Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - arith1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.1 lcov report (development 25819-e703fe1174) Lines: 3166 3418 92.6 %
Date: 2020-09-18 06:10:04 Functions: 282 300 94.0 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /*********************************************************************/
      15             : /**                                                                 **/
      16             : /**                     ARITHMETIC FUNCTIONS                        **/
      17             : /**                         (first part)                            **/
      18             : /**                                                                 **/
      19             : /*********************************************************************/
      20             : #include "pari.h"
      21             : #include "paripriv.h"
      22             : 
      23             : /******************************************************************/
      24             : /*                                                                */
      25             : /*                 GENERATOR of (Z/mZ)*                           */
      26             : /*                                                                */
      27             : /******************************************************************/
      28             : static GEN
      29          79 : remove2(GEN q) { long v = vali(q); return v? shifti(q, -v): q; }
      30             : static ulong
      31       57017 : u_remove2(ulong q) { return q >> vals(q); }
      32             : GEN
      33          79 : odd_prime_divisors(GEN q) { return gel(Z_factor(remove2(q)), 1); }
      34             : static GEN
      35       57017 : u_odd_prime_divisors(ulong q) { return gel(factoru(u_remove2(q)), 1); }
      36             : /* p odd prime, q=(p-1)/2; L0 list of (some) divisors of q = (p-1)/2 or NULL
      37             :  * (all prime divisors of q); return the q/l, l in L0 */
      38             : static GEN
      39         345 : is_gener_expo(GEN p, GEN L0)
      40             : {
      41         345 :   GEN L, q = shifti(p,-1);
      42             :   long i, l;
      43         345 :   if (L0) {
      44         303 :     l = lg(L0);
      45         303 :     L = cgetg(l, t_VEC);
      46             :   } else {
      47          42 :     L0 = L = odd_prime_divisors(q);
      48          42 :     l = lg(L);
      49             :   }
      50         516 :   for (i=1; i<l; i++) gel(L,i) = diviiexact(q, gel(L0,i));
      51         345 :   return L;
      52             : }
      53             : static GEN
      54       56819 : u_is_gener_expo(ulong p, GEN L0)
      55             : {
      56       56819 :   const ulong q = p >> 1;
      57             :   long i;
      58             :   GEN L;
      59       56819 :   if (!L0) L0 = u_odd_prime_divisors(q);
      60       56819 :   L = cgetg_copy(L0,&i);
      61      139533 :   while (--i) L[i] = q / uel(L0,i);
      62       56819 :   return L;
      63             : }
      64             : 
      65             : int
      66      151694 : is_gener_Fl(ulong x, ulong p, ulong p_1, GEN L)
      67             : {
      68             :   long i;
      69      151694 :   if (krouu(x, p) >= 0) return 0;
      70      159408 :   for (i=lg(L)-1; i; i--)
      71             :   {
      72       99491 :     ulong t = Fl_powu(x, uel(L,i), p);
      73       99491 :     if (t == p_1 || t == 1) return 0;
      74             :   }
      75       59917 :   return 1;
      76             : }
      77             : /* assume p prime */
      78             : ulong
      79      187843 : pgener_Fl_local(ulong p, GEN L0)
      80             : {
      81      187843 :   const pari_sp av = avma;
      82      187843 :   const ulong p_1 = p-1;
      83             :   long x;
      84             :   GEN L;
      85      187843 :   if (p <= 19) switch(p)
      86             :   { /* quick trivial cases */
      87          21 :     case 2:  return 1;
      88       25494 :     case 7:
      89       25494 :     case 17: return 3;
      90      105539 :     default: return 2;
      91             :   }
      92       56789 :   L = u_is_gener_expo(p,L0);
      93       56789 :   for (x = 2;; x++)
      94      147003 :     if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L)) return gc_ulong(av, x);
      95             : }
      96             : ulong
      97      146099 : pgener_Fl(ulong p) { return pgener_Fl_local(p, NULL); }
      98             : 
      99             : /* L[i] = set of (p-1)/2l, l ODD prime divisor of p-1 (l=2 can be included,
     100             :  * but wasteful) */
     101             : int
     102         909 : is_gener_Fp(GEN x, GEN p, GEN p_1, GEN L)
     103             : {
     104         909 :   long i, t = lgefint(x)==3? kroui(x[2], p): kronecker(x, p);
     105         909 :   if (t >= 0) return 0;
     106        1036 :   for (i = lg(L)-1; i; i--)
     107             :   {
     108         603 :     GEN t = Fp_pow(x, gel(L,i), p);
     109         603 :     if (equalii(t, p_1) || equali1(t)) return 0;
     110             :   }
     111         433 :   return 1;
     112             : }
     113             : 
     114             : /* assume p prime, return a generator of all L[i]-Sylows in F_p^*. */
     115             : GEN
     116       42952 : pgener_Fp_local(GEN p, GEN L0)
     117             : {
     118       42952 :   pari_sp av0 = avma;
     119             :   GEN x, p_1, L;
     120       42952 :   if (lgefint(p) == 3)
     121             :   {
     122             :     ulong z;
     123       42612 :     if (p[2] == 2) return gen_1;
     124       33183 :     if (L0) L0 = ZV_to_nv(L0);
     125       33183 :     z = pgener_Fl_local(uel(p,2), L0);
     126       33183 :     set_avma(av0); return utoipos(z);
     127             :   }
     128         340 :   p_1 = subiu(p,1); L = is_gener_expo(p, L0);
     129         340 :   x = utoipos(2);
     130         745 :   for (;; x[2]++) { if (is_gener_Fp(x, p, p_1, L)) break; }
     131         340 :   set_avma(av0); return utoipos(uel(x,2));
     132             : }
     133             : 
     134             : GEN
     135       38430 : pgener_Fp(GEN p) { return pgener_Fp_local(p, NULL); }
     136             : 
     137             : ulong
     138      110658 : pgener_Zl(ulong p)
     139             : {
     140      110658 :   if (p == 2) pari_err_DOMAIN("pgener_Zl","p","=",gen_2,gen_2);
     141             :   /* only p < 2^32 such that znprimroot(p) != znprimroot(p^2) */
     142      110658 :   if (p == 40487) return 10;
     143             : #ifndef LONG_IS_64BIT
     144       15804 :   return pgener_Fl(p);
     145             : #else
     146       94854 :   if (p < (1UL<<32)) return pgener_Fl(p);
     147             :   else
     148             :   {
     149          30 :     const pari_sp av = avma;
     150          30 :     const ulong p_1 = p-1;
     151             :     long x ;
     152          30 :     GEN p2 = sqru(p), L = u_is_gener_expo(p, NULL);
     153          30 :     for (x=2;;x++)
     154         102 :       if (is_gener_Fl(x,p,p_1,L) && !is_pm1(Fp_powu(utoipos(x),p_1,p2)))
     155          30 :         return gc_ulong(av, x);
     156             :   }
     157             : #endif
     158             : }
     159             : 
     160             : /* p prime. Return a primitive root modulo p^e, e > 1 */
     161             : GEN
     162      110663 : pgener_Zp(GEN p)
     163             : {
     164      110663 :   if (lgefint(p) == 3) return utoipos(pgener_Zl(p[2]));
     165             :   else
     166             :   {
     167           5 :     const pari_sp av = avma;
     168           5 :     GEN p_1 = subiu(p,1), p2 = sqri(p), L = is_gener_expo(p,NULL);
     169           5 :     GEN x = utoipos(2);
     170          12 :     for (;; x[2]++)
     171          17 :       if (is_gener_Fp(x,p,p_1,L) && !equali1(Fp_pow(x,p_1,p2))) break;
     172           5 :     set_avma(av); return utoipos(uel(x,2));
     173             :   }
     174             : }
     175             : 
     176             : static GEN
     177         231 : gener_Zp(GEN q, GEN F)
     178             : {
     179         231 :   GEN p = NULL;
     180         231 :   long e = 0;
     181         231 :   if (F)
     182             :   {
     183          14 :     GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
     184          14 :     long i, l = lg(P);
     185          42 :     for (i = 1; i < l; i++)
     186             :     {
     187          28 :       p = gel(P,i);
     188          28 :       if (absequaliu(p, 2)) continue;
     189          14 :       if (i < l-1) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     190          14 :       e = itos(gel(E,i));
     191             :     }
     192          14 :     if (!p) pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",F,F);
     193             :   }
     194             :   else
     195         217 :     e = Z_isanypower(q, &p);
     196         231 :   return e > 1? pgener_Zp(p): pgener_Fp(q);
     197             : }
     198             : 
     199             : GEN
     200         301 : znprimroot(GEN N)
     201             : {
     202         301 :   pari_sp av = avma;
     203             :   GEN x, n, F;
     204             : 
     205         301 :   if ((F = check_arith_non0(N,"znprimroot")))
     206             :   {
     207          14 :     F = clean_Z_factor(F);
     208          14 :     N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(F);
     209             :   }
     210         294 :   N = absi_shallow(N);
     211         294 :   if (abscmpiu(N, 4) <= 0) { set_avma(av); return mkintmodu(N[2]-1,N[2]); }
     212         245 :   switch(mod4(N))
     213             :   {
     214          14 :     case 0: /* N = 0 mod 4 */
     215          14 :       pari_err_DOMAIN("znprimroot", "argument","=",N,N);
     216           0 :       x = NULL; break;
     217          21 :     case 2: /* N = 2 mod 4 */
     218          21 :       n = shifti(N,-1); /* becomes odd */
     219          21 :       x = gener_Zp(n,F); if (!mod2(x)) x = addii(x,n);
     220          21 :       break;
     221         210 :     default: /* N odd */
     222         210 :       x = gener_Zp(N,F);
     223         210 :       break;
     224             :   }
     225         231 :   return gerepilecopy(av, mkintmod(x, N));
     226             : }
     227             : 
     228             : /* n | (p-1), returns a primitive n-th root of 1 in F_p^* */
     229             : GEN
     230           0 : rootsof1_Fp(GEN n, GEN p)
     231             : {
     232           0 :   pari_sp av = avma;
     233           0 :   GEN L = odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     234           0 :   GEN z = pgener_Fp_local(p, L);
     235           0 :   z = Fp_pow(z, diviiexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     236           0 :   return gerepileuptoint(av, z);
     237             : }
     238             : 
     239             : GEN
     240         217 : rootsof1u_Fp(ulong n, GEN p)
     241             : {
     242         217 :   pari_sp av = avma;
     243         217 :   GEN z, L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fp_local */
     244         217 :   z = pgener_Fp_local(p, Flv_to_ZV(L));
     245         217 :   z = Fp_pow(z, diviuexact(subiu(p,1), n), p); /* prim. n-th root of 1 */
     246         217 :   return gerepileuptoint(av, z);
     247             : }
     248             : 
     249             : ulong
     250        6587 : rootsof1_Fl(ulong n, ulong p)
     251             : {
     252        6587 :   pari_sp av = avma;
     253        6587 :   GEN L = u_odd_prime_divisors(n); /* 2 implicit in pgener_Fl_local */
     254        6587 :   ulong z = pgener_Fl_local(p, L);
     255        6587 :   z = Fl_powu(z, (p-1) / n, p); /* prim. n-th root of 1 */
     256        6587 :   return gc_ulong(av,z);
     257             : }
     258             : 
     259             : /*********************************************************************/
     260             : /**                                                                 **/
     261             : /**                     INVERSE TOTIENT FUNCTION                    **/
     262             : /**                                                                 **/
     263             : /*********************************************************************/
     264             : /* N t_INT, L a ZV containing all prime divisors of N, and possibly other
     265             :  * primes. Return factor(N) */
     266             : GEN
     267      350651 : Z_factor_listP(GEN N, GEN L)
     268             : {
     269      350651 :   long i, k, l = lg(L);
     270      350651 :   GEN P = cgetg(l, t_COL), E = cgetg(l, t_COL);
     271     1346688 :   for (i = k = 1; i < l; i++)
     272             :   {
     273      996037 :     GEN p = gel(L,i);
     274      996037 :     long v = Z_pvalrem(N, p, &N);
     275      996037 :     if (v)
     276             :     {
     277      792176 :       gel(P,k) = p;
     278      792176 :       gel(E,k) = utoipos(v);
     279      792176 :       k++;
     280             :     }
     281             :   }
     282      350651 :   setlg(P, k);
     283      350651 :   setlg(E, k); return mkmat2(P,E);
     284             : }
     285             : 
     286             : /* look for x such that phi(x) = n, p | x => p > m (if m = NULL: no condition).
     287             :  * L is a list of primes containing all prime divisors of n. */
     288             : static long
     289      621565 : istotient_i(GEN n, GEN m, GEN L, GEN *px)
     290             : {
     291      621565 :   pari_sp av = avma, av2;
     292             :   GEN k, D;
     293             :   long i, v;
     294      621565 :   if (m && mod2(n))
     295             :   {
     296      270914 :     if (!equali1(n)) return 0;
     297       69986 :     if (px) *px = gen_1;
     298       69986 :     return 1;
     299             :   }
     300      350651 :   D = divisors(Z_factor_listP(shifti(n, -1), L));
     301             :   /* loop through primes p > m, d = p-1 | n */
     302      350651 :   av2 = avma;
     303      350651 :   if (!m)
     304             :   { /* special case p = 2, d = 1 */
     305       69986 :     k = n;
     306       69986 :     for (v = 1;; v++) {
     307       69986 :       if (istotient_i(k, gen_2, L, px)) {
     308       69986 :         if (px) *px = shifti(*px, v);
     309       69986 :         return 1;
     310             :       }
     311           0 :       if (mod2(k)) break;
     312           0 :       k = shifti(k,-1);
     313             :     }
     314           0 :     set_avma(av2);
     315             :   }
     316     1099462 :   for (i = 1; i < lg(D); ++i)
     317             :   {
     318     1001588 :     GEN p, d = shifti(gel(D, i), 1); /* even divisors of n */
     319     1001588 :     if (m && cmpii(d, m) < 0) continue;
     320      677782 :     p = addiu(d, 1);
     321      677782 :     if (!isprime(p)) continue;
     322      442064 :     k = diviiexact(n, d);
     323      481593 :     for (v = 1;; v++) {
     324             :       GEN r;
     325      481593 :       if (istotient_i(k, p, L, px)) {
     326      182791 :         if (px) *px = mulii(*px, powiu(p, v));
     327      182791 :         return 1;
     328             :       }
     329      298802 :       k = dvmdii(k, p, &r);
     330      298802 :       if (r != gen_0) break;
     331             :     }
     332      259273 :     set_avma(av2);
     333             :   }
     334       97874 :   return gc_long(av,0);
     335             : }
     336             : 
     337             : /* find x such that phi(x) = n */
     338             : long
     339       70000 : istotient(GEN n, GEN *px)
     340             : {
     341       70000 :   pari_sp av = avma;
     342       70000 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("istotient", n);
     343       70000 :   if (signe(n) < 1) return 0;
     344       70000 :   if (mod2(n))
     345             :   {
     346          14 :     if (!equali1(n)) return 0;
     347          14 :     if (px) *px = gen_1;
     348          14 :     return 1;
     349             :   }
     350       69986 :   if (istotient_i(n, NULL, gel(Z_factor(n), 1), px))
     351             :   {
     352       69986 :     if (!px) set_avma(av);
     353             :     else
     354       69986 :       *px = gerepileuptoint(av, *px);
     355       69986 :     return 1;
     356             :   }
     357           0 :   return gc_long(av,0);
     358             : }
     359             : 
     360             : /*********************************************************************/
     361             : /**                                                                 **/
     362             : /**                     INTEGRAL LOGARITHM                          **/
     363             : /**                                                                 **/
     364             : /*********************************************************************/
     365             : 
     366             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     367             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     368             : long
     369      308468 : ulogintall(ulong B, ulong y, ulong *ptq)
     370             : {
     371             :   ulong r, r2;
     372             :   long e;
     373             : 
     374      308468 :   if (y == 2)
     375             :   {
     376        7896 :     long eB = expu(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     377        7896 :     if (ptq) *ptq = 1UL << eB;
     378        7896 :     return eB;
     379             :   }
     380      300572 :   r = y, r2 = 1UL;
     381      300572 :   for (e=1;; e++)
     382             :   { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     383     1028864 :     if (r >= B)
     384             :     {
     385      300339 :       if (r != B) { e--; r = r2; }
     386      300339 :       if (ptq) *ptq = r;
     387      300339 :       return e;
     388             :     }
     389      728525 :     r2 = r;
     390      728525 :     r = umuluu_or_0(y, r);
     391      728525 :     if (!r)
     392             :     {
     393         233 :       if (ptq) *ptq = r2;
     394         233 :       return e;
     395             :     }
     396             :   }
     397             : }
     398             : 
     399             : /* y > 1 and B > 0 integers. Return e such that y^e <= B < y^(e+1), i.e
     400             :  * e = floor(log_y B). Set *ptq = y^e if non-NULL */
     401             : long
     402      321901 : logintall(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     403             : {
     404             :   pari_sp av;
     405      321901 :   long ey, e, emax, i, eB = expi(B); /* 2^eB <= B < 2^(eB + 1) */
     406             :   GEN q, pow2;
     407             : 
     408      321901 :   if (lgefint(B) == 3)
     409             :   {
     410             :     ulong q;
     411      308468 :     if (lgefint(y) > 3)
     412             :     {
     413           0 :       if (ptq) *ptq = gen_1;
     414           0 :       return 0;
     415             :     }
     416      308468 :     if (!ptq) return ulogintall(B[2], y[2], NULL);
     417       52259 :     e = ulogintall(B[2], y[2], &q);
     418       52259 :     *ptq = utoi(q); return e;
     419             :   }
     420       13433 :   if (equaliu(y,2))
     421             :   {
     422         174 :     if (ptq) *ptq = int2n(eB);
     423         174 :     return eB;
     424             :   }
     425       13259 :   av = avma;
     426       13259 :   ey = expi(y);
     427             :   /* eB/(ey+1) - 1 < e <= eB/ey */
     428       13259 :   emax = eB/ey;
     429       13259 :   if (emax <= 13) /* e small, be naive */
     430             :   {
     431        2106 :     GEN r = y, r2 = gen_1;
     432        2106 :     for (e=1;; e++)
     433       20491 :     { /* here, r = y^e, r2 = y^(e-1) */
     434       22597 :       long fl = cmpii(r, B);
     435       22597 :       if (fl >= 0)
     436             :       {
     437        2106 :         if (fl) { e--; cgiv(r); r = r2; }
     438        2106 :         if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
     439        2106 :         return e;
     440             :       }
     441       20491 :       r2 = r; r = mulii(r,y);
     442             :     }
     443             :   }
     444             :   /* e >= 13 ey / (ey+1) >= 6.5 */
     445             : 
     446             :   /* binary splitting: compute bits of e one by one */
     447             :   /* compute pow2[i] = y^(2^i) [i < crude upper bound for log_2 log_y(B)] */
     448       11153 :   pow2 = new_chunk((long)log2(eB)+2);
     449       11153 :   gel(pow2,0) = y;
     450       11153 :   for (i=0, q=y;; )
     451       54944 :   {
     452       66097 :     GEN r = gel(pow2,i); /* r = y^2^i */
     453       66097 :     long fl = cmpii(r,B);
     454       66097 :     if (!fl)
     455             :     {
     456           0 :       e = 1L<<i;
     457           0 :       if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, r); else set_avma(av);
     458           0 :       return e;
     459             :     }
     460       66097 :     if (fl > 0) { i--; break; }
     461       62421 :     q = r;
     462       62421 :     if (1L<<(i+1) > emax) break;
     463       54944 :     gel(pow2,++i) = sqri(q);
     464             :   }
     465             : 
     466       11153 :   for (e = 1L<<i;;)
     467       51247 :   { /* y^e = q < B < r = q * y^(2^i) */
     468       62400 :     pari_sp av2 = avma;
     469             :     long fl;
     470             :     GEN r;
     471       62400 :     if (--i < 0) break;
     472       51254 :     r = mulii(q, gel(pow2,i));
     473       51254 :     fl = cmpii(r, B);
     474       51254 :     if (fl > 0) set_avma(av2);
     475             :     else
     476             :     {
     477       24696 :       e += (1L<<i);
     478       24696 :       q = r;
     479       24696 :       if (!fl) break; /* B = r */
     480             :     }
     481             :   }
     482       11153 :   if (ptq) *ptq = gerepileuptoint(av, q); else set_avma(av);
     483       11153 :   return e;
     484             : }
     485             : 
     486             : long
     487          56 : logint0(GEN B, GEN y, GEN *ptq)
     488             : {
     489          56 :   if (typ(B) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",B);
     490          56 :   if (signe(B) <= 0) pari_err_DOMAIN("logint", "x" ,"<=", gen_0, B);
     491          56 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("logint",y);
     492          56 :   if (cmpis(y, 2) < 0) pari_err_DOMAIN("logint", "b" ,"<=", gen_1, y);
     493          56 :   return logintall(B,y,ptq);
     494             : }
     495             : 
     496             : /*********************************************************************/
     497             : /**                                                                 **/
     498             : /**                     INTEGRAL SQUARE ROOT                        **/
     499             : /**                                                                 **/
     500             : /*********************************************************************/
     501             : GEN
     502       30472 : sqrtint(GEN a)
     503             : {
     504       30472 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
     505       30472 :   switch (signe(a))
     506             :   {
     507       30458 :     case 1: return sqrti(a);
     508           7 :     case 0: return gen_0;
     509           7 :     default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
     510             :   }
     511             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     512             : }
     513             : GEN
     514          63 : sqrtint0(GEN a, GEN *r)
     515             : {
     516          63 :   if (!r) return sqrtint(a);
     517          21 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtint",a);
     518          21 :   switch (signe(a))
     519             :   {
     520          14 :     case 1: return sqrtremi(a, r);
     521           7 :     case 0: *r = gen_0; return gen_0;
     522           0 :     default: pari_err_DOMAIN("sqrtint", "argument", "<", gen_0,a);
     523             :   }
     524             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     525             : }
     526             : 
     527             : /*********************************************************************/
     528             : /**                                                                 **/
     529             : /**                      PERFECT SQUARE                             **/
     530             : /**                                                                 **/
     531             : /*********************************************************************/
     532             : static int
     533    14851768 : carremod(ulong A)
     534             : {
     535    14851768 :   const int carresmod64[]={
     536             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,
     537             :     0,0,0,1,0,0,1,0,0,0, 0,1,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,1,0,0, 0,0,0,0};
     538    14851768 :   const int carresmod63[]={
     539             :     1,1,0,0,1,0,0,1,0,1, 0,0,0,0,0,0,1,0,1,0, 0,0,1,0,0,1,0,0,1,0,
     540             :     0,0,0,0,0,0,1,1,0,0, 0,0,0,1,0,0,1,0,0,1, 0,0,0,0,0,0,0,0,1,0, 0,0,0};
     541    14851768 :   const int carresmod65[]={
     542             :     1,1,0,0,1,0,0,0,0,1, 1,0,0,0,1,0,1,0,0,0, 0,0,0,0,0,1,1,0,0,1,
     543             :     1,0,0,0,0,1,1,0,0,1, 1,0,0,0,0,0,0,0,0,1, 0,1,0,0,0,1,1,0,0,0, 0,1,0,0,1};
     544    14851768 :   const int carresmod11[]={1,1,0,1,1,1,0,0,0,1, 0};
     545    14851768 :   return (carresmod64[A & 0x3fUL]
     546     5470988 :     && carresmod63[A % 63UL]
     547     3233648 :     && carresmod65[A % 65UL]
     548    20322756 :     && carresmod11[A % 11UL]);
     549             : }
     550             : 
     551             : /* emulate Z_issquareall on single-word integers */
     552             : long
     553    13355428 : uissquareall(ulong A, ulong *sqrtA)
     554             : {
     555    13355428 :   if (!A) { *sqrtA = 0; return 1; }
     556    13355428 :   if (carremod(A))
     557             :   {
     558     1832972 :     ulong a = usqrt(A);
     559     1832969 :     if (a * a == A) { *sqrtA = a; return 1; }
     560             :   }
     561    11614338 :   return 0;
     562             : }
     563             : long
     564      122385 : uissquare(ulong A)
     565             : {
     566      122385 :   if (!A) return 1;
     567      122385 :   if (carremod(A))
     568             :   {
     569        3636 :     ulong a = usqrt(A);
     570        3636 :     if (a * a == A) return 1;
     571             :   }
     572      118773 :   return 0;
     573             : }
     574             : 
     575             : long
     576     6400050 : Z_issquareall(GEN x, GEN *pt)
     577             : {
     578             :   pari_sp av;
     579             :   GEN y, r;
     580             : 
     581     6400050 :   switch(signe(x))
     582             :   {
     583     2215484 :     case -1: return 0;
     584         560 :     case 0: if (pt) *pt=gen_0; return 1;
     585             :   }
     586     4184006 :   if (lgefint(x) == 3)
     587             :   {
     588     2810055 :     ulong u = uel(x,2), a;
     589     2810055 :     if (!pt) return uissquare(u);
     590     2687670 :     if (!uissquareall(u, &a)) return 0;
     591     1380750 :     *pt = utoipos(a); return 1;
     592             :   }
     593     1373951 :   if (!carremod(umodiu(x, 64*63*65*11))) return 0;
     594      611230 :   av = avma; y = sqrtremi(x, &r);
     595      611230 :   if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
     596       19114 :   if (pt) { *pt = y; set_avma((pari_sp)y); } else set_avma(av);
     597       19114 :   return 1;
     598             : }
     599             : 
     600             : /* a t_INT, p prime */
     601             : long
     602           0 : Zp_issquare(GEN a, GEN p)
     603             : {
     604             :   long v;
     605             :   GEN ap;
     606             : 
     607           0 :   if (!signe(a) || gequal1(a)) return 1;
     608           0 :   v = Z_pvalrem(a, p, &ap);
     609           0 :   if (v&1) return 0;
     610           0 :   return absequaliu(p, 2)? umodiu(ap, 8) == 1
     611           0 :                       : kronecker(ap,p) == 1;
     612             : }
     613             : 
     614             : static long
     615        3430 : polissquareall(GEN x, GEN *pt)
     616             : {
     617             :   pari_sp av;
     618             :   long v;
     619             :   GEN y, a, b, p;
     620             : 
     621        3430 :   if (!signe(x))
     622             :   {
     623           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     624           7 :     return 1;
     625             :   }
     626        3423 :   if (odd(degpol(x))) return 0; /* odd degree */
     627        2548 :   av = avma;
     628        2548 :   v = RgX_valrem(x, &x);
     629        2548 :   if (v & 1) return gc_long(av,0);
     630        2541 :   a = gel(x,2); /* test constant coeff */
     631        2541 :   if (!pt)
     632          70 :   { if (!issquare(a)) return gc_long(av,0); }
     633             :   else
     634        2471 :   { if (!issquareall(a,&b)) return gc_long(av,0); }
     635        2541 :   if (!degpol(x)) { /* constant polynomial */
     636          77 :     if (!pt) return gc_long(av,1);
     637          35 :     y = scalarpol(b, varn(x)); goto END;
     638             :   }
     639        2464 :   p = characteristic(x);
     640        2464 :   if (signe(p) && !mod2(p))
     641             :   {
     642             :     long i, lx;
     643          35 :     if (!absequaliu(p,2)) pari_err_IMPL("issquare for even characteristic != 2");
     644          28 :     x = gmul(x, mkintmod(gen_1, gen_2));
     645          28 :     lx = lg(x);
     646          28 :     if ((lx-3) & 1) return gc_long(av,0);
     647          49 :     for (i = 3; i < lx; i+=2)
     648          28 :       if (!gequal0(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
     649          21 :     if (pt) {
     650          14 :       y = cgetg((lx+3) / 2, t_POL);
     651          49 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     652          35 :         if (!issquareall(gel(x,i), &gel(y, (i+2)>>1))) return gc_long(av,0);
     653          14 :       y[1] = evalsigne(1) | evalvarn(varn(x));
     654          14 :       goto END;
     655             :     } else {
     656          21 :       for (i = 2; i < lx; i+=2)
     657          14 :         if (!issquare(gel(x,i))) return gc_long(av,0);
     658           7 :       return gc_long(av,1);
     659             :     }
     660             :   }
     661             :   else
     662             :   {
     663        2429 :     long m = 1;
     664        2429 :     x = RgX_Rg_div(x,a);
     665             :     /* a(x^m) = B^2 => B = b(x^m) provided a(0) != 0 */
     666        2429 :     if (!signe(p)) x = RgX_deflate_max(x,&m);
     667        2429 :     y = ser2rfrac_i(gsqrt(RgX_to_ser(x,lg(x)-1),0));
     668        2436 :     if (!RgX_equal(RgX_sqr(y), x)) return gc_long(av,0);
     669         973 :     if (!pt) return gc_long(av,1);
     670         966 :     if (!gequal1(a)) y = gmul(b, y);
     671         966 :     if (m != 1) y = RgX_inflate(y,m);
     672             :   }
     673        1015 : END:
     674        1015 :   if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v>>1);
     675        1015 :   *pt = gerepilecopy(av, y); return 1;
     676             : }
     677             : 
     678             : /* b unit mod p */
     679             : static int
     680         287 : Up_ispower(GEN b, GEN K, GEN p, long d, GEN *pt)
     681             : {
     682         287 :   if (d == 1)
     683             :   { /* mod p: faster */
     684         203 :     if (!Fp_ispower(b, K, p)) return 0;
     685         203 :     if (pt) *pt = Fp_sqrtn(b, K, p, NULL);
     686             :   }
     687             :   else
     688             :   { /* mod p^{2 +} */
     689          84 :     if (!ispower(cvtop(b, p, d), K, pt)) return 0;
     690          63 :     if (pt) *pt = gtrunc(*pt);
     691             :   }
     692         266 :   return 1;
     693             : }
     694             : 
     695             : /* We're studying whether a mod (q*p^e) is a K-th power, (q,p) = 1.
     696             :  * Decide mod p^e, then reduce a mod q unless q = NULL. */
     697             : static int
     698         427 : handle_pe(GEN *pa, GEN q, GEN L, GEN K, GEN p, long e)
     699             : {
     700             :   GEN t, A;
     701         427 :   long v = Z_pvalrem(*pa, p, &A), d = e - v;
     702         427 :   if (d <= 0) t = gen_0;
     703             :   else
     704             :   {
     705             :     ulong r;
     706         371 :     v = uabsdivui_rem(v, K, &r);
     707         371 :     if (r || !Up_ispower(A, K, p, d, L? &t: NULL)) return 0;
     708         266 :     if (L && v) t = mulii(t, powiu(p, v));
     709             :   }
     710         322 :   if (q) *pa = modii(*pa, q);
     711         322 :   if (L) vectrunc_append(L, mkintmod(t, powiu(p, e)));
     712         322 :   return 1;
     713             : }
     714             : long
     715         329 : Zn_ispower(GEN a, GEN q, GEN K, GEN *pt)
     716             : {
     717             :   GEN L, N;
     718             :   pari_sp av;
     719             :   long e, i, l;
     720             :   ulong pp;
     721             :   forprime_t S;
     722             : 
     723         329 :   if (!signe(a))
     724             :   {
     725          21 :     if (pt) {
     726          21 :       GEN t = cgetg(3, t_INTMOD);
     727          21 :       gel(t,1) = icopy(q); gel(t,2) = gen_0; *pt = t;
     728             :     }
     729          21 :     return 1;
     730             :   }
     731             :   /* a != 0 */
     732         308 :   av = avma;
     733             : 
     734         308 :   if (typ(q) != t_INT) /* integer factorization */
     735             :   {
     736           0 :     GEN P = gel(q,1), E = gel(q,2);
     737           0 :     l = lg(P);
     738           0 :     L = pt? vectrunc_init(l): NULL;
     739           0 :     for (i = 1; i < l; i++)
     740             :     {
     741           0 :       GEN p = gel(P,i);
     742           0 :       long e = itos(gel(E,i));
     743           0 :       if (!handle_pe(&a, NULL, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     744             :     }
     745           0 :     goto END;
     746             :   }
     747         308 :   if (!mod2(K)
     748         189 :       && kronecker(a, shifti(q,-vali(q))) == -1) return gc_long(av,0);
     749         301 :   L = pt? vectrunc_init(expi(q)+1): NULL;
     750         301 :   u_forprime_init(&S, 2, tridiv_bound(q));
     751      883561 :   while ((pp = u_forprime_next(&S)))
     752             :   {
     753             :     int stop;
     754      883407 :     e = Z_lvalrem_stop(&q, pp, &stop);
     755      883407 :     if (!e) continue;
     756         182 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, utoipos(pp), e)) return gc_long(av,0);
     757         161 :     if (stop)
     758             :     {
     759         126 :       if (!is_pm1(q) && !handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
     760         126 :       goto END;
     761             :     }
     762             :   }
     763         154 :   l = lg(primetab);
     764         154 :   for (i = 1; i < l; i++)
     765             :   {
     766           0 :     GEN p = gel(primetab,i);
     767           0 :     e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     768           0 :     if (!e) continue;
     769           0 :     if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     770           0 :     if (is_pm1(q)) goto END;
     771             :   }
     772         154 :   N = gcdii(a,q);
     773         154 :   if (!is_pm1(N))
     774             :   {
     775         112 :     if (ifac_isprime(N))
     776             :     {
     777          70 :       e = Z_pvalrem(q, N, &q);
     778          70 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, N, e)) return gc_long(av,0);
     779             :     }
     780             :     else
     781             :     {
     782          42 :       GEN part = ifac_start(N, 0);
     783             :       for(;;)
     784          42 :       {
     785             :         long e;
     786             :         GEN p;
     787          84 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     788          42 :         e = Z_pvalrem(q, p, &q);
     789          42 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     790             :       }
     791             :     }
     792             :   }
     793          84 :   if (!is_pm1(q))
     794             :   {
     795          84 :     if (ifac_isprime(q))
     796             :     {
     797          28 :       if (!handle_pe(&a, q, L, K, q, 1)) return gc_long(av,0);
     798             :     }
     799             :     else
     800             :     {
     801          56 :       GEN part = ifac_start(q, 0);
     802             :       for(;;)
     803          84 :       {
     804             :         long e;
     805             :         GEN p;
     806         140 :         if (!ifac_next(&part, &p, &e)) break;
     807          98 :         if (!handle_pe(&a, q, L, K, p, e)) return gc_long(av,0);
     808             :       }
     809             :     }
     810             :   }
     811           0 : END:
     812         196 :   if (pt) *pt = gerepileupto(av, chinese1_coprime_Z(L));
     813         196 :   return 1;
     814             : }
     815             : 
     816             : static long
     817          56 : polmodispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     818             : {
     819          56 :   pari_sp av = avma;
     820          56 :   GEN p = NULL, T = NULL;
     821          56 :   if (Rg_is_FpXQ(x, &T,&p) && p)
     822             :   {
     823          42 :     x = liftall_shallow(x);
     824          42 :     if (T) T = liftall_shallow(T);
     825          42 :     if (!Fq_ispower(x, K, T, p)) return gc_long(av,0);
     826          28 :     if (!pt) return gc_long(av,1);
     827          21 :     x = Fq_sqrtn(x, K, T,p, NULL);
     828          21 :     if (typ(x) == t_INT)
     829           7 :       x = Fp_to_mod(x,p);
     830             :     else
     831          14 :       x = mkpolmod(FpX_to_mod(x,p), FpX_to_mod(T,p));
     832          21 :     *pt = gerepilecopy(av, x); return 1;
     833             :   }
     834          14 :   pari_err_IMPL("ispower for general t_POLMOD");
     835           0 :   return 0;
     836             : }
     837             : 
     838             : long
     839      165348 : issquareall(GEN x, GEN *pt)
     840             : {
     841      165348 :   long tx = typ(x);
     842             :   GEN F;
     843             :   pari_sp av;
     844             : 
     845      165348 :   if (!pt) return issquare(x);
     846       21194 :   switch(tx)
     847             :   {
     848        2772 :     case t_INT: return Z_issquareall(x, pt);
     849         161 :     case t_FRAC: av = avma;
     850         161 :       F = cgetg(3, t_FRAC);
     851         161 :       if (   !Z_issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     852         161 :           || !Z_issquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
     853         105 :       *pt = F; return 1;
     854             : 
     855          21 :     case t_POLMOD:
     856          21 :       return polmodispower(x, gen_2, pt);
     857        3339 :     case t_POL: return polissquareall(x,pt);
     858          14 :     case t_RFRAC: av = avma;
     859          14 :       F = cgetg(3, t_RFRAC);
     860          14 :       if (   !issquareall(gel(x,1), &gel(F,1))
     861          14 :           || !polissquareall(gel(x,2), &gel(F,2))) return gc_long(av,0);
     862           7 :       *pt = F; return 1;
     863             : 
     864       14784 :     case t_REAL: case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_SER:
     865       14784 :       if (!issquare(x)) return 0;
     866       14784 :       *pt = gsqrt(x, DEFAULTPREC); return 1;
     867             : 
     868          63 :     case t_INTMOD:
     869          63 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, pt);
     870             : 
     871          42 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, pt);
     872             : 
     873             :   }
     874           0 :   pari_err_TYPE("issquareall",x);
     875             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     876             : }
     877             : 
     878             : long
     879      159421 : issquare(GEN x)
     880             : {
     881             :   pari_sp av;
     882             :   GEN a, p;
     883             :   long v;
     884             : 
     885      159421 :   switch(typ(x))
     886             :   {
     887      144154 :     case t_INT:
     888      144154 :       return Z_issquare(x);
     889             : 
     890       14714 :     case t_REAL:
     891       14714 :       return (signe(x)>=0);
     892             : 
     893          77 :     case t_INTMOD:
     894          77 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), gen_2, NULL);
     895             : 
     896         133 :     case t_FRAC:
     897         133 :       return Z_issquare(gel(x,1)) && Z_issquare(gel(x,2));
     898             : 
     899           7 :     case t_FFELT: return FF_issquareall(x, NULL);
     900             : 
     901          56 :     case t_COMPLEX:
     902          56 :       return 1;
     903             : 
     904         126 :     case t_PADIC:
     905         126 :       a = gel(x,4); if (!signe(a)) return 1;
     906         126 :       if (valp(x)&1) return 0;
     907         112 :       p = gel(x,2);
     908         112 :       if (!absequaliu(p, 2)) return (kronecker(a,p) != -1);
     909             : 
     910          42 :       v = precp(x); /* here p=2, a is odd */
     911          42 :       if ((v>=3 && mod8(a) != 1 ) ||
     912          21 :           (v==2 && mod4(a) != 1)) return 0;
     913          21 :       return 1;
     914             : 
     915          21 :     case t_POLMOD:
     916          21 :       return polmodispower(x, gen_2, NULL);
     917             : 
     918          77 :     case t_POL:
     919          77 :       return polissquareall(x,NULL);
     920             : 
     921          49 :     case t_SER:
     922          49 :       if (!signe(x)) return 1;
     923          42 :       if (valp(x)&1) return 0;
     924          35 :       return issquare(gel(x,2));
     925             : 
     926           7 :     case t_RFRAC:
     927           7 :       av = avma; return gc_long(av, issquare(gmul(gel(x,1),gel(x,2))));
     928             :   }
     929           0 :   pari_err_TYPE("issquare",x);
     930             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
     931             : }
     932           0 : GEN gissquare(GEN x) { return issquare(x)? gen_1: gen_0; }
     933           0 : GEN gissquareall(GEN x, GEN *pt) { return issquareall(x,pt)? gen_1: gen_0; }
     934             : 
     935             : long
     936        1386 : ispolygonal(GEN x, GEN S, GEN *N)
     937             : {
     938        1386 :   pari_sp av = avma;
     939             :   GEN D, d, n;
     940        1386 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", x);
     941        1386 :   if (typ(S) != t_INT) pari_err_TYPE("ispolygonal", S);
     942        1386 :   if (abscmpiu(S,3) < 0) pari_err_DOMAIN("ispolygonal","s","<", utoipos(3),S);
     943        1386 :   if (signe(x) < 0) return 0;
     944        1386 :   if (signe(x) == 0) { if (N) *N = gen_0; return 1; }
     945        1260 :   if (is_pm1(x)) { if (N) *N = gen_1; return 1; }
     946             :   /* n = (sqrt( (8s - 16) x + (s-4)^2 ) + s - 4) / 2(s - 2) */
     947        1134 :   if (abscmpiu(S, 1<<16) < 0) /* common case ! */
     948             :   {
     949         441 :     ulong s = S[2], r;
     950         441 :     if (s == 4) return Z_issquareall(x, N);
     951         378 :     if (s == 3)
     952           0 :       D = addiu(shifti(x, 3), 1);
     953             :     else
     954         378 :       D = addiu(mului(8*s - 16, x), (s-4)*(s-4));
     955         378 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
     956         378 :     if (s == 3)
     957           0 :       d = subiu(d, 1);
     958             :     else
     959         378 :       d = addiu(d, s - 4);
     960         378 :     n = absdiviu_rem(d, 2*s - 4, &r);
     961         378 :     if (r) return gc_long(av,0);
     962             :   }
     963             :   else
     964             :   {
     965         693 :     GEN r, S_2 = subiu(S,2), S_4 = subiu(S,4);
     966         693 :     D = addii(mulii(shifti(S_2,3), x), sqri(S_4));
     967         693 :     if (!Z_issquareall(D, &d)) return gc_long(av,0);
     968         693 :     d = addii(d, S_4);
     969         693 :     n = dvmdii(shifti(d,-1), S_2, &r);
     970         693 :     if (r != gen_0) return gc_long(av,0);
     971             :   }
     972        1071 :   if (N) *N = gerepileuptoint(av, n); else set_avma(av);
     973        1071 :   return 1;
     974             : }
     975             : 
     976             : /*********************************************************************/
     977             : /**                                                                 **/
     978             : /**                        PERFECT POWER                            **/
     979             : /**                                                                 **/
     980             : /*********************************************************************/
     981             : static long
     982         721 : polispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
     983             : {
     984             :   pari_sp av;
     985         721 :   long v, d, k = itos(K);
     986             :   GEN y, a, b;
     987         721 :   GEN T = NULL, p = NULL;
     988             : 
     989         721 :   if (!signe(x))
     990             :   {
     991           7 :     if (pt) *pt = gcopy(x);
     992           7 :     return 1;
     993             :   }
     994         714 :   d = degpol(x);
     995         714 :   if (d % k) return 0; /* degree not multiple of k */
     996         707 :   av = avma;
     997         707 :   if (RgX_is_FpXQX(x, &T, &p) && p)
     998             :   { /* over Fq */
     999         336 :     if (T && typ(T) == t_FFELT)
    1000             :     {
    1001         126 :       if (!FFX_ispower(x, k, T, pt)) return gc_long(av,0);
    1002         105 :       return 1;
    1003             :     }
    1004         210 :     x = RgX_to_FqX(x,T,p);
    1005         210 :     if (!FqX_ispower(x, k, T,p, pt)) return gc_long(av,0);
    1006         175 :     if (pt) *pt = gerepileupto(av, FqX_to_mod(*pt, T, p));
    1007         175 :     return 1;
    1008             :   }
    1009         371 :   v = RgX_valrem(x, &x);
    1010         371 :   if (v % k) return 0;
    1011         364 :   v /= k;
    1012         364 :   a = gel(x,2); b = NULL;
    1013         364 :   if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
    1014         350 :   if (d)
    1015             :   {
    1016         343 :     GEN p = characteristic(x);
    1017         343 :     a = leading_coeff(x);
    1018         343 :     if (!ispower(a, K, &b)) return gc_long(av,0);
    1019         343 :     x = RgX_normalize(x);
    1020         343 :     if (signe(p) && cmpii(p,K) <= 0)
    1021           0 :       pari_err_IMPL("ispower(general t_POL) in small characteristic");
    1022         343 :     y = gtrunc(gsqrtn(RgX_to_ser(x,lg(x)), K, NULL, 0));
    1023         343 :     if (!RgX_equal(powgi(y, K), x)) return gc_long(av,0);
    1024             :   }
    1025             :   else
    1026           7 :     y = pol_1(varn(x));
    1027         350 :   if (pt)
    1028             :   {
    1029         350 :     if (!gequal1(a))
    1030             :     {
    1031          14 :       if (!b) b = gsqrtn(a, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1032          14 :       y = gmul(b,y);
    1033             :     }
    1034         350 :     if (v) y = RgX_shift_shallow(y, v);
    1035         350 :     *pt = gerepilecopy(av, y);
    1036             :   }
    1037           0 :   else set_avma(av);
    1038         350 :   return 1;
    1039             : }
    1040             : 
    1041             : long
    1042       99187 : Z_ispowerall(GEN x, ulong k, GEN *pt)
    1043             : {
    1044       99187 :   long s = signe(x);
    1045             :   ulong mask;
    1046       99187 :   if (!s) { if (pt) *pt = gen_0; return 1; }
    1047       99187 :   if (s > 0) {
    1048       99047 :     if (k == 2) return Z_issquareall(x, pt);
    1049       18731 :     if (k == 3) { mask = 1; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1050        3625 :     if (k == 5) { mask = 2; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1051        3247 :     if (k == 7) { mask = 4; return !!is_357_power(x, pt, &mask); }
    1052        3226 :     return is_kth_power(x, k, pt);
    1053             :   }
    1054         140 :   if (!odd(k)) return 0;
    1055         126 :   if (Z_ispowerall(absi_shallow(x), k, pt))
    1056             :   {
    1057         112 :     if (pt) *pt = negi(*pt);
    1058         112 :     return 1;
    1059             :   };
    1060          14 :   return 0;
    1061             : }
    1062             : 
    1063             : /* is x a K-th power mod p ? Assume p prime. */
    1064             : int
    1065         203 : Fp_ispower(GEN x, GEN K, GEN p)
    1066             : {
    1067         203 :   pari_sp av = avma;
    1068             :   GEN p_1;
    1069         203 :   x = modii(x, p);
    1070         203 :   if (!signe(x) || equali1(x)) return gc_bool(av,1);
    1071             :   /* implies p > 2 */
    1072         112 :   p_1 = subiu(p,1);
    1073         112 :   K = gcdii(K, p_1);
    1074         112 :   if (absequaliu(K, 2)) return gc_bool(av, kronecker(x,p) > 0);
    1075          49 :   x = Fp_pow(x, diviiexact(p_1,K), p);
    1076          49 :   return gc_bool(av, equali1(x));
    1077             : }
    1078             : 
    1079             : /* x unit defined modulo 2^e, e > 0, p prime */
    1080             : static int
    1081        2373 : U2_issquare(GEN x, long e)
    1082             : {
    1083        2373 :   long r = signe(x)>=0?mod8(x):8-mod8(x);
    1084        2373 :   if (e==1) return 1;
    1085        2373 :   if (e==2) return (r&3L) == 1;
    1086        2009 :   return r == 1;
    1087             : }
    1088             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0, p prime */
    1089             : static int
    1090        4690 : Up_issquare(GEN x, GEN p, long e)
    1091        4690 : { return (absequaliu(p,2))? U2_issquare(x, e): kronecker(x,p)==1; }
    1092             : 
    1093             : long
    1094        2548 : Zn_issquare(GEN d, GEN fn)
    1095             : {
    1096             :   long j, np;
    1097        2548 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_issquare",d);
    1098        2548 :   if (typ(fn) == t_INT) return Zn_ispower(d, fn, gen_2, NULL);
    1099             :   /* integer factorization */
    1100        2548 :   np = nbrows(fn);
    1101        5320 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1102             :   {
    1103        4970 :     GEN  r, p = gcoeff(fn, j, 1);
    1104        4970 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1105        4970 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1106        4970 :     if (v < e && (odd(v) || !Up_issquare(r, p, e-v))) return 0;
    1107             :   }
    1108         350 :   return 1;
    1109             : }
    1110             : 
    1111             : /* return [N',v]; v contains all x mod N' s.t. x^2 + B x + C = 0 modulo N */
    1112             : GEN
    1113     2746751 : Zn_quad_roots(GEN N, GEN B, GEN C)
    1114             : {
    1115     2746751 :   pari_sp av = avma;
    1116     2746751 :   GEN fa = NULL, D, w, v, P, E, F0, Q0, F, mF, A, Q, T, R, Np, N4;
    1117             :   long l, i, j, ct;
    1118             : 
    1119     2746751 :   if ((fa = check_arith_non0(N,"Zn_quad_roots")))
    1120             :   {
    1121        8225 :     N = typ(N) == t_VEC? gel(N,1): factorback(N);
    1122        8225 :     fa = clean_Z_factor(fa);
    1123             :   }
    1124     2746751 :   N = absi_shallow(N);
    1125     2746751 :   N4 = shifti(N,2);
    1126     2746751 :   D = modii(subii(sqri(B), shifti(C,2)), N4);
    1127     2746751 :   if (!signe(D))
    1128             :   { /* (x + B/2)^2 = 0 (mod N), D = B^2-4C = 0 (4N) => B even */
    1129         812 :     if (!fa) fa = Z_factor(N);
    1130         812 :     P = gel(fa,1);
    1131         812 :     E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
    1132         812 :     l = lg(P);
    1133        1757 :     for (i = 1; i < l; i++) E[i] = (E[i]+1) >> 1;
    1134         812 :     Np = factorback2(P, E); /* x = -B mod N' */
    1135         812 :     B = shifti(B,-1);
    1136         812 :     return gerepilecopy(av, mkvec2(Np, mkvec(Fp_neg(B,Np))));
    1137             :   }
    1138     2745939 :   if (!fa)
    1139     2737896 :     fa = Z_factor(N4);
    1140             :   else  /* convert to factorization of N4 = 4*N */
    1141        8043 :     fa = famat_reduce(famat_mulpows_shallow(fa, gen_2, 2));
    1142     2745939 :   P = gel(fa,1); l = lg(P);
    1143     2745939 :   E = ZV_to_zv(gel(fa,2));
    1144     2745939 :   F = cgetg(l, t_VEC);
    1145     2745939 :   mF= cgetg(l, t_VEC); F0 = gen_0;
    1146     2745939 :   Q = cgetg(l, t_VEC); Q0 = gen_1;
    1147     6594784 :   for (i = j = 1, ct = 0; i < l; i++)
    1148             :   {
    1149     5984692 :     GEN p = gel(P,i), q, f, mf, D0;
    1150     5984692 :     long t2, s = E[i], t = Z_pvalrem(D, p, &D0), d = s - t;
    1151     5984692 :     if (d <= 0)
    1152             :     {
    1153     1352645 :       q = powiu(p, (s+1)>>1);
    1154     2213491 :       Q0 = mulii(Q0, q); continue;
    1155             :     }
    1156             :     /* d > 0 */
    1157     6582394 :     if (odd(t)) return NULL;
    1158     4446547 :     t2 = t >> 1;
    1159     4446547 :     if (i > 1)
    1160             :     { /* p > 2 */
    1161     2796675 :       if (kronecker(D0, p) == -1) return NULL;
    1162     1348529 :       q = powiu(p,s-t2);
    1163     1348529 :       f = Zp_sqrt(D0, p, d);
    1164     1348529 :       if (!f) return NULL; /* p was not actually prime... */
    1165     1348515 :       if (t2) f = mulii(powiu(p,t2), f);
    1166     1348515 :       mf = Fp_neg(f, q);
    1167             :     }
    1168             :     else
    1169             :     { /* p = 2 */
    1170     1649872 :       if (d == 1) { Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue; }
    1171     1475803 :       if (d == 2)
    1172             :       {
    1173      737639 :         if (Mod4(D0) != 1) return NULL;
    1174      686777 :         Q0 = int2n(1+t2); F0 = NULL; continue;
    1175             :       }
    1176             :       /* d > 2 */
    1177      738164 :       if (Mod8(D0) != 1) return NULL;
    1178      286839 :       q = int2n(d-1+t2);
    1179      286839 :       f = shifti(Z2_sqrt(D0, d), t2);
    1180      286839 :       mf = Fp_neg(f, q);
    1181             :     }
    1182     1635354 :     gel(Q,j) = q;
    1183     1635354 :     gel(F,j) = f;
    1184     1635354 :     gel(mF,j)= mf; j++;
    1185             :   }
    1186      610092 :   setlg(Q,j);
    1187      610092 :   setlg(F,j);
    1188      610092 :   setlg(mF,j);
    1189      610092 :   if (is_pm1(Q0)) A = leafcopy(F);
    1190             :   else
    1191             :   { /* append the fixed congruence (F0 mod Q0) */
    1192      543053 :     if (!F0) F0 = shifti(Q0,-1);
    1193      543053 :     A = shallowconcat(F, F0);
    1194      543053 :     Q = shallowconcat(Q, Q0);
    1195             :   }
    1196      610092 :   ct = 1 << (j-1);
    1197      610092 :   T = ZV_producttree(Q);
    1198      610092 :   R = ZV_chinesetree(Q,T);
    1199      610092 :   Np = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    1200      610092 :   B = modii(B, Np);
    1201      610092 :   if (!signe(B)) B = NULL;
    1202      610092 :   Np = shifti(Np, -1); /* N' = (\prod_i Q[i]) / 2 */
    1203      610092 :   w = cgetg(3, t_VEC);
    1204      610092 :   gel(w,1) = icopy(Np);
    1205      610092 :   gel(w,2) = v = cgetg(ct+1, t_VEC);
    1206      610092 :   l = lg(F);
    1207     2780211 :   for (j = 1; j <= ct; j++)
    1208             :   {
    1209     2170119 :     pari_sp av2 = avma;
    1210     2170119 :     long m = j - 1;
    1211             :     GEN u;
    1212     6596415 :     for (i = 1; i < l; i++)
    1213             :     {
    1214     4426296 :       gel(A,i) = (m&1L)? gel(mF,i): gel(F,i);
    1215     4426296 :       m >>= 1;
    1216             :     }
    1217     2170119 :     u = ZV_chinese_tree(A,Q,T,R); /* u mod N' st u^2 = B^2-4C modulo 4N */
    1218     2170119 :     if (B) u = subii(u,B);
    1219     2170119 :     gel(v,j) = gerepileuptoint(av2, modii(shifti(u,-1), Np));
    1220             :   }
    1221      610092 :   return gerepileupto(av, w);
    1222             : }
    1223             : 
    1224             : static long
    1225        1113 : Qp_ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1226             : {
    1227        1113 :   pari_sp av = avma;
    1228        1113 :   GEN z = Qp_sqrtn(x, K, NULL);
    1229        1113 :   if (!z) return gc_long(av,0);
    1230         819 :   if (pt) *pt = z;
    1231         819 :   return 1;
    1232             : }
    1233             : 
    1234             : long
    1235     7097788 : ispower(GEN x, GEN K, GEN *pt)
    1236             : {
    1237             :   GEN z;
    1238             : 
    1239     7097788 :   if (!K) return gisanypower(x, pt);
    1240       97606 :   if (typ(K) != t_INT) pari_err_TYPE("ispower",K);
    1241       97606 :   if (signe(K) <= 0) pari_err_DOMAIN("ispower","exponent","<=",gen_0,K);
    1242       97606 :   if (equali1(K)) { if (pt) *pt = gcopy(x); return 1; }
    1243       97557 :   switch(typ(x)) {
    1244       25728 :     case t_INT:
    1245       25728 :       if (lgefint(K) != 3) return 0;
    1246       25720 :       return Z_ispowerall(x, itou(K), pt);
    1247       69743 :     case t_FRAC:
    1248             :     {
    1249       69743 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1250             :       ulong k;
    1251       69743 :       if (lgefint(K) != 3) return 0;
    1252       69736 :       k = itou(K);
    1253       69736 :       if (pt) {
    1254       69729 :         z = cgetg(3, t_FRAC);
    1255       69729 :         if (Z_ispowerall(a, k, &a) && Z_ispowerall(b, k, &b)) {
    1256        1386 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1257             :         }
    1258       68343 :         set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
    1259             :       }
    1260           7 :       return Z_ispower(a, k) && Z_ispower(b, k);
    1261             :     }
    1262         189 :     case t_INTMOD:
    1263         189 :       return Zn_ispower(gel(x,2), gel(x,1), K, pt);
    1264          28 :     case t_FFELT:
    1265          28 :       return FF_ispower(x, K, pt);
    1266             : 
    1267        1113 :     case t_PADIC:
    1268        1113 :       return Qp_ispower(x, K, pt);
    1269          14 :     case t_POLMOD:
    1270          14 :       return polmodispower(x, K, pt);
    1271         714 :     case t_POL:
    1272         714 :       return polispower(x, K, pt);
    1273           7 :     case t_RFRAC: {
    1274           7 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1275           7 :       if (pt) {
    1276           7 :         z = cgetg(3, t_RFRAC);
    1277           7 :         if (ispower(a, K, &a) && polispower(b, K, &b)) {
    1278           7 :           *pt = z; gel(z,1) = a; gel(z,2) = b; return 1;
    1279             :         }
    1280           0 :         set_avma((pari_sp)(z + 3)); return 0;
    1281             :       }
    1282           0 :       return (ispower(a, K, NULL) && polispower(b, K, NULL));
    1283             :     }
    1284           7 :     case t_REAL:
    1285           7 :       if (signe(x) < 0 && !mpodd(K)) return 0;
    1286             :     case t_COMPLEX:
    1287          14 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1288          14 :       return 1;
    1289             : 
    1290           7 :     case t_SER:
    1291           7 :       if (signe(x) && (!dvdsi(valp(x), K) || !ispower(gel(x,2), K, NULL)))
    1292           0 :         return 0;
    1293           7 :       if (pt) *pt = gsqrtn(x, K, NULL, DEFAULTPREC);
    1294           7 :       return 1;
    1295             :   }
    1296           0 :   pari_err_TYPE("ispower",x);
    1297             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1298             : }
    1299             : 
    1300             : long
    1301     7000182 : gisanypower(GEN x, GEN *pty)
    1302             : {
    1303     7000182 :   long tx = typ(x);
    1304             :   ulong k, h;
    1305     7000182 :   if (tx == t_INT) return Z_isanypower(x, pty);
    1306          14 :   if (tx == t_FRAC)
    1307             :   {
    1308          14 :     pari_sp av = avma;
    1309          14 :     GEN fa, P, E, a = gel(x,1), b = gel(x,2);
    1310             :     long i, j, p, e;
    1311          14 :     int sw = (abscmpii(a, b) > 0);
    1312             : 
    1313          14 :     if (sw) swap(a, b);
    1314          14 :     k = Z_isanypower(a, pty? &a: NULL);
    1315          14 :     if (!k)
    1316             :     { /* a = -1,1 or not a pure power */
    1317           7 :       if (!is_pm1(a)) return gc_long(av,0);
    1318           7 :       if (signe(a) < 0) b = negi(b);
    1319           7 :       k = Z_isanypower(b, pty? &b: NULL);
    1320           7 :       if (!k || !pty) return gc_long(av,k);
    1321           7 :       *pty = gerepileupto(av, ginv(b));
    1322           7 :       return k;
    1323             :     }
    1324           7 :     fa = factoru(k);
    1325           7 :     P = gel(fa,1);
    1326           7 :     E = gel(fa,2); h = k;
    1327          14 :     for (i = lg(P) - 1; i > 0; i--)
    1328             :     {
    1329           7 :       p = P[i];
    1330           7 :       e = E[i];
    1331          21 :       for (j = 0; j < e; j++)
    1332          14 :         if (!is_kth_power(b, p, &b)) break;
    1333           7 :       if (j < e) k /= upowuu(p, e - j);
    1334             :     }
    1335           7 :     if (k == 1) return gc_long(av,0);
    1336           7 :     if (!pty) return gc_long(av,k);
    1337           0 :     if (k != h) a = powiu(a, h/k);
    1338           0 :     *pty = gerepilecopy(av, mkfrac(a, b));
    1339           0 :     return k;
    1340             :   }
    1341           0 :   pari_err_TYPE("gisanypower", x);
    1342             :   return 0; /* LCOV_EXCL_LINE */
    1343             : }
    1344             : 
    1345             : /* v_p(x) = e != 0 for some p; return ispower(x,,&x), updating x.
    1346             :  * No need to optimize for 2,3,5,7 powers (done before) */
    1347             : static long
    1348      505715 : split_exponent(ulong e, GEN *x)
    1349             : {
    1350             :   GEN fa, P, E;
    1351      505715 :   long i, j, l, k = 1;
    1352      505715 :   if (e == 1) return 1;
    1353          14 :   fa = factoru(e);
    1354          14 :   P = gel(fa,1);
    1355          14 :   E = gel(fa,2); l = lg(P);
    1356          28 :   for (i = 1; i < l; i++)
    1357             :   {
    1358          14 :     ulong p = P[i];
    1359          28 :     for (j = 0; j < E[i]; j++)
    1360             :     {
    1361             :       GEN y;
    1362          14 :       if (!is_kth_power(*x, p, &y)) break;
    1363          14 :       k *= p; *x = y;
    1364             :     }
    1365             :   }
    1366          14 :   return k;
    1367             : }
    1368             : 
    1369             : static long
    1370      864808 : Z_isanypower_nosmalldiv(GEN *px)
    1371             : { /* any prime divisor of x is > 102 */
    1372      864808 :   const double LOG2_103 = 6.6865; /* lower bound for log_2(103) */
    1373      864808 :   const double LOG103 = 4.6347; /* lower bound for log(103) */
    1374             :   forprime_t T;
    1375      864808 :   ulong mask = 7, e2;
    1376             :   long k, ex;
    1377      864808 :   GEN y, x = *px;
    1378             : 
    1379      864808 :   k = 1;
    1380      866229 :   while (Z_issquareall(x, &y)) { k <<= 1; x = y; }
    1381      864972 :   while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) { k *= ex; x = y; }
    1382      864808 :   e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103); /* >= log_103 (x) */
    1383      864808 :   if (u_forprime_init(&T, 11, e2))
    1384             :   {
    1385       17024 :     GEN logx = NULL;
    1386       17024 :     const ulong Q = 30011; /* prime */
    1387             :     ulong p, xmodQ;
    1388       17024 :     double dlogx = 0;
    1389             :     /* cut off at x^(1/p) ~ 2^30 bits which seems to be about optimum;
    1390             :      * for large p the modular checks are no longer competitively fast */
    1391       17066 :     while ( (ex = is_pth_power(x, &y, &T, 30)) )
    1392             :     {
    1393          42 :       k *= ex; x = y;
    1394          42 :       e2 = (ulong)((expi(x) + 1) / LOG2_103);
    1395          42 :       u_forprime_restrict(&T, e2);
    1396             :     }
    1397       17024 :     if (DEBUGLEVEL>4)
    1398           0 :       err_printf("Z_isanypower: now k=%ld, x=%ld-bit\n", k, expi(x)+1);
    1399       17024 :     xmodQ = umodiu(x, Q);
    1400             :     /* test Q | x, just in case */
    1401       17024 :     if (!xmodQ) { *px = x; return k * split_exponent(Z_lval(x,Q), px); }
    1402             :     /* x^(1/p) < 2^31 */
    1403       17010 :     p = T.p;
    1404       17010 :     if (p <= e2)
    1405             :     {
    1406       16996 :       logx = logr_abs( itor(x, DEFAULTPREC) );
    1407       16996 :       dlogx = rtodbl(logx);
    1408       16996 :       e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1409             :     }
    1410      137774 :     while (p && p <= e2)
    1411             :     { /* is x a p-th power ? By computing y = round(x^(1/p)).
    1412             :        * Check whether y^p = x, first mod Q, then exactly. */
    1413      120764 :       pari_sp av = avma;
    1414             :       long e;
    1415      120764 :       GEN logy = divru(logx, p), y = grndtoi(mpexp(logy), &e);
    1416      120764 :       ulong ymodQ = umodiu(y,Q);
    1417      120764 :       if (e >= -10 || Fl_powu(ymodQ, p % (Q-1), Q) != xmodQ
    1418      120764 :                    || !equalii(powiu(y, p), x)) set_avma(av);
    1419             :       else
    1420             :       {
    1421          21 :         k *= p; x = y; xmodQ = ymodQ; logx = logy; dlogx /= p;
    1422          21 :         e2 = (ulong)(dlogx / LOG103); /* >= log_103(x) */
    1423          21 :         u_forprime_restrict(&T, e2);
    1424          21 :         continue; /* if success, retry same p */
    1425             :       }
    1426      120743 :       p = u_forprime_next(&T);
    1427             :     }
    1428             :   }
    1429      864794 :   *px = x; return k;
    1430             : }
    1431             : 
    1432             : static ulong tinyprimes[] = {
    1433             :   2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29, 31, 37, 41, 43, 47, 53, 59, 61, 67, 71,
    1434             :   73, 79, 83, 89, 97, 101, 103, 107, 109, 113, 127, 131, 137, 139, 149, 151,
    1435             :   157, 163, 167, 173, 179, 181, 191, 193, 197, 199
    1436             : };
    1437             : 
    1438             : /* disregard the sign of x, caller will take care of x < 0 */
    1439             : static long
    1440     7000973 : Z_isanypower_aux(GEN x, GEN *pty)
    1441             : {
    1442             :   long ex, v, i, l, k;
    1443             :   GEN y, P, E;
    1444     7000973 :   ulong mask, e = 0;
    1445             : 
    1446     7000973 :   if (abscmpii(x, gen_2) < 0) return 0; /* -1,0,1 */
    1447             : 
    1448     7000959 :   if (signe(x) < 0) x = negi(x);
    1449     7000959 :   k = l = 1;
    1450     7000959 :   P = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1451     7000959 :   E = cgetg(26 + 1, t_VECSMALL);
    1452             :   /* trial division */
    1453    61474525 :   for(i = 0; i < 26; i++)
    1454             :   {
    1455    60139898 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1456             :     int stop;
    1457    60139898 :     v = Z_lvalrem_stop(&x, p, &stop);
    1458    60139898 :     if (v)
    1459             :     {
    1460     7922348 :       P[l] = p;
    1461     7922348 :       E[l] = v; l++;
    1462     8170393 :       e = ugcd(e, v); if (e == 1) goto END;
    1463             :     }
    1464    54721611 :     if (stop) {
    1465      248045 :       if (is_pm1(x)) k = e;
    1466      248045 :       goto END;
    1467             :     }
    1468             :   }
    1469             : 
    1470     1334627 :   if (e)
    1471             :   { /* Bingo. Result divides e */
    1472             :     long v3, v5, v7;
    1473      505701 :     ulong e2 = e;
    1474      505701 :     v = u_lvalrem(e2, 2, &e2);
    1475      505701 :     if (v)
    1476             :     {
    1477      375249 :       for (i = 0; i < v; i++)
    1478             :       {
    1479      374171 :         if (!Z_issquareall(x, &y)) break;
    1480        1288 :         k <<= 1; x = y;
    1481             :       }
    1482             :     }
    1483      505701 :     mask = 0;
    1484      505701 :     v3 = u_lvalrem(e2, 3, &e2); if (v3) mask = 1;
    1485      505701 :     v5 = u_lvalrem(e2, 5, &e2); if (v5) mask |= 2;
    1486      505701 :     v7 = u_lvalrem(e2, 7, &e2); if (v7) mask |= 4;
    1487     1011479 :     while ( (ex = is_357_power(x, &y, &mask)) ) {
    1488          77 :       x = y;
    1489          77 :       switch(ex)
    1490             :       {
    1491          28 :         case 3: k *= 3; if (--v3 == 0) mask &= ~1; break;
    1492          28 :         case 5: k *= 5; if (--v5 == 0) mask &= ~2; break;
    1493          21 :         case 7: k *= 7; if (--v7 == 0) mask &= ~4; break;
    1494             :       }
    1495      505778 :     }
    1496      505701 :     k *= split_exponent(e2, &x);
    1497             :   }
    1498             :   else
    1499      828926 :     k = Z_isanypower_nosmalldiv(&x);
    1500     7000959 : END:
    1501     7000959 :   if (pty && k != 1)
    1502             :   {
    1503        8155 :     if (e)
    1504             :     { /* add missing small factors */
    1505        6867 :       y = powuu(P[1], E[1] / k);
    1506       14021 :       for (i = 2; i < l; i++) y = mulii(y, powuu(P[i], E[i] / k));
    1507        6867 :       x = equali1(x)? y: mulii(x,y);
    1508             :     }
    1509        8155 :     *pty = x;
    1510             :   }
    1511     7000959 :   return k == 1? 0: k;
    1512             : }
    1513             : 
    1514             : long
    1515     7000973 : Z_isanypower(GEN x, GEN *pty)
    1516             : {
    1517     7000973 :   pari_sp av = avma;
    1518     7000973 :   long k = Z_isanypower_aux(x, pty);
    1519     7000973 :   if (!k) return gc_long(av,0);
    1520        8218 :   if (signe(x) < 0)
    1521             :   {
    1522          42 :     long v = vals(k);
    1523          42 :     if (v)
    1524             :     {
    1525             :       GEN y;
    1526          28 :       k >>= v;
    1527          28 :       if (k == 1) return gc_long(av,0);
    1528          21 :       if (!pty) return gc_long(av,k);
    1529          14 :       y = *pty;
    1530          14 :       y = powiu(y, 1<<v);
    1531          14 :       togglesign(y);
    1532          14 :       *pty = gerepileuptoint(av, y);
    1533          14 :       return k;
    1534             :     }
    1535          14 :     if (pty) togglesign_safe(pty);
    1536             :   }
    1537        8190 :   if (pty) *pty = gerepilecopy(av, *pty); else set_avma(av);
    1538        8190 :   return k;
    1539             : }
    1540             : 
    1541             : /* Faster than */
    1542             : /*   !cmpii(n, int2n(vali(n))) */
    1543             : /*   !cmpis(shifti(n, -vali(n)), 1) */
    1544             : /*   expi(n) == vali(n) */
    1545             : /*   hamming(n) == 1 */
    1546             : /* even for single-word values, and much faster for multiword values. */
    1547             : /* If all you have is a word, you can just use n & !(n & (n-1)). */
    1548             : long
    1549      111978 : Z_ispow2(GEN n)
    1550             : {
    1551             :   GEN xp;
    1552             :   long i, lx;
    1553             :   ulong u;
    1554      111978 :   if (signe(n) != 1) return 0;
    1555      111971 :   xp = int_LSW(n);
    1556      111971 :   lx = lgefint(n);
    1557      111971 :   u = *xp;
    1558      112272 :   for (i = 3; i < lx; ++i)
    1559             :   {
    1560      108998 :     if (u) return 0;
    1561         301 :     xp = int_nextW(xp);
    1562         301 :     u = *xp;
    1563             :   }
    1564        3274 :   return !(u & (u-1));
    1565             : }
    1566             : 
    1567             : static long
    1568      842141 : isprimepower_i(GEN n, GEN *pt, long flag)
    1569             : {
    1570      842141 :   pari_sp av = avma;
    1571             :   long i, v;
    1572             : 
    1573      842141 :   if (typ(n) != t_INT) pari_err_TYPE("isprimepower", n);
    1574      842141 :   if (signe(n) <= 0) return 0;
    1575             : 
    1576      842141 :   if (lgefint(n) == 3)
    1577             :   {
    1578             :     ulong p;
    1579      541183 :     v = uisprimepower(n[2], &p);
    1580      541183 :     if (v)
    1581             :     {
    1582       54971 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1583       54971 :       return v;
    1584             :     }
    1585      486212 :     return 0;
    1586             :   }
    1587     1663567 :   for (i = 0; i < 26; i++)
    1588             :   {
    1589     1627685 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1590     1627685 :     v = Z_lvalrem(n, p, &n);
    1591     1627685 :     if (v)
    1592             :     {
    1593      265076 :       set_avma(av);
    1594      265076 :       if (!is_pm1(n)) return 0;
    1595         680 :       if (pt) *pt = utoipos(p);
    1596         680 :       return v;
    1597             :     }
    1598             :   }
    1599             :   /* p | n => p >= 103 */
    1600       35882 :   v = Z_isanypower_nosmalldiv(&n); /* expensive */
    1601       35882 :   if (!(flag? isprime(n): BPSW_psp(n))) return gc_long(av,0);
    1602        5570 :   if (pt) *pt = gerepilecopy(av, n); else set_avma(av);
    1603        5570 :   return v;
    1604             : }
    1605             : long
    1606      840098 : isprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,1); }
    1607             : long
    1608        2043 : ispseudoprimepower(GEN n, GEN *pt) { return isprimepower_i(n,pt,0); }
    1609             : 
    1610             : long
    1611      547770 : uisprimepower(ulong n, ulong *pp)
    1612             : { /* We must have CUTOFF^11 >= ULONG_MAX and CUTOFF^3 < ULONG_MAX.
    1613             :    * Tests suggest that 200-300 is the best range for 64-bit platforms. */
    1614      547770 :   const ulong CUTOFF = 200UL;
    1615      547770 :   const long TINYCUTOFF = 46;  /* tinyprimes[45] = 199 */
    1616      547770 :   const ulong CUTOFF3 = CUTOFF*CUTOFF*CUTOFF;
    1617             : #ifdef LONG_IS_64BIT
    1618             :   /* primes preceeding the appropriate root of ULONG_MAX. */
    1619      486672 :   const ulong ROOT9 = 137;
    1620      486672 :   const ulong ROOT8 = 251;
    1621      486672 :   const ulong ROOT7 = 563;
    1622      486672 :   const ulong ROOT5 = 7129;
    1623      486672 :   const ulong ROOT4 = 65521;
    1624             : #else
    1625       61098 :   const ulong ROOT9 = 11;
    1626       61098 :   const ulong ROOT8 = 13;
    1627       61098 :   const ulong ROOT7 = 23;
    1628       61098 :   const ulong ROOT5 = 83;
    1629       61098 :   const ulong ROOT4 = 251;
    1630             : #endif
    1631             :   ulong mask;
    1632             :   long v, i;
    1633             :   int e;
    1634      547770 :   if (n < 2) return 0;
    1635      547756 :   if (!odd(n)) {
    1636      275310 :     if (n & (n-1)) return 0;
    1637        4309 :     *pp = 2; return vals(n);
    1638             :   }
    1639      272446 :   if (n < 8) { *pp = n; return 1; } /* 3,5,7 */
    1640     3654382 :   for (i = 1/*skip p=2*/; i < TINYCUTOFF; i++)
    1641             :   {
    1642     3595307 :     ulong p = tinyprimes[i];
    1643     3595307 :     if (n % p == 0)
    1644             :     {
    1645      211726 :       v = u_lvalrem(n, p, &n);
    1646      211726 :       if (n == 1) { *pp = p; return v; }
    1647      209473 :       return 0;
    1648             :     }
    1649             :   }
    1650             :   /* p | n => p >= CUTOFF */
    1651             : 
    1652       59075 :   if (n < CUTOFF3)
    1653             :   {
    1654       46354 :     if (n < CUTOFF*CUTOFF || uisprime_101(n)) { *pp = n; return 1; }
    1655           0 :     if (uissquareall(n, &n)) { *pp = n; return 2; }
    1656           0 :     return 0;
    1657             :   }
    1658             : 
    1659             :   /* Check for squares, fourth powers, and eighth powers as appropriate. */
    1660       12721 :   v = 1;
    1661       12721 :   if (uissquareall(n, &n)) {
    1662           0 :     v <<= 1;
    1663           0 :     if (CUTOFF <= ROOT4 && uissquareall(n, &n)) {
    1664           0 :       v <<= 1;
    1665           0 :       if (CUTOFF <= ROOT8 && uissquareall(n, &n)) v <<= 1;
    1666             :     }
    1667             :   }
    1668             : 
    1669       12721 :   if (CUTOFF > ROOT5) mask = 1;
    1670             :   else
    1671             :   {
    1672       12720 :     const ulong CUTOFF5 = CUTOFF3*CUTOFF*CUTOFF;
    1673       12720 :     if (n < CUTOFF5) mask = 1; else mask = 3;
    1674       12720 :     if (CUTOFF <= ROOT7)
    1675             :     {
    1676       12720 :       const ulong CUTOFF7 = CUTOFF5*CUTOFF*CUTOFF;
    1677       12720 :       if (n >= CUTOFF7) mask = 7;
    1678             :     }
    1679             :   }
    1680             : 
    1681       12721 :   if (CUTOFF <= ROOT9 && (e = uis_357_power(n, &n, &mask))) { v *= e; mask=1; }
    1682       12721 :   if ((e = uis_357_power(n, &n, &mask))) v *= e;
    1683             : 
    1684       12721 :   if (uisprime_101(n)) { *pp = n; return v; }
    1685        6984 :   return 0;
    1686             : }
    1687             : 
    1688             : /*********************************************************************/
    1689             : /**                                                                 **/
    1690             : /**                        KRONECKER SYMBOL                         **/
    1691             : /**                                                                 **/
    1692             : /*********************************************************************/
    1693             : /* t = 3,5 mod 8 ?  (= 2 not a square mod t) */
    1694             : static int
    1695   640293425 : ome(long t)
    1696             : {
    1697   640293425 :   switch(t & 7)
    1698             :   {
    1699   365200334 :     case 3:
    1700   365200334 :     case 5: return 1;
    1701   275093091 :     default: return 0;
    1702             :   }
    1703             : }
    1704             : /* t a t_INT, is t = 3,5 mod 8 ? */
    1705             : static int
    1706     4139856 : gome(GEN t)
    1707     4139856 : { return signe(t)? ome( mod2BIL(t) ): 0; }
    1708             : 
    1709             : /* assume y odd, return kronecker(x,y) * s */
    1710             : static long
    1711   488802135 : krouu_s(ulong x, ulong y, long s)
    1712             : {
    1713   488802135 :   ulong x1 = x, y1 = y, z;
    1714  2150121929 :   while (x1)
    1715             :   {
    1716  1661367544 :     long r = vals(x1);
    1717  1661362377 :     if (r)
    1718             :     {
    1719   893011729 :       if (odd(r) && ome(y1)) s = -s;
    1720   892969146 :       x1 >>= r;
    1721             :     }
    1722  1661319794 :     if (x1 & y1 & 2) s = -s;
    1723  1661319794 :     z = y1 % x1; y1 = x1; x1 = z;
    1724             :   }
    1725   488754385 :   return (y1 == 1)? s: 0;
    1726             : }
    1727             : 
    1728             : long
    1729     5053993 : kronecker(GEN x, GEN y)
    1730             : {
    1731     5053993 :   pari_sp av = avma;
    1732     5053993 :   long s = 1, r;
    1733             :   ulong xu;
    1734             : 
    1735     5053993 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",x);
    1736     5053993 :   if (typ(y) != t_INT) pari_err_TYPE("kronecker",y);
    1737     5053993 :   switch (signe(y))
    1738             :   {
    1739          63 :     case -1: y = negi(y); if (signe(x) < 0) s = -1; break;
    1740           0 :     case 0: return is_pm1(x);
    1741             :   }
    1742     5053993 :   r = vali(y);
    1743     5053993 :   if (r)
    1744             :   {
    1745       11899 :     if (!mpodd(x)) return gc_long(av,0);
    1746       10359 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1747       10359 :     y = shifti(y,-r);
    1748             :   }
    1749     5052453 :   x = modii(x,y);
    1750     5844315 :   while (lgefint(x) > 3) /* x < y */
    1751             :   {
    1752             :     GEN z;
    1753      791863 :     r = vali(x);
    1754      791331 :     if (r)
    1755             :     {
    1756      433707 :       if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1757      434137 :       x = shifti(x,-r);
    1758             :     }
    1759             :     /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1760      790601 :     if (mod2BIL(x) & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1761      792027 :     z = remii(y,x); y = x; x = z;
    1762      791939 :     if (gc_needed(av,2))
    1763             :     {
    1764           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"kronecker");
    1765           0 :       gerepileall(av, 2, &x, &y);
    1766             :     }
    1767             :   }
    1768     5052452 :   xu = itou(x);
    1769     5052451 :   if (!xu) return is_pm1(y)? s: 0;
    1770     5031603 :   r = vals(xu);
    1771     5031603 :   if (r)
    1772             :   {
    1773     2646532 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1774     2646532 :     xu >>= r;
    1775             :   }
    1776             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1777     5031603 :   if (xu & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1778     5031604 :   return gc_long(av, krouu_s(umodiu(y,xu), xu, s));
    1779             : }
    1780             : 
    1781             : long
    1782       32781 : krois(GEN x, long y)
    1783             : {
    1784             :   ulong yu;
    1785       32781 :   long s = 1;
    1786             : 
    1787       32781 :   if (y <= 0)
    1788             :   {
    1789           7 :     if (y == 0) return is_pm1(x);
    1790           0 :     yu = (ulong)-y; if (signe(x) < 0) s = -1;
    1791             :   }
    1792             :   else
    1793       32774 :     yu = (ulong)y;
    1794       32774 :   if (!odd(yu))
    1795             :   {
    1796             :     long r;
    1797       14910 :     if (!mpodd(x)) return 0;
    1798       11088 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1799       11088 :     if (odd(r) && gome(x)) s = -s;
    1800             :   }
    1801       28952 :   return krouu_s(umodiu(x, yu), yu, s);
    1802             : }
    1803             : /* assume y != 0 */
    1804             : long
    1805   344623491 : kroiu(GEN x, ulong y)
    1806             : {
    1807             :   long r;
    1808   344623491 :   if (odd(y)) return krouu_s(umodiu(x,y), y, 1);
    1809     2143852 :   if (!mpodd(x)) return 0;
    1810     2121676 :   r = vals(y); y >>= r;
    1811     2121676 :   return krouu_s(umodiu(x,y), y, (odd(r) && gome(x))? -1: 1);
    1812             : }
    1813             : 
    1814             : /* assume y > 0, odd, return s * kronecker(x,y) */
    1815             : static long
    1816      282644 : krouodd(ulong x, GEN y, long s)
    1817             : {
    1818             :   long r;
    1819      282644 :   if (lgefint(y) == 3) return krouu_s(x, y[2], s);
    1820      143260 :   if (!x) return 0; /* y != 1 */
    1821      143260 :   r = vals(x);
    1822      143260 :   if (r)
    1823             :   {
    1824        7394 :     if (odd(r) && gome(y)) s = -s;
    1825        7394 :     x >>= r;
    1826             :   }
    1827             :   /* x=3 mod 4 && y=3 mod 4 ? (both are odd here) */
    1828      143260 :   if (x & mod2BIL(y) & 2) s = -s;
    1829      143260 :   return krouu_s(umodiu(y,x), x, s);
    1830             : }
    1831             : 
    1832             : long
    1833      281790 : krosi(long x, GEN y)
    1834             : {
    1835      281790 :   const pari_sp av = avma;
    1836      281790 :   long s = 1, r;
    1837      281790 :   switch (signe(y))
    1838             :   {
    1839           0 :     case -1: y = negi(y); if (x < 0) s = -1; break;
    1840           0 :     case 0: return (x==1 || x==-1);
    1841             :   }
    1842      281790 :   r = vali(y);
    1843      281790 :   if (r)
    1844             :   {
    1845       16842 :     if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
    1846       16842 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1847       16842 :     y = shifti(y,-r);
    1848             :   }
    1849      281790 :   if (x < 0) { x = -x; if (mod4(y) == 3) s = -s; }
    1850      281790 :   return gc_long(av, krouodd((ulong)x, y, s));
    1851             : }
    1852             : 
    1853             : long
    1854         854 : kroui(ulong x, GEN y)
    1855             : {
    1856         854 :   const pari_sp av = avma;
    1857         854 :   long s = 1, r;
    1858         854 :   switch (signe(y))
    1859             :   {
    1860           0 :     case -1: y = negi(y); break;
    1861           0 :     case 0: return x==1UL;
    1862             :   }
    1863         854 :   r = vali(y);
    1864         854 :   if (r)
    1865             :   {
    1866           0 :     if (!odd(x)) return gc_long(av,0);
    1867           0 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1868           0 :     y = shifti(y,-r);
    1869             :   }
    1870         854 :   return gc_long(av,  krouodd(x, y, s));
    1871             : }
    1872             : 
    1873             : long
    1874    80666977 : kross(long x, long y)
    1875             : {
    1876             :   ulong yu;
    1877    80666977 :   long s = 1;
    1878             : 
    1879    80666977 :   if (y <= 0)
    1880             :   {
    1881         413 :     if (y == 0) return (labs(x)==1);
    1882         385 :     yu = (ulong)-y; if (x < 0) s = -1;
    1883             :   }
    1884             :   else
    1885    80666564 :     yu = (ulong)y;
    1886    80666949 :   if (!odd(yu))
    1887             :   {
    1888             :     long r;
    1889    20766131 :     if (!odd(x)) return 0;
    1890    14904114 :     r = vals(yu); yu >>= r;
    1891    14904114 :     if (odd(r) && ome(x)) s = -s;
    1892             :   }
    1893    74804932 :   x %= (long)yu; if (x < 0) x += yu;
    1894    74804932 :   return krouu_s((ulong)x, yu, s);
    1895             : }
    1896             : 
    1897             : long
    1898    64066215 : krouu(ulong x, ulong y)
    1899             : {
    1900             :   long r;
    1901    64066215 :   if (odd(y)) return krouu_s(x, y, 1);
    1902        2145 :   if (!odd(x)) return 0;
    1903        2475 :   r = vals(y); y >>= r;
    1904        2475 :   return krouu_s(x, y, (odd(r) && ome(x))? -1: 1);
    1905             : }
    1906             : 
    1907             : /*********************************************************************/
    1908             : /**                                                                 **/
    1909             : /**                          HILBERT SYMBOL                         **/
    1910             : /**                                                                 **/
    1911             : /*********************************************************************/
    1912             : /* x,y are t_INT or t_REAL */
    1913             : static long
    1914        9977 : mphilbertoo(GEN x, GEN y)
    1915             : {
    1916        9977 :   long sx = signe(x), sy = signe(y);
    1917        9977 :   if (!sx || !sy) return 0;
    1918        9977 :   return (sx < 0 && sy < 0)? -1: 1;
    1919             : }
    1920             : 
    1921             : long
    1922       53119 : hilbertii(GEN x, GEN y, GEN p)
    1923             : {
    1924             :   pari_sp av;
    1925             :   long oddvx, oddvy, z;
    1926             : 
    1927       53119 :   if (!p) return mphilbertoo(x,y);
    1928       43163 :   if (is_pm1(p) || signe(p) < 0) pari_err_PRIME("hilbertii",p);
    1929       43163 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return 0;
    1930       43142 :   av = avma;
    1931       43142 :   oddvx = odd(Z_pvalrem(x,p,&x));
    1932       43142 :   oddvy = odd(Z_pvalrem(y,p,&y));
    1933             :   /* x, y are p-units, compute hilbert(x * p^oddvx, y * p^oddvy, p) */
    1934       43142 :   if (absequaliu(p, 2))
    1935             :   {
    1936       10684 :     z = (Mod4(x) == 3 && Mod4(y) == 3)? -1: 1;
    1937       10684 :     if (oddvx && gome(y)) z = -z;
    1938       10684 :     if (oddvy && gome(x)) z = -z;
    1939             :   }
    1940             :   else
    1941             :   {
    1942       32458 :     z = (oddvx && oddvy && mod4(p) == 3)? -1: 1;
    1943       32458 :     if (oddvx && kronecker(y,p) < 0) z = -z;
    1944       32458 :     if (oddvy && kronecker(x,p) < 0) z = -z;
    1945             :   }
    1946       43142 :   return gc_long(av, z);
    1947             : }
    1948             : 
    1949             : static void
    1950         196 : err_prec(void) { pari_err_PREC("hilbert"); }
    1951             : static void
    1952         161 : err_p(GEN p, GEN q) { pari_err_MODULUS("hilbert", p,q); }
    1953             : static void
    1954          56 : err_oo(GEN p) { pari_err_MODULUS("hilbert", p, strtoGENstr("oo")); }
    1955             : 
    1956             : /* x t_INTMOD, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.mod ].
    1957             :  * Return lift(x) provided it's p-adic accuracy is large enough to decide
    1958             :  * hilbert()'s value [ problem at p = 2 ] */
    1959             : static GEN
    1960         420 : lift_intmod(GEN x, GEN *pp)
    1961             : {
    1962         420 :   GEN p = *pp, N = gel(x,1);
    1963         420 :   x = gel(x,2);
    1964         420 :   if (!p)
    1965             :   {
    1966         266 :     *pp = p = N;
    1967         266 :     switch(itos_or_0(p))
    1968             :     {
    1969         126 :       case 2:
    1970         126 :       case 4: err_prec();
    1971             :     }
    1972         140 :     return x;
    1973             :   }
    1974         154 :   if (!signe(p)) err_oo(N);
    1975         112 :   if (absequaliu(p,2))
    1976          42 :   { if (vali(N) <= 2) err_prec(); }
    1977             :   else
    1978          70 :   { if (!dvdii(N,p)) err_p(N,p); }
    1979          28 :   if (!signe(x)) err_prec();
    1980          21 :   return x;
    1981             : }
    1982             : /* x t_PADIC, *pp = prime or NULL [ unset, set it to x.p ].
    1983             :  * Return lift(x)*p^(v(x) mod 2) provided it's p-adic accuracy is large enough
    1984             :  * to decide hilbert()'s value [ problem at p = 2 ]*/
    1985             : static GEN
    1986         210 : lift_padic(GEN x, GEN *pp)
    1987             : {
    1988         210 :   GEN p = *pp, q = gel(x,2), y = gel(x,4);
    1989         210 :   if (!p) *pp = p = q;
    1990         147 :   else if (!equalii(p,q)) err_p(p, q);
    1991         105 :   if (absequaliu(p,2) && precp(x) <= 2) err_prec();
    1992          70 :   if (!signe(y)) err_prec();
    1993          70 :   return odd(valp(x))? mulii(p,y): y;
    1994             : }
    1995             : 
    1996             : long
    1997         658 : hilbert(GEN x, GEN y, GEN p)
    1998             : {
    1999         658 :   pari_sp av = avma;
    2000         658 :   long tx = typ(x), ty = typ(y);
    2001             : 
    2002         658 :   if (p && typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("hilbert",p);
    2003         658 :   if (tx == t_REAL)
    2004             :   {
    2005          77 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    2006          63 :     switch (ty)
    2007             :     {
    2008           7 :       case t_INT:
    2009           7 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    2010           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(x,gel(y,1));
    2011          56 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    2012             :     }
    2013             :   }
    2014         581 :   if (ty == t_REAL)
    2015             :   {
    2016          14 :     if (p && signe(p)) err_oo(p);
    2017          14 :     switch (tx)
    2018             :     {
    2019          14 :       case t_INT:
    2020          14 :       case t_REAL: return mphilbertoo(x,y);
    2021           0 :       case t_FRAC: return mphilbertoo(gel(x,1),y);
    2022           0 :       default: pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    2023             :     }
    2024             :   }
    2025         567 :   if (tx == t_INTMOD) { x = lift_intmod(x, &p); tx = t_INT; }
    2026         364 :   if (ty == t_INTMOD) { y = lift_intmod(y, &p); ty = t_INT; }
    2027             : 
    2028         308 :   if (tx == t_PADIC) { x = lift_padic(x, &p); tx = t_INT; }
    2029         245 :   if (ty == t_PADIC) { y = lift_padic(y, &p); ty = t_INT; }
    2030             : 
    2031         168 :   if (tx == t_FRAC) { tx = t_INT; x = p? mulii(gel(x,1),gel(x,2)): gel(x,1); }
    2032         168 :   if (ty == t_FRAC) { ty = t_INT; y = p? mulii(gel(y,1),gel(y,2)): gel(y,1); }
    2033             : 
    2034         168 :   if (tx != t_INT || ty != t_INT) pari_err_TYPE2("hilbert",x,y);
    2035         168 :   if (p && !signe(p)) p = NULL;
    2036         168 :   return gc_long(av, hilbertii(x,y,p));
    2037             : }
    2038             : 
    2039             : /*******************************************************************/
    2040             : /*                                                                 */
    2041             : /*                       SQUARE ROOT MODULO p                      */
    2042             : /*                                                                 */
    2043             : /*******************************************************************/
    2044             : static void
    2045     3930039 : checkp(ulong q, ulong p)
    2046     3930039 : { if (!q) pari_err_PRIME("Fl_nonsquare",utoipos(p)); }
    2047             : /* p = 1 (mod 4) prime, return the first quadratic non-residue, a prime */
    2048             : static ulong
    2049    26507527 : nonsquare1_Fl(ulong p)
    2050             : {
    2051             :   forprime_t S;
    2052             :   ulong q;
    2053    26507527 :   if ((p & 7UL) != 1) return 2UL;
    2054    10611388 :   q = p % 3; if (q == 2) return 3UL;
    2055     3240670 :   checkp(q, p);
    2056     3240664 :   q = p % 5; if (q == 2 || q == 3) return 5UL;
    2057      427702 :   checkp(q, p);
    2058      427702 :   q = p % 7; if (q != 4 && q >= 3) return 7UL;
    2059      157346 :   checkp(q, p);
    2060      157346 :   u_forprime_init(&S, 11, p);
    2061      261667 :   while ((q = u_forprime_next(&S)))
    2062             :   {
    2063      261667 :     long i = krouu(q, p);
    2064      261667 :     if (i < 0) return q;
    2065      104321 :     checkp(q, p);
    2066             :   }
    2067           0 :   checkp(0, p);
    2068             :   return 0; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    2069             : }
    2070             : /* p > 2 a prime */
    2071             : ulong
    2072        7714 : nonsquare_Fl(ulong p)
    2073        7714 : { return ((p & 3UL) == 3)? p-1: nonsquare1_Fl(p); }
    2074             : 
    2075             : ulong
    2076      151700 : Fl_2gener_pre(ulong p, ulong pi)
    2077             : {
    2078      151700 :   ulong p1 = p-1;
    2079      151700 :   long e = vals(p1);
    2080      151700 :   if (e == 1) return p1;
    2081       56990 :   return Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), p1 >> e, p, pi);
    2082             : }
    2083             : 
    2084             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and (a,p) != -1. */
    2085             : ulong
    2086    63982267 : Fl_sqrt_pre_i(ulong a, ulong y, ulong p, ulong pi)
    2087             : {
    2088             :   long i, e, k;
    2089             :   ulong p1, q, v, w;
    2090             : 
    2091    63982267 :   if (!a) return 0;
    2092    62642167 :   p1 = p - 1; e = vals(p1);
    2093    62645258 :   if (e == 0) /* p = 2 */
    2094             :   {
    2095      419370 :     if (p != 2) pari_err_PRIME("Fl_sqrt [modulus]",utoi(p));
    2096      418928 :     return ((a & 1) == 0)? 0: 1;
    2097             :   }
    2098    62225888 :   if (e == 1)
    2099             :   {
    2100    35773760 :     v = Fl_powu_pre(a, (p+1) >> 2, p, pi);
    2101    35747199 :     if (Fl_sqr_pre(v, p, pi) != a) return ~0UL;
    2102    35724412 :     p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    2103    35724412 :     return v;
    2104             :   }
    2105    26452128 :   q = p1 >> e; /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2106    26452128 :   p1 = Fl_powu_pre(a, q >> 1, p, pi); /* a ^ [(q-1)/2] */
    2107    26452142 :   if (!p1) return 0;
    2108    26452142 :   v = Fl_mul_pre(a, p1, p, pi);
    2109    26452143 :   w = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    2110    26452143 :   if (!y) y = Fl_powu_pre(nonsquare1_Fl(p), q, p, pi);
    2111    48255578 :   while (w != 1)
    2112             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    2113             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    2114    21831427 :     p1 = Fl_sqr_pre(w,p,pi);
    2115    36617405 :     for (k=1; p1 != 1 && k < e; k++) p1 = Fl_sqr_pre(p1,p,pi);
    2116    21831428 :     if (k == e) return ~0UL;
    2117             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    2118    21803444 :     p1 = y;
    2119    27817249 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fl_sqr_pre(p1, p, pi);
    2120    21803444 :     y = Fl_sqr_pre(p1, p, pi); e = k;
    2121    21803444 :     w = Fl_mul_pre(y, w, p, pi);
    2122    21803443 :     v = Fl_mul_pre(v, p1, p, pi);
    2123             :   }
    2124    26424151 :   p1 = p - v; if (v > p1) v = p1;
    2125    26424151 :   return v;
    2126             : }
    2127             : 
    2128             : ulong
    2129    60512563 : Fl_sqrt(ulong a, ulong p)
    2130             : {
    2131    60512563 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2132    60517276 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2133             : }
    2134             : 
    2135             : ulong
    2136     3425092 : Fl_sqrt_pre(ulong a, ulong p, ulong pi)
    2137             : {
    2138     3425092 :   return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2139             : }
    2140             : 
    2141             : static ulong
    2142       46196 : Fl_lgener_pre_all(ulong l, long e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong *pt_m)
    2143             : {
    2144             :   ulong x, y, m;
    2145       46196 :   ulong le1 = upowuu(l, e-1);
    2146       46196 :   for (x = 2; ; x++)
    2147             :   {
    2148       73149 :     y = Fl_powu_pre(x, r, p, pi);
    2149       73149 :     if (y==1) continue;
    2150       56560 :     m = Fl_powu_pre(y, le1, p, pi);
    2151       56560 :     if (m != 1) break;
    2152             :   }
    2153       46196 :   *pt_m = m;
    2154       46196 :   return y;
    2155             : }
    2156             : 
    2157             : /* solve x^l = a , l prime in G of order q.
    2158             :  *
    2159             :  * q =  (l^e)*r, e >= 1, (r,l) = 1
    2160             :  * y generates the l-Sylow of G
    2161             :  * m = y^(l^(e-1)) != 1 */
    2162             : static ulong
    2163      111475 : Fl_sqrtl_raw(ulong a, ulong l, ulong e, ulong r, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2164             : {
    2165             :   ulong p1, v, w, z, dl;
    2166             :   ulong u2;
    2167      111475 :   if (a==0) return a;
    2168      111475 :   u2 = Fl_inv(l%r, r);
    2169      111474 :   v = Fl_powu_pre(a, u2, p, pi);
    2170      111472 :   w = Fl_powu_pre(v, l, p, pi);
    2171      111470 :   w = Fl_mul_pre(w, Fl_inv(a, p), p, pi);
    2172      111458 :   if (w==1) return v;
    2173       45482 :   if (y==0) y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &m);
    2174       64563 :   while (w!=1)
    2175             :   {
    2176       49782 :     ulong k = 0;
    2177       49782 :     p1 = w;
    2178             :     do
    2179             :     {
    2180       73797 :       z = p1; p1 = Fl_powu_pre(p1, l, p, pi);
    2181       73797 :       if (++k == e) return ULONG_MAX;
    2182       43096 :     } while (p1!=1);
    2183       19081 :     dl = Fl_log_pre(z, m, l, p, pi);
    2184       19081 :     dl = Fl_neg(dl, l);
    2185       19081 :     p1 = Fl_powu_pre(y,dl*upowuu(l,e-k-1),p,pi);
    2186       19081 :     m = Fl_powu_pre(m, dl, p, pi);
    2187       19081 :     e = k;
    2188       19081 :     v = Fl_mul_pre(p1,v,p,pi);
    2189       19081 :     y = Fl_powu_pre(p1,l,p,pi);
    2190       19081 :     w = Fl_mul_pre(y,w,p,pi);
    2191             :   }
    2192       14781 :   return v;
    2193             : }
    2194             : 
    2195             : static ulong
    2196      110389 : Fl_sqrtl_i(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi, ulong y, ulong m)
    2197             : {
    2198      110389 :   ulong r, e = u_lvalrem(p-1, l, &r);
    2199      110390 :   return Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, m);
    2200             : }
    2201             : 
    2202             : ulong
    2203      110389 : Fl_sqrtl_pre(ulong a, ulong l, ulong p, ulong pi)
    2204             : {
    2205      110389 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2206             : }
    2207             : 
    2208             : ulong
    2209           0 : Fl_sqrtl(ulong a, ulong l, ulong p)
    2210             : {
    2211           0 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2212           0 :   return Fl_sqrtl_i(a, l, p, pi, 0, 0);
    2213             : }
    2214             : 
    2215             : ulong
    2216       68257 : Fl_sqrtn_pre(ulong a, long n, ulong p, ulong pi, ulong *zetan)
    2217             : {
    2218       68257 :   ulong m, q = p-1, z;
    2219       68257 :   ulong nn = n >= 0 ? (ulong)n: -(ulong)n;
    2220       68257 :   if (a==0)
    2221             :   {
    2222       48139 :     if (n < 0) pari_err_INV("Fl_sqrtn", mkintmod(gen_0,utoi(p)));
    2223       48132 :     if (zetan) *zetan = 1UL;
    2224       48132 :     return 0;
    2225             :   }
    2226       20118 :   if (n==1)
    2227             :   {
    2228         392 :     if (zetan) *zetan = 1;
    2229         392 :     return n < 0? Fl_inv(a,p): a;
    2230             :   }
    2231       19726 :   if (n==2)
    2232             :   {
    2233        4795 :     if (zetan) *zetan = p-1;
    2234        4795 :     return Fl_sqrt_pre_i(a, 0, p, pi);
    2235             :   }
    2236       14931 :   if (a == 1 && !zetan) return a;
    2237        7336 :   m = ugcd(nn, q);
    2238        7336 :   z = 1;
    2239        7336 :   if (m!=1)
    2240             :   {
    2241         763 :     GEN F = factoru(m);
    2242             :     long i, j, e;
    2243             :     ulong r, zeta, y, l;
    2244        1582 :     for (i = nbrows(F); i; i--)
    2245             :     {
    2246         882 :       l = ucoeff(F,i,1);
    2247         882 :       j = ucoeff(F,i,2);
    2248         882 :       e = u_lvalrem(q,l, &r);
    2249         882 :       y = Fl_lgener_pre_all(l, e, r, p, pi, &zeta);
    2250         882 :       if (zetan)
    2251          98 :         z = Fl_mul_pre(z, Fl_powu_pre(y, upowuu(l,e-j), p, pi), p, pi);
    2252         882 :       if (a!=1)
    2253             :         do
    2254             :         {
    2255        1085 :           a = Fl_sqrtl_raw(a, l, e, r, p, pi, y, zeta);
    2256        1071 :           if (a==ULONG_MAX) return ULONG_MAX;
    2257        1022 :         } while (--j);
    2258             :     }
    2259             :   }
    2260        7273 :   if (m != nn)
    2261             :   {
    2262        6594 :     ulong qm = q/m, nm = nn/m;
    2263        6594 :     a = Fl_powu_pre(a, Fl_inv(nm%qm, qm), p, pi);
    2264             :   }
    2265        7273 :   if (n < 0) a = Fl_inv(a, p);
    2266        7273 :   if (zetan) *zetan = z;
    2267        7273 :   return a;
    2268             : }
    2269             : 
    2270             : ulong
    2271       68257 : Fl_sqrtn(ulong a, long n, ulong p, ulong *zetan)
    2272             : {
    2273       68257 :   ulong pi = get_Fl_red(p);
    2274       68257 :   return Fl_sqrtn_pre(a, n, p, pi, zetan);
    2275             : }
    2276             : 
    2277             : /* Cipolla is better than Tonelli-Shanks when e = v_2(p-1) is "too big".
    2278             :  * Otherwise, is a constant times worse; for p = 3 (mod 4), is about 3 times worse,
    2279             :  * and in average is about 2 or 2.5 times worse. But try both algorithms for
    2280             :  * S(n) = (2^n+3)^2-8 with n = 750, 771, 779, 790, 874, 1176, 1728, 2604, etc.
    2281             :  *
    2282             :  * If X^2 := t^2 - a  is not a square in F_p (so X is in F_p^2), then
    2283             :  *   (t+X)^(p+1) = (t-X)(t+X) = a,   hence  sqrt(a) = (t+X)^((p+1)/2)  in F_p^2.
    2284             :  * If (a|p)=1, then sqrt(a) is in F_p.
    2285             :  * cf: LNCS 2286, pp 430-434 (2002)  [Gonzalo Tornaria] */
    2286             : 
    2287             : /* compute y^2, y = y[1] + y[2] X */
    2288             : static GEN
    2289         449 : sqrt_Cipolla_sqr(void *data, GEN y)
    2290             : {
    2291         449 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), p = gel(data,2), n = gel(data,3);
    2292         449 :   GEN u2 = sqri(u), v2 = sqri(v);
    2293         449 :   v = subii(sqri(addii(v,u)), addii(u2,v2));
    2294         449 :   u = addii(u2, mulii(v2,n));
    2295             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2296         449 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2297             : }
    2298             : /* compute (t+X) y^2 */
    2299             : static GEN
    2300          23 : sqrt_Cipolla_msqr(void *data, GEN y)
    2301             : {
    2302          23 :   GEN u = gel(y,1), v = gel(y,2), a = gel(data,1), p = gel(data,2), gt = gel(data,4);
    2303          23 :   ulong t = gt[2];
    2304          23 :   GEN d = addii(u, mului(t,v)), d2= sqri(d);
    2305          23 :   GEN b = remii(mulii(a,v), p);
    2306          23 :   u = subii(mului(t,d2), mulii(b,addii(u,d)));
    2307          23 :   v = subii(d2, mulii(b,v));
    2308             :   /* NOT mkvec2: must be gerepileupto-able */
    2309          23 :   retmkvec2(modii(u,p), modii(v,p));
    2310             : }
    2311             : /* assume a reduced mod p [ otherwise correct but inefficient ] */
    2312             : static GEN
    2313           8 : sqrt_Cipolla(GEN a, GEN p)
    2314             : {
    2315             :   pari_sp av1;
    2316             :   GEN u, v, n, y, pov2;
    2317             :   ulong t;
    2318             : 
    2319           8 :   if (kronecker(a, p) < 0) return NULL;
    2320           8 :   pov2 = shifti(p,-1);
    2321           8 :   if (cmpii(a,pov2) > 0) a = subii(a,p); /* center: avoid multiplying by huge base*/
    2322             : 
    2323           8 :   av1 = avma;
    2324           8 :   for(t=1; ; t++)
    2325             :   {
    2326          41 :     n = subsi((long)(t*t), a);
    2327          41 :     if (kronecker(n, p) < 0) break;
    2328          33 :     set_avma(av1);
    2329             :   }
    2330             : 
    2331             :   /* compute (t+X)^((p-1)/2) =: u+vX */
    2332           8 :   u = utoipos(t);
    2333           8 :   y = gen_pow_fold(mkvec2(u, gen_1), pov2, mkvec4(a,p,n,u),
    2334             :                          sqrt_Cipolla_sqr, sqrt_Cipolla_msqr);
    2335             :   /* Now u+vX = (t+X)^((p-1)/2); thus
    2336             :    *   (u+vX)(t+X) = sqrt(a) + 0 X
    2337             :    * Whence,
    2338             :    *   sqrt(a) = (u+vt)t - v*a
    2339             :    *   0       = (u+vt)
    2340             :    * Thus a square root is v*a */
    2341             : 
    2342           8 :   v = Fp_mul(gel(y, 2), a, p);
    2343           8 :   if (cmpii(v,pov2) > 0) v = subii(p,v);
    2344           8 :   return v;
    2345             : }
    2346             : 
    2347             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2348             : static GEN
    2349        2823 : Fp_2gener_all(long e, GEN p)
    2350             : {
    2351             :   GEN y, m;
    2352             :   long k;
    2353        2823 :   GEN q = shifti(subiu(p,1), -e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2354        2823 :   if (e==0 && !equaliu(p,2)) return NULL;
    2355        2823 :   for (k=2; ; k++)
    2356        6632 :   {
    2357        9455 :     long i = krosi(k, p);
    2358        9455 :     if (i >= 0)
    2359             :     {
    2360        6632 :       if (i) continue;
    2361           0 :       return NULL;
    2362             :     }
    2363        2823 :     y = m = Fp_pow(utoi(k), q, p);
    2364        9654 :     for (i=1; i<e; i++)
    2365        6831 :       if (equali1(m = Fp_sqr(m, p))) break;
    2366        2823 :     if (i == e) break; /* success */
    2367             :   }
    2368        2823 :   return y;
    2369             : }
    2370             : 
    2371             : /* Return NULL if p is found to be composite */
    2372             : GEN
    2373         980 : Fp_2gener(GEN p)
    2374         980 : { return Fp_2gener_all(vali(subis(p,1)),p); }
    2375             : 
    2376             : /* smallest square root */
    2377             : static GEN
    2378       31893 : choose_sqrt(GEN v, GEN p)
    2379             : {
    2380       31893 :   pari_sp av = avma;
    2381       31893 :   GEN q = subii(p,v);
    2382       31892 :   if (cmpii(v,q) > 0) v = q; else set_avma(av);
    2383       31890 :   return v;
    2384             : }
    2385             : /* Tonelli-Shanks. Assume p is prime and return NULL if (a,p) = -1. */
    2386             : GEN
    2387     3494485 : Fp_sqrt_i(GEN a, GEN y, GEN p)
    2388             : {
    2389     3494485 :   pari_sp av = avma;
    2390             :   long i, k, e;
    2391             :   GEN p1, q, v, w;
    2392             : 
    2393     3494485 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",a);
    2394     3494485 :   if (typ(p) != t_INT) pari_err_TYPE("Fp_sqrt",p);
    2395     3494485 :   if (signe(p) <= 0 || equali1(p)) pari_err_PRIME("Fp_sqrt",p);
    2396     3494484 :   if (lgefint(p) == 3)
    2397             :   {
    2398     3462474 :     ulong pp = uel(p,2), u = Fl_sqrt(umodiu(a, pp), pp);
    2399     3462492 :     if (u == ~0UL) return NULL;
    2400     3462450 :     return utoi(u);
    2401             :   }
    2402             : 
    2403       32010 :   a = modii(a, p); if (!signe(a)) { set_avma(av); return gen_0; }
    2404       31898 :   p1 = subiu(p,1); e = vali(p1);
    2405       31913 :   if (e <= 2)
    2406             :   { /* direct formulas more efficient */
    2407             :     pari_sp av2;
    2408       25916 :     if (e == 0) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p); /* p != 2 */
    2409       25916 :     if (e == 1)
    2410             :     {
    2411       15638 :       q = addiu(shifti(p1,-2),1); /* (p+1) / 4 */
    2412       15635 :       v = Fp_pow(a, q, p);
    2413             :     }
    2414             :     else
    2415             :     { /* Atkin's formula */
    2416       10278 :       GEN i, a2 = shifti(a,1);
    2417       10278 :       if (cmpii(a2,p) >= 0) a2 = subii(a2,p);
    2418       10278 :       q = shifti(p1, -3); /* (p-5)/8 */
    2419       10277 :       v = Fp_pow(a2, q, p);
    2420       10279 :       i = Fp_mul(a2, Fp_sqr(v,p), p); /* i^2 = -1 */
    2421       10279 :       v = Fp_mul(a, Fp_mul(v, subiu(i,1), p), p);
    2422             :     }
    2423       25928 :     av2 = avma;
    2424             :     /* must check equality in case (a/p) = -1 or p not prime */
    2425       25928 :     e = equalii(Fp_sqr(v,p), a); set_avma(av2);
    2426       25927 :     return e? gerepileuptoint(av,choose_sqrt(v,p)): NULL;
    2427             :   }
    2428             :   /* On average, Cipolla is better than Tonelli/Shanks if and only if
    2429             :    * e(e-1) > 8*log2(n)+20, see LNCS 2286 pp 430 [GTL] */
    2430        5997 :   if (e*(e-1) > 20 + 8 * expi(p))
    2431             :   {
    2432           8 :     v = sqrt_Cipolla(a,p); if (!v) return gc_NULL(av);
    2433           8 :     return gerepileuptoint(av,v);
    2434             :   }
    2435        5988 :   if (!y)
    2436             :   {
    2437        1843 :     y = Fp_2gener_all(e, p);
    2438        1843 :     if (!y) pari_err_PRIME("Fp_sqrt [modulus]",p);
    2439             :   }
    2440        5988 :   q = shifti(p1,-e); /* q = (p-1)/2^oo is odd */
    2441        5991 :   p1 = Fp_pow(a, shifti(q,-1), p); /* a ^ (q-1)/2 */
    2442        5990 :   v = Fp_mul(a, p1, p);
    2443        5990 :   w = Fp_mul(v, p1, p);
    2444       14514 :   while (!equali1(w))
    2445             :   { /* a*w = v^2, y primitive 2^e-th root of 1
    2446             :        a square --> w even power of y, hence w^(2^(e-1)) = 1 */
    2447        8530 :     p1 = Fp_sqr(w,p);
    2448       18444 :     for (k=1; !equali1(p1) && k < e; k++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2449        8525 :     if (k == e) return gc_NULL(av); /* p composite or (a/p) != 1 */
    2450             :     /* w ^ (2^k) = 1 --> w = y ^ (u * 2^(e-k)), u odd */
    2451        8525 :     p1 = y;
    2452       12362 :     for (i=1; i < e-k; i++) p1 = Fp_sqr(p1,p);
    2453        8524 :     y = Fp_sqr(p1, p); e = k;
    2454        8528 :     w = Fp_mul(y, w, p);
    2455        8529 :     v = Fp_mul(v, p1, p);
    2456        8525 :     if (gc_needed(av,1))
    2457             :     {
    2458           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"Fp_sqrt");
    2459           0 :       gerepileall(av,3, &y,&w,&v);
    2460             :     }
    2461             :   }
    2462        5981 :   return gerepileuptoint(av, choose_sqrt(v,p));
    2463             : }
    2464             : 
    2465             : GEN
    2466     3475720 : Fp_sqrt(GEN a, GEN p)
    2467             : {
    2468     3475720 :   return Fp_sqrt_i(a, NULL, p);
    2469             : }
    2470             : 
    2471             : /*********************************************************************/
    2472             : /**                                                                 **/
    2473             : /**                        GCD & BEZOUT                             **/
    2474             : /**                                                                 **/
    2475             : /*********************************************************************/
    2476             : 
    2477             : GEN
    2478    28769164 : lcmii(GEN x, GEN y)
    2479             : {
    2480             :   pari_sp av;
    2481             :   GEN a, b;
    2482    28769164 :   if (!signe(x) || !signe(y)) return gen_0;
    2483    28769170 :   av = avma; a = gcdii(x,y);
    2484    28769151 :   if (absequalii(a,y)) { set_avma(av); return absi(x); }
    2485     5681544 :   if (!equali1(a)) y = diviiexact(y,a);
    2486     5681544 :   b = mulii(x,y); setabssign(b); return gerepileuptoint(av, b);
    2487             : }
    2488             : 
    2489             : /* given x in assume 0 < x < N; return u in (Z/NZ)^* such that u x = gcd(x,N) (mod N);
    2490             :  * set *pd = gcd(x,N) */
    2491             : GEN
    2492     4503320 : Fp_invgen(GEN x, GEN N, GEN *pd)
    2493             : {
    2494             :   GEN d, d0, e, v;
    2495     4503320 :   if (lgefint(N) == 3)
    2496             :   {
    2497     3720587 :     ulong dd, NN = N[2], xx = umodiu(x,NN);
    2498     3720587 :     if (!xx) { *pd = N; return gen_0; }
    2499     3720587 :     xx = Fl_invgen(xx, NN, &dd);
    2500     3720587 :     *pd = utoi(dd); return utoi(xx);
    2501             :   }
    2502      782733 :   *pd = d = bezout(x, N, &v, NULL);
    2503      782733 :   if (equali1(d)) return v;
    2504             :   /* vx = gcd(x,N) (mod N), v coprime to N/d but need not be coprime to N */
    2505      738437 :   e = diviiexact(N,d);
    2506      738437 :   d0 = Z_ppo(d, e); /* d = d0 d1, d0 coprime to N/d, rad(d1) | N/d */
    2507      738437 :   if (equali1(d0)) return v;
    2508      616230 :   if (!equalii(d,d0)) e = lcmii(e, diviiexact(d,d0));
    2509      616230 :   return Z_chinese_coprime(v, gen_1, e, d0, mulii(e,d0));
    2510             : }
    2511             : 
    2512             : /*********************************************************************/
    2513             : /**                                                                 **/
    2514             : /**                      CHINESE REMAINDERS                         **/
    2515             : /**                                                                 **/
    2516             : /*********************************************************************/
    2517             : 
    2518             : /* Chinese Remainder Theorem.  x and y must have the same type (integermod,
    2519             :  * polymod, or polynomial/vector/matrix recursively constructed with these
    2520             :  * as coefficients). Creates (with the same type) a z in the same residue
    2521             :  * class as x and the same residue class as y, if it is possible.
    2522             :  *
    2523             :  * We also allow (during recursion) two identical objects even if they are
    2524             :  * not integermod or polymod. For example:
    2525             :  *
    2526             :  * ? x = [1, Mod(5, 11), Mod(X + Mod(2, 7), X^2 + 1)];
    2527             :  * ? y = [1, Mod(7, 17), Mod(X + Mod(0, 3), X^2 + 1)];
    2528             :  * ? chinese(x, y)
    2529             :  * %3 = [1, Mod(16, 187), Mod(X + mod(9, 21), X^2 + 1)] */
    2530             : 
    2531             : static GEN
    2532      537795 : gen_chinese(GEN x, GEN(*f)(GEN,GEN))
    2533             : {
    2534      537795 :   GEN z = gassoc_proto(f,x,NULL);
    2535      537788 :   if (z == gen_1) retmkintmod(gen_0,gen_1);
    2536      537753 :   return z;
    2537             : }
    2538             : 
    2539             : /* x t_INTMOD, y t_POLMOD; promote x to t_POLMOD mod Pol(x.mod) then
    2540             :  * call chinese: makes Mod(0,1) a better "neutral" element */
    2541             : static GEN
    2542          21 : chinese_intpol(GEN x,GEN y)
    2543             : {
    2544          21 :   pari_sp av = avma;
    2545          21 :   GEN z = mkpolmod(gel(x,2), scalarpol_shallow(gel(x,1), varn(gel(y,1))));
    2546          21 :   return gerepileupto(av, chinese(z, y));
    2547             : }
    2548             : 
    2549             : GEN
    2550          49 : chinese1(GEN x) { return gen_chinese(x,chinese); }
    2551             : 
    2552             : GEN
    2553       16504 : chinese(GEN x, GEN y)
    2554             : {
    2555             :   pari_sp av;
    2556       16504 :   long tx = typ(x), ty;
    2557             :   GEN z,p1,p2,d,u,v;
    2558             : 
    2559       16504 :   if (!y) return chinese1(x);
    2560       16455 :   if (gidentical(x,y)) return gcopy(x);
    2561       16448 :   ty = typ(y);
    2562       16448 :   if (tx == ty) switch(tx)
    2563             :   {
    2564          28 :     case t_POLMOD:
    2565             :     {
    2566          28 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2567          28 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2);
    2568          28 :       if (varn(A)!=varn(B)) pari_err_VAR("chinese",A,B);
    2569          28 :       if (RgX_equal(A,B)) retmkpolmod(chinese(a,b), gcopy(A)); /*same modulus*/
    2570          28 :       av = avma;
    2571          28 :       d = RgX_extgcd(A,B,&u,&v);
    2572          28 :       p2 = gsub(b, a);
    2573          28 :       if (!gequal0(gmod(p2, d))) break;
    2574          28 :       p1 = gdiv(A,d);
    2575          28 :       p2 = gadd(a, gmul(gmul(u,p1), p2));
    2576             : 
    2577          28 :       z = cgetg(3, t_POLMOD);
    2578          28 :       gel(z,1) = gmul(p1,B);
    2579          28 :       gel(z,2) = gmod(p2,gel(z,1));
    2580          28 :       return gerepileupto(av, z);
    2581             :     }
    2582       16385 :     case t_INTMOD:
    2583             :     {
    2584       16385 :       GEN A = gel(x,1), B = gel(y,1);
    2585       16385 :       GEN a = gel(x,2), b = gel(y,2), c, d, C, U;
    2586       16385 :       z = cgetg(3,t_INTMOD);
    2587       16385 :       Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, &d);
    2588       16385 :       c = Z_chinese_post(a, b, C, U, d);
    2589       16385 :       if (!c) pari_err_OP("chinese", x,y);
    2590       16385 :       set_avma((pari_sp)z);
    2591       16385 :       gel(z,1) = icopy(C);
    2592       16385 :       gel(z,2) = icopy(c); return z;
    2593             :     }
    2594           7 :     case t_POL:
    2595             :     {
    2596           7 :       long i, lx = lg(x), ly = lg(y);
    2597           7 :       if (varn(x) != varn(y)) break;
    2598           7 :       if (lx < ly) { swap(x,y); lswap(lx,ly); }
    2599           7 :       z = cgetg(lx, t_POL); z[1] = x[1];
    2600          21 :       for (i=2; i<ly; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2601          14 :       for (   ; i<lx; i++) gel(z,i) = gcopy(gel(x,i));
    2602           7 :       return z;
    2603             :     }
    2604             : 
    2605           7 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    2606             :     {
    2607             :       long i, lx;
    2608           7 :       z = cgetg_copy(x, &lx); if (lx!=lg(y)) break;
    2609          21 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(z,i) = chinese(gel(x,i),gel(y,i));
    2610           7 :       return z;
    2611             :     }
    2612             :   }
    2613          21 :   if (tx == t_POLMOD && ty == t_INTMOD) return chinese_intpol(y,x);
    2614           7 :   if (ty == t_POLMOD && tx == t_INTMOD) return chinese_intpol(x,y);
    2615           0 :   pari_err_OP("chinese",x,y);
    2616             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    2617             : }
    2618             : 
    2619             : /* init chinese(Mod(.,A), Mod(.,B)) */
    2620             : void
    2621      240184 : Z_chinese_pre(GEN A, GEN B, GEN *pC, GEN *pU, GEN *pd)
    2622             : {
    2623      240184 :   GEN u, d = bezout(A,B,&u,NULL); /* U = u(A/d), u(A/d) + v(B/d) = 1 */
    2624      240181 :   GEN t = diviiexact(A,d);
    2625      240165 :   *pU = mulii(u, t);
    2626      240157 :   *pC = mulii(t, B);
    2627      240160 :   if (pd) *pd = d;
    2628      240160 : }
    2629             : /* Assume C = lcm(A, B), U = 0 mod (A/d), U = 1 mod (B/d), a = b mod d,
    2630             :  * where d = gcd(A,B) or NULL, return x = a (mod A), b (mod B).
    2631             :  * If d not NULL, check whether a = b mod d. */
    2632             : GEN
    2633     1442613 : Z_chinese_post(GEN a, GEN b, GEN C, GEN U, GEN d)
    2634             : {
    2635             :   GEN b_a;
    2636     1442613 :   if (!signe(a))
    2637             :   {
    2638      401040 :     if (d && !dvdii(b, d)) return NULL;
    2639      401040 :     return Fp_mul(b, U, C);
    2640             :   }
    2641     1041573 :   b_a = subii(b,a);
    2642     1041573 :   if (d && !dvdii(b_a, d)) return NULL;
    2643     1041573 :   return modii(addii(a, mulii(U, b_a)), C);
    2644             : }
    2645             : static ulong
    2646     2224618 : u_chinese_post(ulong a, ulong b, ulong C, ulong U)
    2647             : {
    2648     2224618 :   if (!a) return Fl_mul(b, U, C);
    2649     2224618 :   return Fl_add(a, Fl_mul(U, Fl_sub(b,a,C), C), C);
    2650             : }
    2651             : 
    2652             : GEN
    2653        2142 : Z_chinese(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B)
    2654             : {
    2655        2142 :   pari_sp av = avma;
    2656        2142 :   GEN C, U; Z_chinese_pre(A, B, &C, &U, NULL);
    2657        2142 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b, C, U, NULL));
    2658             : }
    2659             : GEN
    2660      221601 : Z_chinese_all(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN *pC)
    2661             : {
    2662      221601 :   GEN U; Z_chinese_pre(A, B, pC, &U, NULL);
    2663      221577 :   return Z_chinese_post(a,b, *pC, U, NULL);
    2664             : }
    2665             : 
    2666             : /* return lift(chinese(a mod A, b mod B))
    2667             :  * assume(A,B)=1, a,b,A,B integers and C = A*B */
    2668             : GEN
    2669      617280 : Z_chinese_coprime(GEN a, GEN b, GEN A, GEN B, GEN C)
    2670             : {
    2671      617280 :   pari_sp av = avma;
    2672      617280 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2673      617280 :   return gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2674             : }
    2675             : ulong
    2676     2224618 : u_chinese_coprime(ulong a, ulong b, ulong A, ulong B, ulong C)
    2677     2224618 : { return u_chinese_post(a,b,C, A * Fl_inv(A % B,B)); }
    2678             : 
    2679             : /* chinese1 for coprime moduli in Z */
    2680             : static GEN
    2681      584906 : chinese1_coprime_Z_aux(GEN x, GEN y)
    2682             : {
    2683      584906 :   GEN z = cgetg(3, t_INTMOD);
    2684      584906 :   GEN A = gel(x,1), a = gel(x, 2);
    2685      584906 :   GEN B = gel(y,1), b = gel(y, 2), C = mulii(A,B);
    2686      584906 :   pari_sp av = avma;
    2687      584906 :   GEN U = mulii(Fp_inv(A,B), A);
    2688      584906 :   gel(z,2) = gerepileuptoint(av, Z_chinese_post(a,b,C,U, NULL));
    2689      584906 :   gel(z,1) = C; return z;
    2690             : }
    2691             : GEN
    2692      537746 : chinese1_coprime_Z(GEN x) {return gen_chinese(x,chinese1_coprime_Z_aux);}
    2693             : 
    2694             : /*********************************************************************/
    2695             : /**                                                                 **/
    2696             : /**                    MODULAR EXPONENTIATION                       **/
    2697             : /**                                                                 **/
    2698             : /*********************************************************************/
    2699             : 
    2700             : /* xa, ya = t_VECSMALL */
    2701             : GEN
    2702     1138103 : ZV_producttree(GEN xa)
    2703             : {
    2704     1138103 :   long n = lg(xa)-1;
    2705     1138103 :   long m = n==1 ? 1: expu(n-1)+1;
    2706     1138103 :   GEN T = cgetg(m+1, t_VEC), t;
    2707             :   long i, j, k;
    2708     1138104 :   t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2709     1138103 :   if (typ(xa)==t_VECSMALL)
    2710             :   {
    2711     1267368 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2712      938621 :       gel(t, j) = muluu(xa[k], xa[k+1]);
    2713      328747 :     if (k==n) gel(t, j) = utoi(xa[k]);
    2714             :   } else {
    2715     1672635 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2716      863281 :       gel(t, j) = mulii(gel(xa,k), gel(xa,k+1));
    2717      809354 :     if (k==n) gel(t, j) = icopy(gel(xa,k));
    2718             :   }
    2719     1138101 :   gel(T,1) = t;
    2720     1982201 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2721             :   {
    2722      844085 :     GEN u = gel(T, i-1);
    2723      844085 :     long n = lg(u)-1;
    2724      844085 :     t = cgetg(((n+1)>>1)+1, t_VEC);
    2725     1950918 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2726     1106818 :       gel(t, j) = mulii(gel(u, k), gel(u, k+1));
    2727      844100 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(u, k);
    2728      844100 :     gel(T, i) = t;
    2729             :   }
    2730     1138116 :   return T;
    2731             : }
    2732             : 
    2733             : /* return [A mod P[i], i=1..#P], T = ZV_producttree(P) */
    2734             : GEN
    2735    31495926 : Z_ZV_mod_tree(GEN A, GEN P, GEN T)
    2736             : {
    2737             :   long i,j,k;
    2738    31495926 :   long m = lg(T)-1, n = lg(P)-1;
    2739             :   GEN t;
    2740    31495926 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2741    31430081 :   gel(Tp, m) = mkvec(A);
    2742    76059924 :   for (i=m-1; i>=1; i--)
    2743             :   {
    2744    44809833 :     GEN u = gel(T, i);
    2745    44809833 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2746    44809833 :     long n = lg(u)-1;
    2747    44809833 :     t = cgetg(n+1, t_VEC);
    2748   128489121 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2749             :     {
    2750    83951154 :       gel(t, k)   = modii(gel(v, j), gel(u, k));
    2751    83740691 :       gel(t, k+1) = modii(gel(v, j), gel(u, k+1));
    2752             :     }
    2753    44537967 :     if (k==n) gel(t, k) = gel(v, j);
    2754    44537967 :     gel(Tp, i) = t;
    2755             :   }
    2756             :   {
    2757    31250091 :     GEN u = gel(T, i+1);
    2758    31250091 :     GEN v = gel(Tp, i+1);
    2759    31250091 :     long l = lg(u)-1;
    2760    31250091 :     if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2761             :     {
    2762    30118999 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VECSMALL);
    2763   144974193 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2764             :       {
    2765   114311760 :         uel(R,k) = umodiu(gel(v, j), P[k]);
    2766   114797450 :         if (k < n)
    2767   104450819 :           uel(R,k+1) = umodiu(gel(v, j), P[k+1]);
    2768             :       }
    2769    30662433 :       return R;
    2770             :     }
    2771             :     else
    2772             :     {
    2773     1131092 :       GEN R = cgetg(n+1, t_VEC);
    2774     3382449 :       for (j=1, k=1; j<=l; j++, k+=2)
    2775             :       {
    2776     2244503 :         gel(R,k) = modii(gel(v, j), gel(P,k));
    2777     2244527 :         if (k < n)
    2778     1801521 :           gel(R,k+1) = modii(gel(v, j), gel(P,k+1));
    2779             :       }
    2780     1137946 :       return R;
    2781             :     }
    2782             :   }
    2783             : }
    2784             : 
    2785             : /* T = ZV_producttree(P), R = ZV_chinesetree(P,T) */
    2786             : GEN
    2787    25256715 : ZV_chinese_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    2788             : {
    2789    25256715 :   long m = lg(T)-1, n = lg(A)-1;
    2790             :   long i,j,k;
    2791    25256715 :   GEN Tp = cgetg(m+1, t_VEC);
    2792    25232899 :   GEN M = gel(T, 1);
    2793    25232899 :   GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2794    25196447 :   if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2795             :   {
    2796    75332358 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2797             :     {
    2798    61586812 :       pari_sp av = avma;
    2799    61586812 :       GEN a = mului(A[k], gel(R,k)), b = mului(A[k+1], gel(R,k+1));
    2800    61302270 :       GEN tj = modii(addii(mului(P[k],b), mului(P[k+1],a)), gel(M,j));
    2801    61523437 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2802             :     }
    2803    13745546 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mului(A[k], gel(R,k)), gel(M, j));
    2804             :   } else
    2805             :   {
    2806    25223666 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2807             :     {
    2808    13763775 :       pari_sp av = avma;
    2809    13763775 :       GEN a = mulii(gel(A,k), gel(R,k)), b = mulii(gel(A,k+1), gel(R,k+1));
    2810    13764486 :       GEN tj = modii(addii(mulii(gel(P,k),b), mulii(gel(P,k+1),a)), gel(M,j));
    2811    13760352 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, tj);
    2812             :     }
    2813    11459891 :     if (k==n) gel(t, j) = modii(mulii(gel(A,k), gel(R,k)), gel(M, j));
    2814             :   }
    2815    25196622 :   gel(Tp, 1) = t;
    2816    54169954 :   for (i=2; i<=m; i++)
    2817             :   {
    2818    28960792 :     GEN u = gel(T, i-1), M = gel(T, i);
    2819    28960792 :     GEN t = cgetg(lg(M), t_VEC);
    2820    28982686 :     GEN v = gel(Tp, i-1);
    2821    28982686 :     long n = lg(v)-1;
    2822    86661531 :     for (j=1, k=1; k<n; j++, k+=2)
    2823             :     {
    2824    57688199 :       pari_sp av = avma;
    2825    57631828 :       gel(t, j) = gerepileuptoint(av, modii(addii(mulii(gel(u, k), gel(v, k+1)),
    2826    57688199 :             mulii(gel(u, k+1), gel(v, k))), gel(M, j)));
    2827             :     }
    2828    28973332 :     if (k==n) gel(t, j) = gel(v, k);
    2829    28973332 :     gel(Tp, i) = t;
    2830             :   }
    2831    25209162 :   return gmael(Tp,m,1);
    2832             : }
    2833             : 
    2834             : static GEN
    2835      676382 : ncV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2836             : {
    2837      676382 :   long i, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2838      676382 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V = cgetg(l, t_COL);
    2839    21984959 :   for (i=1; i < l; i++)
    2840             :   {
    2841    21308681 :     pari_sp av = avma;
    2842    21308681 :     GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
    2843             :     long j;
    2844   169230064 :     for (j=1; j < n; j++) A[j] = mael(vA,j,i);
    2845    21282170 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2846    21311210 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2847             :   }
    2848      676278 :   return V;
    2849             : }
    2850             : 
    2851             : static GEN
    2852      322085 : nxV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2853             : {
    2854      322085 :   long i, j, l, n = lg(P);
    2855      322085 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1), V, w;
    2856      322085 :   w = cgetg(n, t_VECSMALL);
    2857     1195728 :   for(j=1; j<n; j++) w[j] = lg(gel(vA,j));
    2858      322061 :   l = vecsmall_max(w);
    2859      322051 :   V = cgetg(l, t_POL);
    2860      322009 :   V[1] = mael(vA,1,1);
    2861     1763895 :   for (i=2; i < l; i++)
    2862             :   {
    2863     1441841 :     pari_sp av = avma;
    2864     1441841 :     GEN c, A = cgetg(n, typ(P));
    2865     1441452 :     if (typ(P)==t_VECSMALL)
    2866     3554937 :       for (j=1; j < n; j++) A[j] = i < w[j] ? mael(vA,j,i): 0;
    2867             :     else
    2868     1907293 :       for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = i < w[j] ? gmael(vA,j,i): gen_0;
    2869     1441452 :     c = Fp_center(ZV_chinese_tree(A, P, T, R), mod, m2);
    2870     1441889 :     gel(V,i) = gerepileuptoint(av, c);
    2871             :   }
    2872      322054 :   return ZX_renormalize(V, l);
    2873             : }
    2874             : 
    2875             : static GEN
    2876       10137 : nxCV_polint_center_tree(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2877             : {
    2878       10137 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2879       10137 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2880       10137 :   GEN V = cgetg(l, t_COL);
    2881      254417 :   for (i=1; i < l; i++)
    2882             :   {
    2883      909730 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2884      244280 :     gel(V,i) = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2885             :   }
    2886       10137 :   return V;
    2887             : }
    2888             : 
    2889             : static GEN
    2890       93017 : polint_chinese(GEN worker, GEN mA, GEN P)
    2891             : {
    2892       93017 :   long cnt, pending, n, i, j, l = lg(gel(mA,1));
    2893             :   struct pari_mt pt;
    2894             :   GEN done, va, M, A;
    2895             :   pari_timer ti;
    2896             : 
    2897       93017 :   if (l == 1) return cgetg(1, t_MAT);
    2898       63965 :   cnt = pending = 0;
    2899       63965 :   n = lg(P);
    2900       63965 :   A = cgetg(n, t_VEC);
    2901       63965 :   va = mkvec(A);
    2902       63965 :   M = cgetg(l, t_MAT);
    2903       63965 :   if (DEBUGLEVEL>4) timer_start(&ti);
    2904       63965 :   if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("Start parallel Chinese remainder: ");
    2905       63965 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, l-1);
    2906      515039 :   for (i=1; i<l || pending; i++)
    2907             :   {
    2908             :     long workid;
    2909     1978277 :     for(j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(mA,j,i);
    2910      451074 :     mt_queue_submit(&pt, i, i<l? va: NULL);
    2911      451074 :     done = mt_queue_get(&pt, &workid, &pending);
    2912      451074 :     if (done)
    2913             :     {
    2914      420326 :       gel(M,workid) = done;
    2915      420326 :       if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("%ld%% ",(++cnt)*100/(l-1));
    2916             :     }
    2917             :   }
    2918       63965 :   if (DEBUGLEVEL>5) err_printf("\n");
    2919       63965 :   if (DEBUGLEVEL>4) timer_printf(&ti, "nmV_chinese_center");
    2920       63965 :   mt_queue_end(&pt);
    2921       63965 :   return M;
    2922             : }
    2923             : 
    2924             : GEN
    2925        1986 : nxMV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
    2926             : {
    2927        1986 :   return nxCV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
    2928             : }
    2929             : 
    2930             : static GEN
    2931         559 : nxMV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2932             : {
    2933         559 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2934         559 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2935         559 :   GEN V = cgetg(l, t_MAT);
    2936        8710 :   for (i=1; i < l; i++)
    2937             :   {
    2938       29966 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2939        8151 :     gel(V,i) = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2940             :   }
    2941         559 :   return V;
    2942             : }
    2943             : 
    2944             : static GEN
    2945         115 : nxMV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2946             : {
    2947         115 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_nxMV_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
    2948         115 :   return polint_chinese(worker, mA, P);
    2949             : }
    2950             : 
    2951             : static GEN
    2952       43832 : nmV_polint_center_tree_seq(GEN vA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2953             : {
    2954       43832 :   long i, j, l = lg(gel(vA,1)), n = lg(P);
    2955       43832 :   GEN A = cgetg(n, t_VEC);
    2956       43832 :   GEN V = cgetg(l, t_MAT);
    2957      298078 :   for (i=1; i < l; i++)
    2958             :   {
    2959     1878924 :     for (j=1; j < n; j++) gel(A,j) = gmael(vA,j,i);
    2960      254243 :     gel(V,i) = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    2961             :   }
    2962       43835 :   return V;
    2963             : }
    2964             : 
    2965             : GEN
    2966      418277 : nmV_polint_center_tree_worker(GEN vA, GEN T, GEN R, GEN P, GEN m2)
    2967             : {
    2968      418277 :   return ncV_polint_center_tree(vA, P, T, R, m2);
    2969             : }
    2970             : 
    2971             : static GEN
    2972       92902 : nmV_polint_center_tree(GEN mA, GEN P, GEN T, GEN R, GEN m2)
    2973             : {
    2974       92902 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_polint_worker"), mkvec4(T, R, P, m2));
    2975       92902 :   return polint_chinese(worker, mA, P);
    2976             : }
    2977             : 
    2978             : /* return [A mod P[i], i=1..#P] */
    2979             : GEN
    2980           0 : Z_ZV_mod(GEN A, GEN P)
    2981             : {
    2982           0 :   pari_sp av = avma;
    2983           0 :   return gerepilecopy(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2984             : }
    2985             : /* P a t_VECSMALL */
    2986             : GEN
    2987           0 : Z_nv_mod(GEN A, GEN P)
    2988             : {
    2989           0 :   pari_sp av = avma;
    2990           0 :   return gerepileuptoleaf(av, Z_ZV_mod_tree(A, P, ZV_producttree(P)));
    2991             : }
    2992             : /* B a ZX, T = ZV_producttree(P) */
    2993             : GEN
    2994      565589 : ZX_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
    2995             : {
    2996             :   pari_sp av;
    2997      565589 :   long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
    2998      565589 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    2999     3222104 :   for (j=1; j <= n; j++)
    3000             :   {
    3001     2657028 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    3002     2656516 :     mael(V, j, 1) = B[1]&VARNBITS;
    3003             :   }
    3004      565076 :   av = avma;
    3005     7067319 :   for (i=2; i < l; i++)
    3006             :   {
    3007     6504077 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
    3008    55107006 :     for (j=1; j <= n; j++)
    3009    48613307 :       mael(V, j, i) = v[j];
    3010     6493699 :     set_avma(av);
    3011             :   }
    3012     3220589 :   for (j=1; j <= n; j++)
    3013     2657360 :     (void) Flx_renormalize(gel(V, j), l);
    3014      563229 :   return V;
    3015             : }
    3016             : 
    3017             : static GEN
    3018      230829 : to_ZX(GEN a, long v) { return typ(a)==t_INT? scalarpol(a,v): a; }
    3019             : 
    3020             : GEN
    3021        4631 : ZXX_nv_mod_tree(GEN P, GEN xa, GEN T, long w)
    3022             : {
    3023        4631 :   pari_sp av = avma;
    3024        4631 :   long i, j, l = lg(P), n = lg(xa)-1, vP = varn(P);
    3025        4631 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    3026       18221 :   for (j=1; j <= n; j++)
    3027             :   {
    3028       13590 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_POL);
    3029       13590 :     mael(V, j, 1) = vP;
    3030             :   }
    3031       38577 :   for (i=2; i < l; i++)
    3032             :   {
    3033       33947 :     GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(P, i), w), xa, T);
    3034      146216 :     for (j=1; j <= n; j++)
    3035      112270 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    3036             :   }
    3037       18220 :   for (j=1; j <= n; j++)
    3038       13590 :     (void) FlxX_renormalize(gel(V, j), l);
    3039        4630 :   return gerepilecopy(av, V);
    3040             : }
    3041             : 
    3042             : GEN
    3043        8414 : ZXC_nv_mod_tree(GEN C, GEN xa, GEN T, long w)
    3044             : {
    3045        8414 :   pari_sp av = avma;
    3046        8414 :   long i, j, l = lg(C), n = lg(xa)-1;
    3047        8414 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    3048       31504 :   for (j = 1; j <= n; j++)
    3049       23090 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_COL);
    3050      205284 :   for (i = 1; i < l; i++)
    3051             :   {
    3052      196874 :     GEN v = ZX_nv_mod_tree(to_ZX(gel(C, i), w), xa, T);
    3053      792709 :     for (j = 1; j <= n; j++)
    3054      595839 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    3055             :   }
    3056        8410 :   return gerepilecopy(av, V);
    3057             : }
    3058             : 
    3059             : GEN
    3060         559 : ZXM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T, long w)
    3061             : {
    3062         559 :   pari_sp av = avma;
    3063         559 :   long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
    3064         559 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    3065        2010 :   for (j=1; j <= n; j++)
    3066        1451 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
    3067        8710 :   for (i=1; i < l; i++)
    3068             :   {
    3069        8151 :     GEN v = ZXC_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T, w);
    3070       29966 :     for (j=1; j <= n; j++)
    3071       21815 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    3072             :   }
    3073         559 :   return gerepilecopy(av, V);
    3074             : }
    3075             : 
    3076             : GEN
    3077      683471 : ZV_nv_mod_tree(GEN B, GEN A, GEN T)
    3078             : {
    3079             :   pari_sp av;
    3080      683471 :   long i, j, l = lg(B), n = lg(A)-1;
    3081      683471 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    3082     4093973 :   for (j=1; j <= n; j++)
    3083     3410729 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_VECSMALL);
    3084      683244 :   av = avma;
    3085    24530593 :   for (i=1; i < l; i++)
    3086             :   {
    3087    23849949 :     GEN v = Z_ZV_mod_tree(gel(B, i), A, T);
    3088   196781692 :     for (j=1; j <= n; j++)
    3089   173058329 :       mael(V, j, i) = v[j];
    3090    23723363 :     set_avma(av);
    3091             :   }
    3092      680644 :   return V;
    3093             : }
    3094             : 
    3095             : GEN
    3096       65574 : ZM_nv_mod_tree(GEN M, GEN xa, GEN T)
    3097             : {
    3098       65574 :   pari_sp av = avma;
    3099       65574 :   long i, j, l = lg(M), n = lg(xa)-1;
    3100       65574 :   GEN V = cgetg(n+1, t_VEC);
    3101      258402 :   for (j=1; j <= n; j++)
    3102      192828 :     gel(V, j) = cgetg(l, t_MAT);
    3103      748814 :   for (i=1; i < l; i++)
    3104             :   {
    3105      683261 :     GEN v = ZV_nv_mod_tree(gel(M, i), xa, T);
    3106     4095658 :     for (j=1; j <= n; j++)
    3107     3412418 :       gmael(V, j, i) = gel(v,j);
    3108             :   }
    3109       65553 :   return gerepilecopy(av, V);
    3110             : }
    3111             : 
    3112             : static GEN
    3113     1134534 : ZV_sqr(GEN z)
    3114             : {
    3115     1134534 :   long i,l = lg(z);
    3116     1134534 :   GEN x = cgetg(l, t_VEC);
    3117     1134533 :   if (typ(z)==t_VECSMALL)
    3118     2333010 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqru(z[i]);
    3119             :   else
    3120     2823381 :     for (i=1; i<l; i++) gel(x,i) = sqri(gel(z,i));
    3121     1134509 :   return x;
    3122             : }
    3123             : 
    3124             : static GEN
    3125     6579923 : ZT_sqr(GEN x)
    3126             : {
    3127     6579923 :   if (typ(x) == t_INT)
    3128     3472519 :     return sqri(x);
    3129     8552862 :   pari_APPLY_type(t_VEC, ZT_sqr(gel(x,i)))
    3130             : }
    3131             : 
    3132             : static GEN
    3133     1134524 : ZV_invdivexact(GEN y, GEN x)
    3134             : {
    3135     1134524 :   long i, l = lg(y);
    3136     1134524 :   GEN z = cgetg(l,t_VEC);
    3137     1134521 :   if (typ(x)==t_VECSMALL)
    3138     2332500 :     for (i=1; i<l; i++)
    3139             :     {
    3140     2003959 :       pari_sp av = avma;
    3141     2003959 :       ulong a = Fl_inv(umodiu(diviuexact(gel(y,i),x[i]), x[i]), x[i]);
    3142     2004214 :       set_avma(av);
    3143     2004179 :       gel(z,i) = utoipos(a);
    3144             :     }
    3145             :   else
    3146     2823418 :     for (i=1; i<l; i++)
    3147     2017434 :       gel(z,i) = Fp_inv(diviiexact(gel(y,i), gel(x,i)), gel(x,i));
    3148     1134525 :   return z;
    3149             : }
    3150             : 
    3151             : /* P t_VECSMALL or t_VEC of t_INT  */
    3152             : GEN
    3153     1134524 : ZV_chinesetree(GEN P, GEN T)
    3154             : {
    3155     1134524 :   GEN T2 = ZT_sqr(T), P2 = ZV_sqr(P);
    3156     1134526 :   GEN mod = gmael(T,lg(T)-1,1);
    3157     1134526 :   return ZV_invdivexact(Z_ZV_mod_tree(mod, P2, T2), P);
    3158             : }
    3159             : 
    3160             : static GEN
    3161      202284 : gc_chinese(pari_sp av, GEN T, GEN a, GEN *pt_mod)
    3162             : {
    3163      202284 :   if (!pt_mod)
    3164        2573 :     return gerepileupto(av, a);
    3165             :   else
    3166             :   {
    3167      199711 :     GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    3168      199711 :     gerepileall(av, 2, &a, &mod);
    3169      199711 :     *pt_mod = mod;
    3170      199711 :     return a;
    3171             :   }
    3172             : }
    3173             : 
    3174             : GEN
    3175       49619 : ZV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3176             : {
    3177       49619 :   pari_sp av = avma;
    3178       49619 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3179       49619 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3180       49619 :   GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
    3181       49619 :   GEN mod = gmael(T, lg(T)-1, 1);
    3182       49619 :   GEN ca = Fp_center(a, mod, shifti(mod,-1));
    3183       49619 :   return gc_chinese(av, T, ca, pt_mod);
    3184             : }
    3185             : 
    3186             : GEN
    3187        4911 : ZV_chinese(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3188             : {
    3189        4911 :   pari_sp av = avma;
    3190        4911 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3191        4911 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3192        4911 :   GEN a = ZV_chinese_tree(A, P, T, R);
    3193        4911 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3194             : }
    3195             : 
    3196             : GEN
    3197       26896 : nxV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3198             : {
    3199       26896 :   pari_sp av = avma;
    3200       26896 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3201       26896 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3202       26897 :   return gerepileupto(av, a);
    3203             : }
    3204             : 
    3205             : GEN
    3206       50879 : nxV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3207             : {
    3208       50879 :   pari_sp av = avma;
    3209       50879 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3210       50879 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3211       50879 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3212       50879 :   GEN a = nxV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3213       50879 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3214             : }
    3215             : 
    3216             : GEN
    3217        3858 : ncV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3218             : {
    3219        3858 :   pari_sp av = avma;
    3220        3858 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3221        3858 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3222        3858 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3223        3858 :   GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3224        3858 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3225             : }
    3226             : 
    3227             : GEN
    3228           0 : ncV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3229             : {
    3230           0 :   pari_sp av = avma;
    3231           0 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3232           0 :   GEN a = ncV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3233           0 :   return gerepileupto(av, a);
    3234             : }
    3235             : 
    3236             : GEN
    3237           0 : nmV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3238             : {
    3239           0 :   pari_sp av = avma;
    3240           0 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3241           0 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3242           0 :   return gerepileupto(av, a);
    3243             : }
    3244             : 
    3245             : GEN
    3246       43831 : nmV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3247             : {
    3248       43831 :   pari_sp av = avma;
    3249       43831 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3250       43832 :   GEN a = nmV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
    3251       43835 :   return gerepileupto(av, a);
    3252             : }
    3253             : 
    3254             : GEN
    3255       92902 : nmV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3256             : {
    3257       92902 :   pari_sp av = avma;
    3258       92902 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3259       92902 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3260       92902 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3261       92902 :   GEN a = nmV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3262       92902 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3263             : }
    3264             : 
    3265             : GEN
    3266           0 : nxCV_chinese_center_tree(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3267             : {
    3268           0 :   pari_sp av = avma;
    3269           0 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3270           0 :   GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3271           0 :   return gerepileupto(av, a);
    3272             : }
    3273             : 
    3274             : GEN
    3275           0 : nxCV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3276             : {
    3277           0 :   pari_sp av = avma;
    3278           0 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3279           0 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3280           0 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3281           0 :   GEN a = nxCV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3282           0 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3283             : }
    3284             : 
    3285             : GEN
    3286         559 : nxMV_chinese_center_tree_seq(GEN A, GEN P, GEN T, GEN R)
    3287             : {
    3288         559 :   pari_sp av = avma;
    3289         559 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3290         559 :   GEN a = nxMV_polint_center_tree_seq(A, P, T, R, m2);
    3291         559 :   return gerepileupto(av, a);
    3292             : }
    3293             : 
    3294             : GEN
    3295         115 : nxMV_chinese_center(GEN A, GEN P, GEN *pt_mod)
    3296             : {
    3297         115 :   pari_sp av = avma;
    3298         115 :   GEN T = ZV_producttree(P);
    3299         115 :   GEN R = ZV_chinesetree(P, T);
    3300         115 :   GEN m2 = shifti(gmael(T, lg(T)-1, 1), -1);
    3301         115 :   GEN a = nxMV_polint_center_tree(A, P, T, R, m2);
    3302         115 :   return gc_chinese(av, T, a, pt_mod);
    3303             : }
    3304             : 
    3305             : /**********************************************************************
    3306             :  **                                                                  **
    3307             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, small N              **
    3308             :  **                                                                  **
    3309             :  **********************************************************************/
    3310             : 
    3311             : /* 2^n mod p; assume n > 1 */
    3312             : static ulong
    3313    20164718 : Fl_2powu_pre(ulong n, ulong p, ulong pi)
    3314             : {
    3315    20164718 :   ulong y = 2;
    3316    20164718 :   int j = 1+bfffo(n);
    3317             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    3318    20164718 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    3319   402991110 :   for (; j; n<<=1,j--)
    3320             :   {
    3321   382831312 :     y = Fl_sqr_pre(y,p,pi);
    3322   382789935 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    3323             :   }
    3324    20159798 :   return y;
    3325             : }
    3326             : 
    3327             : /* 2^n mod p; assume n > 1 and !(p & HIGHMASK) */
    3328             : static ulong
    3329      771579 : Fl_2powu(ulong n, ulong p)
    3330             : {
    3331      771579 :   ulong y = 2;
    3332      771579 :   int j = 1+bfffo(n);
    3333             :   /* normalize, i.e set highest bit to 1 (we know n != 0) */
    3334      771579 :   n<<=j; j = BITS_IN_LONG-j; /* first bit is now implicit */
    3335     2793065 :   for (; j; n<<=1,j--)
    3336             :   {
    3337     2021486 :     y = (y*y) % p;
    3338     2021486 :     if (n & HIGHBIT) y = Fl_double(y, p);
    3339             :   }
    3340      771579 :   return y;
    3341             : }
    3342             : 
    3343             : ulong
    3344    96235037 : Fl_powu_pre(ulong x, ulong n0, ulong p, ulong pi)
    3345             : {
    3346             :   ulong y, z, n;
    3347    96235037 :   if (n0 <= 1)
    3348             :   { /* frequent special cases */
    3349    11547717 :     if (n0 == 1) return x;
    3350     3169470 :     if (n0 == 0) return 1;
    3351             :   }
    3352    84687320 :   if (x <= 2)
    3353             :   {
    3354    22029601 :     if (x == 2) return Fl_2powu_pre(n0, p, pi);
    3355     1863970 :     return x; /* 0 or 1 */
    3356             :   }
    3357    62657719 :   y = 1; z = x; n = n0;
    3358             :   for(;;)
    3359             :   {
    3360   548385602 :     if (n&1) y = Fl_mul_pre(y,z,p,pi);
    3361   548513432 :     n>>=1; if (!n) return y;
    3362   485874366 :     z = Fl_sqr_pre(z,p,pi);
    3363             :   }
    3364             : }
    3365             : 
    3366             : ulong
    3367    50493967 : Fl_powu(ulong x, ulong n0, ulong p)
    3368             : {
    3369             :   ulong y, z, n;
    3370    50493967 :   if (n0 <= 2)
    3371             :   { /* frequent special cases */
    3372    37239038 :     if (n0 == 2) return Fl_sqr(x,p);
    3373     5131289 :     if (n0 == 1) return x;
    3374       65118 :     if (n0 == 0) return 1;
    3375             :   }
    3376    13244473 :   if (x <= 1) return x; /* 0 or 1 */
    3377    13194458 :   if (p & HIGHMASK)
    3378      992622 :     return Fl_powu_pre(x, n0, p, get_Fl_red(p));
    3379    12201836 :   if (x == 2) return Fl_2powu(n0, p);
    3380    11430257 :   y = 1; z = x; n = n0;
    3381             :   for(;;)
    3382             :   {
    3383   135628702 :     if (n&1) y = (y*z) % p;
    3384   135628702 :     n>>=1; if (!n) return y;
    3385   124198445 :     z = (z*z) % p;
    3386             :   }
    3387             : }
    3388             : 
    3389             : /* Reduce data dependency to maximize internal parallelism */
    3390             : GEN
    3391    11079235 : Fl_powers_pre(ulong x, long n, ulong p, ulong pi)
    3392             : {
    3393             :   long i, k;
    3394    11079235 :   GEN powers = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
    3395    11071375 :   powers[1] = 1; if (n == 0) return powers;
    3396    11071375 :   powers[2] = x;
    3397    46601384 :   for (i = 3, k=2; i <= n; i+=2, k++)
    3398             :   {
    3399    35519305 :     powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
    3400    35517621 :     powers[i+1] = Fl_mul_pre(powers[k], powers[k+1], p, pi);
    3401             :   }
    3402    11082079 :   if (i==n+1)
    3403     9687169 :     powers[i] = Fl_sqr_pre(powers[k], p, pi);
    3404    11083363 :   return powers;
    3405             : }
    3406             : 
    3407             : GEN
    3408        4060 : Fl_powers(ulong x, long n, ulong p)
    3409             : {
    3410        4060 :   return Fl_powers_pre(x, n, p, get_Fl_red(p));
    3411             : }
    3412             : 
    3413             : /**********************************************************************
    3414             :  **                                                                  **
    3415             :  **                    Powering  over (Z/NZ)^*, large N              **
    3416             :  **                                                                  **
    3417             :  **********************************************************************/
    3418             : 
    3419             : static GEN
    3420     4536827 : Fp_dblsqr(GEN x, GEN N)
    3421             : {
    3422     4536827 :   GEN z = shifti(Fp_sqr(x, N), 1);
    3423     4424890 :   return cmpii(z, N) >= 0? subii(z, N): z;
    3424             : }
    3425             : 
    3426             : typedef struct muldata {
    3427             :   GEN (*sqr)(void * E, GEN x);
    3428             :   GEN (*mul)(void * E, GEN x, GEN y);
    3429             :   GEN (*mul2)(void * E, GEN x);
    3430             : } muldata;
    3431             : 
    3432             : /* modified Barrett reduction with one fold */
    3433             : /* See Fast Modular Reduction, W. Hasenplaugh, G. Gaubatz, V. Gopal, ARITH 18 */
    3434             : 
    3435             : static GEN
    3436        7325 : Fp_invmBarrett(GEN p, long s)
    3437             : {
    3438        7325 :   GEN R, Q = dvmdii(int2n(3*s),p,&R);
    3439        7325 :   return mkvec2(Q,R);
    3440             : }
    3441             : 
    3442             : /* a <= (N-1)^2, 2^(2s-2) <= N < 2^(2s). Return 0 <= r < N such that
    3443             :  * a = r (mod N) */
    3444             : static GEN
    3445     4595971 : Fp_rem_mBarrett(GEN a, GEN B, long s, GEN N)
    3446             : {
    3447     4595971 :   pari_sp av = avma;
    3448     4595971 :   GEN P = gel(B, 1), Q = gel(B, 2); /* 2^(3s) = P N + Q, 0 <= Q < N */
    3449     4595971 :   long t = expi(P)+1; /* 2^(t-1) <= P < 2^t */
    3450     4595971 :   GEN u = shifti(a, -3*s), v = remi2n(a, 3*s); /* a = 2^(3s)u + v */
    3451     4595971 :   GEN A = addii(v, mulii(Q,u)); /* 0 <= A < 2^(3s+1) */
    3452     4595971 :   GEN q = shifti(mulii(shifti(A, t-3*s), P), -t); /* A/N - 4 < q <= A/N */
    3453     4595971 :   GEN r = subii(A, mulii(q, N));
    3454     4595971 :   GEN sr= subii(r,N);     /* 0 <= r < 4*N */
    3455     4595971 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3456     2717645 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 3*N */
    3457     2717645 :   if (signe(sr)<0) return gerepileuptoint(av, r);
    3458      102538 :   r=sr; sr = subii(r,N);  /* 0 <= r < 2*N */
    3459      102538 :   return gerepileuptoint(av, signe(sr)>=0 ? sr:r);
    3460             : }
    3461             : 
    3462             : /* Montgomery reduction */
    3463             : 
    3464             : INLINE ulong
    3465      835947 : init_montdata(GEN N) { return (ulong) -invmod2BIL(mod2BIL(N)); }
    3466             : 
    3467             : struct montred
    3468             : {
    3469             :   GEN N;
    3470             :   ulong inv;
    3471             : };
    3472             : 
    3473             : /* Montgomery reduction */
    3474             : static GEN
    3475    41972164 : _sqr_montred(void * E, GEN x)
    3476             : {
    3477    41972164 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3478    41972164 :   return red_montgomery(sqri(x), D->N, D->inv);
    3479             : }
    3480             : 
    3481             : /* Montgomery reduction */
    3482             : static GEN
    3483     3236160 : _mul_montred(void * E, GEN x, GEN y)
    3484             : {
    3485     3236160 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3486     3236160 :   return red_montgomery(mulii(x, y), D->N, D->inv);
    3487             : }
    3488             : 
    3489             : static GEN
    3490     6552518 : _mul2_montred(void * E, GEN x)
    3491             : {
    3492     6552518 :   struct montred * D = (struct montred *) E;
    3493     6552518 :   GEN z = shifti(_sqr_montred(E, x), 1);
    3494     6549571 :   long l = lgefint(D->N);
    3495     6986814 :   while (lgefint(z) > l) z = subii(z, D->N);
    3496     6550023 :   return z;
    3497             : }
    3498             : 
    3499             : static GEN
    3500    18345278 : _sqr_remii(void* N, GEN x)
    3501    18345278 : { return remii(sqri(x), (GEN) N); }
    3502             : 
    3503             : static GEN
    3504     1161724 : _mul_remii(void* N, GEN x, GEN y)
    3505     1161724 : { return remii(mulii(x, y), (GEN) N); }
    3506             : 
    3507             : static GEN
    3508     3176165 : _mul2_remii(void* N, GEN x)
    3509     3176165 : { return Fp_dblsqr(x, (GEN) N); }
    3510             : 
    3511             : struct redbarrett
    3512             : {
    3513             :   GEN iM, N;
    3514             :   long s;
    3515             : };
    3516             : 
    3517             : static GEN
    3518     4147334 : _sqr_remiibar(void *E, GEN x)
    3519             : {
    3520     4147334 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3521     4147334 :   return Fp_rem_mBarrett(sqri(x), D->iM, D->s, D->N);
    3522             : }
    3523             : 
    3524             : static GEN
    3525      448637 : _mul_remiibar(void *E, GEN x, GEN y)
    3526             : {
    3527      448637 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3528      448637 :   return Fp_rem_mBarrett(mulii(x, y), D->iM, D->s, D->N);
    3529             : }
    3530             : 
    3531             : static GEN
    3532     1356882 : _mul2_remiibar(void *E, GEN x)
    3533             : {
    3534     1356882 :   struct redbarrett * D = (struct redbarrett *) E;
    3535     1356882 :   return Fp_dblsqr(x, D->N);
    3536             : }
    3537             : 
    3538             : static long
    3539     1041914 : Fp_select_red(GEN *y, ulong k, GEN N, long lN, muldata *D, void **pt_E)
    3540             : {
    3541     1041914 :   if (lN >= Fp_POW_BARRETT_LIMIT && (k==0 || ((double)k)*expi(*y) > 2 + expi(N)))
    3542             :   {
    3543        7325 :     struct redbarrett * E = (struct redbarrett *) stack_malloc(sizeof(struct redbarrett));
    3544        7325 :     D->sqr = &_sqr_remiibar;
    3545        7325 :     D->mul = &_mul_remiibar;
    3546        7325 :     D->mul2 = &_mul2_remiibar;
    3547        7325 :     E->N = N;
    3548        7325 :     E->s = 1+(expi(N)>>1);
    3549        7325 :     E->iM = Fp_invmBarrett(N, E->s);
    3550        7325 :     *pt_E = (void*) E;
    3551        7325 :     return 0;
    3552             :   }
    3553     1034589 :   else if (mod2(N) && lN < Fp_POW_REDC_LIMIT)
    3554             :   {
    3555      835952 :     struct montred * E = (struct montred *) stack_malloc(sizeof(struct montred));
    3556      835948 :     *y = remii(shifti(*y, bit_accuracy(lN)), N);
    3557      835949 :     D->sqr = &_sqr_montred;
    3558      835949 :     D->mul = &_mul_montred;
    3559      835949 :     D->mul2 = &_mul2_montred;
    3560      835949 :     E->N = N;
    3561      835949 :     E->inv = init_montdata(N);
    3562      835949 :     *pt_E = (void*) E;
    3563      835949 :     return 1;
    3564             :   }
    3565             :   else
    3566             :   {
    3567      198637 :     D->sqr = &_sqr_remii;
    3568      198637 :     D->mul = &_mul_remii;
    3569      198637 :     D->mul2 = &_mul2_remii;
    3570      198637 :     *pt_E = (void*) N;
    3571      198637 :     return 0;
    3572             :   }
    3573             : }
    3574             : 
    3575             : GEN
    3576     1505018 : Fp_powu(GEN A, ulong k, GEN N)
    3577             : {
    3578     1505018 :   long lN = lgefint(N);
    3579             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3580             :   muldata D;
    3581             :   void *E;
    3582             :   pari_sp av;
    3583             : 
    3584     1505018 :   if (lN == 3) {
    3585       87889 :     ulong n = uel(N,2);
    3586       87889 :     return utoi( Fl_powu(umodiu(A, n), k, n) );
    3587             :   }
    3588     1417129 :   if (k <= 2)
    3589             :   { /* frequent special cases */
    3590      538884 :     if (k == 2) return Fp_sqr(A,N);
    3591      147379 :     if (k == 1) return A;
    3592           0 :     if (k == 0) return gen_1;
    3593             :   }
    3594      878245 :   av = avma; A = modii(A,N);
    3595      878246 :   base_is_2 = 0;
    3596      878246 :   if (lgefint(A) == 3) switch(A[2])
    3597             :   {
    3598         770 :     case 1: set_avma(av); return gen_1;
    3599       33985 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3600             :   }
    3601             : 
    3602             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3603      877476 :   use_montgomery = Fp_select_red(&A, k, N, lN, &D, &E);
    3604      877476 :   if (base_is_2)
    3605       33985 :     A = gen_powu_fold_i(A, k, E, D.sqr, D.mul2);
    3606             :   else
    3607      843491 :     A = gen_powu_i(A, k, E, D.sqr, D.mul);
    3608      877476 :   if (use_montgomery)
    3609             :   {
    3610      742899 :     A = red_montgomery(A, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3611      742899 :     if (cmpii(A, N) >= 0) A = subii(A,N);
    3612             :   }
    3613      877476 :   return gerepileuptoint(av, A);
    3614             : }
    3615             : 
    3616             : GEN
    3617       22309 : Fp_pows(GEN A, long k, GEN N)
    3618             : {
    3619       22309 :   if (lgefint(N) == 3) {
    3620        7820 :     ulong n = N[2];
    3621        7820 :     ulong a = umodiu(A, n);
    3622        7820 :     if (k < 0) {
    3623         133 :       a = Fl_inv(a, n);
    3624         133 :       k = -k;
    3625             :     }
    3626        7820 :     return utoi( Fl_powu(a, (ulong)k, n) );
    3627             :   }
    3628       14489 :   if (k < 0) { A = Fp_inv(A, N); k = -k; };
    3629       14489 :   return Fp_powu(A, (ulong)k, N);
    3630             : }
    3631             : 
    3632             : /* A^K mod N */
    3633             : GEN
    3634    10047294 : Fp_pow(GEN A, GEN K, GEN N)
    3635             : {
    3636             :   pari_sp av;
    3637    10047294 :   long s, lN = lgefint(N), sA, sy;
    3638             :   int base_is_2, use_montgomery;
    3639             :   GEN y;
    3640             :   muldata D;
    3641             :   void *E;
    3642             : 
    3643    10047294 :   s = signe(K);
    3644    10047294 :   if (!s) return dvdii(A,N)? gen_0: gen_1;
    3645     9901795 :   if (lN == 3 && lgefint(K) == 3)
    3646             :   {
    3647     9506849 :     ulong n = N[2], a = umodiu(A, n);
    3648     9506938 :     if (s < 0) a = Fl_inv(a, n);
    3649     9506938 :     if (a <= 1) return utoi(a); /* 0 or 1 */
    3650     8770604 :     return utoi(Fl_powu(a, uel(K,2), n));
    3651             :   }
    3652             : 
    3653      394946 :   av = avma;
    3654      394946 :   if (s < 0) y = Fp_inv(A,N);
    3655             :   else
    3656             :   {
    3657      393089 :     y = modii(A,N);
    3658      393113 :     if (!signe(y)) { set_avma(av); return gen_0; }
    3659             :   }
    3660      394970 :   if (lgefint(K) == 3) return gerepileuptoint(av, Fp_powu(y, K[2], N));
    3661             : 
    3662      164616 :   base_is_2 = 0;
    3663      164616 :   sy = abscmpii(y, shifti(N,-1)) > 0;
    3664      164623 :   if (sy) y = subii(N,y);
    3665      164624 :   sA = sy && mod2(K);
    3666      164624 :   if (lgefint(y) == 3) switch(y[2])
    3667             :   {
    3668         184 :     case 1: return sA ? gen_m1 : gen_1;
    3669      119166 :     case 2:  base_is_2 = 1; break;
    3670             :   }
    3671             : 
    3672             :   /* TODO: Move this out of here and use for general modular computations */
    3673      164440 :   use_montgomery = Fp_select_red(&y, 0UL, N, lN, &D, &E);
    3674      164441 :   if (base_is_2)
    3675      119169 :     y = gen_pow_fold_i(y, K, E, D.sqr, D.mul2);
    3676             :   else
    3677       45272 :     y = gen_pow_i(y, K, E, D.sqr, D.mul);
    3678      164445 :   if (use_montgomery)
    3679             :   {
    3680       93053 :     y = red_montgomery(y, N, ((struct montred *) E)->inv);
    3681       93057 :     if (cmpii(y,N) >= 0) y = subii(y,N);
    3682             :   }
    3683      164450 :   if (sA) y = subii(N, y);
    3684      164450 :   return gerepileuptoint(av,y);
    3685             : }
    3686             : 
    3687             : static GEN
    3688     1907868 : _Fp_mul(void *E, GEN x, GEN y) { return Fp_mul(x,y,(GEN)E); }
    3689             : 
    3690             : static GEN
    3691       23143 : _Fp_sqr(void *E, GEN x) { return Fp_sqr(x,(GEN)E); }
    3692             : 
    3693             : static GEN
    3694       54243 : _Fp_one(void *E) { (void) E; return gen_1; }
    3695             : 
    3696             : GEN
    3697          77 : Fp_pow_init(GEN x, GEN n, long k, GEN p)
    3698             : {
    3699          77 :   return gen_pow_init(x, n, k, (void*)p, &_Fp_sqr, &_Fp_mul);
    3700             : }
    3701             : 
    3702             : GEN
    3703       54096 : Fp_pow_table(GEN R, GEN n, GEN p)
    3704             : {
    3705       54096 :   return gen_pow_table(R, n, (void*)p, &_Fp_one, &_Fp_mul);
    3706             : }
    3707             : 
    3708             : GEN
    3709        2023 : Fp_powers(GEN x, long n, GEN p)
    3710             : {
    3711        2023 :   if (lgefint(p) == 3)
    3712        1876 :     return Flv_to_ZV(Fl_powers(umodiu(x, uel(p, 2)), n, uel(p, 2)));
    3713         147 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)p, _Fp_sqr, _Fp_mul, _Fp_one);
    3714             : }
    3715             : 
    3716             : GEN
    3717         434 : FpV_prod(GEN V, GEN p)
    3718             : {
    3719         434 :   return gen_product(V, (void *)p, &_Fp_mul);
    3720             : }
    3721             : 
    3722             : static GEN
    3723     6852688 : _Fp_pow(void *E, GEN x, GEN n) { return Fp_pow(x,n,(GEN)E); }
    3724             : 
    3725             : static GEN
    3726         105 : _Fp_rand(void *E) { return addiu(randomi(subiu((GEN)E,1)),1); }
    3727             : 
    3728             : static GEN Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord);
    3729             : 
    3730             : static const struct bb_group Fp_star={_Fp_mul,_Fp_pow,_Fp_rand,hash_GEN,
    3731             :                                       equalii,equali1,Fp_easylog};
    3732             : 
    3733             : static GEN
    3734      661728 : _Fp_red(void *E, GEN x) { return Fp_red(x, (GEN)E); }
    3735             : 
    3736             : static GEN
    3737      677681 : _Fp_add(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return addii(x,y); }
    3738             : 
    3739             : static GEN
    3740      605087 : _Fp_neg(void *E, GEN x) { (void) E; return negi(x); }
    3741             : 
    3742             : static GEN
    3743      432990 : _Fp_rmul(void *E, GEN x, GEN y) { (void) E; return mulii(x,y); }
    3744             : 
    3745             : static GEN
    3746       31815 : _Fp_inv(void *E, GEN x) { return Fp_inv(x,(GEN)E); }
    3747             : 
    3748             : static int
    3749      188980 : _Fp_equal0(GEN x) { return signe(x)==0; }
    3750             : 
    3751             : static GEN
    3752       26475 : _Fp_s(void *E, long x) { (void) E; return stoi(x); }
    3753             : 
    3754             : static const struct bb_field Fp_field={_Fp_red,_Fp_add,_Fp_rmul,_Fp_neg,
    3755             :                                         _Fp_inv,_Fp_equal0,_Fp_s};
    3756             : 
    3757        6943 : const struct bb_field *get_Fp_field(void **E, GEN p)
    3758             : {
    3759        6943 :   *E = (void*)p; return &Fp_field;
    3760             : }
    3761             : 
    3762             : /*********************************************************************/
    3763             : /**                                                                 **/
    3764             : /**               ORDER of INTEGERMOD x  in  (Z/nZ)*                **/
    3765             : /**                                                                 **/
    3766             : /*********************************************************************/
    3767             : ulong
    3768       12327 : Fl_order(ulong a, ulong o, ulong p)
    3769             : {
    3770       12327 :   pari_sp av = avma;
    3771             :   GEN m, P, E;
    3772             :   long i;
    3773       12327 :   if (a==1) return 1;
    3774        8694 :   if (!o) o = p-1;
    3775        8694 :   m = factoru(o);
    3776        8694 :   P = gel(m,1);
    3777        8694 :   E = gel(m,2);
    3778       22225 :   for (i = lg(P)-1; i; i--)
    3779             :   {
    3780       13531 :     ulong j, l = P[i], e = E[i], t = o / upowuu(l,e), y = Fl_powu(a, t, p);
    3781       13531 :     if (y == 1) o = t;
    3782       15190 :     else for (j = 1; j < e; j++)
    3783             :     {
    3784        4445 :       y = Fl_powu(y, l, p);
    3785        4445 :       if (y == 1) { o = t *  upowuu(l, j); break; }
    3786             :     }
    3787             :   }
    3788        8694 :   return gc_ulong(av, o);
    3789             : }
    3790             : 
    3791             : /*Find the exact order of a assuming a^o==1*/
    3792             : GEN
    3793       11201 : Fp_order(GEN a, GEN o, GEN p) {
    3794       11201 :   if (lgefint(p) == 3 && (!o || typ(o) == t_INT))
    3795             :   {
    3796          21 :     ulong pp = p[2], oo = (o && lgefint(o)==3)? uel(o,2): pp-1;
    3797          21 :     return utoi( Fl_order(umodiu(a, pp), oo, pp) );
    3798             :   }
    3799       11180 :   return gen_order(a, o, (void*)p, &Fp_star);
    3800             : }
    3801             : GEN
    3802          70 : Fp_factored_order(GEN a, GEN o, GEN p)
    3803          70 : { return gen_factored_order(a, o, (void*)p, &Fp_star); }
    3804             : 
    3805             : /* return order of a mod p^e, e > 0, pe = p^e */
    3806             : static GEN
    3807          70 : Zp_order(GEN a, GEN p, long e, GEN pe)
    3808             : {
    3809             :   GEN ap, op;
    3810          70 :   if (absequaliu(p, 2))
    3811             :   {
    3812          56 :     if (e == 1) return gen_1;
    3813          56 :     if (e == 2) return mod4(a) == 1? gen_1: gen_2;
    3814          49 :     if (mod4(a) == 1)
    3815          14 :       op = gen_1;
    3816             :     else {
    3817          35 :       op = gen_2;
    3818          35 :       a = Fp_sqr(a, pe);
    3819             :     }
    3820             :   } else {
    3821          14 :     ap = (e == 1)? a: remii(a,p);
    3822          14 :     op = Fp_order(ap, subiu(p,1), p);
    3823          14 :     if (e == 1) return op;
    3824           0 :     a = Fp_pow(a, op, pe); /* 1 mod p */
    3825             :   }
    3826          49 :   if (equali1(a)) return op;
    3827           7 :   return mulii(op, powiu(p, e - Z_pval(subiu(a,1), p)));
    3828             : }
    3829             : 
    3830             : GEN
    3831          63 : znorder(GEN x, GEN o)
    3832             : {
    3833          63 :   pari_sp av = avma;
    3834             :   GEN b, a;
    3835             : 
    3836          63 :   if (typ(x) != t_INTMOD) pari_err_TYPE("znorder [t_INTMOD expected]",x);
    3837          56 :   b = gel(x,1); a = gel(x,2);
    3838          56 :   if (!equali1(gcdii(a,b))) pari_err_COPRIME("znorder", a,b);
    3839          49 :   if (!o)
    3840             :   {
    3841          35 :     GEN fa = Z_factor(b), P = gel(fa,1), E = gel(fa,2);
    3842          35 :     long i, l = lg(P);
    3843          35 :     o = gen_1;
    3844          70 :     for (i = 1; i < l; i++)
    3845             :     {
    3846          35 :       GEN p = gel(P,i);
    3847          35 :       long e = itos(gel(E,i));
    3848             : 
    3849          35 :       if (l == 2)
    3850          35 :         o = Zp_order(a, p, e, b);
    3851             :       else {
    3852           0 :         GEN pe = powiu(p,e);
    3853           0 :         o = lcmii(o, Zp_order(remii(a,pe), p, e, pe));
    3854             :       }
    3855             :     }
    3856          35 :     return gerepileuptoint(av, o);
    3857             :   }
    3858          14 :   return Fp_order(a, o, b);
    3859             : }
    3860             : GEN
    3861           0 : order(GEN x) { return znorder(x, NULL); }
    3862             : 
    3863             : /*********************************************************************/
    3864             : /**                                                                 **/
    3865             : /**               DISCRETE LOGARITHM  in  (Z/nZ)*                   **/
    3866             : /**                                                                 **/
    3867             : /*********************************************************************/
    3868             : static GEN
    3869       59181 : Fp_log_halfgcd(ulong bnd, GEN C, GEN g, GEN p)
    3870             : {
    3871       59181 :   pari_sp av = avma;
    3872             :   GEN h1, h2, F, G;
    3873       59181 :   if (!Fp_ratlift(g,p,C,shifti(C,-1),&h1,&h2)) return gc_NULL(av);
    3874       35560 :   if ((F = Z_issmooth_fact(h1, bnd)) && (G = Z_issmooth_fact(h2, bnd)))
    3875             :   {
    3876         126 :     GEN M = cgetg(3, t_MAT);
    3877         126 :     gel(M,1) = vecsmall_concat(gel(F, 1),gel(G, 1));
    3878         126 :     gel(M,2) = vecsmall_concat(gel(F, 2),zv_neg_inplace(gel(G, 2)));
    3879         126 :     return gerepileupto(av, M);
    3880             :   }
    3881       35434 :   return gc_NULL(av);
    3882             : }
    3883             : 
    3884             : static GEN
    3885       59181 : Fp_log_find_rel(GEN b, ulong bnd, GEN C, GEN p, GEN *g, long *e)
    3886             : {
    3887             :   GEN rel;
    3888             :   do
    3889             :   {
    3890       59181 :     (*e)++; *g = Fp_mul(*g, b, p);
    3891       59181 :     rel = Fp_log_halfgcd(bnd, C, *g, p);
    3892       59181 :   } while (!rel);
    3893         126 :   return rel;
    3894             : }
    3895             : 
    3896             : struct Fp_log_rel
    3897             : {
    3898             :   GEN rel;
    3899             :   ulong prmax;
    3900             :   long nbrel, nbmax, nbgen;
    3901             : };
    3902             : 
    3903             : /* add u^e */
    3904             : static void
    3905        3157 : addifsmooth1(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long e)
    3906             : {
    3907        3157 :   pari_sp av = avma;
    3908        3157 :   long off = r->prmax+1;
    3909        3157 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3910        3157 :   gel(F,1) = vecsmall_append(gel(z,1), off+u);
    3911        3157 :   gel(F,2) = vecsmall_append(gel(z,2), e);
    3912        3157 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3913        3157 : }
    3914             : 
    3915             : /* add u^-1 v^-1 */
    3916             : static void
    3917      104083 : addifsmooth2(struct Fp_log_rel *r, GEN z, long u, long v)
    3918             : {
    3919      104083 :   pari_sp av = avma;
    3920      104083 :   long off = r->prmax+1;
    3921      104083 :   GEN P = mkvecsmall2(off+u,off+v), E = mkvecsmall2(-1,-1);
    3922      104083 :   GEN F = cgetg(3, t_MAT);
    3923      104083 :   gel(F,1) = vecsmall_concat(gel(z,1), P);
    3924      104083 :   gel(F,2) = vecsmall_concat(gel(z,2), E);
    3925      104083 :   gel(r->rel,++r->nbrel) = gerepileupto(av, F);
    3926      104083 : }
    3927             : 
    3928             : /*
    3929             : Let p=C^2+c
    3930             : Solve h = (C+x)*(C+a)-p = 0 [mod l]
    3931             : h= -c+x*(C+a)+C*a = 0  [mod l]
    3932             : x = (c-C*a)/(C+a) [mod l]
    3933             : h = -c+C*(x+a)+a*x
    3934             : */
    3935             : 
    3936             : GEN
    3937       40833 : Fp_log_sieve_worker(long a, long prmax, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3938             : {
    3939       40833 :   pari_sp ltop = avma;
    3940       40833 :   long th, n = lg(pi)-1;
    3941             :   long i, j;
    3942       40833 :   GEN sieve = zero_zv(a+2)+1;
    3943       40855 :   GEN L = cgetg(1+a+2, t_VEC);
    3944       40850 :   pari_sp av = avma;
    3945       40850 :   long rel = 1;
    3946             :   GEN z, h;
    3947       40850 :   h = addis(C,a);
    3948       40812 :   if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3949             :   {
    3950        3009 :     gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -1));
    3951        3013 :     av = avma;
    3952             :   }
    3953    16897185 :   for (i=1; i<=n; i++)
    3954             :   {
    3955    16882902 :     ulong li = pi[i], s = sz[i], al = a % li;
    3956    16882902 :     ulong u, iv = Fl_invsafe(Fl_add(Ci[i],al,li),li);
    3957    17362475 :     if (!iv) continue;
    3958    16937545 :     u = Fl_mul(Fl_sub(ci[i],Fl_mul(Ci[i],al,li),li), iv ,li);
    3959    77855544 :     for(j = u; j<=a; j+=li)
    3960    61424073 :       sieve[j] += s;
    3961             :   }
    3962       35046 :   if (a)
    3963             :   {
    3964       40738 :     long e = expi(mulis(C,a));
    3965       40779 :     th = e - expu(e) - 1;
    3966          54 :   } else th = -1;
    3967    28024681 :   for (j=0; j<a; j++)
    3968    27984159 :     if (sieve[j]>=th)
    3969             :     {
    3970      119467 :       GEN h = addiu(subii(muliu(C,a+j),c), a*j);
    3971      119389 :       if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3972             :       {
    3973      109710 :         gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(2, a, j));
    3974      109991 :         av = avma;
    3975        9414 :       } else set_avma(av);
    3976             :     }
    3977             :   /* j = a */
    3978       40522 :   if (sieve[a]>=th)
    3979             :   {
    3980         476 :     GEN h = addiu(subii(muliu(C,2*a),c), a*a);
    3981         476 :     if ((z = Z_issmooth_fact(h, prmax)))
    3982         385 :       gel(L, rel++) = mkvec2(z, mkvecsmall3(1, a, -2));
    3983             :   }
    3984       40522 :   setlg(L, rel);
    3985       40879 :   return gerepilecopy(ltop, L);
    3986             : }
    3987             : 
    3988             : static long
    3989          63 : Fp_log_sieve(struct Fp_log_rel *r, GEN C, GEN c, GEN Ci, GEN ci, GEN pi, GEN sz)
    3990             : {
    3991             :   struct pari_mt pt;
    3992          63 :   long i, j, nb = 0;
    3993          63 :   GEN worker = snm_closure(is_entry("_Fp_log_sieve_worker"),
    3994             :                mkvecn(7, utoi(r->prmax), C, c, Ci, ci, pi, sz));
    3995          63 :   long running, pending = 0;
    3996          63 :   GEN W = zerovec(r->nbgen);
    3997          63 :   mt_queue_start_lim(&pt, worker, r->nbgen);
    3998       41229 :   for (i = 0; (running = (i < r->nbgen)) || pending; i++)
    3999             :   {
    4000             :     GEN done;
    4001             :     long idx;
    4002       41166 :     mt_queue_submit(&pt, i, running ? mkvec(stoi(i)): NULL);
    4003       41166 :     done = mt_queue_get(&pt, &idx, &pending);
    4004       41166 :     if (!done || lg(done)==1) continue;
    4005       35917 :     gel(W, idx+1) = done;
    4006       35917 :     nb += lg(done)-1;
    4007       35917 :     if (DEBUGLEVEL && (i&127)==0)
    4008           0 :       err_printf("%ld%% ",100*nb/r->nbmax);
    4009             :   }
    4010          63 :   mt_queue_end(&pt);
    4011       39550 :   for(j = 1; j <= r->nbgen && r->nbrel < r->nbmax; j++)
    4012             :   {
    4013             :     long ll, m;
    4014       39487 :     GEN L = gel(W,j);
    4015       39487 :     if (isintzero(L)) continue;
    4016       34531 :     ll = lg(L);
    4017      141771 :     for (m=1; m<ll && r->nbrel < r->nbmax ; m++)
    4018             :     {
    4019      107240 :       GEN Lm = gel(L,m), h = gel(Lm, 1), v = gel(Lm, 2);
    4020      107240 :       if (v[1] == 1)
    4021        3157 :         addifsmooth1(r, h, v[2], v[3]);
    4022             :       else
    4023      104083 :         addifsmooth2(r, h, v[2], v[3]);
    4024             :     }
    4025             :   }
    4026          63 :   return j;
    4027             : }
    4028             : 
    4029             : static GEN
    4030         665 : ECP_psi(GEN x, GEN y)
    4031             : {
    4032         665 :   long prec = realprec(x);
    4033         665 :   GEN lx = glog(x, prec), ly = glog(y, prec);
    4034         665 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    4035         665 :   return gpow(u, gneg(u),prec);
    4036             : }
    4037             : 
    4038             : struct computeG
    4039             : {
    4040             :   GEN C;
    4041             :   long bnd, nbi;
    4042             : };
    4043             : 
    4044             : static GEN
    4045         665 : _computeG(void *E, GEN gen)
    4046             : {
    4047         665 :   struct computeG * d = (struct computeG *) E;
    4048         665 :   GEN ps = ECP_psi(gmul(gen,d->C), stoi(d->bnd));
    4049         665 :   return gsub(gmul(gsqr(gen),ps),gmul2n(gaddgs(gen,d->nbi),2));
    4050             : }
    4051             : 
    4052             : static long
    4053          63 : compute_nbgen(GEN C, long bnd, long nbi)
    4054             : {
    4055             :   struct computeG d;
    4056          63 :   d.C = shifti(C, 1);
    4057          63 :   d.bnd = bnd;
    4058          63 :   d.nbi = nbi;
    4059          63 :   return itos(ground(zbrent((void*)&d, _computeG, gen_2, stoi(bnd), DEFAULTPREC)));
    4060             : }
    4061             : 
    4062             : static GEN
    4063        1646 : _psi(void*E, GEN y)
    4064             : {
    4065        1646 :   GEN lx = (GEN) E;
    4066        1646 :   long prec = realprec(lx);
    4067        1646 :   GEN ly = glog(y, prec);
    4068        1646 :   GEN u = gdiv(lx, ly);
    4069        1646 :   return gsub(gdiv(y ,ly), gpow(u, u, prec));
    4070             : }
    4071             : 
    4072             : static GEN
    4073          63 : opt_param(GEN x, long prec)
    4074             : {
    4075          63 :   return zbrent((void*)glog(x,prec), _psi, gen_2, x, prec);
    4076             : }
    4077             : 
    4078             : static GEN
    4079          63 : check_kernel(long nbg, long N, long prmax, GEN C, GEN M, GEN p, GEN m)
    4080             : {
    4081          63 :   pari_sp av = avma;
    4082          63 :   long lM = lg(M)-1, nbcol = lM;
    4083          63 :   long tbs = maxss(1, expu(nbg/expi(m)));
    4084             :   for (;;)
    4085          14 :   {
    4086          77 :     GEN K = FpMs_leftkernel_elt_col(M, nbcol, N, m);
    4087             :     GEN tab;
    4088          77 :     long i, f=0;
    4089          77 :     long l = lg(K), lm = lgefint(m);
    4090          77 :     GEN idx = diviiexact(subiu(p,1),m), g;
    4091             :     pari_timer ti;
    4092          77 :     if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    4093         154 :     for(i=1; i<l; i++)
    4094         154 :       if (signe(gel(K,i)))
    4095          77 :         break;
    4096          77 :     g = Fp_pow(utoi(i), idx, p);
    4097          77 :     tab = Fp_pow_init(g, p, tbs, p);
    4098          77 :     K = FpC_Fp_mul(K, Fp_inv(gel(K,i), m), m);
    4099      128464 :     for(i=1; i<l; i++)
    4100             :     {
    4101      128387 :       GEN k = gel(K,i);
    4102      128387 :       GEN j = i<=prmax ? utoi(i): addis(C,i-(prmax+1));
    4103      128387 :       if (signe(k)==0 || !equalii(Fp_pow_table(tab, k, p), Fp_pow(j, idx, p)))
    4104       76391 :         gel(K,i) = cgetineg(lm);
    4105             :       else
    4106       51996 :         f++;
    4107             :     }
    4108          77 :     if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti,"found %ld/%ld logs", f, nbg);
    4109          77 :     if(f > (nbg>>1)) return gerepileupto(av, K);
    4110        4585 :     for(i=1; i<=nbcol; i++)
    4111             :     {
    4112        4571 :       long a = 1+random_Fl(lM);
    4113        4571 :       swap(gel(M,a),gel(M,i));
    4114             :     }
    4115          14 :     if (4*nbcol>5*nbg) nbcol = nbcol*9/10;
    4116             :   }
    4117             : }
    4118             : 
    4119             : static GEN
    4120         126 : Fp_log_find_ind(GEN a, GEN K, long prmax, GEN C, GEN p, GEN m)
    4121             : {
    4122         126 :   pari_sp av=avma;
    4123         126 :   GEN aa = gen_1;
    4124         126 :   long AV = 0;
    4125             :   for(;;)
    4126           0 :   {
    4127         126 :     GEN A = Fp_log_find_rel(a, prmax, C, p, &aa, &AV);
    4128         126 :     GEN F = gel(A,1), E = gel(A,2);
    4129         126 :     GEN Ao = gen_0;
    4130         126 :     long i, l = lg(F);
    4131         959 :     for(i=1; i<l; i++)
    4132             :     {
    4133         833 :       GEN Ki = gel(K,F[i]);
    4134         833 :       if (signe(Ki)<0) break;
    4135         833 :       Ao = addii(Ao, mulis(Ki, E[i]));
    4136             :     }
    4137         126 :     if (i==l) return Fp_divu(Ao, AV, m);
    4138           0 :     aa = gerepileuptoint(av, aa);
    4139             :   }
    4140             : }
    4141             : 
    4142             : static GEN
    4143          63 : Fp_log_index(GEN a, GEN b, GEN m, GEN p)
    4144             : {
    4145          63 :   pari_sp av = avma, av2;
    4146          63 :   long i, j, nbi, nbr = 0, nbrow, nbg;
    4147             :   GEN C, c, Ci, ci, pi, pr, sz, l, Ao, Bo, K, d, p_1;
    4148             :   pari_timer ti;
    4149             :   struct Fp_log_rel r;
    4150          63 :   ulong bnds = itou(roundr_safe(opt_param(sqrti(p),DEFAULTPREC)));
    4151          63 :   ulong bnd = 4*bnds;
    4152          63 :   if (!bnds || cmpii(sqru(bnds),m)>=0) return NULL;
    4153             : 
    4154          63 :   p_1 = subiu(p,1);
    4155          63 :   if (!is_pm1(gcdii(m,diviiexact(p_1,m))))
    4156           0 :     m = diviiexact(p_1, Z_ppo(p_1, m));
    4157          63 :   pr = primes_upto_zv(bnd);
    4158          63 :   nbi = lg(pr)-1;
    4159          63 :   C = sqrtremi(p, &c);
    4160          63 :   av2 = avma;
    4161       12796 :   for (i = 1; i <= nbi; ++i)
    4162             :   {
    4163       12733 :     ulong lp = pr[i];
    4164       26894 :     while (lp <= bnd)
    4165             :     {
    4166       14161 :       nbr++;
    4167       14161 :       lp *= pr[i];
    4168             :     }
    4169             :   }
    4170          63 :   pi = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4171          63 :   Ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4172          63 :   ci = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4173          63 :   sz = cgetg(nbr+1,t_VECSMALL);
    4174       12796 :   for (i = 1, j = 1; i <= nbi; ++i)
    4175             :   {
    4176       12733 :     ulong lp = pr[i], sp = expu(2*lp-1);
    4177       26894 :     while (lp <= bnd)
    4178             :     {
    4179       14161 :       pi[j] = lp;
    4180       14161 :       Ci[j] = umodiu(C, lp);
    4181       14161 :       ci[j] = umodiu(c, lp);
    4182       14161 :       sz[j] = sp;
    4183       14161 :       lp *= pr[i];
    4184       14161 :       j++;
    4185             :     }
    4186             :   }
    4187          63 :   r.nbrel = 0;
    4188          63 :   r.nbgen = compute_nbgen(C, bnd, nbi);
    4189          63 :   r.nbmax = 2*(nbi+r.nbgen);
    4190          63 :   r.rel = cgetg(r.nbmax+1,t_VEC);
    4191          63 :   r.prmax = pr[nbi];
    4192          63 :   if (DEBUGLEVEL)
    4193             :   {
    4194           0 :     err_printf("bnd=%lu Size FB=%ld extra gen=%ld \n", bnd, nbi, r.nbgen);
    4195           0 :     timer_start(&ti);
    4196             :   }
    4197          63 :   nbg = Fp_log_sieve(&r, C, c, Ci, ci, pi, sz);
    4198          63 :   nbrow = r.prmax + nbg;
    4199          63 :   if (DEBUGLEVEL)
    4200             :   {
    4201           0 :     err_printf("\n");
    4202           0 :     timer_printf(&ti," %ld relations, %ld generators", r.nbrel, nbi+nbg);
    4203             :   }
    4204          63 :   setlg(r.rel,r.nbrel+1);
    4205          63 :   r.rel = gerepilecopy(av2, r.rel);
    4206          63 :   K = check_kernel(nbi+nbrow-r.prmax, nbrow, r.prmax, C, r.rel, p, m);
    4207          63 :   if (DEBUGLEVEL) timer_start(&ti);
    4208          63 :   Ao = Fp_log_find_ind(a, K, r.prmax, C, p, m);
    4209          63 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log element");
    4210          63 :   Bo = Fp_log_find_ind(b, K, r.prmax, C, p, m);
    4211          63 :   if (DEBUGLEVEL) timer_printf(&ti," log generator");
    4212          63 :   d = gcdii(Ao,Bo);
    4213          63 :   l = Fp_div(diviiexact(Ao, d) ,diviiexact(Bo, d), m);
    4214          63 :   if (!equalii(a,Fp_pow(b,l,p))) pari_err_BUG("Fp_log_index");
    4215          63 :   return gerepileuptoint(av, l);
    4216             : }
    4217             : 
    4218             : static int
    4219     1540343 : Fp_log_use_index(long e, long p)
    4220             : {
    4221     1540343 :   return (e >= 27 && 20*(p+6)<=e*e);
    4222             : }
    4223             : 
    4224             : /* Trivial cases a = 1, -1. Return x s.t. g^x = a or [] if no such x exist */
    4225             : static GEN
    4226     2240867 : Fp_easylog(void *E, GEN a, GEN g, GEN ord)
    4227             : {
    4228     2240867 :   pari_sp av = avma;
    4229     2240867 :   GEN p = (GEN)E;
    4230             :   /* assume a reduced mod p, p not necessarily prime */
    4231     2240867 :   if (equali1(a)) return gen_0;
    4232             :   /* p > 2 */
    4233     1358934 :   if (equalii(subiu(p,1), a))  /* -1 */
    4234             :   {
    4235             :     pari_sp av2;
    4236             :     GEN t;
    4237      377128 :     ord = get_arith_Z(ord);
    4238      377128 :     if (mpodd(ord)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); } /* no solution */
    4239      377114 :     t = shifti(ord,-1); /* only possible solution */
    4240      377114 :     av2 = avma;
    4241      377114 :     if (!equalii(Fp_pow(g, t, p), a)) { set_avma(av); return cgetg(1, t_VEC); }
    4242      377086 :     set_avma(av2); return gerepileuptoint(av, t);
    4243             :   }
    4244      981806 :   if (typ(ord)==t_INT && BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(expi(ord),expi(p)))
    4245          63 :     return Fp_log_index(a, g, ord, p);
    4246      981743 :   return gc_NULL(av); /* not easy */
    4247             : }
    4248             : 
    4249             : GEN
    4250     1256687 : Fp_log(GEN a, GEN g, GEN ord, GEN p)
    4251             : {
    4252     1256687 :   GEN v = get_arith_ZZM(ord);
    4253     1256659 :   GEN F = gmael(v,2,1);
    4254     1256659 :   long lF = lg(F)-1, lmax;
    4255     1256659 :   if (lF == 0) return equali1(a)? gen_0: cgetg(1, t_VEC);
    4256     1256631 :   lmax = expi(gel(F,lF));
    4257     1256631 :   if (BPSW_psp(p) && Fp_log_use_index(lmax,expi(p)))
    4258          91 :     v = mkvec2(gel(v,1),ZM_famat_limit(gel(v,2),int2n(27)));
    4259     1256631 :   return gen_PH_log(a,g,v,(void*)p,&Fp_star);
    4260             : }
    4261             : 
    4262             : static ulong
    4263       19012 : Fl_log_naive(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4264             : {
    4265       19012 :   ulong i, h=1;
    4266       45513 :   for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul(h, g, p))
    4267       45513 :     if(a==h) return i;
    4268           0 :   return ~0UL;
    4269             : }
    4270             : 
    4271             : static ulong
    4272       19081 : Fl_log_naive_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
    4273             : {
    4274       19081 :   ulong i, h=1;
    4275       48120 :   for(i=0; i<ord; i++, h = Fl_mul_pre(h, g, p, pi))
    4276       48120 :     if(a==h) return i;
    4277           0 :   return ~0UL;
    4278             : }
    4279             : 
    4280             : static ulong
    4281           0 : Fl_log_Fp(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4282             : {
    4283           0 :   pari_sp av = avma;
    4284           0 :   GEN r = Fp_log(utoi(a),utoi(g),utoi(ord),utoi(p));
    4285           0 :   return gc_ulong(av, typ(r)==t_INT ? itou(r): ~0UL);
    4286             : }
    4287             : 
    4288             : ulong
    4289       19081 : Fl_log_pre(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p, ulong pi)
    4290             : {
    4291       19081 :   if (ord <= 200) return Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, pi);
    4292           0 :   return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
    4293             : }
    4294             : 
    4295             : ulong
    4296       19012 : Fl_log(ulong a, ulong g, ulong ord, ulong p)
    4297             : {
    4298       19012 :   if (ord <= 200)
    4299           0 :   return (p&HIGHMASK) ? Fl_log_naive_pre(a, g, ord, p, get_Fl_red(p))
    4300       19012 :                       : Fl_log_naive(a, g, ord, p);
    4301           0 :   return Fl_log_Fp(a, g, ord, p);
    4302             : }
    4303             : 
    4304             : /* find x such that h = g^x mod N > 1, N = prod_{i <= l} P[i]^E[i], P[i] prime.
    4305             :  * PHI[l] = eulerphi(N / P[l]^E[l]).   Destroys P/E */
    4306             : static GEN
    4307         126 : znlog_rec(GEN h, GEN g, GEN N, GEN P, GEN E, GEN PHI)
    4308             : {
    4309         126 :   long l = lg(P) - 1, e = E[l];
    4310         126 :   GEN p = gel(P, l), phi = gel(PHI,l), pe = e == 1? p: powiu(p, e);
    4311             :   GEN a,b, hp,gp, hpe,gpe, ogpe; /* = order(g mod p^e) | p^(e-1)(p-1) */
    4312             : 
    4313         126 :   if (l == 1) {
    4314          98 :     hpe = h;
    4315          98 :     gpe = g;
    4316             :   } else {
    4317          28 :     hpe = modii(h, pe);
    4318          28 :     gpe = modii(g, pe);
    4319             :   }
    4320         126 :   if (e == 1) {
    4321          42 :     hp = hpe;
    4322          42 :     gp = gpe;
    4323             :   } else {
    4324          84 :     hp = remii(hpe, p);
    4325          84 :     gp = remii(gpe, p);
    4326             :   }
    4327         126 :   if (hp == gen_0 || gp == gen_0) return NULL;
    4328         105 :   if (absequaliu(p, 2))
    4329             :   {
    4330          35 :     GEN n = int2n(e);
    4331          35 :     ogpe = Zp_order(gpe, gen_2, e, n);
    4332          35 :     a = Fp_log(hpe, gpe, ogpe, n);
    4333          35 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    4334             :   }
    4335             :   else
    4336             :   { /* Avoid black box groups: (Z/p^2)^* / (Z/p)^* ~ (Z/pZ, +), where DL
    4337             :        is trivial */
    4338             :     /* [order(gp), factor(order(gp))] */
    4339          70 :     GEN v = Fp_factored_order(gp, subiu(p,1), p);
    4340          70 :     GEN ogp = gel(v,1);
    4341          70 :     if (!equali1(Fp_pow(hp, ogp, p))) return NULL;
    4342          70 :     a = Fp_log(hp, gp, v, p);
    4343          70 :     if (typ(a) != t_INT) return NULL;
    4344          70 :     if (e == 1) ogpe = ogp;
    4345             :     else
    4346             :     { /* find a s.t. g^a = h (mod p^e), p odd prime, e > 0, (h,p) = 1 */
    4347             :       /* use p-adic log: O(log p + e) mul*/
    4348             :       long vpogpe, vpohpe;
    4349             : 
    4350          28 :       hpe = Fp_mul(hpe, Fp_pow(gpe, negi(a), pe), pe);
    4351          28 :       gpe = Fp_pow(gpe, ogp, pe);
    4352             :       /* g,h = 1 mod p; compute b s.t. h = g^b */
    4353             : 
    4354             :       /* v_p(order g mod pe) */
    4355          28 :       vpogpe = equali1(gpe)? 0: e - Z_pval(subiu(gpe,1), p);
    4356             :       /* v_p(order h mod pe) */
    4357          28 :       vpohpe = equali1(hpe)? 0: e - Z_pval(subiu(hpe,1), p);
    4358          28 :       if (vpohpe > vpogpe) return NULL;
    4359             : 
    4360          28 :       ogpe = mulii(ogp, powiu(p, vpogpe)); /* order g mod p^e */
    4361          28 :       if (is_pm1(gpe)) return is_pm1(hpe)? a: NULL;
    4362          28 :       b = gdiv(Qp_log(cvtop(hpe, p, e)), Qp_log(cvtop(gpe, p, e)));
    4363          28 :       a = addii(a, mulii(ogp, padic_to_Q(b)));
    4364             :     }
    4365             :   }
    4366             :   /* gp^a = hp => x = a mod ogpe => generalized Pohlig-Hellman strategy */
    4367          91 :   if (l == 1) return a;
    4368             : 
    4369          28 :   N = diviiexact(N, pe); /* make N coprime to p */
    4370          28 :   h = Fp_mul(h, Fp_pow(g, modii(negi(a), phi), N), N);
    4371          28 :   g = Fp_pow(g, modii(ogpe, phi), N);
    4372          28 :   setlg(P, l); /* remove last element */
    4373          28 :   setlg(E, l);
    4374          28 :   b = znlog_rec(h, g, N, P, E, PHI);
    4375          28 :   if (!b) return NULL;
    4376          28 :   return addmulii(a, b, ogpe);
    4377             : }
    4378             : 
    4379             : static GEN
    4380          98 : get_PHI(GEN P, GEN E)
    4381             : {
    4382          98 :   long i, l = lg(P);
    4383          98 :   GEN PHI = cgetg(l, t_VEC);
    4384          98 :   gel(PHI,1) = gen_1;
    4385         126 :   for (i=1; i<l-1; i++)
    4386             :   {
    4387          28 :     GEN t, p = gel(P,i);
    4388          28 :     long e = E[i];
    4389          28 :     t = mulii(powiu(p, e-1), subiu(p,1));
    4390          28 :     if (i > 1) t = mulii(t, gel(PHI,i));
    4391          28 :     gel(PHI,i+1) = t;
    4392             :   }
    4393          98 :   return PHI;
    4394             : }
    4395             : 
    4396             : GEN
    4397         238 : znlog(GEN h, GEN g, GEN o)
    4398             : {
    4399         238 :   pari_sp av = avma;
    4400             :   GEN N, fa, P, E, x;
    4401         238 :   switch (typ(g))
    4402             :   {
    4403          28 :     case t_PADIC:
    4404             :     {
    4405          28 :       GEN p = gel(g,2);
    4406          28 :       long v = valp(g);
    4407          28 :       if (v < 0) pari_err_DIM("znlog");
    4408          28 :       if (v > 0) {
    4409           0 :         long k = gvaluation(h, p);
    4410           0 :         if (k % v) return cgetg(1,t_VEC);
    4411           0 :         k /= v;
    4412           0 :         if (!gequal(h, gpowgs(g,k))) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    4413           0 :         set_avma(av); return stoi(k);
    4414             :       }
    4415          28 :       N = gel(g,3);
    4416          28 :       g = Rg_to_Fp(g, N);
    4417          28 :       break;
    4418             :     }
    4419         203 :     case t_INTMOD:
    4420         203 :       N = gel(g,1);
    4421         203 :       g = gel(g,2); break;
    4422           7 :     default: pari_err_TYPE("znlog", g);
    4423             :       return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4424             :   }
    4425         231 :   if (equali1(N)) { set_avma(av); return gen_0; }
    4426         231 :   h = Rg_to_Fp(h, N);
    4427         224 :   if (o) return gerepileupto(av, Fp_log(h, g, o, N));
    4428          98 :   fa = Z_factor(N);
    4429          98 :   P = gel(fa,1);
    4430          98 :   E = vec_to_vecsmall(gel(fa,2));
    4431          98 :   x = znlog_rec(h, g, N, P, E, get_PHI(P,E));
    4432          98 :   if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    4433          63 :   return gerepileuptoint(av, x);
    4434             : }
    4435             : 
    4436             : GEN
    4437       60991 : Fp_sqrtn(GEN a, GEN n, GEN p, GEN *zeta)
    4438             : {
    4439       60991 :   if (lgefint(p)==3)
    4440             :   {
    4441       60599 :     long nn = itos_or_0(n);
    4442       60599 :     if (nn)
    4443             :     {
    4444       60599 :       ulong pp = p[2];
    4445             :       ulong uz;
    4446       60599 :       ulong r = Fl_sqrtn(umodiu(a,pp),nn,pp, zeta ? &uz:NULL);
    4447       60578 :       if (r==ULONG_MAX) return NULL;
    4448       60522 :       if (zeta) *zeta = utoi(uz);
    4449       60522 :       return utoi(r);
    4450             :     }
    4451             :   }
    4452         392 :   a = modii(a,p);
    4453         392 :   if (!signe(a))
    4454             :   {
    4455           0 :     if (zeta) *zeta = gen_1;
    4456           0 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Fp_sqrtn", mkintmod(gen_0,p));
    4457           0 :     return gen_0;
    4458             :   }
    4459         392 :   if (absequaliu(n,2))
    4460             :   {
    4461         224 :     if (zeta) *zeta = subiu(p,1);
    4462         224 :     return signe(n) > 0 ? Fp_sqrt(a,p): Fp_sqrt(Fp_inv(a, p),p);
    4463             :   }
    4464         168 :   return gen_Shanks_sqrtn(a,n,subiu(p,1),zeta,(void*)p,&Fp_star);
    4465             : }
    4466             : 
    4467             : /*********************************************************************/
    4468             : /**                                                                 **/
    4469             : /**                    FUNDAMENTAL DISCRIMINANTS                    **/
    4470             : /**                                                                 **/
    4471             : /*********************************************************************/
    4472             : static long
    4473        1407 : fa_isfundamental(GEN F)
    4474             : {
    4475        1407 :   GEN P = gel(F,1), E = gel(F,2);
    4476        1407 :   long i, s, l = lg(P);
    4477             : 
    4478        1407 :   if (l == 1) return 1;
    4479        1400 :   s = signe(gel(P,1)); /* = signe(x) */
    4480        1400 :   if (!s) return 0;
    4481        1393 :   if (s < 0) { l--; P = vecslice(P,2,l); E = vecslice(E,2,l); }
    4482        1393 :   if (l == 1) return 0;
    4483        1386 :   if (!absequaliu(gel(P,1), 2))
    4484         686 :     i = 1; /* need x = 1 mod 4 */
    4485             :   else
    4486             :   {
    4487         700 :     i = 2;
    4488         700 :     switch(itou(gel(E,1)))
    4489             :     {
    4490         182 :       case 2: s = -s; break; /* need x/4 = 3 mod 4 */
    4491          84 :       case 3: s = 0; break; /* no condition mod 4 */
    4492         434 :       default: return 0;
    4493             :     }
    4494             :   }
    4495        1974 :   for(; i < l; i++)
    4496             :   {
    4497        1190 :     if (!equali1(gel(E,i))) return 0;
    4498        1022 :     if (s && Mod4(gel(P,i)) == 3) s = -s;
    4499             :   }
    4500         784 :   return s >= 0;
    4501             : }
    4502             : long
    4503       20433 : isfundamental(GEN x)
    4504             : {
    4505       20433 :   if (typ(x) != t_INT)
    4506             :   {
    4507        1407 :     pari_sp av = avma;
    4508        1407 :     long v = fa_isfundamental(check_arith_all(x,"isfundamental"));
    4509        1407 :     return gc_long(av,v);
    4510             :   }
    4511       19026 :   return Z_isfundamental(x);
    4512             : }
    4513             : 
    4514             : /* x fundamental ? */
    4515             : long
    4516       16561 : uposisfundamental(ulong x)
    4517             : {
    4518       16561 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4519       16561 :   if (!r) return 0;
    4520       15784 :   switch(r & 3)
    4521             :   { /* x mod 4 */
    4522        3417 :     case 0: return (r == 4)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4523        5923 :     case 1: return uissquarefree(x);
    4524        6444 :     default: return 0;
    4525             :   }
    4526             : }
    4527             : /* -x fundamental ? */
    4528             : long
    4529       32761 : unegisfundamental(ulong x)
    4530             : {
    4531       32761 :   ulong r = x & 15; /* x mod 16 */
    4532       32761 :   if (!r) return 0;
    4533       31165 :   switch(r & 3)
    4534             :   { /* x mod 4 */
    4535        7197 :     case 0: return (r == 12)? 0: uissquarefree(x >> 2);
    4536       13646 :     case 3: return uissquarefree(x);
    4537       10322 :     default: return 0;
    4538             :   }
    4539             : }
    4540             : long
    4541       24913 : sisfundamental(long x)
    4542       24913 : { return x < 0? unegisfundamental((ulong)(-x)): uposisfundamental(x); }
    4543             : 
    4544             : long
    4545       19593 : Z_isfundamental(GEN x)
    4546             : {
    4547             :   long r;
    4548       19593 :   switch(lgefint(x))
    4549             :   {
    4550           7 :     case 2: return 0;
    4551        9219 :     case 3: return signe(x) < 0? unegisfundamental(x[2])
    4552       26795 :                                : uposisfundamental(x[2]);
    4553             :   }
    4554        2010 :   r = mod16(x);
    4555        2010 :   if (!r) return 0;
    4556        1884 :   if ((r & 3) == 0)
    4557             :   {
    4558             :     pari_sp av;
    4559         376 :     r >>= 2; /* |x|/4 mod 4 */
    4560         376 :     if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4561         376 :     if (r == 1) return 0;
    4562         250 :     av = avma;
    4563         250 :     r = Z_issquarefree( shifti(x,-2) );
    4564         250 :     return gc_long(av, r);
    4565             :   }
    4566        1508 :   r &= 3; /* |x| mod 4 */
    4567        1508 :   if (signe(x) < 0) r = 4-r;
    4568        1508 :   return (r==1) ? Z_issquarefree(x) : 0;
    4569             : }
    4570             : 
    4571             : static GEN
    4572        2821 : fa_quaddisc(GEN f)
    4573             : {
    4574        2821 :   GEN P = gel(f,1), E = gel(f,2), s = gen_1;
    4575        2821 :   long i, l = lg(P);
    4576        9051 :   for (i = 1; i < l; i++) /* possibly including -1 */
    4577        6230 :     if (mpodd(gel(E,i))) s = mulii(s, gel(P,i));
    4578        2821 :   if (Mod4(s) > 1) s = shifti(s,2);
    4579        2821 :   return s;
    4580             : }
    4581             : 
    4582             : GEN
    4583        2821 : quaddisc(GEN x)
    4584             : {
    4585        2821 :   const pari_sp av = avma;
    4586        2821 :   if (is_rational_t(typ(x))) x = factor(x);
    4587        1407 :   else x = check_arith_all(x,"quaddisc");
    4588        2821 :   return gerepileuptoint(av, fa_quaddisc(x));
    4589             : }
    4590             : 
    4591             : /*********************************************************************/
    4592             : /**                                                                 **/
    4593             : /**                              FACTORIAL                          **/
    4594             : /**                                                                 **/
    4595             : /*********************************************************************/
    4596             : GEN
    4597       73146 : mulu_interval_step(ulong a, ulong b, ulong step)
    4598             : {
    4599       73146 :   pari_sp av = avma;
    4600             :   ulong k, l, N, n;
    4601             :   long lx;
    4602             :   GEN x;
    4603             : 
    4604       73146 :   if (!a) return gen_0;
    4605       73146 :   if (step == 1) return mulu_interval(a, b);
    4606       73146 :   n = 1 + (b-a) / step;
    4607       73146 :   b -= (b-a) % step;
    4608       73146 :   if (n < 61)
    4609             :   {
    4610       71767 :     if (n == 1) return utoipos(a);
    4611       55909 :     x = muluu(a,a+step); if (n == 2) return x;
    4612      479558 :     for (k=a+2*step; k<=b; k+=step) x = mului(k,x);
    4613       44721 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4614             :   }
    4615             :   /* step | b-a */
    4616        1379 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4617        1379 :   N = b + a;
    4618        1379 :   for (k = a;; k += step)
    4619             :   {
    4620      227855 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4621      226476 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    4622             :   }
    4623        1379 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    4624        1379 :   setlg(x, lx);
    4625        1379 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4626             : }
    4627             : /* return a * (a+1) * ... * b. Assume a <= b  [ note: factoring out powers of 2
    4628             :  * first is slower ... ] */
    4629             : GEN
    4630      179739 : mulu_interval(ulong a, ulong b)
    4631             : {
    4632      179739 :   pari_sp av = avma;
    4633             :   ulong k, l, N, n;
    4634             :   long lx;
    4635             :   GEN x;
    4636             : 
    4637      179739 :   if (!a) return gen_0;
    4638      179739 :   n = b - a + 1;
    4639      179739 :   if (n < 61)
    4640             :   {
    4641      179725 :     if (n == 1) return utoipos(a);
    4642      124040 :     x = muluu(a,a+1); if (n == 2) return x;
    4643      445613 :     for (k=a+2; k<=b; k++) x = mului(k,x);
    4644       90846 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4645             :   }
    4646          14 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4647          14 :   N = b + a;
    4648          14 :   for (k = a;; k++)
    4649             :   {
    4650        7007 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4651        6993 :     gel(x,lx++) = muluu(k,l);
    4652             :   }
    4653          14 :   if (l == k) gel(x,lx++) = utoipos(k);
    4654          14 :   setlg(x, lx);
    4655          14 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4656             : }
    4657             : GEN
    4658         588 : muls_interval(long a, long b)
    4659             : {
    4660         588 :   pari_sp av = avma;
    4661         588 :   long lx, k, l, N, n = b - a + 1;
    4662             :   GEN x;
    4663             : 
    4664         588 :   if (a <= 0 && b >= 0) return gen_0;
    4665         315 :   if (n < 61)
    4666             :   {
    4667         315 :     x = stoi(a);
    4668         553 :     for (k=a+1; k<=b; k++) x = mulsi(k,x);
    4669         315 :     return gerepileuptoint(av, x);
    4670             :   }
    4671           0 :   lx = 1; x = cgetg(2 + n/2, t_VEC);
    4672           0 :   N = b + a;
    4673           0 :   for (k = a;; k++)
    4674             :   {
    4675           0 :     l = N - k; if (l <= k) break;
    4676           0 :     gel(x,lx++) = mulss(k,l);
    4677             :   }
    4678           0 :   if (l == k) gel(x,lx++) = stoi(k);
    4679           0 :   setlg(x, lx);
    4680           0 :   return gerepileuptoint(av, ZV_prod(x));
    4681             : }
    4682             : 
    4683             : GEN
    4684      176157 : mpfact(long n)
    4685             : {
    4686      176157 :   pari_sp av = avma;
    4687             :   GEN a, v;
    4688             :   long k;
    4689      176157 :   if (n <= 12) switch(n)
    4690             :   {
    4691      122954 :     case 0: case 1: return gen_1;
    4692       33269 :     case 2: return gen_2;
    4693        1241 :     case 3: return utoipos(6);
    4694        1543 :     case 4: return utoipos(24);
    4695         750 :     case 5: return utoipos(120);
    4696         437 :     case 6: return utoipos(720);
    4697         345 :     case 7: return utoipos(5040);
    4698         346 :     case 8: return utoipos(40320);
    4699         346 :     case 9: return utoipos(362880);
    4700         626 :     case 10:return utoipos(3628800);
    4701         214 :     case 11:return utoipos(39916800);
    4702         215 :     case 12:return utoipos(479001600);
    4703           0 :     default: pari_err_DOMAIN("factorial", "argument","<",gen_0,stoi(n));
    4704             :   }
    4705       13872 :   v = cgetg(expu(n) + 2, t_VEC);
    4706       13872 :   for (k = 1;; k++)
    4707       69527 :   {
    4708       83399 :     long m = n >> (k-1), l;
    4709       83399 :     if (m <= 2) break;
    4710       69527 :     l = (1 + (n >> k)) | 1;
    4711             :     /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
    4712       69527 :     a = mulu_interval_step(l, m, 2);
    4713       69527 :     gel(v,k) = k == 1? a: powiu(a, k);
    4714             :   }
    4715       69527 :   a = gel(v,--k); while (--k) a = mulii(a, gel(v,k));
    4716       13872 :   a = shifti(a, factorial_lval(n, 2));
    4717       13872 :   return gerepileuptoint(av, a);
    4718             : }
    4719             : 
    4720             : ulong
    4721        4781 : factorial_Fl(long n, ulong p)
    4722             : {
    4723             :   long k;
    4724             :   ulong v;
    4725        4781 :   if (p <= (ulong)n) return 0;
    4726        4781 :   v = Fl_powu(2, factorial_lval(n, 2), p);
    4727        4781 :   for (k = 1;; k++)
    4728       12330 :   {
    4729       17111 :     long m = n >> (k-1), l, i;
    4730       17111 :     ulong a = 1;
    4731       17111 :     if (m <= 2) break;
    4732       12330 :     l = (1 + (n >> k)) | 1;
    4733             :     /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
    4734       83978 :     for (i=l; i<=m; i+=2)
    4735       71648 :       a = Fl_mul(a, i, p);
    4736       12330 :     v = Fl_mul(v, k == 1? a: Fl_powu(a, k, p), p);
    4737             :   }
    4738        4781 :   return v;
    4739             : }
    4740             : 
    4741             : GEN
    4742          60 : factorial_Fp(long n, GEN p)
    4743             : {
    4744          60 :   pari_sp av = avma;
    4745             :   long k;
    4746          60 :   GEN v = Fp_powu(gen_2, factorial_lval(n, 2), p);
    4747          60 :   for (k = 1;; k++)
    4748         134 :   {
    4749         194 :     long m = n >> (k-1), l, i;
    4750         194 :     GEN a = gen_1;
    4751         194 :     if (m <= 2) break;
    4752         134 :     l = (1 + (n >> k)) | 1;
    4753             :     /* product of odd numbers in ]n / 2^k, 2 / 2^(k-1)] */
    4754         402 :     for (i=l; i<=m; i+=2)
    4755         268 :       a = Fp_mulu(a, i, p);
    4756         134 :     v = Fp_mul(v, k == 1? a: Fp_powu(a, k, p), p);
    4757         134 :     v = gerepileuptoint(av, v);
    4758             :   }
    4759          60 :   return v;
    4760             : }
    4761             : 
    4762             : /*******************************************************************/
    4763             : /**                                                               **/
    4764             : /**                      LUCAS & FIBONACCI                        **/
    4765             : /**                                                               **/
    4766             : /*******************************************************************/
    4767             : static void
    4768          56 : lucas(ulong n, GEN *a, GEN *b)
    4769             : {
    4770             :   GEN z, t, zt;
    4771          56 :   if (!n) { *a = gen_2; *b = gen_1; return; }
    4772          49 :   lucas(n >> 1, &z, &t); zt = mulii(z, t);
    4773          49 :   switch(n & 3) {
    4774          14 :     case  0: *a = subiu(sqri(z),2); *b = subiu(zt,1); break;
    4775          14 :     case  1: *a = subiu(zt,1);      *b = addiu(sqri(t),2); break;
    4776           7 :     case  2: *a = addiu(sqri(z),2); *b = addiu(zt,1); break;
    4777          14 :     case  3: *a = addiu(zt,1);      *b = subiu(sqri(t),2);
    4778             :   }
    4779          49 : }
    4780             : 
    4781             : GEN
    4782           7 : fibo(long n)
    4783             : {
    4784           7 :   pari_sp av = avma;
    4785             :   GEN a, b;
    4786           7 :   if (!n) return gen_0;
    4787           7 :   lucas((ulong)(labs(n)-1), &a, &b);
    4788           7 :   a = diviuexact(addii(shifti(a,1),b), 5);
    4789           7 :   if (n < 0 && !odd(n)) setsigne(a, -1);
    4790           7 :   return gerepileuptoint(av, a);
    4791             : }
    4792             : 
    4793             : /*******************************************************************/
    4794             : /*                                                                 */
    4795             : /*                      CONTINUED FRACTIONS                        */
    4796             : /*                                                                 */
    4797             : /*******************************************************************/
    4798             : static GEN
    4799     2830683 : icopy_lg(GEN x, long l)
    4800             : {
    4801     2830683 :   long lx = lgefint(x);
    4802             :   GEN y;
    4803             : 
    4804     2830683 :   if (lx >= l) return icopy(x);
    4805          35 :   y = cgeti(l); affii(x, y); return y;
    4806             : }
    4807             : 
    4808             : /* continued fraction of a/b. If y != NULL, stop when partial quotients
    4809             :  * differ from y */
    4810             : static GEN
    4811     2830979 : Qsfcont(GEN a, GEN b, GEN y, ulong k)
    4812             : {
    4813             :   GEN  z, c;
    4814     2830979 :   ulong i, l, ly = lgefint(b);
    4815             : 
    4816             :   /* times 1 / log2( (1+sqrt(5)) / 2 )  */
    4817     2830979 :   l = (ulong)(3 + bit_accuracy_mul(ly, 1.44042009041256));
    4818     2830979 :   if (k > 0 && k+1 > 0 && l > k+1) l = k+1; /* beware overflow */
    4819     2830979 :   if (l > LGBITS) l = LGBITS;
    4820             : 
    4821     2830979 :   z = cgetg(l,t_VEC);
    4822     2830979 :   l--;
    4823     2830979 :   if (y) {
    4824         296 :     pari_sp av = avma;
    4825         296 :     if (l >= (ulong)lg(y)) l = lg(y)-1;
    4826       19467 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4827             :     {
    4828       19282 :       GEN q = gel(y,i);
    4829       19282 :       gel(z,i) = q;
    4830       19282 :       c = b; if (!gequal1(q)) c = mulii(q, b);
    4831       19282 :       c = subii(a, c);
    4832       19282 :       if (signe(c) < 0)
    4833             :       { /* partial quotient too large */
    4834         110 :         c = addii(c, b);
    4835         110 :         if (signe(c) >= 0) i++; /* by 1 */
    4836         110 :         break;
    4837             :       }
    4838       19172 :       if (cmpii(c, b) >= 0)
    4839             :       { /* partial quotient too small */
    4840           1 :         c = subii(c, b);
    4841           1 :         if (cmpii(c, b) < 0) {
    4842             :           /* by 1. If next quotient is 1 in y, add 1 */
    4843           0 :           if (i < l && equali1(gel(y,i+1))) gel(z,i) = addiu(q,1);
    4844           0 :           i++;
    4845             :         }
    4846           1 :         break;
    4847             :       }
    4848       19171 :       if ((i & 0xff) == 0) gerepileall(av, 2, &b, &c);
    4849       19171 :       a = b; b = c;
    4850             :     }
    4851             :   } else {
    4852     2830683 :     a = icopy_lg(a, ly);
    4853     2830683 :     b = icopy(b);
    4854    23440276 :     for (i = 1; i <= l; i++)
    4855             :     {
    4856    23440012 :       gel(z,i) = truedvmdii(a,b,&c);
    4857    23440012 :       if (c == gen_0) { i++; break; }
    4858    20609593 :       affii(c, a); cgiv(c); c = a;
    4859    20609593 :       a = b; b = c;
    4860             :     }
    4861             :   }
    4862     2830979 :   i--;
    4863     2830979 :   if (i > 1 && gequal1(gel(z,i)))
    4864             :   {
    4865          85 :     cgiv(gel(z,i)); --i;
    4866          85 :     gel(z,i) = addui(1, gel(z,i)); /* unclean: leave old z[i] on stack */
    4867             :   }
    4868     2830979 :   setlg(z,i+1); return z;
    4869             : }
    4870             : 
    4871             : static GEN
    4872           0 : sersfcont(GEN a, GEN b, long k)
    4873             : {
    4874           0 :   long i, l = typ(a) == t_POL? lg(a): 3;
    4875             :   GEN y, c;
    4876           0 :   if (lg(b) > l) l = lg(b);
    4877           0 :   if (k > 0 && l > k+1) l = k+1;
    4878           0 :   y = cgetg(l,t_VEC);
    4879           0 :   for (i=1; i<l; i++)
    4880             :   {
    4881           0 :     gel(y,i) = poldivrem(a,b,&c);
    4882           0 :     if (gequal0(c)) { i++; break; }
    4883           0 :     a = b; b = c;
    4884             :   }
    4885           0 :   setlg(y, i); return y;
    4886             : }
    4887             : 
    4888             : GEN
    4889     2831698 : gboundcf(GEN x, long k)
    4890             : {
    4891             :   pari_sp av;
    4892     2831698 :   long tx = typ(x), e;
    4893             :   GEN y, a, b, c;
    4894             : 
    4895     2831698 :   if (k < 0) pari_err_DOMAIN("gboundcf","nmax","<",gen_0,stoi(k));
    4896     2831691 :   if (is_scalar_t(tx))
    4897             :   {
    4898     2831691 :     if (gequal0(x)) return mkvec(gen_0);
    4899     2831586 :     switch(tx)
    4900             :     {
    4901         896 :       case t_INT: return mkveccopy(x);
    4902         303 :       case t_REAL:
    4903         303 :         av = avma;
    4904         303 :         c = mantissa_real(x,&e);
    4905         303 :         if (e < 0) pari_err_PREC("gboundcf");
    4906         296 :         y = int2n(e);
    4907         296 :         a = Qsfcont(c,y, NULL, k);
    4908         296 :         b = addsi(signe(x), c);
    4909         296 :         return gerepilecopy(av, Qsfcont(b,y, a, k));
    4910             : 
    4911     2830387 :       case t_FRAC:
    4912     2830387 :         av = avma;
    4913     2830387 :         return gerepileupto(av, Qsfcont(gel(x,1),gel(x,2), NULL, k));
    4914             :     }
    4915           0 :     pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4916             :   }
    4917             : 
    4918           0 :   switch(tx)
    4919             :   {
    4920           0 :     case t_POL: return mkveccopy(x);
    4921           0 :     case t_SER:
    4922           0 :       av = avma;
    4923           0 :       return gerepileupto(av, gboundcf(ser2rfrac_i(x), k));
    4924           0 :     case t_RFRAC:
    4925           0 :       av = avma;
    4926           0 :       return gerepilecopy(av, sersfcont(gel(x,1), gel(x,2), k));
    4927             :   }
    4928           0 :   pari_err_TYPE("gboundcf",x);
    4929             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    4930             : }
    4931             : 
    4932             : static GEN
    4933          14 : sfcont2(GEN b, GEN x, long k)
    4934             : {
    4935          14 :   pari_sp av = avma;
    4936          14 :   long lb = lg(b), tx = typ(x), i;
    4937             :   GEN y,p1;
    4938             : 
    4939          14 :   if (k)
    4940             :   {
    4941           7 :     if (k >= lb) pari_err_DIM("contfrac [too few denominators]");
    4942           0 :     lb = k+1;
    4943             :   }
    4944           7 :   y = cgetg(lb,t_VEC);
    4945           7 :   if (lb==1) return y;
    4946           7 :   if (is_scalar_t(tx))
    4947             :   {
    4948           7 :     if (!is_intreal_t(tx) && tx != t_FRAC) pari_err_TYPE("sfcont2",x);
    4949             :   }
    4950           0 :   else if (tx == t_SER) x = ser2rfrac_i(x);
    4951             : 
    4952           7 :   if (!gequal1(gel(b,1))) x = gmul(gel(b,1),x);
    4953           7 :   for (i = 1;;)
    4954             :   {
    4955          35 :     if (tx == t_REAL)
    4956             :     {
    4957          35 :       long e = expo(x);
    4958          35 :       if (e > 0 && nbits2prec(e+1) > realprec(x)) break;
    4959          35 :       gel(y,i) = floorr(x);
    4960          35 :       p1 = subri(x, gel(y,i));
    4961             :     }
    4962             :     else
    4963             :     {
    4964           0 :       gel(y,i) = gfloor(x);
    4965           0 :       p1 = gsub(x, gel(y,i));
    4966             :     }
    4967          35 :     if (++i >= lb) break;
    4968          28 :     if (gequal0(p1)) break;
    4969          28 :     x = gdiv(gel(b,i),p1);
    4970             :   }
    4971           7 :   setlg(y,i);
    4972           7 :   return gerepilecopy(av,y);
    4973             : }
    4974             : 
    4975             : GEN
    4976         105 : gcf(GEN x) { return gboundcf(x,0); }
    4977             : GEN
    4978           0 : gcf2(GEN b, GEN x) { return contfrac0(x,b,0); }
    4979             : GEN
    4980          49 : contfrac0(GEN x, GEN b, long nmax)
    4981             : {
    4982             :   long tb;
    4983             : 
    4984          49 :   if (!b) return gboundcf(x,nmax);
    4985          28 :   tb = typ(b);
    4986          28 :   if (tb == t_INT) return gboundcf(x,itos(b));
    4987          21 :   if (! is_vec_t(tb)) pari_err_TYPE("contfrac0",b);
    4988          21 :   if (nmax < 0) pari_err_DOMAIN("contfrac","nmax","<",gen_0,stoi(nmax));
    4989          14 :   return sfcont2(b,x,nmax);
    4990             : }
    4991             : 
    4992             : GEN
    4993         245 : contfracpnqn(GEN x, long n)
    4994             : {
    4995         245 :   pari_sp av = avma;
    4996         245 :   long i, lx = lg(x);
    4997             :   GEN M,A,B, p0,p1, q0,q1;
    4998             : 
    4999         245 :   if (lx == 1)
    5000             :   {
    5001          28 :     if (! is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE("pnqn",x);
    5002          21 :     if (n >= 0) return cgetg(1,t_MAT);
    5003           7 :     return matid(2);
    5004             :   }
    5005         217 :   switch(typ(x))
    5006             :   {
    5007         175 :     case t_VEC: case t_COL: A = x; B = NULL; break;
    5008          42 :     case t_MAT:
    5009          42 :       switch(lgcols(x))
    5010             :       {
    5011           0 :         case 2: A = row(x,1); B = NULL; break;
    5012          35 :         case 3: A = row(x,2); B = row(x,1); break;
    5013           7 :         default: pari_err_DIM("pnqn [ nbrows != 1,2 ]");
    5014             :                  return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5015             :       }
    5016          35 :       break;
    5017           0 :     default: pari_err_TYPE("pnqn",x);
    5018             :       return NULL; /*LCOV_EXCL_LINE*/
    5019             :   }
    5020         210 :   p1 = gel(A,1);
    5021         210 :   q1 = B? gel(B,1): gen_1; /* p[0], q[0] */
    5022         210 :   if (n >= 0)
    5023             :   {
    5024         175 :     lx = minss(lx, n+2);
    5025         175 :     if (lx == 2) return gerepilecopy(av, mkmat(mkcol2(p1,q1)));
    5026             :   }
    5027          35 :   else if (lx == 2)
    5028           7 :     return gerepilecopy(av, mkmat2(mkcol2(p1,q1), mkcol2(gen_1,gen_0)));
    5029             :   /* lx >= 3 */
    5030         112 :   p0 = gen_1;
    5031         112 :   q0 = gen_0; /* p[-1], q[-1] */
    5032         112 :   M = cgetg(lx, t_MAT);
    5033         112 :   gel(M,1) = mkcol2(p1,q1);
    5034         364 :   for (i=2; i<lx; i++)
    5035             :   {
    5036         252 :     GEN a = gel(A,i), p2,q2;
    5037         252 :     if (B) {
    5038          84 :       GEN b = gel(B,i);
    5039          84 :       p0 = gmul(b,p0);
    5040          84 :       q0 = gmul(b,q0);
    5041             :     }
    5042         252 :     p2 = gadd(gmul(a,p1),p0); p0=p1; p1=p2;
    5043         252 :     q2 = gadd(gmul(a,q1),q0); q0=q1; q1=q2;
    5044         252 :     gel(M,i) = mkcol2(p1,q1);
    5045             :   }
    5046         112 :   if (n < 0) M = mkmat2(gel(M,lx-1), gel(M,lx-2));
    5047         112 :   return gerepilecopy(av, M);
    5048             : }
    5049             : GEN
    5050           0 : pnqn(GEN x) { return contfracpnqn(x,-1); }
    5051             : /* x = [a0, ..., an] from gboundcf, n >= 0;
    5052             :  * return [[p0, ..., pn], [q0,...,qn]] */
    5053             : GEN
    5054      609308 : ZV_allpnqn(GEN x)
    5055             : {
    5056      609308 :   long i, lx = lg(x);
    5057      609308 :   GEN p0, p1, q0, q1, p2, q2, P,Q, v = cgetg(3,t_VEC);
    5058             : 
    5059      609308 :   gel(v,1) = P = cgetg(lx, t_VEC);
    5060      609308 :   gel(v,2) = Q = cgetg(lx, t_VEC);
    5061      609308 :   p0 = gen_1; q0 = gen_0;
    5062      609308 :   gel(P, 1) = p1 = gel(x,1); gel(Q, 1) = q1 = gen_1;
    5063     2092209 :   for (i=2; i<lx; i++)
    5064             :   {
    5065     1482901 :     GEN a = gel(x,i);
    5066     1482901 :     gel(P, i) = p2 = addmulii(p0, a, p1); p0 = p1; p1 = p2;
    5067     1482901 :     gel(Q, i) = q2 = addmulii(q0, a, q1); q0 = q1; q1 = q2;
    5068             :   }
    5069      609308 :   return v;
    5070             : }
    5071             : 
    5072             : /* write Mod(x,N) as a/b, gcd(a,b) = 1, b <= B (no condition if B = NULL) */
    5073             : static GEN
    5074          42 : mod_to_frac(GEN x, GEN N, GEN B)
    5075             : {
    5076             :   GEN a, b, A;
    5077          42 :   if (B) A = divii(shifti(N, -1), B);
    5078             :   else
    5079             :   {
    5080          14 :     A = sqrti(shifti(N, -1));
    5081          14 :     B = A;
    5082             :   }
    5083          42 :   if (!Fp_ratlift(x, N, A,B,&a,&b) || !equali1( gcdii(a,b) )) return NULL;
    5084          28 :   return equali1(b)? a: mkfrac(a,b);
    5085             : }
    5086             : 
    5087             : static GEN
    5088          70 : mod_to_rfrac(GEN x, GEN N, long B)
    5089             : {
    5090             :   GEN a, b;
    5091          70 :   long A, d = degpol(N);
    5092          70 :   if (B >= 0) A = d-1 - B;
    5093             :   else
    5094             :   {
    5095          42 :     B = d >> 1;
    5096          42 :     A = odd(d)? B : B-1;
    5097             :   }
    5098          70 :   if (varn(N) != varn(x)) x = scalarpol(x, varn(N));
    5099          70 :   if (!RgXQ_ratlift(x, N, A, B, &a,&b) || degpol(RgX_gcd(a,b)) > 0) return NULL;
    5100          56 :   return gdiv(a,b);
    5101             : }
    5102             : 
    5103             : /* k > 0 t_INT, x a t_FRAC, returns the convergent a/b
    5104             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    5105             : static GEN
    5106           7 : bestappr_frac(GEN x, GEN k)
    5107             : {
    5108             :   pari_sp av;
    5109             :   GEN p0, p1, p, q0, q1, q, a, y;
    5110             : 
    5111           7 :   if (cmpii(gel(x,2),k) <= 0) return gcopy(x);
    5112           0 :   av = avma; y = x;
    5113           0 :   p1 = gen_1; p0 = truedvmdii(gel(x,1), gel(x,2), &a); /* = floor(x) */
    5114           0 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    5115           0 :   x = mkfrac(a, gel(x,2)); /* = frac(x); now 0<= x < 1 */
    5116             :   for(;;)
    5117             :   {
    5118           0 :     x = ginv(x); /* > 1 */
    5119           0 :     a = typ(x)==t_INT? x: divii(gel(x,1), gel(x,2));
    5120           0 :     if (cmpii(a,k) > 0)
    5121             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    5122             :       GEN n, d;
    5123           0 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    5124           0 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    5125           0 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    5126             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    5127           0 :       n = gel(y,1);
    5128           0 :       d = gel(y,2);
    5129           0 :       if (abscmpii(mulii(q1, subii(mulii(q0,n), mulii(d,p0))),
    5130             :                    mulii(q0, subii(mulii(q1,n), mulii(d,p1)))) < 0)
    5131           0 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    5132           0 :       break;
    5133             :     }
    5134           0 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    5135           0 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    5136             : 
    5137           0 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    5138           0 :     x = gsub(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    5139           0 :     if (typ(x) == t_INT) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* x = 0 */
    5140             : 
    5141             :   }
    5142           0 :   return gerepileupto(av, gdiv(p1,q1));
    5143             : }
    5144             : /* k > 0 t_INT, x != 0 a t_REAL, returns the convergent a/b
    5145             :  * of the continued fraction of x with b <= k maximal */
    5146             : static GEN
    5147      373038 : bestappr_real(GEN x, GEN k)
    5148             : {
    5149      373038 :   pari_sp av = avma;
    5150      373038 :   GEN kr, p0, p1, p, q0, q1, q, a, y = x;
    5151             : 
    5152      373038 :   p1 = gen_1; a = p0 = floorr(x);
    5153      373038 :   q1 = gen_0; q0 = gen_1;
    5154      373038 :   x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    5155      373038 :   if (!signe(x)) { cgiv(x); return a; }
    5156      357131 :   kr = itor(k, realprec(x));
    5157             :   for(;;)
    5158      543877 :   {
    5159             :     long d;
    5160      901008 :     x = invr(x); /* > 1 */
    5161      901008 :     if (cmprr(x,kr) > 0)
    5162             :     { /* next partial quotient will overflow limits */
    5163      350343 :       a = divii(subii(k, q1), q0);
    5164      350343 :       p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    5165      350343 :       q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    5166             :       /* compare |y-p0/q0|, |y-p1/q1| */
    5167      350343 :       if (abscmprr(mulir(q1, subri(mulir(q0,y), p0)),
    5168             :                    mulir(q0, subri(mulir(q1,y), p1))) < 0)
    5169        8309 :                    { p1 = p0; q1 = q0; }
    5170      350343 :       break;
    5171             :     }
    5172      550665 :     d = nbits2prec(expo(x) + 1);
    5173      550665 :     if (d > lg(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; } /* original x was ~ 0 */
    5174             : 
    5175      550476 :     a = truncr(x); /* truncr(x) will NOT raise e_PREC */
    5176      550476 :     p = addii(mulii(a,p0), p1); p1=p0; p0=p;
    5177      550476 :     q = addii(mulii(a,q0), q1); q1=q0; q0=q;
    5178             : 
    5179      550476 :     if (cmpii(q0,k) > 0) break;
    5180      546397 :     x = subri(x,a); /* 0 <= x < 1 */
    5181      546397 :     if (!signe(x)) { p1 = p0; q1 = q0; break; }
    5182             :   }
    5183      357131 :   if (signe(q1) < 0) { togglesign_safe(&p1); togglesign_safe(&q1); }
    5184      357131 :   return gerepilecopy(av, equali1(q1)? p1: mkfrac(p1,q1));
    5185             : }
    5186             : 
    5187             : /* k t_INT or NULL */
    5188             : static GEN
    5189      626180 : bestappr_Q(GEN x, GEN k)
    5190             : {
    5191      626180 :   long lx, tx = typ(x), i;
    5192             :   GEN a, y;
    5193             : 
    5194      626180 :   switch(tx)
    5195             :   {
    5196          77 :     case t_INT: return icopy(x);
    5197           7 :     case t_FRAC: return k? bestappr_frac(x, k): gcopy(x);
    5198      462101 :     case t_REAL:
    5199      462101 :       if (!signe(x)) return gen_0;
    5200             :       /* i <= e iff nbits2lg(e+1) > lg(x) iff floorr(x) fails */
    5201      373038 :       i = bit_prec(x); if (i <= expo(x)) return NULL;
    5202      373038 :       return bestappr_real(x, k? k: int2n(i));
    5203             : 
    5204          28 :     case t_INTMOD: {
    5205          28 :       pari_sp av = avma;
    5206          28 :       a = mod_to_frac(gel(x,2), gel(x,1), k); if (!a) return NULL;
    5207          21 :       return gerepilecopy(av, a);
    5208             :     }
    5209          14 :     case t_PADIC: {
    5210          14 :       pari_sp av = avma;
    5211          14 :       long v = valp(x);
    5212          14 :       a = mod_to_frac(gel(x,4), gel(x,3), k); if (!a) return NULL;
    5213           7 :       if (v) a = gmul(a, powis(gel(x,2), v));
    5214           7 :       return gerepilecopy(av, a);
    5215             :     }
    5216             : 
    5217         196 :     case t_COMPLEX: {
    5218         196 :       pari_sp av = avma;
    5219         196 :       y = cgetg(3, t_COMPLEX);
    5220         196 :       gel(y,2) = bestappr(gel(x,2), k);
    5221         196 :       gel(y,1) = bestappr(gel(x,1), k);
    5222         196 :       if (gequal0(gel(y,2))) return gerepileupto(av, gel(y,1));
    5223           0 :       return y;
    5224             :     }
    5225           0 :     case t_SER:
    5226           0 :       if (ser_isexactzero(x)) return gcopy(x);
    5227             :       /* fall through */
    5228             :     case t_POLMOD: case t_POL: case t_RFRAC:
    5229             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    5230      163757 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    5231      163757 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    5232      775545 :       for (; i<lx; i++)
    5233             :       {
    5234      611788 :         a = bestappr_Q(gel(x,i),k); if (!a) return NULL;
    5235      611788 :         gel(y,i) = a;
    5236             :       }
    5237      163757 :       if (tx == t_POL) return normalizepol(y);
    5238      163743 :       if (tx == t_SER) return normalize(y);
    5239      163743 :       return y;
    5240             :   }
    5241           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_Q",x);
    5242             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5243             : }
    5244             : 
    5245             : static GEN
    5246          56 : bestappr_ser(GEN x, long B)
    5247             : {
    5248          56 :   long dN, v = valp(x), lx = lg(x);
    5249             :   GEN t;
    5250          56 :   x = normalizepol(ser2pol_i(x, lx));
    5251          56 :   dN = lx-2;
    5252          56 :   if (v > 0)
    5253             :   {
    5254          14 :     x = RgX_shift_shallow(x, v);
    5255          14 :     dN += v;
    5256             :   }
    5257          42 :   else if (v < 0)
    5258             :   {
    5259           7 :     if (B >= 0) B = maxss(B+v, 0);
    5260             :   }
    5261          56 :   t = mod_to_rfrac(x, pol_xn(dN, varn(x)), B);
    5262          56 :   if (!t) return NULL;
    5263          42 :   if (v < 0)
    5264             :   {
    5265             :     GEN a, b;
    5266             :     long vx;
    5267           7 :     if (typ(t) == t_POL) return RgX_mulXn(t, v);
    5268             :     /* t_RFRAC */
    5269           7 :     vx = varn(x);
    5270           7 :     a = gel(t,1);
    5271           7 :     b = gel(t,2);
    5272           7 :     v -= RgX_valrem(b, &b);
    5273           7 :     if (typ(a) == t_POL && varn(a) == vx) v += RgX_valrem(a, &a);
    5274           7 :     if (v < 0) b = RgX_shift(b, -v);
    5275           0 :     else if (v > 0) {
    5276           0 :       if (typ(a) != t_POL || varn(a) != vx) a = scalarpol_shallow(a, vx);
    5277           0 :       a = RgX_shift(a, v);
    5278             :     }
    5279           7 :     t = mkrfraccopy(a, b);
    5280             :   }
    5281          42 :   return t;
    5282             : }
    5283             : static GEN bestappr_RgX(GEN x, long B);
    5284             : /* x t_POLMOD, B >= 0 or < 0 [omit condition on B].
    5285             :  * Look for coprime t_POL a,b, deg(b)<=B, such that a/b = x */
    5286             : static GEN
    5287          77 : bestappr_RgX(GEN x, long B)
    5288             : {
    5289          77 :   long i, lx, tx = typ(x);
    5290             :   GEN y, t;
    5291          77 :   switch(tx)
    5292             :   {
    5293           0 :     case t_INT: case t_REAL: case t_INTMOD: case t_FRAC:
    5294             :     case t_COMPLEX: case t_PADIC: case t_QUAD: case t_POL:
    5295           0 :       return gcopy(x);
    5296             : 
    5297          14 :     case t_RFRAC: {
    5298          14 :       pari_sp av = avma;
    5299          14 :       if (B < 0 || degpol(gel(x,2)) <= B) return gcopy(x);
    5300           7 :       x = rfrac_to_ser(x, 2*B+1);
    5301           7 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    5302           0 :       return gerepileupto(av, t);
    5303             :     }
    5304          14 :     case t_POLMOD: {
    5305          14 :       pari_sp av = avma;
    5306          14 :       t = mod_to_rfrac(gel(x,2), gel(x,1), B); if (!t) return NULL;
    5307          14 :       return gerepileupto(av, t);
    5308             :     }
    5309          49 :     case t_SER: {
    5310          49 :       pari_sp av = avma;
    5311          49 :       t = bestappr_ser(x, B); if (!t) return NULL;
    5312          42 :       return gerepileupto(av, t);
    5313             :     }
    5314             : 
    5315           0 :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    5316           0 :       y = cgetg_copy(x, &lx);
    5317           0 :       if (lontyp[tx] == 1) i = 1; else { y[1] = x[1]; i = 2; }
    5318           0 :       for (; i<lx; i++)
    5319             :       {
    5320           0 :         t = bestappr_RgX(gel(x,i),B); if (!t) return NULL;
    5321           0 :         gel(y,i) = t;
    5322             :       }
    5323           0 :       return y;
    5324             :   }
    5325           0 :   pari_err_TYPE("bestappr_RgX",x);
    5326             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5327             : }
    5328             : 
    5329             : /* allow k = NULL: maximal accuracy */
    5330             : GEN
    5331       14392 : bestappr(GEN x, GEN k)
    5332             : {
    5333       14392 :   pari_sp av = avma;
    5334       14392 :   if (k) { /* replace by floor(k) */
    5335       14119 :     switch(typ(k))
    5336             :     {
    5337        1785 :       case t_INT:
    5338        1785 :         break;
    5339       12334 :       case t_REAL: case t_FRAC:
    5340       12334 :         k = floor_safe(k); /* left on stack for efficiency */
    5341       12334 :         if (!signe(k)) k = gen_1;
    5342       12334 :         break;
    5343           0 :       default:
    5344           0 :         pari_err_TYPE("bestappr [bound type]", k);
    5345           0 :         break;
    5346             :     }
    5347         273 :   }
    5348       14392 :   x = bestappr_Q(x, k);
    5349       14392 :   if (!x) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    5350       14378 :   return x;
    5351             : }
    5352             : GEN
    5353          77 : bestapprPade(GEN x, long B)
    5354             : {
    5355          77 :   pari_sp av = avma;
    5356          77 :   GEN t = bestappr_RgX(x, B);
    5357          77 :   if (!t) { set_avma(av); return cgetg(1,t_VEC); }
    5358          63 :   return t;
    5359             : }
    5360             : 
    5361             : /***********************************************************************/
    5362             : /**                                                                   **/
    5363             : /**         FUNDAMENTAL UNIT AND REGULATOR (QUADRATIC FIELDS)         **/
    5364             : /**                                                                   **/
    5365             : /***********************************************************************/
    5366             : 
    5367             : static GEN
    5368          14 : get_quad(GEN f, GEN pol, long r)
    5369             : {
    5370          14 :   GEN p1 = gcoeff(f,1,2), q1 = gcoeff(f,2,2);
    5371          14 :   return mkquad(pol, r? subii(p1,q1): p1, q1);
    5372             : }
    5373             : 
    5374             : /* replace f by f * [a,1; 1,0] */
    5375             : static void
    5376          14 : update_f(GEN f, GEN a)
    5377             : {
    5378             :   GEN p1;
    5379          14 :   p1 = gcoeff(f,1,1);
    5380          14 :   gcoeff(f,1,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,1,2));
    5381          14 :   gcoeff(f,1,2) = p1;
    5382             : 
    5383          14 :   p1 = gcoeff(f,2,1);
    5384          14 :   gcoeff(f,2,1) = addii(mulii(a,p1), gcoeff(f,2,2));
    5385          14 :   gcoeff(f,2,2) = p1;
    5386          14 : }
    5387             : 
    5388             : GEN
    5389           7 : quadunit(GEN x)
    5390             : {
    5391           7 :   pari_sp av = avma, av2;
    5392             :   GEN pol, y, a, u, v, sqd, f;
    5393             :   long r;
    5394             : 
    5395           7 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadunit");
    5396           7 :   pol = quadpoly(x);
    5397           7 :   sqd = sqrti(x); av2 = avma;
    5398           7 :   a = shifti(addui(r,sqd),-1);
    5399           7 :   f = mkmat2(mkcol2(a, gen_1), mkcol2(gen_1, gen_0)); /* [a,0; 1,0] */
    5400           7 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    5401             :   for(;;)
    5402           7 :   {
    5403             :     GEN u1, v1;
    5404          14 :     u1 = subii(mulii(a,v),u);
    5405          14 :     v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    5406          14 :     if ( equalii(v,v1) ) {
    5407           7 :       y = get_quad(f,pol,r);
    5408           7 :       update_f(f,a);
    5409           7 :       y = gdiv(get_quad(f,pol,r), conj_i(y));
    5410           7 :       break;
    5411             :     }
    5412           7 :     a = divii(addii(sqd,u1), v1);
    5413           7 :     if ( equalii(u,u1) ) {
    5414           0 :       y = get_quad(f,pol,r);
    5415           0 :       y = gdiv(y, conj_i(y));
    5416           0 :       break;
    5417             :     }
    5418           7 :     update_f(f,a);
    5419           7 :     u = u1; v = v1;
    5420           7 :     if (gc_needed(av2,2))
    5421             :     {
    5422           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadunit");
    5423           0 :       gerepileall(av2,4, &a,&f,&u,&v);
    5424             :     }
    5425             :   }
    5426           7 :   if (signe(gel(y,3)) < 0) y = gneg(y);
    5427           7 :   return gerepileupto(av, y);
    5428             : }
    5429             : 
    5430             : GEN
    5431           7 : quadunit0(GEN x, long v)
    5432             : {
    5433           7 :   GEN y = quadunit(x);
    5434           7 :   if (v==-1) v = fetch_user_var("w");
    5435           7 :   setvarn(gel(y,1), v);
    5436           7 :   return y;
    5437             : }
    5438             : 
    5439             : GEN
    5440          21 : quadregulator(GEN x, long prec)
    5441             : {
    5442          21 :   pari_sp av = avma, av2;
    5443             :   GEN R, rsqd, u, v, sqd;
    5444             :   long r, Rexpo;
    5445             : 
    5446          21 :   check_quaddisc_real(x, &r, "quadregulator");
    5447          21 :   sqd = sqrti(x);
    5448          21 :   rsqd = gsqrt(x,prec);
    5449          21 :   Rexpo = 0; R = real2n(1, prec); /* = 2 */
    5450          21 :   av2 = avma;
    5451          21 :   u = stoi(r); v = gen_2;
    5452             :   for(;;)
    5453          49 :   {
    5454          70 :     GEN u1 = subii(mulii(divii(addii(u,sqd),v), v), u);
    5455          70 :     GEN v1 = divii(subii(x,sqri(u1)),v);
    5456          70 :     if (equalii(v,v1))
    5457             :     {
    5458           7 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    5459           7 :       R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    5460           7 :       break;
    5461             :     }
    5462          63 :     if (equalii(u,u1))
    5463             :     {
    5464          14 :       R = sqrr(R); shiftr_inplace(R, -1);
    5465          14 :       break;
    5466             :     }
    5467          49 :     R = mulrr(R, divri(addir(u1,rsqd),v));
    5468          49 :     Rexpo += expo(R); setexpo(R,0);
    5469          49 :     u = u1; v = v1;
    5470          49 :     if (Rexpo & ~EXPOBITS) pari_err_OVERFLOW("quadregulator [exponent]");
    5471          49 :     if (gc_needed(av2,2))
    5472             :     {
    5473           0 :       if(DEBUGMEM>1) pari_warn(warnmem,"quadregulator");
    5474           0 :       gerepileall(av2,3, &R,&u,&v);
    5475             :     }
    5476             :   }
    5477          21 :   R = logr_abs(divri(R,v));
    5478          21 :   if (Rexpo)
    5479             :   {
    5480          21 :     GEN t = mulsr(Rexpo, mplog2(prec));
    5481          21 :     shiftr_inplace(t, 1);
    5482          21 :     R = addrr(R,t);
    5483             :   }
    5484          21 :   return gerepileuptoleaf(av, R);
    5485             : }
    5486             : 
    5487             : /*************************************************************************/
    5488             : /**                                                                     **/
    5489             : /**                            CLASS NUMBER                             **/
    5490             : /**                                                                     **/
    5491             : /*************************************************************************/
    5492             : 
    5493             : int
    5494    13010003 : qfb_equal1(GEN f) { return equali1(gel(f,1)); }
    5495             : 
    5496    18412202 : static GEN qfi_pow(void *E, GEN f, GEN n)
    5497    18412202 : { return E? nupow(f,n,(GEN)E): powgi(f,n); }
    5498    23140615 : static GEN qfi_comp(void *E, GEN f, GEN g)
    5499    23140615 : { return E? nucomp(f,g,(GEN)E): qficomp(f,g); }
    5500             : static const struct bb_group qfi_group={ qfi_comp,qfi_pow,NULL,hash_GEN,
    5501             :                                          gidentical,qfb_equal1,NULL};
    5502             : 
    5503             : GEN
    5504     2955787 : qfi_order(GEN q, GEN o)
    5505     2955787 : { return gen_order(q, o, NULL, &qfi_group); }
    5506             : 
    5507             : GEN
    5508           0 : qfi_log(GEN a, GEN g, GEN o)
    5509           0 : { return gen_PH_log(a, g, o, NULL, &qfi_group); }
    5510             : 
    5511             : GEN
    5512      629594 : qfi_Shanks(GEN a, GEN g, long n)
    5513             : {
    5514      629594 :   pari_sp av = avma;
    5515             :   GEN T, X;
    5516             :   long rt_n, c;
    5517             : 
    5518      629594 :   a = redimag(a);
    5519      629594 :   g = redimag(g);
    5520             : 
    5521      629594 :   rt_n = sqrt((double)n);
    5522      629594 :   c = n / rt_n;
    5523      629594 :   c = (c * rt_n < n + 1) ? c + 1 : c;
    5524             : 
    5525      629594 :   T = gen_Shanks_init(g, rt_n, NULL, &qfi_group);
    5526      629594 :   X = gen_Shanks(T, a, c, NULL, &qfi_group);
    5527             : 
    5528      629594 :   if (!X) { set_avma(av); return X; }
    5529      334551 :   return gerepileuptoint(av, X);
    5530             : }
    5531             : 
    5532             : GEN
    5533         140 : qfbclassno0(GEN x,long flag)
    5534             : {
    5535         140 :   switch(flag)
    5536             :   {
    5537         126 :     case 0: return map_proto_G(classno,x);
    5538          14 :     case 1: return map_proto_G(classno2,x);
    5539           0 :     default: pari_err_FLAG("qfbclassno");
    5540             :   }
    5541             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
    5542             : }
    5543             : 
    5544             : /* f^h = 1, return order(f). Set *pfao to its factorization */
    5545             : static GEN
    5546     2791961 : find_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    5547             : {
    5548     2791961 :   GEN v = gen_factored_order(f, h, E, &qfi_group);
    5549     2791961 :   *pfao = gel(v,2); return gel(v,1);
    5550             : }
    5551             : 
    5552             : static int
    5553        6747 : ok_q(GEN q, GEN h, GEN d2, long r2)
    5554             : {
    5555        6747 :   if (d2)
    5556             :   {
    5557           7 :     if (r2 <= 2 && !mpodd(q)) return 0;
    5558           7 :     return is_pm1(Z_ppo(q,d2));
    5559             :   }
    5560             :   else
    5561             :   {
    5562        6740 :     if (r2 <= 1 && !mpodd(q)) return 0;
    5563        6740 :     return is_pm1(Z_ppo(q,h));
    5564             :   }
    5565             : }
    5566             : 
    5567             : /* a,b given by their factorizations. Return factorization of lcm(a,b).
    5568             :  * Set A,B such that A*B = lcm(a, b), (A,B)=1, A|a, B|b */
    5569             : static GEN
    5570      364080 : split_lcm(GEN a, GEN Fa, GEN b, GEN Fb, GEN *pA, GEN *pB)
    5571             : {
    5572      364080 :   GEN P = ZC_union_shallow(gel(Fa,1), gel(Fb,1));
    5573      364080 :   GEN A = gen_1, B = gen_1;
    5574      364080 :   long i, l = lg(P);
    5575      364080 :   GEN E = cgetg(l, t_COL);
    5576     1076794 :   for (i=1; i<l; i++)
    5577             :   {
    5578      712714 :     GEN p = gel(P,i);
    5579      712714 :     long va = Z_pval(a,p);
    5580      712714 :     long vb = Z_pval(b,p);
    5581      712714 :     if (va < vb)
    5582             :     {
    5583      366221 :       B = mulii(B,powiu(p,vb));
    5584      366221 :       gel(E,i) = utoi(vb);
    5585             :     }
    5586             :     else
    5587             :     {
    5588      346493 :       A = mulii(A,powiu(p,va));
    5589      346493 :       gel(E,i) = utoi(va);
    5590             :     }
    5591             :   }
    5592      364080 :   *pA = A;
    5593      364080 :   *pB = B; return mkmat2(P,E);
    5594             : }
    5595             : 
    5596             : /* g1 has order d1, f has order o, replace g1 by an element of order lcm(d1,o)*/
    5597             : static void
    5598      364080 : update_g1(GEN *pg1, GEN *pd1, GEN *pfad1, GEN f, GEN o, GEN fao)
    5599             : {
    5600      364080 :   GEN A,B, g1 = *pg1, d1 = *pd1;
    5601      364080 :   *pfad1 = split_lcm(d1,*pfad1, o,fao, &A,&B);
    5602      364080 :   *pg1 = gmul(powgi(g1, diviiexact(d1,A)),  powgi(f, diviiexact(o,B)));
    5603      364080 :   *pd1 = mulii(A,B); /* g1 has order d1 <- lcm(d1,o) */
    5604      364080 : }
    5605             : 
    5606             : /* Write x = Df^2, where D = fundamental discriminant,
    5607             :  * P^E = factorisation of conductor f, with E[i] >= 0 */
    5608             : static void
    5609     2071457 : corediscfact(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptP, GEN *ptE)
    5610             : {
    5611     2071457 :   long s = signe(x), l, i;
    5612     2071457 :   GEN fa = absZ_factor(x);
    5613     2071457 :   GEN d, P = gel(fa,1), E = gtovecsmall(gel(fa,2));
    5614             : 
    5615     2071457 :   l = lg(P); d = gen_1;
    5616     5392043 :   for (i=1; i<l; i++)
    5617             :   {
    5618     3320586 :     if (E[i] & 1) d = mulii(d, gel(P,i));
    5619     3320586 :     E[i] >>= 1;
    5620             :   }
    5621     2071457 :   if (!xmod4 && mod4(d) != ((s < 0)? 3: 1)) { d = shifti(d,2); E[1]--; }
    5622     2071457 :   *ptD = (s < 0)? negi(d): d;
    5623     2071457 :   *ptP = P;
    5624     2071457 :   *ptE = E;
    5625     2071457 : }
    5626             : 
    5627             : static GEN
    5628     2063647 : conductor_part(GEN x, long xmod4, GEN *ptD, GEN *ptreg)
    5629             : {
    5630     2063647 :   long l, i, s = signe(x);
    5631             :   GEN E, H, D, P, reg;
    5632             : 
    5633     2063647 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5634     2063647 :   H = gen_1; l = lg(P);
    5635             :   /* f \prod_{p|f}  [ 1 - (D/p) p^-1 ] = \prod_{p^e||f} p^(e-1) [ p - (D/p) ] */
    5636     5358361 :   for (i=1; i<l; i++)
    5637             :   {
    5638     3294714 :     long e = E[i];
    5639     3294714 :     if (e)
    5640             :     {
    5641           7 :       GEN p = gel(P,i);
    5642           7 :       H = mulii(H, subis(p, kronecker(D,p)));
    5643           7 :       if (e >= 2) H = mulii(H, powiu(p,e-1));
    5644             :     }
    5645             :   }
    5646             : 
    5647             :   /* divide by [ O_K^* : O^* ] */
    5648     2063647 :   if (s < 0)
    5649             :   {
    5650     2063633 :     reg = NULL;
    5651     2063633 :     switch(itou_or_0(D))
    5652             :     {
    5653           0 :       case 4: H = shifti(H,-1); break;
    5654           0 :       case 3: H = divis(H,3); break;
    5655             :     }
    5656     2063633 :   } else {
    5657          14 :     reg = quadregulator(D,DEFAULTPREC);
    5658          14 :     if (!equalii(x,D))
    5659           0 :       H = divii(H, roundr(divrr(quadregulator(x,DEFAULTPREC), reg)));
    5660             :   }
    5661     2063647 :   if (ptreg) *ptreg = reg;
    5662     2063647 :   *ptD = D; return H;
    5663             : }
    5664             : 
    5665             : static long
    5666     2063626 : two_rank(GEN x)
    5667             : {
    5668     2063626 :   GEN p = gel(absZ_factor(x),1);
    5669     2063626 :   long l = lg(p)-1;
    5670             : #if 0 /* positive disc not needed */
    5671             :   if (signe(x) > 0)
    5672             :   {
    5673             :     long i;
    5674             :     for (i=1; i<=l; i++)
    5675             :       if (mod4(gel(p,i)) == 3) { l--; break; }
    5676             :   }
    5677             : #endif
    5678     2063626 :   return l-1;
    5679             : }
    5680             : 
    5681             : static GEN
    5682    39206715 : sqr_primeform(GEN x, ulong p) { return redimag(qfisqr(primeform_u(x, p))); }
    5683             : /* return a set of forms hopefully generating Cl(K)^2; set L ~ L(chi_D,1) */
    5684             : static GEN
    5685     2063626 : get_forms(GEN D, GEN *pL)
    5686             : {
    5687     2063626 :   const long MAXFORM = 20;
    5688     2063626 :   GEN L, sqrtD = gsqrt(absi_shallow(D),DEFAULTPREC);
    5689     2063626 :   GEN forms = vectrunc_init(MAXFORM+1);
    5690     2063626 :   long s, nforms = 0;
    5691             :   ulong p;
    5692             :   forprime_t S;
    5693     2063626 :   L = mulrr(divrr(sqrtD,mppi(DEFAULTPREC)), dbltor(1.005));/*overshoot by 0.5%*/
    5694     2063626 :   s = itos_or_0( truncr(shiftr(sqrtr(sqrtD), 1)) );
    5695     2063626 :   if (!s) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5696     2063626 :   if      (s < 10)   s = 200;
    5697     1911659 :   else if (s < 20)   s = 1000;
    5698        1477 :   else if (s < 5000) s = 5000;
    5699     2063626 :   u_forprime_init(&S, 2, s);
    5700   343958104 :   while ( (p = u_forprime_next(&S)) )
    5701             :   {
    5702   341894478 :     long d, k = kroiu(D,p);
    5703             :     pari_sp av2;
    5704   341894478 :     if (!k) continue;
    5705   339652231 :     if (k > 0)
    5706             :     {
    5707   170366483 :       if (++nforms < MAXFORM) vectrunc_append(forms, sqr_primeform(D,p));
    5708   170366483 :       d = p-1;
    5709             :     }
    5710             :     else
    5711   169285748 :       d = p+1;
    5712   339652231 :     av2 = avma; affrr(divru(mulur(p,L),d), L); set_avma(av2);
    5713             :   }
    5714     2063626 :   *pL = L; return forms;
    5715             : }
    5716             : 
    5717             : /* h ~ #G, return o = order of f, set fao = its factorization */
    5718             : static  GEN
    5719     2063675 : Shanks_order(void *E, GEN f, GEN h, GEN *pfao)
    5720             : {
    5721     2063675 :   long s = minss(itos(sqrti(h)), 10000);
    5722     2063675 :   GEN T = gen_Shanks_init(f, s, E, &qfi_group);
    5723     2063675 :   GEN v = gen_Shanks(T, ginv(f), ULONG_MAX, E, &qfi_group);
    5724     2063675 :   return find_order(E, f, addiu(v,1), pfao);
    5725             : }
    5726             : 
    5727             : /* if g = 1 in  G/<f> ? */
    5728             : static int
    5729         518 : equal1(void *E, GEN T, ulong N, GEN g)
    5730         518 : { return !!gen_Shanks(T, g, N, E, &qfi_group); }
    5731             : 
    5732             : /* Order of 'a' in G/<f>, T = gen_Shanks_init(f,n), order(f) < n*N
    5733             :  * FIXME: should be gen_order, but equal1 has the wrong prototype */
    5734             : static GEN
    5735         112 : relative_order(void *E, GEN a, GEN o, ulong N,  GEN T)
    5736             : {
    5737         112 :   pari_sp av = avma;
    5738             :   long i, l;
    5739             :   GEN m;
    5740             : 
    5741         112 :   m = get_arith_ZZM(o);
    5742         112 :   if (!m) pari_err_TYPE("gen_order [missing order]",a);
    5743         112 :   o = gel(m,1);
    5744         112 :   m = gel(m,2); l = lgcols(m);
    5745         322 :   for (i = l-1; i; i--)
    5746             :   {
    5747         210 :     GEN t, y, p = gcoeff(m,i,1);
    5748         210 :     long j, e = itos(gcoeff(m,i,2));
    5749         210 :     if (l == 2) {
    5750          35 :       t = gen_1;
    5751          35 :       y = a;
    5752             :     } else {
    5753         175 :       t = diviiexact(o, powiu(p,e));
    5754         175 :       y = powgi(a, t);
    5755             :     }
    5756         210 :     if (equal1(E, T,N,y)) o = t;
    5757             :     else {
    5758         126 :       for (j = 1; j < e; j++)
    5759             :       {
    5760          28 :         y = powgi(y, p);
    5761          28 :         if (equal1(E, T,N,y)) break;
    5762             :       }
    5763         119 :       if (j < e) {
    5764          21 :         if (j > 1) p = powiu(p, j);
    5765          21 :         o = mulii(t, p);
    5766             :       }
    5767             :     }
    5768             :   }
    5769         112 :   return gerepilecopy(av, o);
    5770             : }
    5771             : 
    5772             : /* h(x) for x<0 using Baby Step/Giant Step.
    5773             :  * Assumes G is not too far from being cyclic.
    5774             :  *
    5775             :  * Compute G^2 instead of G so as to kill most of the non-cyclicity */
    5776             : GEN
    5777     2066037 : classno(GEN x)
    5778             : {
    5779     2066037 :   pari_sp av = avma;
    5780             :   long r2, k, s, i, l;
    5781             :   GEN forms, hin, Hf, D, g1, d1, d2, q, L, fad1, order_bound;
    5782             :   void *E;
    5783             : 
    5784     2066037 :   if (signe(x) >= 0) return classno2(x);
    5785             : 
    5786     2066030 :   check_quaddisc(x, &s, &k, "classno");
    5787     2066030 :   if (abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5788             : 
    5789     2063626 :   Hf = conductor_part(x, k, &D, NULL);
    5790     2063626 :   if (abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf);
    5791     2063626 :   forms =  get_forms(D, &L);
    5792     2063626 :   r2 = two_rank(D);
    5793     2063626 :   hin = roundr(shiftr(L, -r2)); /* rough approximation for #G, G = Cl(K)^2 */
    5794             : 
    5795     2063626 :   l = lg(forms);
    5796     2063626 :   order_bound = const_vec(l-1, NULL);
    5797     2063626 :   E = expi(D) > 60? (void*)sqrtnint(shifti(absi_shallow(D),-2),4): NULL;
    5798     2063626 :   g1 = gel(forms,1);
    5799     2063626 :   gel(order_bound,1) = d1 = Shanks_order(E, g1, hin, &fad1);
    5800     2063626 :   q = diviiround(hin, d1); /* approximate order of G/<g1> */
    5801     2063626 :   d2 = NULL; /* not computed yet */
    5802     2063626 :   if (is_pm1(q)) goto END;
    5803      511850 :   for (i=2; i < l; i++)
    5804             :   {
    5805      505040 :     GEN o, fao, a, F, fd, f = gel(forms,i);
    5806      505040 :     fd = powgi(f, d1); if (is_pm1(gel(fd,1))) continue;
    5807      364080 :     F = powgi(fd, q);
    5808      364080 :     a = gel(F,1);
    5809      364080 :     o = is_pm1(a)? find_order(E, fd, q, &fao): Shanks_order(E, fd, q, &fao);
    5810             :     /* f^(d1 q) = 1 */
    5811      364080 :     fao = merge_factor(fad1,fao, (void*)&cmpii, &cmp_nodata);
    5812      364080 :     o = find_order(E, f, fao, &fao);
    5813      364080 :     gel(order_bound,i) = o;
    5814             :     /* o = order of f, fao = factor(o) */
    5815      364080 :     update_g1(&g1,&d1,&fad1, f,o,fao);
    5816      364080 :     q = diviiround(hin, d1);
    5817      364080 :     if (is_pm1(q)) goto END;
    5818             :   }
    5819             :   /* very probably d1 = expo(Cl^2(K)), q ~ #Cl^2(K) / d1 */
    5820        6810 :   if (expi(q) > 3)
    5821             :   { /* q large: compute d2, 2nd elt divisor */
    5822          70 :     ulong N, n = 2*itou(sqrti(d1));
    5823          70 :     GEN D = d1, T = gen_Shanks_init(g1, n, E, &qfi_group);
    5824          70 :     d2 = gen_1;
    5825          70 :     N = itou( gceil(gdivgs(d1,n)) ); /* order(g1) <= n*N */
    5826         287 :     for (i = 1; i < l; i++)
    5827             :     {
    5828         280 :       GEN d, f = gel(forms,i), B = gel(order_bound,i);
    5829         280 :       if (!B) B = find_order(E, f, fad1, /*junk*/&d);
    5830         280 :       f = powgi(f,d2);
    5831         280 :       if (equal1(E, T,N,f)) continue;
    5832         112 :       B = gdiv(B,d2); if (typ(B) == t_FRAC) B = gel(B,1);
    5833             :       /* f^B = 1 */
    5834         112 :       d = relative_order(E, f, B, N,T);
    5835         112 :       d2= mulii(d,d2);
    5836         112 :       D = mulii(d1,d2);
    5837         112 :       q = diviiround(hin,D);
    5838         112 :       if (is_pm1(q)) { d1 = D; goto END; }
    5839             :     }
    5840             :     /* very probably, d2 is the 2nd elementary divisor */
    5841           7 :     d1 = D; /* product of first two elt divisors */
    5842             :   }
    5843             :   /* impose q | d2^oo (d1^oo if d2 not computed), and compatible with known
    5844             :    * 2-rank */
    5845        6747 :   if (!ok_q(q,d1,d2,r2))
    5846             :   {
    5847           0 :     GEN q0 = q;
    5848             :     long d;
    5849           0 :     if (cmpii(mulii(q,d1), hin) < 0)
    5850             :     { /* try q = q0+1,-1,+2,-2 */
    5851           0 :       d = 1;
    5852           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d>0? -d: 1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5853             :     }
    5854             :     else
    5855             :     { /* q0-1,+1,-2,+2  */
    5856           0 :       d = -1;
    5857           0 :       do { q = addis(q0,d); d = d<0? -d: -1-d; } while(!ok_q(q,d1,d2,r2));
    5858             :     }
    5859             :   }
    5860        6747 :   d1 = mulii(d1,q);
    5861             : 
    5862     2063626 : END:
    5863     2063626 :   return gerepileuptoint(av, shifti(mulii(d1,Hf), r2));
    5864             : }
    5865             : 
    5866             : GEN
    5867           0 : quadclassno(GEN x)
    5868             : {
    5869           0 :   pari_sp av = avma;
    5870             :   GEN Hf, D;
    5871             :   long s, r;
    5872           0 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "quadclassno");
    5873           0 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5874           0 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, NULL);
    5875           0 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, gel(quadclassunit0(D,0,NULL,0),1)));
    5876             : }
    5877             : 
    5878             : /* use Euler products */
    5879             : GEN
    5880          21 : classno2(GEN x)
    5881             : {
    5882          21 :   pari_sp av = avma;
    5883          21 :   const long prec = DEFAULTPREC;
    5884             :   long n, i, r, s;
    5885             :   GEN p1, p2, S, p4, p5, p7, Hf, Pi, reg, logd, d, dr, D, half;
    5886             : 
    5887          21 :   check_quaddisc(x, &s, &r, "classno2");
    5888          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(x,12) <= 0) return gen_1;
    5889             : 
    5890          21 :   Hf = conductor_part(x, r, &D, &reg);
    5891          21 :   if (s < 0 && abscmpiu(D,12) <= 0) return gerepilecopy(av, Hf); /* |D| < 12*/
    5892             : 
    5893          21 :   Pi = mppi(prec);
    5894          21 :   d = absi_shallow(D); dr = itor(d, prec);
    5895          21 :   logd = logr_abs(dr);
    5896          21 :   p1 = sqrtr(divrr(mulir(d,logd), gmul2n(Pi,1)));
    5897          21 :   if (s > 0)
    5898             :   {
    5899          14 :     GEN invlogd = invr(logd);
    5900          14 :     p2 = subsr(1, shiftr(mulrr(logr_abs(reg),invlogd),1));
    5901          14 :     if (cmprr(sqrr(p2), shiftr(invlogd,1)) >= 0) p1 = mulrr(p2,p1);
    5902             :   }
    5903          21 :   n = itos_or_0( mptrunc(p1) );
    5904          21 :   if (!n) pari_err_OVERFLOW("classno [discriminant too large]");
    5905             : 
    5906          21 :   p4 = divri(Pi,d);
    5907          21 :   p7 = invr(sqrtr_abs(Pi));
    5908          21 :   half = real2n(-1, prec);
    5909          21 :   if (s > 0)
    5910             :   { /* i = 1, shortcut */
    5911          14 :     p1 = sqrtr_abs(dr);
    5912          14 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5913          14 :     S = addrr(mulrr(p1,p5), eint1(p4,prec));
    5914         546 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5915             :     {
    5916         532 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5917         434 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5918         434 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5919         434 :       p5 = addrr(divru(mulrr(p1,p5),i), eint1(p2,prec));
    5920         434 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5921             :     }
    5922          14 :     S = shiftr(divrr(S,reg),-1);
    5923             :   }
    5924             :   else
    5925             :   { /* i = 1, shortcut */
    5926           7 :     p1 = gdiv(sqrtr_abs(dr), Pi);
    5927           7 :     p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p4,prec)));
    5928           7 :     S = addrr(p5, divrr(p1, mpexp(p4)));
    5929         952 :     for (i=2; i<=n; i++)
    5930             :     {
    5931         945 :       long k = kroiu(D,i); if (!k) continue;
    5932         945 :       p2 = mulir(sqru(i), p4);
    5933         945 :       p5 = subsr(1, mulrr(p7,incgamc(half,p2,prec)));
    5934         945 :       p5 = addrr(p5, divrr(p1, mulur(i, mpexp(p2))));
    5935         945 :       S = (k>0)? addrr(S,p5): subrr(S,p5);
    5936             :     }
    5937             :   }
    5938          21 :   return gerepileuptoint(av, mulii(Hf, roundr(S)));
    5939             : }
    5940             : 
    5941             : /* 1 + q + ... + q^v, v > 0 */
    5942             : static GEN
    5943         120 : geomsumu(ulong q, long v)
    5944             : {
    5945         120 :   GEN u = utoipos(1+q);
    5946         120 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mului(q, u));
    5947         120 :   return u;
    5948             : }
    5949             : static GEN
    5950         120 : geomsum(GEN q, long v)
    5951             : {
    5952             :   GEN u;
    5953         120 :   if (lgefint(q) == 3) return geomsumu(q[2], v);
    5954           0 :   u = addiu(q,1);
    5955           0 :   for (; v > 1; v--) u = addui(1, mulii(q, u));
    5956           0 :   return u;
    5957             : }
    5958             : 
    5959             : static GEN
    5960        7810 : hclassno6_large(GEN x)
    5961             : {
    5962             :   long i, l, s, xmod4;
    5963             :   GEN Q, H, D, P, E;
    5964             : 
    5965        7810 :   x = negi(x);
    5966        7810 :   check_quaddisc(x, &s, &xmod4, "hclassno");
    5967        7810 :   corediscfact(x, xmod4, &D, &P, &E);
    5968             : 
    5969        7810 :   Q = quadclassunit0(D, 0, NULL, 0);
    5970        7810 :   H = gel(Q,1); l = lg(P);
    5971             : 
    5972             :   /* H \prod_{p^e||f}  (1 + (p^e-1)/(p-1))[ p - (D/p) ] */
    5973       33682 :   for (i=1; i<l; i++)
    5974             :   {
    5975       25872 :     long e = E[i], s;
    5976             :     GEN p, t;
    5977       25872 :     if (!e) continue;
    5978        5003 :     p = gel(P,i); s = kronecker(D,p);
    5979        5003 :     if (e == 1) t = addiu(p, 1-s);
    5980        1000 :     else if (s == 1) t = powiu(p,e);
    5981         120 :     else t = addui(1, mulii(subis(p, s), geomsum(p,e-1)));
    5982        5003 :     H = mulii(H,t);
    5983             :   }
    5984        7810 :   switch( itou_or_0(D) )
    5985             :   {
    5986           0 :     case 3: H = shifti(H,1);break;
    5987           0 :     case 4: H = muliu(H,3); break;
    5988        7810 :     default:H = muliu(H,6); break;
    5989             :   }
    5990        7810 :   return H;
    5991             : }
    5992             : 
    5993             : /* x > 0, x = 0,3 (mod 4). Return 6*hclassno(x), an integer */
    5994             : GEN
    5995      122374 : hclassno6(GEN x)
    5996             : {
    5997      122374 :   ulong d = itou_or_0(x);
    5998      122374 :   if (!d || d > 500000) return hclassno6_large(x);
    5999      114564 :   return utoipos(hclassno6u(d));
    6000             : }
    6001             : 
    6002             : GEN
    6003       46592 : hclassno(GEN x)
    6004             : {
    6005             :   long a, s;
    6006       46592 :   if (typ(x) != t_INT) pari_err_TYPE("hclassno",x);
    6007       46592 :   s = signe(x);
    6008       46592 :   if (s < 0) return gen_0;
    6009       46592 :   if (!s) return gdivgs(gen_1, -12);
    6010       46592 :   a = mod4(x); if (a == 1 || a == 2) return gen_0;
    6011       46592 :   return gdivgs(hclassno6(x), 6);
    6012             : }
    6013             : /******************************************************************/
    6014             : /*                                                                */
    6015             : /*                 RAMANUJAN's TAU FUNCTION                       */
    6016             : /*                                                                */
    6017             : /******************************************************************/
    6018             : /* 4|N > 0, not fundamental at 2; 6 * Hurwitz class number in level 2,
    6019             :  * equal to 6*(H(N)+2H(N/4)), H=qfbhclassno */
    6020             : static GEN
    6021       36750 : Hspec(GEN N)
    6022             : {
    6023       36750 :   long v2 = Z_lvalrem(N, 2, &N), v2f = v2 >> 1;
    6024             :   GEN t;
    6025       36750 :   if (odd(v2)) { v2f--; N = shifti(N,3); }
    6026       32557 :   else if (mod4(N)!=3) { v2f--; N = shifti(N,2); }
    6027             :   /* N fundamental at 2, v2f = v2(f) s.t. N = f^2 D, D fundamental */
    6028       36750 :   t = addui(3, muliu(subiu(int2n(v2f+1), 3), 2 - kroiu(N,2)));
    6029       36750 :   return mulii(t, hclassno6(N));
    6030             : }
    6031             : 
    6032             : /* Ramanujan tau function for p prime */
    6033             : static GEN
    6034       14903 : tauprime(GEN p)
    6035             : {
    6036       14903 :   pari_sp av = avma, av2;
    6037             :   GEN s, p2, p2_7, p_9, T;
    6038             :   ulong lim, t, tin;
    6039             : 
    6040       14903 :   if (absequaliu(p, 2)) return utoineg(24);
    6041             :   /* p > 2 */
    6042       11396 :   p2 = sqri(p);
    6043       11396 :   p2_7 = mului(7, p2);
    6044       11396 :   p_9 = mului(9, p);
    6045       11396 :   av2 = avma;
    6046       11396 :   lim = itou(sqrtint(p));
    6047       11396 :   tin = mod4(p) == 3? 1: 0;
    6048       11396 :   s = gen_0;
    6049       87178 :   for (t = 1; t <= lim; ++t)
    6050             :   {
    6051       75782 :     GEN h, a, t2 = sqru(t), D = shifti(subii(p, t2), 2); /* 4(p-t^2) */
    6052             :     /* t mod 2 != tin <=> D not fundamental at 2 */
    6053       75782 :     h = ((t&1UL) == tin)? hclassno6(D): Hspec(D);
    6054       75782 :     a = mulii(powiu(t2,3), addii(p2_7, mulii(t2, subii(shifti(t2,2), p_9))));
    6055       75782 :     s = addii(s, mulii(a,h));
    6056       75782 :     if (!(t & 255)) s = gerepileuptoint(av2, s);
    6057             :   }
    6058             :   /* 28p^3 - 28p^2 - 90p - 35 */
    6059       11396 :   T = subii(shifti(mulii(p2_7, subiu(p,1)), 2), addiu(mului(90,p), 35));
    6060       11396 :   s = shifti(diviuexact(s, 3), 6);
    6061       11396 :   return gerepileuptoint(av, subii(mulii(mulii(p2,p),T), addui(1, s)));
    6062             : }
    6063             : 
    6064             : /* Ramanujan tau function, return 0 for <= 0 */
    6065             : GEN
    6066        7035 : ramanujantau(GEN n)
    6067             : {
    6068        7035 :   pari_sp ltop = avma;
    6069             :   GEN T, F, P, E;
    6070             :   long j, lP;
    6071             : 
    6072        7035 :   if (!(F = check_arith_all(n,"ramanujantau")))
    6073             :   {
    6074        7014 :     if (signe(n) <= 0) return gen_0;
    6075        7007 :     F = Z_factor(n);
    6076             :   }
    6077             :   else
    6078             :   {
    6079          21 :     P = gel(F,1);
    6080          21 :     if (lg(P) == 1 || signe(gel(P,1)) <= 0) return gen_0;
    6081             :   }
    6082             : 
    6083        7014 :   P = gel(F,1);
    6084        7014 :   E = gel(F,2); lP = lg(P);
    6085        7014 :   T = gen_1;
    6086       21917 :   for (j = 1; j < lP; j++)
    6087             :   {
    6088       14903 :     GEN p = gel(P,j), tp = tauprime(p), t1 = tp, t0 = gen_1;
    6089       14903 :     long k, e = itou(gel(E,j));
    6090       20160 :     for (k = 1; k < e; k++)
    6091             :     {
    6092        5257 :       GEN t2 = subii(mulii(tp, t1), mulii(powiu(p, 11), t0));
    6093        5257 :       t0 = t1; t1 = t2;
    6094             :     }
    6095       14903 :     T = mulii(T, t1);
    6096             :   }
    6097        7014 :   return gerepileuptoint(ltop, T);
    6098             : }

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