1) return Z;
824 :
825 6716 : F = cgetg(nz+1, t_MAT);
826 28235 : for (i=1; i<=nz; i++) {
827 21519 : GEN zi = gel(Z,i);
828 21519 : gel(F,i) = FpC_sub(algpow(al,zi,p),zi,p);
829 : }
830 6716 : K = FpM_ker(F,p);
831 6716 : return gc_upto(av, FpM_mul(Z,K,p));
832 : }
833 :
834 : static GEN
835 19779 : out_decompose(GEN t, GEN Z, GEN P, GEN p)
836 : {
837 19779 : GEN ali = gel(t,1), projm = gel(t,2), liftm = gel(t,3), pZ;
838 19779 : if (signe(p)) pZ = FpM_image(FpM_mul(projm,Z,p),p);
839 1617 : else pZ = image(RgM_mul(projm,Z));
840 19779 : return mkvec5(ali, projm, liftm, pZ, P);
841 : }
842 : /* fa factorization of charpol(x) */
843 : static GEN
844 9928 : alg_decompose_from_facto(GEN al, GEN x, GEN fa, GEN Z, long mini)
845 : {
846 9928 : long k = lgcols(fa)-1, k2 = mini? 1: k/2;
847 9928 : GEN v1 = rowslice(fa,1,k2);
848 9928 : GEN v2 = rowslice(fa,k2+1,k);
849 9928 : GEN alq, P, Q, p = alg_get_char(al);
850 9928 : dbg_printf(3)(" alg_decompose_from_facto\n");
851 9928 : if (signe(p)) {
852 9102 : P = FpXV_factorback(gel(v1,1), gel(v1,2), p, 0);
853 9102 : Q = FpXV_factorback(gel(v2,1), gel(v2,2), p, 0);
854 9102 : P = FpX_mul(P, FpXQ_inv(P,Q,p), p);
855 : }
856 : else {
857 826 : P = factorback(v1);
858 826 : Q = factorback(v2);
859 826 : P = RgX_mul(P, RgXQ_inv(P,Q));
860 : }
861 9928 : P = algpoleval(al, P, x);
862 9928 : if (signe(p)) Q = FpC_sub(col_ei(lg(P)-1,1), P, p);
863 826 : else Q = gsub(gen_1, P);
864 9928 : if (gequal0(P) || gequal0(Q)) return NULL;
865 9928 : alq = alg_centralproj(al, mkvec2(P,Q), 1);
866 :
867 9928 : P = out_decompose(gel(alq,1), Z, P, p); if (mini) return P;
868 9851 : Q = out_decompose(gel(alq,2), Z, Q, p);
869 9851 : return mkvec2(P,Q);
870 : }
871 :
872 : static GEN
873 15199 : random_pm1(long n)
874 : {
875 15199 : GEN z = cgetg(n+1,t_VECSMALL);
876 : long i;
877 62851 : for (i = 1; i <= n; i++) z[i] = random_bits(5)%3 - 1;
878 15199 : return z;
879 : }
880 :
881 : static GEN alg_decompose(GEN al, GEN Z, long mini, GEN* pt_primelt);
882 : /* Try to split al using x's charpoly. Return gen_0 if simple, NULL if failure.
883 : * And a splitting otherwise
884 : * If pt_primelt!=NULL, compute a primitive element of the center when simple */
885 : static GEN
886 18237 : try_fact(GEN al, GEN x, GEN zx, GEN Z, GEN Zal, long mini, GEN* pt_primelt)
887 : {
888 18237 : GEN z, dec0, dec1, cp = algcharpoly(Zal,zx,0,1), fa, p = alg_get_char(al);
889 : long nfa, e;
890 18237 : dbg_printf(3)(" try_fact: zx=%Ps\n", zx);
891 18237 : if (signe(p)) fa = FpX_factor(cp,p);
892 1519 : else fa = factor(cp);
893 18237 : dbg_printf(3)(" charpoly=%Ps\n", fa);
894 18237 : nfa = nbrows(fa);
895 18237 : if (nfa == 1) {
896 8309 : if (signe(p)) e = gel(fa,2)[1];
897 693 : else e = itos(gcoeff(fa,1,2));
898 8309 : if (e == 1) {
899 4487 : if (pt_primelt != NULL) *pt_primelt = mkvec2(x, cp);
900 4487 : return gen_0;
901 : }
902 3822 : else return NULL;
903 : }
904 9928 : dec0 = alg_decompose_from_facto(al, x, fa, Z, mini);
905 9928 : if (!dec0) return NULL;
906 9928 : if (!mini) return dec0;
907 77 : dec1 = alg_decompose(gel(dec0,1), gel(dec0,4), 1, pt_primelt);
908 77 : z = gel(dec0,5);
909 77 : if (!isintzero(dec1)) {
910 7 : if (signe(p)) z = FpM_FpC_mul(gel(dec0,3),dec1,p);
911 7 : else z = RgM_RgC_mul(gel(dec0,3),dec1);
912 : }
913 77 : return z;
914 : }
915 : static GEN
916 7 : randcol(long n, GEN b)
917 : {
918 7 : GEN N = addiu(shifti(b,1), 1);
919 : long i;
920 7 : GEN res = cgetg(n+1,t_COL);
921 63 : for (i=1; i<=n; i++)
922 : {
923 56 : pari_sp av = avma;
924 56 : gel(res,i) = gc_INT(av, subii(randomi(N),b));
925 : }
926 7 : return res;
927 : }
928 : /* Return gen_0 if already simple. mini: only returns a central idempotent
929 : * corresponding to one simple factor
930 : * if pt_primelt!=NULL, sets it to a primitive element of the center when simple */
931 : static GEN
932 28293 : alg_decompose(GEN al, GEN Z, long mini, GEN* pt_primelt)
933 : {
934 : pari_sp av;
935 : GEN Zal, x, zx, rand, dec0, B, p;
936 28293 : long i, nz = lg(Z)-1;
937 :
938 28293 : if (nz == 1) {
939 13878 : if (pt_primelt != 0) *pt_primelt = mkvec2(zerocol(alg_get_dim(al)), pol_x(0));
940 13878 : return gen_0;
941 : }
942 14415 : p = alg_get_char(al);
943 14415 : dbg_printf(2)(" alg_decompose: char=%Ps, dim=%d, dim Z=%d\n", p, alg_get_absdim(al), nz);
944 14415 : Zal = alg_subalg(al,Z);
945 14415 : Z = gel(Zal,2);
946 14415 : Zal = gel(Zal,1);
947 14415 : av = avma;
948 :
949 14415 : rand = random_pm1(nz);
950 14415 : zx = zc_to_ZC(rand);
951 14415 : if (signe(p)) {
952 13267 : zx = FpC_red(zx,p);
953 13267 : x = ZM_zc_mul(Z,rand);
954 13267 : x = FpC_red(x,p);
955 : }
956 1148 : else x = RgM_zc_mul(Z,rand);
957 14415 : dec0 = try_fact(al,x,zx,Z,Zal,mini,pt_primelt);
958 14415 : if (dec0) return dec0;
959 3752 : set_avma(av);
960 :
961 3822 : for (i=2; i<=nz; i++)
962 : {
963 3815 : dec0 = try_fact(al,gel(Z,i),col_ei(nz,i),Z,Zal,mini,pt_primelt);
964 3815 : if (dec0) return dec0;
965 70 : set_avma(av);
966 : }
967 7 : B = int2n(10);
968 : for (;;)
969 0 : {
970 7 : GEN x = randcol(nz,B), zx = ZM_ZC_mul(Z,x);
971 7 : dec0 = try_fact(al,x,zx,Z,Zal,mini,pt_primelt);
972 7 : if (dec0) return dec0;
973 0 : set_avma(av);
974 : }
975 : }
976 :
977 : static GEN
978 23953 : alg_decompose_total(GEN al, GEN Z, long maps)
979 : {
980 : GEN dec, sc, p;
981 : long i;
982 :
983 23953 : dec = alg_decompose(al, Z, 0, NULL);
984 23953 : if (isintzero(dec))
985 : {
986 14102 : if (maps) {
987 8922 : long n = alg_get_absdim(al);
988 8922 : al = mkvec3(al, matid(n), matid(n));
989 : }
990 14102 : return mkvec(al);
991 : }
992 9851 : p = alg_get_char(al); if (!signe(p)) p = NULL;
993 9851 : sc = cgetg(lg(dec), t_VEC);
994 29553 : for (i=1; i<lg(sc); i++) {
995 19702 : GEN D = gel(dec,i), a = gel(D,1), Za = gel(D,4);
996 19702 : GEN S = alg_decompose_total(a, Za, maps);
997 19702 : gel(sc,i) = S;
998 19702 : if (maps)
999 : {
1000 13094 : GEN projm = gel(D,2), liftm = gel(D,3);
1001 13094 : long j, lS = lg(S);
1002 34636 : for (j=1; j<lS; j++)
1003 : {
1004 21542 : GEN Sj = gel(S,j), p2 = gel(Sj,2), l2 = gel(Sj,3);
1005 21542 : if (p) p2 = FpM_mul(p2, projm, p);
1006 1449 : else p2 = RgM_mul(p2, projm);
1007 21542 : if (p) l2 = FpM_mul(liftm, l2, p);
1008 1449 : else l2 = RgM_mul(liftm, l2);
1009 21542 : gel(Sj,2) = p2;
1010 21542 : gel(Sj,3) = l2;
1011 : }
1012 : }
1013 : }
1014 9851 : return shallowconcat1(sc);
1015 : }
1016 :
1017 : static GEN
1018 14485 : alg_subalg(GEN al, GEN basis)
1019 : {
1020 14485 : GEN invbasis, mt, p = alg_get_char(al);
1021 : long i, j, n;
1022 :
1023 14485 : if (!signe(p)) p = NULL;
1024 14485 : basis = shallowmatconcat(mkvec2(col_ei(alg_get_absdim(al),1), basis));
1025 14485 : if (p)
1026 : {
1027 13316 : basis = image_keep_first(basis,p);
1028 13316 : invbasis = FpM_inv(basis,p);
1029 : }
1030 : else
1031 : { /* FIXME use an integral variant of image_keep_first */
1032 1169 : basis = QM_ImQ_hnf(basis);
1033 1169 : invbasis = RgM_inv(basis);
1034 : }
1035 14485 : n = lg(basis)-1;
1036 14485 : mt = cgetg(n+1,t_VEC);
1037 14485 : gel(mt,1) = matid(n);
1038 44929 : for (i = 2; i <= n; i++)
1039 : {
1040 30444 : GEN mtx = cgetg(n+1,t_MAT), x = gel(basis,i);
1041 30444 : gel(mtx,1) = col_ei(n,i);
1042 182258 : for (j = 2; j <= n; j++)
1043 : {
1044 151814 : GEN xy = algmul(al, x, gel(basis,j));
1045 151814 : if (p) gel(mtx,j) = FpM_FpC_mul(invbasis, xy, p);
1046 36253 : else gel(mtx,j) = RgM_RgC_mul(invbasis, xy);
1047 : }
1048 30444 : gel(mt,i) = mtx;
1049 : }
1050 14485 : return mkvec2(algtableinit_i(mt,p), basis);
1051 : }
1052 :
1053 : GEN
1054 84 : algsubalg(GEN al, GEN basis)
1055 : {
1056 84 : pari_sp av = avma;
1057 : GEN p;
1058 84 : checkalg(al);
1059 84 : if (alg_type(al) == al_REAL) pari_err_TYPE("algsubalg [real algebra]", al);
1060 77 : if (typ(basis) != t_MAT) pari_err_TYPE("algsubalg",basis);
1061 70 : p = alg_get_char(al);
1062 70 : if (signe(p)) basis = RgM_to_FpM(basis,p);
1063 70 : return gc_GEN(av, alg_subalg(al,basis));
1064 : }
1065 :
1066 : static int
1067 14603 : cmp_algebra(GEN x, GEN y)
1068 : {
1069 : long d;
1070 14603 : d = gel(x,1)[1] - gel(y,1)[1]; if (d) return d < 0? -1: 1;
1071 12687 : d = gel(x,1)[2] - gel(y,1)[2]; if (d) return d < 0? -1: 1;
1072 12687 : return cmp_universal(gel(x,2), gel(y,2));
1073 : }
1074 :
1075 : GEN
1076 9678 : algsimpledec_ss(GEN al, long maps)
1077 : {
1078 9678 : pari_sp av = avma;
1079 : GEN Z, p, r, res, perm;
1080 : long i, l, n;
1081 9678 : checkalg(al);
1082 9678 : p = alg_get_char(al);
1083 9678 : dbg_printf(1)("algsimpledec_ss: char=%Ps, dim=%d\n", p, alg_get_absdim(al));
1084 9678 : if (signe(p)) Z = algprimesubalg(al);
1085 273 : else if (alg_type(al)!=al_TABLE) Z = gen_0;
1086 252 : else Z = algtablecenter(al);
1087 :
1088 9678 : if (lg(Z) == 2) {/* dim Z = 1 */
1089 5427 : n = alg_get_absdim(al);
1090 5427 : set_avma(av);
1091 5427 : if (!maps) return mkveccopy(al);
1092 4720 : retmkvec(mkvec3(gcopy(al), matid(n), matid(n)));
1093 : }
1094 4251 : res = alg_decompose_total(al, Z, maps);
1095 4251 : l = lg(res); r = cgetg(l, t_VEC);
1096 18353 : for (i = 1; i < l; i++)
1097 : {
1098 14102 : GEN A = maps? gmael(res,i,1): gel(res,i);
1099 14102 : gel(r,i) = mkvec2(mkvecsmall2(alg_get_dim(A), lg(algtablecenter(A))),
1100 : alg_get_multable(A));
1101 : }
1102 4251 : perm = gen_indexsort(r, (void*)cmp_algebra, &cmp_nodata);
1103 4251 : return gc_GEN(av, vecpermute(res, perm));
1104 : }
1105 :
1106 : GEN
1107 2730 : algsimpledec(GEN al, long maps)
1108 : {
1109 2730 : pari_sp av = avma;
1110 : int ss;
1111 2730 : GEN rad, dec, res, proj=NULL, lift=NULL;
1112 2730 : rad = algradical(al);
1113 2730 : ss = gequal0(rad);
1114 2730 : if (!ss)
1115 : {
1116 1428 : al = alg_quotient(al, rad, maps);
1117 1428 : if (maps) {
1118 14 : proj = gel(al,2);
1119 14 : lift = gel(al,3);
1120 14 : al = gel(al,1);
1121 : }
1122 : }
1123 2730 : dec = algsimpledec_ss(al, maps);
1124 2730 : if (!ss && maps) /* update maps */
1125 : {
1126 14 : GEN p = alg_get_char(al);
1127 : long i;
1128 42 : for (i=1; i<lg(dec); i++)
1129 : {
1130 28 : if (signe(p))
1131 : {
1132 14 : gmael(dec,i,2) = FpM_mul(gmael(dec,i,2), proj, p);
1133 14 : gmael(dec,i,3) = FpM_mul(lift, gmael(dec,i,3), p);
1134 : }
1135 : else
1136 : {
1137 14 : gmael(dec,i,2) = RgM_mul(gmael(dec,i,2), proj);
1138 14 : gmael(dec,i,3) = RgM_mul(lift, gmael(dec,i,3));
1139 : }
1140 : }
1141 : }
1142 2730 : res = mkvec2(rad, dec);
1143 2730 : return gc_GEN(av,res);
1144 : }
1145 :
1146 : static GEN alg_idempotent(GEN al, long n, long d);
1147 : static GEN
1148 12733 : try_split(GEN al, GEN x, long n, long d)
1149 : {
1150 12733 : GEN cp, p = alg_get_char(al), fa, e, pol, exp, P, Q, U, u, mx, mte, ire;
1151 12733 : long nfa, i, smalldim = alg_get_absdim(al)+1, dim, smalli = 0;
1152 12733 : cp = algcharpoly(al,x,0,1);
1153 12733 : fa = FpX_factor(cp,p);
1154 12733 : nfa = nbrows(fa);
1155 12733 : if (nfa == 1) return NULL;
1156 5061 : pol = gel(fa,1);
1157 5061 : exp = gel(fa,2);
1158 :
1159 : /* charpoly is always a d-th power */
1160 15563 : for (i=1; i<lg(exp); i++) {
1161 10509 : if (exp[i]%d) pari_err(e_MISC, "the algebra must be simple (try_split 1)");
1162 10502 : exp[i] /= d;
1163 : }
1164 5054 : cp = FpXV_factorback(gel(fa,1), gel(fa,2), p, 0);
1165 :
1166 : /* find smallest Fp-dimension of a characteristic space */
1167 15556 : for (i=1; i<lg(pol); i++) {
1168 10502 : dim = degree(gel(pol,i))*exp[i];
1169 10502 : if (dim < smalldim) {
1170 5126 : smalldim = dim;
1171 5126 : smalli = i;
1172 : }
1173 : }
1174 5054 : i = smalli;
1175 5054 : if (smalldim != n) return NULL;
1176 : /* We could also compute e*al*e and try again with this smaller algebra */
1177 : /* Fq-rank 1 = Fp-rank n idempotent: success */
1178 :
1179 : /* construct idempotent */
1180 5040 : mx = algbasismultable(al,x);
1181 5040 : P = gel(pol,i);
1182 5040 : P = FpX_powu(P, exp[i], p);
1183 5040 : Q = FpX_div(cp, P, p);
1184 5040 : e = algpoleval(al, Q, mkvec2(x,mx));
1185 5040 : U = FpXQ_inv(Q, P, p);
1186 5040 : u = algpoleval(al, U, mkvec2(x,mx));
1187 5040 : e = algbasismul(al, e, u);
1188 5040 : mte = algbasisrightmultable(al,e);
1189 5040 : ire = FpM_indexrank(mte,p);
1190 5040 : if (lg(gel(ire,1))-1 != smalldim*d) pari_err(e_MISC, "the algebra must be simple (try_split 2)");
1191 :
1192 5033 : return mkvec3(e,mte,ire);
1193 : }
1194 :
1195 : /*
1196 : * Given a simple algebra al of dimension d^2 over its center of degree n,
1197 : * find an idempotent e in al with rank n (which is minimal).
1198 : */
1199 : static GEN
1200 5047 : alg_idempotent(GEN al, long n, long d)
1201 : {
1202 5047 : pari_sp av = avma;
1203 5047 : long i, N = alg_get_absdim(al);
1204 5047 : GEN e, p = alg_get_char(al), x;
1205 12404 : for(i=2; i<=N; i++) {
1206 12061 : x = col_ei(N,i);
1207 12061 : e = try_split(al, x, n, d);
1208 12047 : if (e) return e;
1209 7357 : set_avma(av);
1210 : }
1211 : for(;;) {
1212 672 : x = random_FpC(N,p);
1213 672 : e = try_split(al, x, n, d);
1214 672 : if (e) return e;
1215 329 : set_avma(av);
1216 : }
1217 : }
1218 :
1219 : static GEN
1220 4592 : try_descend(GEN M, GEN B, GEN p, long m, long n, long d)
1221 : {
1222 4592 : GEN B2 = cgetg(m+1,t_MAT), b;
1223 4592 : long i, j, k=0;
1224 13342 : for (i=1; i<=d; i++)
1225 : {
1226 8750 : k++;
1227 8750 : b = gel(B,i);
1228 8750 : gel(B2,k) = b;
1229 20468 : for (j=1; j<n; j++)
1230 : {
1231 11718 : k++;
1232 11718 : b = FpM_FpC_mul(M,b,p);
1233 11718 : gel(B2,k) = b;
1234 : }
1235 : }
1236 4592 : if (!signe(FpM_det(B2,p))) return NULL;
1237 4165 : return FpM_inv(B2,p);
1238 : }
1239 :
1240 : /* Given an m*m matrix M with irreducible charpoly over F of degree n,
1241 : * let K = F(M), which is a field, and write m=d*n.
1242 : * Compute the d-dimensional K-vector space structure on V=F^m induced by M.
1243 : * Return [B,C] where:
1244 : * - B is m*d matrix over F giving a K-basis b_1,...,b_d of V
1245 : * - C is d*m matrix over F[x] expressing the canonical F-basis of V on the b_i
1246 : * Currently F = Fp TODO extend this. */
1247 : static GEN
1248 4165 : descend_i(GEN M, long n, GEN p)
1249 : {
1250 : GEN B, C;
1251 : long m,d,i;
1252 : pari_sp av;
1253 4165 : m = lg(M)-1;
1254 4165 : d = m/n;
1255 4165 : B = cgetg(d+1,t_MAT);
1256 4165 : av = avma;
1257 :
1258 : /* try a subset of the canonical basis */
1259 12061 : for (i=1; i<=d; i++)
1260 7896 : gel(B,i) = col_ei(m,n*(i-1)+1);
1261 4165 : C = try_descend(M,B,p,m,n,d);
1262 4165 : if (C) return mkvec2(B,C);
1263 392 : set_avma(av);
1264 :
1265 : /* try smallish elements */
1266 1176 : for (i=1; i<=d; i++)
1267 784 : gel(B,i) = FpC_red(zc_to_ZC(random_pm1(m)),p);
1268 392 : C = try_descend(M,B,p,m,n,d);
1269 392 : if (C) return mkvec2(B,C);
1270 35 : set_avma(av);
1271 :
1272 : /* try random elements */
1273 : for (;;)
1274 : {
1275 105 : for (i=1; i<=d; i++)
1276 70 : gel(B,i) = random_FpC(m,p);
1277 35 : C = try_descend(M,B,p,m,n,d);
1278 35 : if (C) return mkvec2(B,C);
1279 0 : set_avma(av);
1280 : }
1281 : }
1282 : static GEN
1283 18746 : RgC_contract(GEN C, long n, long v) /* n>1 */
1284 : {
1285 : GEN C2, P;
1286 : long m, d, i, j;
1287 18746 : m = lg(C)-1;
1288 18746 : d = m/n;
1289 18746 : C2 = cgetg(d+1,t_COL);
1290 55034 : for (i=1; i<=d; i++)
1291 : {
1292 36288 : P = pol_xn(n-1,v);
1293 131348 : for (j=1; j<=n; j++)
1294 95060 : gel(P,j+1) = gel(C,n*(i-1)+j);
1295 36288 : P = normalizepol(P);
1296 36288 : gel(C2,i) = P;
1297 : }
1298 18746 : return C2;
1299 : }
1300 : static GEN
1301 4165 : RgM_contract(GEN A, long n, long v) /* n>1 */
1302 : {
1303 4165 : GEN A2 = cgetg(lg(A),t_MAT);
1304 : long i;
1305 22911 : for (i=1; i<lg(A2); i++)
1306 18746 : gel(A2,i) = RgC_contract(gel(A,i),n,v);
1307 4165 : return A2;
1308 : }
1309 : static GEN
1310 4165 : descend(GEN M, long n, GEN p, long v)
1311 : {
1312 4165 : GEN res = descend_i(M,n,p);
1313 4165 : gel(res,2) = RgM_contract(gel(res,2),n,v);
1314 4165 : return res;
1315 : }
1316 :
1317 : /* isomorphism of Fp-vector spaces M_d(F_p^n) -> (F_p)^(d^2*n) */
1318 : static GEN
1319 49343 : RgM_mat2col(GEN M, long d, long n)
1320 : {
1321 49343 : long nd = d*n, N = d*nd, i, j, ni, nj;
1322 49343 : GEN C = cgetg(N+1, t_COL);
1323 168504 : for (i=1, ni = 0; i<=d; i++, ni += nd)
1324 459508 : for (j=1, nj = 0; j<=d; j++, nj += n)
1325 : {
1326 340347 : GEN P = gcoeff(M,i,j);
1327 340347 : long k, e = ni + nj + 1;
1328 340347 : if (typ(P)==t_POL)
1329 : {
1330 339731 : long dP = degpol(P);
1331 708139 : for (k = 0; k <= dP; k++)
1332 368408 : gel(C,e+k) = gel(P,k+2);
1333 : } else
1334 : {
1335 616 : gel(C,e) = P;
1336 616 : k = 1;
1337 : }
1338 552946 : for ( ; k < n; k++)
1339 212599 : gel(C,e+k) = gen_0;
1340 : }
1341 49343 : return C;
1342 : }
1343 : /* inverse isomorphism */
1344 : static GEN
1345 1708 : RgC_col2mat(GEN C, long d, long n, long v)
1346 : {
1347 : long i, j, start;
1348 1708 : GEN M = cgetg(d+1, t_MAT), cM;
1349 5432 : for (j=1; j<=d; j++)
1350 : {
1351 3724 : cM = cgetg(d+1, t_COL);
1352 14420 : for (i=1; i<=d; i++)
1353 : {
1354 10696 : start = n*(d*(i-1)+j-1)+1;
1355 10696 : if (n==1) gel(cM,i) = gel(C, start);
1356 4564 : else gel(cM,i) = RgV_to_RgX(vecslice(C, start, start+n-1), v);
1357 : }
1358 3724 : gel(M,j) = cM;
1359 : }
1360 1708 : return M;
1361 : }
1362 :
1363 : static GEN
1364 6510 : alg_finite_csa_split(GEN al, long v)
1365 : {
1366 : GEN Z, e, mte, ire, primelt, b, T, M, proje, lifte, extre, p, B, C, mt, mx, map, mapi, T2, ro;
1367 6510 : long n, d, N = alg_get_absdim(al), i;
1368 6510 : p = alg_get_char(al);
1369 : /* compute the center */
1370 6510 : Z = algcenter(al);
1371 : /* TODO option to give the center as input instead of computing it */
1372 6510 : n = lg(Z)-1;
1373 :
1374 : /* compute a minimal rank idempotent e */
1375 6510 : if (n==N) {
1376 1456 : d = 1;
1377 1456 : e = col_ei(N,1);
1378 1456 : mte = matid(N);
1379 1456 : ire = mkvec2(identity_perm(n),identity_perm(n));
1380 : }
1381 : else {
1382 5054 : d = usqrt(N/n);
1383 5054 : if (d*d*n != N) pari_err(e_MISC, "the algebra must be simple (alg_finite_csa_split 1)");
1384 5047 : e = alg_idempotent(al,n,d);
1385 5033 : mte = gel(e,2);
1386 5033 : ire = gel(e,3);
1387 5033 : e = gel(e,1);
1388 : }
1389 :
1390 : /* identify the center */
1391 6489 : if (n==1)
1392 : {
1393 2317 : T = pol_x(v);
1394 2317 : primelt = gen_0;
1395 : }
1396 : else
1397 : {
1398 4172 : b = alg_decompose(al, Z, 1, &primelt);
1399 4172 : if (!gequal0(b)) pari_err(e_MISC, "the algebra must be simple (alg_finite_csa_split 2)");
1400 4165 : T = gel(primelt,2);
1401 4165 : primelt = gel(primelt,1);
1402 4165 : setvarn(T,v);
1403 : }
1404 :
1405 : /* use the ffinit polynomial */
1406 6482 : if (n>1)
1407 : {
1408 4165 : T2 = init_Fq(p,n,v);
1409 4165 : setvarn(T,fetch_var_higher());
1410 4165 : ro = FpXQX_roots(T2,T,p);
1411 4165 : ro = gel(ro,1);
1412 4165 : primelt = algpoleval(al,ro,primelt);
1413 4165 : T = T2;
1414 4165 : delete_var();
1415 : }
1416 :
1417 : /* descend al*e to a vector space over the center */
1418 : /* lifte: al*e -> al ; proje: al*e -> al */
1419 6482 : lifte = shallowextract(mte,gel(ire,2));
1420 6482 : extre = shallowmatextract(mte,gel(ire,1),gel(ire,2));
1421 6482 : extre = FpM_inv(extre,p);
1422 6482 : proje = rowpermute(mte,gel(ire,1));
1423 6482 : proje = FpM_mul(extre,proje,p);
1424 6482 : if (n==1)
1425 : {
1426 2317 : B = lifte;
1427 2317 : C = proje;
1428 : }
1429 : else
1430 : {
1431 4165 : M = algbasismultable(al,primelt);
1432 4165 : M = FpM_mul(M,lifte,p);
1433 4165 : M = FpM_mul(proje,M,p);
1434 4165 : B = descend(M,n,p,v);
1435 4165 : C = gel(B,2);
1436 4165 : B = gel(B,1);
1437 4165 : B = FpM_mul(lifte,B,p);
1438 4165 : C = FqM_mul(C,proje,T,p);
1439 : }
1440 :
1441 : /* compute the isomorphism */
1442 6482 : mt = alg_get_multable(al);
1443 6482 : map = cgetg(N+1,t_VEC);
1444 6482 : M = cgetg(N+1,t_MAT);
1445 55321 : for (i=1; i<=N; i++)
1446 : {
1447 48839 : mx = gel(mt,i);
1448 48839 : mx = FpM_mul(mx,B,p);
1449 48839 : mx = FqM_mul(C,mx,T,p);
1450 48839 : gel(map,i) = mx;
1451 48839 : gel(M,i) = RgM_mat2col(mx,d,n);
1452 : }
1453 6482 : mapi = FpM_inv(M,p);
1454 6482 : if (!mapi) pari_err(e_MISC, "the algebra must be simple (alg_finite_csa_split 3)");
1455 6475 : return mkvec4(T,map,mapi,M);
1456 : }
1457 :
1458 : GEN
1459 3766 : algsplit(GEN al, long v)
1460 : {
1461 3766 : pari_sp av = avma;
1462 : GEN res, T, map, mapi, ff, p;
1463 : long i,j,k,li,lj;
1464 3766 : checkalg(al);
1465 3759 : p = alg_get_char(al);
1466 3759 : if (gequal0(p))
1467 7 : pari_err_IMPL("splitting a characteristic 0 algebra over its center");
1468 3752 : res = alg_finite_csa_split(al, v);
1469 3717 : T = gel(res,1);
1470 3717 : map = gel(res,2);
1471 3717 : mapi = gel(res,3);
1472 3717 : ff = Tp_to_FF(T,p);
1473 33593 : for (i=1; i<lg(map); i++)
1474 : {
1475 29876 : li = lg(gel(map,i));
1476 89908 : for (j=1; j<li; j++)
1477 : {
1478 60032 : lj = lg(gmael(map,i,j));
1479 190876 : for (k=1; k<lj; k++)
1480 130844 : gmael3(map,i,j,k) = Fq_to_FF(gmael3(map,i,j,k),ff);
1481 : }
1482 : }
1483 :
1484 3717 : return gc_GEN(av, mkvec2(map,mapi));
1485 : }
1486 :
1487 : /* multiplication table sanity checks */
1488 : static GEN
1489 60372 : check_mt_noid(GEN mt, GEN p)
1490 : {
1491 : long i, l;
1492 60372 : GEN MT = cgetg_copy(mt, &l);
1493 60372 : if (typ(MT) != t_VEC || l == 1) return NULL;
1494 297879 : for (i = 1; i < l; i++)
1495 : {
1496 237556 : GEN M = gel(mt,i);
1497 237556 : if (typ(M) != t_MAT || lg(M) != l || lgcols(M) != l) return NULL;
1498 237528 : if (p) M = RgM_to_FpM(M,p);
1499 237528 : gel(MT,i) = M;
1500 : }
1501 60323 : return MT;
1502 : }
1503 : static GEN
1504 59847 : check_mt(GEN mt, GEN p)
1505 : {
1506 : long i;
1507 : GEN MT;
1508 59847 : MT = check_mt_noid(mt, p);
1509 59847 : if (!MT || !ZM_isidentity(gel(MT,1))) return NULL;
1510 234217 : for (i=2; i<lg(MT); i++)
1511 174398 : if (ZC_is_ei(gmael(MT,i,1)) != i) return NULL;
1512 59819 : return MT;
1513 : }
1514 :
1515 : static GEN
1516 294 : check_relmt(GEN nf, GEN mt)
1517 : {
1518 294 : long i, l = lg(mt), j, k;
1519 294 : GEN MT = gcopy(mt), a, b, d;
1520 294 : if (typ(MT) != t_VEC || l == 1) return NULL;
1521 1225 : for (i = 1; i < l; i++)
1522 : {
1523 952 : GEN M = gel(MT,i);
1524 952 : if (typ(M) != t_MAT || lg(M) != l || lgcols(M) != l) return NULL;
1525 4760 : for (k = 1; k < l; k++)
1526 21525 : for (j = 1; j < l; j++)
1527 : {
1528 17717 : a = gcoeff(M,j,k);
1529 17717 : if (typ(a)==t_INT) continue;
1530 2247 : b = algtobasis(nf,a);
1531 2247 : d = Q_denom(b);
1532 2247 : if (!isint1(d))
1533 14 : pari_err_DOMAIN("alg_csa_table", "denominator(mt)", "!=", gen_1, mt);
1534 2233 : gcoeff(M,j,k) = lift(basistoalg(nf,b));
1535 : }
1536 938 : if (i > 1 && RgC_is_ei(gel(M,1)) != i) return NULL; /* i = 1 checked at end */
1537 931 : gel(MT,i) = M;
1538 : }
1539 273 : if (!RgM_isidentity(gel(MT,1))) return NULL;
1540 273 : return MT;
1541 : }
1542 :
1543 : int
1544 532 : algisassociative(GEN mt0, GEN p)
1545 : {
1546 532 : pari_sp av = avma;
1547 : long i, j, k, n;
1548 : GEN M, mt;
1549 :
1550 532 : if (checkalg_i(mt0)) { p = alg_get_char(mt0); mt0 = alg_get_multable(mt0); }
1551 532 : if (!p) p = gen_0;
1552 532 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("algisassociative",p);
1553 525 : mt = check_mt_noid(mt0, isintzero(p)? NULL: p);
1554 525 : if (!mt) pari_err_TYPE("algisassociative (mult. table)", mt0);
1555 490 : if (!ZM_isidentity(gel(mt,1))) return gc_bool(av,0);
1556 476 : n = lg(mt)-1;
1557 476 : M = cgetg(n+1,t_MAT);
1558 3731 : for (j=1; j<=n; j++) gel(M,j) = cgetg(n+1,t_COL);
1559 3731 : for (i=1; i<=n; i++)
1560 : {
1561 3255 : GEN mi = gel(mt,i);
1562 36918 : for (j=1; j<=n; j++) gcoeff(M,i,j) = gel(mi,j); /* ei.ej */
1563 : }
1564 3241 : for (i=2; i<=n; i++) {
1565 2772 : GEN mi = gel(mt,i);
1566 30373 : for (j=2; j<=n; j++) {
1567 381451 : for (k=2; k<=n; k++) {
1568 : GEN x, y;
1569 353850 : if (signe(p)) {
1570 242039 : x = _tablemul_ej_Fp(mt,gcoeff(M,i,j),k,p);
1571 242039 : y = FpM_FpC_mul(mi,gcoeff(M,j,k),p);
1572 : }
1573 : else {
1574 111811 : x = _tablemul_ej(mt,gcoeff(M,i,j),k);
1575 111811 : y = RgM_RgC_mul(mi,gcoeff(M,j,k));
1576 : }
1577 : /* not cmp_universal: must not fail on 0 == Mod(0,2) for instance */
1578 353850 : if (!gequal(x,y)) return gc_bool(av,0);
1579 : }
1580 : }
1581 : }
1582 469 : return gc_bool(av,1);
1583 : }
1584 :
1585 : int
1586 392 : algiscommutative(GEN al) /* assumes e_1 = 1 */
1587 : {
1588 : long i,j,k,N,sp;
1589 : GEN mt,a,b,p;
1590 392 : checkalg(al);
1591 392 : if (alg_type(al) != al_TABLE) return alg_get_degree(al)==1;
1592 329 : N = alg_get_absdim(al);
1593 329 : mt = alg_get_multable(al);
1594 329 : p = alg_get_char(al);
1595 329 : sp = signe(p);
1596 1491 : for (i=2; i<=N; i++)
1597 9772 : for (j=2; j<=N; j++)
1598 89047 : for (k=1; k<=N; k++) {
1599 80514 : a = gcoeff(gel(mt,i),k,j);
1600 80514 : b = gcoeff(gel(mt,j),k,i);
1601 80514 : if (sp) {
1602 73423 : if (cmpii(Fp_red(a,p), Fp_red(b,p))) return 0;
1603 : }
1604 7091 : else if (gcmp(a,b)) return 0;
1605 : }
1606 252 : return 1;
1607 : }
1608 :
1609 : int
1610 392 : algissemisimple(GEN al)
1611 : {
1612 392 : pari_sp av = avma;
1613 : GEN rad;
1614 392 : checkalg(al);
1615 392 : if (alg_type(al) != al_TABLE) return 1;
1616 329 : rad = algradical(al);
1617 329 : set_avma(av);
1618 329 : return gequal0(rad);
1619 : }
1620 :
1621 : /* ss : known to be semisimple */
1622 : int
1623 301 : algissimple(GEN al, long ss)
1624 : {
1625 301 : pari_sp av = avma;
1626 : GEN Z, dec, p;
1627 301 : checkalg(al);
1628 301 : if (alg_type(al) != al_TABLE) return 1;
1629 245 : if (!ss && !algissemisimple(al)) return 0;
1630 :
1631 203 : p = alg_get_char(al);
1632 203 : if (signe(p)) Z = algprimesubalg(al);
1633 112 : else Z = algtablecenter(al);
1634 :
1635 203 : if (lg(Z) == 2) {/* dim Z = 1 */
1636 112 : set_avma(av);
1637 112 : return 1;
1638 : }
1639 91 : dec = alg_decompose(al, Z, 1, NULL);
1640 91 : set_avma(av);
1641 91 : return gequal0(dec);
1642 : }
1643 :
1644 : static long
1645 546 : is_place_emb(GEN nf, GEN pl)
1646 : {
1647 : long r, r1, r2;
1648 546 : if (typ(pl) != t_INT) pari_err_TYPE("is_place_emb", pl);
1649 525 : if (signe(pl)<=0) pari_err_DOMAIN("is_place_emb", "pl", "<=", gen_0, pl);
1650 518 : nf_get_sign(nf,&r1,&r2); r = r1+r2;
1651 518 : if (cmpiu(pl,r)>0) pari_err_DOMAIN("is_place_emb", "pl", ">", utoi(r), pl);
1652 497 : return itou(pl);
1653 : }
1654 :
1655 : static long
1656 497 : alghasse_emb(GEN al, long emb)
1657 : {
1658 497 : GEN nf = alg_get_center(al);
1659 497 : long r1 = nf_get_r1(nf);
1660 497 : return (emb <= r1)? alg_get_hasse_i(al)[emb]: 0;
1661 : }
1662 :
1663 : static long
1664 1799 : alghasse_pr(GEN al, GEN pr)
1665 : {
1666 1799 : GEN hf = alg_get_hasse_f(al);
1667 1792 : long i = tablesearch(gel(hf,1), pr, &cmp_prime_ideal);
1668 1792 : return i? gel(hf,2)[i]: 0;
1669 : }
1670 :
1671 : static long
1672 2380 : alghasse_0(GEN al, GEN pl)
1673 : {
1674 : long ta;
1675 : GEN pr, nf;
1676 2380 : ta = alg_type(al);
1677 2380 : if (ta == al_REAL) return algreal_dim(al)!=1;
1678 2359 : if (!pl)
1679 7 : pari_err(e_MISC, "must provide a place pl");
1680 2352 : if (ta == al_CSA && !alg_is_asq(al))
1681 7 : pari_err_IMPL("computation of Hasse invariants over table CSA");
1682 2345 : if ((pr = get_prid(pl))) return alghasse_pr(al, pr);
1683 546 : nf = alg_get_center(al);
1684 546 : return alghasse_emb(al, is_place_emb(nf, pl));
1685 : }
1686 : GEN
1687 343 : alghasse(GEN al, GEN pl)
1688 : {
1689 : long h;
1690 343 : checkalg(al);
1691 343 : if (alg_type(al) == al_TABLE) pari_err_TYPE("alghasse [use alginit]",al);
1692 336 : h = alghasse_0(al,pl);
1693 280 : return sstoQ(h, alg_get_degree(al));
1694 : }
1695 :
1696 : /* h >= 0, d >= 0 */
1697 : static long
1698 2219 : indexfromhasse(long h, long d) { return d/ugcd(h,d); }
1699 :
1700 : long
1701 2191 : algindex(GEN al, GEN pl)
1702 : {
1703 : long d, res, i, l, ta;
1704 : GEN hi, hf;
1705 :
1706 2191 : checkalg(al);
1707 2184 : ta = alg_type(al);
1708 2184 : if (ta == al_TABLE) pari_err_TYPE("algindex [use alginit]",al);
1709 2177 : if (ta == al_REAL) return algreal_dim(al)==1 ? 1 : 2;
1710 2093 : d = alg_get_degree(al);
1711 2093 : if (pl) return indexfromhasse(alghasse_0(al,pl), d);
1712 :
1713 : /* else : global index */
1714 273 : res = 1;
1715 273 : hi = alg_get_hasse_i(al); l = lg(hi);
1716 518 : for (i=1; i<l && res!=d; i++) res = ulcm(res, indexfromhasse(hi[i],d));
1717 273 : hf = gel(alg_get_hasse_f(al), 2); l = lg(hf);
1718 420 : for (i=1; i<l && res!=d; i++) res = ulcm(res, indexfromhasse(hf[i],d));
1719 266 : return res;
1720 : }
1721 :
1722 : int
1723 287 : algisdivision(GEN al, GEN pl)
1724 : {
1725 287 : checkalg(al);
1726 287 : if (alg_type(al) == al_TABLE) {
1727 21 : if (!algissimple(al,0)) return 0;
1728 14 : if (algiscommutative(al)) return 1;
1729 7 : pari_err_IMPL("algisdivision for table algebras");
1730 : }
1731 266 : return algindex(al,pl) == alg_get_degree(al);
1732 : }
1733 :
1734 : int
1735 1652 : algissplit(GEN al, GEN pl)
1736 : {
1737 1652 : checkalg(al);
1738 1652 : if (alg_type(al) == al_TABLE) pari_err_TYPE("algissplit [use alginit]", al);
1739 1638 : return algindex(al,pl) == 1;
1740 : }
1741 :
1742 : int
1743 1386 : algisramified(GEN al, GEN pl) { return !algissplit(al,pl); }
1744 :
1745 : /* sorted; infinite places first */
1746 : GEN
1747 364 : algramifiedplaces(GEN al)
1748 : {
1749 364 : pari_sp av = avma;
1750 : GEN ram, hf, hi, Lpr;
1751 : long r1, count, i, ta;
1752 364 : checkalg(al);
1753 364 : ta = alg_type(al);
1754 364 : if (ta != al_CSA && ta != al_CYCLIC)
1755 14 : pari_err_TYPE("algramifiedplaces [not a central simple algebra"
1756 : " over a number field]", al);
1757 350 : r1 = nf_get_r1(alg_get_center(al));
1758 350 : hi = alg_get_hasse_i(al);
1759 336 : hf = alg_get_hasse_f(al);
1760 322 : Lpr = gel(hf,1);
1761 322 : hf = gel(hf,2);
1762 322 : ram = cgetg(r1+lg(Lpr), t_VEC);
1763 322 : count = 0;
1764 889 : for (i=1; i<=r1; i++)
1765 567 : if (hi[i]) {
1766 224 : count++;
1767 224 : gel(ram,count) = stoi(i);
1768 : }
1769 1059 : for (i=1; i<lg(Lpr); i++)
1770 737 : if (hf[i]) {
1771 322 : count++;
1772 322 : gel(ram,count) = gel(Lpr,i);
1773 : }
1774 322 : setlg(ram, count+1);
1775 322 : return gc_GEN(av, ram);
1776 : }
1777 :
1778 : /* assume same degree and al_CYCLIC or al_CSA */
1779 : static int
1780 154 : algissimilar_i(GEN al, GEN al2, GEN pl)
1781 : {
1782 : GEN ram, ram2;
1783 : long i, h;
1784 154 : if (pl)
1785 : {
1786 70 : h = alghasse_0(al2,pl);
1787 56 : return alghasse_0(al,pl) == h;
1788 : }
1789 84 : ram = algramifiedplaces(al);
1790 63 : ram2 = algramifiedplaces(al2);
1791 63 : if (!gequal(ram, ram2)) return 0;
1792 84 : for (i = 1; i < lg(ram); i++)
1793 : {
1794 49 : h = alghasse_0(al2,gel(ram,i));
1795 49 : if (alghasse_0(al,gel(ram,i)) != h) return 0;
1796 : }
1797 35 : return 1;
1798 : }
1799 :
1800 : int
1801 245 : algisisom(GEN al, GEN al2, GEN pl)
1802 : {
1803 245 : pari_sp av = avma;
1804 : long t, d;
1805 245 : checkalg(al);
1806 238 : checkalg(al2);
1807 231 : t = alg_type(al);
1808 231 : if (t != al_CYCLIC && t != al_CSA)
1809 14 : pari_err_TYPE("algisisom [al: apply alginit()]", al);
1810 217 : t = alg_type(al2);
1811 217 : if (t != al_CYCLIC && t != al_CSA)
1812 14 : pari_err_TYPE("algisisom [al2: apply alginit()]", al2);
1813 203 : if (!gequal(nf_get_pol(alg_get_center(al)), nf_get_pol(alg_get_center(al2))))
1814 7 : pari_err(e_MISC, "base fields must be identical in algisisom");
1815 196 : d = alg_get_degree(al);
1816 196 : if (d != alg_get_degree(al2)) return gc_int(av, 0);
1817 189 : if (d == 1) return gc_int(av, 1);
1818 154 : return gc_int(av, algissimilar_i(al,al2,pl));
1819 : }
1820 :
1821 : GEN
1822 84 : algnewprec_shallow(GEN al, long prec)
1823 : {
1824 : GEN al2;
1825 84 : long t = algtype(al);
1826 84 : if (t != al_CYCLIC && t != al_CSA) return al;
1827 56 : al2 = shallowcopy(al);
1828 56 : gel(al2,1) = rnfnewprec_shallow(gel(al2,1), prec);
1829 56 : return al2;
1830 : };
1831 :
1832 : GEN
1833 84 : algnewprec(GEN al, long prec)
1834 : {
1835 84 : pari_sp av = avma;
1836 84 : GEN al2 = algnewprec_shallow(al, prec);
1837 84 : return gc_GEN(av, al2);
1838 : }
1839 :
1840 : /** OPERATIONS ON ELEMENTS operations.c **/
1841 :
1842 : static long
1843 1896132 : alg_model0(GEN al, GEN x)
1844 : {
1845 1896132 : long t, N = alg_get_absdim(al), lx = lg(x), d, n, D, i;
1846 1896132 : if (typ(x) == t_MAT) return al_MATRIX;
1847 1850009 : if (typ(x) != t_COL) return al_INVALID;
1848 1849932 : if (N == 1) {
1849 7679 : if (lx != 2) return al_INVALID;
1850 7658 : switch(typ(gel(x,1)))
1851 : {
1852 4928 : case t_INT: case t_FRAC: return al_TRIVIAL; /* cannot distinguish basis and alg from size */
1853 2723 : case t_POL: case t_POLMOD: return al_ALGEBRAIC;
1854 7 : default: return al_INVALID;
1855 : }
1856 : }
1857 :
1858 1842253 : switch(alg_type(al)) {
1859 733858 : case al_TABLE:
1860 733858 : if (lx != N+1) return al_INVALID;
1861 733837 : return al_BASIS;
1862 942054 : case al_CYCLIC:
1863 942054 : d = alg_get_degree(al);
1864 942054 : if (lx == N+1) return al_BASIS;
1865 113135 : if (lx == d+1) return al_ALGEBRAIC;
1866 49 : return al_INVALID;
1867 166341 : case al_CSA:
1868 166341 : D = alg_get_dim(al);
1869 166341 : n = nf_get_degree(alg_get_center(al));
1870 166341 : if (n == 1) {
1871 22652 : if (lx != D+1) return al_INVALID;
1872 104433 : for (i=1; i<=D; i++) {
1873 84007 : t = typ(gel(x,i));
1874 84007 : if (t == t_POL || t == t_POLMOD) return al_ALGEBRAIC;
1875 : /* TODO t_COL for coefficients in basis form ? */
1876 : }
1877 20426 : return al_BASIS;
1878 : }
1879 : else {
1880 143689 : if (lx == N+1) return al_BASIS;
1881 25809 : if (lx == D+1) return al_ALGEBRAIC;
1882 7 : return al_INVALID;
1883 : }
1884 : }
1885 : return al_INVALID; /* LCOV_EXCL_LINE */
1886 : }
1887 :
1888 : static void
1889 1895943 : checkalgx(GEN x, long model)
1890 : {
1891 : long t, i;
1892 1895943 : switch(model) {
1893 1701062 : case al_BASIS:
1894 22644279 : for (i=1; i<lg(x); i++) {
1895 20943224 : t = typ(gel(x,i));
1896 20943224 : if (t != t_INT && t != t_FRAC)
1897 7 : pari_err_TYPE("checkalgx", gel(x,i));
1898 : }
1899 1701055 : return;
1900 148758 : case al_TRIVIAL:
1901 : case al_ALGEBRAIC:
1902 503591 : for (i=1; i<lg(x); i++) {
1903 354840 : t = typ(gel(x,i));
1904 354840 : if (t != t_INT && t != t_FRAC && t != t_POL && t != t_POLMOD)
1905 : /* TODO t_COL ? */
1906 7 : pari_err_TYPE("checkalgx", gel(x,i));
1907 : }
1908 148751 : return;
1909 : }
1910 : }
1911 :
1912 : long
1913 1896132 : alg_model(GEN al, GEN x)
1914 : {
1915 1896132 : long res = alg_model0(al, x);
1916 1896132 : if (res == al_INVALID) pari_err_TYPE("alg_model", x);
1917 1895943 : checkalgx(x, res); return res;
1918 : }
1919 :
1920 : static long
1921 462910 : H_model0(GEN x)
1922 : {
1923 : long i;
1924 462910 : switch(typ(x))
1925 : {
1926 15274 : case t_INT:
1927 : case t_FRAC:
1928 : case t_REAL:
1929 : case t_COMPLEX:
1930 15274 : return H_SCALAR;
1931 10157 : case t_MAT:
1932 10157 : return H_MATRIX;
1933 437367 : case t_COL:
1934 437367 : if (lg(x)!=5) return H_INVALID;
1935 2186688 : for (i=1; i<=4; i++) if (!is_real_t(typ(gel(x,i)))) return H_INVALID;
1936 437332 : return H_QUATERNION;
1937 112 : default:
1938 112 : return al_INVALID;
1939 : }
1940 : }
1941 :
1942 : static long
1943 462910 : H_model(GEN x)
1944 : {
1945 462910 : long res = H_model0(x);
1946 462910 : if (res == H_INVALID) pari_err_TYPE("H_model", x);
1947 462763 : return res;
1948 : }
1949 :
1950 : static GEN
1951 756 : alC_add_i(GEN al, GEN x, GEN y, long lx)
1952 : {
1953 756 : GEN A = cgetg(lx, t_COL);
1954 : long i;
1955 2296 : for (i=1; i<lx; i++) gel(A,i) = algadd(al, gel(x,i), gel(y,i));
1956 749 : return A;
1957 : }
1958 : static GEN
1959 406 : alM_add(GEN al, GEN x, GEN y)
1960 : {
1961 406 : long lx = lg(x), l, j;
1962 : GEN z;
1963 406 : if (lg(y) != lx) pari_err_DIM("alM_add (rows)");
1964 392 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_MAT);
1965 385 : z = cgetg(lx, t_MAT); l = lgcols(x);
1966 385 : if (lgcols(y) != l) pari_err_DIM("alM_add (columns)");
1967 1127 : for (j = 1; j < lx; j++) gel(z,j) = alC_add_i(al, gel(x,j), gel(y,j), l);
1968 371 : return z;
1969 : }
1970 : static GEN
1971 17745 : H_add(GEN x, GEN y)
1972 : {
1973 17745 : long tx = H_model(x), ty = H_model(y);
1974 17724 : if ((tx==H_MATRIX) ^ (ty==H_MATRIX)) pari_err_TYPE2("H_add", x, y);
1975 17710 : if (tx>ty) { swap(x,y); lswap(tx,ty); }
1976 17710 : switch (tx)
1977 : {
1978 105 : case H_MATRIX: /* both H_MATRIX */ return alM_add(NULL, x, y);
1979 16681 : case H_QUATERNION: /* both H_QUATERNION */ return gadd(x,y);
1980 924 : case H_SCALAR:
1981 924 : if (ty == H_SCALAR) return gadd(x,y);
1982 : else /* ty == H_QUATERNION */
1983 : {
1984 217 : pari_sp av = avma;
1985 217 : GEN res = gcopy(y), im;
1986 217 : gel(res,1) = gadd(gel(res,1), real_i(x));
1987 217 : im = imag_i(x);
1988 217 : if (im != gen_0) gel(res,2) = gadd(gel(res,2), im);
1989 217 : return gc_upto(av, res);
1990 : }
1991 : }
1992 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
1993 : }
1994 : GEN
1995 54999 : algadd(GEN al, GEN x, GEN y)
1996 : {
1997 54999 : pari_sp av = avma;
1998 : long tx, ty;
1999 : GEN p;
2000 54999 : checkalg(al);
2001 54999 : if (alg_type(al)==al_REAL) return H_add(x,y);
2002 37254 : tx = alg_model(al,x);
2003 37247 : ty = alg_model(al,y);
2004 37247 : p = alg_get_char(al);
2005 37247 : if (signe(p)) return FpC_add(x,y,p);
2006 37114 : if (tx==ty) {
2007 36232 : if (tx!=al_MATRIX) return gadd(x,y);
2008 301 : return gc_GEN(av, alM_add(al,x,y));
2009 : }
2010 882 : if (tx==al_ALGEBRAIC) x = algalgtobasis(al,x);
2011 882 : if (ty==al_ALGEBRAIC) y = algalgtobasis(al,y);
2012 882 : return gc_upto(av, gadd(x,y));
2013 : }
2014 :
2015 : static GEN
2016 98 : H_neg(GEN x)
2017 : {
2018 98 : (void)H_model(x);
2019 70 : return gneg(x);
2020 : }
2021 :
2022 : GEN
2023 245 : algneg(GEN al, GEN x)
2024 : {
2025 245 : checkalg(al);
2026 245 : if (alg_type(al)==al_REAL) return H_neg(x);
2027 147 : (void)alg_model(al,x);
2028 140 : return gneg(x);
2029 : }
2030 :
2031 : static GEN
2032 210 : alC_sub_i(GEN al, GEN x, GEN y, long lx)
2033 : {
2034 : long i;
2035 210 : GEN A = cgetg(lx, t_COL);
2036 630 : for (i=1; i<lx; i++) gel(A,i) = algsub(al, gel(x,i), gel(y,i));
2037 210 : return A;
2038 : }
2039 : static GEN
2040 126 : alM_sub(GEN al, GEN x, GEN y)
2041 : {
2042 126 : long lx = lg(x), l, j;
2043 : GEN z;
2044 126 : if (lg(y) != lx) pari_err_DIM("alM_sub (rows)");
2045 119 : if (lx == 1) return cgetg(1, t_MAT);
2046 112 : z = cgetg(lx, t_MAT); l = lgcols(x);
2047 112 : if (lgcols(y) != l) pari_err_DIM("alM_sub (columns)");
2048 315 : for (j = 1; j < lx; j++) gel(z,j) = alC_sub_i(al, gel(x,j), gel(y,j), l);
2049 105 : return z;
2050 : }
2051 : GEN
2052 1127 : algsub(GEN al, GEN x, GEN y)
2053 : {
2054 : long tx, ty;
2055 1127 : pari_sp av = avma;
2056 : GEN p;
2057 1127 : checkalg(al);
2058 1127 : if (alg_type(al)==al_REAL) return gc_upto(av, algadd(NULL,x,gneg(y)));
2059 973 : tx = alg_model(al,x);
2060 966 : ty = alg_model(al,y);
2061 966 : p = alg_get_char(al);
2062 966 : if (signe(p)) return FpC_sub(x,y,p);
2063 875 : if (tx==ty) {
2064 553 : if (tx != al_MATRIX) return gsub(x,y);
2065 126 : return gc_GEN(av, alM_sub(al,x,y));
2066 : }
2067 322 : if (tx==al_ALGEBRAIC) x = algalgtobasis(al,x);
2068 322 : if (ty==al_ALGEBRAIC) y = algalgtobasis(al,y);
2069 322 : return gc_upto(av, gsub(x,y));
2070 : }
2071 :
2072 : static GEN
2073 1659 : algalgmul_cyc(GEN al, GEN x, GEN y)
2074 : {
2075 1659 : pari_sp av = avma;
2076 1659 : long n = alg_get_degree(al), i, k;
2077 : GEN xalg, yalg, res, rnf, auts, sum, b, prod, autx;
2078 1659 : rnf = alg_get_splittingfield(al);
2079 1659 : auts = alg_get_auts(al);
2080 1659 : b = alg_get_b(al);
2081 :
2082 1659 : xalg = cgetg(n+1, t_COL);
2083 4935 : for (i=0; i<n; i++)
2084 3276 : gel(xalg,i+1) = lift_shallow(rnfbasistoalg(rnf,gel(x,i+1)));
2085 :
2086 1659 : yalg = cgetg(n+1, t_COL);
2087 4935 : for (i=0; i<n; i++) gel(yalg,i+1) = rnfbasistoalg(rnf,gel(y,i+1));
2088 :
2089 1659 : res = cgetg(n+1,t_COL);
2090 4935 : for (k=0; k<n; k++) {
2091 3276 : gel(res,k+1) = gmul(gel(xalg,k+1),gel(yalg,1));
2092 5166 : for (i=1; i<=k; i++) {
2093 1890 : autx = poleval(gel(xalg,k-i+1),gel(auts,i));
2094 1890 : prod = gmul(autx,gel(yalg,i+1));
2095 1890 : gel(res,k+1) = gadd(gel(res,k+1), prod);
2096 : }
2097 :
2098 3276 : sum = gen_0;
2099 5166 : for (; i<n; i++) {
2100 1890 : autx = poleval(gel(xalg,k+n-i+1),gel(auts,i));
2101 1890 : prod = gmul(autx,gel(yalg,i+1));
2102 1890 : sum = gadd(sum,prod);
2103 : }
2104 3276 : sum = gmul(b,sum);
2105 :
2106 3276 : gel(res,k+1) = gadd(gel(res,k+1),sum);
2107 : }
2108 :
2109 1659 : return gc_GEN(av, res);
2110 : }
2111 :
2112 : static GEN
2113 521822 : _tablemul(GEN mt, GEN x, GEN y)
2114 : {
2115 521822 : pari_sp av = avma;
2116 521822 : long D = lg(mt)-1, i;
2117 521822 : GEN res = NULL;
2118 8016946 : for (i=1; i<=D; i++) {
2119 7495124 : GEN c = gel(x,i);
2120 7495124 : if (!gequal0(c)) {
2121 1770670 : GEN My = RgM_RgC_mul(gel(mt,i),y);
2122 1770670 : GEN t = RgC_Rg_mul(My,c);
2123 1770670 : res = res? RgC_add(res,t): t;
2124 : }
2125 : }
2126 521822 : if (!res) { set_avma(av); return zerocol(D); }
2127 520912 : return gc_upto(av, res);
2128 : }
2129 :
2130 : static GEN
2131 299736 : _tablemul_Fp(GEN mt, GEN x, GEN y, GEN p)
2132 : {
2133 299736 : pari_sp av = avma;
2134 299736 : long D = lg(mt)-1, i;
2135 299736 : GEN res = NULL;
2136 2866309 : for (i=1; i<=D; i++) {
2137 2566573 : GEN c = gel(x,i);
2138 2566573 : if (signe(c)) {
2139 533518 : GEN My = FpM_FpC_mul(gel(mt,i),y,p);
2140 533518 : GEN t = FpC_Fp_mul(My,c,p);
2141 533518 : res = res? FpC_add(res,t,p): t;
2142 : }
2143 : }
2144 299736 : if (!res) { set_avma(av); return zerocol(D); }
2145 299197 : return gc_upto(av, res);
2146 : }
2147 :
2148 : /* x*ej */
2149 : static GEN
2150 111811 : _tablemul_ej(GEN mt, GEN x, long j)
2151 : {
2152 111811 : pari_sp av = avma;
2153 111811 : long D = lg(mt)-1, i;
2154 111811 : GEN res = NULL;
2155 1707468 : for (i=1; i<=D; i++) {
2156 1595657 : GEN c = gel(x,i);
2157 1595657 : if (!gequal0(c)) {
2158 162302 : GEN My = gel(gel(mt,i),j);
2159 162302 : GEN t = RgC_Rg_mul(My,c);
2160 162302 : res = res? RgC_add(res,t): t;
2161 : }
2162 : }
2163 111811 : if (!res) { set_avma(av); return zerocol(D); }
2164 111629 : return gc_upto(av, res);
2165 : }
2166 : static GEN
2167 242039 : _tablemul_ej_Fp(GEN mt, GEN x, long j, GEN p)
2168 : {
2169 242039 : pari_sp av = avma;
2170 242039 : long D = lg(mt)-1, i;
2171 242039 : GEN res = NULL;
2172 4364787 : for (i=1; i<=D; i++) {
2173 4122748 : GEN c = gel(x,i);
2174 4122748 : if (!gequal0(c)) {
2175 289954 : GEN My = gel(gel(mt,i),j);
2176 289954 : GEN t = FpC_Fp_mul(My,c,p);
2177 289954 : res = res? FpC_add(res,t,p): t;
2178 : }
2179 : }
2180 242039 : if (!res) { set_avma(av); return zerocol(D); }
2181 241927 : return gc_upto(av, res);
2182 : }
2183 :
2184 : static GEN
2185 619387 : _tablemul_ej_Fl(GEN mt, GEN x, long j, ulong p)
2186 : {
2187 619387 : pari_sp av = avma;
2188 619387 : long D = lg(mt)-1, i;
2189 619387 : GEN res = NULL;
2190 13999108 : for (i=1; i<=D; i++) {
2191 13379721 : ulong c = x[i];
2192 13379721 : if (c) {
2193 1286016 : GEN My = gel(gel(mt,i),j);
2194 1286016 : GEN t = Flv_Fl_mul(My,c, p);
2195 1286016 : res = res? Flv_add(res,t, p): t;
2196 : }
2197 : }
2198 619387 : if (!res) { set_avma(av); return zero_Flv(D); }
2199 619387 : return gc_upto(av, res);
2200 : }
2201 :
2202 : static GEN
2203 686 : algalgmul_csa(GEN al, GEN x, GEN y)
2204 : {
2205 686 : GEN z, nf = alg_get_center(al);
2206 : long i;
2207 686 : z = _tablemul(alg_get_relmultable(al), x, y);
2208 2485 : for (i=1; i<lg(z); i++)
2209 1799 : gel(z,i) = basistoalg(nf,gel(z,i));
2210 686 : return z;
2211 : }
2212 :
2213 : /* assumes x and y in algebraic form */
2214 : static GEN
2215 2345 : algalgmul(GEN al, GEN x, GEN y)
2216 : {
2217 2345 : switch(alg_type(al))
2218 : {
2219 1659 : case al_CYCLIC: return algalgmul_cyc(al, x, y);
2220 686 : case al_CSA: return algalgmul_csa(al, x, y);
2221 : }
2222 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2223 : }
2224 :
2225 : static GEN
2226 820872 : algbasismul(GEN al, GEN x, GEN y)
2227 : {
2228 820872 : GEN mt = alg_get_multable(al), p = alg_get_char(al);
2229 820872 : if (signe(p)) return _tablemul_Fp(mt, x, y, p);
2230 521136 : return _tablemul(mt, x, y);
2231 : }
2232 :
2233 : /* x[i,]*y. Assume lg(x) > 1 and 0 < i < lgcols(x) */
2234 : static GEN
2235 119651 : alMrow_alC_mul_i(GEN al, GEN x, GEN y, long i, long lx)
2236 : {
2237 119651 : pari_sp av = avma;
2238 119651 : GEN c = algmul(al,gcoeff(x,i,1),gel(y,1)), ZERO;
2239 : long k;
2240 119651 : ZERO = zerocol(alg_get_absdim(al));
2241 273308 : for (k = 2; k < lx; k++)
2242 : {
2243 153657 : GEN t = algmul(al, gcoeff(x,i,k), gel(y,k));
2244 153657 : if (!gequal(t,ZERO)) c = algadd(al, c, t);
2245 : }
2246 119651 : return gc_GEN(av, c);
2247 : }
2248 : /* return x * y, 1 < lx = lg(x), l = lgcols(x) */
2249 : static GEN
2250 54502 : alM_alC_mul_i(GEN al, GEN x, GEN y, long lx, long l)
2251 : {
2252 54502 : GEN z = cgetg(l,t_COL);
2253 : long i;
2254 174153 : for (i=1; i<l; i++) gel(z,i) = alMrow_alC_mul_i(al,x,y,i,lx);
2255 54502 : return z;
2256 : }
2257 : static GEN
2258 25627 : alM_mul(GEN al, GEN x, GEN y)
2259 : {
2260 25627 : long j, l, lx=lg(x), ly=lg(y);
2261 : GEN z;
2262 25627 : if (ly==1) return cgetg(1,t_MAT);
2263 25529 : if (lx != lgcols(y)) pari_err_DIM("alM_mul");
2264 25508 : if (lx==1) return zeromat(0, ly-1);
2265 25501 : l = lgcols(x); z = cgetg(ly,t_MAT);
2266 80003 : for (j=1; j<ly; j++) gel(z,j) = alM_alC_mul_i(al,x,gel(y,j),lx,l);
2267 25501 : return z;
2268 : }
2269 :
2270 : static void
2271 205639 : H_compo(GEN x, GEN* a, GEN* b, GEN* c, GEN* d)
2272 : {
2273 205639 : switch(H_model(x))
2274 : {
2275 5173 : case H_SCALAR:
2276 5173 : *a = real_i(x);
2277 5173 : *b = imag_i(x);
2278 5173 : *c = gen_0;
2279 5173 : *d = gen_0;
2280 5173 : return;
2281 200466 : case H_QUATERNION:
2282 200466 : *a = gel(x,1);
2283 200466 : *b = gel(x,2);
2284 200466 : *c = gel(x,3);
2285 200466 : *d = gel(x,4);
2286 200466 : return;
2287 : default: *a = *b = *c = *d = NULL; return; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2288 : }
2289 : }
2290 : static GEN
2291 108129 : H_mul(GEN x, GEN y)
2292 : {
2293 108129 : pari_sp av = avma;
2294 : GEN a,b,c,d,u,v,w,z;
2295 108129 : long tx = H_model(x), ty = H_model(y);
2296 108115 : if ((tx==H_MATRIX) ^ (ty==H_MATRIX)) pari_err_TYPE2("H_mul", x, y);
2297 108108 : if (tx == H_MATRIX) /* both H_MATRIX */ return alM_mul(NULL, x, y);
2298 103817 : if (tx == H_SCALAR && ty == H_SCALAR) return gmul(x,y);
2299 102620 : H_compo(x,&a,&b,&c,&d);
2300 102620 : H_compo(y,&u,&v,&w,&z);
2301 102620 : return gc_GEN(av,mkcol4(
2302 : gsub(gmul(a,u), gadd(gadd(gmul(b,v),gmul(c,w)),gmul(d,z))),
2303 : gsub(gadd(gmul(a,v),gadd(gmul(b,u),gmul(c,z))), gmul(d,w)),
2304 : gsub(gadd(gmul(a,w),gadd(gmul(c,u),gmul(d,v))), gmul(b,z)),
2305 : gsub(gadd(gmul(a,z),gadd(gmul(b,w),gmul(d,u))), gmul(c,v))
2306 : ));
2307 : }
2308 :
2309 : GEN
2310 821811 : algmul(GEN al, GEN x, GEN y)
2311 : {
2312 821811 : pari_sp av = avma;
2313 : long tx, ty;
2314 821811 : checkalg(al);
2315 821811 : if (alg_type(al)==al_REAL) return H_mul(x,y);
2316 713962 : tx = alg_model(al,x);
2317 713948 : ty = alg_model(al,y);
2318 713948 : if (tx==al_MATRIX) {
2319 20832 : if (ty==al_MATRIX) return alM_mul(al,x,y);
2320 7 : pari_err_TYPE("algmul", y);
2321 : }
2322 693116 : if (signe(alg_get_char(al))) return algbasismul(al,x,y);
2323 521150 : if (tx==al_TRIVIAL) retmkcol(gmul(gel(x,1),gel(y,1)));
2324 520450 : if (tx==al_ALGEBRAIC && ty==al_ALGEBRAIC) return algalgmul(al,x,y);
2325 518924 : if (tx==al_ALGEBRAIC) x = algalgtobasis(al,x);
2326 518924 : if (ty==al_ALGEBRAIC) y = algalgtobasis(al,y);
2327 518924 : return gc_upto(av,algbasismul(al,x,y));
2328 : }
2329 :
2330 : static GEN
2331 329 : H_sqr(GEN x)
2332 : {
2333 329 : pari_sp av = avma;
2334 329 : long tx = H_model(x);
2335 : GEN a,b,c,d;
2336 308 : if (tx == H_SCALAR) return gsqr(x);
2337 224 : if (tx == H_MATRIX) return H_mul(x,x);
2338 119 : H_compo(x,&a,&b,&c,&d);
2339 119 : return gc_GEN(av, mkcol4(
2340 : gsub(gsqr(a), gadd(gsqr(b),gadd(gsqr(c),gsqr(d)))),
2341 : gshift(gmul(a,b),1),
2342 : gshift(gmul(a,c),1),
2343 : gshift(gmul(a,d),1)
2344 : ));
2345 : }
2346 :
2347 : GEN
2348 127056 : algsqr(GEN al, GEN x)
2349 : {
2350 127056 : pari_sp av = avma;
2351 : long tx;
2352 127056 : checkalg(al);
2353 127021 : if (alg_type(al)==al_REAL) return H_sqr(x);
2354 126692 : tx = alg_model(al,x);
2355 126622 : if (tx==al_MATRIX) return gc_GEN(av,alM_mul(al,x,x));
2356 126111 : if (signe(alg_get_char(al))) return algbasismul(al,x,x);
2357 3381 : if (tx==al_TRIVIAL) retmkcol(gsqr(gel(x,1)));
2358 3031 : if (tx==al_ALGEBRAIC) return algalgmul(al,x,x);
2359 2212 : return gc_upto(av,algbasismul(al,x,x));
2360 : }
2361 :
2362 : static GEN
2363 14399 : algmtK2Z_cyc(GEN al, GEN m)
2364 : {
2365 14399 : pari_sp av = avma;
2366 14399 : GEN nf = alg_get_abssplitting(al), res, mt, rnf = alg_get_splittingfield(al), c, dc;
2367 14399 : long n = alg_get_degree(al), N = nf_get_degree(nf), Nn, i, j, i1, j1;
2368 14399 : Nn = N*n;
2369 14399 : res = zeromatcopy(Nn,Nn);
2370 60312 : for (i=0; i<n; i++)
2371 247380 : for (j=0; j<n; j++) {
2372 201467 : c = gcoeff(m,i+1,j+1);
2373 201467 : if (!gequal0(c)) {
2374 45913 : c = rnfeltreltoabs(rnf,c);
2375 45913 : c = algtobasis(nf,c);
2376 45913 : c = Q_remove_denom(c,&dc);
2377 45913 : mt = zk_multable(nf,c);
2378 45913 : if (dc) mt = ZM_Z_div(mt,dc);
2379 384860 : for (i1=1; i1<=N; i1++)
2380 3464636 : for (j1=1; j1<=N; j1++)
2381 3125689 : gcoeff(res,i*N+i1,j*N+j1) = gcoeff(mt,i1,j1);
2382 : }
2383 : }
2384 14399 : return gc_GEN(av,res);
2385 : }
2386 :
2387 : static GEN
2388 1687 : algmtK2Z_csa(GEN al, GEN m)
2389 : {
2390 1687 : pari_sp av = avma;
2391 1687 : GEN nf = alg_get_center(al), res, mt, c, dc;
2392 1687 : long d2 = alg_get_dim(al), n = nf_get_degree(nf), D, i, j, i1, j1;
2393 1687 : D = d2*n;
2394 1687 : res = zeromatcopy(D,D);
2395 9086 : for (i=0; i<d2; i++)
2396 45206 : for (j=0; j<d2; j++) {
2397 37807 : c = gcoeff(m,i+1,j+1);
2398 37807 : if (!gequal0(c)) {
2399 7035 : c = algtobasis(nf,c);
2400 7035 : c = Q_remove_denom(c,&dc);
2401 7035 : mt = zk_multable(nf,c);
2402 7035 : if (dc) mt = ZM_Z_div(mt,dc);
2403 22064 : for (i1=1; i1<=n; i1++)
2404 50414 : for (j1=1; j1<=n; j1++)
2405 35385 : gcoeff(res,i*n+i1,j*n+j1) = gcoeff(mt,i1,j1);
2406 : }
2407 : }
2408 1687 : return gc_GEN(av,res);
2409 : }
2410 :
2411 : /* assumes al is a CSA or CYCLIC */
2412 : static GEN
2413 16086 : algmtK2Z(GEN al, GEN m)
2414 : {
2415 16086 : switch(alg_type(al))
2416 : {
2417 14399 : case al_CYCLIC: return algmtK2Z_cyc(al, m);
2418 1687 : case al_CSA: return algmtK2Z_csa(al, m);
2419 : }
2420 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2421 : }
2422 :
2423 : /* left multiplication table, as a vector space of dimension n over the splitting field (by right multiplication) */
2424 : static GEN
2425 17164 : algalgmultable_cyc(GEN al, GEN x)
2426 : {
2427 17164 : pari_sp av = avma;
2428 17164 : long n = alg_get_degree(al), i, j;
2429 : GEN res, rnf, auts, b, pol;
2430 17164 : rnf = alg_get_splittingfield(al);
2431 17164 : auts = alg_get_auts(al);
2432 17164 : b = alg_get_b(al);
2433 17164 : pol = rnf_get_pol(rnf);
2434 :
2435 17164 : res = zeromatcopy(n,n);
2436 68663 : for (i=0; i<n; i++)
2437 51499 : gcoeff(res,i+1,1) = lift_shallow(rnfbasistoalg(rnf,gel(x,i+1)));
2438 :
2439 68663 : for (i=0; i<n; i++) {
2440 132405 : for (j=1; j<=i; j++)
2441 80906 : gcoeff(res,i+1,j+1) = gmodulo(poleval(gcoeff(res,i-j+1,1),gel(auts,j)),pol);
2442 132405 : for (; j<n; j++)
2443 80906 : gcoeff(res,i+1,j+1) = gmodulo(gmul(b,poleval(gcoeff(res,n+i-j+1,1),gel(auts,j))), pol);
2444 : }
2445 :
2446 68663 : for (i=0; i<n; i++)
2447 51499 : gcoeff(res,i+1,1) = gmodulo(gcoeff(res,i+1,1),pol);
2448 :
2449 17164 : return gc_GEN(av, res);
2450 : }
2451 :
2452 : static GEN
2453 2170 : elementmultable(GEN mt, GEN x)
2454 : {
2455 2170 : pari_sp av = avma;
2456 2170 : long D = lg(mt)-1, i;
2457 2170 : GEN z = NULL;
2458 11207 : for (i=1; i<=D; i++)
2459 : {
2460 9037 : GEN c = gel(x,i);
2461 9037 : if (!gequal0(c))
2462 : {
2463 2961 : GEN M = RgM_Rg_mul(gel(mt,i),c);
2464 2961 : z = z? RgM_add(z, M): M;
2465 : }
2466 : }
2467 2170 : if (!z) { set_avma(av); return zeromatcopy(D,D); }
2468 2170 : return gc_upto(av, z);
2469 : }
2470 : /* mt a t_VEC of Flm modulo m */
2471 : static GEN
2472 51360 : algbasismultable_Flm(GEN mt, GEN x, ulong m)
2473 : {
2474 51360 : pari_sp av = avma;
2475 51360 : long D = lg(gel(mt,1))-1, i;
2476 51360 : GEN z = NULL;
2477 670747 : for (i=1; i<=D; i++)
2478 : {
2479 619387 : ulong c = x[i];
2480 619387 : if (c)
2481 : {
2482 80682 : GEN M = Flm_Fl_mul(gel(mt,i),c, m);
2483 80682 : z = z? Flm_add(z, M, m): M;
2484 : }
2485 : }
2486 51360 : if (!z) { set_avma(av); return zero_Flm(D,D); }
2487 51360 : return gc_upto(av, z);
2488 : }
2489 : static GEN
2490 367854 : elementabsmultable_Z(GEN mt, GEN x)
2491 : {
2492 367854 : long i, l = lg(x);
2493 367854 : GEN z = NULL;
2494 4271365 : for (i = 1; i < l; i++)
2495 : {
2496 3903511 : GEN c = gel(x,i);
2497 3903511 : if (signe(c))
2498 : {
2499 1113760 : GEN M = ZM_Z_mul(gel(mt,i),c);
2500 1113760 : z = z? ZM_add(z, M): M;
2501 : }
2502 : }
2503 367854 : return z;
2504 : }
2505 : static GEN
2506 159050 : elementabsmultable(GEN mt, GEN x)
2507 : {
2508 159050 : GEN d, z = elementabsmultable_Z(mt, Q_remove_denom(x,&d));
2509 159050 : return (z && d)? ZM_Z_div(z, d): z;
2510 : }
2511 : static GEN
2512 208804 : elementabsmultable_Fp(GEN mt, GEN x, GEN p)
2513 : {
2514 208804 : GEN z = elementabsmultable_Z(mt, x);
2515 208804 : return z? FpM_red(z, p): z;
2516 : }
2517 : static GEN
2518 367854 : algbasismultable(GEN al, GEN x)
2519 : {
2520 367854 : pari_sp av = avma;
2521 367854 : GEN z, p = alg_get_char(al), mt = alg_get_multable(al);
2522 367854 : z = signe(p)? elementabsmultable_Fp(mt, x, p): elementabsmultable(mt, x);
2523 367854 : if (!z)
2524 : {
2525 4318 : long D = lg(mt)-1;
2526 4318 : set_avma(av); return zeromat(D,D);
2527 : }
2528 363536 : return gc_upto(av, z);
2529 : }
2530 :
2531 : static GEN
2532 2170 : algalgmultable_csa(GEN al, GEN x)
2533 : {
2534 2170 : GEN nf = alg_get_center(al), m;
2535 : long i,j;
2536 2170 : m = elementmultable(alg_get_relmultable(al), x);
2537 11207 : for (i=1; i<lg(m); i++)
2538 53102 : for(j=1; j<lg(m); j++)
2539 44065 : gcoeff(m,i,j) = basistoalg(nf,gcoeff(m,i,j));
2540 2170 : return m;
2541 : }
2542 :
2543 : /* assumes x in algebraic form */
2544 : static GEN
2545 19005 : algalgmultable(GEN al, GEN x)
2546 : {
2547 19005 : switch(alg_type(al))
2548 : {
2549 17164 : case al_CYCLIC: return algalgmultable_cyc(al, x);
2550 1841 : case al_CSA: return algalgmultable_csa(al, x);
2551 : }
2552 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2553 : }
2554 :
2555 : /* on the natural basis */
2556 : /* assumes x in algebraic form */
2557 : static GEN
2558 16086 : algZmultable(GEN al, GEN x) {
2559 16086 : pari_sp av = avma;
2560 16086 : return gc_upto(av, algmtK2Z(al,algalgmultable(al,x)));
2561 : }
2562 :
2563 : /* x integral */
2564 : static GEN
2565 41265 : algbasisrightmultable(GEN al, GEN x)
2566 : {
2567 41265 : long N = alg_get_absdim(al), i,j,k;
2568 41265 : GEN res = zeromatcopy(N,N), c, mt = alg_get_multable(al), p = alg_get_char(al);
2569 41265 : if (gequal0(p)) p = NULL;
2570 374591 : for (i=1; i<=N; i++) {
2571 333326 : c = gel(x,i);
2572 333326 : if (!gequal0(c)) {
2573 1320097 : for (j=1; j<=N; j++)
2574 20118318 : for(k=1; k<=N; k++) {
2575 18918764 : if (p) gcoeff(res,k,j) = Fp_add(gcoeff(res,k,j), Fp_mul(c, gcoeff(gel(mt,j),k,i), p), p);
2576 14262724 : else gcoeff(res,k,j) = addii(gcoeff(res,k,j), mulii(c, gcoeff(gel(mt,j),k,i)));
2577 : }
2578 : }
2579 : }
2580 41265 : return res;
2581 : }
2582 :
2583 : /* central simple algebra al from alginit */
2584 : /* right multiplication table on integral basis; no checks no GC */
2585 : static GEN
2586 77 : algrightmultable(GEN al, GEN x)
2587 : {
2588 : GEN d, M;
2589 77 : x = algalgtobasis(al, x);
2590 70 : x = Q_remove_denom(x, &d);
2591 70 : M = algbasisrightmultable(al,x);
2592 70 : return d ? ZM_Z_div(M,d) : M;
2593 : }
2594 :
2595 : /* basis for matrices : 1, E_{i,j} for (i,j)!=(1,1) */
2596 : /* index : ijk = ((i-1)*N+j-1)*n + k */
2597 : /* square matrices only, coefficients in basis form, shallow function */
2598 : static GEN
2599 23961 : algmat2basis(GEN al, GEN M)
2600 : {
2601 23961 : long n = alg_get_absdim(al), N = lg(M)-1, i, j, k, ij, ijk;
2602 : GEN res, x;
2603 23961 : res = zerocol(N*N*n);
2604 75131 : for (i=1; i<=N; i++) {
2605 163310 : for (j=1, ij=(i-1)*N+1; j<=N; j++, ij++) {
2606 112140 : x = gcoeff(M,i,j);
2607 819532 : for (k=1, ijk=(ij-1)*n+1; k<=n; k++, ijk++) {
2608 707392 : gel(res, ijk) = gel(x, k);
2609 707392 : if (i>1 && i==j) gel(res, ijk) = gsub(gel(res,ijk), gel(res,k));
2610 : }
2611 : }
2612 : }
2613 :
2614 23961 : return res;
2615 : }
2616 :
2617 : static GEN
2618 294 : algbasis2mat(GEN al, GEN M, long N)
2619 : {
2620 294 : long n = alg_get_absdim(al), i, j, k, ij, ijk;
2621 : GEN res, x;
2622 294 : res = zeromatcopy(N,N);
2623 882 : for (i=1; i<=N; i++)
2624 1764 : for (j=1; j<=N; j++)
2625 1176 : gcoeff(res,i,j) = zerocol(n);
2626 :
2627 882 : for (i=1; i<=N; i++) {
2628 1764 : for (j=1, ij=(i-1)*N+1; j<=N; j++, ij++) {
2629 1176 : x = gcoeff(res,i,j);
2630 9240 : for (k=1, ijk=(ij-1)*n+1; k<=n; k++, ijk++) {
2631 8064 : gel(x,k) = gel(M,ijk);
2632 8064 : if (i>1 && i==j) gel(x,k) = gadd(gel(x,k), gel(M,k));
2633 : }
2634 : }
2635 : }
2636 :
2637 294 : return res;
2638 : }
2639 :
2640 : static GEN
2641 23884 : algmatbasis_ei(GEN al, long ijk, long N)
2642 : {
2643 23884 : long n = alg_get_absdim(al), i, j, k, ij;
2644 : GEN res;
2645 :
2646 23884 : res = zeromatcopy(N,N);
2647 74900 : for (i=1; i<=N; i++)
2648 162848 : for (j=1; j<=N; j++)
2649 111832 : gcoeff(res,i,j) = zerocol(n);
2650 :
2651 23884 : k = ijk%n;
2652 23884 : if (k==0) k=n;
2653 23884 : ij = (ijk-k)/n+1;
2654 :
2655 23884 : if (ij==1) {
2656 16947 : for (i=1; i<=N; i++)
2657 11410 : gcoeff(res,i,i) = col_ei(n,k);
2658 5537 : return res;
2659 : }
2660 :
2661 18347 : j = ij%N;
2662 18347 : if (j==0) j=N;
2663 18347 : i = (ij-j)/N+1;
2664 :
2665 18347 : gcoeff(res,i,j) = col_ei(n,k);
2666 18347 : return res;
2667 : }
2668 :
2669 : /* FIXME lazy implementation! */
2670 : static GEN
2671 910 : algleftmultable_mat(GEN al, GEN M)
2672 : {
2673 910 : long N = lg(M)-1, n = alg_get_absdim(al), D = N*N*n, j;
2674 : GEN res, x, Mx;
2675 910 : if (N == 0) return cgetg(1, t_MAT);
2676 903 : if (N != nbrows(M)) pari_err_DIM("algleftmultable_mat (nonsquare)");
2677 882 : res = cgetg(D+1, t_MAT);
2678 24766 : for (j=1; j<=D; j++) {
2679 23884 : x = algmatbasis_ei(al, j, N);
2680 23884 : Mx = algmul(al, M, x);
2681 23884 : gel(res, j) = algmat2basis(al, Mx);
2682 : }
2683 882 : return res;
2684 : }
2685 :
2686 : /* left multiplication table on integral basis */
2687 : static GEN
2688 23660 : algleftmultable(GEN al, GEN x)
2689 : {
2690 23660 : pari_sp av = avma;
2691 : long tx;
2692 : GEN res;
2693 :
2694 23660 : checkalg(al);
2695 23660 : tx = alg_model(al,x);
2696 23639 : switch(tx) {
2697 994 : case al_TRIVIAL : res = mkmatcopy(mkcol(gel(x,1))); break;
2698 280 : case al_ALGEBRAIC : x = algalgtobasis(al,x);
2699 22127 : case al_BASIS : res = algbasismultable(al,x); break;
2700 518 : case al_MATRIX : res = algleftmultable_mat(al,x); break;
2701 : default : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
2702 : }
2703 23632 : return gc_upto(av,res);
2704 : }
2705 :
2706 : static GEN
2707 4347 : algbasissplittingmatrix_csa(GEN al, GEN x)
2708 : {
2709 4347 : long d = alg_get_degree(al), i, j;
2710 4347 : GEN rnf = alg_get_splittingfield(al), splba = alg_get_splittingbasis(al), splbainv = alg_get_splittingbasisinv(al), M;
2711 4347 : M = algbasismultable(al,x);
2712 4347 : M = RgM_mul(M, splba); /* TODO best order ? big matrix /Q vs small matrix /nf */
2713 4347 : M = RgM_mul(splbainv, M);
2714 12852 : for (i=1; i<=d; i++)
2715 25326 : for (j=1; j<=d; j++)
2716 16821 : gcoeff(M,i,j) = rnfeltabstorel(rnf, gcoeff(M,i,j));
2717 4347 : return M;
2718 : }
2719 :
2720 : static GEN
2721 728 : algmat_tomatrix(GEN al, GEN x) /* abs = 0 */
2722 : {
2723 : GEN res;
2724 : long i,j;
2725 728 : if (lg(x) == 1) return cgetg(1, t_MAT);
2726 700 : res = zeromatcopy(nbrows(x),lg(x)-1);
2727 2212 : for (j=1; j<lg(x); j++)
2728 4879 : for (i=1; i<lgcols(x); i++)
2729 3367 : gcoeff(res,i,j) = algtomatrix(al,gcoeff(x,i,j),0);
2730 700 : return shallowmatconcat(res);
2731 : }
2732 :
2733 : static GEN
2734 42 : R_tomatrix(GEN x)
2735 : {
2736 42 : long t = H_model(x);
2737 42 : if (t == H_QUATERNION) pari_err_TYPE("R_tomatrix", x);
2738 35 : if (t == H_MATRIX) return x;
2739 21 : return mkmat(mkcol(x));
2740 : }
2741 : static GEN
2742 84 : C_tomatrix(GEN z, long abs)
2743 : {
2744 : GEN x,y;
2745 84 : long t = H_model(z), nrows, ncols;
2746 84 : if (t == H_QUATERNION) pari_err_TYPE("C_tomatrix", z);
2747 77 : if (!abs)
2748 : {
2749 14 : if (t == H_MATRIX) return z;
2750 7 : return mkmat(mkcol(z));
2751 : }
2752 63 : if (t == H_MATRIX)
2753 : {
2754 : /* Warning: this is not the same choice of basis as for other algebras */
2755 : GEN res, a, b;
2756 : long i,j;
2757 56 : RgM_dimensions(z,&nrows,&ncols);
2758 56 : res = zeromatcopy(2*nrows,2*ncols);
2759 168 : for (i=1; i<=nrows; i++)
2760 336 : for (j=1; j<=ncols; j++)
2761 : {
2762 224 : a = real_i(gcoeff(z,i,j));
2763 224 : b = imag_i(gcoeff(z,i,j));
2764 224 : gcoeff(res,2*i-1,2*j-1) = a;
2765 224 : gcoeff(res,2*i,2*j) = a;
2766 224 : gcoeff(res,2*i-1,2*j) = gneg(b);
2767 224 : gcoeff(res,2*i,2*j-1) = b;
2768 : }
2769 56 : return res;
2770 : }
2771 7 : x = real_i(z);
2772 7 : y = imag_i(z);
2773 7 : return mkmat22(x,gneg(y),y,x);
2774 : }
2775 : static GEN
2776 2457 : H_tomatrix(GEN x, long abs)
2777 : {
2778 2457 : long tx = H_model(x);
2779 2450 : GEN a = NULL, b =NULL, c = NULL, d = NULL, md = NULL, M = NULL;
2780 2450 : if (abs) {
2781 413 : if (tx == H_MATRIX) return algleftmultable_mat(NULL,x);
2782 280 : switch(tx)
2783 : {
2784 77 : case H_SCALAR:
2785 77 : a = real_i(x);
2786 77 : b = imag_i(x);
2787 77 : c = gen_0;
2788 77 : d = gen_0;
2789 77 : break;
2790 203 : case H_QUATERNION:
2791 203 : a = gel(x,1);
2792 203 : b = gel(x,2);
2793 203 : c = gel(x,3);
2794 203 : d = gel(x,4);
2795 203 : break;
2796 : }
2797 280 : M = scalarmat(a,4);
2798 280 : gcoeff(M,2,1) = gcoeff(M,4,3) = b;
2799 280 : gcoeff(M,1,2) = gcoeff(M,3,4) = gneg(b);
2800 280 : gcoeff(M,3,1) = gcoeff(M,2,4) = c;
2801 280 : gcoeff(M,4,2) = gcoeff(M,1,3) = gneg(c);
2802 280 : gcoeff(M,4,1) = gcoeff(M,3,2) = d;
2803 280 : gcoeff(M,2,3) = gcoeff(M,1,4) = gneg(d);
2804 : }
2805 : else /* abs == 0 */
2806 : {
2807 2037 : if (tx == H_MATRIX) return algmat_tomatrix(NULL,x);
2808 1778 : switch(tx)
2809 : {
2810 273 : case H_SCALAR:
2811 273 : M = mkmat22(
2812 : x, gen_0,
2813 : gen_0, conj_i(x)
2814 : );
2815 273 : break;
2816 1505 : case H_QUATERNION:
2817 1505 : a = gel(x,1);
2818 1505 : b = gel(x,2);
2819 1505 : c = gel(x,3);
2820 1505 : md = gneg(gel(x,4));
2821 1505 : M = mkmat22(
2822 : mkcomplex(a,b), mkcomplex(gneg(c),md),
2823 : mkcomplex(c,md), mkcomplex(a,gneg(b))
2824 : );
2825 : }
2826 : }
2827 2058 : return M;
2828 : }
2829 :
2830 : GEN
2831 25109 : algtomatrix(GEN al, GEN x, long abs)
2832 : {
2833 25109 : pari_sp av = avma;
2834 25109 : GEN res = NULL;
2835 : long ta, tx;
2836 25109 : checkalg(al);
2837 25109 : ta = alg_type(al);
2838 25109 : if (ta==al_REAL)
2839 : {
2840 2268 : switch(alg_get_absdim(al)) {
2841 42 : case 1: res = R_tomatrix(x); break;
2842 84 : case 2: res = C_tomatrix(x,abs); break;
2843 2135 : case 4: res = H_tomatrix(x,abs); break;
2844 7 : default: pari_err_TYPE("algtomatrix [apply alginit]", al);
2845 : }
2846 2240 : return gc_GEN(av, res);
2847 : }
2848 22841 : if (abs || ta==al_TABLE) return algleftmultable(al,x);
2849 7014 : tx = alg_model(al,x);
2850 7014 : if (tx == al_MATRIX) res = algmat_tomatrix(al,x);
2851 6545 : else switch (alg_type(al))
2852 : {
2853 2198 : case al_CYCLIC:
2854 2198 : if (tx==al_BASIS) x = algbasistoalg(al,x);
2855 2198 : res = algalgmultable(al,x);
2856 2198 : break;
2857 4347 : case al_CSA:
2858 4347 : if (tx==al_ALGEBRAIC) x = algalgtobasis(al,x);
2859 4347 : res = algbasissplittingmatrix_csa(al,x);
2860 4347 : break;
2861 : default: return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
2862 : }
2863 7014 : return gc_GEN(av,res);
2864 : }
2865 :
2866 : /* x^(-1)*y, NULL if no solution */
2867 : static GEN
2868 112 : C_divl_i(GEN x, GEN y)
2869 : {
2870 112 : long tx = H_model(x), ty = H_model(y);
2871 112 : if (tx != ty) pari_err_TYPE2("C_divl", x, y);
2872 105 : switch (tx) {
2873 42 : case H_SCALAR:
2874 42 : if (gequal0(x)) return gequal0(y) ? gen_0 : NULL;
2875 14 : else return gdiv(y,x);
2876 56 : case H_MATRIX:
2877 56 : if ((lg(x)>1 && lg(x) != lgcols(x)) || (lg(y)>1 && lg(y) != lgcols(y)))
2878 7 : pari_err_DIM("C_divl (nonsquare)");
2879 49 : if (lg(x) != lg(y)) pari_err_DIM("C_divl");
2880 42 : if (lg(y) == 1) return cgetg(1, t_MAT);
2881 42 : return RgM_invimage(x, y);
2882 7 : default: pari_err_TYPE("C_divl", x); return NULL;
2883 : }
2884 : }
2885 : /* H^k -> C^2k */
2886 : static GEN
2887 140 : HC_to_CC(GEN v)
2888 : {
2889 140 : long l = lg(v), i;
2890 140 : GEN w = cgetg(2*l-1, t_COL), a, b, c, d;
2891 420 : for (i=1; i<l; i++)
2892 : {
2893 280 : H_compo(gel(v,i),&a,&b,&c,&d);
2894 280 : gel(w,2*i-1) = mkcomplex(a,b);
2895 280 : gel(w,2*i) = mkcomplex(c,gneg(d));
2896 : }
2897 140 : return w;
2898 : }
2899 : /* C^2k -> H^k */
2900 : static GEN
2901 98 : CC_to_HC(GEN w)
2902 : {
2903 98 : long l = lg(w), i, lv = (l+1)/2;
2904 98 : GEN v = cgetg(lv, t_COL), ab, cd;
2905 294 : for (i=1; i<lv; i++)
2906 : {
2907 196 : ab = gel(w,2*i-1);
2908 196 : cd = gel(w,2*i);
2909 196 : gel(v,i) = mkcol4(real_i(ab),imag_i(ab),real_i(cd),gneg(imag_i(cd)));
2910 : }
2911 98 : return v;
2912 : }
2913 : /* M_{k,n}(H) -> M_{2k,n}(C) */
2914 : static GEN
2915 210 : HM_to_CM(GEN x) pari_APPLY_same(HC_to_CC(gel(x,i)));
2916 : /* M_{2k,n}(C) -> M_{k,n}(H) */
2917 : static GEN
2918 147 : CM_to_HM(GEN x) pari_APPLY_same(CC_to_HC(gel(x,i)));
2919 : /* x^(-1)*y, NULL if no solution */
2920 : static GEN
2921 203 : H_divl_i(GEN x, GEN y)
2922 : {
2923 203 : pari_sp av = avma;
2924 203 : long tx = H_model(x), ty = H_model(y);
2925 189 : if ((tx==H_MATRIX) ^ (ty==H_MATRIX)) pari_err_TYPE2("H_divl", x, y);
2926 168 : if (tx==H_MATRIX)
2927 : {
2928 : GEN mx, my, mxdivy;
2929 98 : if ((lg(x)>1 && lg(x) != lgcols(x)) || (lg(y)>1 && lg(y) != lgcols(y)))
2930 14 : pari_err_DIM("H_divl (nonsquare)");
2931 84 : if (lg(x) != lg(y)) pari_err_DIM("H_divl");
2932 77 : if (lg(y) == 1) return cgetg(1, t_MAT);
2933 70 : mx = H_tomatrix(x,0);
2934 70 : my = HM_to_CM(y);
2935 70 : mxdivy = RgM_invimage(mx, my);
2936 70 : if (!mxdivy) return gc_NULL(av);
2937 49 : return gc_GEN(av,CM_to_HM(mxdivy));
2938 : }
2939 70 : if (gequal0(y)) return gen_0;
2940 56 : if (gequal0(x)) return NULL;
2941 42 : return gc_GEN(av,H_mul(H_inv(x),y));
2942 : }
2943 : /* x^(-1)*y, NULL if no solution */
2944 : static GEN
2945 3199 : algdivl_i(GEN al, GEN x, GEN y, long tx, long ty) {
2946 3199 : pari_sp av = avma;
2947 3199 : GEN res, p = alg_get_char(al), mtx;
2948 3199 : if (tx != ty) {
2949 343 : if (tx==al_ALGEBRAIC) { x = algalgtobasis(al,x); tx=al_BASIS; }
2950 343 : if (ty==al_ALGEBRAIC) { y = algalgtobasis(al,y); ty=al_BASIS; }
2951 : }
2952 3199 : if (ty == al_MATRIX)
2953 : {
2954 77 : if (alg_type(al) != al_TABLE) y = algalgtobasis(al,y);
2955 77 : y = algmat2basis(al,y);
2956 : }
2957 3199 : if (signe(p)) res = FpM_FpC_invimage(algbasismultable(al,x),y,p);
2958 : else
2959 : {
2960 3010 : if (ty==al_ALGEBRAIC) mtx = algalgmultable(al,x);
2961 2303 : else mtx = algleftmultable(al,x);
2962 3010 : res = inverseimage(mtx,y);
2963 : }
2964 3199 : if (!res || lg(res)==1) return gc_NULL(av);
2965 1764 : if (tx == al_MATRIX) {
2966 294 : res = algbasis2mat(al, res, lg(x)-1);
2967 294 : return gc_GEN(av,res);
2968 : }
2969 1470 : return gc_upto(av,res);
2970 : }
2971 : static GEN
2972 1015 : algdivl_i2(GEN al, GEN x, GEN y)
2973 : {
2974 : long tx, ty;
2975 1015 : checkalg(al);
2976 1015 : if (alg_type(al)==al_REAL) switch(alg_get_absdim(al)) {
2977 112 : case 1: case 2: return C_divl_i(x,y);
2978 147 : case 4: return H_divl_i(x,y);
2979 : }
2980 756 : tx = alg_model(al,x);
2981 749 : ty = alg_model(al,y);
2982 749 : if (tx == al_MATRIX) {
2983 140 : if (ty != al_MATRIX) pari_err_TYPE2("\\", x, y);
2984 133 : if ((lg(x)>1 && lg(x) != lgcols(x)) || (lg(y)>1 && lg(y) != lgcols(y)))
2985 28 : pari_err_DIM("algdivl (nonsquare)");
2986 105 : if (lg(x) != lg(y)) pari_err_DIM("algdivl");
2987 84 : if (lg(y) == 1) return cgetg(1, t_MAT);
2988 : }
2989 686 : return algdivl_i(al,x,y,tx,ty);
2990 : }
2991 :
2992 889 : GEN algdivl(GEN al, GEN x, GEN y)
2993 : {
2994 : GEN z;
2995 889 : z = algdivl_i2(al,x,y);
2996 742 : if (!z) pari_err_INV("algdivl", x);
2997 728 : return z;
2998 : }
2999 :
3000 : int
3001 126 : algisdivl(GEN al, GEN x, GEN y, GEN* ptz)
3002 : {
3003 126 : pari_sp av = avma;
3004 126 : GEN z = algdivl_i2(al,x,y);
3005 126 : if (!z) return gc_bool(av,0);
3006 84 : if (ptz != NULL) *ptz = z;
3007 84 : return 1;
3008 : }
3009 :
3010 : static GEN
3011 140 : C_inv(GEN x)
3012 : {
3013 140 : switch (H_model(x))
3014 : {
3015 63 : case H_SCALAR: return gequal0(x) ? NULL : ginv(x);
3016 70 : case H_MATRIX: return RgM_inv(x);
3017 7 : default: pari_err_TYPE("alginv_i", x);
3018 : }
3019 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3020 : }
3021 : static GEN
3022 259 : H_inv(GEN x)
3023 : {
3024 259 : pari_sp av = avma;
3025 : GEN nm, xi;
3026 : long i;
3027 259 : switch (H_model(x))
3028 : {
3029 28 : case H_SCALAR:
3030 28 : if (gequal0(x)) return NULL;
3031 14 : return ginv(x);
3032 161 : case H_QUATERNION:
3033 161 : if (gequal0(x)) return NULL;
3034 154 : nm = H_norm(x, 0);
3035 154 : xi = gdiv(x,nm);
3036 616 : for(i=2; i<=4; i++) gel(xi,i) = gneg(gel(xi,i));
3037 154 : return gc_GEN(av,xi);
3038 63 : case H_MATRIX:
3039 63 : if (lg(x)==1) return cgetg(1,t_MAT);
3040 56 : return H_divl_i(x, matid(lg(x)-1));
3041 : }
3042 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3043 : }
3044 : static GEN
3045 2989 : alginv_i(GEN al, GEN x)
3046 : {
3047 2989 : pari_sp av = avma;
3048 2989 : GEN res = NULL, p = alg_get_char(al);
3049 : long tx, n, ta;
3050 2989 : ta = alg_type(al);
3051 2989 : if (ta==al_REAL) switch(alg_get_absdim(al)) {
3052 140 : case 1: case 2: return C_inv(x);
3053 217 : case 4: return H_inv(x);
3054 7 : default: pari_err_TYPE("alginv_i [apply alginit]", al);
3055 : }
3056 2625 : tx = alg_model(al,x);
3057 2604 : switch(tx) {
3058 70 : case al_TRIVIAL :
3059 70 : if (signe(p)) { res = mkcol(Fp_inv(gel(x,1),p)); break; }
3060 56 : else { res = mkcol(ginv(gel(x,1))); break; }
3061 455 : case al_ALGEBRAIC :
3062 : switch(ta) {
3063 350 : case al_CYCLIC: n = alg_get_degree(al); break;
3064 105 : case al_CSA: n = alg_get_dim(al); break;
3065 : default: return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3066 : }
3067 455 : res = algdivl_i(al, x, col_ei(n,1), tx, al_ALGEBRAIC); break;
3068 1841 : case al_BASIS : res = algdivl_i(al, x, col_ei(alg_get_absdim(al),1), tx,
3069 1841 : al_BASIS); break;
3070 238 : case al_MATRIX :
3071 238 : n = lg(x)-1;
3072 238 : if (n==0) return cgetg(1, t_MAT);
3073 224 : if (n != nbrows(x)) pari_err_DIM("alginv_i (nonsquare)");
3074 217 : res = algdivl_i(al, x, col_ei(n*n*alg_get_absdim(al),1), tx, al_BASIS);
3075 : /* cheat on type because wrong dimension */
3076 : }
3077 2583 : if (!res) return gc_NULL(av);
3078 1162 : return gc_GEN(av,res);
3079 : }
3080 : GEN
3081 1330 : alginv(GEN al, GEN x)
3082 : {
3083 : GEN z;
3084 1330 : checkalg(al);
3085 1330 : z = alginv_i(al,x);
3086 1281 : if (!z) pari_err_INV("alginv", x);
3087 1246 : return z;
3088 : }
3089 :
3090 : int
3091 1659 : algisinv(GEN al, GEN x, GEN* ptix)
3092 : {
3093 1659 : pari_sp av = avma;
3094 : GEN ix;
3095 1659 : if (al) checkalg(al);
3096 1659 : ix = alginv_i(al,x);
3097 1659 : if (!ix) return gc_bool(av,0);
3098 196 : if (ptix != NULL) *ptix = ix;
3099 196 : return 1;
3100 : }
3101 :
3102 : /* x*y^(-1) */
3103 : GEN
3104 469 : algdivr(GEN al, GEN x, GEN y) { return algmul(al, x, alginv(al, y)); }
3105 :
3106 52177 : static GEN _mul(void* data, GEN x, GEN y) { return algmul((GEN)data,x,y); }
3107 124662 : static GEN _sqr(void* data, GEN x) { return algsqr((GEN)data,x); }
3108 :
3109 : static GEN
3110 21 : algmatid(GEN al, long N)
3111 : {
3112 21 : long n = alg_get_absdim(al), i, j;
3113 : GEN res, one, zero;
3114 :
3115 21 : res = zeromatcopy(N,N);
3116 21 : one = col_ei(n,1);
3117 21 : zero = zerocol(n);
3118 49 : for (i=1; i<=N; i++)
3119 84 : for (j=1; j<=N; j++)
3120 56 : gcoeff(res,i,j) = i==j ? one : zero;
3121 21 : return res;
3122 : }
3123 :
3124 : GEN
3125 22520 : algpow(GEN al, GEN x, GEN n)
3126 : {
3127 22520 : pari_sp av = avma;
3128 : GEN res;
3129 22520 : long s = signe(n);
3130 22520 : checkalg(al);
3131 22520 : if (!s && alg_type(al)==al_REAL)
3132 : {
3133 63 : if (H_model(x) == H_MATRIX) return matid(lg(x)-1);
3134 35 : else return gen_1;
3135 : }
3136 22457 : switch (s) {
3137 28 : case 0:
3138 28 : if (alg_model(al,x) == al_MATRIX)
3139 21 : res = algmatid(al,lg(x)-1);
3140 : else
3141 7 : res = col_ei(alg_get_absdim(al),1);
3142 28 : return res;
3143 22282 : case 1:
3144 22282 : res = gen_pow_i(x, n, (void*)al, _sqr, _mul); break;
3145 147 : default: /* -1 */
3146 147 : res = gen_pow_i(alginv(al,x), gneg(n), (void*)al, _sqr, _mul);
3147 : }
3148 22415 : return gc_GEN(av,res);
3149 : }
3150 :
3151 : static GEN
3152 546 : algredcharpoly_i(GEN al, GEN x, long v)
3153 : {
3154 546 : GEN rnf = alg_get_splittingfield(al);
3155 546 : GEN cp = charpoly(algtomatrix(al,x,0),v);
3156 539 : long i, m = lg(cp);
3157 2184 : for (i=2; i<m; i++) gel(cp,i) = rnfeltdown(rnf, gel(cp,i));
3158 539 : return cp;
3159 : }
3160 :
3161 : /* assumes al is CSA or CYCLIC */
3162 : static GEN
3163 553 : algredcharpoly(GEN al, GEN x, long v)
3164 : {
3165 553 : pari_sp av = avma;
3166 553 : long w = gvar(rnf_get_pol(alg_get_center(al)));
3167 553 : if (varncmp(v,w)>=0) pari_err_PRIORITY("algredcharpoly",pol_x(v),">=",w);
3168 546 : switch(alg_type(al))
3169 : {
3170 546 : case al_CYCLIC:
3171 : case al_CSA:
3172 546 : return gc_upto(av, algredcharpoly_i(al, x, v));
3173 : }
3174 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3175 : }
3176 :
3177 : static GEN
3178 31929 : algbasischarpoly(GEN al, GEN x, long v)
3179 : {
3180 31929 : pari_sp av = avma;
3181 31929 : GEN p = alg_get_char(al), mx;
3182 31929 : if (alg_model(al,x) == al_MATRIX) mx = algleftmultable_mat(al,x);
3183 31838 : else mx = algbasismultable(al,x);
3184 31922 : if (signe(p)) {
3185 29570 : GEN res = FpM_charpoly(mx,p);
3186 29570 : setvarn(res,v);
3187 29570 : return gc_upto(av, res);
3188 : }
3189 2352 : return gc_upto(av, charpoly(mx,v));
3190 : }
3191 :
3192 : static GEN
3193 35 : R_charpoly(GEN x, long v, long abs)
3194 : {
3195 35 : pari_sp av = avma;
3196 35 : GEN res = NULL;
3197 35 : switch (H_model(x))
3198 : {
3199 14 : case H_SCALAR: res = mkpoln(2, gen_1, gneg(x)); break;
3200 14 : case H_MATRIX:
3201 14 : res = charpoly(x,v);
3202 14 : if (abs) res = gpowgs(res,nbrows(x));
3203 14 : break;
3204 7 : default: pari_err_TYPE("R_charpoly", x);
3205 : }
3206 28 : if (v) setvarn(res, v);
3207 28 : return gc_GEN(av, res);
3208 : }
3209 : static GEN
3210 35 : C_charpoly(GEN x, long v, long abs)
3211 : {
3212 35 : pari_sp av = avma;
3213 35 : GEN res = NULL;
3214 35 : switch (H_model(x))
3215 : {
3216 14 : case H_SCALAR:
3217 14 : if (abs) res = mkpoln(3, gen_1, gneg(gshift(real_i(x),1)), cxnorm(x));
3218 7 : else res = mkpoln(2, gen_1, gneg(x));
3219 14 : break;
3220 14 : case H_MATRIX:
3221 14 : res = charpoly(x,v);
3222 14 : if (abs) res = gpowgs(real_i(gmul(res,gconj(res))),nbrows(x));
3223 14 : break;
3224 7 : default: pari_err_TYPE("C_charpoly", x);
3225 : }
3226 28 : if (v) setvarn(res, v);
3227 28 : return gc_GEN(av, res);
3228 : }
3229 : static GEN
3230 98 : H_charpoly(GEN x, long v, long abs)
3231 : {
3232 98 : pari_sp av = avma;
3233 : GEN res;
3234 98 : if (H_model(x) == H_MATRIX) return greal(charpoly(H_tomatrix(x,abs),v));
3235 70 : res = mkpoln(3, gen_1, gneg(H_trace(x,0)), H_norm(x,0));
3236 70 : if (v) setvarn(res, v);
3237 70 : if (abs) res = gsqr(res);
3238 70 : return gc_GEN(av, res);
3239 : }
3240 :
3241 : GEN
3242 32118 : algcharpoly(GEN al, GEN x, long v, long abs)
3243 : {
3244 : long ta;
3245 32118 : if (v<0) v=0;
3246 32118 : checkalg(al);
3247 32118 : ta = alg_type(al);
3248 32118 : if (ta == al_REAL) switch (alg_get_absdim(al)) {
3249 35 : case 1: return R_charpoly(x, v, abs);
3250 35 : case 2: return C_charpoly(x, v, abs);
3251 98 : case 4: return H_charpoly(x, v, abs);
3252 7 : default: pari_err_TYPE("algcharpoly [apply alginit]", al);
3253 : }
3254 :
3255 : /* gneg(x[1]) left on stack */
3256 31943 : if (alg_model(al,x) == al_TRIVIAL) {
3257 84 : GEN p = alg_get_char(al);
3258 84 : if (signe(p)) return deg1pol(gen_1,Fp_neg(gel(x,1),p),v);
3259 70 : return deg1pol(gen_1,gneg(gel(x,1)),v);
3260 : }
3261 :
3262 31852 : switch(ta) {
3263 665 : case al_CYCLIC: case al_CSA:
3264 665 : if (abs)
3265 : {
3266 112 : if (alg_model(al,x)==al_ALGEBRAIC) x = algalgtobasis(al,x);
3267 : }
3268 553 : else return algredcharpoly(al,x,v);
3269 31299 : case al_TABLE: return algbasischarpoly(al,x,v);
3270 : default : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3271 : }
3272 : }
3273 :
3274 : /* assumes x in basis form */
3275 : static GEN
3276 652441 : algabstrace(GEN al, GEN x)
3277 : {
3278 652441 : pari_sp av = avma;
3279 652441 : GEN res = NULL, p = alg_get_char(al);
3280 652441 : if (signe(p)) return FpV_dotproduct(x, alg_get_tracebasis(al), p);
3281 49462 : switch(alg_model(al,x)) {
3282 154 : case al_TRIVIAL: return gcopy(gel(x,1)); break;
3283 49308 : case al_BASIS: res = RgV_dotproduct(x, alg_get_tracebasis(al)); break;
3284 : }
3285 49308 : return gc_upto(av,res);
3286 : }
3287 :
3288 : static GEN
3289 1512 : algredtrace(GEN al, GEN x)
3290 : {
3291 1512 : pari_sp av = avma;
3292 1512 : GEN res = NULL;
3293 1512 : switch(alg_model(al,x)) {
3294 35 : case al_TRIVIAL: return gcopy(gel(x,1)); break;
3295 560 : case al_BASIS: return algredtrace(al, algbasistoalg(al,x));
3296 : /* TODO precompute too? */
3297 917 : case al_ALGEBRAIC:
3298 917 : switch(alg_type(al))
3299 : {
3300 588 : case al_CYCLIC:
3301 588 : res = rnfelttrace(alg_get_splittingfield(al),gel(x,1));
3302 588 : break;
3303 329 : case al_CSA:
3304 329 : res = gtrace(algalgmultable_csa(al,x));
3305 329 : res = gdiv(res, stoi(alg_get_degree(al)));
3306 329 : break;
3307 : default: return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3308 : }
3309 : }
3310 917 : return gc_upto(av,res);
3311 : }
3312 :
3313 : static GEN
3314 469 : algtrace_mat(GEN al, GEN M, long abs) {
3315 469 : pari_sp av = avma;
3316 469 : long N = lg(M)-1, i;
3317 469 : GEN res, p = alg_get_char(al);
3318 469 : if (N == 0) return gen_0;
3319 448 : if (N != nbrows(M)) pari_err_DIM("algtrace_mat (nonsquare)");
3320 :
3321 434 : if (!signe(p)) p = NULL;
3322 434 : if (alg_type(al) == al_TABLE) abs = 1;
3323 434 : res = algtrace(al, gcoeff(M,1,1), abs);
3324 896 : for (i=2; i<=N; i++) {
3325 462 : if (p) res = Fp_add(res, algtrace(al,gcoeff(M,i,i),abs), p);
3326 455 : else res = gadd(res, algtrace(al,gcoeff(M,i,i),abs));
3327 : }
3328 434 : if (abs) res = gmulgu(res, N); /* absolute trace */
3329 434 : return gc_upto(av, res);
3330 : }
3331 :
3332 : static GEN
3333 35 : R_trace(GEN x, long abs)
3334 : {
3335 35 : pari_sp av = avma;
3336 35 : GEN res = NULL;
3337 35 : switch (H_model(x))
3338 : {
3339 14 : case H_SCALAR: res = gcopy(x); break;
3340 14 : case H_MATRIX: res = abs? mulrs(gtrace(x),nbrows(x)) : gtrace(x); break;
3341 7 : default: pari_err_TYPE("R_trace", x);
3342 : }
3343 28 : return gc_GEN(av, res);
3344 : }
3345 : static GEN
3346 35 : C_trace(GEN x, long abs)
3347 : {
3348 35 : pari_sp av = avma;
3349 35 : GEN res = NULL;
3350 35 : switch (H_model(x))
3351 : {
3352 14 : case H_SCALAR: res = abs ? gshift(real_i(x),1) : x; break;
3353 14 : case H_MATRIX:
3354 14 : res = abs ? mulrs(real_i(gtrace(x)),2*nbrows(x)) : gtrace(x); break;
3355 7 : default: pari_err_TYPE("C_trace", x);
3356 : }
3357 28 : return gc_GEN(av, res);
3358 : }
3359 : static GEN
3360 567 : H_trace(GEN x, long abs)
3361 : {
3362 567 : long s = abs? 2 : 1;
3363 567 : switch (H_model(x))
3364 : {
3365 154 : case H_SCALAR: return gshift(real_i(x),s);
3366 329 : case H_QUATERNION: return gshift(gel(x,1),s);
3367 77 : case H_MATRIX:
3368 77 : return algtrace_mat(NULL, x, abs);
3369 : }
3370 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3371 : }
3372 :
3373 : GEN
3374 2702 : algtrace(GEN al, GEN x, long abs)
3375 : {
3376 : long ta;
3377 2702 : checkalg(al);
3378 2702 : ta = alg_type(al);
3379 2702 : if (ta==al_REAL) switch (alg_get_absdim(al)) {
3380 35 : case 1: return R_trace(x,abs);
3381 35 : case 2: return C_trace(x,abs);
3382 497 : case 4: return H_trace(x,abs);
3383 7 : default: pari_err_TYPE("algtrace [apply alginit]", al);
3384 : }
3385 2128 : if (alg_model(al,x) == al_MATRIX) return algtrace_mat(al,x,abs);
3386 1736 : switch(ta) {
3387 1596 : case al_CYCLIC: case al_CSA:
3388 1596 : if (!abs) return algredtrace(al,x);
3389 644 : if (alg_model(al,x)==al_ALGEBRAIC) x = algalgtobasis(al,x);
3390 784 : case al_TABLE: return algabstrace(al,x);
3391 : default : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3392 : }
3393 : }
3394 :
3395 : static GEN
3396 64972 : algtracebasis(GEN al)
3397 : {
3398 64972 : pari_sp av = avma;
3399 64972 : GEN mt = alg_get_multable(al), p = alg_get_char(al);
3400 64972 : long i, l = lg(mt);
3401 64972 : GEN v = cgetg(l, t_VEC);
3402 284657 : if (signe(p)) for (i=1; i < l; i++) gel(v,i) = FpM_trace(gel(mt,i), p);
3403 78261 : else for (i=1; i < l; i++) gel(v,i) = ZM_trace(gel(mt,i));
3404 64972 : return gc_upto(av,v);
3405 : }
3406 :
3407 : /* Assume: i > 0, expo := p^i <= absdim, x contained in I_{i-1} given by mult
3408 : * table modulo modu=p^(i+1). Return Tr(x^(p^i)) mod modu */
3409 : static ulong
3410 51360 : algtracei(GEN mt, ulong p, ulong expo, ulong modu)
3411 : {
3412 51360 : pari_sp av = avma;
3413 51360 : long j, l = lg(mt);
3414 51360 : ulong tr = 0;
3415 51360 : mt = Flm_powu(mt,expo,modu);
3416 670747 : for (j=1; j<l; j++) tr += ucoeff(mt,j,j);
3417 51360 : return gc_ulong(av, (tr/expo) % p);
3418 : }
3419 :
3420 : static GEN
3421 42 : R_norm(GEN x, long abs)
3422 : {
3423 42 : pari_sp av = avma;
3424 42 : GEN res = NULL;
3425 42 : switch (H_model(x))
3426 : {
3427 14 : case H_SCALAR: res = gcopy(x); break;
3428 21 : case H_MATRIX: res = abs ? powrs(det(x),nbrows(x)) : det(x); break;
3429 7 : default: pari_err_TYPE("R_norm", x);
3430 : }
3431 35 : return gc_GEN(av,res);
3432 : }
3433 : static GEN
3434 42 : C_norm(GEN x, long abs)
3435 : {
3436 42 : pari_sp av = avma;
3437 42 : GEN res = NULL;
3438 42 : switch (H_model(x))
3439 : {
3440 14 : case H_SCALAR: res = abs ? cxnorm(x) : x; break;
3441 21 : case H_MATRIX: res = abs ? powrs(cxnorm(det(x)),nbrows(x)) : det(x); break;
3442 7 : default: pari_err_TYPE("C_norm", x);
3443 : }
3444 35 : return gc_GEN(av,res);
3445 : }
3446 : static GEN
3447 434 : H_norm(GEN x, long abs)
3448 : {
3449 434 : pari_sp av = avma;
3450 434 : switch (H_model(x))
3451 : {
3452 42 : case H_SCALAR:
3453 42 : if (abs) return gc_GEN(av,gsqr(gnorm(x)));
3454 35 : else return gnorm(x);
3455 322 : case H_QUATERNION:
3456 322 : if (abs) return gc_GEN(av,gsqr(gnorml2(x)));
3457 294 : else return gnorml2(x);
3458 63 : case H_MATRIX:
3459 63 : return gc_GEN(av,real_i(det(H_tomatrix(x,abs))));
3460 : }
3461 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3462 : }
3463 :
3464 : GEN
3465 1309 : algnorm(GEN al, GEN x, long abs)
3466 : {
3467 1309 : pari_sp av = avma;
3468 : long tx, ta;
3469 : GEN p, rnf, res, mx;
3470 1309 : checkalg(al);
3471 1309 : ta = alg_type(al);
3472 1309 : if (ta==al_REAL) switch (alg_get_absdim(al)) {
3473 42 : case 1: return R_norm(x,abs);
3474 42 : case 2: return C_norm(x,abs);
3475 210 : case 4: return H_norm(x,abs);
3476 7 : default: pari_err_TYPE("algnorm [apply alginit]", al);
3477 : }
3478 1008 : p = alg_get_char(al);
3479 1008 : tx = alg_model(al,x);
3480 1008 : if (signe(p)) {
3481 21 : if (tx == al_MATRIX) mx = algleftmultable_mat(al,x);
3482 14 : else mx = algbasismultable(al,x);
3483 21 : return gc_upto(av, FpM_det(mx,p));
3484 : }
3485 987 : if (tx == al_TRIVIAL) return gcopy(gel(x,1));
3486 :
3487 945 : switch(ta) {
3488 875 : case al_CYCLIC: case al_CSA:
3489 875 : if (abs)
3490 : {
3491 196 : if (alg_model(al,x)==al_ALGEBRAIC) x = algalgtobasis(al,x);
3492 : }
3493 : else
3494 : {
3495 679 : rnf = alg_get_splittingfield(al);
3496 679 : res = rnfeltdown(rnf, det(algtomatrix(al,x,0)));
3497 672 : break;
3498 : }
3499 : case al_TABLE:
3500 266 : if (tx == al_MATRIX) mx = algleftmultable_mat(al,x);
3501 105 : else mx = algbasismultable(al,x);
3502 259 : res = det(mx);
3503 259 : break;
3504 : default: return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3505 : }
3506 931 : return gc_upto(av, res);
3507 : }
3508 :
3509 : static GEN
3510 70491 : algalgtonat_cyc(GEN al, GEN x)
3511 : {
3512 70491 : pari_sp av = avma;
3513 70491 : GEN nf = alg_get_abssplitting(al), rnf = alg_get_splittingfield(al), res, c;
3514 70491 : long n = alg_get_degree(al), N = nf_get_degree(nf), i, i1;
3515 70491 : res = zerocol(N*n);
3516 219132 : for (i=0; i<n; i++) {
3517 148641 : c = gel(x,i+1);
3518 148641 : c = rnfeltreltoabs(rnf,c);
3519 148641 : if (!gequal0(c)) {
3520 96622 : c = algtobasis(nf,c);
3521 502115 : for (i1=1; i1<=N; i1++) gel(res,i*N+i1) = gel(c,i1);
3522 : }
3523 : }
3524 70491 : return gc_GEN(av, res);
3525 : }
3526 :
3527 : static GEN
3528 16163 : algalgtonat_csa(GEN al, GEN x)
3529 : {
3530 16163 : pari_sp av = avma;
3531 16163 : GEN nf = alg_get_center(al), res, c;
3532 16163 : long d2 = alg_get_dim(al), n = nf_get_degree(nf), i, i1;
3533 16163 : res = zerocol(d2*n);
3534 80129 : for (i=0; i<d2; i++) {
3535 63966 : c = gel(x,i+1);
3536 63966 : if (!gequal0(c)) {
3537 35980 : c = algtobasis(nf,c);
3538 107415 : for (i1=1; i1<=n; i1++) gel(res,i*n+i1) = gel(c,i1);
3539 : }
3540 : }
3541 16163 : return gc_GEN(av, res);
3542 : }
3543 :
3544 : /* assumes al CSA or CYCLIC */
3545 : static GEN
3546 86654 : algalgtonat(GEN al, GEN x)
3547 : {
3548 86654 : switch(alg_type(al))
3549 : {
3550 70491 : case al_CYCLIC: return algalgtonat_cyc(al, x);
3551 16163 : case al_CSA: return algalgtonat_csa(al, x);
3552 : }
3553 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3554 : }
3555 :
3556 : static GEN
3557 17094 : algnattoalg_cyc(GEN al, GEN x)
3558 : {
3559 17094 : pari_sp av = avma;
3560 17094 : GEN nf = alg_get_abssplitting(al), rnf = alg_get_splittingfield(al), res, c;
3561 17094 : long n = alg_get_degree(al), N = nf_get_degree(nf), i, i1;
3562 17094 : res = zerocol(n);
3563 17094 : c = zerocol(N);
3564 68390 : for (i=0; i<n; i++) {
3565 411523 : for (i1=1; i1<=N; i1++) gel(c,i1) = gel(x,i*N+i1);
3566 51296 : gel(res,i+1) = rnfeltabstorel(rnf,basistoalg(nf,c));
3567 : }
3568 17094 : return gc_GEN(av, res);
3569 : }
3570 :
3571 : static GEN
3572 2135 : algnattoalg_csa(GEN al, GEN x)
3573 : {
3574 2135 : pari_sp av = avma;
3575 2135 : GEN nf = alg_get_center(al), res, c;
3576 2135 : long d2 = alg_get_dim(al), n = nf_get_degree(nf), i, i1;
3577 2135 : res = zerocol(d2);
3578 2135 : c = zerocol(n);
3579 11032 : for (i=0; i<d2; i++) {
3580 28728 : for (i1=1; i1<=n; i1++) gel(c,i1) = gel(x,i*n+i1);
3581 8897 : gel(res,i+1) = basistoalg(nf,c);
3582 : }
3583 2135 : return gc_GEN(av, res);
3584 : }
3585 :
3586 : /* assumes al CSA or CYCLIC */
3587 : static GEN
3588 19229 : algnattoalg(GEN al, GEN x)
3589 : {
3590 19229 : switch(alg_type(al))
3591 : {
3592 17094 : case al_CYCLIC: return algnattoalg_cyc(al, x);
3593 2135 : case al_CSA: return algnattoalg_csa(al, x);
3594 : }
3595 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3596 : }
3597 :
3598 : static GEN
3599 182 : algalgtobasis_mat(GEN al, GEN x) /* componentwise */
3600 : {
3601 182 : pari_sp av = avma;
3602 : long lx, lxj, i, j;
3603 : GEN res;
3604 182 : lx = lg(x);
3605 182 : res = cgetg(lx, t_MAT);
3606 546 : for (j=1; j<lx; j++) {
3607 364 : lxj = lg(gel(x,j));
3608 364 : gel(res,j) = cgetg(lxj, t_COL);
3609 1092 : for (i=1; i<lxj; i++)
3610 728 : gcoeff(res,i,j) = algalgtobasis(al,gcoeff(x,i,j));
3611 : }
3612 182 : return gc_GEN(av,res);
3613 : }
3614 : GEN
3615 88656 : algalgtobasis(GEN al, GEN x)
3616 : {
3617 : pari_sp av;
3618 : long tx, ta;
3619 88656 : checkalg(al);
3620 88649 : ta = alg_type(al);
3621 88649 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA) pari_err_TYPE("algalgtobasis [use alginit]", al);
3622 88614 : tx = alg_model(al,x);
3623 88593 : if (tx==al_BASIS) return gcopy(x);
3624 86752 : if (tx==al_MATRIX) return algalgtobasis_mat(al,x);
3625 86570 : av = avma;
3626 86570 : x = algalgtonat(al,x);
3627 86570 : x = RgM_RgC_mul(alg_get_invbasis(al),x);
3628 86570 : return gc_upto(av, x);
3629 : }
3630 :
3631 : /*
3632 : Quaternion algebras special case:
3633 : al = (L/F, sigma, b) with L quadratic
3634 : > v^2-a: i = v
3635 : > v^2+A*v+B: i = 2*v+A: i^2 = a = A^2-4*B
3636 : al ~ (a,b)_F
3637 : */
3638 : /* We could improve efficiency, but these functions are just for convenience. */
3639 : GEN
3640 280 : algquattobasis(GEN al, GEN x)
3641 : {
3642 280 : pari_sp av = avma;
3643 : GEN L1, L2, pol, A, x2, nf;
3644 : long v, i, ta;
3645 280 : checkalg(al);
3646 273 : if (alg_is_asq(al))
3647 : {
3648 84 : x = algalgtonat(al,x);
3649 84 : x = RgM_RgC_mul(alg_get_invbasis(al),x);
3650 84 : return gc_upto(av,x);
3651 : }
3652 189 : ta = alg_type(al);
3653 189 : if (ta != al_CYCLIC || alg_get_degree(al)!=2)
3654 28 : pari_err_TYPE("algquattobasis [not a quaternion algebra]", al);
3655 161 : if (typ(x)!=t_COL && typ(x)!=t_VEC) pari_err_TYPE("algquattobasis", x);
3656 154 : if (lg(x)!=5) pari_err_DIM("algquattobasis [quaternions have 4 components]");
3657 147 : nf = alg_get_center(al);
3658 147 : x2 = cgetg(5, t_COL);
3659 707 : for (i=1; i<=4; i++) gel(x2,i) = basistoalg(nf, gel(x,i));
3660 140 : gel(x2,4) = gneg(gel(x2,4));
3661 140 : pol = alg_get_splitpol(al);
3662 140 : v = varn(pol);
3663 140 : A = gel(pol,3); /* coeff of v^1 */
3664 140 : if (gequal0(A))
3665 : {
3666 : /* i = v */
3667 91 : L1 = deg1pol_shallow(gel(x2,2), gel(x2,1), v);
3668 91 : L2 = deg1pol_shallow(gel(x2,4), gel(x2,3), v);
3669 : }
3670 : else
3671 : {
3672 : /* i = 2*v+A */
3673 49 : L1 = deg1pol_shallow(gshift(gel(x2,2),1),
3674 49 : gadd(gel(x2,1),gmul(A,gel(x2,2))), v);
3675 49 : L2 = deg1pol_shallow(gshift(gel(x2,4),1),
3676 49 : gadd(gel(x2,3),gmul(A,gel(x2,4))), v);
3677 : }
3678 140 : return gc_upto(av, algalgtobasis(al,mkcol2(L1,L2)));
3679 : }
3680 : GEN
3681 126 : algbasistoquat(GEN al, GEN x)
3682 : {
3683 126 : pari_sp av = avma;
3684 : GEN pol, A, x2, q;
3685 : long v, ta;
3686 126 : checkalg(al);
3687 119 : if (alg_is_asq(al))
3688 : {
3689 21 : x = RgM_RgC_mul(alg_get_basis(al),x);
3690 21 : x = algnattoalg(al,x);
3691 21 : return gc_upto(av, x);
3692 : }
3693 98 : ta = alg_type(al);
3694 98 : if (ta != al_CYCLIC || alg_get_degree(al)!=2)
3695 28 : pari_err_TYPE("algbasistoquat [not a quaternion algebra]", al);
3696 70 : pol = alg_get_splitpol(al);
3697 70 : v = varn(pol);
3698 70 : A = gel(pol,3); /* coeff of v^1 */
3699 70 : x2 = algbasistoalg(al, x);
3700 56 : x2 = lift0(x2, v);
3701 56 : q = cgetg(5, t_COL);
3702 56 : if (gequal0(A))
3703 : {
3704 : /* v = i */
3705 42 : gel(q,1) = polcoef_i(gel(x2,1),0,v);
3706 42 : gel(q,2) = polcoef_i(gel(x2,1),1,v);
3707 42 : gel(q,3) = polcoef_i(gel(x2,2),0,v);
3708 42 : gel(q,4) = polcoef_i(gel(x2,2),1,v);
3709 42 : gel(q,4) = gneg(gel(q,4));
3710 : }
3711 : else
3712 : {
3713 : /* v = (i-A)/2 */
3714 14 : gel(q,2) = gshift(polcoef_i(gel(x2,1),1,v),-1);
3715 14 : gel(q,1) = gsub(polcoef_i(gel(x2,1),0,v), gmul(A,gel(q,2)));
3716 14 : gel(q,4) = gneg(gshift(polcoef_i(gel(x2,2),1,v),-1));
3717 14 : gel(q,3) = gadd(polcoef_i(gel(x2,2),0,v),gmul(A,gel(q,4)));
3718 : }
3719 56 : return gc_GEN(av, q);
3720 : }
3721 : GEN
3722 98 : algisquatalg(GEN al)
3723 : {
3724 98 : pari_sp av = avma;
3725 : GEN pol, a;
3726 : long ta;
3727 98 : checkalg(al);
3728 91 : ta = alg_type(al);
3729 91 : if (ta == al_REAL && algreal_dim(al)==4)
3730 7 : return gc_GEN(av, mkvec2(gen_m1,gen_m1));
3731 84 : if (alg_is_asq(al))
3732 21 : return gc_GEN(av, mkvec2(gmael3(al,6,1,1),gmael3(al,6,1,2)));
3733 63 : if (ta != al_CYCLIC || alg_get_degree(al)!=2) return gc_const(av, gen_0);
3734 35 : pol = alg_get_splitpol(al);
3735 35 : if (gequal0(gel(pol,3))) a = gneg(gel(pol,2)); /* coeffs of v^1 and v^0 */
3736 7 : else a = RgX_disc(pol);
3737 35 : return gc_GEN(av, mkvec2(a,lift_shallow(alg_get_b(al))));
3738 : }
3739 :
3740 : static GEN
3741 119 : algbasistoalg_mat(GEN al, GEN x) /* componentwise */
3742 : {
3743 119 : long j, lx = lg(x);
3744 119 : GEN res = cgetg(lx, t_MAT);
3745 357 : for (j=1; j<lx; j++) {
3746 238 : long i, lxj = lg(gel(x,j));
3747 238 : gel(res,j) = cgetg(lxj, t_COL);
3748 714 : for (i=1; i<lxj; i++) gcoeff(res,i,j) = algbasistoalg(al,gcoeff(x,i,j));
3749 : }
3750 119 : return res;
3751 : }
3752 : GEN
3753 3409 : algbasistoalg(GEN al, GEN x)
3754 : {
3755 : pari_sp av;
3756 : long tx, ta;
3757 3409 : checkalg(al);
3758 3409 : ta = alg_type(al);
3759 3409 : if (ta != al_CYCLIC && ta != al_CSA) pari_err_TYPE("algbasistoalg [use alginit]", al);
3760 3388 : tx = alg_model(al,x);
3761 3374 : if (tx==al_ALGEBRAIC) return gcopy(x);
3762 3241 : if (tx==al_MATRIX) return algbasistoalg_mat(al,x);
3763 3122 : av = avma;
3764 3122 : x = RgM_RgC_mul(alg_get_basis(al),x);
3765 3122 : x = algnattoalg(al,x);
3766 3122 : return gc_upto(av, x);
3767 : }
3768 :
3769 : static GEN
3770 4466 : R_random(GEN b)
3771 : {
3772 4466 : pari_sp av = avma;
3773 4466 : long prec = realprec(b);
3774 4466 : GEN z = randomr(prec); shiftr_inplace(z, 1);
3775 4466 : return gc_uptoleaf(av, mulrr(b,addsr(-1, z)));
3776 : }
3777 : static GEN
3778 182 : C_random(GEN b)
3779 : {
3780 182 : retmkcomplex(R_random(b), R_random(b));
3781 : }
3782 : static GEN
3783 980 : H_random(GEN b)
3784 : {
3785 980 : GEN res = cgetg(5, t_COL);
3786 : long i;
3787 4900 : for (i=1; i<=4; i++) gel(res,i) = R_random(b);
3788 980 : return res;
3789 : }
3790 : GEN
3791 20104 : algrandom(GEN al, GEN b)
3792 : {
3793 20104 : GEN res = NULL, p, N;
3794 : long i, n;
3795 20104 : checkalg(al);
3796 20090 : if (alg_type(al)==al_REAL)
3797 : {
3798 1365 : if (typ(b) != t_REAL) pari_err_TYPE("algrandom",b);
3799 1358 : if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("algrandom", "b", "<", gen_0, b);
3800 1351 : switch(alg_get_absdim(al))
3801 : {
3802 182 : case 1: res = R_random(b); break;
3803 182 : case 2: res = C_random(b); break;
3804 980 : case 4: res = H_random(b); break;
3805 7 : default: pari_err_TYPE("algrandom [apply alginit]", al);
3806 : }
3807 1344 : return res;
3808 : }
3809 18725 : if (typ(b) != t_INT) pari_err_TYPE("algrandom",b);
3810 18718 : if (signe(b) < 0) pari_err_DOMAIN("algrandom", "b", "<", gen_0, b);
3811 18711 : n = alg_get_absdim(al);
3812 18711 : N = addiu(shifti(b,1), 1); /* left on stack */
3813 18711 : p = alg_get_char(al); if (!signe(p)) p = NULL;
3814 18711 : res = cgetg(n+1,t_COL);
3815 168385 : for (i = 1; i <= n; i++)
3816 : {
3817 149674 : pari_sp av = avma;
3818 149674 : GEN t = subii(randomi(N),b);
3819 149674 : if (p) t = modii(t, p);
3820 149674 : gel(res,i) = gc_INT(av, t);
3821 : }
3822 18711 : return res;
3823 : }
3824 :
3825 : static GEN
3826 84 : H_poleval(GEN pol, GEN x)
3827 : {
3828 84 : pari_sp av = avma;
3829 : GEN res;
3830 : long i;
3831 84 : switch (H_model(x))
3832 : {
3833 21 : case H_SCALAR: return RgX_cxeval(pol, x, NULL);
3834 49 : case H_QUATERNION: break;
3835 7 : default: pari_err_TYPE("H_poleval", x);
3836 : }
3837 :
3838 49 : res = zerocol(4);
3839 231 : for (i=lg(pol)-1; i>1; i--)
3840 : {
3841 182 : gel(res,1) = gadd(gel(res,1), gel(pol,i));
3842 182 : if (i>2) res = H_mul(x, res);
3843 : }
3844 :
3845 49 : return gc_GEN(av,res);
3846 : }
3847 :
3848 : /* Assumes pol has coefficients in the same ring as the COL x; x either
3849 : * in basis or algebraic form or [x,mx] where mx is the mult. table of x.
3850 : TODO more general version: pol with coeffs in center and x in basis form */
3851 : GEN
3852 29395 : algpoleval(GEN al, GEN pol, GEN x)
3853 : {
3854 29395 : pari_sp av = avma;
3855 29395 : GEN p, mx = NULL, res, c;
3856 29395 : long i, xalg = 0;
3857 29395 : if (typ(pol) != t_POL) pari_err_TYPE("algpoleval", pol);
3858 29381 : checkalg(al);
3859 29381 : if (alg_type(al)==al_REAL) return H_poleval(pol,x);
3860 29297 : p = alg_get_char(al);
3861 29297 : if (typ(x) == t_VEC)
3862 : {
3863 10122 : if (lg(x) != 3) pari_err_TYPE("algpoleval [vector must be of length 2]", x);
3864 10115 : mx = gel(x,2);
3865 10115 : x = gel(x,1);
3866 10115 : if (typ(mx)!=t_MAT || !gequal(x,gel(mx,1)))
3867 21 : pari_err_TYPE("algpoleval [mx must be the multiplication table of x]", mx);
3868 : }
3869 : else
3870 : {
3871 19175 : switch(alg_model(al,x))
3872 : {
3873 14 : case al_ALGEBRAIC: mx = algalgmultable(al,x); xalg=1; break;
3874 19147 : case al_BASIS:
3875 19147 : case al_TRIVIAL: mx = algbasismultable(al,x); break;
3876 7 : default: pari_err_TYPE("algpoleval", x);
3877 : }
3878 : }
3879 29255 : res = zerocol(lg(mx)-1);
3880 29255 : if (signe(p)) {
3881 86287 : for (i=lg(pol)-1; i>1; i--)
3882 : {
3883 62807 : gel(res,1) = Fp_add(gel(res,1), gel(pol,i), p);
3884 62807 : if (i>2) res = FpM_FpC_mul(mx, res, p);
3885 : }
3886 : }
3887 : else {
3888 29338 : for (i=lg(pol)-1; i>1; i--)
3889 : {
3890 23563 : c = gel(pol,i);
3891 23563 : if (xalg || is_rational_t(typ(c))) gel(res,1) = gadd(gel(res,1), c);
3892 434 : else res = RgC_add(res, algeltfromnf_i(al,c));
3893 23563 : if (i>2) res = RgM_RgC_mul(mx, res);
3894 : }
3895 : }
3896 29255 : return gc_upto(av, res);
3897 : }
3898 :
3899 : static GEN
3900 98 : H_invol(GEN x)
3901 : {
3902 98 : pari_sp av = avma;
3903 : long tx;
3904 : GEN cx;
3905 98 : if (!x) return gc_upto(av,diagonal(mkvec4(gen_1,gen_m1,gen_m1,gen_m1)));
3906 35 : tx = H_model(x);
3907 28 : if (tx == H_SCALAR) return gconj(x);
3908 14 : cx = gneg(x);
3909 14 : gel(cx,1) = gcopy(gel(x,1));
3910 14 : return gc_upto(av, cx);
3911 : }
3912 :
3913 : GEN
3914 308 : alginvol(GEN al, GEN x)
3915 : {
3916 308 : pari_sp av = avma;
3917 : GEN invol;
3918 308 : checkalg(al);
3919 294 : if (!x && al) return gc_upto(av, alg_get_invol(al));
3920 175 : if (alg_type(al)==al_REAL) return H_invol(x);
3921 133 : x = algalgtobasis(al, x);
3922 126 : invol = alg_get_invol(al);
3923 126 : if (typ(invol)!=t_MAT)
3924 7 : pari_err_DOMAIN("alginvol [al does not contain an involution]", "invol", "=", gen_0, invol);
3925 119 : return gc_upto(av, RgM_RgC_mul(invol,x));
3926 : }
3927 :
3928 : GEN
3929 112 : algskolemnoether(GEN al, GEN a, GEN fa)
3930 : {
3931 112 : pari_sp av = avma;
3932 112 : long c = 0, i, ta;
3933 : GEN M, K, b;
3934 112 : checkalg(al);
3935 105 : ta = alg_type(al);
3936 105 : if (ta!=al_CYCLIC && ta!=al_CSA) pari_err_TYPE("algskolemnoether"
3937 : " [al: apply alginit()]", al);
3938 91 : if (typ(a) != t_VEC) a = mkvec(a);
3939 91 : if (typ(fa) != t_VEC) fa = mkvec(fa);
3940 91 : if (lg(a) != lg(fa)) pari_err_DIM("algskolemnoether [lg(a) != lg(fa)]");
3941 84 : if (lg(a) == 1) return gc_upto(av, col_ei(alg_get_absdim(al),1));
3942 :
3943 : /* compute space K of b s.t. b*a_i == fa_i*b for all i */
3944 77 : M = cgetg(lg(a),t_COL);
3945 154 : for (i=1; i<lg(a); i++) gel(M,i) = RgM_sub(algrightmultable(al,gel(a,i)),
3946 91 : algleftmultable(al,gel(fa,i)));
3947 56 : M = shallowmatconcat(M);
3948 56 : K = QM_ker(M);
3949 :
3950 : /* find invertible element in K */
3951 56 : if (lg(K)==1) pari_err(e_MISC, "no solution in algskolemnoether"
3952 : " [check simplicity and homomorphism assumptions]");
3953 49 : b = gel(K,1);
3954 1449 : while (!algisinv(al, b, NULL))
3955 : {
3956 1407 : b = gadd(b, gel(K,1+random_Fl(lg(K)-1)));
3957 1407 : c++;
3958 1407 : if (c > 200) pari_err(e_MISC, "probable infinite loop in algskolemnoether"
3959 : " (the subalgebra is probably not simple)");
3960 : }
3961 42 : return gc_upto(av, b);
3962 : }
3963 :
3964 : /** GRUNWALD-WANG **/
3965 : /*
3966 : Song Wang's PhD thesis (pdf pages)
3967 : p.25 definition of chi_b. K^Ker(chi_b) = K(b^(1/m))
3968 : p.26 bound on the conductor (also Cohen adv. GTM 193 p.166)
3969 : p.21 & p.34 description special case, also on wikipedia:
3970 : http://en.wikipedia.org/wiki/Grunwald%E2%80%93Wang_theorem#Special_fields
3971 : p.77 Kummer case
3972 : */
3973 :
3974 : /* n > 0. Is n = 2^k ? */
3975 : static int
3976 385 : uispow2(ulong n) { return !(n &(n-1)); }
3977 :
3978 : static GEN
3979 441 : get_phi0(GEN bnr, GEN Lpr, GEN Ld, GEN pl, long *pr, long *pn)
3980 : {
3981 441 : const long NTRY = 10; /* FIXME: magic constant */
3982 441 : const long n = (lg(Ld)==1)? 2: vecsmall_max(Ld);
3983 441 : GEN S = bnr_get_cyc(bnr);
3984 : GEN Sst, G, globGmod, loc, X, Rglob, Rloc, H, U, Lconj;
3985 : long i, j, r, nbfrob, nbloc, nz, t;
3986 :
3987 441 : *pn = n;
3988 441 : *pr = r = lg(S)-1;
3989 441 : if (!r) return NULL;
3990 392 : Sst = cgetg(r+1, t_VECSMALL); /* Z/n-dual */
3991 1715 : for (i=1; i<=r; i++) Sst[i] = ugcdiu(gel(S,i), n);
3992 392 : if (Sst[1] != n) return NULL;
3993 385 : Lconj = NULL;
3994 385 : nbloc = nbfrob = lg(Lpr)-1;
3995 385 : if (uispow2(n))
3996 : {
3997 266 : long l = lg(pl), k = 0;
3998 266 : GEN real = cgetg(l, t_VECSMALL);
3999 994 : for (i = 1; i < l; i++)
4000 728 : if (pl[i] == -1) real[++k] = i;
4001 266 : if (k)
4002 : {
4003 266 : GEN nf = bnr_get_nf(bnr), I = bid_get_fact(bnr_get_bid(bnr));
4004 266 : GEN v, y, C = idealchineseinit(bnr, I);
4005 266 : long r1 = nf_get_r1(nf), n = nbrows(I);
4006 266 : nbloc += k;
4007 266 : Lconj = cgetg(k+1, t_VEC);
4008 266 : v = const_vecsmall(r1, 1);
4009 266 : y = const_vec(n, gen_1);
4010 728 : for (i = 1; i <= k; i++)
4011 : {
4012 462 : v[real[i]] = -1; gel(Lconj,i) = idealchinese(nf, mkvec2(C,v), y);
4013 462 : v[real[i]] = 1;
4014 : }
4015 : }
4016 : }
4017 385 : globGmod = cgetg(r+1,t_MAT);
4018 385 : G = cgetg(r+1,t_VECSMALL);
4019 1701 : for (i = 1; i <= r; i++)
4020 : {
4021 1316 : G[i] = n / Sst[i]; /* pairing between S and Sst */
4022 1316 : gel(globGmod,i) = cgetg(nbloc+1,t_VECSMALL);
4023 : }
4024 :
4025 : /* compute images of Frobenius elements (and complex conjugation) */
4026 385 : loc = cgetg(nbloc+1,t_VECSMALL);
4027 868 : for (i = 1; i <= nbloc; i++)
4028 : {
4029 : long L;
4030 651 : if (i <= nbfrob)
4031 : {
4032 322 : X = gel(Lpr, i);
4033 322 : L = Ld[i];
4034 : }
4035 : else
4036 : { /* X = 1 (mod f), sigma_i(x) < 0, positive at all other real places */
4037 329 : X = gel(Lconj, i-nbfrob);
4038 329 : L = 2;
4039 : }
4040 651 : X = ZV_to_Flv(isprincipalray(bnr,X), n);
4041 2499 : for (nz=0,j=1; j<=r; j++)
4042 : {
4043 1848 : ulong c = (X[j] * G[j]) % L;
4044 1848 : ucoeff(globGmod,i,j) = c;
4045 1848 : if (c) nz = 1;
4046 : }
4047 651 : if (!nz) return NULL;
4048 483 : loc[i] = L;
4049 : }
4050 :
4051 : /* try some random elements in the dual */
4052 217 : Rglob = cgetg(r+1,t_VECSMALL);
4053 506 : for (t=0; t<NTRY; t++) {
4054 1775 : for (j = 1; j <= r; j++) Rglob[j] = random_Fl(Sst[j]);
4055 499 : Rloc = zm_zc_mul(globGmod,Rglob);
4056 1164 : for (i = 1; i <= nbloc; i++)
4057 954 : if (Rloc[i] % loc[i] == 0) break;
4058 499 : if (i > nbloc) return zv_to_ZV(Rglob);
4059 : }
4060 :
4061 : /* try to realize some random elements of the product of the local duals */
4062 7 : H = ZM_hnfall_i(shallowconcat(zm_to_ZM(globGmod),
4063 : diagonal_shallow(zv_to_ZV(loc))), &U, 2);
4064 : /* H,U nbloc x nbloc */
4065 7 : Rloc = cgetg(nbloc+1,t_COL);
4066 77 : for (t = 0; t < NTRY; t++)
4067 : { /* nonzero random coordinate */ /* TODO add special case ? */
4068 560 : for (i = 1; i <= nbloc; i++) gel(Rloc,i) = stoi(1 + random_Fl(loc[i]-1));
4069 70 : Rglob = hnf_invimage(H, Rloc);
4070 70 : if (Rglob)
4071 : {
4072 0 : Rglob = ZM_ZC_mul(U,Rglob);
4073 0 : return vecslice(Rglob,1,r);
4074 : }
4075 : }
4076 7 : return NULL;
4077 : }
4078 :
4079 : static GEN
4080 441 : bnrgwsearch(GEN bnr, GEN Lpr, GEN Ld, GEN pl)
4081 : {
4082 441 : pari_sp av = avma;
4083 : long n, r;
4084 441 : GEN phi0 = get_phi0(bnr,Lpr,Ld,pl, &r,&n), gn, v, H,U;
4085 441 : if (!phi0) return gc_const(av, gen_0);
4086 210 : gn = stoi(n);
4087 : /* compute kernel of phi0 */
4088 210 : v = ZV_extgcd(vec_append(phi0, gn));
4089 210 : U = vecslice(gel(v,2), 1,r);
4090 210 : H = ZM_hnfmodid(rowslice(U, 1,r), gn);
4091 210 : return gc_upto(av, H);
4092 : }
4093 :
4094 : GEN
4095 210 : bnfgwgeneric(GEN bnf, GEN Lpr, GEN Ld, GEN pl, long var)
4096 : {
4097 210 : pari_sp av = avma;
4098 210 : const long n = (lg(Ld)==1)? 2: vecsmall_max(Ld);
4099 : forprime_t S;
4100 210 : GEN bnr = NULL, ideal = gen_1, nf, dec, H = gen_0, finf, pol;
4101 : ulong ell, p;
4102 : long deg, i, degell;
4103 210 : (void)uisprimepower(n, &ell);
4104 210 : nf = bnf_get_nf(bnf);
4105 210 : deg = nf_get_degree(nf);
4106 210 : degell = ugcd(deg,ell-1);
4107 210 : finf = cgetg(lg(pl),t_VEC);
4108 546 : for (i=1; i<lg(pl); i++) gel(finf,i) = pl[i]==-1 ? gen_1 : gen_0;
4109 :
4110 210 : u_forprime_init(&S, 2, ULONG_MAX);
4111 903 : while ((p = u_forprime_next(&S))) {
4112 903 : if (Fl_powu(p % ell, degell, ell) != 1) continue; /* ell | p^deg-1 ? */
4113 434 : dec = idealprimedec(nf, utoipos(p));
4114 784 : for (i=1; i<lg(dec); i++) {
4115 560 : GEN pp = gel(dec,i);
4116 560 : if (RgV_isin(Lpr,pp)) continue;
4117 : /* TODO also accept the prime ideals at which there is a condition
4118 : * (use local Artin)? */
4119 497 : if (smodis(idealnorm(nf,pp),ell) != 1) continue; /* ell | N(pp)-1 ? */
4120 441 : ideal = idealmul(bnf,ideal,pp);
4121 : /* TODO: give factorization ? */
4122 441 : bnr = Buchray(bnf, mkvec2(ideal,finf), nf_INIT);
4123 441 : H = bnrgwsearch(bnr,Lpr,Ld,pl);
4124 441 : if (H != gen_0)
4125 : {
4126 210 : pol = rnfkummer(bnr,H,nf_get_prec(nf));
4127 210 : setvarn(pol, var);
4128 210 : return gc_upto(av,pol);
4129 : }
4130 : }
4131 : }
4132 : pari_err_BUG("bnfgwgeneric (no suitable p)"); /*LCOV_EXCL_LINE*/
4133 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4134 : }
4135 :
4136 : /* pr.p != ell */
4137 : static GEN
4138 1624 : localextdeg(GEN nf, GEN pr, long d, ulong ell, long n)
4139 : {
4140 : GEN modpr, T, p, gen, k;
4141 1624 : if (d == 1) return gen_1;
4142 1610 : k = powuu(ell, Z_lval(subiu(pr_norm(pr),1), ell));
4143 1610 : k = divis(k, n / d);
4144 1610 : modpr = nf_to_Fq_init(nf, &pr, &T, &p);
4145 1610 : (void)Fq_sqrtn(gen_1, k, T, p, &gen);
4146 1610 : return Fq_to_nf(gen, modpr);
4147 : }
4148 : /* pr.p = ell */
4149 : static GEN
4150 175 : localextdegell(GEN nf, GEN pr, GEN E, long d, long n)
4151 : {
4152 : GEN x;
4153 175 : if (d == 1) return gen_1;
4154 168 : x = nfadd(nf, gen_1, pr_get_gen(pr));
4155 168 : return nfpowmodideal(nf, x, stoi(n / d), idealpow(nf, pr, E));
4156 : }
4157 :
4158 : /* Ld[i] must be nontrivial powers of the same prime ell */
4159 : /* pl : -1 at real places at which the extension must ramify, 0 elsewhere */
4160 : GEN
4161 294 : nfgwkummer(GEN nf, GEN Lpr, GEN Ld, GEN pl, long var)
4162 : {
4163 294 : const long n = (lg(Ld)==1)? 2: vecsmall_max(Ld);
4164 : ulong ell;
4165 294 : long i, l = lg(Lpr), v = uisprimepower(n, &ell);
4166 294 : GEN E = cgetg(l, t_COL), y = cgetg(l, t_VEC), fa;
4167 :
4168 2093 : for (i = 1; i < l; i++)
4169 : {
4170 1799 : GEN pr = gel(Lpr,i), p = pr_get_p(pr);
4171 1799 : if (!absequalui(ell, p))
4172 : {
4173 1624 : gel(E, i) = gen_1;
4174 1624 : gel(y, i) = localextdeg(nf, pr, Ld[i], ell, n);
4175 : }
4176 : else
4177 : {
4178 175 : long e = pr_get_e(pr);
4179 175 : gel(E, i) = addui(1 + v*e, divsi(e, subiu(p,1)));
4180 175 : gel(y, i) = localextdegell(nf, pr, gel(E,i), Ld[i], n);
4181 : }
4182 : }
4183 294 : y = factoredextchinese(nf, mkmat2(shallowtrans(Lpr),E), y, pl, &fa);
4184 287 : return gsub(gpowgs(pol_x(var),n), basistoalg(nf, y));
4185 : }
4186 :
4187 : static GEN
4188 1113 : get_vecsmall(GEN v)
4189 : {
4190 1113 : switch(typ(v))
4191 : {
4192 987 : case t_VECSMALL: return v;
4193 119 : case t_VEC: if (RgV_is_ZV(v)) return ZV_to_zv(v);
4194 : }
4195 7 : pari_err_TYPE("nfgrunwaldwang",v);
4196 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4197 : }
4198 : GEN
4199 602 : nfgrunwaldwang(GEN nf0, GEN Lpr, GEN Ld, GEN pl, long var)
4200 : {
4201 : ulong n, ell, ell2;
4202 602 : pari_sp av = avma;
4203 : GEN nf, bnf;
4204 : long t, w, i, vnf;
4205 :
4206 602 : if (var < 0) var = 0;
4207 602 : nf = get_nf(nf0,&t);
4208 602 : if (!nf) pari_err_TYPE("nfgrunwaldwang",nf0);
4209 602 : vnf = nf_get_varn(nf);
4210 602 : if (varncmp(var, vnf) >= 0)
4211 7 : pari_err_PRIORITY("nfgrunwaldwang", pol_x(var), ">=", vnf);
4212 595 : if (typ(Lpr) != t_VEC) pari_err_TYPE("nfgrunwaldwang",Lpr);
4213 581 : if (lg(Lpr) != lg(Ld)) pari_err_DIM("nfgrunwaldwang [#Lpr != #Ld]");
4214 574 : if (nf_get_degree(nf)==1) Lpr = shallowcopy(Lpr);
4215 2709 : for (i=1; i<lg(Lpr); i++) {
4216 2142 : GEN pr = gel(Lpr,i);
4217 2142 : if (nf_get_degree(nf)==1 && typ(pr)==t_INT)
4218 77 : gel(Lpr,i) = gel(idealprimedec(nf,pr), 1);
4219 2065 : else checkprid(pr);
4220 : }
4221 567 : if (lg(pl)-1 != nf_get_r1(nf))
4222 7 : pari_err_DOMAIN("nfgrunwaldwang [pl should have r1 components]", "#pl",
4223 7 : "!=", stoi(nf_get_r1(nf)), stoi(lg(pl)-1));
4224 :
4225 560 : Ld = get_vecsmall(Ld);
4226 553 : pl = get_vecsmall(pl);
4227 553 : bnf = get_bnf(nf0,&t);
4228 553 : n = (lg(Ld)==1)? 2: vecsmall_max(Ld);
4229 :
4230 553 : if (!uisprimepower(n, &ell))
4231 7 : pari_err_IMPL("nfgrunwaldwang for non prime-power local degrees (a)");
4232 2646 : for (i=1; i<lg(Ld); i++)
4233 2107 : if (Ld[i]!=1 && (!uisprimepower(Ld[i],&ell2) || ell2!=ell))
4234 7 : pari_err_IMPL("nfgrunwaldwang for non prime-power local degrees (b)");
4235 1393 : for (i=1; i<lg(pl); i++)
4236 861 : if (pl[i]==-1 && ell%2)
4237 7 : pari_err_IMPL("nfgrunwaldwang for non prime-power local degrees (c)");
4238 :
4239 532 : w = bnf? bnf_get_tuN(bnf): itos(gel(nfrootsof1(nf),1));
4240 :
4241 : /* TODO choice between kummer and generic ? Let user choose between speed
4242 : * and size */
4243 532 : if (w%n==0 && lg(Ld)>1)
4244 294 : return gc_upto(av, nfgwkummer(nf,Lpr,Ld,pl,var));
4245 238 : if (ell==n)
4246 : {
4247 210 : if (!bnf) bnf = Buchall(nf, nf_FORCE, 0);
4248 210 : return gc_upto(av, bnfgwgeneric(bnf,Lpr,Ld,pl,var));
4249 : }
4250 28 : pari_err_IMPL("nfgrunwaldwang for nonprime degree");
4251 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4252 : }
4253 :
4254 : /** HASSE INVARIANTS **/
4255 :
4256 : /* TODO long -> ulong + uel */
4257 : static GEN
4258 1484 : hasseconvert(GEN H, long n)
4259 : {
4260 : GEN h, c;
4261 : long i, l;
4262 1484 : switch(typ(H)) {
4263 1323 : case t_VEC:
4264 1323 : l = lg(H); h = cgetg(l,t_VECSMALL);
4265 1323 : if (l == 1) return h;
4266 1197 : c = gel(H,1);
4267 1197 : if (typ(c) == t_VEC && l == 3)
4268 476 : return mkvec2(gel(H,1),hasseconvert(gel(H,2),n));
4269 3374 : for (i=1; i<l; i++)
4270 : {
4271 2681 : c = gel(H,i);
4272 2681 : switch(typ(c)) {
4273 910 : case t_INT: break;
4274 7 : case t_INTMOD:
4275 7 : c = gel(c,2); break;
4276 1743 : case t_FRAC :
4277 1743 : c = gmulgs(c,n);
4278 1743 : if (typ(c) == t_INT) break;
4279 7 : pari_err_DOMAIN("hasseconvert [degree should be a denominator of the invariant]", "denom(h)", "ndiv", stoi(n), Q_denom(gel(H,i)));
4280 21 : default : pari_err_TYPE("Hasse invariant", c);
4281 : }
4282 2653 : h[i] = smodis(c,n);
4283 : }
4284 693 : return h;
4285 154 : case t_VECSMALL: return H;
4286 : }
4287 7 : pari_err_TYPE("Hasse invariant", H);
4288 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
4289 : }
4290 :
4291 : /* assume f >= 2 */
4292 : static long
4293 546 : cyclicrelfrob0(GEN nf, GEN aut, GEN pr, GEN q, long f, long g)
4294 : {
4295 546 : GEN T, p, a, b, modpr = nf_to_Fq_init(nf,&pr,&T,&p);
4296 : long s;
4297 :
4298 546 : a = pol_x(nf_get_varn(nf));
4299 546 : b = galoisapply(nf, aut, modpr_genFq(modpr));
4300 546 : b = nf_to_Fq(nf, b, modpr);
4301 1582 : for (s = 0; !ZX_equal(a, b); s++) a = Fq_pow(a, q, T, p);
4302 546 : return g * Fl_inv(s, f); /* < n */
4303 : }
4304 :
4305 : static long
4306 3310 : cyclicrelfrob(GEN rnf, GEN auts, GEN pr)
4307 : {
4308 3310 : pari_sp av = avma;
4309 3310 : long f,g,frob, n = rnf_get_degree(rnf);
4310 3310 : GEN P = rnfidealprimedec(rnf, pr);
4311 :
4312 3310 : if (pr_get_e(gel(P,1)) > pr_get_e(pr))
4313 0 : pari_err_DOMAIN("cyclicrelfrob","e(PR/pr)",">",gen_1,pr);
4314 3310 : g = lg(P) - 1;
4315 3310 : f = n / g;
4316 :
4317 3310 : if (f <= 2) frob = g % n;
4318 : else {
4319 546 : GEN nf2, PR = gel(P,1);
4320 546 : GEN autabs = rnfeltreltoabs(rnf,gel(auts,g));
4321 546 : nf2 = obj_check(rnf,rnf_NFABS);
4322 546 : autabs = nfadd(nf2, autabs, gmul(rnf_get_k(rnf), rnf_get_alpha(rnf)));
4323 546 : frob = cyclicrelfrob0(nf2, autabs, PR, pr_norm(pr), f, g);
4324 : }
4325 3310 : return gc_long(av, frob);
4326 : }
4327 :
4328 : static long
4329 1120 : localhasse(GEN rnf, GEN cnd, GEN pl, GEN auts, GEN b, long k)
4330 : {
4331 1120 : pari_sp av = avma;
4332 : long v, m, h, lfa, frob, n, i;
4333 : GEN previous, y, pr, nf, q, fa;
4334 1120 : nf = rnf_get_nf(rnf);
4335 1120 : n = rnf_get_degree(rnf);
4336 1120 : pr = gcoeff(cnd,k,1);
4337 1120 : v = nfval(nf, b, pr);
4338 1120 : m = lg(cnd)>1 ? nbrows(cnd) : 0;
4339 :
4340 : /* add the valuation of b to the conductor... */
4341 1120 : previous = gcoeff(cnd,k,2);
4342 1120 : gcoeff(cnd,k,2) = addis(previous, v);
4343 :
4344 1120 : y = const_vec(m, gen_1);
4345 1120 : gel(y,k) = b;
4346 : /* find a factored element y congruent to b mod pr^(vpr(b)+vpr(cnd)) and to 1 mod the conductor. */
4347 1120 : y = factoredextchinese(nf, cnd, y, pl, &fa);
4348 1120 : h = 0;
4349 1120 : lfa = nbrows(fa);
4350 : /* sum of all Hasse invariants of (rnf/nf,aut,y) is 0, Hasse invariants at q!=pr are easy, Hasse invariant at pr is the same as for al=(rnf/nf,aut,b). */
4351 2169 : for (i=1; i<=lfa; i++) {
4352 1049 : q = gcoeff(fa,i,1);
4353 1049 : if (cmp_prime_ideal(pr,q)) {
4354 972 : frob = cyclicrelfrob(rnf, auts, q);
4355 972 : frob = Fl_mul(frob,umodiu(gcoeff(fa,i,2),n),n);
4356 972 : h = Fl_add(h,frob,n);
4357 : }
4358 : }
4359 : /* ...then restore it. */
4360 1120 : gcoeff(cnd,k,2) = previous;
4361 1120 : return gc_long(av, Fl_neg(h,n));
4362 : }
4363 :
4364 : static GEN
4365 1386 : allauts(GEN rnf, GEN aut)
4366 : {
4367 1386 : long n = rnf_get_degree(rnf), i;
4368 1386 : GEN pol = rnf_get_pol(rnf), vaut;
4369 1386 : if (n==1) n=2;
4370 1386 : vaut = cgetg(n,t_VEC);
4371 1386 : aut = lift_shallow(rnfbasistoalg(rnf,aut));
4372 1386 : if (typ(aut) != t_POL || varn(pol) != varn(aut))
4373 0 : pari_err_TYPE("alg_cyclic", aut);
4374 1386 : gel(vaut,1) = aut;
4375 1841 : for (i=1; i<n-1; i++)
4376 455 : gel(vaut,i+1) = RgX_rem(poleval(gel(vaut,i), aut), pol);
4377 1386 : return vaut;
4378 : }
4379 :
4380 : static GEN
4381 413 : clean_factor(GEN fa)
4382 : {
4383 413 : GEN P2,E2, P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
4384 413 : long l = lg(P), i, j = 1;
4385 413 : P2 = cgetg(l, t_COL);
4386 413 : E2 = cgetg(l, t_COL);
4387 2842 : for (i = 1;i < l; i++)
4388 2429 : if (signe(gel(E,i))) {
4389 721 : gel(P2,j) = gel(P,i);
4390 721 : gel(E2,j) = gel(E,i); j++;
4391 : }
4392 413 : setlg(P2,j);
4393 413 : setlg(E2,j); return mkmat2(P2,E2);
4394 : }
4395 :
4396 : /* shallow concat x[1],...x[nx],y[1], ... y[ny], returning a t_COL. To be
4397 : * used when we do not know whether x,y are t_VEC or t_COL */
4398 : static GEN
4399 826 : colconcat(GEN x, GEN y)
4400 : {
4401 826 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
4402 826 : GEN z=cgetg(lx+ly-1, t_COL);
4403 4396 : for (i=1; i<lx; i++) z[i] = x[i];
4404 2114 : for (i=1; i<ly; i++) z[lx+i-1]= y[i];
4405 826 : return z;
4406 : }
4407 :
4408 : /* return v(x) at all primes in listpr, replace x by cofactor */
4409 : static GEN
4410 1799 : nfmakecoprime(GEN nf, GEN *px, GEN listpr)
4411 : {
4412 1799 : long j, l = lg(listpr);
4413 1799 : GEN x1, x = *px, L = cgetg(l, t_COL);
4414 :
4415 1799 : if (typ(x) != t_MAT)
4416 : { /* scalar, divide at the end (fast valuation) */
4417 1554 : x1 = NULL;
4418 6307 : for (j=1; j<l; j++)
4419 : {
4420 4753 : GEN pr = gel(listpr,j), e;
4421 4753 : long v = nfval(nf, x, pr);
4422 4753 : e = stoi(v); gel(L,j) = e;
4423 6552 : if (v) x1 = x1? idealmulpowprime(nf, x1, pr, e)
4424 1799 : : idealpow(nf, pr, e);
4425 : }
4426 1554 : if (x1) x = idealdivexact(nf, idealhnf(nf,x), x1);
4427 : }
4428 : else
4429 : { /* HNF, divide as we proceed (reduce size) */
4430 497 : for (j=1; j<l; j++)
4431 : {
4432 252 : GEN pr = gel(listpr,j);
4433 252 : long v = idealval(nf, x, pr);
4434 252 : gel(L,j) = stoi(v);
4435 252 : if (v) x = idealmulpowprime(nf, x, pr, stoi(-v));
4436 : }
4437 : }
4438 1799 : *px = x; return L;
4439 : }
4440 :
4441 : /* Caveat: factorizations are not sorted wrt cmp_prime_ideal: Lpr comes first */
4442 : static GEN
4443 413 : computecnd(GEN rnf, GEN Lpr)
4444 : {
4445 : GEN id, nf, fa, Le, P,E;
4446 413 : long n = rnf_get_degree(rnf);
4447 :
4448 413 : nf = rnf_get_nf(rnf);
4449 413 : id = rnf_get_idealdisc(rnf);
4450 413 : Le = nfmakecoprime(nf, &id, Lpr);
4451 413 : fa = idealfactor(nf, id); /* part of D_{L/K} coprime with Lpr */
4452 413 : P = colconcat(Lpr,gel(fa,1));
4453 413 : E = colconcat(Le, gel(fa,2));
4454 413 : fa = mkmat2(P, gdiventgs(E, eulerphiu(n)));
4455 413 : return mkvec2(fa, clean_factor(fa));
4456 : }
4457 :
4458 : /* h >= 0 */
4459 : static void
4460 77 : nextgen(GEN gene, long h, GEN* gens, GEN* hgens, long* ngens, long* curgcd) {
4461 77 : long nextgcd = ugcd(h,*curgcd);
4462 77 : if (nextgcd == *curgcd) return;
4463 77 : (*ngens)++;
4464 77 : gel(*gens,*ngens) = gene;
4465 77 : gel(*hgens,*ngens) = utoi(h);
4466 77 : *curgcd = nextgcd;
4467 77 : return;
4468 : }
4469 :
4470 : static int
4471 140 : dividesmod(long d, long h, long n) { return !(h%cgcd(d,n)); }
4472 :
4473 : /* ramified prime with nontrivial Hasse invariant */
4474 : static GEN
4475 77 : localcomplete(GEN rnf, GEN pl, GEN cnd, GEN auts, long j, long n, long h, long* v)
4476 : {
4477 : GEN nf, gens, hgens, pr, modpr, T, p, sol, U, b, gene, randg, pu;
4478 : long ngens, i, d, np, d1, d2, hg, dnf, vcnd, curgcd;
4479 77 : nf = rnf_get_nf(rnf);
4480 77 : pr = gcoeff(cnd,j,1);
4481 77 : np = umodiu(pr_norm(pr), n);
4482 77 : dnf = nf_get_degree(nf);
4483 77 : vcnd = itos(gcoeff(cnd,j,2));
4484 77 : ngens = 13+dnf;
4485 77 : gens = zerovec(ngens);
4486 77 : hgens = zerovec(ngens);
4487 77 : *v = 0;
4488 77 : curgcd = 0;
4489 77 : ngens = 0;
4490 :
4491 77 : if (!uisprime(n)) {
4492 0 : gene = pr_get_gen(pr);
4493 0 : hg = localhasse(rnf, cnd, pl, auts, gene, j);
4494 0 : nextgen(gene, hg, &gens, &hgens, &ngens, &curgcd);
4495 : }
4496 :
4497 77 : if (ugcd(np,n) != 1) { /* GCD(Np,n) != 1 */
4498 77 : pu = idealprincipalunits(nf,pr,vcnd);
4499 77 : pu = abgrp_get_gen(pu);
4500 154 : for (i=1; i<lg(pu) && !dividesmod(curgcd,h,n); i++) {
4501 77 : gene = gel(pu,i);
4502 77 : hg = localhasse(rnf, cnd, pl, auts, gene, j);
4503 77 : nextgen(gene, hg, &gens, &hgens, &ngens, &curgcd);
4504 : }
4505 : }
4506 :
4507 77 : d = ugcd(np-1,n);
4508 77 : if (d != 1) { /* GCD(Np-1,n) != 1 */
4509 14 : modpr = nf_to_Fq_init(nf, &pr, &T, &p);
4510 14 : while (!dividesmod(curgcd,h,n)) { /* TODO gener_FpXQ_local */
4511 0 : if (T==NULL) randg = randomi(p);
4512 0 : else randg = random_FpX(degpol(T), varn(T),p);
4513 :
4514 0 : if (!gequal0(randg) && !gequal1(randg)) {
4515 0 : gene = Fq_to_nf(randg, modpr);
4516 0 : hg = localhasse(rnf, cnd, pl, auts, gene, j);
4517 0 : nextgen(gene, hg, &gens, &hgens, &ngens, &curgcd);
4518 : }
4519 : }
4520 : }
4521 :
4522 77 : setlg(gens,ngens+1);
4523 77 : setlg(hgens,ngens+1);
4524 :
4525 77 : sol = ZV_extgcd(hgens);
4526 77 : U = ZV_to_Flv(gmael(sol,2,ngens), n);
4527 77 : d = itou(gel(sol,1));
4528 77 : d1 = ugcd(d, n);
4529 77 : d2 = d / d1;
4530 77 : d = Fl_mul(h / d1, Fl_inv(d2,n), n);
4531 77 : if (d != 1) U = Flv_Fl_mul(U, d, n);
4532 154 : for (i = 1, b = gen_1; i <= ngens; i++)
4533 77 : if (U[i]) b = nfmul(nf, b, nfpow_u(nf, gel(gens,i), U[i]));
4534 77 : *v = U[1]; return b;
4535 : }
4536 :
4537 : static int
4538 909 : testsplits(GEN data, GEN fa)
4539 : {
4540 909 : GEN rnf = gel(data,1), forbid = gel(data,2), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
4541 909 : long i, n, l = lg(P);
4542 :
4543 1318 : for (i = 1; i < l; i++)
4544 : {
4545 822 : GEN pr = gel(P,i);
4546 822 : if (tablesearch(forbid, pr, &cmp_prime_ideal)) return 0;
4547 : }
4548 496 : n = rnf_get_degree(rnf);
4549 704 : for (i = 1; i < l; i++)
4550 : {
4551 291 : long e = itos(gel(E,i)) % n;
4552 291 : if (e)
4553 : {
4554 276 : GEN L = rnfidealprimedec(rnf, gel(P,i));
4555 276 : long g = lg(L) - 1;
4556 276 : if ((e * g) % n) return 0;
4557 : }
4558 : }
4559 413 : return 1;
4560 : }
4561 :
4562 : /* remove entries with Hasse invariant 0 */
4563 : static GEN
4564 854 : hassereduce(GEN hf)
4565 : {
4566 854 : GEN pr,h, PR = gel(hf,1), H = gel(hf,2);
4567 854 : long i, j, l = lg(PR);
4568 :
4569 854 : pr= cgetg(l, t_VEC);
4570 854 : h = cgetg(l, t_VECSMALL);
4571 4788 : for (i = j = 1; i < l; i++)
4572 3934 : if (H[i]) {
4573 3598 : gel(pr,j) = gel(PR,i);
4574 3598 : h[j] = H[i]; j++;
4575 : }
4576 854 : setlg(pr,j);
4577 854 : setlg(h,j); return mkvec2(pr,h);
4578 : }
4579 :
4580 : static void
4581 1036 : alg_insert_quatconj(GEN al)
4582 : {
4583 : GEN aut, nf, rnf, nfabs, gene, absaut;
4584 : long d;
4585 1036 : aut = alg_get_aut(al);
4586 1036 : d = alg_get_absdim(al) / 4;
4587 1036 : nf = alg_get_center(al);
4588 1036 : rnf = alg_get_splittingfield(al);
4589 1036 : nfabs = rnf_build_nfabs(rnf, nf_get_prec(nf));
4590 1036 : gene = lift_shallow(rnfeltabstorel(rnf,pol_x(nf_get_varn(nfabs))));
4591 1036 : absaut = rnfeltreltoabs(rnf,poleval(gene,aut));
4592 1036 : gmael(al,6,2) = shallowmatconcat(mkmat22(
4593 : nfgaloismatrix(nfabs,absaut),
4594 : gen_0,
4595 : gen_0,
4596 : gneg(matid(2*d))
4597 : ));
4598 1036 : }
4599 :
4600 : /* rnf complete */
4601 : static GEN
4602 413 : alg_complete0(GEN rnf, GEN aut, GEN hf, GEN hi, long flag)
4603 : {
4604 413 : pari_sp av = avma;
4605 : GEN nf, pl, pl2, cnd, prcnd, cnds, y, Lpr, auts, b, fa, data, hfe;
4606 : GEN forbid, al, ind, perm;
4607 : long D, n, d, i, j, l;
4608 413 : nf = rnf_get_nf(rnf);
4609 413 : n = rnf_get_degree(rnf);
4610 413 : d = nf_get_degree(nf);
4611 413 : D = d*n*n;
4612 413 : checkhasse(nf,hf,hi,n);
4613 413 : hf = hassereduce(hf);
4614 413 : Lpr = gel(hf,1);
4615 413 : hfe = gel(hf,2);
4616 :
4617 413 : auts = allauts(rnf,aut);
4618 :
4619 413 : pl = leafcopy(hi); /* conditions on the final b */
4620 413 : pl2 = leafcopy(hi); /* conditions for computing local Hasse invariants */
4621 413 : l = lg(pl); ind = cgetg(l, t_VECSMALL);
4622 1036 : for (i = j = 1; i < l; i++)
4623 623 : if (hi[i]) { pl[i] = -1; pl2[i] = 1; } else ind[j++] = i;
4624 413 : setlg(ind, j);
4625 413 : y = nfpolsturm(nf, rnf_get_pol(rnf), ind);
4626 777 : for (i = 1; i < j; i++)
4627 364 : if (!signe(gel(y,i))) { pl[ind[i]] = 1; pl2[ind[i]] = 1; }
4628 :
4629 413 : cnds = computecnd(rnf,Lpr);
4630 413 : prcnd = gel(cnds,1);
4631 413 : cnd = gel(cnds,2);
4632 413 : y = cgetg(lgcols(prcnd),t_VEC);
4633 413 : forbid = vectrunc_init(lg(Lpr));
4634 2198 : for (i=j=1; i<lg(Lpr); i++)
4635 : {
4636 1785 : GEN pr = gcoeff(prcnd,i,1), yi;
4637 1785 : long v, e = itou( gcoeff(prcnd,i,2) );
4638 1785 : if (!e) {
4639 1708 : long frob = cyclicrelfrob(rnf,auts,pr), f1 = ugcd(frob,n);
4640 1708 : vectrunc_append(forbid, pr);
4641 1708 : yi = gen_0;
4642 1708 : v = ((hfe[i]/f1) * Fl_inv(frob/f1,n)) % n;
4643 : }
4644 : else
4645 77 : yi = localcomplete(rnf, pl2, cnd, auts, j++, n, hfe[i], &v);
4646 1785 : gel(y,i) = yi;
4647 1785 : gcoeff(prcnd,i,2) = stoi(e + v);
4648 : }
4649 1057 : for (; i<lgcols(prcnd); i++) gel(y,i) = gen_1;
4650 413 : gen_sort_inplace(forbid, (void*)&cmp_prime_ideal, &cmp_nodata, NULL);
4651 413 : data = mkvec2(rnf,forbid);
4652 413 : b = factoredextchinesetest(nf,prcnd,y,pl,&fa,data,testsplits);
4653 :
4654 413 : al = cgetg(12, t_VEC);
4655 413 : gel(al,10)= gen_0; /* must be set first */
4656 413 : gel(al,1) = rnf;
4657 413 : gel(al,2) = auts;
4658 413 : gel(al,3) = basistoalg(nf,b);
4659 413 : gel(al,4) = hi;
4660 : /* add primes | disc or b with trivial Hasse invariant to hf */
4661 413 : Lpr = gel(prcnd,1); y = b;
4662 413 : (void)nfmakecoprime(nf, &y, Lpr);
4663 413 : Lpr = shallowconcat(Lpr, gel(idealfactor(nf,y), 1));
4664 413 : settyp(Lpr,t_VEC);
4665 413 : hf = shallowconcat(hfe, const_vecsmall(lg(Lpr)-lg(hfe), 0));
4666 413 : perm = gen_indexsort(Lpr, (void*)&cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
4667 413 : gel(al,5) = mkvec2(vecpermute(Lpr,perm), vecsmallpermute(hf,perm));
4668 413 : gel(al,6) = mkvec2(gen_0,gen_0);
4669 413 : gel(al,7) = matid(D);
4670 413 : gel(al,8) = matid(D); /* TODO modify 7, 8 et 9 once LLL added */
4671 413 : gel(al,9) = algnatmultable(al,D);
4672 413 : gel(al,11)= algtracebasis(al);
4673 :
4674 413 : if (n==2) alg_insert_quatconj(al);
4675 413 : if (flag & al_MAXORD) al = alg_maximal_primes(al, prV_primes(Lpr));
4676 413 : return gc_GEN(av, al);
4677 : }
4678 :
4679 : GEN
4680 0 : alg_complete(GEN rnf, GEN aut, GEN hf, GEN hi, long flag)
4681 : {
4682 0 : long n = rnf_get_degree(rnf);
4683 0 : rnfcomplete(rnf);
4684 0 : return alg_complete0(rnf, aut, hasseconvert(hf,n), hasseconvert(hi,n), flag);
4685 : }
4686 :
4687 : void
4688 2254 : checkhasse(GEN nf, GEN hf, GEN hi, long n)
4689 : {
4690 : GEN Lpr, Lh;
4691 : long i, sum;
4692 2254 : if (typ(hf) != t_VEC || lg(hf) != 3) pari_err_TYPE("checkhasse [hf]", hf);
4693 2247 : Lpr = gel(hf,1);
4694 2247 : Lh = gel(hf,2);
4695 2247 : if (typ(Lpr) != t_VEC) pari_err_TYPE("checkhasse [Lpr]", Lpr);
4696 2247 : if (typ(Lh) != t_VECSMALL) pari_err_TYPE("checkhasse [Lh]", Lh);
4697 2247 : if (typ(hi) != t_VECSMALL) pari_err_TYPE("checkhasse [hi]", hi);
4698 2247 : if ((nf && lg(hi) != nf_get_r1(nf)+1))
4699 7 : pari_err_DOMAIN("checkhasse [hi should have r1 components]","#hi","!=",stoi(nf_get_r1(nf)),stoi(lg(hi)-1));
4700 2240 : if (lg(Lpr) != lg(Lh))
4701 7 : pari_err_DIM("checkhasse [Lpr and Lh should have same length]");
4702 9646 : for (i=1; i<lg(Lpr); i++) checkprid(gel(Lpr,i));
4703 2233 : if (lg(gen_sort_uniq(Lpr, (void*)cmp_prime_ideal, cmp_nodata)) < lg(Lpr))
4704 7 : pari_err(e_MISC, "error in checkhasse [duplicate prime ideal]");
4705 2226 : sum = 0;
4706 9625 : for (i=1; i<lg(Lh); i++) sum = (sum+Lh[i])%n;
4707 5278 : for (i=1; i<lg(hi); i++) {
4708 3066 : if (hi[i] && 2*hi[i] != n) pari_err_DOMAIN("checkhasse", "Hasse invariant at real place [must be 0 or 1/2]", "!=", n%2? gen_0 : stoi(n/2), stoi(hi[i]));
4709 3052 : sum = (sum+hi[i])%n;
4710 : }
4711 2212 : if (sum<0) sum = n+sum;
4712 2212 : if (sum != 0)
4713 7 : pari_err_DOMAIN("checkhasse","sum(Hasse invariants)","!=",gen_0,Lh);
4714 2205 : }
4715 :
4716 : static GEN
4717 511 : hassecoprime(GEN hf, GEN hi, long n)
4718 : {
4719 511 : pari_sp av = avma;
4720 : long l, i, j, lk, inv;
4721 : GEN fa, P,E, res, hil, hfl;
4722 511 : hi = hasseconvert(hi, n);
4723 497 : hf = hasseconvert(hf, n);
4724 476 : checkhasse(NULL,hf,hi,n);
4725 434 : fa = factoru(n);
4726 434 : P = gel(fa,1); l = lg(P);
4727 434 : E = gel(fa,2);
4728 434 : res = cgetg(l,t_VEC);
4729 875 : for (i=1; i<l; i++) {
4730 441 : lk = upowuu(P[i],E[i]);
4731 441 : inv = Fl_invsafe((n/lk)%lk, lk);
4732 441 : hil = gcopy(hi);
4733 441 : hfl = gcopy(hf);
4734 :
4735 441 : if (P[i] == 2)
4736 896 : for (j=1; j<lg(hil); j++) hil[j] = hi[j]==0 ? 0 : lk/2;
4737 : else
4738 203 : for (j=1; j<lg(hil); j++) hil[j] = 0;
4739 2590 : for (j=1; j<lgcols(hfl); j++) gel(hfl,2)[j] = (gel(hf,2)[j]*inv)%lk;
4740 441 : hfl = hassereduce(hfl);
4741 441 : gel(res,i) = mkvec3(hfl,hil,utoi(lk));
4742 : }
4743 :
4744 434 : return gc_GEN(av, res);
4745 : }
4746 :
4747 : /* no garbage collection */
4748 : static GEN
4749 140 : genefrob(GEN nf, GEN gal, GEN r)
4750 : {
4751 : long i;
4752 140 : GEN g = identity_perm(nf_get_degree(nf)), fa = Z_factor(r), p, pr, frob;
4753 217 : for (i=1; i<lgcols(fa); i++) {
4754 77 : p = gcoeff(fa,i,1);
4755 77 : pr = idealprimedec(nf, p);
4756 77 : pr = gel(pr,1);
4757 77 : frob = idealfrobenius(nf, gal, pr);
4758 77 : g = perm_mul(g, perm_pow(frob, gcoeff(fa,i,2)));
4759 : }
4760 140 : return g;
4761 : }
4762 :
4763 : static GEN
4764 413 : rnfcycaut(GEN rnf)
4765 : {
4766 413 : GEN nf2 = obj_check(rnf, rnf_NFABS);
4767 : GEN L, alpha, pol, salpha, s, sj, polabs, k, X, pol0, nf;
4768 : long i, d, j;
4769 413 : d = rnf_get_degree(rnf);
4770 413 : L = galoisconj(nf2,NULL);
4771 413 : alpha = lift_shallow(rnf_get_alpha(rnf));
4772 413 : pol = rnf_get_pol(rnf);
4773 413 : k = rnf_get_k(rnf);
4774 413 : polabs = rnf_get_polabs(rnf);
4775 413 : nf = rnf_get_nf(rnf);
4776 413 : pol0 = nf_get_pol(nf);
4777 413 : X = RgX_rem(pol_x(varn(pol0)), pol0);
4778 :
4779 : /* TODO check mod prime of degree 1 */
4780 630 : for (i=1; i<lg(L); i++) {
4781 630 : s = gel(L,i);
4782 630 : salpha = RgX_RgXQ_eval(alpha,s,polabs);
4783 630 : if (!gequal(alpha,salpha)) continue;
4784 :
4785 553 : s = lift_shallow(rnfeltabstorel(rnf,s));
4786 553 : sj = s = gsub(s, gmul(k,X));
4787 1092 : for (j=1; !gequal0(gsub(sj,pol_x(varn(s)))); j++)
4788 539 : sj = RgX_RgXQ_eval(sj,s,pol);
4789 553 : if (j<d) continue;
4790 413 : return s;
4791 : }
4792 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4793 : }
4794 :
4795 : /* returns the smallest prime not in P */
4796 : static GEN
4797 84 : extraprime(GEN P)
4798 : {
4799 : forprime_t T;
4800 : GEN p;
4801 84 : forprime_init(&T, gen_2, NULL);
4802 98 : while ((p = forprime_next(&T))) if (!ZV_search(P, p)) break;
4803 84 : return p;
4804 : }
4805 :
4806 : /* true nf */
4807 : GEN
4808 525 : alg_hasse(GEN nf, long n, GEN hf, GEN hi, long var, long flag)
4809 : {
4810 525 : pari_sp av = avma;
4811 525 : GEN primary, al = gen_0, al2, rnf, hil, hfl, Ld, pl, pol, Lpr, aut, Lpr2, Ld2;
4812 : long i, lk, j, maxdeg;
4813 525 : dbg_printf(1)("alg_hasse\n");
4814 525 : if (n<=1) pari_err_DOMAIN("alg_hasse", "degree", "<=", gen_1, stoi(n));
4815 511 : primary = hassecoprime(hf, hi, n);
4816 854 : for (i=1; i<lg(primary); i++) {
4817 441 : lk = itos(gmael(primary,i,3));
4818 441 : hfl = gmael(primary,i,1);
4819 441 : hil = gmael(primary,i,2);
4820 441 : checkhasse(nf, hfl, hil, lk);
4821 434 : dbg_printf(1)("alg_hasse: i=%d hf=%Ps hi=%Ps lk=%d\n", i, hfl, hil, lk);
4822 :
4823 434 : if (lg(gel(hfl,1))>1 || lk%2==0) {
4824 427 : maxdeg = 1;
4825 427 : Lpr = gel(hfl,1);
4826 427 : Ld = gcopy(gel(hfl,2));
4827 2226 : for (j=1; j<lg(Ld); j++)
4828 : {
4829 1799 : Ld[j] = lk/ugcd(lk,Ld[j]);
4830 1799 : maxdeg = maxss(Ld[j],maxdeg);
4831 : }
4832 427 : pl = leafcopy(hil);
4833 1064 : for (j=1; j<lg(pl); j++) if(pl[j])
4834 : {
4835 259 : pl[j] = -1;
4836 259 : maxdeg = maxss(maxdeg,2);
4837 : }
4838 :
4839 427 : Lpr2 = Lpr;
4840 427 : Ld2 = Ld;
4841 427 : if (maxdeg<lk)
4842 : {
4843 154 : if (maxdeg==1 && lk==2 && lg(pl)>1) pl[1] = -1;
4844 : else
4845 : {
4846 84 : GEN p = extraprime(prV_primes(Lpr));
4847 84 : Lpr2 = vec_append(Lpr2, idealprimedec_galois(nf, p));
4848 84 : Ld2 = vecsmall_append(Ld2, lk);
4849 : }
4850 : }
4851 :
4852 427 : dbg_printf(2)("alg_hasse: calling nfgrunwaldwang Lpr=%Ps Pd=%Ps pl=%Ps\n",
4853 : Lpr, Ld, pl);
4854 427 : pol = nfgrunwaldwang(nf, Lpr2, Ld2, pl, var);
4855 413 : dbg_printf(2)("alg_hasse: calling rnfinit(%Ps)\n", pol);
4856 413 : rnf = rnfinit0(nf,pol,1);
4857 413 : dbg_printf(2)("alg_hasse: computing automorphism\n");
4858 413 : aut = rnfcycaut(rnf);
4859 413 : dbg_printf(2)("alg_hasse: calling alg_complete\n");
4860 413 : al2 = alg_complete0(rnf, aut, hfl, hil, flag);
4861 : }
4862 7 : else al2 = alg_matrix(nf, lk, var, flag);
4863 :
4864 420 : if (i==1) al = al2;
4865 7 : else al = algtensor(al,al2,flag);
4866 : }
4867 413 : return gc_GEN(av,al);
4868 : }
4869 :
4870 : /** CYCLIC ALGEBRA WITH GIVEN HASSE INVARIANTS **/
4871 :
4872 : /* no garbage collection */
4873 : static GEN
4874 140 : subcycloindep(GEN nf, long n, long v, GEN *pr)
4875 : {
4876 : pari_sp av;
4877 : forprime_t S;
4878 : ulong p;
4879 140 : u_forprime_arith_init(&S, 1, ULONG_MAX, 1, n);
4880 140 : av = avma;
4881 147 : while ((p = u_forprime_next(&S)))
4882 : {
4883 147 : ulong r = pgener_Fl(p);
4884 147 : GEN pol = galoissubcyclo(utoipos(p), utoipos(Fl_powu(r,n,p)), 0, v);
4885 147 : GEN fa = nffactor(nf, pol);
4886 147 : if (lgcols(fa) == 2) { *pr = utoipos(r); return pol; }
4887 7 : set_avma(av);
4888 : }
4889 : pari_err_BUG("subcycloindep (no suitable prime = 1(mod n))"); /*LCOV_EXCL_LINE*/
4890 : *pr = NULL; return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
4891 : }
4892 :
4893 : GEN
4894 147 : alg_matrix(GEN nf, long n, long v, long flag)
4895 : {
4896 147 : pari_sp av = avma;
4897 : GEN pol, gal, rnf, cyclo, g, r, aut;
4898 147 : dbg_printf(1)("alg_matrix\n");
4899 147 : if (n<=0) pari_err_DOMAIN("alg_matrix", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
4900 140 : pol = subcycloindep(nf, n, v, &r);
4901 140 : rnf = rnfinit(nf, pol);
4902 140 : cyclo = nfinit(pol, nf_get_prec(nf));
4903 140 : gal = galoisinit(cyclo, NULL);
4904 140 : g = genefrob(cyclo,gal,r);
4905 140 : aut = galoispermtopol(gal,g);
4906 140 : return gc_upto(av, alg_cyclic(rnf, aut, gen_1, flag));
4907 : }
4908 :
4909 : static GEN
4910 28 : alg_hilbert_asquare(GEN nf, GEN a, GEN sa, GEN b, long v, long flag)
4911 : {
4912 : GEN mt, al, ord, z1, z2, den, invol;
4913 28 : long d = nf_get_degree(nf), i;
4914 28 : mt = mkvec4(
4915 : matid(4),
4916 : mkmat4(
4917 : mkcol4(gen_0,gen_1,gen_0,gen_0),
4918 : mkcol4(a,gen_0,gen_0,gen_0),
4919 : mkcol4(gen_0,gen_0,gen_0,gen_1),
4920 : mkcol4(gen_0,gen_0,a,gen_0)
4921 : ),
4922 : mkmat4(
4923 : mkcol4(gen_0,gen_0,gen_1,gen_0),
4924 : mkcol4(gen_0,gen_0,gen_0,gen_m1),
4925 : mkcol4(b,gen_0,gen_0,gen_0),
4926 : mkcol4(gen_0,gneg(b),gen_0,gen_0)
4927 : ),
4928 : mkmat4(
4929 : mkcol4(gen_0,gen_0,gen_0,gen_1),
4930 : mkcol4(gen_0,gen_0,gneg(a),gen_0),
4931 : mkcol4(gen_0,b,gen_0,gen_0),
4932 : mkcol4(gneg(gmul(a,b)),gen_0,gen_0,gen_0)
4933 : )
4934 : );
4935 28 : al = alg_csa_table(nf, mt, v, al_NOSPLITTING);
4936 :
4937 : /* set trivial Hasse invariants */
4938 28 : gel(al,4) = zero_zv(nf_get_r1(nf));
4939 28 : gel(al,5) = mkvec2(cgetg(1,t_VEC),cgetg(1,t_VECSMALL));
4940 :
4941 : /* remember special case */
4942 28 : sa = basistoalg(nf,sa);
4943 28 : gmael(al,6,1) = mkvec3(a,b,sa);
4944 28 : invol = matid(4*d);
4945 196 : for (i=d+1; i<lg(invol); i++) gcoeff(invol,i,i) = gen_m1;
4946 28 : gmael(al,6,2) = invol;
4947 :
4948 28 : if (flag & al_MAXORD)
4949 : {
4950 28 : ord = cgetg(4,t_VEC);
4951 :
4952 28 : z1 = mkfracss(1,2); /* 1/2 */
4953 28 : z2 = gmul2n(ginv(sa),-1); /* 1/(2*sa) */
4954 : /* (1+i/sa)/2 */
4955 28 : gel(ord,1) = algleftmultable(al,mkcol4(z1,z2,gen_0,gen_0));
4956 : /* (j-ij/sa)/2 */
4957 28 : gel(ord,2) = algleftmultable(al,mkcol4(gen_0,gen_0,z1,gneg(z2)));
4958 28 : z1 = basistoalg(nf,nfdiv(nf,z1,b));
4959 28 : z2 = basistoalg(nf,nfdiv(nf,z2,b));
4960 : /* (j/b + ij/(b*sa))/2 */
4961 28 : gel(ord,3) = algleftmultable(al,mkcol4(gen_0,gen_0,z1,z2));
4962 :
4963 : /* multiply by nf.zk == d first vectors of natural basis */
4964 112 : for (i=1; i<=3; i++) gel(ord,i) = vecslice(gel(ord,i),1,d);
4965 :
4966 28 : ord = shallowmatconcat(ord);
4967 28 : ord = Q_remove_denom(ord, &den);
4968 28 : ord = hnfmodid(ord, den);
4969 28 : ord = ZM_Z_div(ord, den);
4970 28 : al = alg_change_overorder_shallow(al, ord);
4971 : }
4972 : /* could take splitting field == nf */
4973 28 : computesplitting(al, 2, v, flag);
4974 28 : return al;
4975 : }
4976 :
4977 : GEN
4978 658 : alg_hilbert(GEN nf, GEN a, GEN b, long v, long flag)
4979 : {
4980 658 : pari_sp av = avma;
4981 : GEN rnf, aut, rnfpol, sa;
4982 658 : dbg_printf(1)("alg_hilbert\n");
4983 658 : if (gequal0(a)) pari_err_DOMAIN("alg_hilbert", "a", "=", gen_0, a);
4984 651 : if (gequal0(b)) pari_err_DOMAIN("alg_hilbert", "b", "=", gen_0, b);
4985 644 : if (!isint1(Q_denom(algtobasis(nf,a))))
4986 7 : pari_err_DOMAIN("alg_hilbert", "denominator(a)", "!=", gen_1,a);
4987 637 : if (!isint1(Q_denom(algtobasis(nf,b))))
4988 7 : pari_err_DOMAIN("alg_hilbert", "denominator(b)", "!=", gen_1,b);
4989 630 : if (nfissquare(nf,a,&sa))
4990 28 : return gc_GEN(av, alg_hilbert_asquare(nf,a,sa,b,v,flag));
4991 :
4992 602 : if (v < 0) v = 0;
4993 602 : rnfpol = deg2pol_shallow(gen_1, gen_0, gneg(basistoalg(nf,a)), v);
4994 602 : if (!(flag & al_FACTOR)) rnfpol = mkvec2(rnfpol, stoi(1<<20));
4995 602 : rnf = rnfinit(nf, rnfpol);
4996 602 : aut = gneg(pol_x(v));
4997 602 : return gc_upto(av, alg_cyclic(rnf, aut, b, flag));
4998 : }
4999 :
5000 : /* shortcut for alg_hasse in quaternion case */
5001 : static GEN
5002 77 : alg_quatramif(GEN nf, GEN Lpr, GEN hi, long var, long flag)
5003 : {
5004 77 : pari_sp av = avma;
5005 77 : GEN hf = mkvec2(Lpr, const_vecsmall(lg(Lpr)-1,1));
5006 77 : return gc_upto(av, alg_hasse(nf, 2, hf, hi, var, flag));
5007 : }
5008 :
5009 : /* return a structure representing the algebra of real numbers */
5010 : static GEN
5011 28 : mk_R()
5012 : {
5013 28 : pari_sp av = avma;
5014 : GEN al;
5015 28 : al = zerovec(11);
5016 28 : gel(al,1) = stor(1, LOWDEFAULTPREC);
5017 28 : gel(al,2) = mkvec(gel(al,1));
5018 28 : gel(al,3) = gen_1;
5019 28 : gel(al,4) = mkvecsmall(0);
5020 28 : gel(al,6) = mkvec2(gen_0,matid(1));
5021 28 : gel(al,8) = gel(al,7) = matid(1);
5022 28 : gel(al,9) = mkvec(matid(1));
5023 28 : return gc_GEN(av,al);
5024 : }
5025 : /* return a structure representing the algebra of complex numbers */
5026 : static GEN
5027 21 : mk_C()
5028 : {
5029 21 : pari_sp av = avma;
5030 : GEN al, I;
5031 21 : al = zerovec(11);
5032 21 : I = gen_I();
5033 21 : gel(al,1) = I;
5034 21 : gel(al,2) = mkvec(I);
5035 21 : gel(al,3) = gen_1;
5036 21 : gel(al,4) = cgetg(1,t_VECSMALL);
5037 21 : gel(al,6) = mkvec2(gen_0,mkmat22(gen_1,gen_0,gen_0,gen_m1));
5038 21 : gel(al,8) = gel(al,7) = matid(2);
5039 21 : gel(al,9) = mkvec2(
5040 : matid(2),
5041 : mkmat22(gen_0,gen_m1,gen_1,gen_0)
5042 : );
5043 21 : return gc_GEN(av,al);
5044 : }
5045 : /* return a structure representing the Hamilton quaternion algebra */
5046 : static GEN
5047 56 : mk_H()
5048 : {
5049 56 : pari_sp av = avma;
5050 : GEN al, I;
5051 56 : al = zerovec(11);
5052 56 : I = gen_I();
5053 56 : gel(al,1) = I;
5054 56 : gel(al,2) = mkvec(gconj(I));
5055 56 : gel(al,3) = gen_m1;
5056 56 : gel(al,4) = mkvecsmall(1);
5057 56 : gel(al,6) = mkvec2(gen_0, H_invol(NULL));
5058 56 : gel(al,8) = gel(al,7) = matid(4);
5059 56 : gel(al,9) = mkvec4(
5060 : matid(4),
5061 : H_tomatrix(I,1),
5062 : H_tomatrix(mkcol4(gen_0,gen_0,gen_1,gen_0),1),
5063 : H_tomatrix(mkcol4(gen_0,gen_0,gen_0,gen_1),1)
5064 : );
5065 56 : return gc_GEN(av,al);
5066 : }
5067 :
5068 : GEN
5069 1995 : alginit(GEN A, GEN B, long v, long flag)
5070 : {
5071 : long w;
5072 1995 : if (typ(A) == t_COMPLEX) return mk_C();
5073 1974 : if (typ(A) == t_REAL)
5074 : {
5075 91 : if (is_scalar_t(typ(B)) && gequal0(B)) return mk_R();
5076 63 : if (typ(B) == t_FRAC && gequal(B, mkfrac(gen_1,gen_2))) return mk_H();
5077 7 : pari_err_DOMAIN("alginit", "real Hasse invariant [must be 0 or 1/2]", "", NULL, B);
5078 : }
5079 1883 : switch(nftyp(A))
5080 : {
5081 1624 : case typ_NF:
5082 1624 : if (v<0) v=0;
5083 1624 : w = gvar(nf_get_pol(A));
5084 1624 : if (varncmp(v,w)>=0) pari_err_PRIORITY("alginit", pol_x(v), ">=", w);
5085 1610 : switch(typ(B))
5086 : {
5087 : long nB;
5088 140 : case t_INT: return alg_matrix(A, itos(B), v, flag);
5089 1463 : case t_VEC:
5090 1463 : nB = lg(B)-1;
5091 1463 : if (nB && typ(gel(B,1)) == t_MAT) return alg_csa_table(A,B,v,flag);
5092 : switch(nB)
5093 : {
5094 735 : case 2:
5095 735 : if (typ(gel(B,1)) == t_VEC)
5096 77 : return alg_quatramif(A, gel(B,1), gel(B,2), v, flag);
5097 658 : return alg_hilbert(A, gel(B,1), gel(B,2), v, flag);
5098 455 : case 3:
5099 455 : if (typ(gel(B,1))!=t_INT)
5100 7 : pari_err_TYPE("alginit [degree should be an integer]", gel(B,1));
5101 448 : return alg_hasse(A, itos(gel(B,1)), gel(B,2), gel(B,3), v,
5102 : flag);
5103 : }
5104 : }
5105 14 : pari_err_TYPE("alginit", B); break;
5106 :
5107 245 : case typ_RNF:
5108 245 : if (typ(B) != t_VEC || lg(B) != 3) pari_err_TYPE("alginit", B);
5109 231 : return alg_cyclic(A, gel(B,1), gel(B,2), flag);
5110 : }
5111 14 : pari_err_TYPE("alginit", A);
5112 : return NULL;/*LCOV_EXCL_LINE*/
5113 : }
5114 :
5115 : /* assumes al CSA or CYCLIC */
5116 : static GEN
5117 1652 : algnatmultable(GEN al, long D)
5118 : {
5119 : GEN res, x;
5120 : long i;
5121 1652 : res = cgetg(D+1,t_VEC);
5122 17738 : for (i=1; i<=D; i++) {
5123 16086 : x = algnattoalg(al,col_ei(D,i));
5124 16086 : gel(res,i) = algZmultable(al,x);
5125 : }
5126 1652 : return res;
5127 : }
5128 :
5129 168 : static int normfact_is_partial(GEN nf, GEN x, GEN fax)
5130 : {
5131 : long i;
5132 : GEN nfx;
5133 168 : nfx = RgM_shallowcopy(fax);
5134 434 : for (i=1; i<lg(gel(nfx,1)); i++)
5135 266 : gcoeff(nfx,i,1) = idealnorm(nf, gcoeff(nfx,i,1));
5136 168 : nfx = factorback(nfx);
5137 168 : return !gequal(idealnorm(nf, x), nfx);
5138 : }
5139 : /* no garbage collection */
5140 : static void
5141 973 : algcomputehasse(GEN al, long flag)
5142 : {
5143 : int partialfact;
5144 : long r1, k, n, m, m1, m2, m3, i, m23, m123;
5145 : GEN rnf, nf, b, fab, disc2, cnd, fad, auts, pr, pl, perm, y, hi, PH, H, L;
5146 :
5147 973 : rnf = alg_get_splittingfield(al);
5148 973 : n = rnf_get_degree(rnf);
5149 973 : nf = rnf_get_nf(rnf);
5150 973 : b = alg_get_b(al);
5151 973 : r1 = nf_get_r1(nf);
5152 973 : auts = alg_get_auts(al);
5153 973 : (void)alg_get_abssplitting(al);
5154 :
5155 973 : y = nfpolsturm(nf, rnf_get_pol(rnf), NULL);
5156 973 : pl = cgetg(r1+1, t_VECSMALL);
5157 : /* real places where rnf/nf ramifies */
5158 2170 : for (k = 1; k <= r1; k++) pl[k] = !signe(gel(y,k));
5159 :
5160 : /* infinite Hasse invariants */
5161 973 : if (odd(n)) hi = const_vecsmall(r1, 0);
5162 : else
5163 : {
5164 805 : GEN s = nfsign(nf, b);
5165 805 : hi = cgetg(r1+1, t_VECSMALL);
5166 1834 : for (k = 1; k<=r1; k++) hi[k] = (s[k] && pl[k]) ? (n/2) : 0;
5167 : }
5168 973 : gel(al,4) = hi;
5169 :
5170 973 : partialfact = 0;
5171 973 : if (flag & al_FACTOR)
5172 868 : fab = idealfactor(nf, b);
5173 : else {
5174 105 : fab = idealfactor_limit(nf, b, 1<<20);
5175 : /* does not report whether factorisation was partial; check it */
5176 105 : partialfact = normfact_is_partial(nf, b, fab);
5177 : }
5178 :
5179 973 : disc2 = rnf_get_idealdisc(rnf);
5180 973 : L = nfmakecoprime(nf, &disc2, gel(fab,1));
5181 973 : m = lg(L)-1;
5182 : /* m1 = #{pr|b: pr \nmid disc}, m3 = #{pr|b: pr | disc} */
5183 973 : perm = cgetg(m+1, t_VECSMALL);
5184 1764 : for (i=1, m1=m, k=1; k<=m; k++)
5185 791 : if (signe(gel(L,k))) perm[m1--] = k; else perm[i++] = k;
5186 973 : m3 = m - m1;
5187 :
5188 : /* disc2 : factor of disc coprime to b */
5189 973 : if (flag & al_FACTOR)
5190 868 : fad = idealfactor(nf, disc2);
5191 : else {
5192 105 : fad = idealfactor_limit(nf, disc2, 1<<20);
5193 105 : partialfact = partialfact || normfact_is_partial(nf, disc2, fad);
5194 : }
5195 :
5196 : /* if factorisation is partial, do not compute Hasse invariants */
5197 : /* we could compute their sum at composite factors */
5198 973 : if (partialfact)
5199 : {
5200 49 : if (!(flag & al_MAXORD))
5201 : {
5202 42 : gel(al,5) = gen_0;
5203 49 : return;
5204 : }
5205 : /* but transmit list of factors found for computation of maximal order */
5206 7 : PH = prV_primes(shallowconcat(gel(fab,1), gel(fad,1)));
5207 7 : gel(al,5) = mkvec2(PH, gen_0);;
5208 7 : return;
5209 : }
5210 :
5211 : /* m2 : number of prime factors of disc not dividing b */
5212 924 : m2 = nbrows(fad);
5213 924 : m23 = m2+m3;
5214 924 : m123 = m1+m2+m3;
5215 :
5216 : /* initialize the possibly ramified primes (hasse) and the factored conductor of rnf/nf (cnd) */
5217 924 : cnd = zeromatcopy(m23,2);
5218 924 : PH = cgetg(m123+1, t_VEC); /* ramified primes */
5219 924 : H = cgetg(m123+1, t_VECSMALL); /* Hasse invariant */
5220 : /* compute Hasse invariant at primes that are unramified in rnf/nf */
5221 1554 : for (k=1; k<=m1; k++) {/* pr | b, pr \nmid disc */
5222 630 : long frob, e, j = perm[k];
5223 630 : pr = gcoeff(fab,j,1);
5224 630 : e = itos(gcoeff(fab,j,2));
5225 630 : frob = cyclicrelfrob(rnf, auts, pr);
5226 630 : gel(PH,k) = pr;
5227 630 : H[k] = Fl_mul(frob, e, n);
5228 : }
5229 : /* compute Hasse invariant at primes that are ramified in rnf/nf */
5230 1890 : for (k=1; k<=m2; k++) {/* pr \nmid b, pr | disc */
5231 966 : pr = gcoeff(fad,k,1);
5232 966 : gel(PH,k+m1) = pr;
5233 966 : gcoeff(cnd,k,1) = pr;
5234 966 : gcoeff(cnd,k,2) = gcoeff(fad,k,2);
5235 : }
5236 1001 : for (k=1; k<=m3; k++) { /* pr | (b, disc) */
5237 77 : long j = perm[k+m1];
5238 77 : pr = gcoeff(fab,j,1);
5239 77 : gel(PH,k+m1+m2) = pr;
5240 77 : gcoeff(cnd,k+m2,1) = pr;
5241 77 : gcoeff(cnd,k+m2,2) = gel(L,j);
5242 : }
5243 924 : gel(cnd,2) = gdiventgs(gel(cnd,2), eulerphiu(n));
5244 1967 : for (k=1; k<=m23; k++) H[k+m1] = localhasse(rnf, cnd, pl, auts, b, k);
5245 924 : perm = gen_indexsort(PH, (void*)&cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
5246 924 : gel(al,5) = mkvec2(vecpermute(PH,perm),vecsmallpermute(H,perm));
5247 924 : checkhasse(nf, alg_get_hasse_f(al), alg_get_hasse_i(al), n);
5248 : }
5249 :
5250 : static GEN
5251 1442 : alg_maximal_primes(GEN al, GEN P)
5252 : {
5253 1442 : pari_sp av = avma;
5254 1442 : long l = lg(P), i;
5255 4713 : for (i=1; i<l; i++)
5256 : {
5257 3271 : if (i != 1) al = gc_GEN(av, al);
5258 3271 : al = alg_pmaximal(al,gel(P,i));
5259 : }
5260 1442 : return al;
5261 : }
5262 :
5263 : GEN
5264 987 : alg_cyclic(GEN rnf, GEN aut, GEN b, long flag)
5265 : {
5266 987 : pari_sp av = avma;
5267 : GEN al, nf;
5268 : long D, n, d;
5269 987 : dbg_printf(1)("alg_cyclic\n");
5270 987 : checkrnf(rnf); nf = rnf_get_nf(rnf);
5271 987 : b = nf_to_scalar_or_basis(nf, b);
5272 980 : if (typ(b) == t_FRAC || (typ(b) == t_COL && !RgV_is_ZV(b)))
5273 7 : pari_err_DOMAIN("alg_cyclic", "denominator(b)", "!=", gen_1,b);
5274 :
5275 973 : n = rnf_get_degree(rnf);
5276 973 : d = nf_get_degree(nf);
5277 973 : D = d*n*n;
5278 :
5279 973 : al = cgetg(12,t_VEC);
5280 973 : gel(al,10)= gen_0; /* must be set first */
5281 973 : gel(al,1) = rnf;
5282 973 : gel(al,2) = allauts(rnf, aut);
5283 973 : gel(al,3) = basistoalg(nf,b);
5284 973 : rnf_build_nfabs(rnf, nf_get_prec(nf));
5285 973 : gel(al,6) = mkvec2(gen_0,gen_0);
5286 973 : gel(al,7) = matid(D);
5287 973 : gel(al,8) = matid(D); /* TODO modify 7, 8 et 9 once LLL added */
5288 973 : gel(al,9) = algnatmultable(al,D);
5289 973 : gel(al,11)= algtracebasis(al);
5290 :
5291 973 : if (n==2) alg_insert_quatconj(al);
5292 :
5293 973 : algcomputehasse(al, flag);
5294 :
5295 973 : if (flag & al_MAXORD) {
5296 854 : GEN hf = alg_get_hasse_f(al), pr = gel(hf,1);
5297 854 : if (typ(gel(hf,2)) == t_INT) /* factorisation was partial */
5298 7 : gel(al,5) = gen_0;
5299 847 : else pr = prV_primes(pr);
5300 854 : al = alg_maximal_primes(al, pr);
5301 : }
5302 973 : return gc_GEN(av, al);
5303 : }
5304 :
5305 : static int
5306 630 : ismaximalsubfield(GEN al, GEN x, GEN d, long v, GEN *pt_minpol)
5307 : {
5308 630 : GEN cp = algbasischarpoly(al, x, v), lead;
5309 630 : if (!ispower(cp, d, pt_minpol)) return 0;
5310 630 : lead = leading_coeff(*pt_minpol);
5311 630 : if (isintm1(lead)) *pt_minpol = gneg(*pt_minpol);
5312 630 : return ZX_is_irred(*pt_minpol);
5313 : }
5314 :
5315 : static GEN
5316 266 : findmaximalsubfield(GEN al, GEN d, long v)
5317 : {
5318 266 : long count, nb=2, i, N = alg_get_absdim(al), n = nf_get_degree(alg_get_center(al));
5319 266 : GEN x, minpol, maxc = gen_1;
5320 :
5321 385 : for (i=n+1; i<=N; i+=n) {
5322 595 : for (count=0; count<2 && i+count<=N; count++) {
5323 476 : x = col_ei(N,i+count);
5324 476 : if (ismaximalsubfield(al, x, d, v, &minpol)) return mkvec2(x,minpol);
5325 : }
5326 : }
5327 :
5328 : while(1) {
5329 154 : x = zerocol(N);
5330 609 : for (count=0; count<nb; count++)
5331 : {
5332 455 : i = random_Fl(N)+1;
5333 455 : gel(x,i) = addiu(randomi(maxc),1);
5334 455 : if (random_bits(1)) gel(x,i) = negi(gel(x,i));
5335 : }
5336 154 : if (ismaximalsubfield(al, x, d, v, &minpol)) return mkvec2(x,minpol);
5337 70 : if (!random_bits(3)) maxc = addiu(maxc,1);
5338 70 : if (nb<N) nb++;
5339 : }
5340 :
5341 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
5342 : }
5343 :
5344 : static GEN
5345 266 : frobeniusform(GEN al, GEN x)
5346 : {
5347 : GEN M, FP, P, Pi;
5348 :
5349 : /* /!\ has to be the *right* multiplication table */
5350 266 : M = algbasisrightmultable(al, x);
5351 :
5352 266 : FP = matfrobenius(M,2,0); /* M = P^(-1)*F*P */
5353 266 : P = gel(FP,2);
5354 266 : Pi = RgM_inv(P);
5355 266 : return mkvec2(P, Pi);
5356 : }
5357 :
5358 : static void
5359 266 : computesplitting(GEN al, long d, long v, long flag)
5360 : {
5361 266 : GEN subf, x, pol, polabs, basis, P, Pi, nf = alg_get_center(al), rnf, Lbasis, Lbasisinv, Q, pows;
5362 266 : long i, n = nf_get_degree(nf), nd = n*d, N = alg_get_absdim(al), j, j2;
5363 :
5364 266 : subf = findmaximalsubfield(al, utoipos(d), v);
5365 266 : x = gel(subf, 1);
5366 266 : polabs = gel(subf, 2);
5367 :
5368 : /* Frobenius form to obtain L-vector space structure */
5369 266 : basis = frobeniusform(al, x);
5370 266 : P = gel(basis, 1);
5371 266 : Pi = gel(basis, 2);
5372 :
5373 : /* construct rnf of splitting field */
5374 266 : pol = gel(nffactor(nf,polabs),1);
5375 308 : for (i=1; i<lg(pol); i++)
5376 : /* select relative factor that vanishes on x */
5377 308 : if (gequal0(algpoleval(al, gel(pol,i), x)))
5378 : {
5379 266 : pol = gel(pol,i);
5380 266 : break;
5381 : }
5382 266 : if (typ(pol) != t_POL) pari_err_BUG("computesplitting (no valid factor)");
5383 266 : if (!(flag & al_FACTOR)) pol = mkvec2(pol, stoi(1<<20));
5384 266 : gel(al,1) = rnf = rnfinit(nf, pol);
5385 : /* since pol is irreducible over Q, we have k=0 in rnf. */
5386 266 : if (!gequal0(rnf_get_k(rnf)))
5387 : pari_err_BUG("computesplitting (k!=0)"); /*LCOV_EXCL_LINE*/
5388 266 : rnf_build_nfabs(rnf, nf_get_prec(nf));
5389 :
5390 : /* construct splitting data */
5391 266 : Lbasis = cgetg(d+1, t_MAT);
5392 735 : for (j=j2=1; j<=d; j++, j2+=nd)
5393 469 : gel(Lbasis,j) = gel(Pi,j2);
5394 :
5395 266 : Q = zeromatcopy(d,N);
5396 266 : pows = pol_x_powers(nd,v);
5397 735 : for (i=j=1; j<=N; j+=nd, i++)
5398 2156 : for (j2=0; j2<nd; j2++)
5399 1687 : gcoeff(Q,i,j+j2) = mkpolmod(gel(pows,j2+1),polabs);
5400 266 : Lbasisinv = RgM_mul(Q,P);
5401 :
5402 266 : gel(al,3) = mkvec3(x,Lbasis,Lbasisinv);
5403 266 : }
5404 :
5405 : /* assumes that mt defines a central simple algebra over nf */
5406 : GEN
5407 294 : alg_csa_table(GEN nf, GEN mt0, long v, long flag)
5408 : {
5409 294 : pari_sp av = avma;
5410 : GEN al, mt;
5411 294 : long n, D, d2 = lg(mt0)-1, d = usqrt(d2);
5412 294 : dbg_printf(1)("alg_csa_table\n");
5413 :
5414 294 : mt = check_relmt(nf,mt0);
5415 280 : if (!mt) pari_err_TYPE("alg_csa_table", mt0);
5416 273 : n = nf_get_degree(nf);
5417 273 : D = n*d2;
5418 273 : if (d*d != d2)
5419 7 : pari_err_DOMAIN("alg_csa_table","(nonsquare) dimension","!=",stoi(d*d),mt);
5420 :
5421 266 : al = cgetg(12, t_VEC);
5422 266 : gel(al,10) = gen_0; /* must be set first */
5423 266 : gel(al,1) = zerovec(12); gmael(al,1,10) = nf;
5424 266 : gmael(al,1,1) = gpowgs(pol_x(0), d); /* placeholder before splitting field */
5425 266 : gel(al,2) = mt;
5426 266 : gel(al,3) = gen_0; /* placeholder */
5427 266 : gel(al,4) = gel(al,5) = gen_0; /* TODO Hasse invariants if flag&al_FACTOR */
5428 266 : gel(al,6) = mkvec2(gen_0,gen_0);
5429 266 : gel(al,7) = matid(D);
5430 266 : gel(al,8) = matid(D);
5431 266 : gel(al,9) = algnatmultable(al,D);
5432 266 : gel(al,11)= algtracebasis(al);
5433 266 : if (flag & al_MAXORD) al = alg_maximal(al);
5434 266 : if (!(flag & al_NOSPLITTING)) computesplitting(al, d, v, flag);
5435 266 : return gc_GEN(av, al);
5436 : }
5437 :
5438 : static GEN
5439 59805 : algtableinit_i(GEN mt0, GEN p)
5440 : {
5441 : GEN al, mt;
5442 : long i, n;
5443 :
5444 59805 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
5445 59805 : mt = check_mt(mt0,p);
5446 59805 : if (!mt) pari_err_TYPE("algtableinit", mt0);
5447 59798 : if (!p && !isint1(Q_denom(mt0)))
5448 7 : pari_err_DOMAIN("algtableinit", "denominator(mt)", "!=", gen_1, mt0);
5449 59791 : n = lg(mt)-1;
5450 59791 : al = cgetg(12, t_VEC);
5451 358746 : for (i=1; i<=5; i++) gel(al,i) = gen_0;
5452 59791 : gel(al,6) = mkvec2(gen_0, gen_0);
5453 59791 : gel(al,7) = matid(n);
5454 59791 : gel(al,8) = matid(n);
5455 59791 : gel(al,9) = mt;
5456 59791 : gel(al,10) = p? p: gen_0;
5457 59791 : gel(al,11) = algtracebasis(al);
5458 59791 : return al;
5459 : }
5460 : GEN
5461 6223 : algtableinit(GEN mt0, GEN p)
5462 : {
5463 6223 : pari_sp av = avma;
5464 6223 : if (p)
5465 : {
5466 6041 : if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("algtableinit",p);
5467 6034 : if (signe(p) && !BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("algtableinit",p);
5468 : }
5469 6202 : return gc_GEN(av, algtableinit_i(mt0, p));
5470 : }
5471 :
5472 : /** REPRESENTATIONS OF GROUPS **/
5473 :
5474 : static GEN
5475 294 : list_to_regular_rep(GEN elts, long n)
5476 : {
5477 : GEN reg, elts2, g;
5478 : long i,j;
5479 294 : elts = shallowcopy(elts);
5480 294 : gen_sort_inplace(elts, (void*)&vecsmall_lexcmp, &cmp_nodata, NULL);
5481 294 : reg = cgetg(n+1, t_VEC);
5482 294 : gel(reg,1) = identity_perm(n);
5483 3857 : for (i=2; i<=n; i++) {
5484 3563 : g = perm_inv(gel(elts,i));
5485 3563 : elts2 = cgetg(n+1, t_VEC);
5486 74543 : for (j=1; j<=n; j++) gel(elts2,j) = perm_mul(g,gel(elts,j));
5487 3563 : gen_sort_inplace(elts2, (void*)&vecsmall_lexcmp, &cmp_nodata, &gel(reg,i));
5488 : }
5489 294 : return reg;
5490 : }
5491 :
5492 : static GEN
5493 3857 : matrix_perm(GEN perm, long n)
5494 : {
5495 : GEN m;
5496 : long j;
5497 3857 : m = cgetg(n+1, t_MAT);
5498 78694 : for (j=1; j<=n; j++) {
5499 74837 : gel(m,j) = col_ei(n,perm[j]);
5500 : }
5501 3857 : return m;
5502 : }
5503 :
5504 : GEN
5505 847 : conjclasses_algcenter(GEN cc, GEN p)
5506 : {
5507 847 : GEN mt, elts = gel(cc,1), conjclass = gel(cc,2), rep = gel(cc,3), card;
5508 847 : long i, nbcl = lg(rep)-1, n = lg(elts)-1;
5509 : pari_sp av;
5510 :
5511 847 : card = zero_Flv(nbcl);
5512 14819 : for (i=1; i<=n; i++) card[conjclass[i]]++;
5513 :
5514 : /* multiplication table of the center of Z[G] (class functions) */
5515 847 : mt = cgetg(nbcl+1,t_VEC);
5516 7217 : for (i=1;i<=nbcl;i++) gel(mt,i) = zero_Flm_copy(nbcl,nbcl);
5517 847 : av = avma;
5518 7217 : for (i=1;i<=nbcl;i++)
5519 : {
5520 6370 : GEN xi = gel(elts,rep[i]), mi = gel(mt,i);
5521 : long j,k;
5522 132244 : for (j=1;j<=n;j++)
5523 : {
5524 125874 : GEN xj = gel(elts,j);
5525 125874 : k = vecsearch(elts, perm_mul(xi,xj), NULL);
5526 125874 : ucoeff(mi, conjclass[k], conjclass[j])++;
5527 : }
5528 70238 : for (k=1; k<=nbcl; k++)
5529 852362 : for (j=1; j<=nbcl; j++)
5530 : {
5531 788494 : ucoeff(mi,k,j) *= card[i];
5532 788494 : ucoeff(mi,k,j) /= card[k];
5533 : }
5534 6370 : set_avma(av);
5535 : }
5536 7217 : for (i=1;i<=nbcl;i++) gel(mt,i) = Flm_to_ZM(gel(mt,i));
5537 847 : return algtableinit_i(mt,p);
5538 : }
5539 :
5540 : GEN
5541 329 : alggroupcenter(GEN G, GEN p, GEN *pcc)
5542 : {
5543 329 : pari_sp av = avma;
5544 329 : GEN cc = group_to_cc(G), al = conjclasses_algcenter(cc, p);
5545 315 : if (!pcc) return gc_GEN(av,al);
5546 7 : *pcc = cc; return gc_all(av, 2, &al, pcc);
5547 : }
5548 :
5549 : static GEN
5550 294 : groupelts_algebra(GEN elts, GEN p)
5551 : {
5552 294 : pari_sp av = avma;
5553 : GEN mt;
5554 294 : long i, n = lg(elts)-1;
5555 294 : elts = list_to_regular_rep(elts,n);
5556 294 : mt = cgetg(n+1, t_VEC);
5557 4151 : for (i=1; i<=n; i++) gel(mt,i) = matrix_perm(gel(elts,i),n);
5558 294 : return gc_GEN(av, algtableinit_i(mt,p));
5559 : }
5560 :
5561 : GEN
5562 329 : alggroup(GEN gal, GEN p)
5563 : {
5564 329 : GEN elts = checkgroupelts(gal);
5565 294 : return groupelts_algebra(elts, p);
5566 : }
5567 :
5568 : /** MAXIMAL ORDER **/
5569 :
5570 : static GEN
5571 93201 : mattocol(GEN M, long n)
5572 : {
5573 93201 : GEN C = cgetg(n*n+1, t_COL);
5574 : long i,j,ic;
5575 93201 : ic = 1;
5576 1650060 : for (i=1; i<=n; i++)
5577 40690752 : for (j=1; j<=n; j++, ic++) gel(C,ic) = gcoeff(M,i,j);
5578 93201 : return C;
5579 : }
5580 :
5581 : /* Ip is a lift of a left O/pO-ideal where O is the integral basis of al */
5582 : static GEN
5583 8604 : algleftordermodp(GEN al, GEN Ip, GEN p)
5584 : {
5585 8604 : pari_sp av = avma;
5586 : GEN I, Ii, M, mt, K, imi, p2;
5587 : long n, i;
5588 8604 : n = alg_get_absdim(al);
5589 8604 : mt = alg_get_multable(al);
5590 8604 : p2 = sqri(p);
5591 :
5592 8604 : I = ZM_hnfmodid(Ip, p);
5593 8604 : Ii = ZM_inv(I,NULL);
5594 :
5595 8604 : M = cgetg(n+1, t_MAT);
5596 101805 : for (i=1; i<=n; i++) {
5597 93201 : imi = FpM_mul(Ii, FpM_mul(gel(mt,i), I, p2), p2);
5598 93201 : imi = ZM_Z_divexact(imi, p);
5599 93201 : gel(M,i) = mattocol(imi, n);
5600 : }
5601 8604 : K = FpM_ker(M, p);
5602 8604 : if (lg(K)==1) { set_avma(av); return matid(n); }
5603 3501 : K = ZM_hnfmodid(K,p);
5604 :
5605 3501 : return gc_upto(av, ZM_Z_div(K,p));
5606 : }
5607 :
5608 : static GEN
5609 14406 : alg_ordermodp(GEN al, GEN p)
5610 : {
5611 : GEN alp;
5612 14406 : long i, N = alg_get_absdim(al);
5613 14406 : alp = cgetg(12, t_VEC);
5614 129654 : for (i=1; i<=8; i++) gel(alp,i) = gen_0;
5615 14406 : gel(alp,9) = cgetg(N+1, t_VEC);
5616 151931 : for (i=1; i<=N; i++) gmael(alp,9,i) = FpM_red(gmael(al,9,i), p);
5617 14406 : gel(alp,10) = p;
5618 14406 : gel(alp,11) = cgetg(N+1, t_VEC);
5619 151931 : for (i=1; i<=N; i++) gmael(alp,11,i) = Fp_red(gmael(al,11,i), p);
5620 :
5621 14406 : return alp;
5622 : }
5623 :
5624 : static GEN
5625 6772 : algpradical_i(GEN al, GEN p, GEN zprad, GEN projs)
5626 : {
5627 6772 : pari_sp av = avma;
5628 6772 : GEN alp = alg_ordermodp(al, p), liftrad, projrad, alq, alrad, res, Lalp, radq;
5629 : long i;
5630 6772 : if (lg(zprad)==1) {
5631 4704 : liftrad = NULL;
5632 4704 : projrad = NULL;
5633 : }
5634 : else {
5635 2068 : alq = alg_quotient(alp, zprad, 1);
5636 2068 : alp = gel(alq,1);
5637 2068 : projrad = gel(alq,2);
5638 2068 : liftrad = gel(alq,3);
5639 : }
5640 :
5641 6772 : if (projs) {
5642 1333 : if (projrad) {
5643 28 : projs = gcopy(projs);
5644 84 : for (i=1; i<lg(projs); i++)
5645 56 : gel(projs,i) = FpM_FpC_mul(projrad, gel(projs,i), p);
5646 : }
5647 1333 : Lalp = alg_centralproj(alp, projs, 1);
5648 :
5649 1333 : alrad = cgetg(lg(Lalp),t_VEC);
5650 4389 : for (i=1; i<lg(Lalp); i++) {
5651 3056 : alq = gel(Lalp,i);
5652 3056 : radq = algradical(gel(alq,1));
5653 3056 : if (gequal0(radq))
5654 1744 : gel(alrad,i) = cgetg(1,t_MAT);
5655 : else {
5656 1312 : radq = FpM_mul(gel(alq,3),radq,p);
5657 1312 : gel(alrad,i) = radq;
5658 : }
5659 : }
5660 1333 : alrad = shallowmatconcat(alrad);
5661 1333 : alrad = FpM_image(alrad,p);
5662 : }
5663 5439 : else alrad = algradical(alp);
5664 :
5665 6772 : if (!gequal0(alrad)) {
5666 5377 : if (liftrad) alrad = FpM_mul(liftrad, alrad, p);
5667 5377 : res = shallowmatconcat(mkvec2(alrad, zprad));
5668 5377 : res = FpM_image(res,p);
5669 : }
5670 1395 : else res = lg(zprad)==1 ? gen_0 : zprad;
5671 6772 : return gc_GEN(av, res);
5672 : }
5673 :
5674 : static GEN
5675 4876 : algpdecompose0(GEN al, GEN prad, GEN p, GEN projs)
5676 : {
5677 4876 : pari_sp av = avma;
5678 4876 : GEN alp, quo, ss, liftm = NULL, projm = NULL, dec, res, I, Lss, deci;
5679 : long i, j;
5680 :
5681 4876 : alp = alg_ordermodp(al, p);
5682 4876 : if (!gequal0(prad)) {
5683 3951 : quo = alg_quotient(alp, prad, 1);
5684 3951 : ss = gel(quo,1);
5685 3951 : projm = gel(quo,2);
5686 3951 : liftm = gel(quo,3);
5687 : }
5688 925 : else ss = alp;
5689 :
5690 4876 : if (projs) {
5691 1171 : if (projm) {
5692 2676 : for (i=1; i<lg(projs); i++)
5693 1856 : gel(projs,i) = FpM_FpC_mul(projm, gel(projs,i), p);
5694 : }
5695 1171 : Lss = alg_centralproj(ss, projs, 1);
5696 :
5697 1171 : dec = cgetg(lg(Lss),t_VEC);
5698 3882 : for (i=1; i<lg(Lss); i++) {
5699 2711 : gel(dec,i) = algsimpledec_ss(gmael(Lss,i,1), 1);
5700 2711 : deci = gel(dec,i);
5701 6144 : for (j=1; j<lg(deci); j++)
5702 3433 : gmael(deci,j,3) = FpM_mul(gmael(Lss,i,3), gmael(deci,j,3), p);
5703 : }
5704 1171 : dec = shallowconcat1(dec);
5705 : }
5706 3705 : else dec = algsimpledec_ss(ss,1);
5707 :
5708 4876 : res = cgetg(lg(dec),t_VEC);
5709 13373 : for (i=1; i<lg(dec); i++) {
5710 8497 : I = gmael(dec,i,3);
5711 8497 : if (liftm) I = FpM_mul(liftm,I,p);
5712 8497 : I = shallowmatconcat(mkvec2(I,prad));
5713 8497 : gel(res,i) = I;
5714 : }
5715 :
5716 4876 : return gc_GEN(av, res);
5717 : }
5718 :
5719 : /* finds a nontrivial ideal of O/prad or gen_0 if there is none. */
5720 : static GEN
5721 1605 : algpdecompose_i(GEN al, GEN p, GEN zprad, GEN projs)
5722 : {
5723 1605 : pari_sp av = avma;
5724 1605 : GEN prad = algpradical_i(al,p,zprad,projs);
5725 1605 : return gc_upto(av, algpdecompose0(al, prad, p, projs));
5726 : }
5727 :
5728 : /* ord is assumed to be in hnf wrt the integral basis of al. */
5729 : /* assumes that alg_get_invbasis(al) is integral. */
5730 : static GEN
5731 3529 : alg_change_overorder_shallow(GEN al, GEN ord)
5732 : {
5733 : GEN al2, mt, iord, mtx, den, den2, div, invol;
5734 : long i, n;
5735 3529 : n = alg_get_absdim(al);
5736 :
5737 3529 : iord = QM_inv(ord);
5738 3529 : al2 = shallowcopy(al);
5739 :
5740 3529 : invol = alg_get_invol(al);
5741 3529 : if (typ(invol) == t_MAT) gmael(al2,6,2) = QM_mul(iord, QM_mul(invol,ord));
5742 :
5743 3529 : ord = Q_remove_denom(ord,&den);
5744 :
5745 3529 : gel(al2,7) = Q_remove_denom(gel(al,7), &den2);
5746 3529 : if (den2) div = mulii(den,den2);
5747 1253 : else div = den;
5748 3529 : gel(al2,7) = ZM_Z_div(ZM_mul(gel(al2,7), ord), div);
5749 :
5750 3529 : gel(al2,8) = ZM_mul(iord, gel(al,8));
5751 :
5752 3529 : mt = cgetg(n+1,t_VEC);
5753 3529 : gel(mt,1) = matid(n);
5754 3529 : div = sqri(den);
5755 39207 : for (i=2; i<=n; i++) {
5756 35678 : mtx = algbasismultable(al,gel(ord,i));
5757 35678 : gel(mt,i) = ZM_mul(iord, ZM_mul(mtx, ord));
5758 35678 : gel(mt,i) = ZM_Z_divexact(gel(mt,i), div);
5759 : }
5760 3529 : gel(al2,9) = mt;
5761 :
5762 3529 : gel(al2,11) = algtracebasis(al2);
5763 :
5764 3529 : return al2;
5765 : }
5766 :
5767 : static GEN
5768 36345 : algeltfromnf_i(GEN al, GEN x)
5769 : {
5770 36345 : GEN nf = alg_get_center(al);
5771 : long n;
5772 36345 : switch(alg_type(al)) {
5773 30647 : case al_CYCLIC:
5774 30647 : n = alg_get_degree(al);
5775 30647 : break;
5776 5698 : case al_CSA:
5777 5698 : n = alg_get_dim(al);
5778 5698 : break;
5779 : default: return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
5780 : }
5781 36345 : return algalgtobasis(al, scalarcol(basistoalg(nf, x), n));
5782 : }
5783 :
5784 : GEN
5785 5138 : algeltfromnf(GEN al, GEN x)
5786 : {
5787 5138 : pari_sp av = avma;
5788 5138 : checkalg(al);
5789 5131 : return gc_upto(av, algeltfromnf_i(al,x));
5790 : }
5791 :
5792 : /* x is an ideal of the center in hnf form */
5793 : static GEN
5794 6772 : algeltfromnf_hnf(GEN al, GEN x)
5795 : {
5796 : GEN res;
5797 : long i;
5798 6772 : res = cgetg(lg(x), t_MAT);
5799 19327 : for (i=1; i<lg(x); i++) gel(res,i) = algeltfromnf_i(al, gel(x,i));
5800 6772 : return res;
5801 : }
5802 :
5803 : /* assumes al is CSA or CYCLIC */
5804 : static GEN
5805 3271 : algcenter_precompute(GEN al, GEN p)
5806 : {
5807 3271 : GEN fa, pdec, nfprad, projs, nf = alg_get_center(al);
5808 : long i, np;
5809 :
5810 3271 : pdec = idealprimedec(nf, p);
5811 3271 : settyp(pdec, t_COL);
5812 3271 : np = lg(pdec)-1;
5813 3271 : fa = mkmat2(pdec, const_col(np, gen_1));
5814 3271 : if (dvdii(nf_get_disc(nf), p))
5815 666 : nfprad = idealprodprime(nf, pdec);
5816 : else
5817 2605 : nfprad = scalarmat_shallow(p, nf_get_degree(nf));
5818 3271 : fa = idealchineseinit(nf, fa);
5819 3271 : projs = cgetg(np+1, t_VEC);
5820 7375 : for (i=1; i<=np; i++) gel(projs, i) = idealchinese(nf, fa, vec_ei(np,i));
5821 3271 : return mkvec2(nfprad, projs);
5822 : }
5823 :
5824 : static GEN
5825 6772 : algcenter_prad(GEN al, GEN p, GEN pre)
5826 : {
5827 : GEN nfprad, zprad, mtprad;
5828 : long i;
5829 6772 : nfprad = gel(pre,1);
5830 6772 : zprad = algeltfromnf_hnf(al, nfprad);
5831 6772 : zprad = FpM_image(zprad, p);
5832 6772 : mtprad = cgetg(lg(zprad), t_VEC);
5833 9177 : for (i=1; i<lg(zprad); i++) gel(mtprad, i) = algbasismultable(al, gel(zprad,i));
5834 6772 : mtprad = shallowmatconcat(mtprad);
5835 6772 : zprad = FpM_image(mtprad, p);
5836 6772 : return zprad;
5837 : }
5838 :
5839 : static GEN
5840 6772 : algcenter_p_projs(GEN al, GEN p, GEN pre)
5841 : {
5842 : GEN projs, zprojs;
5843 : long i;
5844 6772 : projs = gel(pre,2);
5845 6772 : zprojs = cgetg(lg(projs), t_VEC);
5846 15267 : for (i=1; i<lg(projs); i++) gel(zprojs,i) = FpC_red(algeltfromnf_i(al, gel(projs,i)),p);
5847 6772 : return zprojs;
5848 : }
5849 :
5850 : /* al is assumed to be simple */
5851 : static GEN
5852 3271 : alg_pmaximal(GEN al, GEN p)
5853 : {
5854 : pari_sp av;
5855 3271 : long n = alg_get_absdim(al);
5856 3271 : GEN id = matid(n), al2 = al, prad, lord = gen_0, dec, zprad, projs, pre;
5857 :
5858 3271 : dbg_printf(0)("Round 2 (noncommutative) at p=%Ps, dim=%d\n", p, n);
5859 3271 : pre = algcenter_precompute(al,p); av = avma;
5860 : while (1) {
5861 5167 : zprad = algcenter_prad(al2, p, pre);
5862 5167 : projs = algcenter_p_projs(al2, p, pre);
5863 5167 : if (lg(projs) == 2) projs = NULL;
5864 5167 : prad = algpradical_i(al2,p,zprad,projs);
5865 5167 : if (typ(prad) == t_INT) break;
5866 5125 : lord = algleftordermodp(al2,prad,p);
5867 5125 : if (!cmp_universal(lord,id)) break;
5868 1896 : al2 = gc_GEN(av, alg_change_overorder_shallow(al2,lord));
5869 : }
5870 :
5871 3271 : dec = algpdecompose0(al2,prad,p,projs); av = avma;
5872 4876 : while (lg(dec) > 2) {
5873 : long i;
5874 4145 : for (i = 1; i < lg(dec); i++) {
5875 3479 : GEN I = gel(dec,i);
5876 3479 : lord = algleftordermodp(al2,I,p);
5877 3479 : if (cmp_universal(lord,id)) break;
5878 : }
5879 2271 : if (i==lg(dec)) break;
5880 1605 : al2 = gc_GEN(av, alg_change_overorder_shallow(al2,lord));
5881 1605 : zprad = algcenter_prad(al2, p, pre);
5882 1605 : projs = algcenter_p_projs(al2, p, pre);
5883 1605 : if (lg(projs) == 2) projs = NULL;
5884 1605 : dec = algpdecompose_i(al2,p,zprad,projs);
5885 : }
5886 3271 : return al2;
5887 : }
5888 :
5889 : static GEN
5890 15236 : algtracematrix(GEN al)
5891 : {
5892 : GEN M, mt;
5893 : long n, i, j;
5894 15236 : n = alg_get_absdim(al);
5895 15236 : mt = alg_get_multable(al);
5896 15236 : M = cgetg(n+1, t_MAT);
5897 114068 : for (i=1; i<=n; i++)
5898 : {
5899 98832 : gel(M,i) = cgetg(n+1,t_MAT);
5900 750489 : for (j=1; j<=i; j++)
5901 651657 : gcoeff(M,j,i) = gcoeff(M,i,j) = algabstrace(al,gmael(mt,i,j));
5902 : }
5903 15236 : return M;
5904 : }
5905 : static GEN
5906 567 : algdisc_i(GEN al) { return ZM_det(algtracematrix(al)); }
5907 : GEN
5908 364 : algdisc(GEN al)
5909 : {
5910 364 : pari_sp av = avma;
5911 364 : checkalg(al);
5912 364 : if (alg_type(al) == al_REAL) pari_err_TYPE("algdisc [real algebra]", al);
5913 343 : return gc_INT(av, algdisc_i(al));
5914 : }
5915 : static GEN
5916 224 : alg_maximal(GEN al)
5917 : {
5918 224 : GEN fa = absZ_factor(algdisc_i(al));
5919 224 : return alg_maximal_primes(al, gel(fa,1));
5920 : }
5921 :
5922 : /** LATTICES **/
5923 :
5924 : /*
5925 : Convention: lattice = [I,t] representing t*I, where
5926 : - I integral nonsingular upper-triangular matrix representing a lattice over
5927 : the integral basis of the algebra, and
5928 : - t>0 either an integer or a rational number.
5929 :
5930 : Recommended and returned by the functions below:
5931 : - I HNF and primitive
5932 : */
5933 :
5934 : /* TODO use hnfmodid whenever possible using a*O <= I <= O
5935 : * for instance a = ZM_det_triangular(I) */
5936 :
5937 : static GEN
5938 64351 : primlat(GEN lat)
5939 : {
5940 : GEN m, t, c;
5941 64351 : m = alglat_get_primbasis(lat);
5942 64351 : t = alglat_get_scalar(lat);
5943 64351 : m = Q_primitive_part(m,&c);
5944 64351 : if (c) return mkvec2(m,gmul(t,c));
5945 54817 : return lat;
5946 : }
5947 :
5948 : /* assumes the lattice contains d * integral basis, d=0 allowed */
5949 : GEN
5950 53487 : alglathnf(GEN al, GEN m, GEN d)
5951 : {
5952 53487 : pari_sp av = avma;
5953 : long N,i,j;
5954 : GEN m2, c;
5955 53487 : if (!d) d = gen_0;
5956 53487 : checkalg(al);
5957 53487 : if (alg_type(al) == al_REAL) pari_err_TYPE("alglathnf [real algebra]", al);
5958 53480 : N = alg_get_absdim(al);
5959 53480 : if (!d) d = gen_0;
5960 53480 : if (typ(m) == t_VEC) m = matconcat(m);
5961 53480 : if (typ(m) == t_COL) m = algleftmultable(al,m);
5962 53480 : if (typ(m) != t_MAT) pari_err_TYPE("alglathnf",m);
5963 53473 : if (typ(d) != t_FRAC && typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("alglathnf",d);
5964 53473 : if (lg(m)-1 < N || lg(gel(m,1))-1 != N) pari_err_DIM("alglathnf");
5965 480935 : for (i=1; i<=N; i++)
5966 7185192 : for (j=1; j<lg(m); j++)
5967 6757702 : if (typ(gcoeff(m,i,j)) != t_FRAC && typ(gcoeff(m,i,j)) != t_INT)
5968 7 : pari_err_TYPE("alglathnf", gcoeff(m,i,j));
5969 53438 : m2 = Q_primitive_part(m,&c);
5970 53438 : if (!c) c = gen_1;
5971 53438 : if (!signe(d)) d = detint(m2);
5972 45593 : else d = gdiv(d,c); /* should be an integer */
5973 53438 : if (!signe(d)) pari_err_INV("alglathnf [m does not have full rank]", m2);
5974 53424 : m2 = ZM_hnfmodid(m2,d);
5975 53424 : return gc_GEN(av, mkvec2(m2,c));
5976 : }
5977 :
5978 : static GEN
5979 11683 : prepare_multipliers(GEN *a, GEN *b)
5980 : {
5981 : GEN na, nb, da, db, d;
5982 11683 : na = numer_i(*a); da = denom_i(*a);
5983 11683 : nb = numer_i(*b); db = denom_i(*b);
5984 11683 : na = mulii(na,db);
5985 11683 : nb = mulii(nb,da);
5986 11683 : d = gcdii(na,nb);
5987 11683 : *a = diviiexact(na,d);
5988 11683 : *b = diviiexact(nb,d);
5989 11683 : return gdiv(d, mulii(da,db));
5990 : }
5991 :
5992 : static GEN
5993 11683 : prepare_lat(GEN m1, GEN t1, GEN m2, GEN t2)
5994 : {
5995 11683 : GEN d = prepare_multipliers(&t1, &t2);
5996 11683 : m1 = ZM_Z_mul(m1,t1);
5997 11683 : m2 = ZM_Z_mul(m2,t2);
5998 11683 : return mkvec3(m1,m2,d);
5999 : }
6000 :
6001 : static GEN
6002 11697 : alglataddinter(GEN al, GEN lat1, GEN lat2, GEN *sum, GEN *inter)
6003 : {
6004 : GEN d, m1, m2, t1, t2, M, prep, d1, d2, ds, di, K;
6005 11697 : checkalg(al);
6006 11697 : if (alg_type(al) == al_REAL)
6007 14 : pari_err_TYPE("alglataddinter [real algebra]", al);
6008 11683 : checklat(al,lat1);
6009 11683 : checklat(al,lat2);
6010 :
6011 11683 : m1 = alglat_get_primbasis(lat1);
6012 11683 : t1 = alglat_get_scalar(lat1);
6013 11683 : m2 = alglat_get_primbasis(lat2);
6014 11683 : t2 = alglat_get_scalar(lat2);
6015 11683 : prep = prepare_lat(m1, t1, m2, t2);
6016 11683 : m1 = gel(prep,1);
6017 11683 : m2 = gel(prep,2);
6018 11683 : d = gel(prep,3);
6019 11683 : M = matconcat(mkvec2(m1,m2));
6020 11683 : d1 = ZM_det_triangular(m1);
6021 11683 : d2 = ZM_det_triangular(m2);
6022 11683 : ds = gcdii(d1,d2);
6023 11683 : if (inter)
6024 : {
6025 7616 : di = diviiexact(mulii(d1,d2),ds);
6026 7616 : if (equali1(di))
6027 : {
6028 140 : *inter = matid(lg(m1)-1);
6029 140 : if (sum) *sum = matid(lg(m1)-1);
6030 : }
6031 : else
6032 : {
6033 7476 : K = matkermod(M,di,sum);
6034 7476 : K = rowslice(K,1,lg(m1));
6035 7476 : *inter = hnfmodid(FpM_mul(m1,K,di),di);
6036 7476 : if (sum) *sum = hnfmodid(*sum,ds);
6037 : }
6038 : }
6039 4067 : else *sum = hnfmodid(M,ds);
6040 11683 : return d;
6041 : }
6042 :
6043 : GEN
6044 4109 : alglatinter(GEN al, GEN lat1, GEN lat2, GEN* psum)
6045 : {
6046 4109 : pari_sp av = avma;
6047 : GEN inter, d;
6048 4109 : d = alglataddinter(al, lat1, lat2, psum, &inter);
6049 4102 : inter = primlat(mkvec2(inter, d));
6050 4102 : if (!psum) return gc_GEN(av, inter);
6051 28 : *psum = primlat(mkvec2(*psum,d));
6052 28 : return gc_all(av, 2, &inter, psum);
6053 : }
6054 :
6055 : GEN
6056 7588 : alglatadd(GEN al, GEN lat1, GEN lat2, GEN* pinter)
6057 : {
6058 7588 : pari_sp av = avma;
6059 : GEN sum, d;
6060 7588 : d = alglataddinter(al, lat1, lat2, &sum, pinter);
6061 7581 : sum = primlat(mkvec2(sum, d));
6062 7581 : if (!pinter) return gc_GEN(av, sum);
6063 3514 : *pinter = primlat(mkvec2(*pinter,d));
6064 3514 : return gc_all(av, 2, &sum, pinter);
6065 : }
6066 :
6067 : /* TODO version that returns the quotient as abelian group? */
6068 : /* return matrices to convert coordinates from one to other? */
6069 : int
6070 33495 : alglatsubset(GEN al, GEN lat1, GEN lat2, GEN* pindex)
6071 : {
6072 33495 : pari_sp av = avma;
6073 : int res;
6074 : GEN m1, m2, m2i, m, t;
6075 33495 : checkalg(al);
6076 33495 : if (alg_type(al) == al_REAL) pari_err_TYPE("alglatsubset [real algebra]", al);
6077 33488 : checklat(al,lat1);
6078 33488 : checklat(al,lat2);
6079 33488 : m1 = alglat_get_primbasis(lat1);
6080 33488 : m2 = alglat_get_primbasis(lat2);
6081 33488 : m2i = RgM_inv_upper(m2);
6082 33488 : t = gdiv(alglat_get_scalar(lat1), alglat_get_scalar(lat2));
6083 33488 : m = RgM_Rg_mul(RgM_mul(m2i,m1), t);
6084 33488 : res = RgM_is_ZM(m);
6085 33488 : if (!res || !pindex) return gc_int(av, res);
6086 1757 : *pindex = gc_INT(av, mpabs(ZM_det_triangular(m)));
6087 1757 : return 1;
6088 : }
6089 :
6090 : GEN
6091 5271 : alglatindex(GEN al, GEN lat1, GEN lat2)
6092 : {
6093 5271 : pari_sp av = avma;
6094 : long N;
6095 : GEN res;
6096 5271 : checkalg(al);
6097 5271 : if (alg_type(al) == al_REAL) pari_err_TYPE("alglatindex [real algebra]", al);
6098 5264 : checklat(al,lat1);
6099 5264 : checklat(al,lat2);
6100 5264 : N = alg_get_absdim(al);
6101 5264 : res = alglat_get_scalar(lat1);
6102 5264 : res = gdiv(res, alglat_get_scalar(lat2));
6103 5264 : res = gpowgs(res, N);
6104 5264 : res = gmul(res,RgM_det_triangular(alglat_get_primbasis(lat1)));
6105 5264 : res = gdiv(res, RgM_det_triangular(alglat_get_primbasis(lat2)));
6106 5264 : res = gabs(res,0);
6107 5264 : return gc_GEN(av, res);
6108 : }
6109 :
6110 : GEN
6111 45612 : alglatmul(GEN al, GEN lat1, GEN lat2)
6112 : {
6113 45612 : pari_sp av = avma;
6114 : long N,i;
6115 : GEN m1, m2, m, V, lat, t, d, dp;
6116 45612 : checkalg(al);
6117 45612 : if (alg_type(al) == al_REAL) pari_err_TYPE("alglatmul [real algebra]", al);
6118 45605 : if (typ(lat1)==t_COL)
6119 : {
6120 19292 : if (typ(lat2)==t_COL)
6121 7 : pari_err_TYPE("alglatmul [one of lat1, lat2 has to be a lattice]", lat2);
6122 19285 : checklat(al,lat2);
6123 19285 : lat1 = Q_remove_denom(lat1,&d);
6124 19285 : m = algbasismultable(al,lat1);
6125 19285 : m2 = alglat_get_primbasis(lat2);
6126 19285 : dp = mulii(detint(m),ZM_det_triangular(m2));
6127 19285 : m = ZM_mul(m,m2);
6128 19285 : t = alglat_get_scalar(lat2);
6129 19285 : if (d) t = gdiv(t,d);
6130 : }
6131 : else /* typ(lat1)!=t_COL */
6132 : {
6133 26313 : checklat(al,lat1);
6134 26313 : if (typ(lat2)==t_COL)
6135 : {
6136 19285 : lat2 = Q_remove_denom(lat2,&d);
6137 19285 : m = algbasisrightmultable(al,lat2);
6138 19285 : m1 = alglat_get_primbasis(lat1);
6139 19285 : dp = mulii(detint(m),ZM_det_triangular(m1));
6140 19285 : m = ZM_mul(m,m1);
6141 19285 : t = alglat_get_scalar(lat1);
6142 19285 : if (d) t = gdiv(t,d);
6143 : }
6144 : else /* typ(lat2)!=t_COL */
6145 : {
6146 7028 : checklat(al,lat2);
6147 7021 : N = alg_get_absdim(al);
6148 7021 : m1 = alglat_get_primbasis(lat1);
6149 7021 : m2 = alglat_get_primbasis(lat2);
6150 7021 : dp = mulii(ZM_det_triangular(m1), ZM_det_triangular(m2));
6151 7021 : V = cgetg(N+1,t_VEC);
6152 63189 : for (i=1; i<=N; i++) {
6153 56168 : gel(V,i) = algbasismultable(al,gel(m1,i));
6154 56168 : gel(V,i) = ZM_mul(gel(V,i),m2);
6155 : }
6156 7021 : m = matconcat(V);
6157 7021 : t = gmul(alglat_get_scalar(lat1), alglat_get_scalar(lat2));
6158 : }
6159 : }
6160 :
6161 45591 : lat = alglathnf(al,m,dp);
6162 45591 : gel(lat,2) = gmul(alglat_get_scalar(lat), t);
6163 45591 : lat = primlat(lat);
6164 45591 : return gc_GEN(av, lat);
6165 : }
6166 :
6167 : int
6168 17528 : alglatcontains(GEN al, GEN lat, GEN x, GEN *ptc)
6169 : {
6170 17528 : pari_sp av = avma;
6171 : GEN m, t, sol;
6172 17528 : checkalg(al);
6173 17528 : if (alg_type(al) == al_REAL)
6174 7 : pari_err_TYPE("alglatcontains [real algebra]", al);
6175 17521 : checklat(al,lat);
6176 17521 : m = alglat_get_primbasis(lat);
6177 17521 : t = alglat_get_scalar(lat);
6178 17521 : x = RgC_Rg_div(x,t);
6179 17521 : if (!RgV_is_ZV(x)) return gc_bool(av,0);
6180 17521 : sol = hnf_solve(m,x);
6181 17521 : if (!sol) return gc_bool(av,0);
6182 8771 : if (!ptc) return gc_bool(av,1);
6183 8764 : *ptc = gc_GEN(av, sol); return 1;
6184 : }
6185 :
6186 : GEN
6187 8778 : alglatelement(GEN al, GEN lat, GEN c)
6188 : {
6189 8778 : pari_sp av = avma;
6190 : GEN res;
6191 8778 : checkalg(al);
6192 8778 : if (alg_type(al) == al_REAL)
6193 7 : pari_err_TYPE("alglatelement [real algebra]", al);
6194 8771 : checklat(al,lat);
6195 8771 : if (typ(c)!=t_COL) pari_err_TYPE("alglatelement", c);
6196 8764 : res = ZM_ZC_mul(alglat_get_primbasis(lat),c);
6197 8764 : res = RgC_Rg_mul(res, alglat_get_scalar(lat));
6198 8764 : return gc_GEN(av,res);
6199 : }
6200 :
6201 : /* idem QM_invimZ, knowing result is contained in 1/c*Z^n */
6202 : static GEN
6203 3535 : QM_invimZ_mod(GEN m, GEN c)
6204 : {
6205 : GEN d, m0, K;
6206 3535 : m0 = Q_remove_denom(m, &d);
6207 3535 : if (d) d = mulii(d,c);
6208 35 : else d = c;
6209 3535 : K = matkermod(m0, d, NULL);
6210 3535 : if (lg(K)==1) K = scalarmat(d, lg(m)-1);
6211 3493 : else K = hnfmodid(K, d);
6212 3535 : return RgM_Rg_div(K,c);
6213 : }
6214 :
6215 : /* If m is injective, computes a Z-basis of the submodule of elements whose
6216 : * image under m is integral */
6217 : static GEN
6218 14 : QM_invimZ(GEN m)
6219 : {
6220 14 : return RgM_invimage(m, QM_ImQ_hnf(m));
6221 : }
6222 :
6223 : /* An isomorphism of R-modules M_{m,n}(R) -> R^{m*n} */
6224 : static GEN
6225 28322 : mat2col(GEN M, long m, long n)
6226 : {
6227 : long i,j,k,p;
6228 : GEN C;
6229 28322 : p = m*n;
6230 28322 : C = cgetg(p+1,t_COL);
6231 254702 : for (i=1,k=1;i<=m;i++)
6232 2036804 : for (j=1;j<=n;j++,k++)
6233 1810424 : gel(C,k) = gcoeff(M,i,j);
6234 28322 : return C;
6235 : }
6236 :
6237 : static GEN
6238 3535 : alglattransporter_i(GEN al, GEN lat1, GEN lat2, long right)
6239 : {
6240 : GEN m1, m2, m2i, M, MT, mt, t1, t2, T, c;
6241 : long N, i;
6242 3535 : N = alg_get_absdim(al);
6243 3535 : m1 = alglat_get_primbasis(lat1);
6244 3535 : m2 = alglat_get_primbasis(lat2);
6245 3535 : m2i = RgM_inv_upper(m2);
6246 3535 : c = detint(m1);
6247 3535 : t1 = alglat_get_scalar(lat1);
6248 3535 : m1 = RgM_Rg_mul(m1,t1);
6249 3535 : t2 = alglat_get_scalar(lat2);
6250 3535 : m2i = RgM_Rg_div(m2i,t2);
6251 :
6252 3535 : MT = right? NULL: alg_get_multable(al);
6253 3535 : M = cgetg(N+1, t_MAT);
6254 31815 : for (i=1; i<=N; i++) {
6255 28280 : if (right) mt = algbasisrightmultable(al, vec_ei(N,i));
6256 14168 : else mt = gel(MT,i);
6257 28280 : mt = RgM_mul(m2i,mt);
6258 28280 : mt = RgM_mul(mt,m1);
6259 28280 : gel(M,i) = mat2col(mt, N, N);
6260 : }
6261 :
6262 3535 : c = gdiv(t2,gmul(c,t1));
6263 3535 : c = denom_i(c);
6264 3535 : T = QM_invimZ_mod(M,c);
6265 3535 : return primlat(mkvec2(T,gen_1));
6266 : }
6267 :
6268 : /*
6269 : { x in al | x*lat1 subset lat2}
6270 : */
6271 : GEN
6272 1778 : alglatlefttransporter(GEN al, GEN lat1, GEN lat2)
6273 : {
6274 1778 : pari_sp av = avma;
6275 1778 : checkalg(al);
6276 1778 : if (alg_type(al) == al_REAL)
6277 7 : pari_err_TYPE("alglatlefttransporter [real algebra]", al);
6278 1771 : checklat(al,lat1);
6279 1771 : checklat(al,lat2);
6280 1771 : return gc_GEN(av, alglattransporter_i(al,lat1,lat2,0));
6281 : }
6282 :
6283 : /*
6284 : { x in al | lat1*x subset lat2}
6285 : */
6286 : GEN
6287 1771 : alglatrighttransporter(GEN al, GEN lat1, GEN lat2)
6288 : {
6289 1771 : pari_sp av = avma;
6290 1771 : checkalg(al);
6291 1771 : if (alg_type(al) == al_REAL)
6292 7 : pari_err_TYPE("alglatrighttransporter [real algebra]", al);
6293 1764 : checklat(al,lat1);
6294 1764 : checklat(al,lat2);
6295 1764 : return gc_GEN(av, alglattransporter_i(al,lat1,lat2,1));
6296 : }
6297 :
6298 : GEN
6299 42 : algmakeintegral(GEN mt0, long maps)
6300 : {
6301 42 : pari_sp av = avma;
6302 : long n,i;
6303 : GEN m,P,Pi,mt2,mt;
6304 42 : n = lg(mt0)-1;
6305 42 : mt = check_mt(mt0,NULL);
6306 42 : if (!mt) pari_err_TYPE("algmakeintegral", mt0);
6307 21 : if (isint1(Q_denom(mt0))) {
6308 7 : if (maps) mt = mkvec3(mt,matid(n),matid(n));
6309 7 : return gc_GEN(av,mt);
6310 : }
6311 14 : dbg_printf(2)(" algmakeintegral: dim=%d, denom=%Ps\n", n, Q_denom(mt0));
6312 14 : m = cgetg(n+1,t_MAT);
6313 56 : for (i=1;i<=n;i++)
6314 42 : gel(m,i) = mat2col(gel(mt,i),n,n);
6315 14 : dbg_printf(2)(" computing order, dims m = %d x %d...\n", nbrows(m), lg(m)-1);
6316 14 : P = QM_invimZ(m);
6317 14 : dbg_printf(2)(" ...done.\n");
6318 14 : P = shallowmatconcat(mkvec2(col_ei(n,1),P));
6319 14 : P = hnf(P);
6320 14 : Pi = RgM_inv(P);
6321 14 : mt2 = change_Rgmultable(mt,P,Pi);
6322 14 : if (maps) mt2 = mkvec3(mt2,Pi,P); /* mt2, mt->mt2, mt2->mt */
6323 14 : return gc_GEN(av,mt2);
6324 : }
6325 :
6326 : /** ORDERS **/
6327 :
6328 : /*
6329 : * algmodpr data:
6330 : * 1. pr
6331 : * 2. Vecsmall([k,m]) s.t. target is M_k(F_p^m). /!\ m can differ from pr.f
6332 : * 3. t_FFELT 1 representing the finite field F_q
6333 : * 4. proj: O -> M_k(F_q)
6334 : * 5. lift: M_k(F_q) -> O
6335 : * 6. tau: anti uniformizer (left multiplication matrix)
6336 : * 7. T s.t. F_q = F_p[x]/T
6337 : */
6338 : GEN
6339 2793 : algmodprinit(GEN al, GEN pr, long v)
6340 : {
6341 2793 : pari_sp av = avma;
6342 : GEN p, alp, g, Q, pro, lif, map, mapi, alpr, spl, data, nf, T, J, tau;
6343 : long tal, k, m;
6344 2793 : checkalg(al); checkprid(pr);
6345 2779 : tal = alg_type(al);
6346 2779 : if (tal!=al_CYCLIC && tal!=al_CSA)
6347 21 : pari_err_TYPE("algmodprinit [use alginit]", al);
6348 2758 : nf = alg_get_center(al);
6349 2758 : p = pr_get_p(pr);
6350 2758 : alp = alg_ordermodp(al, p);
6351 2758 : g = algeltfromnf_i(al, pr_get_gen(pr));
6352 2758 : g = algbasismultable(alp, g);
6353 2758 : g = FpM_image(g, p);
6354 2758 : alpr = alg_quotient(alp, g, 1);
6355 2758 : Q = gel(alpr, 1);
6356 2758 : pro = gel(alpr, 2);
6357 2758 : lif = gel(alpr, 3);
6358 2758 : J = algradical(Q); /* could skip if we knew the order is maximal at unramified pr */
6359 2758 : if (!gequal0(J))
6360 : {
6361 21 : Q = alg_quotient(Q, J, 1);
6362 21 : pro = ZM_mul(gel(Q,2), pro);
6363 21 : lif = ZM_mul(lif, gel(Q,3));
6364 21 : Q = gel(Q,1);
6365 : }
6366 2758 : spl = alg_finite_csa_split(Q, v);
6367 2758 : T = gel(spl, 1); /* t_POL, possibly of degree 1 */
6368 2758 : mapi = gel(spl, 3);
6369 2758 : map = gel(spl, 4);
6370 2758 : tau = pr_anti_uniformizer(nf, pr);
6371 2758 : m = degpol(T);
6372 2758 : k = lg(gmael(spl,2,1)) - 1;
6373 2758 : if (typ(tau) != t_INT) tau = algbasismultable(al,algeltfromnf_i(al,tau));
6374 2758 : data = mkvecn(7,
6375 : pr,
6376 : mkvecsmall2(k, m),
6377 : Tp_to_FF(T,p),
6378 : FpM_mul(map, pro, p),
6379 : FpM_mul(lif, mapi, p),
6380 : tau,
6381 : T
6382 : );
6383 2758 : return gc_GEN(av, data);
6384 : }
6385 :
6386 : static int
6387 2135 : checkalgmodpr_i(GEN data)
6388 : {
6389 : GEN compo;
6390 2135 : if (typ(data)!=t_VEC || lg(data)!=8) return 0;
6391 2121 : checkprid(gel(data,1));
6392 2114 : compo = gel(data,2);
6393 2114 : if (typ(compo)!=t_VECSMALL || lg(compo)!=3) return 0;
6394 2107 : if (typ(gel(data,3))!=t_FFELT) return 0;
6395 2100 : if (typ(gel(data,4))!=t_MAT) return 0;
6396 2093 : if (typ(gel(data,5))!=t_MAT) return 0;
6397 2086 : compo = gel(data,6);
6398 2086 : if (typ(compo)!=t_MAT && (typ(compo)!=t_INT || !equali1(compo))) return 0;
6399 2079 : if (typ(gel(data,7))!=t_POL) return 0;
6400 2072 : return 1;
6401 : }
6402 : static void
6403 2135 : checkalgmodpr(GEN data)
6404 : {
6405 2135 : if(!checkalgmodpr_i(data))
6406 56 : pari_err_TYPE("checkalgmodpr [use algmodprinit()]", data);
6407 2072 : }
6408 :
6409 : /* x belongs to the stored order of al, no GC */
6410 : static GEN
6411 1708 : algmodpr_integral(GEN x, GEN data, long reduce)
6412 : {
6413 : GEN res, T, p;
6414 1708 : long k, m, v = -1;
6415 1708 : T = algmodpr_get_T(data);
6416 1708 : if (T) v = varn(T);
6417 1708 : p = algmodpr_get_p(data);
6418 1708 : k = algmodpr_get_k(data);
6419 1708 : m = algmodpr_get_m(data);
6420 1708 : res = ZM_ZC_mul(algmodpr_get_proj(data), x);
6421 1708 : res = RgC_col2mat(res, k, m, v);
6422 1708 : return reduce? FqM_red(res, T, p) : res;
6423 : }
6424 :
6425 : /* x in basis form */
6426 : static GEN
6427 1729 : algmodpr_i(GEN x, GEN data)
6428 : {
6429 : GEN T, p, res, den, tau;
6430 : long v, i, j;
6431 1729 : x = Q_remove_denom(x, &den);
6432 1729 : T = algmodpr_get_T(data);
6433 1729 : p = algmodpr_get_p(data);
6434 1729 : tau = algmodpr_get_tau(data);
6435 1729 : if (den)
6436 : {
6437 35 : v = Z_pvalrem(den, p, &den);
6438 35 : if (v && typ(tau)!=t_INT)
6439 : {
6440 : /* TODO not always better to exponentiate the matrix */
6441 21 : x = ZM_ZC_mul(ZM_powu(tau, v), x);
6442 21 : v -= ZV_pvalrem(x, p, &x);
6443 : }
6444 35 : if (v>0) pari_err_INV("algmodpr", mkintmod(gen_0,p));
6445 21 : if (v<0)
6446 : {
6447 7 : long k = algmodpr_get_k(data);
6448 7 : return zeromatcopy(k,k);
6449 : }
6450 14 : if (equali1(den)) den = NULL;
6451 : }
6452 1708 : res = algmodpr_integral(x, data, 0);
6453 1708 : if (den)
6454 : {
6455 7 : GEN d = Fp_inv(den, p);
6456 21 : for (j=1; j<lg(res); j++)
6457 42 : for (i=1; i<lg(res); i++)
6458 28 : gcoeff(res,i,j) = Fq_Fp_mul(gcoeff(res,i,j), d, T, p);
6459 : }
6460 1701 : else res = FqM_red(res, T, p);
6461 1708 : return res;
6462 : }
6463 :
6464 : static GEN
6465 28 : algmodpr_mat(GEN al, GEN x, GEN data)
6466 : {
6467 : GEN res, cx, c;
6468 : long i, j;
6469 28 : res = cgetg(lg(x),t_MAT);
6470 133 : for (j=1; j<lg(x); j++)
6471 : {
6472 105 : cx = gel(x,j);
6473 105 : c = cgetg(lg(cx), t_COL);
6474 525 : for (i=1; i<lg(cx); i++) gel(c,i) = algmodpr(al, gel(cx,i), data);
6475 105 : gel(res, j) = c;
6476 : }
6477 28 : return shallowmatconcat(res);
6478 : }
6479 :
6480 : GEN
6481 1841 : algmodpr(GEN al, GEN x, GEN data)
6482 : {
6483 1841 : pari_sp av = avma;
6484 : GEN res, ff;
6485 1841 : checkalgmodpr(data);
6486 1785 : if (typ(x) == t_MAT) return gc_GEN(av, algmodpr_mat(al,x,data));
6487 1757 : x = algalgtobasis(al, x);
6488 1729 : res = algmodpr_i(x, data);
6489 1715 : ff = algmodpr_get_ff(data);
6490 1715 : return gc_GEN(av, FqM_to_FFM(res,ff));
6491 : }
6492 :
6493 : static GEN
6494 511 : algmodprlift_i(GEN x, GEN data)
6495 : {
6496 511 : GEN lift, C, p, c, T = NULL;
6497 : long i, j, k, m;
6498 511 : lift = algmodpr_get_lift(data);
6499 511 : p = algmodpr_get_p(data);
6500 511 : k = algmodpr_get_k(data);
6501 511 : m = algmodpr_get_m(data); /* M_k(F_p^m) */
6502 511 : if (m > 1) T = algmodpr_get_T(data);
6503 511 : x = gcopy(x);
6504 1561 : for (i=1; i<=k; i++)
6505 3689 : for (j=1; j<=k; j++)
6506 : {
6507 2639 : c = gcoeff(x,i,j);
6508 2639 : if (typ(c) == t_FFELT) gcoeff(x,i,j) = FF_to_FpXQ(c);
6509 119 : else if (m == 1) gcoeff(x,i,j) = scalarpol(Rg_to_Fp(c,p), -1);
6510 91 : else gcoeff(x,i,j) = Rg_to_FpXQ(c, T, p);
6511 : }
6512 504 : C = RgM_mat2col(x, k, m);
6513 504 : return FpM_FpC_mul(lift, C, p);
6514 : }
6515 :
6516 : GEN
6517 301 : algmodprlift(GEN al, GEN x, GEN data)
6518 : {
6519 301 : pari_sp av = avma;
6520 : GEN res, blk;
6521 : long k, nc, nr, i, j;
6522 301 : checkalg(al);
6523 294 : checkalgmodpr(data);
6524 287 : k = algmodpr_get_k(data); /* M_k(F_p^m) */
6525 287 : if (typ(x) != t_MAT) pari_err_TYPE("algmodprlift [matrix x]",x);
6526 280 : if ((lg(x)-1)%k) pari_err_DIM("algmodprlift [matrix x, nb cols]");
6527 273 : nc = (lg(x)-1)/k;
6528 273 : if (!nc) return gc_upto(av, zeromat(0,0));
6529 266 : if ((lgcols(x)-1)%k) pari_err_DIM("algmodprlift [matrix x, nb rows]");
6530 259 : nr = nbrows(x)/k;
6531 259 : if (nr==1 && nc==1) res = algmodprlift_i(x, data);
6532 : else
6533 : {
6534 28 : res = zeromatcopy(nr, nc);
6535 119 : for (i=1; i<=nr; i++)
6536 371 : for(j=1; j<=nc; j++)
6537 : {
6538 280 : blk = matslice(x, (i-1)*k+1, i*k, (j-1)*k+1, j*k);
6539 280 : gcoeff(res,i,j) = algmodprlift_i(blk, data);
6540 : }
6541 : }
6542 252 : return gc_GEN(av, res);
6543 : }
6544 :
6545 : /* e in al such that e mod pr is a non-invertible idempotent of maximal rank */
6546 : static GEN
6547 2499 : eichleridempotent(GEN al, GEN pr)
6548 : {
6549 : long i, k, n, nk, j;
6550 : GEN data, mapi, e;
6551 2499 : data = algmodprinit(al, pr, -1);
6552 2492 : mapi = algmodpr_get_lift(data);
6553 2492 : k = algmodpr_get_k(data);
6554 2492 : n = pr_get_f(pr);
6555 2492 : nk = n*(k+1);
6556 2492 : if (k==1) return zerocol(alg_get_absdim(al));
6557 1820 : e = gel(mapi,1+nk);
6558 2681 : for (i = 2, j = 1+2*nk; i < k; i++, j += nk) e = ZC_add(e,gel(mapi,j));
6559 1820 : return e;
6560 : }
6561 :
6562 : static GEN
6563 2492 : mat_algeltfromnf(GEN al, GEN x)
6564 : {
6565 6244 : pari_APPLY_type(t_MAT, algeltfromnf_i(al, gel(x,i)));
6566 : }
6567 : static GEN
6568 2499 : eichlerprimepower_i(GEN al, GEN pr, long m, GEN prm)
6569 : {
6570 : GEN p, e, polidem, Me, Mzk, nf, Mprm;
6571 : long ep, i;
6572 : ulong mask;
6573 2499 : polidem = mkpoln(4, gen_m2, utoi(3), gen_0, gen_0);
6574 2499 : p = pr_get_p(pr); ep = pr_get_e(pr);
6575 2499 : e = eichleridempotent(al, pr); /* ZC */
6576 2492 : mask = quadratic_prec_mask(m);
6577 2492 : i = 1;
6578 6769 : while (mask > 1)
6579 : {
6580 4277 : i *=2;
6581 4277 : if (mask & 1UL) i--;
6582 4277 : mask >>= 1;
6583 4277 : e = algpoleval(al, polidem, e);
6584 4277 : e = FpC_red(e, powiu(p,(i+ep-1)/ep));
6585 : }
6586 2492 : Me = algbasisrightmultable(al, e);
6587 2492 : nf = algcenter(al);
6588 2492 : Mzk = mat_algeltfromnf(al, nf_get_zk(nf));
6589 2492 : prm = idealtwoelt(nf, prm);
6590 2492 : Mprm = algbasismultable(al, algeltfromnf_i(al,gel(prm,2)));
6591 2492 : return hnfmodid(shallowmatconcat(mkvec3(Me,Mzk,Mprm)), gel(prm,1));
6592 : }
6593 : static GEN
6594 546 : eichlerprimepower(GEN al, GEN pr, long m, GEN prm)
6595 : {
6596 546 : pari_sp av = avma;
6597 546 : return gc_upto(av, eichlerprimepower_i(al, pr, m, prm));
6598 : }
6599 :
6600 : GEN
6601 2100 : algeichlerbasis(GEN al, GEN N)
6602 : {
6603 2100 : pari_sp av = avma;
6604 2100 : GEN nf, faN, LH = NULL, Cpr = NULL, Cm = NULL, Lpp, M, H, pp, LH2;
6605 : long k, n, ih, lh, np;
6606 :
6607 2100 : checkalg(al);
6608 2093 : nf = alg_get_center(al);
6609 2086 : if (checkprid_i(N)) return eichlerprimepower(al,N,1,N);
6610 2065 : if (is_nf_factor(N))
6611 : {
6612 2037 : faN = sort_factor(shallowcopy(N), (void*)&cmp_prime_ideal, &cmp_nodata);
6613 2037 : N = factorbackprime(nf, gel(faN,1), gel(faN,2));
6614 : }
6615 28 : else faN = idealfactor(nf, N);
6616 2051 : n = nbrows(faN);
6617 2051 : if (!n) { set_avma(av); return matid(alg_get_absdim(al)); }
6618 2044 : if (n==1)
6619 : {
6620 1953 : GEN pr = gcoeff(faN,1,1), mZ = gcoeff(faN,1,2);
6621 1953 : long m = itos(mZ);
6622 1953 : return gc_upto(av, eichlerprimepower_i(al, pr, m, N));
6623 : }
6624 :
6625 : /* collect prime power Eichler orders */
6626 91 : Lpp = cgetg(n+1,t_VEC);
6627 91 : LH2 = cgetg(n+1, t_VEC);
6628 91 : np = 0;
6629 91 : ih = 1;
6630 91 : lh = 1;
6631 616 : for (k = 1; k <= n; k++)
6632 : {
6633 525 : GEN pr = gcoeff(faN,k,1), mZ = gcoeff(faN,k,2), prm;
6634 525 : long m = itos(mZ);
6635 :
6636 525 : if (ih == lh) /* done with previous p, prepare next */
6637 : {
6638 462 : GEN p = pr_get_p(pr);
6639 462 : long k2 = k + 1;
6640 462 : np++;
6641 462 : gel(Lpp,np) = gen_0;
6642 462 : lh = 2;
6643 : /* count the pr|p in faN */
6644 525 : while (k2<=n && equalii(p,pr_get_p(gcoeff(faN,k2,1)))) { lh++; k2++; }
6645 462 : LH = cgetg(lh, t_VEC);
6646 462 : Cpr = cgetg(lh, t_VEC);
6647 462 : Cm = cgetg(lh, t_VEC);
6648 462 : ih = 1;
6649 : }
6650 525 : prm = idealpow(nf, pr, mZ);
6651 525 : H = eichlerprimepower(al, pr, m, prm);
6652 525 : pp = gcoeff(prm,1,1);
6653 525 : if (cmpii(pp,gel(Lpp,np)) > 0) gel(Lpp,np) = pp;
6654 525 : gel(LH,ih) = H;
6655 525 : gel(Cpr,ih) = pr;
6656 525 : gel(Cm,ih) = mZ;
6657 525 : ih++;
6658 :
6659 525 : if (ih == lh) /* done with this p */
6660 : {
6661 462 : if (lh == 2) gel(LH2,np) = gel(LH,1);
6662 : else
6663 : { /* put together the pr|p */
6664 63 : GEN U = gmael(idealchineseinit(nf, mkmat2(Cpr,Cm)),1,2);
6665 : long i;
6666 189 : for (i = 1; i < lh; i++)
6667 : {
6668 126 : GEN e = algeltfromnf_i(al, gel(U,i));
6669 126 : e = algbasismultable(al, e);
6670 126 : gel(LH,i) = ZM_mul(e, gel(LH,i));
6671 : }
6672 63 : gel(LH2,np) = hnfmodid(shallowmatconcat(LH), gel(Lpp,np));
6673 : }
6674 : }
6675 : }
6676 91 : if (np == 1) return gc_GEN(av, gel(LH2,1));
6677 : /* put together all p */
6678 84 : setlg(Lpp,np+1);
6679 84 : setlg(LH2,np+1);
6680 84 : H = nmV_chinese_center(LH2, Lpp, &M);
6681 84 : return gc_upto(av, hnfmodid(H, M));
6682 : }
6683 :
6684 : /** IDEALS **/
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