Line data Source code
1 : /* Copyright (C) 2000 The PARI group.
2 :
3 : This file is part of the PARI/GP package.
4 :
5 : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
6 : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
7 : Foundation; either version 2 of the License, or (at your option) any later
8 : version. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
9 : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
10 :
11 : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
12 : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
13 : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
14 :
15 : /*********************************************************************/
16 : /** ARITHMETIC FUNCTIONS **/
17 : /** (first part) **/
18 : /*********************************************************************/
19 : #include "pari.h"
20 : #include "paripriv.h"
21 :
22 : #define DEBUGLEVEL DEBUGLEVEL_arith
23 :
24 : /******************************************************************/
25 : /* GENERATOR of (Z/mZ)* */
26 : /******************************************************************/
27 : static GEN
28 1812 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
29 : static ulong
30 464114 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
31 : GEN
32 1812 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
33 : static GEN
34 464114 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
35 : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
36 : * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
37 : static GEN
38 4909 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
39 : {
40 4909 : GEN L, q = shifti(p,-1);
41 : long i, l;
42 4909 : if (L0) {
43 3134 : l = lg(L0);
44 3134 : L = cgetg(l, t_VEC);
45 : } else {
46 1775 : L0 = L = odd_prime_divisors(q);
47 1775 : l = lg(L);
48 : }
49 14199 : for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
50 4909 : return L;
51 : }
52 : static GEN
53 531394 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
54 : {
55 531394 : const ulong q = p >> 1;
56 : long i;
57 : GEN L;
58 531394 : if (!L0) L0 = u_odd_prime_divisors(q);
59 531387 : L = cgetg_copy(L0,&i);
60 1150275 : while (--i) L[i] = q / uel(L0,i);
61 531386 : return L;
62 : }
63 :
64 : int
65 1628688 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
66 : {
67 : long i;
68 1628688 : if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
69 1375381 : for (i=lg(L)-1; i; i--)
70 : {
71 839231 : ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
72 839225 : if (t == p_1 || t == 1) return 0;
73 : }
74 536150 : return 1;
75 : }
76 : /* assume p prime */
77 : ulong
78 1051380 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
79 : {
80 1051380 : const pari_sp av = avma;
81 1051380 : const ulong p_1 = p-1;
82 : long x;
83 : GEN L;
84 1051380 : if (p <= 19) switch(p)
85 : { /* quick trivial cases */
86 63 : case 2: return 1;
87 116200 : case 7:
88 116200 : case 17: return 3;
89 403765 : default: return 2;
90 : }
91 531352 : L = u_is_gener_expo(p,L0);
92 1620965 : for (x = 2;; x++)
93 1620965 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
94 : }
95 : ulong
96 575237 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
97 :
98 : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
99 : * but wasteful) */
100 : int
101 13951 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
102 : {
103 13951 : long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
104 13951 : if (t >= 0) return 0;
105 21948 : for (i = lg(L)-1; i; i--)
106 : {
107 14446 : GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
108 14446 : if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
109 : }
110 7502 : return 1;
111 : }
112 :
113 : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
114 : GEN
115 358524 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
116 : {
117 358524 : pari_sp av0 = avma;
118 : GEN x, p_1, L;
119 358524 : if (lgefint(p) == 3)
120 : {
121 : ulong z;
122 353620 : if (p[2] == 2) return gen_1;
123 258435 : if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
124 258432 : z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
125 258449 : return gc_utoipos(av0, z);
126 : }
127 4904 : p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
128 4904 : x = utoipos(2);
129 9927 : for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
130 4904 : return gc_utoipos(av0, uel(x,2));
131 : }
132 :
133 : GEN
134 44247 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
135 :
136 : ulong
137 205731 : pgener_Zl(ulong p)
138 : {
139 205731 : if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
140 : /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
141 205731 : if (p == 40487) return 10;
142 : #ifndef LONG_IS_64BIT
143 29811 : return pgener_Fl(p);
144 : #else
145 175920 : if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
146 : else
147 : {
148 30 : const pari_sp av = avma;
149 30 : const ulong p_1 = p-1;
150 : long x ;
151 30 : GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
152 102 : for (x=2;;x++)
153 102 : if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
154 30 : return gc_ulong(av, x);
155 : }
156 : #endif
157 : }
158 :
159 : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
160 : GEN
161 170975 : pgener_Zp(GEN p)
162 : {
163 170975 : if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
164 : else
165 : {
166 5 : const pari_sp av = avma;
167 5 : GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
168 5 : GEN x = utoipos(2);
169 12 : for (;; x[2]++)
170 17 : if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
171 5 : return gc_utoipos(av, uel(x,2));
172 : }
173 : }
174 :
175 : static GEN
176 259 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
177 : {
178 259 : GEN p = NULL;
179 259 : long e = 0;
180 259 : if (F)
181 : {
182 14 : GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
183 14 : long i, l = lg(P);
184 42 : for (i = 1; i < l; i++)
185 : {
186 28 : p = gel(P,i);
187 28 : if (absequaliu(p, 2)) continue;
188 14 : if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=",F,F);
189 14 : e = itos(gel(E,i));
190 : }
191 14 : if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=",F,F);
192 : }
193 : else
194 245 : e = Z_isanypower(q, &p);
195 259 : if (!BPSW_psp(e? p: q)) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=", q,q);
196 245 : return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
197 : }
198 :
199 : GEN
200 329 : znprimroot(GEN N)
201 : {
202 329 : pari_sp av = avma;
203 : GEN x, n, F;
204 :
205 329 : if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
206 : {
207 14 : F = clean_Z_factor(F);
208 14 : N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
209 : }
210 322 : N = absi_shallow(N);
211 322 : if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
212 273 : switch(mod4(N))
213 : {
214 14 : case 0: /* N = 0 mod 4 */
215 14 : pari_err_DOMAIN("znprimroot", "n","=",N,N);
216 0 : x = NULL; break;
217 28 : case 2: /* N = 2 mod 4 */
218 28 : n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
219 28 : x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
220 21 : break;
221 231 : default: /* N odd */
222 231 : x = gener_Zp(N,F);
223 224 : break;
224 : }
225 245 : return gc_GEN(av, mkintmod(x, N));
226 : }
227 :
228 : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
229 : GEN
230 0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
231 : {
232 0 : pari_sp av = avma;
233 0 : GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
234 0 : GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
235 0 : z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
236 0 : return gc_INT(av, z);
237 : }
238 :
239 : GEN
240 3033 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
241 : {
242 3033 : pari_sp av = avma;
243 3033 : GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
244 3033 : z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
245 3033 : z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
246 3033 : return gc_INT(av, z);
247 : }
248 :
249 : ulong
250 215530 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
251 : {
252 215530 : pari_sp av = avma;
253 215530 : GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
254 215530 : ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
255 215530 : z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
256 215530 : return gc_ulong(av,z);
257 : }
258 :
259 : /*********************************************************************/
260 : /** INVERSE TOTIENT FUNCTION **/
261 : /*********************************************************************/
262 : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
263 : * primes. Return factor(N) */
264 : GEN
265 350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
266 : {
267 350651 : long i, k, l = lg(L);
268 350651 : GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
269 1346688 : for (i = k = 1; i < l; i++)
270 : {
271 996037 : GEN p = gel(L,i);
272 996037 : long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
273 996037 : if (v)
274 : {
275 792176 : gel(P,k) = p;
276 792176 : gel(E,k) = utoipos(v);
277 792176 : k++;
278 : }
279 : }
280 350651 : setlg(P, k);
281 350651 : setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
282 : }
283 :
284 : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
285 : * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
286 : static long
287 621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
288 : {
289 621565 : pari_sp av = avma, av2;
290 : GEN k, D;
291 : long i, v;
292 621565 : if (m && mod2(n))
293 : {
294 270914 : if (!equali1(n)) return 0;
295 69986 : if (px) *px = gen_1;
296 69986 : return 1;
297 : }
298 350651 : D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
299 : /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
300 350651 : av2 = avma;
301 350651 : if (!m)
302 : { /* special case p = 2, d = 1 */
303 69986 : k = n;
304 69986 : for (v = 1;; v++) {
305 69986 : if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
306 69986 : if (px) *px = shifti(*px, v);
307 69986 : return 1;
308 : }
309 0 : if (mod2(k)) break;
310 0 : k = shifti(k,-1);
311 : }
312 0 : set_avma(av2);
313 : }
314 1099462 : for (i = 1; i < lg(D); ++i)
315 : {
316 1001588 : GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
317 1001588 : if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
318 677782 : p = addiu(d, 1);
319 677782 : if (!isprime(p)) continue;
320 442064 : k = diviiexact(n, d);
321 481593 : for (v = 1;; v++) {
322 : GEN r;
323 481593 : if (istotient_i(k, p, L, px)) {
324 182791 : if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
325 182791 : return 1;
326 : }
327 298802 : k = dvmdii(k, p, &r);
328 298802 : if (r != gen_0) break;
329 : }
330 259273 : set_avma(av2);
331 : }
332 97874 : return gc_long(av,0);
333 : }
334 :
335 : /* find x such that phi(x) = n */
336 : long
337 70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
338 : {
339 70000 : pari_sp av = avma;
340 70000 : if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
341 70000 : if (signe(n) < 1) return 0;
342 70000 : if (mod2(n))
343 : {
344 14 : if (!equali1(n)) return 0;
345 14 : if (px) *px = gen_1;
346 14 : return 1;
347 : }
348 69986 : if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
349 : {
350 69986 : if (!px) set_avma(av);
351 : else
352 69986 : *px = gc_INT(av, *px);
353 69986 : return 1;
354 : }
355 0 : return gc_long(av,0);
356 : }
357 :
358 : /*********************************************************************/
359 : /** KRONECKER SYMBOL **/
360 : /*********************************************************************/
361 : /* t = 3,5 mod 8 ? (= 2 not a square mod t) */
362 : static int
363 321036966 : ome(long t)
364 : {
365 321036966 : switch(t & 7)
366 : {
367 182046634 : case 3:
368 182046634 : case 5: return 1;
369 138990332 : default: return 0;
370 : }
371 : }
372 : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
373 : static int
374 5609012 : gome(GEN t)
375 5609012 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
376 :
377 : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
378 : static long
379 227711812 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
380 : {
381 227711812 : ulong x1 = x, y1 = y, z;
382 1032100794 : while (x1)
383 : {
384 804368993 : long r = vals(x1);
385 804388989 : if (r)
386 : {
387 427530598 : if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
388 427530591 : x1 >>= r;
389 : }
390 804388982 : if (x1 & y1 & 2) s = -s;
391 804388982 : z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
392 : }
393 227731801 : return (y1 == 1)? s: 0;
394 : }
395 :
396 : long
397 11958235 : kronecker(GEN x, GEN y)
398 : {
399 11958235 : pari_sp av = avma;
400 11958235 : long s = 1, r;
401 : ulong xu;
402 :
403 11958235 : if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
404 11958235 : if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
405 11958235 : switch (signe(y))
406 : {
407 63 : case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
408 133 : case 0: return is_pm1(x);
409 : }
410 11958102 : r = vali(y);
411 11958102 : if (r)
412 : {
413 1348912 : if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
414 321711 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
415 321711 : y = shifti(y,-r);
416 : }
417 10930901 : x = modii(x,y);
418 13359060 : while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
419 : {
420 : GEN z;
421 2428176 : r = vali(x);
422 2428089 : if (r)
423 : {
424 1326124 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
425 1326083 : x = shifti(x,-r);
426 : }
427 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
428 2427536 : if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
429 2426995 : z = remii(y,x); y = x; x = z;
430 2428140 : if (gc_needed(av,2))
431 : {
432 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
433 0 : (void)gc_all(av, 2, &x, &y);
434 : }
435 : }
436 10930884 : xu = itou(x);
437 10930885 : if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
438 10833654 : r = vals(xu);
439 10833652 : if (r)
440 : {
441 5753665 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
442 5753665 : xu >>= r;
443 : }
444 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
445 10833652 : if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
446 10833654 : return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
447 : }
448 :
449 : long
450 40033 : krois(GEN x, long y)
451 : {
452 : ulong yu;
453 40033 : long s = 1;
454 :
455 40033 : if (y <= 0)
456 : {
457 35 : if (y == 0) return is_pm1(x);
458 0 : yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
459 : }
460 : else
461 39998 : yu = (ulong)y;
462 39998 : if (!odd(yu))
463 : {
464 : long r;
465 18550 : if (!mpodd(x)) return 0;
466 12600 : r = vals(yu); yu >>= r;
467 12600 : if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
468 : }
469 34048 : return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
470 : }
471 : /* assume y != 0 */
472 : long
473 27617296 : kroiu(GEN x, ulong y)
474 : {
475 : long r;
476 27617296 : if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
477 302892 : if (!mpodd(x)) return 0;
478 208327 : r = vals(y); y >>= r;
479 208329 : return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
480 : }
481 :
482 : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
483 : static long
484 178626 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
485 : {
486 : long r;
487 178626 : if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
488 28053 : if (!x) return 0; /* y != 1 */
489 28053 : r = vals(x);
490 28053 : if (r)
491 : {
492 14645 : if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
493 14645 : x >>= r;
494 : }
495 : /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
496 28053 : if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
497 28053 : return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
498 : }
499 :
500 : long
501 143239 : krosi(long x, GEN y)
502 : {
503 143239 : const pari_sp av = avma;
504 143239 : long s = 1, r;
505 143239 : switch (signe(y))
506 : {
507 0 : case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
508 0 : case 0: return (x==1 || x==-1);
509 : }
510 143239 : r = vali(y);
511 143239 : if (r)
512 : {
513 16884 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
514 16884 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
515 16884 : y = shifti(y,-r);
516 : }
517 143239 : if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
518 143239 : return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
519 : }
520 :
521 : long
522 35387 : kroui(ulong x, GEN y)
523 : {
524 35387 : const pari_sp av = avma;
525 35387 : long s = 1, r;
526 35387 : switch (signe(y))
527 : {
528 0 : case -1: y = negi(y); break;
529 0 : case 0: return x==1UL;
530 : }
531 35387 : r = vali(y);
532 35387 : if (r)
533 : {
534 0 : if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
535 0 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
536 0 : y = shifti(y,-r);
537 : }
538 35387 : return gc_long(av, krouodd(x, y, s));
539 : }
540 :
541 : long
542 97370958 : kross(long x, long y)
543 : {
544 : ulong yu;
545 97370958 : long s = 1;
546 :
547 97370958 : if (y <= 0)
548 : {
549 64694 : if (y == 0) return (labs(x)==1);
550 64666 : yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
551 : }
552 : else
553 97306264 : yu = (ulong)y;
554 97370930 : if (!odd(yu))
555 : {
556 : long r;
557 23549729 : if (!odd(x)) return 0;
558 16625375 : r = vals(yu); yu >>= r;
559 16625375 : if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
560 : }
561 90446576 : x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
562 90446576 : return krouu_s((ulong)x, yu, s);
563 : }
564 :
565 : long
566 98699080 : krouu(ulong x, ulong y)
567 : {
568 : long r;
569 98699080 : if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
570 14526 : if (!odd(x)) return 0;
571 17037 : r = vals(y); y >>= r;
572 17037 : return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
573 : }
574 :
575 : /*********************************************************************/
576 : /** HILBERT SYMBOL **/
577 : /*********************************************************************/
578 : /* x,y are t_INT or t_REAL */
579 : static long
580 7329 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
581 : {
582 7329 : long sx = signe(x), sy = signe(y);
583 7329 : if (!sx || !sy) return 0;
584 7329 : return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
585 : }
586 :
587 : long
588 140826 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
589 : {
590 : pari_sp av;
591 : long oddvx, oddvy, z;
592 :
593 140826 : if (!p) return mphilbertoo(x,y);
594 133518 : if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
595 133518 : if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
596 133497 : av = avma;
597 133497 : oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
598 133497 : oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
599 : /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
600 133497 : if (absequaliu(p, 2))
601 : {
602 12355 : z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
603 12355 : if (oddvx && gome(y)) z = -z;
604 12355 : if (oddvy && gome(x)) z = -z;
605 : }
606 : else
607 : {
608 121142 : z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
609 121142 : if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
610 121142 : if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
611 : }
612 133497 : return gc_long(av, z);
613 : }
614 :
615 : static void
616 196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
617 : static void
618 161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
619 : static void
620 56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
621 :
622 : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
623 : * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
624 : * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
625 : static GEN
626 420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
627 : {
628 420 : GEN p = *pp, N = gel(x,1);
629 420 : x = gel(x,2);
630 420 : if (!p)
631 : {
632 266 : *pp = p = N;
633 266 : switch(itos_or_0(p))
634 : {
635 126 : case 2:
636 126 : case 4: err_prec();
637 : }
638 140 : return x;
639 : }
640 154 : if (!signe(p)) err_oo(N);
641 112 : if (absequaliu(p,2))
642 42 : { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
643 : else
644 70 : { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
645 28 : if (!signe(x)) err_prec();
646 21 : return x;
647 : }
648 : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
649 : * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
650 : * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
651 : static GEN
652 210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
653 : {
654 210 : GEN p = *pp, q = padic_p(x), u = padic_u(x);
655 210 : if (!p) *pp = p = q;
656 147 : else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
657 105 : if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
658 70 : if (!signe(u)) err_prec();
659 70 : return odd(valp(x))? mulii(p,u): u;
660 : }
661 :
662 : long
663 62314 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
664 : {
665 62314 : pari_sp av = avma;
666 62314 : long tx = typ(x), ty = typ(y);
667 :
668 62314 : if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
669 62314 : if (tx == t_REAL)
670 : {
671 77 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
672 63 : switch (ty)
673 : {
674 7 : case t_INT:
675 7 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
676 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
677 56 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
678 : }
679 : }
680 62237 : if (ty == t_REAL)
681 : {
682 14 : if (p && signe(p)) err_oo(p);
683 14 : switch (tx)
684 : {
685 14 : case t_INT:
686 14 : case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
687 0 : case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
688 0 : default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
689 : }
690 : }
691 62223 : if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
692 62020 : if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
693 :
694 61964 : if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
695 61901 : if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
696 :
697 61824 : if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
698 61824 : if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
699 :
700 61824 : if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
701 61824 : if (p && !signe(p)) p = NULL;
702 61824 : return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
703 : }
704 :
705 : /*******************************************************************/
706 : /* SQUARE ROOT MODULO p */
707 : /*******************************************************************/
708 : static void
709 2295924 : checkp(ulong q, ulong p)
710 2295924 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
711 : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic nonresidue, a prime */
712 : static ulong
713 11623941 : nonsquare1_Fl(ulong p)
714 : {
715 : forprime_t S;
716 : ulong q;
717 11623941 : if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
718 4335316 : q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
719 1427076 : checkp(q, p);
720 1431239 : q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
721 531304 : checkp(q, p);
722 531298 : q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
723 201756 : checkp(q, p);
724 : /* log^2(2^64) < 1968 is enough under GRH (and p^(1/4)log(p) without it)*/
725 201776 : u_forprime_init(&S, 11, 1967);
726 333498 : while ((q = u_forprime_next(&S)))
727 : {
728 333498 : if (krouu(q, p) < 0) return q;
729 131716 : checkp(q, p);
730 : }
731 0 : checkp(0, p);
732 : return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
733 : }
734 : /* p > 2 a prime */
735 : ulong
736 7930 : nonsquare_Fl(ulong p)
737 7930 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
738 :
739 : /* allow pi = 0 */
740 : ulong
741 178491 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
742 : {
743 178491 : ulong p1 = p-1;
744 178491 : long e = vals(p1);
745 178479 : if (e == 1) return p1;
746 66158 : return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
747 : }
748 :
749 : ulong
750 65765 : Fl_2gener_pre_i(ulong ns, ulong p, ulong pi)
751 : {
752 65765 : ulong p1 = p-1;
753 65765 : long e = vals(p1);
754 65765 : if (e == 1) return p1;
755 25152 : return Fl_powu_pre(ns, p1 >> e, p, pi);
756 : }
757 :
758 : static ulong
759 12423879 : Fl_sqrt_i(ulong a, ulong y, ulong p)
760 : {
761 : long i, e, k;
762 : ulong p1, q, v, w;
763 :
764 12423879 : if (!a) return 0;
765 11149093 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
766 11149723 : if (e == 0) /* p = 2 */
767 : {
768 650076 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
769 651335 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
770 : }
771 10499647 : if (e == 1)
772 : {
773 4995526 : v = Fl_powu(a, (p+1) >> 2, p);
774 4995586 : if (Fl_sqr(v, p) != a) return ~0UL;
775 4990706 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
776 4990706 : return v;
777 : }
778 5504121 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
779 5504121 : p1 = Fl_powu(a, q >> 1, p); /* a ^ [(q-1)/2] */
780 5504122 : if (!p1) return 0;
781 5504122 : v = Fl_mul(a, p1, p);
782 5504122 : w = Fl_mul(v, p1, p);
783 5504175 : if (!y) y = Fl_powu(nonsquare1_Fl(p), q, p);
784 9347905 : while (w != 1)
785 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
786 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
787 3845608 : p1 = Fl_sqr(w, p);
788 6372113 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr(p1, p);
789 3845595 : if (k == e) return ~0UL;
790 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
791 3843518 : p1 = y;
792 5118224 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr(p1, p);
793 3843522 : y = Fl_sqr(p1, p); e = k;
794 3843559 : w = Fl_mul(y, w, p);
795 3843567 : v = Fl_mul(v, p1, p);
796 : }
797 5502297 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
798 5502297 : return v;
799 : }
800 :
801 : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. Allow pi = 0 */
802 : ulong
803 33652805 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
804 : {
805 : long i, e, k;
806 : ulong p1, q, v, w;
807 :
808 33652805 : if (!pi) return Fl_sqrt_i(a, y, p);
809 21228887 : if (!a) return 0;
810 21103705 : p1 = p - 1; e = vals(p1);
811 21104080 : if (e == 0) /* p = 2 */
812 : {
813 0 : if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
814 0 : return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
815 : }
816 21109707 : if (e == 1)
817 : {
818 15009237 : v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
819 15027819 : if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
820 15028419 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
821 15028419 : return v;
822 : }
823 6100470 : q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
824 6100470 : p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
825 6102360 : if (!p1) return 0;
826 6102360 : v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
827 6101931 : w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
828 6101017 : if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
829 11597874 : while (w != 1)
830 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
831 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
832 5494891 : p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
833 10246639 : for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
834 5494229 : if (k == e) return ~0UL;
835 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
836 5494137 : p1 = y;
837 7211447 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
838 5494153 : y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
839 5495655 : w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
840 5494831 : v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
841 : }
842 6102983 : p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
843 6102983 : return v;
844 : }
845 :
846 : ulong
847 12302819 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
848 12302819 : { ulong pi = (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0; return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi); }
849 :
850 : ulong
851 21149674 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
852 21149674 : { return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi); }
853 :
854 : /* allow pi = 0 */
855 : static ulong
856 212456 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
857 : {
858 : ulong m, m1;
859 : long i;
860 : for (;;)
861 : {
862 212456 : m = m1 = Fl_powu_pre(random_Fl(p-1)+1UL, r, p, pi);
863 212454 : if (m==1) continue;
864 232367 : for (i=1; i<e; i++)
865 : {
866 89785 : m = Fl_powu_pre(m, l, p, pi);
867 89786 : if (m == 1) break;
868 : }
869 159924 : if (i==e) break;
870 : }
871 142581 : *pt_m = m; return m1;
872 : }
873 :
874 : /* Solve x^l = a in G = Fp^* of order p-1 = (l^e)*r; l prime, (r,l) = 1, e >= 1
875 : * y generates the l-Sylow of G, m = y^(l^(e-1)) != 1. Allow y = 0, in which
876 : * case m is ignored and (y,m) are computed from scratch */
877 : static ulong
878 226773 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
879 : {
880 : ulong u2, v, w, z, dl;
881 226773 : u2 = Fl_inv(l%r, r);
882 226773 : v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
883 226772 : w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi); if (w == a) return v;
884 139961 : w = pi? Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi): Fl_div(w, a, p);
885 139947 : if (!y) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
886 166556 : while (w != 1)
887 : {
888 146475 : ulong k = 0, p1 = w;
889 : do
890 : {
891 190172 : z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
892 190174 : if (++k == e) return ULONG_MAX;
893 70307 : } while (p1 != 1);
894 : /* z = w^(l^(k-1)) has order l */
895 26610 : dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
896 26610 : dl = Fl_neg(dl, l);
897 26610 : p1 = Fl_powu_pre(y, dl*upowuu(l,e-k-1), p, pi);
898 26609 : m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
899 26610 : e = k;
900 26610 : v = pi? Fl_mul_pre(p1,v,p,pi): Fl_mul(p1,v,p);
901 26610 : y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
902 26610 : w = pi? Fl_mul_pre(y,w,p,pi): Fl_mul(y,w,p);
903 : }
904 20081 : return v;
905 : }
906 :
907 : /* allow pi = 0 */
908 : ulong
909 223933 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
910 : {
911 : ulong r, e;
912 223933 : if (!a) return 0;
913 223921 : e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
914 223920 : return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, 0, 0);
915 : }
916 : ulong
917 0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
918 0 : { ulong pi = (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0;
919 0 : return Fl_sqrtl_pre(a, l, p, pi); }
920 :
921 : /* allow pi = 0 */
922 : ulong
923 232509 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
924 : {
925 232509 : ulong m, q = p-1, z;
926 232509 : ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
927 232509 : if (a==0)
928 : {
929 116389 : if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
930 116382 : if (zetan) *zetan = 1UL;
931 116382 : return 0;
932 : }
933 : /* a != 0 */
934 116120 : if (n==1)
935 : {
936 420 : if (zetan) *zetan = 1;
937 420 : return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
938 : }
939 115700 : if (n==2)
940 : {
941 42111 : if (zetan) *zetan = p-1;
942 42111 : return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
943 : }
944 73589 : if (a == 1 && !zetan) return a;
945 44115 : m = ugcd(nn, q);
946 44115 : z = 1;
947 44115 : if (m!=1)
948 : {
949 2647 : GEN F = factoru(m);
950 : long i, j, e;
951 : ulong r, zeta, y, l;
952 5691 : for (i = nbrows(F); i; i--)
953 : {
954 3093 : l = ucoeff(F,i,1);
955 3093 : j = ucoeff(F,i,2);
956 3093 : e = u_lvalrem(q,l, &r);
957 3093 : y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
958 3093 : if (zetan)
959 : {
960 1354 : ulong Y = Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi);
961 1354 : z = pi? Fl_mul_pre(z, Y, p, pi): Fl_mul(z, Y, p);
962 : }
963 3093 : if (a!=1)
964 : do
965 : {
966 2853 : a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
967 2839 : if (a==ULONG_MAX) return ULONG_MAX;
968 2804 : } while (--j);
969 : }
970 : }
971 44066 : if (m != nn)
972 : {
973 41489 : ulong qm = q/m, nm = (nn/m) % qm;
974 41489 : a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm, qm), p, pi);
975 : }
976 44066 : if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
977 44066 : if (zetan) *zetan = z;
978 44066 : return a;
979 : }
980 :
981 : ulong
982 232509 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
983 : {
984 232509 : ulong pi = (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0;
985 232509 : return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
986 : }
987 :
988 : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
989 : * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
990 : * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
991 : * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
992 : *
993 : * If X^2 := t^2 - a is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
994 : * (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a, hence sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2) in F_p^2.
995 : * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
996 : * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002) [Gonzalo Tornaria] */
997 :
998 : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
999 : static GEN
1000 0 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
1001 : {
1002 0 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
1003 0 : GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
1004 0 : v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
1005 0 : u = addii(u2, mulii(v2,n));
1006 0 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
1007 : }
1008 : /* compute (t+X) y^2 */
1009 : static GEN
1010 0 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
1011 : {
1012 0 : GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2);
1013 0 : ulong t = gel(data,4)[2];
1014 0 : GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2 = sqri(d);
1015 0 : GEN b = remii(mulii(a,v), p);
1016 0 : u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
1017 0 : v = subii(d2, mulii(b,v));
1018 0 : retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
1019 : }
1020 : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
1021 : static GEN
1022 0 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
1023 : {
1024 : pari_sp av;
1025 : GEN u, n, y, pov2;
1026 : ulong t;
1027 :
1028 0 : if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
1029 0 : pov2 = shifti(p,-1); /* center to avoid multiplying by huge base*/
1030 0 : if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p);
1031 0 : av = avma;
1032 0 : for (t=1; ; t++, set_avma(av))
1033 : {
1034 0 : n = subsi((long)(t*t), a);
1035 0 : if (kronecker(n, p) < 0) break;
1036 : }
1037 :
1038 : /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
1039 0 : u = utoipos(t);
1040 0 : y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
1041 : sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
1042 : /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
1043 : * (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
1044 : * Whence,
1045 : * sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
1046 : * 0 = (u+vt)
1047 : * Thus a square root is v*a */
1048 0 : return Fp_mul(gel(y,2), a, p);
1049 : }
1050 :
1051 : /* Return NULL if p is found to be composite.
1052 : * p odd, q = (p-1)/2^oo is odd */
1053 : static GEN
1054 5748 : Fp_2gener_all(GEN q, GEN p)
1055 : {
1056 : long k;
1057 5748 : for (k = 2;; k++)
1058 12338 : {
1059 18086 : long i = kroui(k, p);
1060 18086 : if (i < 0) return Fp_pow(utoipos(k), q, p);
1061 12338 : if (i == 0) return NULL;
1062 : }
1063 : }
1064 :
1065 : /* Return NULL if p is found to be composite */
1066 : GEN
1067 3187 : Fp_2gener(GEN p)
1068 : {
1069 3187 : GEN q = subiu(p, 1);
1070 3187 : long e = Z_lvalrem(q, 2, &q);
1071 3187 : if (e == 0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
1072 3187 : return Fp_2gener_all(q, p);
1073 : }
1074 :
1075 : GEN
1076 19392 : Fp_2gener_i(GEN ns, GEN p)
1077 : {
1078 19392 : GEN q = subiu(p,1);
1079 19392 : long e = vali(q);
1080 19392 : if (e == 1) return q;
1081 18129 : return Fp_pow(ns, shifti(q,-e), p);
1082 : }
1083 :
1084 : static GEN
1085 1339 : nonsquare_Fp(GEN p)
1086 : {
1087 : forprime_t T;
1088 : ulong a;
1089 1339 : if (mod4(p)==3) return gen_m1;
1090 1339 : if (mod8(p)==5) return gen_2;
1091 592 : u_forprime_init(&T, 3, ULONG_MAX);
1092 1190 : while((a = u_forprime_next(&T)))
1093 1190 : if (kroui(a,p) < 0) return utoi(a);
1094 0 : pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
1095 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1096 : }
1097 :
1098 : static GEN
1099 760 : Fp_rootsof1(ulong l, GEN p)
1100 : {
1101 760 : GEN z, pl = diviuexact(subis(p,1),l);
1102 : ulong a;
1103 : forprime_t T;
1104 760 : u_forprime_init(&T, 3, ULONG_MAX);
1105 1028 : while((a = u_forprime_next(&T)))
1106 : {
1107 1028 : z = Fp_pow(utoi(a), pl, p);
1108 1028 : if (!equali1(z)) return z;
1109 : }
1110 0 : pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
1111 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1112 : }
1113 :
1114 : static GEN
1115 284 : Fp_gausssum(long D, GEN p)
1116 : {
1117 284 : long i, l = labs(D);
1118 284 : GEN z = Fp_rootsof1(l, p);
1119 284 : GEN s = z, x = z;
1120 2790 : for(i = 2; i < l; i++)
1121 : {
1122 2506 : long k = kross(i,l);
1123 2506 : x = mulii(x, z);
1124 2506 : if (k==1) s = addii(s, x);
1125 1395 : else if (k==-1) s = subii(s, x);
1126 : }
1127 284 : return s;
1128 : }
1129 :
1130 : static GEN
1131 18177 : Fp_sqrts(long a, GEN p)
1132 : {
1133 18177 : long v = vals(a)>>1;
1134 18177 : GEN r = gen_0;
1135 18177 : a >>= v << 1;
1136 18177 : switch(a)
1137 : {
1138 1 : case 1:
1139 1 : r = gen_1;
1140 1 : break;
1141 1061 : case -1:
1142 1061 : if (mod4(p)==1)
1143 1061 : r = Fp_pow(nonsquare_Fp(p), shifti(p,-2),p);
1144 : else
1145 0 : r = NULL;
1146 1061 : break;
1147 125 : case 2:
1148 125 : if (mod8(p)==1)
1149 : {
1150 125 : GEN z = Fp_pow(nonsquare_Fp(p), shifti(p,-3),p);
1151 125 : r = Fp_mul(z,Fp_sub(gen_1,Fp_sqr(z,p),p),p);
1152 0 : } else if (mod8(p)==7)
1153 0 : r = Fp_pow(gen_2, shifti(addiu(p,1),-2),p);
1154 : else
1155 0 : return NULL;
1156 125 : break;
1157 153 : case -2:
1158 153 : if (mod8(p)==1)
1159 : {
1160 153 : GEN z = Fp_pow(nonsquare_Fp(p), shifti(p,-3),p);
1161 153 : r = Fp_mul(z,Fp_add(gen_1,Fp_sqr(z,p),p),p);
1162 0 : } else if (mod8(p)==3)
1163 0 : r = Fp_pow(gen_m2, shifti(addiu(p,1),-2),p);
1164 : else
1165 0 : return NULL;
1166 153 : break;
1167 476 : case -3:
1168 476 : if (umodiu(p,3)==1)
1169 : {
1170 476 : GEN z = Fp_rootsof1(3, p);
1171 476 : r = Fp_sub(z,Fp_sqr(z,p),p);
1172 : }
1173 : else
1174 0 : return NULL;
1175 476 : break;
1176 2045 : case 5: case 13: case 17: case 21: case 29: case 33:
1177 : case -7: case -11: case -15: case -19: case -23:
1178 2045 : if (umodiu(p,labs(a))==1)
1179 284 : r = Fp_gausssum(a,p);
1180 : else
1181 1763 : return gen_0;
1182 284 : break;
1183 14316 : default:
1184 14316 : return gen_0;
1185 : }
1186 2100 : return remii(shifti(r, v), p);
1187 : }
1188 :
1189 : static GEN
1190 75179 : Fp_sqrt_ii(GEN a, GEN y, GEN p)
1191 : {
1192 75179 : pari_sp av = avma;
1193 75179 : GEN q, v, w, p1 = subiu(p,1);
1194 75165 : long i, k, e = vali(p1), as;
1195 :
1196 : /* direct formulas more efficient */
1197 75166 : if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
1198 75166 : if (e == 1)
1199 : {
1200 18545 : q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
1201 18547 : v = Fp_pow(a, q, p);
1202 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
1203 18557 : av = avma; e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av);
1204 18557 : return e? v: NULL;
1205 : }
1206 56621 : as = itos_or_0(a);
1207 56623 : if (!as) as = itos_or_0(subii(a,p));
1208 56628 : if (as)
1209 : {
1210 18178 : GEN res = Fp_sqrts(as, p);
1211 18179 : if (!res) return gc_NULL(av);
1212 18179 : if (signe(res)) return gc_upto(av, res);
1213 : }
1214 54529 : if (e == 2)
1215 : { /* Atkin's formula */
1216 17683 : GEN I, a2 = shifti(a,1);
1217 17682 : if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
1218 17682 : q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
1219 17683 : v = Fp_pow(a2, q, p);
1220 17686 : I = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* I^2 = -1 */
1221 17686 : v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(I,1), p), p);
1222 : /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
1223 17686 : av = avma; e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av);
1224 17686 : return e? v: NULL;
1225 : }
1226 : /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
1227 : * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
1228 36846 : if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p)) return sqrt_Cipolla(a,p);
1229 : /* Tonelli-Shanks */
1230 36844 : av = avma; q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
1231 36844 : if (!y)
1232 : {
1233 2561 : y = Fp_2gener_all(q, p);
1234 2561 : if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
1235 : }
1236 36844 : p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
1237 36846 : v = Fp_mul(a, p1, p);
1238 36846 : w = Fp_mul(v, p1, p);
1239 87762 : while (!equali1(w))
1240 : { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
1241 : a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
1242 50959 : p1 = Fp_sqr(w,p);
1243 106587 : for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
1244 50954 : if (k == e) return NULL; /* p composite or (a/p) != 1 */
1245 : /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
1246 50911 : p1 = y;
1247 73068 : for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
1248 50911 : y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
1249 50916 : w = Fp_mul(y, w, p);
1250 50918 : v = Fp_mul(v, p1, p);
1251 50916 : if (gc_needed(av,1))
1252 : {
1253 0 : if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
1254 0 : (void)gc_all(av,3, &y,&w,&v);
1255 : }
1256 : }
1257 36802 : return v;
1258 : }
1259 :
1260 : /* Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1; y = NULL or generator
1261 : * of Fp^* 2-Sylow */
1262 : GEN
1263 4886479 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
1264 : {
1265 4886479 : pari_sp av = avma, av2;
1266 : GEN q;
1267 :
1268 4886479 : if (lgefint(p) == 3)
1269 : {
1270 4811183 : ulong pp = uel(p,2), u = umodiu(a, pp);
1271 4811198 : if (!u) return gen_0;
1272 3599348 : u = Fl_sqrt(u, pp);
1273 3599409 : return (u == ~0UL)? NULL: utoipos(u);
1274 : }
1275 75296 : a = modii(a, p); if (!signe(a)) return gen_0;
1276 75179 : a = Fp_sqrt_ii(a, y, p); if (!a) return gc_NULL(av);
1277 : /* smallest square root */
1278 74770 : av2 = avma; q = subii(p, a);
1279 74770 : if (cmpii(a, q) > 0) a = q; else set_avma(av2);
1280 74771 : return gc_INT(av, a);
1281 : }
1282 : GEN
1283 4832682 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p) { return Fp_sqrt_i(a, NULL, p); }
1284 :
1285 : /*********************************************************************/
1286 : /** GCD & BEZOUT **/
1287 : /*********************************************************************/
1288 :
1289 : GEN
1290 53358826 : lcmii(GEN x, GEN y)
1291 : {
1292 : pari_sp av;
1293 : GEN a, b;
1294 53358826 : if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
1295 53358836 : av = avma; a = gcdii(x,y);
1296 53358019 : if (absequalii(a,y)) { set_avma(av); return absi(x); }
1297 11690978 : if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
1298 11690980 : b = mulii(x,y); setabssign(b); return gc_INT(av, b);
1299 : }
1300 :
1301 : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
1302 : * set *pd = gcd(x,N) */
1303 : GEN
1304 5889617 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
1305 : {
1306 : GEN d, d0, e, v;
1307 5889617 : if (lgefint(N) == 3)
1308 : {
1309 5107786 : ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
1310 5107785 : if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
1311 5107785 : xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
1312 5108546 : *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
1313 : }
1314 781831 : *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
1315 781839 : if (equali1(d)) return v;
1316 : /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
1317 685010 : e = diviiexact(N,d);
1318 685010 : d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
1319 685010 : if (equali1(d0)) return v;
1320 542896 : if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
1321 542896 : return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
1322 : }
1323 :
1324 : /*********************************************************************/
1325 : /** CHINESE REMAINDERS **/
1326 : /*********************************************************************/
1327 :
1328 : /* Chinese Remainder Theorem. x and y must have the same type (integermod,
1329 : * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
1330 : * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
1331 : * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
1332 : *
1333 : * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
1334 : * not integermod or polymod. For example:
1335 : *
1336 : * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
1337 : * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
1338 : * ? chinese(x, y)
1339 : * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
1340 :
1341 : static GEN
1342 2416253 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
1343 : {
1344 2416253 : GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
1345 2416246 : if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
1346 2416197 : return z;
1347 : }
1348 :
1349 : GEN
1350 2415 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
1351 :
1352 : static GEN
1353 21 : padic2mod(GEN x)
1354 : {
1355 21 : pari_sp av = avma;
1356 21 : GEN pd = padic_pd(x), p = padic_p(x), u = padic_u(x);
1357 21 : long v = valp(x);
1358 21 : if (v < 0) pari_err_INV("chinese", mkintmod(gen_0, p));
1359 21 : if (v)
1360 : {
1361 0 : GEN pv = powiu(p, v);
1362 0 : pd = mulii(pd, pv);
1363 0 : u = mulii(u, pv);
1364 : }
1365 21 : return gc_GEN(av, mkintmod(u, pd));
1366 :
1367 : }
1368 : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod): makes Mod(0,1)
1369 : * a better "neutral" element */
1370 : static GEN
1371 21 : intmod2polmod(GEN x,GEN y)
1372 21 : { retmkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1)))); }
1373 :
1374 : GEN
1375 5495 : chinese(GEN x, GEN y)
1376 : {
1377 5495 : pari_sp av = avma;
1378 : long tx, ty;
1379 : GEN z;
1380 :
1381 5495 : if (!y) return chinese1(x);
1382 5446 : if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
1383 : /* allows GC optimization for this most frequent case */
1384 5439 : z = cgetg(3,t_INTMOD);
1385 5439 : tx = typ(x); if (tx == t_PADIC) { x = padic2mod(x); tx = t_INTMOD; }
1386 5439 : ty = typ(y); if (ty == t_PADIC) { y = padic2mod(y); ty = t_INTMOD; }
1387 5439 : if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD)
1388 14 : { y = intmod2polmod(y, x); ty = t_POLMOD; }
1389 5439 : if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD)
1390 7 : { x = intmod2polmod(x, y); tx = t_POLMOD; }
1391 5439 : if (tx == ty) switch(tx)
1392 : {
1393 3892 : case t_POLMOD:
1394 : {
1395 3892 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
1396 3892 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), t, d, e, u, v;
1397 3892 : if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
1398 3892 : if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
1399 3892 : d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
1400 3892 : e = gsub(b, a);
1401 3892 : if (!gequal0(gmod(e, d))) pari_err_OP("chinese",x,y);
1402 3892 : t = gdiv(A, d);
1403 3892 : e = gadd(a, gmul(gmul(u,t), e));
1404 :
1405 3892 : z = cgetg(3, t_POLMOD);
1406 3892 : gel(z,1) = RgX_mul(t, B);
1407 3892 : gel(z,2) = gmod(e, gel(z,1));
1408 3892 : return gc_upto(av, z);
1409 : }
1410 1519 : case t_INTMOD:
1411 : {
1412 1519 : GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
1413 1519 : GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
1414 1519 : Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
1415 1519 : c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
1416 1519 : if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
1417 1519 : set_avma((pari_sp)z); /* GC optimization */
1418 1519 : gel(z,1) = icopy(C);
1419 1519 : gel(z,2) = icopy(c); return z;
1420 : }
1421 14 : case t_POL:
1422 : {
1423 14 : long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
1424 14 : if (varn(x) != varn(y)) pari_err_OP("chinese",x,y);
1425 14 : if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
1426 14 : set_avma(av);
1427 14 : z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
1428 42 : for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
1429 14 : if (i < lx)
1430 : {
1431 14 : GEN _0 = Rg_get_0(y);
1432 28 : for ( ; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),_0);
1433 : }
1434 14 : return z;
1435 : }
1436 14 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
1437 : {
1438 : long i, lx;
1439 14 : set_avma(av);
1440 14 : z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) pari_err_OP("chinese",x,y);
1441 42 : for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
1442 14 : return z;
1443 : }
1444 : }
1445 0 : pari_err_OP("chinese",x,y);
1446 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
1447 : }
1448 :
1449 : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
1450 : void
1451 271341 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
1452 : {
1453 271341 : GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
1454 271345 : GEN t = diviiexact(A,d);
1455 271340 : *pU = mulii(u, t);
1456 271338 : *pC = mulii(t, B); if (pd) *pd = d;
1457 271334 : }
1458 : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
1459 : * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
1460 : * If d not NULL, check whether a = b mod d. */
1461 : GEN
1462 3007534 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
1463 : {
1464 : GEN e;
1465 3007534 : if (!signe(a))
1466 : {
1467 797090 : if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
1468 797090 : return Fp_mul(b, U, C);
1469 : }
1470 2210444 : e = subii(b,a);
1471 2210444 : if (d && !dvdii(e, d)) return NULL;
1472 2210444 : return modii(addii(a, mulii(U, e)), C);
1473 : }
1474 : static ulong
1475 1587244 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
1476 : {
1477 1587244 : if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
1478 1587244 : return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
1479 : }
1480 :
1481 : GEN
1482 2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
1483 : {
1484 2142 : pari_sp av = avma;
1485 2142 : GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
1486 2142 : return gc_INT(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
1487 : }
1488 : GEN
1489 267622 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
1490 : {
1491 267622 : GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
1492 267617 : return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
1493 : }
1494 :
1495 : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
1496 : * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
1497 : GEN
1498 544156 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
1499 : {
1500 544156 : pari_sp av = avma;
1501 544156 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
1502 544156 : return gc_INT(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
1503 : }
1504 : ulong
1505 1587247 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
1506 1587247 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
1507 :
1508 : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
1509 : static GEN
1510 2191779 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
1511 : {
1512 2191779 : GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
1513 2191779 : GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
1514 2191779 : GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
1515 2191779 : pari_sp av = avma;
1516 2191779 : GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
1517 2191779 : gel(z,2) = gc_INT(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
1518 2191779 : gel(z,1) = C; return z;
1519 : }
1520 : GEN
1521 2413838 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
1522 :
1523 : /*********************************************************************/
1524 : /** MODULAR EXPONENTIATION **/
1525 : /*********************************************************************/
1526 : /* xa ZV or nv */
1527 : GEN
1528 2603613 : ZV_producttree(GEN xa)
1529 : {
1530 2603613 : long n = lg(xa)-1;
1531 2603613 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
1532 2603598 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
1533 : long i, j, k;
1534 2603564 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
1535 2603522 : if (typ(xa)==t_VECSMALL)
1536 : {
1537 3477603 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1538 2242405 : gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
1539 1235198 : if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
1540 : } else {
1541 2833057 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1542 1464745 : gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
1543 1368312 : if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
1544 : }
1545 2603504 : gel(T,1) = t;
1546 4152803 : for (i=2; i<=m; i++)
1547 : {
1548 1549306 : GEN u = gel(T, i-1);
1549 1549306 : long n = lg(u)-1;
1550 1549306 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
1551 3484230 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1552 1934931 : gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
1553 1549299 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
1554 1549299 : gel(T, i) = t;
1555 : }
1556 2603497 : return T;
1557 : }
1558 :
1559 : GEN
1560 0 : ZMV_producttree(GEN xa)
1561 : {
1562 0 : long n = lg(xa)-1;
1563 0 : long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
1564 0 : GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
1565 : long i, j, k;
1566 0 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
1567 0 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1568 0 : gel(t, j) = ZM_mul(gel(xa,k+1), gel(xa,k));
1569 0 : if (k==n) gel(t, j) = ZM_copy(gel(xa,k));
1570 0 : gel(T,1) = t;
1571 0 : for (i=2; i<=m; i++)
1572 : {
1573 0 : GEN u = gel(T, i-1);
1574 0 : long n = lg(u)-1;
1575 0 : t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
1576 0 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1577 0 : gel(t, j) = ZM_mul(gel(u, k+1), gel(u, k));
1578 0 : if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
1579 0 : gel(T, i) = t;
1580 : }
1581 0 : return T;
1582 : }
1583 :
1584 : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
1585 : GEN
1586 57227991 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
1587 : {
1588 : long i,j,k;
1589 57227991 : long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
1590 : GEN t;
1591 57227991 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
1592 57211115 : gel(Tp, m) = mkvec(modii(A, gmael(T,m,1)));
1593 119758758 : for (i=m-1; i>=1; i--)
1594 : {
1595 62572852 : GEN u = gel(T, i);
1596 62572852 : GEN v = gel(Tp, i+1);
1597 62572852 : long n = lg(u)-1;
1598 62572852 : t = cgetg(n+1, t_VEC);
1599 150359604 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1600 : {
1601 87856070 : gel(t, k) = modii(gel(v, j), gel(u, k));
1602 87898219 : gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
1603 : }
1604 62503534 : if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
1605 62503534 : gel(Tp, i) = t;
1606 : }
1607 : {
1608 57185906 : GEN u = gel(T, i+1);
1609 57185906 : GEN v = gel(Tp, i+1);
1610 57185906 : long l = lg(u)-1;
1611 57185906 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
1612 : {
1613 54589780 : GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
1614 195548665 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
1615 : {
1616 140928380 : uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
1617 140870689 : if (k < n)
1618 111236972 : uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
1619 : }
1620 54620285 : return R;
1621 : }
1622 : else
1623 : {
1624 2596126 : GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
1625 7138746 : for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
1626 : {
1627 4535478 : gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
1628 4535471 : if (k < n)
1629 3704296 : gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
1630 : }
1631 2603268 : return R;
1632 : }
1633 : }
1634 : }
1635 :
1636 : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
1637 : GEN
1638 39811197 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
1639 : {
1640 39811197 : long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
1641 : long i,j,k;
1642 39811197 : GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
1643 39796807 : GEN M = gel(T, 1);
1644 39796807 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
1645 39758243 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
1646 : {
1647 84376805 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1648 : {
1649 61348642 : pari_sp av = avma;
1650 61348642 : GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
1651 61296619 : GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
1652 61375455 : gel(t, j) = gc_INT(av, tj);
1653 : }
1654 23028163 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
1655 : } else
1656 : {
1657 35573279 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1658 : {
1659 18806400 : pari_sp av = avma;
1660 18806400 : GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
1661 18819037 : GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
1662 18856224 : gel(t, j) = gc_INT(av, tj);
1663 : }
1664 16766879 : if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
1665 : }
1666 39798144 : gel(Tp, 1) = t;
1667 74234331 : for (i=2; i<=m; i++)
1668 : {
1669 34453196 : GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
1670 34453196 : GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
1671 34454316 : GEN v = gel(Tp, i-1);
1672 34454316 : long n = lg(v)-1;
1673 90410133 : for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
1674 : {
1675 55973946 : pari_sp av = avma;
1676 55974111 : gel(t, j) = gc_INT(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
1677 55973946 : mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
1678 : }
1679 34436187 : if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
1680 34436187 : gel(Tp, i) = t;
1681 : }
1682 39781135 : return gmael(Tp,m,1);
1683 : }
1684 :
1685 : static GEN
1686 1526320 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1687 : {
1688 1526320 : long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1689 1526320 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
1690 33984501 : for (i=1; i < l; i++)
1691 : {
1692 32458349 : pari_sp av = avma;
1693 32458349 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
1694 : long j;
1695 186730177 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
1696 32434943 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
1697 32463139 : gel(V,i) = gc_INT(av, c);
1698 : }
1699 1526152 : return V;
1700 : }
1701 :
1702 : static GEN
1703 741147 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1704 : {
1705 741147 : long i, j, l, n = lg(P);
1706 741147 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
1707 741147 : w = cgetg(n, t_VECSMALL);
1708 2619673 : for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
1709 741133 : l = vecsmall_max(w);
1710 741143 : V = cgetg(l, t_POL);
1711 741097 : V[1] = mael(vA,1,1);
1712 5367026 : for (i=2; i < l; i++)
1713 : {
1714 4625877 : pari_sp av = avma;
1715 4625877 : GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
1716 4625419 : if (typ(P)==t_VECSMALL)
1717 12256167 : for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
1718 : else
1719 5855660 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
1720 4625419 : c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
1721 4625993 : gel(V,i) = gc_INT(av, c);
1722 : }
1723 741149 : return ZX_renormalize(V, l);
1724 : }
1725 :
1726 : static GEN
1727 5190 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1728 : {
1729 5190 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1730 5190 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
1731 5190 : GEN V = cgetg(l, t_COL);
1732 104310 : for (i=1; i < l; i++)
1733 : {
1734 379971 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
1735 99120 : gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
1736 : }
1737 5190 : return V;
1738 : }
1739 :
1740 : static GEN
1741 420893 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
1742 : {
1743 420893 : long cnt, pending, n, i, j, l = lg(gel(mA,1));
1744 : struct pari_mt pt;
1745 : GEN done, va, M, A;
1746 : pari_timer ti;
1747 :
1748 420893 : if (l == 1) return cgetg(1, t_MAT);
1749 391841 : cnt = pending = 0;
1750 391841 : n = lg(P);
1751 391841 : A = cgetg(n, t_VEC);
1752 391841 : va = mkvec(A);
1753 391841 : M = cgetg(l, t_MAT);
1754 391841 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_start(&ti);
1755 391841 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
1756 391841 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
1757 1423365 : for (i=1; i<l || pending; i++)
1758 : {
1759 : long workid;
1760 3865926 : for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
1761 1031524 : mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
1762 1031524 : done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
1763 1031524 : if (done)
1764 : {
1765 991611 : gel(M,workid) = done;
1766 991611 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
1767 : }
1768 : }
1769 391841 : if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("\n");
1770 391841 : if (DEBUGLEVEL>4) timer_printf(&ti, "nmV_chinese_center");
1771 391841 : mt_queue_end(&pt);
1772 391841 : return M;
1773 : }
1774 :
1775 : GEN
1776 1008 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
1777 : {
1778 1008 : return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
1779 : }
1780 :
1781 : static GEN
1782 453 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1783 : {
1784 453 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1785 453 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
1786 453 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
1787 4635 : for (i=1; i < l; i++)
1788 : {
1789 16769 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
1790 4182 : gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
1791 : }
1792 453 : return V;
1793 : }
1794 :
1795 : static GEN
1796 97 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1797 : {
1798 97 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
1799 97 : return polint_chinese(worker, mA, P);
1800 : }
1801 :
1802 : static GEN
1803 142015 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1804 : {
1805 142015 : long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
1806 142015 : GEN A = cgetg(n, t_VEC);
1807 142012 : GEN V = cgetg(l, t_MAT);
1808 662132 : for (i=1; i < l; i++)
1809 : {
1810 2983018 : for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
1811 520123 : gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
1812 : }
1813 142009 : return V;
1814 : }
1815 :
1816 : GEN
1817 990527 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
1818 : {
1819 990527 : return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
1820 : }
1821 :
1822 : static GEN
1823 420796 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
1824 : {
1825 420796 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
1826 420796 : return polint_chinese(worker, mA, P);
1827 : }
1828 :
1829 : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
1830 : GEN
1831 0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
1832 : {
1833 0 : pari_sp av = avma;
1834 0 : return gc_GEN(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
1835 : }
1836 : /* P a t_VECSMALL */
1837 : GEN
1838 0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
1839 : {
1840 0 : pari_sp av = avma;
1841 0 : return gc_uptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
1842 : }
1843 : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
1844 : GEN
1845 2413145 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
1846 : {
1847 : pari_sp av;
1848 2413145 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
1849 2413145 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1850 11455998 : for (j=1; j <= n; j++)
1851 : {
1852 9043636 : gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
1853 9042955 : mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
1854 : }
1855 2412362 : av = avma;
1856 15712507 : for (i=2; i < l; i++)
1857 : {
1858 13300420 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
1859 88059329 : for (j=1; j <= n; j++)
1860 74763247 : mael(V, j, i) = v[j];
1861 13296082 : set_avma(av);
1862 : }
1863 11457590 : for (j=1; j <= n; j++)
1864 9045639 : (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
1865 2411951 : return V;
1866 : }
1867 :
1868 : static GEN
1869 1201624 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
1870 :
1871 : GEN
1872 86830 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
1873 : {
1874 86830 : pari_sp av = avma;
1875 86830 : long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1;
1876 86830 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1877 374794 : for (j=1; j <= n; j++)
1878 : {
1879 287971 : gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
1880 287968 : mael(V, j, 1) = P[1]&VARNBITS;
1881 : }
1882 1198447 : for (i=2; i < l; i++)
1883 : {
1884 1111603 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
1885 4850069 : for (j=1; j <= n; j++)
1886 3738445 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1887 : }
1888 374895 : for (j=1; j <= n; j++)
1889 288058 : (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
1890 86837 : return gc_GEN(av, V);
1891 : }
1892 :
1893 : GEN
1894 4456 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
1895 : {
1896 4456 : pari_sp av = avma;
1897 4456 : long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
1898 4456 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1899 18422 : for (j = 1; j <= n; j++)
1900 13966 : gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
1901 94471 : for (i = 1; i < l; i++)
1902 : {
1903 90016 : GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
1904 391747 : for (j = 1; j <= n; j++)
1905 301732 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1906 : }
1907 4455 : return gc_GEN(av, V);
1908 : }
1909 :
1910 : GEN
1911 453 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
1912 : {
1913 453 : pari_sp av = avma;
1914 453 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
1915 453 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1916 2163 : for (j=1; j <= n; j++)
1917 1710 : gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
1918 4635 : for (i=1; i < l; i++)
1919 : {
1920 4182 : GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
1921 16769 : for (j=1; j <= n; j++)
1922 12587 : gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1923 : }
1924 453 : return gc_GEN(av, V);
1925 : }
1926 :
1927 : GEN
1928 1273567 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
1929 : {
1930 : pari_sp av;
1931 1273567 : long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
1932 1273567 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1933 6531930 : for (j=1; j <= n; j++) gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
1934 1273430 : av = avma;
1935 42544789 : for (i=1; i < l; i++)
1936 : {
1937 41274387 : GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
1938 219538103 : for (j=1; j <= n; j++) mael(V, j, i) = v[j];
1939 41244133 : set_avma(av);
1940 : }
1941 1270402 : return V;
1942 : }
1943 :
1944 : static GEN
1945 242161 : ZM_nv_mod_tree_t(GEN M, GEN xa, GEN T, long t)
1946 : {
1947 242161 : pari_sp av = avma;
1948 242161 : long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
1949 242161 : GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
1950 1324543 : for (j=1; j <= n; j++) gel(V, j) = cgetg(l, t);
1951 1515470 : for (i=1; i < l; i++)
1952 : {
1953 1273337 : GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
1954 6531306 : for (j=1; j <= n; j++) gmael(V, j, i) = gel(v,j);
1955 : }
1956 242133 : return gc_GEN(av, V);
1957 : }
1958 :
1959 : GEN
1960 236701 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
1961 236701 : { return ZM_nv_mod_tree_t(M, xa, T, t_MAT); }
1962 :
1963 : GEN
1964 5457 : ZVV_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
1965 5457 : { return ZM_nv_mod_tree_t(M, xa, T, t_VEC); }
1966 :
1967 : static GEN
1968 2599776 : ZV_sqr(GEN z)
1969 : {
1970 2599776 : long i,l = lg(z);
1971 2599776 : GEN x = cgetg(l, t_VEC);
1972 2599771 : if (typ(z)==t_VECSMALL)
1973 6172905 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
1974 : else
1975 4643026 : for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
1976 2599744 : return x;
1977 : }
1978 :
1979 : static GEN
1980 13440983 : ZT_sqr(GEN x)
1981 : {
1982 13440983 : if (typ(x) == t_INT) return sqri(x);
1983 17584129 : pari_APPLY_type(t_VEC, ZT_sqr(gel(x,i)))
1984 : }
1985 :
1986 : static GEN
1987 2599753 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
1988 : {
1989 2599753 : long i, l = lg(y);
1990 2599753 : GEN z = cgetg(l,t_VEC);
1991 2599738 : if (typ(x)==t_VECSMALL)
1992 6172341 : for (i=1; i<l; i++)
1993 : {
1994 4937444 : pari_sp av = avma;
1995 4937444 : ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
1996 4938020 : set_avma(av); gel(z,i) = utoi(a);
1997 : }
1998 : else
1999 4643064 : for (i=1; i<l; i++)
2000 3278224 : gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
2001 2599737 : return z;
2002 : }
2003 :
2004 : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT */
2005 : GEN
2006 2599757 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
2007 : {
2008 2599757 : GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
2009 2599758 : GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
2010 2599758 : return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
2011 : }
2012 :
2013 : static GEN
2014 1015411 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
2015 : {
2016 1015411 : if (!pt_mod)
2017 12293 : return gc_upto(av, a);
2018 : else
2019 : {
2020 1003118 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
2021 1003118 : (void)gc_all(av, 2, &a, &mod);
2022 1003119 : *pt_mod = mod;
2023 1003119 : return a;
2024 : }
2025 : }
2026 :
2027 : GEN
2028 157230 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2029 : {
2030 157230 : pari_sp av = avma;
2031 157230 : GEN T = ZV_producttree(P);
2032 157230 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2033 157230 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
2034 157230 : GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
2035 157230 : GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
2036 157230 : return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
2037 : }
2038 :
2039 : GEN
2040 5141 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2041 : {
2042 5141 : pari_sp av = avma;
2043 5141 : GEN T = ZV_producttree(P);
2044 5141 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2045 5141 : GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
2046 5141 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2047 : }
2048 :
2049 : GEN
2050 220065 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2051 : {
2052 220065 : pari_sp av = avma;
2053 220065 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2054 220060 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2055 220067 : return gc_upto(av, a);
2056 : }
2057 :
2058 : GEN
2059 421948 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2060 : {
2061 421948 : pari_sp av = avma;
2062 421948 : GEN T = ZV_producttree(P);
2063 421948 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2064 421948 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2065 421948 : GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2066 421948 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2067 : }
2068 :
2069 : GEN
2070 10200 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2071 : {
2072 10200 : pari_sp av = avma;
2073 10200 : GEN T = ZV_producttree(P);
2074 10200 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2075 10200 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2076 10200 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2077 10200 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2078 : }
2079 :
2080 : GEN
2081 5457 : ncV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2082 : {
2083 5457 : pari_sp av = avma;
2084 5457 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2085 5457 : GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2086 5457 : return gc_upto(av, a);
2087 : }
2088 :
2089 : GEN
2090 0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2091 : {
2092 0 : pari_sp av = avma;
2093 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2094 0 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2095 0 : return gc_upto(av, a);
2096 : }
2097 :
2098 : GEN
2099 142018 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2100 : {
2101 142018 : pari_sp av = avma;
2102 142018 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2103 142014 : GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
2104 142009 : return gc_upto(av, a);
2105 : }
2106 :
2107 : GEN
2108 420796 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2109 : {
2110 420796 : pari_sp av = avma;
2111 420796 : GEN T = ZV_producttree(P);
2112 420796 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2113 420796 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2114 420796 : GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2115 420796 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2116 : }
2117 :
2118 : GEN
2119 0 : nxCV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2120 : {
2121 0 : pari_sp av = avma;
2122 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2123 0 : GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2124 0 : return gc_upto(av, a);
2125 : }
2126 :
2127 : GEN
2128 0 : nxCV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2129 : {
2130 0 : pari_sp av = avma;
2131 0 : GEN T = ZV_producttree(P);
2132 0 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2133 0 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2134 0 : GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2135 0 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2136 : }
2137 :
2138 : GEN
2139 453 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
2140 : {
2141 453 : pari_sp av = avma;
2142 453 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2143 453 : GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
2144 453 : return gc_upto(av, a);
2145 : }
2146 :
2147 : GEN
2148 97 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
2149 : {
2150 97 : pari_sp av = avma;
2151 97 : GEN T = ZV_producttree(P);
2152 97 : GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
2153 97 : GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
2154 97 : GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
2155 97 : return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
2156 : }
2157 :
2158 : /**********************************************************************
2159 : ** Powering over (Z/NZ)^*, small N **
2160 : **********************************************************************/
2161 :
2162 : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
2163 : static ulong
2164 12384426 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
2165 : {
2166 12384426 : ulong y = 2;
2167 12384426 : int j = 1+bfffo(n);
2168 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
2169 12384426 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
2170 564081355 : for (; j; n<<=1,j--)
2171 : {
2172 551755397 : y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
2173 551256121 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
2174 : }
2175 12325958 : return y;
2176 : }
2177 :
2178 : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
2179 : static ulong
2180 4288031 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
2181 : {
2182 4288031 : ulong y = 2;
2183 4288031 : int j = 1+bfffo(n);
2184 : /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
2185 4288031 : n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
2186 25400209 : for (; j; n<<=1,j--)
2187 : {
2188 21112141 : y = (y*y) % p;
2189 21112141 : if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
2190 : }
2191 4288068 : return y;
2192 : }
2193 :
2194 : /* allow pi = 0 */
2195 : ulong
2196 151955777 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
2197 : {
2198 : ulong y, z, n;
2199 151955777 : if (!pi) return Fl_powu(x, n0, p);
2200 149510519 : if (n0 <= 1)
2201 : { /* frequent special cases */
2202 10089493 : if (n0 == 1) return x;
2203 105614 : if (n0 == 0) return 1;
2204 : }
2205 139421023 : if (x <= 2)
2206 : {
2207 12652203 : if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
2208 264382 : return x; /* 0 or 1 */
2209 : }
2210 126768820 : y = 1; z = x; n = n0;
2211 : for(;;)
2212 : {
2213 652398395 : if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
2214 653209737 : n>>=1; if (!n) return y;
2215 526268930 : z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
2216 : }
2217 : }
2218 :
2219 : ulong
2220 140623386 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
2221 : {
2222 : ulong y, z, n;
2223 140623386 : if (n0 <= 2)
2224 : { /* frequent special cases */
2225 66143185 : if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
2226 32504798 : if (n0 == 1) return x;
2227 1982680 : if (n0 == 0) return 1;
2228 : }
2229 74462000 : if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
2230 74021853 : if (p & HIGHMASK)
2231 7904011 : return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
2232 66117842 : if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
2233 61829809 : y = 1; z = x; n = n0;
2234 : for(;;)
2235 : {
2236 263844422 : if (n&1) y = (y*z) % p;
2237 263844422 : n>>=1; if (!n) return y;
2238 202014613 : z = (z*z) % p;
2239 : }
2240 : }
2241 :
2242 : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism; allow pi = 0 */
2243 : GEN
2244 12813862 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
2245 : {
2246 : long i, k;
2247 12813862 : GEN z = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
2248 12812527 : z[1] = 1; if (n == 0) return z;
2249 12812527 : z[2] = x;
2250 12812527 : if (pi)
2251 : {
2252 90289841 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
2253 : {
2254 77683314 : z[i] = Fl_sqr_pre(z[k], p, pi);
2255 77688974 : z[i+1] = Fl_mul_pre(z[k], z[k+1], p, pi);
2256 : }
2257 12606527 : if (i==n+1) z[i] = Fl_sqr_pre(z[k], p, pi);
2258 : }
2259 212709 : else if (p & HIGHMASK)
2260 : {
2261 0 : for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
2262 : {
2263 0 : z[i] = Fl_sqr(z[k], p);
2264 0 : z[i+1] = Fl_mul(z[k], z[k+1], p);
2265 : }
2266 0 : if (i==n+1) z[i] = Fl_sqr(z[k], p);
2267 : }
2268 : else
2269 400536257 : for (i = 2; i <= n; i++) z[i+1] = (z[i] * x) % p;
2270 12820715 : return z;
2271 : }
2272 :
2273 : GEN
2274 296050 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
2275 : {
2276 296050 : return Fl_powers_pre(x, n, p, (p & HIGHMASK)? get_Fl_red(p): 0);
2277 : }
2278 :
2279 : /**********************************************************************
2280 : ** Powering over (Z/NZ)^*, large N **
2281 : **********************************************************************/
2282 : typedef struct muldata {
2283 : GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
2284 : GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
2285 : GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
2286 : } muldata;
2287 :
2288 : /* modified Barrett reduction with one fold */
2289 : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
2290 :
2291 : static GEN
2292 14069 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
2293 : {
2294 14069 : GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
2295 14069 : return mkvec2(Q,R);
2296 : }
2297 :
2298 : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
2299 : * a = r (mod N) */
2300 : static GEN
2301 8459526 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
2302 : {
2303 8459526 : pari_sp av = avma;
2304 8459526 : GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
2305 8459526 : long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
2306 8459526 : GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
2307 8459526 : GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
2308 8459526 : GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
2309 8459526 : GEN r = subii(A, mulii(q, N));
2310 8459526 : GEN sr= subii(r,N); /* 0 <= r < 4*N */
2311 8459526 : if (signe(sr)<0) return gc_INT(av, r);
2312 4567614 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 3*N */
2313 4567614 : if (signe(sr)<0) return gc_INT(av, r);
2314 157455 : r=sr; sr = subii(r,N); /* 0 <= r < 2*N */
2315 157455 : return gc_INT(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
2316 : }
2317 :
2318 : /* Montgomery reduction */
2319 :
2320 : INLINE ulong
2321 661022 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
2322 :
2323 : struct montred
2324 : {
2325 : GEN N;
2326 : ulong inv;
2327 : };
2328 :
2329 : /* Montgomery reduction */
2330 : static GEN
2331 63078157 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
2332 : {
2333 63078157 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2334 63078157 : return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
2335 : }
2336 :
2337 : /* Montgomery reduction */
2338 : static GEN
2339 6608380 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
2340 : {
2341 6608380 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2342 6608380 : return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
2343 : }
2344 :
2345 : static GEN
2346 9448551 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
2347 : {
2348 9448551 : struct montred * D = (struct montred *) E;
2349 9448551 : GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
2350 9446538 : long l = lgefint(D->N);
2351 9958631 : while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
2352 9446711 : return z;
2353 : }
2354 :
2355 : static GEN
2356 24816103 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
2357 24816103 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
2358 :
2359 : static GEN
2360 1633959 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
2361 1633959 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
2362 :
2363 : static GEN
2364 3771600 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
2365 3771600 : { return Fp_double(_sqr_remii(N, x), (GEN)N); }
2366 :
2367 : struct redbarrett
2368 : {
2369 : GEN iM, N;
2370 : long s;
2371 : };
2372 :
2373 : static GEN
2374 7728047 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
2375 : {
2376 7728047 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
2377 7728047 : return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
2378 : }
2379 :
2380 : static GEN
2381 731479 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
2382 : {
2383 731479 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
2384 731479 : return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
2385 : }
2386 :
2387 : static GEN
2388 1835592 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
2389 : {
2390 1835592 : struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
2391 1835592 : return Fp_double(_sqr_remiibar(E, x), D->N);
2392 : }
2393 :
2394 : static long
2395 870059 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
2396 : {
2397 870059 : if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
2398 : {
2399 14069 : struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
2400 14069 : D->sqr = &_sqr_remiibar;
2401 14069 : D->mul = &_mul_remiibar;
2402 14069 : D->mul2 = &_mul2_remiibar;
2403 14069 : E->N = N;
2404 14069 : E->s = 1+(expi(N)>>1);
2405 14069 : E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
2406 14069 : *pt_E = (void*) E;
2407 14069 : return 0;
2408 : }
2409 855990 : else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
2410 : {
2411 660999 : struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
2412 661006 : *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
2413 661023 : D->sqr = &_sqr_montred;
2414 661023 : D->mul = &_mul_montred;
2415 661023 : D->mul2 = &_mul2_montred;
2416 661023 : E->N = N;
2417 661023 : E->inv = init_montdata(N);
2418 661017 : *pt_E = (void*) E;
2419 661017 : return 1;
2420 : }
2421 : else
2422 : {
2423 194991 : D->sqr = &_sqr_remii;
2424 194991 : D->mul = &_mul_remii;
2425 194991 : D->mul2 = &_mul2_remii;
2426 194991 : *pt_E = (void*) N;
2427 194991 : return 0;
2428 : }
2429 : }
2430 :
2431 : GEN
2432 1752623 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
2433 : {
2434 1752623 : long lN = lgefint(N);
2435 : int base_is_2, use_montgomery;
2436 : muldata D;
2437 : void *E;
2438 : pari_sp av;
2439 :
2440 1752623 : if (lN == 3) {
2441 309843 : ulong n = uel(N,2);
2442 309843 : return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
2443 : }
2444 1442780 : if (k <= 2)
2445 : { /* frequent special cases */
2446 844491 : if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
2447 293807 : if (k == 1) return A;
2448 0 : if (k == 0) return gen_1;
2449 : }
2450 598289 : av = avma; A = modii(A,N);
2451 598289 : base_is_2 = 0;
2452 598289 : if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
2453 : {
2454 1055 : case 1: set_avma(av); return gen_1;
2455 34225 : case 2: base_is_2 = 1; break;
2456 : }
2457 :
2458 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
2459 597234 : use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
2460 597234 : if (base_is_2)
2461 34225 : A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
2462 : else
2463 563009 : A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
2464 597234 : if (use_montgomery)
2465 : {
2466 499152 : A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
2467 499152 : if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
2468 : }
2469 597234 : return gc_INT(av, A);
2470 : }
2471 :
2472 : GEN
2473 1346207 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
2474 : {
2475 1346207 : if (lgefint(N) == 3) {
2476 1322330 : ulong n = N[2];
2477 1322330 : ulong a = umodiu(A, n);
2478 1322330 : if (k < 0) {
2479 58634 : a = Fl_inv(a, n);
2480 58634 : k = -k;
2481 : }
2482 1322330 : return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
2483 : }
2484 23877 : if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
2485 23877 : return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
2486 : }
2487 :
2488 : /* A^K mod N */
2489 : GEN
2490 36219353 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
2491 : {
2492 : pari_sp av;
2493 36219353 : long s, lN = lgefint(N), sA, sy;
2494 : int base_is_2, use_montgomery;
2495 : GEN y;
2496 : muldata D;
2497 : void *E;
2498 :
2499 36219353 : s = signe(K);
2500 36219353 : if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
2501 35188292 : if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
2502 : {
2503 34468118 : ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
2504 34468240 : if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
2505 34468316 : if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
2506 30933429 : return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
2507 : }
2508 :
2509 720174 : av = avma;
2510 720174 : if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
2511 : else
2512 : {
2513 718241 : y = modii(A,N);
2514 718351 : if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
2515 : }
2516 720296 : if (lgefint(K) == 3) return gc_INT(av, Fp_powu(y, K[2], N));
2517 :
2518 273049 : base_is_2 = 0;
2519 273049 : sy = abscmpii(y, shifti(N,-1)) > 0;
2520 273031 : if (sy) y = subii(N,y);
2521 273033 : sA = sy && mod2(K);
2522 273033 : if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
2523 : {
2524 220 : case 1: set_avma(av); return sA ? subis(N,1): gen_1;
2525 152575 : case 2: base_is_2 = 1; break;
2526 : }
2527 :
2528 : /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
2529 272813 : use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
2530 272889 : if (base_is_2)
2531 152647 : y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
2532 : else
2533 120242 : y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
2534 272968 : if (use_montgomery)
2535 : {
2536 161894 : y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
2537 161892 : if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
2538 : }
2539 272966 : if (sA) y = subii(N, y);
2540 272966 : return gc_INT(av,y);
2541 : }
2542 :
2543 : static GEN
2544 14130063 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
2545 : static GEN
2546 8134253 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
2547 : static GEN
2548 47162 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
2549 :
2550 : GEN
2551 105 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
2552 105 : { return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul); }
2553 :
2554 : GEN
2555 43694 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
2556 43694 : { return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul); }
2557 :
2558 : GEN
2559 5931 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
2560 : {
2561 5931 : if (lgefint(p) == 3)
2562 2463 : return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
2563 3468 : return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
2564 : }
2565 :
2566 : GEN
2567 497 : FpV_prod(GEN V, GEN p) { return gen_product(V, (void *)p, &_Fp_mul); }
2568 :
2569 : static GEN
2570 27873912 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
2571 : static GEN
2572 160 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
2573 :
2574 : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
2575 : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
2576 : equalii,equali1,Fp_easylog};
2577 :
2578 : static GEN
2579 889913 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
2580 : static GEN
2581 1175565 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
2582 : static GEN
2583 1086846 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
2584 : static GEN
2585 575346 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
2586 : static GEN
2587 34307 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
2588 : static int
2589 260724 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
2590 : static GEN
2591 19075 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
2592 :
2593 : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
2594 : _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
2595 :
2596 6963 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
2597 6963 : { *E = (void*)p; return &Fp_field; }
2598 :
2599 : /*********************************************************************/
2600 : /** ORDER of INTEGERMOD x in (Z/nZ)* **/
2601 : /*********************************************************************/
2602 : ulong
2603 542733 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
2604 : {
2605 542733 : pari_sp av = avma;
2606 : GEN m, P, E;
2607 : long i;
2608 542733 : if (a==1) return 1;
2609 445075 : if (!o) o = p-1;
2610 445075 : m = factoru(o);
2611 445075 : P = gel(m,1);
2612 445075 : E = gel(m,2);
2613 1265106 : for (i = lg(P)-1; i; i--)
2614 : {
2615 820031 : ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
2616 820031 : if (y == 1) o = t;
2617 780413 : else for (j = 1; j < e; j++)
2618 : {
2619 386772 : y = Fl_powu(y, l, p);
2620 386772 : if (y == 1) { o = t * upowuu(l, j); break; }
2621 : }
2622 : }
2623 445075 : return gc_ulong(av, o);
2624 : }
2625 :
2626 : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
2627 : GEN
2628 132160 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
2629 132160 : if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
2630 : {
2631 59266 : ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? uel(o,2): pp-1;
2632 59266 : return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
2633 : }
2634 72894 : return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
2635 : }
2636 : GEN
2637 70 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
2638 70 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
2639 :
2640 : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
2641 : static GEN
2642 70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
2643 : {
2644 : GEN ap, op;
2645 70 : if (absequaliu(p, 2))
2646 : {
2647 56 : if (e == 1) return gen_1;
2648 56 : if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
2649 49 : if (mod4(a) == 1) op = gen_1; else { op = gen_2; a = Fp_sqr(a, pe); }
2650 : } else {
2651 14 : ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
2652 14 : op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
2653 14 : if (e == 1) return op;
2654 0 : a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
2655 : }
2656 49 : if (equali1(a)) return op;
2657 7 : return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
2658 : }
2659 :
2660 : GEN
2661 63 : znorder(GEN x, GEN o)
2662 : {
2663 63 : pari_sp av = avma;
2664 : GEN b, a;
2665 :
2666 63 : if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
2667 56 : b = gel(x,1); a = gel(x,2);
2668 56 : if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
2669 49 : if (!o)
2670 : {
2671 35 : GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
2672 35 : long i, l = lg(P);
2673 35 : o = gen_1;
2674 70 : for (i = 1; i < l; i++)
2675 : {
2676 35 : GEN p = gel(P,i);
2677 35 : long e = itos(gel(E,i));
2678 :
2679 35 : if (l == 2)
2680 35 : o = Zp_order(a, p, e, b);
2681 : else {
2682 0 : GEN pe = powiu(p,e);
2683 0 : o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
2684 : }
2685 : }
2686 35 : return gc_INT(av, o);
2687 : }
2688 14 : return Fp_order(a, o, b);
2689 : }
2690 :
2691 : /*********************************************************************/
2692 : /** DISCRETE LOGARITHM in (Z/nZ)* **/
2693 : /*********************************************************************/
2694 : static GEN
2695 56551 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
2696 : {
2697 56551 : pari_sp av = avma;
2698 : GEN h1, h2, F, G;
2699 56551 : if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
2700 34005 : if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
2701 : {
2702 126 : GEN M = cgetg(3, t_MAT);
2703 126 : gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
2704 126 : gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
2705 126 : return gc_upto(av, M);
2706 : }
2707 33879 : return gc_NULL(av);
2708 : }
2709 :
2710 : static GEN
2711 56551 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
2712 : {
2713 : GEN rel;
2714 56551 : do { (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p); rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p); }
2715 56551 : while (!rel);
2716 126 : return rel;
2717 : }
2718 :
2719 : struct Fp_log_rel
2720 : {
2721 : GEN rel;
2722 : ulong prmax;
2723 : long nbrel, nbmax, nbgen;
2724 : };
2725 :
2726 : static long
2727 59731 : tr(long i) { return odd(i) ? (i+1)>>1: -(i>>1); }
2728 :
2729 : static long
2730 169813 : rt(long i) { return i>0 ? 2*i-1: -2*i; }
2731 :
2732 : /* add u^e */
2733 : static void
2734 2163 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
2735 : {
2736 2163 : pari_sp av = avma;
2737 2163 : long off = r->prmax+1;
2738 2163 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
2739 2163 : gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+rt(u));
2740 2163 : gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
2741 2163 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gc_upto(av, F);
2742 2163 : }
2743 :
2744 : /* add u^-1 v^-1 */
2745 : static void
2746 83825 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
2747 : {
2748 83825 : pari_sp av = avma;
2749 83825 : long off = r->prmax+1;
2750 83825 : GEN P = mkvecsmall2(off+rt(u),off+rt(v)), E = mkvecsmall2(-1,-1);
2751 83825 : GEN F = cgetg(3, t_MAT);
2752 83825 : gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
2753 83825 : gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
2754 83825 : gel(r->rel,++r->nbrel) = gc_upto(av, F);
2755 83825 : }
2756 :
2757 : /* Let p=C^2+c
2758 : * Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
2759 : * h= -c+x*(C+a)+C*a = 0 [mod l]
2760 : * x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
2761 : * h = -c+C*(x+a)+a*x */
2762 : GEN
2763 30245 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
2764 : {
2765 30245 : pari_sp ltop = avma;
2766 30245 : long i, j, th, n = lg(pi)-1, rel = 1, ab = labs(a), ae;
2767 30245 : GEN sieve = zero_zv(2*ab+2)+1+ab;
2768 30258 : GEN L = cgetg(1+2*ab+2, t_VEC);
2769 30251 : pari_sp av = avma;
2770 30251 : GEN z, h = addis(C,a);
2771 30250 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
2772 : {
2773 2169 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
2774 2169 : av = avma;
2775 : }
2776 12893039 : for (i=1; i<=n; i++)
2777 : {
2778 12868222 : ulong li = pi[i], s = sz[i], al = smodss(a,li);
2779 12842002 : ulong iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
2780 : long u;
2781 13123586 : if (!iv) continue;
2782 12807357 : u = Fl_add(Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li),ab%li,li)-ab;
2783 47678200 : for(j = u; j<=ab; j+=li) sieve[j] += s;
2784 : }
2785 25938 : if (a)
2786 : {
2787 30173 : long e = expi(mulis(C,a));
2788 30180 : th = e - expu(e) - 1;
2789 54 : } else th = -1;
2790 30251 : ae = a>=0 ? ab-1: ab;
2791 15525385 : for (j = 1-ab; j <= ae; j++)
2792 15495312 : if (sieve[j]>=th)
2793 : {
2794 108965 : GEN h = absi(addis(subii(mulis(C,a+j),c), a*j));
2795 108848 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
2796 : {
2797 106622 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
2798 106624 : av = avma;
2799 2295 : } else set_avma(av);
2800 : }
2801 : /* j = a */
2802 30073 : if (sieve[a]>=th)
2803 : {
2804 448 : GEN h = absi(addiu(subii(mulis(C,2*a),c), a*a));
2805 448 : if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
2806 364 : gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
2807 : }
2808 30073 : setlg(L, rel); return gc_GEN(ltop, L);
2809 : }
2810 :
2811 : static long
2812 63 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
2813 : {
2814 : struct pari_mt pt;
2815 63 : long i, j, nb = 0;
2816 63 : GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
2817 : mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
2818 63 : long running, pending = 0;
2819 63 : GEN W = zerovec(r->nbgen);
2820 63 : mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
2821 30459 : for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
2822 : {
2823 : GEN done;
2824 : long idx;
2825 30396 : mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(tr(i))): NULL);
2826 30396 : done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
2827 30396 : if (!done || lg(done)==1) continue;
2828 27636 : gel(W, idx+1) = done;
2829 27636 : nb += lg(done)-1;
2830 27636 : if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
2831 0 : err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
2832 : }
2833 63 : mt_queue_end(&pt);
2834 26362 : for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
2835 : {
2836 : long ll, m;
2837 26299 : GEN L = gel(W,j);
2838 26299 : if (isintzero(L)) continue;
2839 23681 : ll = lg(L);
2840 109669 : for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
2841 : {
2842 85988 : GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
2843 85988 : if (v[1] == 1)
2844 2163 : addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
2845 : else
2846 83825 : addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
2847 : }
2848 : }
2849 63 : return j;
2850 : }
2851 :
2852 : static GEN
2853 837 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
2854 : {
2855 837 : long prec = realprec(x);
2856 837 : GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
2857 837 : GEN u = gdiv(lx, ly);
2858 837 : return gpow(u, gneg(u),prec);
2859 : }
2860 :
2861 : struct computeG
2862 : {
2863 : GEN C;
2864 : long bnd, nbi;
2865 : };
2866 :
2867 : static GEN
2868 837 : _computeG(void *E, GEN gen)
2869 : {
2870 837 : struct computeG * d = (struct computeG *) E;
2871 837 : GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
2872 837 : return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmulgs(gaddgs(gen,d->nbi),3));
2873 : }
2874 :
2875 : static long
2876 63 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
2877 : {
2878 : struct computeG d;
2879 63 : d.C = shifti(C, 1);
2880 63 : d.bnd = bnd;
2881 63 : d.nbi = nbi;
2882 63 : return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
2883 : }
2884 :
2885 : static GEN
2886 1714 : _psi(void*E, GEN y)
2887 : {
2888 1714 : GEN lx = (GEN) E;
2889 1714 : long prec = realprec(lx);
2890 1714 : GEN ly = glog(y, prec);
2891 1714 : GEN u = gdiv(lx, ly);
2892 1714 : return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
2893 : }
2894 :
2895 : static GEN
2896 63 : opt_param(GEN x, long prec)
2897 : {
2898 63 : return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
2899 : }
2900 :
2901 : static GEN
2902 63 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
2903 : {
2904 63 : pari_sp av = avma;
2905 63 : long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
2906 63 : long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
2907 : for (;;)
2908 42 : {
2909 105 : GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
2910 : GEN tab;
2911 105 : long i, f=0;
2912 105 : long l = lg(K), lm = lgefint(m);
2913 105 : GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
2914 : pari_timer ti;
2915 105 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
2916 210 : for(i=1; i<l; i++)
2917 210 : if (signe(gel(K,i)))
2918 105 : break;
2919 105 : g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
2920 105 : tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
2921 105 : K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
2922 121520 : for(i=1; i<l; i++)
2923 : {
2924 121415 : GEN k = gel(K,i);
2925 121415 : GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,tr(i-(prmax+1)));
2926 121415 : if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
2927 82369 : gel(K,i) = cgetineg(lm);
2928 : else
2929 39046 : f++;
2930 : }
2931 105 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
2932 105 : if(f > (nbg>>1)) return gc_upto(av, K);
2933 10024 : for(i=1; i<=nbcol; i++)
2934 : {
2935 9982 : long a = 1+random_Fl(lM);
2936 9982 : swap(gel(M,a),gel(M,i));
2937 : }
2938 42 : if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
2939 : }
2940 : }
2941 :
2942 : static GEN
2943 126 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
2944 : {
2945 126 : pari_sp av=avma;
2946 126 : GEN aa = gen_1;
2947 126 : long AV = 0;
2948 : for(;;)
2949 0 : {
2950 126 : GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
2951 126 : GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
2952 126 : GEN Ao = gen_0;
2953 126 : long i, l = lg(F);
2954 807 : for(i=1; i<l; i++)
2955 : {
2956 681 : GEN Ki = gel(K,F[i]);
2957 681 : if (signe(Ki)<0) break;
2958 681 : Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
2959 : }
2960 126 : if (i==l) return Fp_divu(Ao, AV, m);
2961 0 : aa = gc_INT(av, aa);
2962 : }
2963 : }
2964 :
2965 : static GEN
2966 63 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
2967 : {
2968 63 : pari_sp av = avma, av2;
2969 63 : long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
2970 : GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
2971 : pari_timer ti;
2972 : struct Fp_log_rel r;
2973 63 : ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
2974 63 : ulong bnd = 4*bnds;
2975 63 : if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
2976 :
2977 63 : p_1 = subiu(p,1);
2978 63 : if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
2979 0 : m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
2980 63 : pr = primes_upto_zv(bnd);
2981 63 : nbi = lg(pr)-1;
2982 63 : C = sqrtremi(p, &c);
2983 63 : av2 = avma;
2984 12796 : for (i = 1; i <= nbi; ++i)
2985 : {
2986 12733 : ulong lp = pr[i];
2987 26894 : while (lp <= bnd)
2988 : {
2989 14161 : nbr++;
2990 14161 : lp *= pr[i];
2991 : }
2992 : }
2993 63 : pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2994 63 : Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2995 63 : ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2996 63 : sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
2997 12796 : for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
2998 : {
2999 12733 : ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
3000 26894 : while (lp <= bnd)
3001 : {
3002 14161 : pi[j] = lp;
3003 14161 : Ci[j] = umodiu(C, lp);
3004 14161 : ci[j] = umodiu(c, lp);
3005 14161 : sz[j] = sp;
3006 14161 : lp *= pr[i];
3007 14161 : j++;
3008 : }
3009 : }
3010 63 : r.nbrel = 0;
3011 63 : r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
3012 63 : r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
3013 63 : r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
3014 63 : r.prmax = pr[nbi];
3015 63 : if (DEBUGLEVEL)
3016 : {
3017 0 : err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
3018 0 : timer_start(&ti);
3019 : }
3020 63 : nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
3021 63 : nbrow = r.prmax + nbg;
3022 63 : if (DEBUGLEVEL)
3023 : {
3024 0 : err_printf("\n");
3025 0 : timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
3026 : }
3027 63 : setlg(r.rel,r.nbrel+1);
3028 63 : r.rel = gc_GEN(av2, r.rel);
3029 63 : K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
3030 63 : if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
3031 63 : Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
3032 63 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
3033 63 : Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
3034 63 : if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
3035 63 : d = gcdii(Ao,Bo);
3036 63 : l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
3037 63 : if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
3038 63 : return gc_INT(av, l);
3039 : }
3040 :
3041 : static int
3042 4666023 : Fp_log_use_index(long e, long p)
3043 : {
3044 4666023 : return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
3045 : }
3046 :
3047 : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
3048 : static GEN
3049 8466744 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
3050 : {
3051 8466744 : pari_sp av = avma;
3052 8466744 : GEN p = (GEN)E;
3053 : /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
3054 8466744 : if (equali1(a)) return gen_0;
3055 : /* p > 2 */
3056 5442377 : if (equalii(subiu(p,1), a)) /* -1 */
3057 : {
3058 : pari_sp av2;
3059 : GEN t;
3060 1324609 : ord = get_arith_Z(ord);
3061 1324609 : if (mpodd(ord)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC)); /* no solution */
3062 1324595 : t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
3063 1324595 : av2 = avma;
3064 1324595 : if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
3065 1324567 : set_avma(av2); return gc_INT(av, t);
3066 : }
3067 4117770 : if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
3068 63 : return Fp_log_index(a, g, ord, p);
3069 4117707 : return gc_NULL(av); /* not easy */
3070 : }
3071 :
3072 : GEN
3073 3928373 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
3074 : {
3075 3928373 : GEN v = get_arith_ZZM(ord);
3076 3928347 : GEN F = gmael(v,2,1);
3077 3928347 : long lF = lg(F)-1, lmax;
3078 3928347 : if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
3079 3928319 : lmax = expi(gel(F,lF));
3080 3928317 : if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
3081 91 : v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
3082 3928312 : return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
3083 : }
3084 :
3085 : /* assume !(p & HIGHMASK) */
3086 : static ulong
3087 132404 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
3088 : {
3089 132404 : ulong i, h=1;
3090 364416 : for (i = 0; i < ord; i++, h = (h * g) % p)
3091 364416 : if (a==h) return i;
3092 0 : return ~0UL;
3093 : }
3094 :
3095 : static ulong
3096 26212 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
3097 : {
3098 26212 : ulong i, h=1;
3099 65611 : for (i = 0; i < ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
3100 65611 : if (a==h) return i;
3101 0 : return ~0UL;
3102 : }
3103 :
3104 : static ulong
3105 0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
3106 : {
3107 0 : pari_sp av = avma;
3108 0 : GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
3109 0 : return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
3110 : }
3111 :
3112 : /* allow pi = 0 */
3113 : ulong
3114 26610 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
3115 : {
3116 26610 : if (!pi) return Fl_log(a, g, ord, p);
3117 26212 : if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
3118 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
3119 : }
3120 :
3121 : ulong
3122 132404 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
3123 : {
3124 132404 : if (ord <= 200)
3125 0 : return (p&HIGHMASK)? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
3126 132404 : : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
3127 0 : return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
3128 : }
3129 :
3130 : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
3131 : * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]). Destroys P/E */
3132 : static GEN
3133 126 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
3134 : {
3135 126 : long l = lg(P) - 1, e = E[l];
3136 126 : GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
3137 : GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
3138 :
3139 126 : if (l == 1) {
3140 98 : hpe = h;
3141 98 : gpe = g;
3142 : } else {
3143 28 : hpe = modii(h, pe);
3144 28 : gpe = modii(g, pe);
3145 : }
3146 126 : if (e == 1) {
3147 42 : hp = hpe;
3148 42 : gp = gpe;
3149 : } else {
3150 84 : hp = remii(hpe, p);
3151 84 : gp = remii(gpe, p);
3152 : }
3153 126 : if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
3154 105 : if (absequaliu(p, 2))
3155 : {
3156 35 : GEN n = int2n(e);
3157 35 : ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
3158 35 : a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
3159 35 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
3160 : }
3161 : else
3162 : { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
3163 : is trivial */
3164 : /* [order(gp), factor(order(gp))] */
3165 70 : GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
3166 70 : GEN ogp = gel(v,1);
3167 70 : if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
3168 70 : a = Fp_log(hp, gp, v, p);
3169 70 : if (typ(a) != t_INT) return NULL;
3170 70 : if (e == 1) ogpe = ogp;
3171 : else
3172 : { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
3173 : /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
3174 : long vpogpe, vpohpe;
3175 :
3176 28 : hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
3177 28 : gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
3178 : /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
3179 :
3180 : /* v_p(order g mod pe) */
3181 28 : vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
3182 : /* v_p(order h mod pe) */
3183 28 : vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
3184 28 : if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
3185 :
3186 28 : ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
3187 28 : if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
3188 28 : b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
3189 28 : a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
3190 : }
3191 : }
3192 : /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
3193 91 : if (l == 1) return a;
3194 :
3195 28 : N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
3196 28 : h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
3197 28 : g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
3198 28 : setlg(P, l); /* remove last element */
3199 28 : setlg(E, l);
3200 28 : b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
3201 28 : if (!b) return NULL;
3202 28 : return addmulii(a, b, ogpe);
3203 : }
3204 :
3205 : static GEN
3206 98 : get_PHI(GEN P, GEN E)
3207 : {
3208 98 : long i, l = lg(P);
3209 98 : GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
3210 98 : gel(PHI,1) = gen_1;
3211 126 : for (i=1; i<l-1; i++)
3212 : {
3213 28 : GEN t, p = gel(P,i);
3214 28 : long e = E[i];
3215 28 : t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
3216 28 : if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
3217 28 : gel(PHI,i+1) = t;
3218 : }
3219 98 : return PHI;
3220 : }
3221 :
3222 : GEN
3223 238 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
3224 : {
3225 238 : pari_sp av = avma;
3226 : GEN N, fa, P, E, x;
3227 238 : switch (typ(g))
3228 : {
3229 28 : case t_PADIC:
3230 : {
3231 28 : GEN p = padic_p(g);
3232 28 : long v = valp(g);
3233 28 : if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
3234 28 : if (v > 0) {
3235 0 : long k = gvaluation(h, p);
3236 0 : if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
3237 0 : k /= v;
3238 0 : if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
3239 0 : return gc_stoi(av, k);
3240 : }
3241 28 : N = padic_pd(g);
3242 28 : g = Rg_to_Fp(g, N);
3243 28 : break;
3244 : }
3245 203 : case t_INTMOD:
3246 203 : N = gel(g,1);
3247 203 : g = gel(g,2); break;
3248 7 : default: pari_err_TYPE("znlog", g);
3249 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3250 : }
3251 231 : if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
3252 231 : h = Rg_to_Fp(h, N);
3253 224 : if (o) return gc_upto(av, Fp_log(h, g, o, N));
3254 98 : fa = Z_factor(N);
3255 98 : P = gel(fa,1);
3256 98 : E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
3257 98 : x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
3258 98 : if (!x) retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC));
3259 63 : return gc_INT(av, x);
3260 : }
3261 :
3262 : GEN
3263 173541 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
3264 : {
3265 173541 : if (lgefint(p)==3)
3266 : {
3267 172921 : long nn = itos_or_0(n);
3268 172921 : if (nn)
3269 : {
3270 172921 : ulong pp = p[2];
3271 : ulong uz;
3272 172921 : ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
3273 172900 : if (r==ULONG_MAX) return NULL;
3274 172858 : if (zeta) *zeta = utoi(uz);
3275 172858 : return utoi(r);
3276 : }
3277 : }
3278 620 : a = modii(a,p);
3279 620 : if (!signe(a))
3280 : {
3281 0 : if (zeta) *zeta = gen_1;
3282 0 : if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
3283 0 : return gen_0;
3284 : }
3285 620 : if (absequaliu(n,2))
3286 : {
3287 420 : if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
3288 420 : return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
3289 : }
3290 200 : return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
3291 : }
3292 :
3293 : /*********************************************************************/
3294 : /** FACTORIAL **/
3295 : /*********************************************************************/
3296 : GEN
3297 90631 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
3298 : {
3299 90631 : pari_sp av = avma;
3300 : ulong k, l, N, n;
3301 : long lx;
3302 : GEN x;
3303 :
3304 90631 : if (!a) return gen_0;
3305 90631 : if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
3306 90631 : n = 1 + (b-a) / step;
3307 90631 : b -= (b-a) % step;
3308 90631 : if (n < 61)
3309 : {
3310 89255 : if (n == 1) return utoipos(a);
3311 68717 : x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
3312 540850 : for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
3313 53949 : return gc_INT(av, x);
3314 : }
3315 : /* step | b-a */
3316 1376 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
3317 1377 : N = b + a;
3318 1377 : for (k = a;; k += step)
3319 : {
3320 227231 : l = N - k; if (l <= k) break;
3321 225854 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
3322 : }
3323 1377 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
3324 1377 : setlg(x, lx);
3325 1377 : return gc_INT(av, ZV_prod(x));
3326 : }
3327 : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b [ note: factoring out powers of 2
3328 : * first is slower ... ] */
3329 : GEN
3330 159094 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
3331 : {
3332 159094 : pari_sp av = avma;
3333 : ulong k, l, N, n;
3334 : long lx;
3335 : GEN x;
3336 :
3337 159094 : if (!a) return gen_0;
3338 159094 : n = b - a + 1;
3339 159094 : if (n < 61)
3340 : {
3341 158359 : if (n == 1) return utoipos(a);
3342 107889 : x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
3343 405654 : for (k=a+2; k<b; k++) x = mului(k,x);
3344 : /* avoid k <= b: broken if b = ULONG_MAX */
3345 93791 : return gc_INT(av, mului(b,x));
3346 : }
3347 735 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
3348 735 : N = b + a;
3349 735 : for (k = a;; k++)
3350 : {
3351 29974 : l = N - k; if (l <= k) break;
3352 29239 : gel(x,lx++) = muluu(k,l);
3353 : }
3354 735 : if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
3355 735 : setlg(x, lx);
3356 735 : return gc_INT(av, ZV_prod(x));
3357 : }
3358 : GEN
3359 623 : muls_interval(long a, long b)
3360 : {
3361 623 : pari_sp av = avma;
3362 623 : long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
3363 : GEN x;
3364 :
3365 623 : if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
3366 350 : if (n < 61)
3367 : {
3368 350 : x = stoi(a);
3369 574 : for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
3370 350 : return gc_INT(av, x);
3371 : }
3372 0 : lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
3373 0 : N = b + a;
3374 0 : for (k = a;; k++)
3375 : {
3376 0 : l = N - k; if (l <= k) break;
3377 0 : gel(x,lx++) = mulss(k,l);
3378 : }
3379 0 : if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
3380 0 : setlg(x, lx);
3381 0 : return gc_INT(av, ZV_prod(x));
3382 : }
3383 :
3384 : GEN
3385 105 : mpprimorial(long n)
3386 : {
3387 105 : pari_sp av = avma;
3388 105 : if (n <= 12) switch(n)
3389 : {
3390 14 : case 0: case 1: return gen_1;
3391 7 : case 2: return gen_2;
3392 14 : case 3: case 4: return utoipos(6);
3393 14 : case 5: case 6: return utoipos(30);
3394 28 : case 7: case 8: case 9: case 10: return utoipos(210);
3395 14 : case 11: case 12: return utoipos(2310);
3396 7 : default: pari_err_DOMAIN("primorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
3397 : }
3398 7 : return gc_INT(av, zv_prod_Z(primes_upto_zv(n)));
3399 : }
3400 :
3401 : GEN
3402 496570 : mpfact(long n)
3403 : {
3404 496570 : pari_sp av = avma;
3405 : GEN a, v;
3406 : long k;
3407 496570 : if (n <= 12) switch(n)
3408 : {
3409 428675 : case 0: case 1: return gen_1;
3410 24317 : case 2: return gen_2;
3411 3388 : case 3: return utoipos(6);
3412 4145 : case 4: return utoipos(24);
3413 2887 : case 5: return utoipos(120);
3414 2556 : case 6: return utoipos(720);
3415 2448 : case 7: return utoipos(5040);
3416 2437 : case 8: return utoipos(40320);
3417 2458 : case 9: return utoipos(362880);
3418 2694 : case 10:return utoipos(3628800);
3419 1409 : case 11:return utoipos(39916800);
3420 576 : case 12:return utoipos(479001600);
3421 0 : default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
3422 : }
3423 18581 : v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
3424 18556 : for (k = 1;; k++)
3425 86848 : {
3426 105404 : long m = n >> (k-1), l;
3427 105404 : if (m <= 2) break;
3428 86823 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
3429 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, n / 2^(k-1)] */
3430 86823 : a = mulu_interval_step(l, m, 2);
3431 86837 : gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
3432 : }
3433 86860 : a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
3434 18582 : a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
3435 18580 : return gc_INT(av, a);
3436 : }
3437 :
3438 : ulong
3439 56843 : factorial_Fl(long n, ulong p)
3440 : {
3441 : long k;
3442 : ulong v;
3443 56843 : if (p <= (ulong)n) return 0;
3444 56843 : v = Fl_powu(2, factorial_lval(n, 2), p);
3445 56898 : for (k = 1;; k++)
3446 142600 : {
3447 199498 : long m = n >> (k-1), l, i;
3448 199498 : ulong a = 1;
3449 199498 : if (m <= 2) break;
3450 142612 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
3451 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
3452 781026 : for (i=l; i<=m; i+=2)
3453 638422 : a = Fl_mul(a, i, p);
3454 142604 : v = Fl_mul(v, k == 1? a: Fl_powu(a, k, p), p);
3455 : }
3456 56886 : return v;
3457 : }
3458 :
3459 : GEN
3460 382 : factorial_Fp(long n, GEN p)
3461 : {
3462 382 : pari_sp av = avma;
3463 : long k;
3464 382 : GEN v = Fp_powu(gen_2, factorial_lval(n, 2), p);
3465 382 : for (k = 1;; k++)
3466 1240 : {
3467 1622 : long m = n >> (k-1), l, i;
3468 1622 : GEN a = gen_1;
3469 1622 : if (m <= 2) break;
3470 1240 : l = (1 + (n >> k)) | 1;
3471 : /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
3472 7570 : for (i=l; i<=m; i+=2)
3473 6330 : a = Fp_mulu(a, i, p);
3474 1240 : v = Fp_mul(v, k == 1? a: Fp_powu(a, k, p), p);
3475 1240 : v = gc_INT(av, v);
3476 : }
3477 382 : return v;
3478 : }
3479 :
3480 : /*******************************************************************/
3481 : /** LUCAS & FIBONACCI **/
3482 : /*******************************************************************/
3483 : static void
3484 56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
3485 : {
3486 : GEN z, t, zt;
3487 56 : if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
3488 49 : lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
3489 49 : switch(n & 3) {
3490 14 : case 0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
3491 14 : case 1: *a = subiu(zt,1); *b = addiu(sqri(t),2); break;
3492 7 : case 2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
3493 14 : case 3: *a = addiu(zt,1); *b = subiu(sqri(t),2);
3494 : }
3495 : }
3496 :
3497 : GEN
3498 7 : fibo(long n)
3499 : {
3500 7 : pari_sp av = avma;
3501 : GEN a, b;
3502 7 : if (!n) return gen_0;
3503 7 : lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
3504 7 : a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
3505 7 : if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
3506 7 : return gc_INT(av, a);
3507 : }
3508 :
3509 : /*******************************************************************/
3510 : /* CONTINUED FRACTIONS */
3511 : /*******************************************************************/
3512 : static GEN
3513 3136994 : icopy_lg(GEN x, long l)
3514 : {
3515 3136994 : long lx = lgefint(x);
3516 : GEN y;
3517 :
3518 3136994 : if (lx >= l) return icopy(x);
3519 49 : y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
3520 : }
3521 :
3522 : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
3523 : * differ from y */
3524 : static GEN
3525 3137344 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
3526 : {
3527 : GEN z, c;
3528 3137344 : ulong i, l, ly = lgefint(b);
3529 :
3530 : /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 ) */
3531 3137344 : l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
3532 3137344 : if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
3533 3137344 : if (l > LGBITS) l = LGBITS;
3534 :
3535 3137344 : z = cgetg(l,t_VEC);
3536 3137344 : l--;
3537 3137344 : if (y) {
3538 350 : pari_sp av = avma;
3539 350 : if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
3540 25209 : for (i = 1; i <= l; i++)
3541 : {
3542 24985 : GEN q = gel(y,i);
3543 24985 : gel(z,i) = q;
3544 24985 : c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
3545 24985 : c = subii(a, c);
3546 24985 : if (signe(c) < 0)
3547 : { /* partial quotient too large */
3548 96 : c = addii(c, b);
3549 96 : if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
3550 96 : break;
3551 : }
3552 24889 : if (cmpii(c, b) >= 0)
3553 : { /* partial quotient too small */
3554 30 : c = subii(c, b);
3555 30 : if (cmpii(c, b) < 0) {
3556 : /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
3557 12 : if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
3558 12 : i++;
3559 : }
3560 30 : break;
3561 : }
3562 24859 : if ((i & 0xff) == 0) (void)gc_all(av, 2, &b, &c);
3563 24859 : a = b; b = c;
3564 : }
3565 : } else {
3566 3136994 : a = icopy_lg(a, ly);
3567 3136994 : b = icopy(b);
3568 24524282 : for (i = 1; i <= l; i++)
3569 : {
3570 24523964 : gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
3571 24523964 : if (c == gen_0) { i++; break; }
3572 21387288 : affii(c, a); cgiv(c); c = a;
3573 21387288 : a = b; b = c;
3574 : }
3575 : }
3576 3137344 : i--;
3577 3137344 : if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
3578 : {
3579 101 : cgiv(gel(z,i)); --i;
3580 101 : gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
3581 : }
3582 3137344 : setlg(z,i+1); return z;
3583 : }
3584 :
3585 : static GEN
3586 0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
3587 : {
3588 0 : long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
3589 : GEN y, c;
3590 0 : if (lg(b) > l) l = lg(b);
3591 0 : if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
3592 0 : y = cgetg(l,t_VEC);
3593 0 : for (i=1; i<l; i++)
3594 : {
3595 0 : gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
3596 0 : if (gequal0(c)) { i++; break; }
3597 0 : a = b; b = c;
3598 : }
3599 0 : setlg(y, i); return y;
3600 : }
3601 :
3602 : GEN
3603 3142307 : gboundcf(GEN x, long k)
3604 : {
3605 : pari_sp av;
3606 3142307 : long tx = typ(x), e;
3607 : GEN y, a, b, c;
3608 :
3609 3142307 : if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
3610 3142300 : if (is_scalar_t(tx))
3611 : {
3612 3142300 : if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
3613 3142181 : switch(tx)
3614 : {
3615 5180 : case t_INT: return mkveccopy(x);
3616 357 : case t_REAL:
3617 357 : av = avma;
3618 357 : c = mantissa_real(x,&e);
3619 357 : if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
3620 350 : y = int2n(e);
3621 350 : a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
3622 350 : b = addsi(signe(x), c);
3623 350 : return gc_GEN(av, Qsfcont(b,y, a, k));
3624 :
3625 3136644 : case t_FRAC:
3626 3136644 : av = avma;
3627 3136644 : return gc_upto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
3628 : }
3629 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
3630 : }
3631 :
3632 0 : switch(tx)
3633 : {
3634 0 : case t_POL: return mkveccopy(x);
3635 0 : case t_SER:
3636 0 : av = avma;
3637 0 : return gc_upto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
3638 0 : case t_RFRAC:
3639 0 : av = avma;
3640 0 : return gc_GEN(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
3641 : }
3642 0 : pari_err_TYPE("gboundcf",x);
3643 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3644 : }
3645 :
3646 : static GEN
3647 14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
3648 : {
3649 14 : pari_sp av = avma;
3650 14 : long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
3651 : GEN y,p1;
3652 :
3653 14 : if (k)
3654 : {
3655 7 : if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
3656 0 : lb = k+1;
3657 : }
3658 7 : y = cgetg(lb,t_VEC);
3659 7 : if (lb==1) return y;
3660 7 : if (is_scalar_t(tx))
3661 : {
3662 7 : if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
3663 : }
3664 0 : else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
3665 :
3666 7 : if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
3667 7 : for (i = 1;;)
3668 : {
3669 35 : if (tx == t_REAL)
3670 : {
3671 35 : long e = expo(x);
3672 35 : if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
3673 35 : gel(y,i) = floorr(x);
3674 35 : p1 = subri(x, gel(y,i));
3675 : }
3676 : else
3677 : {
3678 0 : gel(y,i) = gfloor(x);
3679 0 : p1 = gsub(x, gel(y,i));
3680 : }
3681 35 : if (++i >= lb) break;
3682 28 : if (gequal0(p1)) break;
3683 28 : x = gdiv(gel(b,i),p1);
3684 : }
3685 7 : setlg(y,i);
3686 7 : return gc_GEN(av,y);
3687 : }
3688 :
3689 : GEN
3690 126 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
3691 : GEN
3692 0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
3693 : GEN
3694 49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
3695 : {
3696 : long tb;
3697 :
3698 49 : if (!b) return gboundcf(x,nmax);
3699 28 : tb = typ(b);
3700 28 : if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
3701 21 : if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
3702 21 : if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
3703 14 : return sfcont2(b,x,nmax);
3704 : }
3705 :
3706 : GEN
3707 266 : contfracpnqn(GEN x, long n)
3708 : {
3709 266 : pari_sp av = avma;
3710 266 : long i, lx = lg(x);
3711 : GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
3712 :
3713 266 : if (lx == 1)
3714 : {
3715 28 : if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
3716 21 : if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
3717 7 : return matid(2);
3718 : }
3719 238 : switch(typ(x))
3720 : {
3721 196 : case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
3722 42 : case t_MAT:
3723 42 : switch(lgcols(x))
3724 : {
3725 0 : case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
3726 35 : case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
3727 7 : default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
3728 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3729 : }
3730 35 : break;
3731 0 : default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
3732 : return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
3733 : }
3734 231 : p1 = gel(A,1);
3735 231 : q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
3736 231 : if (n >= 0)
3737 : {
3738 196 : lx = minss(lx, n+2);
3739 196 : if (lx == 2) return gc_GEN(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
3740 : }
3741 35 : else if (lx == 2)
3742 7 : return gc_GEN(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
3743 : /* lx >= 3 */
3744 119 : p0 = gen_1;
3745 119 : q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
3746 119 : M = cgetg(lx, t_MAT);
3747 119 : gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
3748 399 : for (i=2; i<lx; i++)
3749 : {
3750 280 : GEN a = gel(A,i), p2,q2;
3751 280 : if (B) {
3752 84 : GEN b = gel(B,i);
3753 84 : p0 = gmul(b,p0);
3754 84 : q0 = gmul(b,q0);
3755 : }
3756 280 : p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
3757 280 : q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
3758 280 : gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
3759 : }
3760 119 : if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
3761 119 : return gc_GEN(av, M);
3762 : }
3763 : GEN
3764 0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
3765 : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
3766 : * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
3767 : GEN
3768 894782 : ZV_allpnqn(GEN x)
3769 : {
3770 894782 : long i, lx = lg(x);
3771 894782 : GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
3772 :
3773 894782 : gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
3774 894782 : gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
3775 894782 : p0 = gen_1; q0 = gen_0;
3776 894782 : gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
3777 3106138 : for (i=2; i<lx; i++)
3778 : {
3779 2211356 : GEN a = gel(x,i);
3780 2211356 : gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
3781 2211356 : gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
3782 : }
3783 894782 : return v;
3784 : }
3785 :
3786 : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
3787 : static GEN
3788 42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
3789 : {
3790 : GEN a, b, A;
3791 42 : if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
3792 : else
3793 : {
3794 14 : A = sqrti(shifti(N, -1));
3795 14 : B = A;
3796 : }
3797 42 : if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
3798 28 : return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
3799 : }
3800 :
3801 : static GEN
3802 112 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
3803 : {
3804 : GEN a, b;
3805 112 : long A, d = degpol(N);
3806 112 : if (B >= 0) A = d-1 - B;
3807 : else
3808 : {
3809 42 : B = d >> 1;
3810 42 : A = odd(d)? B : B-1;
3811 : }
3812 112 : if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
3813 112 : if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
3814 91 : return gdiv(a,b);
3815 : }
3816 :
3817 : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
3818 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
3819 : static GEN
3820 7 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
3821 : {
3822 : pari_sp av;
3823 : GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
3824 :
3825 7 : if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
3826 0 : av = avma; y = x;
3827 0 : p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
3828 0 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
3829 0 : x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
3830 : for(;;)
3831 : {
3832 0 : x = ginv(x); /* > 1 */
3833 0 : a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
3834 0 : if (cmpii(a,k) > 0)
3835 : { /* next partial quotient will overflow limits */
3836 : GEN n, d;
3837 0 : a = divii(subii(k, q1), q0);
3838 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3839 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3840 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
3841 0 : n = gel(y,1);
3842 0 : d = gel(y,2);
3843 0 : if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
3844 : mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
3845 0 : { p1 = p0; q1 = q0; }
3846 0 : break;
3847 : }
3848 0 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3849 0 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3850 :
3851 0 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
3852 0 : x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
3853 0 : if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
3854 :
3855 : }
3856 0 : return gc_upto(av, gdiv(p1,q1));
3857 : }
3858 : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
3859 : * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
3860 : static GEN
3861 1248228 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
3862 : {
3863 1248228 : pari_sp av = avma;
3864 1248228 : GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
3865 :
3866 1248228 : p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
3867 1248194 : q1 = gen_0; q0 = gen_1;
3868 1248194 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
3869 1248219 : if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
3870 1130901 : kr = itor(k, realprec(x));
3871 : for(;;)
3872 1213558 : {
3873 : long d;
3874 2344462 : x = invr(x); /* > 1 */
3875 2344414 : if (cmprr(x,kr) > 0)
3876 : { /* next partial quotient will overflow limits */
3877 1109247 : a = divii(subii(k, q1), q0);
3878 1109228 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3879 1109246 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3880 : /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
3881 1109225 : if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
3882 : mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
3883 125559 : { p1 = p0; q1 = q0; }
3884 1109251 : break;
3885 : }
3886 1235203 : d = nbits2prec(expo(x) + 1);
3887 1235203 : if (d > realprec(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
3888 :
3889 1235013 : a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
3890 1234994 : p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
3891 1235005 : q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
3892 :
3893 1234997 : if (cmpii(q0,k) > 0) break;
3894 1228741 : x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
3895 1228745 : if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
3896 : }
3897 1130883 : if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
3898 1130883 : return gc_GEN(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
3899 : }
3900 :
3901 : /* k t_INT or NULL */
3902 : static GEN
3903 2245481 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
3904 : {
3905 2245481 : long lx, tx = typ(x), i;
3906 : GEN a, y;
3907 :
3908 2245481 : switch(tx)
3909 : {
3910 154 : case t_INT: return icopy(x);
3911 7 : case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
3912 1500431 : case t_REAL:
3913 1500431 : if (!signe(x)) return gen_0;
3914 : /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
3915 1248217 : i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
3916 1248228 : return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
3917 :
3918 28 : case t_INTMOD: {
3919 28 : pari_sp av = avma;
3920 28 : a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
3921 21 : return gc_GEN(av, a);
3922 : }
3923 14 : case t_PADIC: {
3924 14 : pari_sp av = avma;
3925 14 : long v = valp(x);
3926 14 : a = mod_to_frac(padic_u(x), padic_pd(x), k); if (!a) return NULL;
3927 7 : if (v) a = gmul(a, powis(padic_p(x), v));
3928 7 : return gc_GEN(av, a);
3929 : }
3930 :
3931 5453 : case t_COMPLEX: {
3932 5453 : pari_sp av = avma;
3933 5453 : y = cgetg(3, t_COMPLEX);
3934 5453 : gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
3935 5453 : gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
3936 5453 : if (gequal0(gel(y,2))) return gc_upto(av, gel(y,1));
3937 91 : return y;
3938 : }
3939 0 : case t_SER:
3940 0 : if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
3941 : /* fall through */
3942 : case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
3943 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
3944 739394 : y = cgetg_copy(x, &lx);
3945 739433 : for(i = 1; i < lontyp[tx]; i++) y[i] = x[i];
3946 2880047 : for (; i < lx; i++)
3947 : {
3948 2140637 : a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
3949 2140628 : gel(y,i) = a;
3950 : }
3951 739410 : if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
3952 739396 : if (tx == t_SER) return normalizeser(y);
3953 739396 : return y;
3954 : }
3955 0 : pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
3956 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
3957 : }
3958 :
3959 : static GEN
3960 98 : bestappr_ser(GEN x, long B)
3961 : {
3962 98 : long dN, v = valser(x), lx = lg(x);
3963 : GEN t;
3964 98 : x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
3965 98 : dN = lx-2;
3966 98 : if (v > 0)
3967 : {
3968 21 : x = RgX_shift_shallow(x, v);
3969 21 : dN += v;
3970 : }
3971 77 : else if (v < 0)
3972 : {
3973 14 : if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
3974 : }
3975 98 : t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
3976 98 : if (!t) return NULL;
3977 77 : if (v < 0)
3978 : {
3979 : GEN a, b;
3980 : long vx;
3981 14 : if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
3982 : /* t_RFRAC */
3983 14 : vx = varn(x);
3984 14 : a = gel(t,1);
3985 14 : b = gel(t,2);
3986 14 : v -= RgX_valrem(b, &b);
3987 14 : if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
3988 14 : if (v < 0) b = RgX_shift_shallow(b, -v);
3989 0 : else if (v > 0) {
3990 0 : if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
3991 0 : a = RgX_shift_shallow(a, v);
3992 : }
3993 14 : t = mkrfraccopy(a, b);
3994 : }
3995 77 : return t;
3996 : }
3997 : static GEN
3998 42 : gc_empty(pari_sp av) { retgc_const(av, cgetg(1, t_VEC)); }
3999 : static GEN
4000 112 : _gc_upto(pari_sp av, GEN x) { return x? gc_upto(av, x): NULL; }
4001 :
4002 : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
4003 : /* B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
4004 : * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b ~ x */
4005 : static GEN
4006 119 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
4007 : {
4008 : pari_sp av;
4009 119 : switch(typ(x))
4010 : {
4011 0 : case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC: case t_FFELT:
4012 : case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
4013 0 : return gcopy(x);
4014 14 : case t_RFRAC:
4015 14 : if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
4016 7 : av = avma; return _gc_upto(av, bestappr_ser(rfrac_to_ser_i(x, 2*B+1), B));
4017 14 : case t_POLMOD:
4018 14 : av = avma; return _gc_upto(av, mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B));
4019 91 : case t_SER:
4020 91 : av = avma; return _gc_upto(av, bestappr_ser(x, B));
4021 0 : case t_VEC: case t_COL: case t_MAT: {
4022 : long i, lx;
4023 0 : GEN y = cgetg_copy(x, &lx);
4024 0 : for (i = 1; i < lx; i++)
4025 : {
4026 0 : GEN t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
4027 0 : gel(y,i) = t;
4028 : }
4029 0 : return y;
4030 : }
4031 : }
4032 0 : pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
4033 : return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
4034 : }
4035 :
4036 : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
4037 : GEN
4038 104848 : bestappr(GEN x, GEN k)
4039 : {
4040 104848 : pari_sp av = avma;
4041 104848 : if (k) { /* replace by floor(k) */
4042 104526 : switch(typ(k))
4043 : {
4044 33026 : case t_INT:
4045 33026 : break;
4046 71500 : case t_REAL: case t_FRAC:
4047 71500 : k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
4048 71499 : if (!signe(k)) k = gen_1;
4049 71499 : break;
4050 0 : default:
4051 0 : pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
4052 0 : break;
4053 : }
4054 : }
4055 104847 : x = bestappr_Q(x, k);
4056 104847 : return x? x: gc_empty(av);
4057 : }
4058 : GEN
4059 119 : bestapprPade(GEN x, long B)
4060 : {
4061 119 : pari_sp av = avma;
4062 119 : GEN t = bestappr_RgX(x, B);
4063 119 : return t? t: gc_empty(av);
4064 : }
4065 :
4066 : static GEN
4067 49 : serPade(GEN S, long p, long q)
4068 : {
4069 49 : pari_sp av = avma;
4070 49 : long va, v, t = typ(S);
4071 49 : if (t!=t_SER && t!=t_POL && t!=t_RFRAC) pari_err_TYPE("bestapprPade", S);
4072 49 : va = gvar(S); v = gvaluation(S, pol_x(va));
4073 49 : if (p < 0) pari_err_DOMAIN("bestapprPade", "p", "<", gen_0, stoi(p));
4074 49 : if (q < 0) pari_err_DOMAIN("bestapprPade", "q", "<", gen_0, stoi(q));
4075 49 : if (v == LONG_MAX) return gc_empty(av);
4076 42 : S = gadd(S, zeroser(va, p + q + 1 + v));
4077 42 : return gc_upto(av, bestapprPade(S, q));
4078 : }
4079 :
4080 : GEN
4081 126 : bestapprPade0(GEN x, long p, long q)
4082 : {
4083 77 : return (p >= 0 && q >= 0)? serPade(x, p, q)
4084 203 : : bestapprPade(x, p >= 0? p: q);
4085 : }
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