Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.11.0 lcov report (development 22860-5579deb0b) Lines: 2032 2094 97.0 %
Date: 2018-07-18 05:36:42 Functions: 151 153 98.7 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : 
      22             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      23             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      24             : #else
      25             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      26             : #endif
      27             : 
      28             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      29             : void
      30      112529 : pari_init_floats(void)
      31             : {
      32      112529 :   gcatalan = geuler = gpi = bernzone = glog2 = NULL;
      33      112529 : }
      34             : 
      35             : void
      36      111198 : pari_close_floats(void)
      37             : {
      38      111198 :   if (gcatalan) gunclone(gcatalan);
      39      111281 :   if (geuler) gunclone(geuler);
      40      111281 :   if (gpi) gunclone(gpi);
      41      111281 :   if (bernzone) gunclone(bernzone);
      42      111281 :   if (glog2) gunclone(glog2);
      43      111281 : }
      44             : 
      45             : /********************************************************************/
      46             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      47             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      48             : /********************************************************************/
      49             : void
      50        7481 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      51             : {
      52        7481 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      53        7481 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      54        7481 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      55        7481 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      56        7481 : }
      57             : static GEN
      58      686756 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      59             : static GEN
      60      203584 : mulii4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return mulii(mulii(a,b),mulii(c,d)); }
      61             : 
      62             : /* T_{n1,n1+1}, given P = p[n1]p[n1+1] */
      63             : static GEN
      64      203584 : T2(struct abpq *A, long n1, GEN P)
      65             : {
      66      203584 :   GEN u1 = mulii4(A->a[n1], A->p[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      67      203584 :   GEN u2 = mulii3(A->b[n1],A->a[n1+1], P);
      68      203584 :   return addii(u1, u2);
      69             : }
      70             : 
      71             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      72             : void
      73      399773 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      74             : {
      75             :   struct abpq_res L, R;
      76             :   GEN u1, u2;
      77             :   pari_sp av;
      78             :   long n;
      79      399773 :   switch(n2 - n1)
      80             :   {
      81             :     GEN b, p, q;
      82             :     case 1:
      83          43 :       r->P = A->p[n1];
      84          43 :       r->Q = A->q[n1];
      85          43 :       r->B = A->b[n1];
      86          43 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      87      203670 :       return;
      88             :     case 2:
      89      112704 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      90      112704 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      91      112704 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      92      112704 :       av = avma;
      93      112704 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1, r->P));
      94      112704 :       return;
      95             : 
      96             :     case 3:
      97       90880 :       p = mulii(A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
      98       90880 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
      99       90880 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     100       90880 :       r->P = mulii(A->p[n1], p);
     101       90880 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     102       90880 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     103       90880 :       av = avma;
     104       90880 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     105       90880 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1, p));
     106       90880 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     107       90880 :       return;
     108             :   }
     109             : 
     110      196146 :   av = avma;
     111      196146 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     112      196146 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     113      196146 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     114             : 
     115      196146 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     116      196146 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     117      196146 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     118      196146 :   u1 = mulii3(R.B,R.Q,L.T);
     119      196146 :   u2 = mulii3(L.B,L.P,R.T);
     120      196146 :   r->T = addii(u1,u2);
     121      196146 :   avma = av;
     122      196146 :   r->P = icopy(r->P);
     123      196146 :   r->Q = icopy(r->Q);
     124      196146 :   r->B = icopy(r->B);
     125      196146 :   r->T = icopy(r->T);
     126             : }
     127             : 
     128             : /********************************************************************/
     129             : /**                                                                **/
     130             : /**                               PI                               **/
     131             : /**                                                                **/
     132             : /********************************************************************/
     133             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     134             : static void
     135        5323 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     136             : {
     137        5323 :   GEN tmp = *old;
     138        5323 :   *old = c;
     139        5323 :   if (tmp) gunclone(tmp);
     140        5323 : }
     141             : 
     142             : /*                         ----
     143             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     144             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     145             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     146             :  *                         n>=0
     147             :  *
     148             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     149             : static GEN
     150        2371 : pi_ramanujan(long prec)
     151             : {
     152        2371 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     153        2371 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     154             :   long n, nmax, prec2;
     155             :   struct abpq_res R;
     156             :   struct abpq S;
     157             :   GEN D, u;
     158             : 
     159        2371 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     160             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     161        2017 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     162             : #else
     163         354 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     164             : #endif
     165        2371 :   abpq_init(&S, nmax);
     166        2371 :   S.a[0] = utoipos(A);
     167        2371 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     168       43853 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     169             :   {
     170       41482 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     171       41482 :     S.b[n] = gen_1;
     172       41482 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     173       41482 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     174             :   }
     175        2371 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
     176        2371 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     177        2371 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     178             : }
     179             : 
     180             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     181             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     182             : static GEN
     183             : pi_brent_salamin(long prec)
     184             : {
     185             :   GEN A, B, C;
     186             :   pari_sp av2;
     187             :   long i, G;
     188             : 
     189             :   G = - prec2nbits(prec);
     190             :   incrprec(prec);
     191             : 
     192             :   A = real2n(-1, prec);
     193             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     194             :   setexpo(A, 0);
     195             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     196             :   for (i = 0;; i++)
     197             :   {
     198             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     199             :     pari_sp av3 = avma;
     200             :     if (expo(B_A) < G) break;
     201             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     202             :     b = mulrr(A,B);
     203             :     affrr(a, A);
     204             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); avma = av3;
     205             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     206             :     affrr(subrr(C, y), C); avma = av2;
     207             :   }
     208             :   shiftr_inplace(C, 2);
     209             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     210             : }
     211             : GEN
     212             : constpi(long prec)
     213             : {
     214             :   pari_sp av;
     215             :   GEN tmp;
     216             :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     217             : 
     218             :   tmp = cgetr_block(prec);
     219             :   av = avma;
     220             :   affrr(pi_brent_salamin(prec), tmp);
     221             :   swap_clone(&gpi, tmp);
     222             :   avma = av;  return gpi;
     223             : }
     224             : #endif
     225             : 
     226             : GEN
     227    14196586 : constpi(long prec)
     228             : {
     229             :   pari_sp av;
     230             :   GEN tmp;
     231    14196586 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     232             : 
     233        2371 :   av = avma;
     234        2371 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     235        2371 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     236        2371 :   avma = av; return gpi;
     237             : }
     238             : 
     239             : GEN
     240    14195895 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     241             : 
     242             : /* Pi * 2^n */
     243             : GEN
     244     4910176 : Pi2n(long n, long prec)
     245             : {
     246     4910176 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     247     4910176 :   return x;
     248             : }
     249             : 
     250             : /* I * Pi * 2^n */
     251             : GEN
     252        8232 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     253             : 
     254             : /* 2I * Pi */
     255             : GEN
     256        4361 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     257             : 
     258             : /********************************************************************/
     259             : /**                                                                **/
     260             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     261             : /**                                                                **/
     262             : /********************************************************************/
     263             : 
     264             : GEN
     265       22645 : consteuler(long prec)
     266             : {
     267             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     268             :   long l, n1, n, k, x;
     269             :   pari_sp av1, av2;
     270             : 
     271       22645 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     272             : 
     273         390 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     274             : 
     275         390 :   incrprec(prec);
     276             : 
     277         390 :   l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
     278         390 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     279         390 :   b = real_1(l);
     280         390 :   v = real_1(l);
     281         390 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     282         390 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     283         390 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     284             :   {
     285         390 :     ulong xx = x*x;
     286         390 :     av2 = avma;
     287      132811 :     for (k=1; k<n1; k++)
     288             :     {
     289      132421 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     290      132421 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     291      132421 :       affrr(addrr(u,a), u);
     292      132421 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     293             :     }
     294         780 :     for (   ; k<=n; k++)
     295             :     {
     296         390 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     297         390 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     298         390 :       affrr(addrr(u,a), u);
     299         390 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     300             :     }
     301             :   }
     302             :   else
     303             :   {
     304           0 :     GEN xx = sqru(x);
     305           0 :     av2 = avma;
     306           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     307             :     {
     308           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     309           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     310           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     311           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     312             :     }
     313           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     314             :     {
     315           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     316           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     317           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     318           0 :       affrr(addrr(v,b), v); avma = av2;
     319             :     }
     320             :   }
     321         390 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     322         390 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     323         390 :   avma = av1; return geuler;
     324             : }
     325             : 
     326             : GEN
     327       22645 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     328             : 
     329             : /********************************************************************/
     330             : /**                                                                **/
     331             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     332             : /**                                                                **/
     333             : /********************************************************************/
     334             : /* 8G = 3\sum_{n>=0} 1/(binomial(2n,n)(2n+1)^2) + Pi log(2+sqrt(3)) */
     335             : static GEN
     336          14 : catalan(long prec)
     337             : {
     338          14 :   long i, nmax = prec2nbits(prec) >> 1;
     339             :   struct abpq_res R;
     340             :   struct abpq A;
     341             :   GEN u, v;
     342          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     343          14 :   A.a[0] = A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     344        6510 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     345             :   {
     346        6496 :     A.a[i] = gen_1;
     347        6496 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
     348        6496 :     A.p[i] = utoipos(i);
     349        6496 :     A.q[i] = utoipos((i<<2)+2);
     350             :   }
     351          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     352          14 :   u = mulur(3, rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec));
     353          14 :   v = mulrr(mppi(prec), logr_abs(addrs(sqrtr_abs(utor(3,prec)), 2)));
     354          14 :   u = addrr(u, v); shiftr_inplace(u, -3);
     355          14 :   return u;
     356             : }
     357             : 
     358             : GEN
     359          14 : constcatalan(long prec)
     360             : {
     361          14 :   pari_sp av = avma;
     362             :   GEN tmp;
     363          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     364          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     365          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     366          14 :   avma = av; return gcatalan;
     367             : }
     368             : 
     369             : GEN
     370          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     371             : 
     372             : /********************************************************************/
     373             : /**                                                                **/
     374             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     375             : /**                                                                **/
     376             : /********************************************************************/
     377             : static GEN
     378       73718 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     379             : {
     380             :   long i, l;
     381       73718 :   GEN y = cgetg_copy(x, &l);
     382       73718 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = f(gel(x,i),prec);
     383       73711 :   return y;
     384             : }
     385             : 
     386             : GEN
     387      608320 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     388             : {
     389      608320 :   pari_sp av = avma;
     390      608320 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     391      608320 :   switch(typ(x))
     392             :   {
     393      383678 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     394      150868 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     395           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     396          14 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     397             :     case t_VEC:
     398             :     case t_COL:
     399       73704 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     400          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x); return NULL;
     401             :   }
     402      534546 :   return gerepileupto(av, x);
     403             : }
     404             : 
     405             : /*******************************************************************/
     406             : /*                                                                 */
     407             : /*                            POWERING                             */
     408             : /*                                                                 */
     409             : /*******************************************************************/
     410             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     411             : static GEN
     412      201764 : mpexp0(GEN x)
     413             : {
     414      201764 :   long e = expo(x);
     415      201764 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     416             : }
     417             : static GEN
     418        2975 : powr0(GEN x)
     419        2975 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     420             : 
     421             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
     422             : static GEN
     423      176073 : scalarpol_get_1(GEN x)
     424             : {
     425      176073 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     426      176073 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     427      176073 :   gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
     428             : }
     429             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     430             : static GEN
     431     3662737 : gpowg0(GEN x)
     432             : {
     433             :   long lx, i;
     434             :   GEN y;
     435             : 
     436     3662737 :   switch(typ(x))
     437             :   {
     438             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     439      780012 :       return gen_1;
     440             : 
     441           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     442             :     case t_COMPLEX: {
     443       17084 :       pari_sp av = avma;
     444       17084 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     445       17084 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     446       17084 :       if (a == gen_1) return b;
     447          14 :       if (b == gen_1) return a;
     448           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     449             :     }
     450             :     case t_INTMOD:
     451         119 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     452         119 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     453         119 :       gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
     454         119 :       return y;
     455             : 
     456        5656 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     457             : 
     458             :     case t_POLMOD:
     459         133 :       retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
     460             : 
     461             :     case t_RFRAC:
     462           7 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     463             :     case t_POL: case t_SER:
     464      175933 :       return scalarpol_get_1(x);
     465             : 
     466             :     case t_MAT:
     467          84 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     468          77 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     469          77 :       y = matid(lx-1);
     470          77 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     471          77 :       return y;
     472          14 :     case t_QFR: return qfr_1(x);
     473     2683681 :     case t_QFI: return qfi_1(x);
     474           7 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     475             :   }
     476           7 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     477             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     478             : }
     479             : 
     480             : static GEN
     481    42503999 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     482             : static GEN
     483    17315217 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     484             : static GEN
     485      110358 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     486             : static GEN
     487     4502808 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     488             : static GEN
     489     3026193 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     490             : static GEN
     491     9453214 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     492             : static GEN
     493     1491295 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     494             : static GEN
     495       14505 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     496             : 
     497             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     498             :  *
     499             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     500             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     501             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     502             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     503             : static GEN
     504    36927719 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     505             : {
     506             :   pari_sp av;
     507             :   GEN y;
     508             : 
     509    36927719 :   if (lgefint(a) == 3)
     510             :   { /* easy if |a| < 3 */
     511    33095420 :     ulong q = a[2];
     512    33095420 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     513    24588943 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     514    14248623 :     q = upowuu(q, N);
     515    14248623 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     516             :   }
     517     4496583 :   if (N <= 2) {
     518     2889200 :     if (N == 2) return sqri(a);
     519       23650 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     520             :   }
     521     1607383 :   av = avma;
     522     1607383 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     523     1607383 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     524             : }
     525             : /* a^n */
     526             : GEN
     527    36798827 : powiu(GEN a, ulong n)
     528             : {
     529             :   long s;
     530    36798827 :   if (!n) return gen_1;
     531    36386121 :   s = signe(a);
     532    36386121 :   if (!s) return gen_0;
     533    36372694 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     534             : }
     535             : GEN
     536    22574910 : powis(GEN a, long n)
     537             : {
     538             :   long s;
     539             :   GEN t, y;
     540    22574910 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     541      107390 :   s = signe(a);
     542      107390 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     543      107390 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     544      107390 :   if (is_pm1(a)) return t;
     545             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     546      107117 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     547      107117 :   gel(y,1) = t;
     548      107117 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     549      107117 :   return y;
     550             : }
     551             : GEN
     552    24861506 : powuu(ulong p, ulong N)
     553             : {
     554    24861506 :   pari_sp av = avma;
     555    24861506 :   long P[] = {evaltyp(t_INT)|_evallg(3), evalsigne(1)|evallgefint(3),0};
     556             :   ulong pN;
     557             :   GEN y;
     558    24861506 :   if (N <= 2)
     559             :   {
     560    19846808 :     if (N == 2) return sqru(p);
     561    16245985 :     if (N == 1) return utoi(p);
     562     4152256 :     return gen_1;
     563             :   }
     564     5014698 :   if (!p) return gen_0;
     565     5014698 :   pN = upowuu(p, N);
     566     5014698 :   if (pN) return utoipos(pN);
     567      651527 :   if (p == 2) return int2u(N);
     568      650803 :   P[2] = p; av = avma;
     569      650803 :   y = gen_powu_i(P, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     570      650803 :   return gerepileuptoint(av, y);
     571             : }
     572             : 
     573             : /* return 0 if overflow */
     574             : static ulong
     575     5279307 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     576             : ulong
     577    24967019 : upowuu(ulong p, ulong k)
     578             : {
     579             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     580    21396457 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     581    21396457 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     582    21396457 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     583    21396457 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     584    21396457 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     585    21396457 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     586    21396457 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     587    21396457 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     588    21396457 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     589    21396457 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     590    21396457 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     591    21396457 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     592    21396457 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     593    21396457 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     594    21396457 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     595    21396457 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     596    21396457 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     597    21396457 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     598             : #else
     599     3570562 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     600     3570562 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     601     3570562 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     602     3570562 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     603     3570562 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     604     3570562 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     605     3570562 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     606     3570562 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     607     3570562 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     608     3570562 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     609     3570562 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     610     3570562 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     611     3570562 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     612     3570562 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     613     3570562 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     614     3570562 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     615     3570562 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     616     3570562 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     617             : #endif
     618             : 
     619    24967019 :   if (p <= 2)
     620             :   {
     621     1756415 :     if (p < 2) return p;
     622     1293095 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     623             :   }
     624    23210604 :   switch(k)
     625             :   {
     626             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     627     1828192 :     case 0:  return 1;
     628     8446133 :     case 1:  return p;
     629     5279307 :     case 2:  return usqru(p);
     630     2516122 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     631     1024200 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     632     1214038 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     633      654384 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     634      151202 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     635      129763 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     636      232550 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     637       73428 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     638       38535 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     639       56166 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     640       64750 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     641       69524 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     642       88144 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     643       20194 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     644       61509 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     645       15972 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     646       35556 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     647       10730 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     648       24755 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     649        7571 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     650      797143 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     651      783756 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     652       13054 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     653        4174 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     654             :   }
     655             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     656      353067 :   switch(p)
     657             :   {
     658       38058 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     659       23592 :       break;
     660        1002 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     661         222 :       return 1UL<<(2*k);
     662       17073 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     663        3873 :       break;
     664         804 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     665          54 :       break;
     666       10656 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     667        1068 :       break;
     668      285474 :     default: return 0;
     669             :   }
     670             :   /* no overflow */
     671             :   {
     672       28587 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     673       28587 :     q *= q ;
     674       28587 :     return odd(k)? q*p: q;
     675             :   }
     676             : #else
     677       59082 :   return 0;
     678             : #endif
     679             : }
     680             : 
     681             : typedef struct {
     682             :   long prec, a;
     683             :   GEN (*sqr)(GEN);
     684             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     685             : } sr_muldata;
     686             : 
     687             : static GEN
     688      512401 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     689             : {
     690      512401 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     691      512401 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
     692             :   { /* switch to t_REAL */
     693       17669 :     D->sqr   = &sqrr;
     694       17669 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     695             :   }
     696      512401 :   return D->sqr(x);
     697             : }
     698             : 
     699             : static GEN
     700      181821 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     701             : {
     702      181821 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     703      181821 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     704      181821 :   return D->mulug(D->a, x2);
     705             : }
     706             : 
     707             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     708             : GEN
     709      166750 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     710             : {
     711             :   pari_sp av;
     712             :   GEN y, z;
     713             :   sr_muldata D;
     714             : 
     715      166750 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     716      166750 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     717      166750 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     718      165826 :   z = cgetr(prec);
     719      165826 :   av = avma;
     720      165826 :   D.sqr   = &sqri;
     721      165826 :   D.mulug = &mului;
     722      165826 :   D.prec = prec;
     723      165826 :   D.a = (long)a;
     724      165826 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     725      165826 :   mpaff(y, z); avma = av; return z;
     726             : }
     727             : 
     728             : GEN
     729     6893229 : powrs(GEN x, long n)
     730             : {
     731     6893229 :   pari_sp av = avma;
     732             :   GEN y;
     733     6893229 :   if (!n) return powr0(x);
     734     6893229 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     735     6893229 :   if (n < 0) y = invr(y);
     736     6893229 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     737             : }
     738             : GEN
     739      701761 : powru(GEN x, ulong n)
     740             : {
     741      701761 :   pari_sp av = avma;
     742             :   GEN y;
     743      701761 :   if (!n) return powr0(x);
     744      699297 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     745      699297 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     746             : }
     747             : 
     748             : GEN
     749       14505 : powersr(GEN x, long n)
     750             : {
     751       14505 :   long prec = realprec(x);
     752       14505 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     753             : }
     754             : 
     755             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     756             : GEN
     757           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     758             : {
     759           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     760           0 :   return powrs(x, s>>1);
     761             : }
     762             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     763             : GEN
     764       23500 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     765             : {
     766       23500 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     767        6265 :   return powru(x, s>>1);
     768             : }
     769             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     770             : GEN
     771         511 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     772             : {
     773             :   long z;
     774         511 :   if (!n) return powr0(x);
     775           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     776           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     777           0 :   x = powrs(x, n);
     778           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     779           0 :   return sqrtnr(x, d);
     780             : }
     781             : 
     782             : /* assume x != 0 */
     783             : static GEN
     784      565659 : pow_monome(GEN x, long n)
     785             : {
     786      565659 :   long i, d, dx = degpol(x);
     787             :   GEN A, b, y;
     788             : 
     789      565659 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     790             : 
     791      565659 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     792           8 :   {
     793             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     794           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     795           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     796           9 :     d += 2;
     797             :   }
     798             :   else
     799      565650 :     d = dx*n + 2;
     800      565659 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     801      565652 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     802      565652 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     803      565652 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     804      565652 :   if (!y) y = A;
     805             :   else {
     806       20440 :     GEN c = denom_i(b);
     807       20440 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     808       20440 :     gel(y,2) = A;
     809             :   }
     810      565652 :   gel(A,d) = b; return y;
     811             : }
     812             : 
     813             : /* x t_PADIC */
     814             : static GEN
     815       41307 : powps(GEN x, long n)
     816             : {
     817       41307 :   long e = n*valp(x), v;
     818       41307 :   GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
     819             :   pari_sp av;
     820             : 
     821       41307 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     822          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     823          77 :     return zeropadic(p, e);
     824             :   }
     825       41223 :   v = z_pval(n, p);
     826             : 
     827       41223 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     828       41223 :   mod = gel(x,3);
     829       41223 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     830             :   else
     831             :   {
     832       40341 :     if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
     833       40341 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     834       40341 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     835             :   }
     836       41223 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
     837       41223 :   gel(y,2) = icopy(p);
     838       41223 :   gel(y,3) = mod;
     839             : 
     840       41223 :   av = avma; t = gel(x,4);
     841       41223 :   if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
     842       41223 :   t = Fp_powu(t, n, mod);
     843       41223 :   gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
     844       41223 :   return y;
     845             : }
     846             : /* x t_PADIC */
     847             : static GEN
     848         161 : powp(GEN x, GEN n)
     849             : {
     850             :   long v;
     851         161 :   GEN y, mod, p = gel(x,2);
     852             : 
     853         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     854             : 
     855         161 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     856          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     857           7 :     return zeropadic(p, 0);
     858             :   }
     859         147 :   v = Z_pval(n, p);
     860             : 
     861         147 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     862         147 :   mod = gel(x,3);
     863         147 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     864             :   else
     865             :   {
     866          70 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     867          70 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     868             :   }
     869         147 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
     870         147 :   gel(y,2) = icopy(p);
     871         147 :   gel(y,3) = mod;
     872         147 :   gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
     873         147 :   return y;
     874             : }
     875             : static GEN
     876       29714 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     877             : {
     878       29714 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     879       29714 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     880       29714 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     881        2751 :     a = powgi(a, n);
     882             :   else {
     883       26963 :     pari_sp av = avma;
     884       26963 :     GEN p = NULL;
     885       26963 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     886             :     {
     887        7602 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     888        7602 :       if (lgefint(p) == 3)
     889             :       {
     890        7595 :         ulong pp = p[2];
     891        7595 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     892        7595 :         a = Flx_to_ZX(a);
     893             :       }
     894             :       else
     895           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     896        7602 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     897        7602 :       a = gerepileupto(av, a);
     898             :     }
     899             :     else
     900             :     {
     901       19361 :       avma = av;
     902       19361 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     903             :     }
     904             :   }
     905       29714 :   gel(z,2) = a; return z;
     906             : }
     907             : 
     908             : GEN
     909   127683239 : gpowgs(GEN x, long n)
     910             : {
     911             :   long m;
     912             :   pari_sp av;
     913             :   GEN y;
     914             : 
     915   127683239 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     916   124165203 :   if (n == 1)
     917    72389519 :     switch (typ(x)) {
     918      802271 :       case t_QFI: return redimag(x);
     919          14 :       case t_QFR: return redreal(x);
     920    71587234 :       default: return gcopy(x);
     921             :     }
     922    51775684 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     923    46710965 :   switch(typ(x))
     924             :   {
     925    22527325 :     case t_INT: return powis(x,n);
     926     6892711 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     927             :     case t_INTMOD:
     928       21560 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     929       21560 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     930       21560 :       return y;
     931             :     case t_FRAC:
     932             :     {
     933      223954 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     934      223954 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     935      223954 :       if (n < 0) {
     936          14 :         n = -n;
     937          14 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     938           7 :         swap(a, b);
     939             :       }
     940      223947 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     941      223947 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     942      223947 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     943      223947 :       return y;
     944             :     }
     945       41307 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     946             :     case t_RFRAC:
     947             :     {
     948      249011 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     949      249011 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     950      249011 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     951      249011 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     952      249011 :       return gerepileupto(av,y);
     953             :     }
     954             :     case t_POLMOD: {
     955       29707 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     956       29707 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     957             :     }
     958             :     case t_POL:
     959      610760 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     960             :     default: {
     961    16159731 :       pari_sp av = avma;
     962    16159731 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     963    16159724 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     964    16159724 :       return gerepileupto(av,y);
     965             :     }
     966             :   }
     967             : }
     968             : 
     969             : /* n a t_INT */
     970             : GEN
     971   114488975 : powgi(GEN x, GEN n)
     972             : {
     973             :   GEN y;
     974             : 
     975   114488975 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     976             :   /* probable overflow for non-modular types (typical exception: (X^0)^N) */
     977         341 :   switch(typ(x))
     978             :   {
     979             :     case t_INTMOD:
     980          49 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     981          49 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
     982          49 :       return y;
     983          59 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
     984         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
     985             : 
     986             :     case t_INT:
     987          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
     988          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
     989           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
     990           7 :       return gen_0;
     991             :     case t_FRAC:
     992           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
     993             : 
     994          14 :     case t_QFR: return qfrpow(x, n);
     995           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
     996             :     default: {
     997           9 :       pari_sp av = avma;
     998           9 :       y = gen_pow(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
     999           9 :       if (signe(n) < 0) y = ginv(y);
    1000           9 :       return gerepileupto(av,y);
    1001             :     }
    1002             :   }
    1003             : }
    1004             : 
    1005             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1006             : static GEN
    1007        7756 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1008             : {
    1009             :   long lx, mi, i, j, d;
    1010        7756 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1011        7756 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    1012        7756 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1013        7756 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1014      109305 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1015             :   {
    1016      101549 :     pari_sp av = avma;
    1017      101549 :     GEN s = gen_0;
    1018      479178 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1019             :     {
    1020      377629 :       GEN t = gsubgs(gmulgs(n,j),i-j);
    1021      377629 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1022             :     }
    1023      101549 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgs(s,i));
    1024             :   }
    1025        7756 :   return y;
    1026             : }
    1027             : 
    1028             : /* we suppose n != 0, valp(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1029             : static GEN
    1030        7875 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1031             : {
    1032             :   GEN y, c, lead;
    1033        7875 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1034        7756 :   lead = gel(x,2);
    1035        7756 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1036        7434 :   x = ser_normalize(x);
    1037        7434 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1038          77 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1039             :   else
    1040        7357 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1041        7434 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1042             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1043        7434 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1044        7434 :   return y;
    1045             : }
    1046             : 
    1047             : static long
    1048        7770 : val_from_i(GEN E)
    1049             : {
    1050        7770 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1051        7763 :   return itos(E);
    1052             : }
    1053             : 
    1054             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1055             : static GEN
    1056        7777 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1057             : {
    1058        7777 :   GEN y, E = gmulsg(valp(x), q);
    1059             :   long e;
    1060             : 
    1061        7777 :   if (!signe(x))
    1062             :   {
    1063          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1064          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1065             :   }
    1066        7756 :   if (typ(E) != t_INT)
    1067           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1068        7749 :   e = val_from_i(E);
    1069        7749 :   y = leafcopy(x); setvalp(y, 0);
    1070        7749 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1071        7749 :   setvalp(y, e); return y;
    1072             : }
    1073             : 
    1074             : static GEN
    1075         126 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
    1076             : {
    1077         126 :   pari_sp av = avma;
    1078             :   long i, lx;
    1079             :   GEN y;
    1080         126 :   switch(typ(n))
    1081             :   {
    1082             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1083          84 :       break;
    1084             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1085          35 :       y = cgetg_copy(n, &lx);
    1086          35 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
    1087          35 :       return y;
    1088           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
    1089             :   }
    1090          84 :   n = real_i(n);
    1091          84 :   if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
    1092          77 :   if (!precision(x)) return gcopy(x);
    1093             : 
    1094          14 :   x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
    1095          14 :   if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1096           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1097           7 :   avma = av; return real_0_bit(itos(x));
    1098             : }
    1099             : 
    1100             : GEN
    1101    16165491 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1102             : {
    1103    16165491 :   long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
    1104             :   pari_sp av;
    1105             :   GEN y;
    1106             : 
    1107    16165491 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1108     4561229 :   tx = typ(x);
    1109     4561229 :   if (is_matvec_t(tx))
    1110             :   {
    1111          49 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1112          49 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
    1113          49 :     return y;
    1114             :   }
    1115     4561180 :   av = avma;
    1116     4561180 :   switch (tx)
    1117             :   {
    1118          28 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1119             :     case t_SER:
    1120        7574 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1121         154 :       if (valp(x))
    1122          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1123             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1124         133 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1125         126 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1126             :   }
    1127     4553606 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1128     4553550 :   if (tn == t_FRAC)
    1129             :   {
    1130     4249202 :     GEN z, d = gel(n,2), a = gel(n,1);
    1131             :     long D;
    1132     4249202 :     switch (tx)
    1133             :     {
    1134             :     case t_INTMOD:
    1135             :       {
    1136          21 :         GEN p = gel(x,1);
    1137          21 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1138          14 :         y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1139          14 :         av = avma;
    1140          14 :         z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1141          14 :         if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1142           7 :         gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1143           7 :         return y;
    1144             :       }
    1145             : 
    1146             :     case t_PADIC:
    1147          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1148           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1149             : 
    1150             :     case t_FFELT:
    1151          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1152             :     default:
    1153     4249146 :       D = itos_or_0(d);
    1154     4249146 :       if (!D) break;
    1155     4249146 :       if (D == 2)
    1156             :       {
    1157     3935339 :         GEN y = gsqrt(x,prec), t = shifti(subiu(a,1), -1);
    1158     3935339 :         if (signe(t)) y = gmul(y, powgi(x,t));
    1159     3935339 :         return gerepileupto(av, y);
    1160             :       }
    1161      313807 :       if (is_real_t(tx) && gsigne(x) > 0)
    1162             :       {
    1163      312824 :         prec += nbits2extraprec(expi(a));
    1164      312824 :         if (tx != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    1165      312824 :         z = sqrtnr(x, D);
    1166      312824 :         if (!equali1(a)) z = powgi(z, a);
    1167      312824 :         return gerepileuptoleaf(av, z);
    1168             :       }
    1169             :     }
    1170             :   }
    1171      305331 :   i = precision(n);
    1172      305331 :   if (i) prec = i;
    1173      305331 :   prec0 = prec;
    1174      305331 :   if (!gprecision(x))
    1175             :   {
    1176       42035 :     long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
    1177       42035 :     if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
    1178             :   }
    1179      305331 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1180      305275 :   y = gexp(y,prec);
    1181      305275 :   if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
    1182       31010 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
    1183             : }
    1184             : 
    1185             : GEN
    1186      163612 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1187             : {
    1188             :   long i, l;
    1189             :   GEN V;
    1190      163612 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1191      150914 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1192      150914 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1193      150914 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1194      150914 :   return V;
    1195             : }
    1196             : 
    1197             : GEN
    1198      110365 : gpowers(GEN x, long n)
    1199             : {
    1200      110365 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1201      110358 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1202             : }
    1203             : 
    1204             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1205             : GEN
    1206       25348 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1207             : {
    1208       25348 :   pari_sp av = avma;
    1209       25348 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1210       25348 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1211             :   long i;
    1212       25348 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1213       25348 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1214       25348 :   return gerepileupto(av, v);
    1215             : }
    1216             : 
    1217             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1218             : static GEN
    1219       93247 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1220             : {
    1221       93247 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_VEC), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1222       93247 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1223             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1224             : 
    1225       93247 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1226       93247 :   if (odd(N4)) N8++;
    1227      124830 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1228             :   {
    1229       31583 :     GEN t = v[i];
    1230       31583 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1231       31583 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1232             :   }
    1233       93247 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1234       93247 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1235       93247 :   return RU;
    1236             : }
    1237             : 
    1238             : /* as above, N arbitrary */
    1239             : GEN
    1240      128092 : grootsof1(long N, long prec)
    1241             : {
    1242             :   GEN z, RU, *v;
    1243             :   long i, k;
    1244             : 
    1245      128092 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1246       34845 :   if (N <= 2) return N == 1? mkvec(gen_1): mkvec2(gen_1, gen_m1);
    1247        9137 :   k = (N+3)>>1;
    1248        9137 :   RU = cgetg(N+1,t_VEC);
    1249        9137 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1250        9137 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1251        9137 :   if (odd(N))
    1252        7711 :     for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1253             :   else
    1254             :   {
    1255        1426 :     for (i=2; i<k-1; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1256        1426 :     v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
    1257             :   }
    1258        9137 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1259        9137 :   return RU;
    1260             : }
    1261             : 
    1262             : /********************************************************************/
    1263             : /**                                                                **/
    1264             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1265             : /**                                                                **/
    1266             : /********************************************************************/
    1267             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1268             : GEN
    1269        1477 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1270             : {
    1271        1477 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1272             :   GEN z;
    1273             :   long ez;
    1274             :   pari_sp av;
    1275             : 
    1276        1477 :   switch(e)
    1277             :   {
    1278           7 :     case 1: return gen_1;
    1279         119 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1280          14 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1281          70 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1282          35 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1283        1267 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1284             :   }
    1285        1267 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1286        1267 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1287             :   for(;;)
    1288        3367 :   {
    1289             :     GEN mod;
    1290        4634 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1291        4634 :     if (ez > e) ez = e;
    1292        4634 :     mod = int2n(ez);
    1293        4634 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1294        4634 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1295        4634 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1296        3367 :     if (ez < e) ez--;
    1297        3367 :     if (gc_needed(av,2))
    1298             :     {
    1299           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1300           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1301             :     }
    1302             :   }
    1303             : }
    1304             : 
    1305             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1306             : GEN
    1307        1764 : Qp_sqrt(GEN x)
    1308             : {
    1309        1764 :   long pp, e = valp(x);
    1310        1764 :   GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
    1311             : 
    1312        1764 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1313        1764 :   if (e & 1) return NULL;
    1314             : 
    1315        1750 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    1316        1750 :   pp = precp(x);
    1317        1750 :   mod = gel(x,3);
    1318        1750 :   z   = gel(x,4); /* lift to t_INT */
    1319        1750 :   e >>= 1;
    1320        1750 :   z = Zp_sqrt(z, p, pp);
    1321        1750 :   if (!z) return NULL;
    1322        1701 :   if (absequaliu(p,2))
    1323             :   {
    1324         805 :     pp  = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
    1325         805 :     mod = int2n(pp);
    1326             :   }
    1327         896 :   else mod = icopy(mod);
    1328        1701 :   y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
    1329        1701 :   gel(y,2) = icopy(p);
    1330        1701 :   gel(y,3) = mod;
    1331        1701 :   gel(y,4) = z; return y;
    1332             : }
    1333             : 
    1334             : GEN
    1335         350 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1336             : {
    1337         350 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1338         350 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1339             :   long j, np;
    1340         350 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1341         350 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1342           0 :     fn = absZ_factor(fn);
    1343         350 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1344           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1345         350 :   np = nbrows(fn);
    1346         350 :   btop = avma;
    1347        2800 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1348             :   {
    1349             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1350        1050 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1351        1050 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1352        1050 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1353        1050 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1354             :     else
    1355             :     {
    1356         952 :       if (odd(v)) return NULL;
    1357         952 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1358         952 :       if (!bp)    return NULL;
    1359         952 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1360             :     }
    1361        1050 :     mp = powiu(p, e);
    1362        1050 :     pr = mulii(m, mp);
    1363        1050 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1364        1050 :     m = pr;
    1365        1050 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1366           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1367             :   }
    1368         350 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1369             : }
    1370             : 
    1371             : static GEN
    1372       17045 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1373             : {
    1374       17045 :   long e = valp(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1375             :   ulong mask;
    1376             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1377             : 
    1378       17045 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1379       17045 :   a = leafcopy(b);
    1380       17045 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1381       17045 :   if (e & 1)
    1382          14 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
    1383       17031 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalp(0);
    1384       17031 :   lta = gel(a,2);
    1385       17031 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1386       14791 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1387       17024 :   gel(x,2) = ltx;
    1388       17024 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1389       17024 :   setlg(x,3);
    1390       17024 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1391       17024 :   lold = 1;
    1392       98801 :   while (mask > 1)
    1393             :   {
    1394       64753 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1395       64753 :     long l = lold << 1, lx;
    1396             : 
    1397       64753 :     if (mask & 1) l--;
    1398       64753 :     mask >>= 1;
    1399       64753 :     setlg(a, l + 2);
    1400       64753 :     setlg(x, l + 2);
    1401       64753 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1402       64753 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1403       64753 :     y += lold; setvalp(y, lold);
    1404       64753 :     y = normalize(y);
    1405       64753 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1406       64753 :     lx = minss(l+2, lg(y));
    1407       64753 :     for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1408       64753 :     lold = l;
    1409             :   }
    1410       17024 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalp(e >> 1);
    1411       17024 :   return x;
    1412             : }
    1413             : 
    1414             : GEN
    1415    11932155 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1416             : {
    1417             :   pari_sp av;
    1418             :   GEN y;
    1419             : 
    1420    11932155 :   switch(typ(x))
    1421             :   {
    1422             :     case t_INT:
    1423     3614175 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1424     3614168 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1425    11240172 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1426             : 
    1427             :     case t_INTMOD:
    1428             :     {
    1429          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1430          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1431          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1432          21 :       if (!a)
    1433             :       {
    1434           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1435           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1436             :       }
    1437          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1438             :     }
    1439             : 
    1440             :     case t_COMPLEX:
    1441             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1442      524154 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1443      524154 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1444      524154 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1445             : 
    1446      524154 :       r = cxnorm(x);
    1447      524154 :       if (typ(r) == t_INTMOD) pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1448      524154 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1449      524154 :       if (!signe(r))
    1450         117 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1451      524037 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1452             :       {
    1453             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1454             :          * positive numbers = 0 */
    1455       50317 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1456       50317 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1457       50317 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1458             :         /* v = 0 is impossible */
    1459       50317 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1460             :       } else {
    1461      473720 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1462      473720 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1463      473720 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1464           7 :           v = u;
    1465             :         else
    1466      473713 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1467             :       }
    1468      524154 :       gel(y,1) = u;
    1469      524154 :       gel(y,2) = v; return y;
    1470             :     }
    1471             : 
    1472             :     case t_PADIC:
    1473          63 :       y = Qp_sqrt(x);
    1474          63 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1475          42 :       return y;
    1476             : 
    1477          70 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1478             : 
    1479             :     default:
    1480      167654 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1481       17045 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1482             :   }
    1483      150609 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1484             : }
    1485             : /********************************************************************/
    1486             : /**                                                                **/
    1487             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1488             : /**                                                                **/
    1489             : /********************************************************************/
    1490             : static void
    1491           7 : bug_logp(GEN p)
    1492             : {
    1493           7 :   if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("p-adic log",p);
    1494           0 :   pari_err_BUG("log_p");
    1495           0 : }
    1496             : /* Let x = 1 mod p and y := (x-1)/(x+1) = 0 (p). Then
    1497             :  * log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 \sum_{k odd} y^k / k.
    1498             :  * palogaux(x) returns the last sum (not multiplied by 2) */
    1499             : static GEN
    1500       24885 : palogaux(GEN x)
    1501             : {
    1502             :   long i, k, e, pp, t;
    1503       24885 :   GEN y,s,y2, p = gel(x,2);
    1504       24885 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    1505             : 
    1506       24885 :   y = subiu(gel(x,4), 1);
    1507       24885 :   if (!signe(y))
    1508             :   {
    1509         686 :     long v = valp(x)+precp(x);
    1510         686 :     if (is2) v--;
    1511         686 :     return zeropadic(p, v);
    1512             :   }
    1513             :   /* optimize t: log(x) = log(x^(p^t)) / p^t */
    1514       24199 :   e = Z_pval(y, p); /* valp(y) = e >= 1; precp(y) = precp(x)-e */
    1515       24199 :   if (!e) bug_logp(p);
    1516       24192 :   if (is2)
    1517        2499 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / e ); /* instead of (2*e) */
    1518             :   else
    1519       21693 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / (e * (expi(p) + hammingweight(p))) );
    1520       24192 :   for (i = 0; i < t; i++) x = gpow(x, p, 0);
    1521             : 
    1522       24192 :   y = gdiv(gaddgs(x,-1), gaddgs(x,1));
    1523       24192 :   e = valp(y); /* > 0 */
    1524       24192 :   if (e <= 0) bug_logp(p);
    1525       24192 :   pp = precp(y) + e;
    1526       24192 :   if (is2) pp--;
    1527             :   else
    1528             :   {
    1529             :     GEN p1;
    1530       21693 :     for (p1=utoipos(e); abscmpui(pp,p1) > 0; pp++) p1 = mulii(p1, p);
    1531       21693 :     pp -= 2;
    1532             :   }
    1533       24192 :   k = pp/e; if (!odd(k)) k--;
    1534       24192 :   if (DEBUGLEVEL>5)
    1535           0 :     err_printf("logp: [pp,k,e,t] = [%ld,%ld,%ld,%ld]\n",pp,k,e,t);
    1536       24192 :   if (k > 1)
    1537             :   {
    1538       22799 :     y2 = gsqr(y); s = gdivgs(gen_1,k);
    1539      123207 :     while (k > 2)
    1540             :     {
    1541       77609 :       k -= 2;
    1542       77609 :       s = gadd(gmul(y2,s), gdivgs(gen_1,k));
    1543             :     }
    1544       22799 :     y = gmul(s,y);
    1545             :   }
    1546       24192 :   if (t) setvalp(y, valp(y) - t);
    1547       24192 :   return y;
    1548             : }
    1549             : 
    1550             : GEN
    1551       24892 : Qp_log(GEN x)
    1552             : {
    1553       24892 :   pari_sp av = avma;
    1554       24892 :   GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
    1555             : 
    1556       24892 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1557       24885 :   y = leafcopy(x); setvalp(y,0);
    1558       24885 :   if (absequaliu(p,2))
    1559        2821 :     y = palogaux(gsqr(y));
    1560       22064 :   else if (gequal1(modii(a, p)))
    1561       12988 :     y = gmul2n(palogaux(y), 1);
    1562             :   else
    1563             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1564        9076 :     GEN mod = gel(y,3), p1 = subiu(p,1);
    1565        9076 :     gel(y,4) = Fp_pow(a, p1, mod);
    1566        9076 :     p1 = diviiexact(subsi(1,mod), p1); /* 1/(p-1) */
    1567        9076 :     y = gmul(palogaux(y), shifti(p1,1));
    1568             :   }
    1569       24878 :   return gerepileupto(av,y);
    1570             : }
    1571             : 
    1572             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1573             : 
    1574             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1575             : static GEN
    1576         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1577             : {
    1578         854 :   pari_sp ltop=avma;
    1579         854 :   GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
    1580         854 :   long v = valp(x), va;
    1581         854 :   if (v)
    1582             :   {
    1583             :     long z;
    1584         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1585         161 :     if (z) return NULL;
    1586          91 :     x = leafcopy(x);
    1587          91 :     setvalp(x,0);
    1588             :   }
    1589             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1590         784 :   if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
    1591         749 :   a = Qp_log(x);
    1592         749 :   va = valp(a) - e;
    1593         749 :   if (va <= 0)
    1594             :   {
    1595         287 :     if (signe(gel(a,4))) return NULL;
    1596             :     /* all accuracy lost */
    1597         119 :     a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
    1598             :   }
    1599             :   else
    1600             :   {
    1601         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1602         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1603         462 :     if (!a) return NULL;
    1604             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1605             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1606         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1607         462 :     if (v) setvalp(a,v);
    1608             :   }
    1609         581 :   return gerepileupto(ltop,a);
    1610             : }
    1611             : 
    1612             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1613             : static GEN
    1614         616 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1615             : {
    1616             :   pari_sp av;
    1617         616 :   GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
    1618         616 :   long v = valp(x);
    1619         616 :   if (v)
    1620             :   {
    1621             :     long z;
    1622          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1623          84 :     if (z) return NULL;
    1624             :   }
    1625         609 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1626         609 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1627         609 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1628         609 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
    1629         609 :   if (!a) return NULL;
    1630         595 :   affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
    1631         595 :   if (zetan)
    1632             :   {
    1633          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
    1634          14 :     *zetan = Z;
    1635             :   }
    1636         595 :   avma = av; return r;
    1637             : }
    1638             : 
    1639             : GEN
    1640        1183 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1641             : {
    1642             :   pari_sp av, tetpil;
    1643             :   GEN q, p;
    1644             :   long e;
    1645        1183 :   if (absequaliu(n, 2))
    1646             :   {
    1647          70 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1648          70 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1649          63 :     return Qp_sqrt(x);
    1650             :   }
    1651        1113 :   av = avma; p = gel(x,2);
    1652        1113 :   if (!signe(gel(x,4)))
    1653             :   {
    1654         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1655         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1656         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1657         203 :     avma = av; return zeropadic(p, itos(q));
    1658             :   }
    1659             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1660         910 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1661         910 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1662         637 :   if (is_pm1(q))
    1663             :   { /* finished */
    1664          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1665          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1666          21 :     if (zetan)
    1667          28 :       *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1668          21 :                                    : gen_1;
    1669          21 :     return x;
    1670             :   }
    1671         616 :   tetpil = avma;
    1672             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1673         616 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1674         616 :   if (!x) return NULL;
    1675         595 :   if (zetan)
    1676             :   {
    1677             :     GEN *gptr[2];
    1678          14 :     if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1679             :     {
    1680           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1681             :     }
    1682          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1683          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1684          14 :     return x;
    1685             :   }
    1686         581 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1687             : }
    1688             : 
    1689             : GEN
    1690       23927 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1691             : {
    1692       23927 :   pari_sp ltop = avma;
    1693             :   GEN x, b, q;
    1694             :   long s, k, e;
    1695       23927 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1696       23927 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtnint",a);
    1697       23927 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1698       23920 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1699       23920 :   s = signe(a);
    1700       23920 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1701       23913 :   if (!s) return gen_0;
    1702       23913 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1703       23504 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1704       23504 :   if (k == 0)
    1705             :   {
    1706             :     long flag;
    1707         291 :     if (n > e) {avma = ltop; return gen_1;}
    1708         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); avma = ltop;
    1709         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1710             :   }
    1711       23213 :   if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
    1712             :   {
    1713             :     ulong xs, qs;
    1714        7084 :     b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
    1715        7084 :     x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1716        7084 :     xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
    1717             :     for(;;) {
    1718       21216 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1719       14150 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1720       14143 :       qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
    1721        7066 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1722             :     }
    1723        7084 :     return utoi(xs);
    1724             :   }
    1725       16129 :   b = addui(1, shifti(a, -n*k));
    1726       16129 :   x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1727       16129 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1728       50230 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1729             :   {
    1730       17972 :     x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
    1731       17972 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1732             :   }
    1733       16129 :   return gerepileuptoleaf(ltop, x);
    1734             : }
    1735             : 
    1736             : ulong
    1737         409 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1738             : {
    1739             :   ulong x, s, q;
    1740         409 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1741         409 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1742         409 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1743         409 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1744         409 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1745        1622 :   while (q < x) {
    1746             :     ulong X;
    1747         804 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1748         804 :     X = upowuu(x, nm1);
    1749         804 :     q = X? a/X: 0;
    1750             :   }
    1751         409 :   return x;
    1752             : }
    1753             : 
    1754             : static ulong
    1755      254169 : cubic_prec_mask(long n)
    1756             : {
    1757      254169 :   long a = n, i;
    1758      254169 :   ulong mask = 0;
    1759     1432796 :   for(i = 1;; i++, mask *= 3)
    1760     1178627 :   {
    1761     1432796 :     long c = a%3;
    1762     1432796 :     if (c) mask += 3 - c;
    1763     1432796 :     a = (a+2)/3;
    1764     1686965 :     if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
    1765             :   }
    1766             : }
    1767             : 
    1768             : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
    1769             : GEN
    1770      373797 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
    1771             : {
    1772             :   pari_sp av;
    1773             :   GEN x, b;
    1774             :   long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
    1775             :   ulong mask;
    1776             : 
    1777      373797 :   if (n == 1) return mpabs(a);
    1778      373238 :   if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
    1779             : 
    1780      352996 :   prec = realprec(a);
    1781      352996 :   B = prec2nbits(prec);
    1782      352996 :   eextra = expu(n)-1;
    1783      352996 :   n1 = n+1;
    1784      352996 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1785      352996 :   v = expo(a) / n;
    1786      352996 :   if (v) a = shiftr(a, -n*v);
    1787             : 
    1788      352996 :   b = rtor(a, DEFAULTPREC);
    1789      352996 :   x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1790      352996 :   if (prec == DEFAULTPREC)
    1791             :   {
    1792      116421 :     if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1793      116421 :     return gerepileuptoleaf(av, x);
    1794             :   }
    1795      236575 :   mask = cubic_prec_mask(B + 63);
    1796      236575 :   eold = 1;
    1797             :   for(;;)
    1798      932540 :   { /* reach 64 */
    1799     1169115 :     long enew = eold * 3;
    1800     1169115 :     enew -= mask % 3;
    1801     1169115 :     if (enew > 64) break; /* back up one step */
    1802      932540 :     mask /= 3;
    1803      932540 :     eold = enew;
    1804             :   }
    1805             :   for(;;)
    1806      166715 :   {
    1807      403290 :     long pr, enew = eold * 3;
    1808             :     GEN y, z;
    1809      403290 :     enew -= mask % 3;
    1810      403290 :     mask /= 3;
    1811      403290 :     pr = nbits2prec(enew + eextra);
    1812      403290 :     b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
    1813      403290 :     x = rtor(x, pr);
    1814      403290 :     y = subrr(powru(x, n), b);
    1815      403290 :     z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
    1816      403290 :     shiftr_inplace(z,1);
    1817      403290 :     x = mulrr(x, subsr(1,z));
    1818      403290 :     if (mask == 1)
    1819             :     {
    1820      236575 :       if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1821      236575 :       return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
    1822             :     }
    1823      166715 :     eold = enew;
    1824             :   }
    1825             : }
    1826             : 
    1827             : static void
    1828       28852 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
    1829             : {
    1830       28852 :   shiftr_inplace(gel(z,1), d);
    1831       28852 :   shiftr_inplace(gel(z,2), d);
    1832       28852 : }
    1833             : 
    1834             : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
    1835             : static GEN
    1836       93264 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
    1837             : {
    1838             :   pari_sp av;
    1839             :   GEN x;
    1840             :   long eold, n1, n2, B;
    1841             :   ulong mask;
    1842             : 
    1843       93264 :   B = prec2nbits(prec);
    1844       93264 :   n1 = n+1;
    1845       93264 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1846             : 
    1847       93264 :   x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
    1848       93264 :   if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
    1849       17594 :   mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
    1850       17594 :   eold = 1;
    1851             :   for(;;)
    1852       68114 :   { /* reach BITS_IN_LONG */
    1853       85708 :     long enew = eold * 3;
    1854       85708 :     enew -= mask % 3;
    1855       85708 :     if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
    1856       68114 :     mask /= 3;
    1857       68114 :     eold = enew;
    1858             :   }
    1859             :   for(;;)
    1860       11258 :   {
    1861       28852 :     long pr, enew = eold * 3;
    1862             :     GEN y, z;
    1863       28852 :     enew -= mask % 3;
    1864       28852 :     mask /= 3;
    1865       28852 :     pr = nbits2prec(enew);
    1866       28852 :     x = cxtofp(x, pr);
    1867       28852 :     y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
    1868       28852 :     z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
    1869       28852 :     shiftc_inplace(z,1);
    1870       28852 :     x = gmul(x, gsubsg(1, z));
    1871       28852 :     if (mask == 1) return gerepileupto(av, gprec_w(x,prec));
    1872       11258 :     eold = enew;
    1873             :   }
    1874             : }
    1875             : 
    1876             : /* exp(2iPi/d) */
    1877             : GEN
    1878      227683 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
    1879             : {
    1880      227683 :   switch(n)
    1881             :   {
    1882       20489 :     case 1: return gen_1;
    1883        2520 :     case 2: return gen_m1;
    1884       39879 :     case 4: return gen_I();
    1885             :     case 3: case 6: case 12:
    1886             :     {
    1887        6058 :       pari_sp av = avma;
    1888        6058 :       GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
    1889        6058 :       GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
    1890        6058 :       shiftr_inplace(sq3, -1);
    1891        6058 :       a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
    1892        6058 :       return gerepilecopy(av, a);
    1893             :     }
    1894             :     case 8:
    1895             :     {
    1896       65473 :       pari_sp av = avma;
    1897       65473 :       GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
    1898       65473 :       shiftr_inplace(sq2,-1);
    1899       65473 :       return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
    1900             :     }
    1901             :   }
    1902       93264 :   return sqrtnof1(n, prec);
    1903             : }
    1904             : /* e(a/b) */
    1905             : GEN
    1906       16338 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
    1907             : {
    1908       16338 :   long g = cgcd(a,b);
    1909             :   GEN z;
    1910       16338 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1911       16338 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1912       16338 :   z = rootsof1u_cx(b, prec);
    1913       16338 :   if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
    1914       16338 :   return gpowgs(z, a);
    1915             : }
    1916             : 
    1917             : /* initializes powers of e(a/b) */
    1918             : GEN
    1919       12530 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
    1920             : {
    1921       12530 :   long g = cgcd(a,b);
    1922       12530 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1923       12530 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1924       12530 :   a %= b; if (a < 0) a += b;
    1925       12530 :   return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
    1926             : }
    1927             : /* T = rootsof1powinit(a,b); return  e(a/b)^c */
    1928             : GEN
    1929     9946804 : rootsof1pow(GEN T, long c)
    1930             : {
    1931     9946804 :   GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
    1932     9946804 :   long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
    1933     9946804 :   c %= b; if (c < 0) c += b;
    1934     9946804 :   a = Fl_mul(a, c, b);
    1935     9946804 :   return gel(vz, a + 1);
    1936             : }
    1937             : 
    1938             : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
    1939             : GEN
    1940        3780 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
    1941             : {
    1942        3780 :   if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
    1943           0 :   return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
    1944             : }
    1945             : 
    1946             : GEN
    1947        3653 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    1948             : {
    1949             :   long i, lx, tx;
    1950             :   pari_sp av;
    1951             :   GEN y, z;
    1952        3653 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    1953        3653 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    1954        3653 :   if (is_pm1(n))
    1955             :   {
    1956          70 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1957          70 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    1958             :   }
    1959        3583 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    1960        3583 :   tx = typ(x);
    1961        3583 :   if (is_matvec_t(tx))
    1962             :   {
    1963           7 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1964           7 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
    1965           7 :     return y;
    1966             :   }
    1967        3576 :   av = avma;
    1968        3576 :   switch(tx)
    1969             :   {
    1970             :   case t_INTMOD:
    1971             :     {
    1972         168 :       GEN p = gel(x,1), s;
    1973         168 :       z = gen_0;
    1974         168 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    1975         168 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    1976         168 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    1977         147 :       if (!s) {
    1978          14 :         if (zetan) {avma=av; return gen_0;}
    1979           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    1980           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1981             :       }
    1982         133 :       gel(y,2) = s;
    1983         133 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    1984         133 :       return y;
    1985             :     }
    1986             : 
    1987             :   case t_PADIC:
    1988          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    1989          49 :     if (!y) {
    1990           7 :       if (zetan) return gen_0;
    1991           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1992             :     }
    1993          42 :     return y;
    1994             : 
    1995         196 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    1996             : 
    1997             :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1998        2792 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    1999        2792 :     if (isint1(x))
    2000           7 :       y = real_1(prec);
    2001        2785 :     else if (gequal0(x))
    2002             :     {
    2003             :       long b;
    2004          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    2005          21 :       if (isinexactreal(x))
    2006          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    2007             :       else
    2008           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    2009          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    2010             :       {
    2011           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2012           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    2013             :       }
    2014             :       else
    2015          14 :         y = real_0_bit(b);
    2016             :     }
    2017             :     else
    2018             :     {
    2019        2764 :       long nn = itos_or_0(n);
    2020        2764 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    2021        2764 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    2022        1090 :         y = sqrtnr(x, nn);
    2023             :       else
    2024        1674 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    2025        2764 :       y = gerepileupto(av, y);
    2026             :     }
    2027        2792 :     if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
    2028        2792 :     return y;
    2029             : 
    2030             :   case t_QUAD:
    2031           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    2032             : 
    2033             :   default:
    2034         357 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2035         357 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    2036             :   }
    2037           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    2038             :   return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
    2039             : }
    2040             : 
    2041             : /********************************************************************/
    2042             : /**                                                                **/
    2043             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    2044             : /**                                                                **/
    2045             : /********************************************************************/
    2046             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    2047             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    2048             : GEN
    2049     9925149 : exp1r_abs(GEN x)
    2050             : {
    2051     9925149 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    2052             :   GEN y, p2, X;
    2053             :   pari_sp av;
    2054             :   double d;
    2055             : 
    2056     9925149 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    2057             : 
    2058     9919059 :   y = cgetr(l); av = avma;
    2059     9919059 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    2060     9919059 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    2061     9919059 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2062     9919059 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2063             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2064             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2065             :   * sum x^k/k!: this costs roughly
    2066             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    2067             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    2068             :   * accuracy needed, so
    2069             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    2070             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    2071             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    2072             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    2073             :   *
    2074             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2075             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    2076             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    2077             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2078             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2079             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    2080     9919059 :   b += m;
    2081     9919059 :   d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    2082     9919059 :   n = (long)(b / d);
    2083     9919059 :   if (n > 1)
    2084     9911285 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    2085     9919059 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2086             : 
    2087     9919059 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    2088     9919059 :   if (n == 1) p2 = X;
    2089             :   else
    2090             :   {
    2091     9919059 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2092     9919059 :     GEN unr = real_1(L);
    2093             :     pari_sp av2;
    2094             : 
    2095     9919059 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    2096   137974953 :     for (i=n; i>=2; i--, avma = av2)
    2097             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    2098             :       GEN p1, p3;
    2099   128055894 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    2100   128055894 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
    2101   128055894 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    2102   128055894 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    2103             :     }
    2104     9919059 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    2105             :   }
    2106             : 
    2107   108598035 :   for (i=1; i<=m; i++)
    2108             :   {
    2109    98678976 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    2110    98678976 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2111             :   }
    2112     9919059 :   affrr_fixlg(p2,y); avma = av; return y;
    2113             : }
    2114             : 
    2115             : GEN
    2116        8984 : mpexpm1(GEN x)
    2117             : {
    2118        8984 :   const long s = 6;
    2119        8984 :   long l, sx = signe(x);
    2120             :   GEN y, z;
    2121             :   pari_sp av;
    2122        8984 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    2123        8977 :   l = realprec(x);
    2124        8977 :   if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2125             :   {
    2126           0 :     long e = expo(x);
    2127           0 :     if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
    2128           0 :     return subrs(mpexp(x), 1);
    2129             :   }
    2130        8977 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    2131             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    2132        4149 :   av = avma; y = exp1r_abs(x);
    2133        4149 :   z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
    2134        4149 :   return gerepileupto(av, divrr(y, z));
    2135             : }
    2136             : 
    2137             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    2138             : GEN
    2139       10573 : gexpm1(GEN x, long prec)
    2140             : {
    2141       10573 :   switch(typ(x))
    2142             :   {
    2143        4060 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    2144        4994 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    2145          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    2146             :     default:
    2147             :     {
    2148        1505 :       pari_sp av = avma;
    2149             :       long ey;
    2150             :       GEN y;
    2151        1505 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2152        1484 :       ey = valp(y);
    2153        1484 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    2154        1484 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2155        1477 :       if (ey)
    2156         343 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    2157             :       else
    2158             :       {
    2159        1134 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    2160        1134 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    2161        1134 :         gel(y,2) = e1;
    2162        1134 :         return gerepilecopy(av, y);
    2163             :       }
    2164             :     }
    2165             :   }
    2166          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    2167             : }
    2168             : /********************************************************************/
    2169             : /**                                                                **/
    2170             : /**                             EXP(X)                             **/
    2171             : /**                                                                **/
    2172             : /********************************************************************/
    2173             : 
    2174             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    2175             : static GEN
    2176     9864654 : modlog2(GEN x, long *sh)
    2177             : {
    2178     9864654 :   double d = rtodbl(x), da = fabs(d);
    2179     9864654 :   long q = (long) ((da + (M_LN2/2))/M_LN2);
    2180     9864654 :   if (da > M_LN2 * LONG_MAX)
    2181          14 :     pari_err_OVERFLOW("expo()"); /* avoid overflow in  q */
    2182     9864640 :   if (d < 0) q = -q;
    2183     9864640 :   *sh = q;
    2184     9864640 :   if (q) {
    2185     9507451 :     long l = realprec(x) + 1;
    2186     9507451 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    2187     9507451 :     if (!signe(x)) return NULL;
    2188             :   }
    2189     9864640 :   return x;
    2190             : }
    2191             : 
    2192             : static GEN
    2193     9863963 : mpexp_basecase(GEN x)
    2194             : {
    2195     9863963 :   pari_sp av = avma;
    2196     9863963 :   long sh, l = realprec(x);
    2197             :   GEN y, z;
    2198             : 
    2199     9863963 :   y = modlog2(x, &sh);
    2200     9863949 :   if (!y) { avma = av; return real2n(sh, l); }
    2201     9863949 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    2202     9863949 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    2203     9863949 :   if (sh) {
    2204     9506760 :     shiftr_inplace(z, sh);
    2205     9506760 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    2206             :   }
    2207             : #ifdef DEBUG
    2208             : {
    2209             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    2210             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    2211             :     pari_err_BUG("exp");
    2212             : }
    2213             : #endif
    2214     9863949 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    2215             : }
    2216             : 
    2217             : GEN
    2218    10065727 : mpexp(GEN x)
    2219             : {
    2220    10065727 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2221    10065727 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2222             :   GEN a, t, z;
    2223             :   ulong mask;
    2224             : 
    2225    10065727 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2226             :   {
    2227    10065036 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2228     9863272 :     return mpexp_basecase(x);
    2229             :   }
    2230         691 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2231         691 :   x = modlog2(x, &sh);
    2232         691 :   if (!x) { avma = (pari_sp)(z+lg(z)); return real2n(sh, l); }
    2233         691 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2234         691 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2235         691 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2236         691 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2237         691 :   x = addrs(x,1);
    2238         691 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
    2239         691 :   a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
    2240         691 :   t = NULL;
    2241             :   for(;;)
    2242             :   {
    2243         765 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2244         728 :     mask >>= 1;
    2245         728 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2246         728 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2247         728 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2248         728 :     if (mask == 1) break;
    2249          37 :     affrr(t, a); avma = (pari_sp)a;
    2250             :   }
    2251         691 :   affrr(t,z);
    2252         691 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2253         691 :   avma = (pari_sp)z; return z;
    2254             : }
    2255             : 
    2256             : static long
    2257       20148 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2258             : {
    2259       20148 :   long k, e = valp(x), n = e + precp(x);
    2260       20148 :   GEN p = gel(x,2);
    2261       20148 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    2262       20148 :   if (e < 1 || (e == 1 && is2)) return -1;
    2263       20120 :   if (is2)
    2264             :   {
    2265        6323 :     n--; e--; k = n/e;
    2266        6323 :     if (n%e == 0) k--;
    2267             :   }
    2268             :   else
    2269             :   { /* e > 0, n > 0 */
    2270       13797 :     GEN r, t = subiu(p, 1);
    2271       13797 :     k = itos(dvmdii(subiu(muliu(t,n), 1), subiu(muliu(t,e), 1), &r));
    2272       13797 :     if (!signe(r)) k--;
    2273             :   }
    2274       20120 :   return k;
    2275             : }
    2276             : 
    2277             : static GEN
    2278       21576 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2279             : {
    2280             :   long k;
    2281             :   pari_sp av;
    2282             :   GEN y;
    2283             : 
    2284       21576 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2285       20078 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2286       20077 :   if (k < 0) return NULL;
    2287       20070 :   av = avma;
    2288       20070 :   for (y=gen_1; k; k--) y = gaddsg(1, gdivgs(gmul(y,x), k));
    2289       20071 :   return gerepileupto(av, y);
    2290             : }
    2291             : 
    2292             : GEN
    2293       21114 : Qp_exp(GEN x)
    2294             : {
    2295       21114 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2296       21114 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2297       21107 :   return y;
    2298             : }
    2299             : 
    2300             : static GEN
    2301          49 : cos_p(GEN x)
    2302             : {
    2303             :   long k;
    2304             :   pari_sp av;
    2305             :   GEN x2, y;
    2306             : 
    2307          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2308          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2309          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2310          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2311          21 :   if (k & 1) k--;
    2312         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2313             :   {
    2314          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2315          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2316             :   }
    2317          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2318             : }
    2319             : static GEN
    2320          63 : sin_p(GEN x)
    2321             : {
    2322             :   long k;
    2323             :   pari_sp av;
    2324             :   GEN x2, y;
    2325             : 
    2326          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2327          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2328          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2329          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2330          28 :   if (k & 1) k--;
    2331         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2332             :   {
    2333         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2334         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2335             :   }
    2336          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2337             : }
    2338             : 
    2339             : static GEN
    2340     1307260 : cxexp(GEN x, long prec)
    2341             : {
    2342     1307260 :   GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2343     1307260 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2344             :   long l;
    2345     1307260 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2346     1307260 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2347     1307260 :   if (gequal0(r)) { gel(y,1) = r; gel(y,2) = r; return y; }
    2348     1307260 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2349     1307260 :   tetpil = avma;
    2350     1307260 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2351     1307260 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2352     1307260 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2353     1307260 :   return y;
    2354             : }
    2355             : 
    2356             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2357             : GEN
    2358       28553 : serchop0(GEN s)
    2359             : {
    2360       28553 :   long i, l = lg(s);
    2361             :   GEN y;
    2362       28553 :   if (l == 2) return s;
    2363       28553 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2364       28553 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2365       28553 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2366       28553 :   return normalize(y);
    2367             : }
    2368             : 
    2369             : GEN
    2370          42 : serchop_i(GEN s, long n)
    2371             : {
    2372          42 :   long i, m, l = lg(s);
    2373             :   GEN y;
    2374          42 :   if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
    2375             :   {
    2376          14 :     if (valp(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalp(s,n); }
    2377          14 :     return s;
    2378             :   }
    2379          28 :   m = n - valp(s); if (m < 0) return s;
    2380          21 :   if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
    2381          14 :   y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalp(y, valp(y)+m);
    2382          14 :   for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
    2383          14 :   return normalize(y);
    2384             : }
    2385             : GEN
    2386          42 : serchop(GEN s, long n)
    2387             : {
    2388          42 :   pari_sp av = avma;
    2389          42 :   if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
    2390          42 :   return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
    2391             : }
    2392             : 
    2393             : static GEN
    2394       75376 : serexp(GEN x, long prec)
    2395             : {
    2396             :   pari_sp av;
    2397             :   long i,j,lx,ly,ex,mi;
    2398             :   GEN p1,y,xd,yd;
    2399             : 
    2400       75376 :   ex = valp(x);
    2401       75376 :   if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2402       75369 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2403       55440 :   lx = lg(x);
    2404       55440 :   if (ex)
    2405             :   {
    2406       39732 :     ly = lx+ex; y = cgetg(ly,t_SER);
    2407       39732 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2408       39732 :     mi += ex-2;
    2409       39732 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    2410             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2411       39732 :     xd = x+2-ex; yd = y+2; ly -= 2;
    2412       39732 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2413       39732 :     for (i=1; i<ex; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2414      419160 :     for (   ; i<ly; i++)
    2415             :     {
    2416      379428 :       av = avma; p1 = gen_0;
    2417     2706200 :       for (j=ex; j<=minss(i,mi); j++)
    2418     2326772 :         p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)),j));
    2419      379428 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,i));
    2420             :     }
    2421       39732 :     return y;
    2422             :   }
    2423       15708 :   av = avma;
    2424       15708 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2425             : }
    2426             : 
    2427             : GEN
    2428     8197575 : gexp(GEN x, long prec)
    2429             : {
    2430     8197575 :   switch(typ(x))
    2431             :   {
    2432     6649587 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2433     1307260 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2434          56 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2435             :     default:
    2436             :     {
    2437      240672 :       pari_sp av = avma;
    2438             :       GEN y;
    2439      240672 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2440       58191 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2441             :     }
    2442             :   }
    2443      182481 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2444             : }
    2445             : 
    2446             : /********************************************************************/
    2447             : /**                                                                **/
    2448             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2449             : /**                                                                **/
    2450             : /********************************************************************/
    2451             : static int
    2452     3873661 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2453             : {
    2454     3873661 :   GEN d = subrr(b, a);
    2455     3873661 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2456             : }
    2457             : /* assume x > 0 */
    2458             : static GEN
    2459      274181 : agm1r_abs(GEN x)
    2460             : {
    2461      274181 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2462      274181 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2463      274181 :   pari_sp av = avma;
    2464             : 
    2465      274181 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2466      274181 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2467     4147842 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2468             :   {
    2469     3599480 :     GEN a = a1;
    2470     3599480 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2471     3599480 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2472             :   }
    2473      274181 :   affrr_fixlg(a1,y); avma = av; return y;
    2474             : }
    2475             : 
    2476             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2477             : 
    2478             : static void
    2479       14014 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2480             : {
    2481       14014 :   long l = precision(x);
    2482       14014 :   if (l) *prec = l;
    2483       14014 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2484       14014 :   S->cnt = 0;
    2485       14014 :   S->ex = LONG_MAX;
    2486       14014 : }
    2487             : 
    2488             : static long
    2489       14014 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2490             : {
    2491       14014 :   long rotate = 0;
    2492       14014 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2493             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2494             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2495        1477 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2496         987 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2497        1477 :     x = gneg(x);
    2498             :   }
    2499       14014 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2500       14014 :   return rotate;
    2501             : }
    2502             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2503             : static int
    2504      197963 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2505             : {
    2506      197963 :   GEN d = gsub(b, a);
    2507      197963 :   long ex = S->ex;
    2508      197963 :   S->ex = gexpo(d);
    2509      197963 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2510             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2511      187285 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2512             :   else
    2513        6721 :     if (S->cnt++) return 0;
    2514      183949 :   return 1;
    2515             : }
    2516             : static GEN
    2517       13972 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2518             : {
    2519             :   struct agmcx_gap_t S;
    2520             :   GEN a1, b1;
    2521       13972 :   pari_sp av = avma;
    2522             :   long rotate;
    2523       13972 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2524       13972 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2525       13972 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2526      211635 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2527             :   {
    2528      183691 :     GEN a = a1;
    2529      183691 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2530      183691 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2531             :   }
    2532       13972 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2533       13972 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2534             : }
    2535             : 
    2536             : GEN
    2537          42 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2538             : {
    2539             :   struct agmcx_gap_t S;
    2540          42 :   pari_sp av = avma;
    2541          42 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2542             :   long rotate;
    2543          42 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2544          42 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2545          42 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2546          42 :   t = gmul(r, t);
    2547          42 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2548         342 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2549             :   {
    2550         258 :     GEN a = a1, b = b1;
    2551         258 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2552         258 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2553         258 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2554         258 :     t = gmul(r, t);
    2555             :   }
    2556          42 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2557          42 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2558          42 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2559             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2560          42 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2561          42 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2562             : }
    2563             : 
    2564             : static long
    2565          49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
    2566             : {
    2567          49 :   long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valp(B) - valp(A);
    2568          49 :   long i, la = lg(A), v = varn(B);
    2569        9849 :   for (i = 2; i < la; i++)
    2570             :   {
    2571        9800 :     GEN a = gel(A,i), b;
    2572             :     long ei;
    2573        9800 :     if (isexactzero(a)) continue;
    2574        9800 :     b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
    2575        9800 :     ei = gexpo(a);
    2576        9800 :     if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
    2577        9800 :     e = maxss(e, ei);
    2578             :   }
    2579          49 :   return e;
    2580             : }
    2581             : 
    2582             : static GEN
    2583          14 : ser_agm1(GEN y, long prec)
    2584             : {
    2585          14 :   GEN a1 = y, b1 = gen_1;
    2586          14 :   long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
    2587             :   for(;;)
    2588          63 :   {
    2589          77 :     GEN a = a1, p1;
    2590          77 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2591          77 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2592          77 :     p1 = gsub(b1,a1);
    2593          77 :     if (isinexactreal(p1))
    2594             :     {
    2595          49 :       long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
    2596          49 :       if (e < l2 || e >= eold) break;
    2597          42 :       eold = e;
    2598             :     }
    2599             :     else
    2600             :     {
    2601          28 :       long ep = valp(p1)-valp(b1);
    2602          28 :       if (ep >= l && gequal0(p1)) break;
    2603             :     }
    2604             :   }
    2605          14 :   return a1;
    2606             : }
    2607             : 
    2608             : /* agm(1,x) */
    2609             : static GEN
    2610        9571 : agm1(GEN x, long prec)
    2611             : {
    2612             :   GEN y;
    2613             :   pari_sp av;
    2614             : 
    2615        9571 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2616        9571 :   switch(typ(x))
    2617             :   {
    2618             :     case t_INT:
    2619          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2620          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2621             : 
    2622        4048 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2623             : 
    2624             :     case t_COMPLEX:
    2625        5362 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2626        5173 :       return agm1cx(x, prec);
    2627             : 
    2628             :     case t_PADIC:
    2629             :     {
    2630          14 :       GEN a1 = x, b1 = gen_1;
    2631          14 :       long l = precp(x);
    2632          14 :       av = avma;
    2633             :       for(;;)
    2634          14 :       {
    2635          28 :         GEN a = a1, p1;
    2636             :         long ep;
    2637          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2638          28 :         a = gmul(a,b1);
    2639          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2640          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2641          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2642          21 :         if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
    2643             :       }
    2644             :     }
    2645             : 
    2646             :     default:
    2647         119 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2648          14 :       return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
    2649             :   }
    2650         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2651             : }
    2652             : 
    2653             : GEN
    2654        9270 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2655             : {
    2656             :   pari_sp av;
    2657        9270 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2658             :   {
    2659          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2660           7 :     swap(x, y);
    2661             :   }
    2662        9263 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2663        9263 :   av = avma;
    2664        9263 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2665             : }
    2666             : 
    2667             : /********************************************************************/
    2668             : /**                                                                **/
    2669             : /**                             LOG(X)                             **/
    2670             : /**                                                                **/
    2671             : /********************************************************************/
    2672             : /* atanh(u/v) using binary splitting */
    2673             : static GEN
    2674        5096 : atanhQ_split(ulong u, ulong v, long prec)
    2675             : {
    2676             :   long i, nmax;
    2677        5096 :   GEN u2 = sqru(u), v2 = sqru(v);
    2678        5096 :   double d = ((double)v) / u;
    2679             :   struct abpq_res R;
    2680             :   struct abpq A;
    2681             :   /* satisfies (2n+1) (v/u)^2n > 2^bitprec */
    2682        5096 :   nmax = (long)(prec2nbits(prec) / (2*log2(d)));
    2683        5096 :   abpq_init(&A, nmax);
    2684        5096 :   A.a[0] = A.b[0] = gen_1;
    2685        5096 :   A.p[0] = utoipos(u);
    2686        5096 :   A.q[0] = utoipos(v);
    2687      455209 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
    2688             :   {
    2689      450113 :     A.a[i] = gen_1;
    2690      450113 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
    2691      450113 :     A.p[i] = u2;
    2692      450113 :     A.q[i] = v2;
    2693             :   }
    2694        5096 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
    2695        5096 :   return rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
    2696             : }
    2697             : /* log(2) = 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499); faster than logagmr_abs()
    2698             :  * and Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) */
    2699             : static GEN
    2700        2548 : log2_split(long prec)
    2701             : {
    2702        2548 :   GEN u = atanhQ_split(1, 17, prec);
    2703        2548 :   GEN v = atanhQ_split(13, 499, prec);
    2704        2548 :   shiftr_inplace(v, 2);
    2705        2548 :   return addrr(mulur(10, u), v);
    2706             : }
    2707             : GEN
    2708    12635498 : constlog2(long prec)
    2709             : {
    2710             :   pari_sp av;
    2711             :   GEN tmp;
    2712    12635498 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2713             : 
    2714        2548 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2715        2548 :   av = avma;
    2716        2548 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
    2717        2548 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2718        2548 :   avma = av; return glog2;
    2719             : }
    2720             : 
    2721             : GEN
    2722    12635498 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2723             : 
    2724             : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
    2725             : static GEN
    2726      270175 : logagmr_abs(GEN q)
    2727             : {
    2728      270175 :   long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
    2729      270175 :   GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
    2730      270175 :   pari_sp av = avma;
    2731             : 
    2732      270175 :   incrprec(prec);
    2733      270175 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2734      270175 :   Q = rtor(q,prec);
    2735      270175 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2736             : 
    2737      270175 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2738             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2739      270175 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2740      270175 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2741      270175 :   affrr_fixlg(y, z); avma = av; return z;
    2742             : }
    2743             : 
    2744             : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
    2745             : static GEN
    2746     2808039 : logr_aux(GEN y)
    2747             : {
    2748     2808039 :   long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2749             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2750             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2751             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2752             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2753             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2754     2808039 :   double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2755     2808039 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2756     2808039 :   k |= 1;
    2757     2808039 :   if (k >= 3)
    2758             :   {
    2759     2803628 :     GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2760     2803628 :     pari_sp av = avma;
    2761     2803628 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2762     2803628 :     setprec(S,  l1);
    2763     2803628 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
    2764    45926680 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2765             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2766    89049732 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2767    45926680 :       if (k == 1) break;
    2768             : 
    2769    43123052 :       l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
    2770    43123052 :       setprec(S, l1);
    2771    43123052 :       setprec(unr,l1);
    2772    43123052 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); avma = av;
    2773             :     }
    2774             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2775     2803628 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2776             :   }
    2777     2808039 :   return y;
    2778             : }
    2779             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2780             : GEN
    2781     3253792 : logr_abs(GEN X)
    2782             : {
    2783     3253792 :   long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
    2784             :   GEN z, x, y;
    2785             :   ulong u;
    2786             :   double d;
    2787             : 
    2788             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2789             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2790             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2791             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2792     3253792 :   EX = expo(X);
    2793     3253792 :   u = uel(X,2);
    2794     3253792 :   k = 2;
    2795     3253792 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2796     1873890 :     EX++; u = ~u;
    2797     1873890 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2798             :   } else { /* choose x - 1 */
    2799     1379902 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2800     1379902 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2801             :   }
    2802     3253792 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
    2803     3078172 :   a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2804     3078172 :   L = l+1;
    2805     3078172 :   b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
    2806     5291004 :   if (b > 24*a*log2(L) &&
    2807     2483007 :       prec2nbits(l) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT)) return logagmr_abs(X);
    2808             : 
    2809     2807997 :   z = cgetr(EX? l: l - (k-2));
    2810             : 
    2811             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2812             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2813             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2814             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2815             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2816             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2817             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2818             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    2819             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    2820             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    2821             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    2822             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
    2823             :   * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    2824             :   * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    2825     2807997 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    2826             : 
    2827     2807997 :   if (m > b-a) m = b-a;
    2828     2807997 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    2829     2807997 :   x = rtor(X,L);
    2830     2807997 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    2831             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    2832     2807997 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    2833             : 
    2834     2807997 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    2835     2807997 :   y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
    2836     2807997 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    2837     2807997 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
    2838     2807997 :   affrr_fixlg(y, z); avma = (pari_sp)z; return z;
    2839             : }
    2840             : 
    2841             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    2842             :  * prec [disregard input accuracy] */
    2843             : GEN
    2844        8757 : logagmcx(GEN q, long prec)
    2845             : {
    2846        8757 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    2847             :   long lim, e, ea, eb;
    2848        8757 :   pari_sp av = avma;
    2849        8757 :   int neg = 0;
    2850             : 
    2851        8757 :   incrprec(prec);
    2852        8757 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    2853        8757 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2854        8757 :   Q = gtofp(q, prec);
    2855        8757 :   a = gel(Q,1);
    2856        8757 :   b = gel(Q,2);
    2857        8757 :   if (gequal0(a)) {
    2858           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    2859           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    2860           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    2861           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2862             :   }
    2863        8757 :   ea = expo(a);
    2864        8757 :   eb = expo(b);
    2865        8757 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    2866        8757 :   shiftr_inplace(a, e);
    2867        8757 :   shiftr_inplace(b, e);
    2868             : 
    2869             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    2870        8757 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    2871        8757 :   a = gel(y,1);
    2872        8757 :   b = gel(y,2);
    2873        8757 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    2874        8757 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    2875       15189 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    2876        6432 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    2877        8757 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    2878        8757 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); avma = av; return z;
    2879             : }
    2880             : 
    2881             : GEN
    2882      107159 : mplog(GEN x)
    2883             : {
    2884      107159 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    2885      107159 :   return logr_abs(x);
    2886             : }
    2887             : 
    2888             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    2889             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    2890             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    2891             : GEN
    2892        1344 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    2893             : {
    2894             :   GEN q, z, p1;
    2895             :   pari_sp av;
    2896             :   ulong mask;
    2897        1344 :   if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    2898        1344 :   if (e == 1) return icopy(x);
    2899        1344 :   av = avma;
    2900        1344 :   p1 = subiu(p, 1);
    2901        1344 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    2902        1344 :   q = p; z = remii(x, p);
    2903        7868 :   while (mask > 1)
    2904             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    2905        5180 :     GEN w, t, qold = q;
    2906        5180 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    2907        1344 :       q = pe;
    2908             :     else
    2909             :     {
    2910        3836 :       q = sqri(q);
    2911        3836 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    2912             :     }
    2913        5180 :     mask >>= 1;
    2914             :     /* q <= qold^2 */
    2915        5180 :     if (lgefint(q) == 3)
    2916             :     {
    2917        5032 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    2918        5032 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2919        5032 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    2920        5032 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    2921        5032 :       z = utoi(Z);
    2922             :     }
    2923             :     else
    2924             :     {
    2925         148 :       w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    2926         148 :       t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    2927         148 :       z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
    2928             :     }
    2929             :   }
    2930        1344 :   return gerepileuptoint(av, z);
    2931             : }
    2932             : 
    2933             : GEN
    2934        1225 : teichmullerinit(long p, long n)
    2935             : {
    2936             :   GEN t, pn, g, v;
    2937             :   ulong gp, tp;
    2938             :   long a, m;
    2939             : 
    2940        1225 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    2941        1225 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    2942             : 
    2943        1225 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    2944        1225 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    2945        1225 :   pn = powuu(p, n);
    2946        1225 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    2947        1225 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    2948        1225 :   gel(v, 1) = gen_1;
    2949        1225 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    2950        3031 :   for (a = 1; a < m; a++)
    2951             :   {
    2952        1806 :     gel(v, tp) = t;
    2953        1806 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    2954        1806 :     if (a < m-1)
    2955             :     {
    2956        1029 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    2957        1029 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    2958             :     }
    2959             :   }
    2960        1225 :   return v;
    2961             : }
    2962             : 
    2963             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    2964             : GEN
    2965         238 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    2966             : {
    2967             :   GEN p, q, y, z;
    2968         238 :   long n, tx = typ(x);
    2969             : 
    2970         238 :   if (!tab)
    2971             :   {
    2972         126 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    2973             :     {
    2974           7 :       p = gel(x,1);
    2975           7 :       q = gel(x,2);
    2976           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    2977           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    2978             :     }
    2979             :   }
    2980         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2981         231 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    2982         231 :   z = gel(x,4);
    2983         231 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    2984         231 :   p = gel(x,2);
    2985         231 :   q = gel(x,3);
    2986         231 :   n = precp(x);
    2987         231 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    2988         231 :   y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
    2989         231 :   gel(y,2) = icopy(p);
    2990         231 :   gel(y,3) = icopy(q);
    2991         231 :   if (tab)
    2992             :   {
    2993         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    2994         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2995         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    2996         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    2997         112 :     z = remii(z, q);
    2998             :   }
    2999             :   else
    3000         119 :     z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
    3001         231 :   gel(y,4) = z;
    3002         231 :   return y;
    3003             : }
    3004             : GEN
    3005           0 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    3006             : 
    3007             : GEN
    3008     2610916 : glog(GEN x, long prec)
    3009             : {
    3010             :   pari_sp av, tetpil;
    3011             :   GEN y, p1;
    3012             :   long l;
    3013             : 
    3014     2610916 :   switch(typ(x))
    3015             :   {
    3016             :     case t_REAL:
    3017     1733384 :       if (signe(x) >= 0)
    3018             :       {
    3019     1465544 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3020     1465530 :         return logr_abs(x);
    3021             :       }
    3022      267840 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    3023             : 
    3024             :     case t_FRAC:
    3025             :     {
    3026             :       GEN a, b;
    3027             :       long e1, e2;
    3028      126002 :       av = avma;
    3029      126002 :       a = gel(x,1);
    3030      126002 :       b = gel(x,2);
    3031      126002 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    3032      126002 :       if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
    3033      126002 :       x = fractor(x, prec);
    3034      126002 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    3035             :     }
    3036             :     case t_COMPLEX:
    3037      477014 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    3038      472509 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3039      472509 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    3040             :       {
    3041        4966 :         GEN a = gel(x,2), b;
    3042        4966 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    3043        4966 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    3044        4966 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    3045        4966 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    3046             :       }
    3047      467543 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    3048      458982 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3049      458982 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    3050      458982 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    3051      458982 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    3052             : 
    3053         287 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    3054             :     default:
    3055      274229 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3056         182 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3057         182 :       if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    3058         175 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    3059         175 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    3060         175 :       return gerepileupto(av, p1);
    3061             :   }
    3062      274047 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    3063             : }
    3064             : 
    3065             : static GEN
    3066          42 : mplog1p(GEN x)
    3067             : {
    3068             :   long ex, a, b, l, L;
    3069          42 :   if (!signe(x)) return rcopy(x);
    3070          42 :   ex = expo(x); if (ex >= 0) return glog(addrs(x,1), 0);
    3071          42 :   a = -ex;
    3072          42 :   b = realprec(x); L = b+1;
    3073          42 :   if (b > a*log2(L) && prec2nbits(b) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT))
    3074             :   {
    3075           0 :     x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
    3076           0 :     if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
    3077           0 :     return logagmr_abs(x);
    3078             :   }
    3079          42 :   x = rtor(x, L);
    3080          42 :   x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
    3081          42 :   if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
    3082          42 :   shiftr_inplace(x,1); return x;
    3083             : }
    3084             : 
    3085             : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
    3086             : static GEN
    3087          14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
    3088             : {
    3089             :   pari_sp av;
    3090          14 :   GEN z, a, b = gel(x,2);
    3091             :   long l;
    3092          14 :   if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
    3093          14 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3094          14 :   if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
    3095          14 :   a = gel(x,1);
    3096          14 :   z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    3097          14 :   a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
    3098          14 :   a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
    3099          14 :   gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
    3100          14 :   gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
    3101             : }
    3102             : static GEN
    3103          91 : log1p_i(GEN x, long prec)
    3104             : {
    3105          91 :   switch(typ(x))
    3106             :   {
    3107          42 :     case t_REAL: return mplog1p(x);
    3108          14 :     case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
    3109           7 :     case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
    3110             :     default:
    3111             :     {
    3112             :       long ey;
    3113             :       GEN y;
    3114          28 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    3115          21 :       ey = valp(y);
    3116          21 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
    3117          21 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    3118          14 :       if (ey)
    3119           7 :         return glog(gaddgs(y,1),prec);
    3120             :       else
    3121             :       {
    3122           7 :         GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
    3123           7 :         y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
    3124           7 :         return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
    3125             :       }
    3126             :     }
    3127             :   }
    3128           7 :   return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
    3129             : }
    3130             : GEN
    3131          77 : glog1p(GEN x, long prec)
    3132             : {
    3133          77 :   pari_sp av = avma;
    3134          77 :   return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
    3135             : }
    3136             : /********************************************************************/
    3137             : /**                                                                **/
    3138             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    3139             : /**                                                                **/
    3140             : /********************************************************************/
    3141             : 
    3142             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    3143             : static GEN
    3144     4383117 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    3145             : {
    3146     4383117 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    3147             :   GEN y, p2, x2;
    3148             :   double d;
    3149             : 
    3150     4383117 :   n = 0;
    3151     4383117 :   if (a >= 0)
    3152             :   {
    3153             :     long p;
    3154             :     GEN q;
    3155     3475889 :     if (a > 30)
    3156             :     {
    3157          92 :       GEN z, pitemp = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    3158          92 :       z = addrr(x,pitemp); /* = x + Pi/4 */
    3159          92 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3160          92 :       shiftr_inplace(pitemp, 1);
    3161          92 :       q = floorr( divrr(z,pitemp) ); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    3162          92 :       p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
    3163             :     } else {
    3164     3475797 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    3165     3475797 :       p = l;
    3166             :     }
    3167     3475889 :     if (signe(q))
    3168             :     {
    3169     3475889 :       x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    3170     3475889 :       a = expo(x);
    3171     3475889 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3172     3475889 :       n = mod4(q); if (n && signe(q) < 0) n = 4 - n;
    3173             :     }
    3174             :   }
    3175             :   /* a < 0 */
    3176     4383117 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    3177     4383117 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    3178             : 
    3179     4225698 :   b = prec2nbits(l);
    3180     4225698 :   if (b + 2*a <= 0) {
    3181      191036 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    3182      191036 :     return y;
    3183             :   }
    3184             : 
    3185     4034662 :   y = cgetr(l);
    3186     4034662 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    3187     4034662 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    3188     4034662 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    3189     4034662 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    3190             : 
    3191     4034662 :   b += m;
    3192     4034662 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    3193     4034662 :   n = (long)(b / d);
    3194     4034662 :   if (n > 1)
    3195     4005049 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    3196     4034662 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    3197             : 
    3198             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    3199             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    3200             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    3201             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    3202             :   *   ~ floor(b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    3203             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    3204             :   * accuracy needed, so
    3205             :   *    B := ( b / 6 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    3206             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    3207             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    3208             :   * NB1: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    3209             :   * NB2: We use b/4 instead of b/6 in the formula above: hand-optimized...
    3210             :   *
    3211             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    3212             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    3213             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    3214             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    3215             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    3216             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    3217     4034662 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    3218     4034662 :   x2 = sqrr(x);
    3219     4034662 :   if (n == 1) { p2 = x2; shiftr_inplace(p2, -1); setsigne(p2, -1); } /*-Y^2/2*/
    3220             :   else
    3221             :   {
    3222     4034662 :     GEN unr = real_1(L);
    3223             :     pari_sp av;
    3224     4034662 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    3225             : 
    3226     4034662 :     p2 = cgetr(L); av = avma;
    3227    25604434 :     for (i=n; i>=2; i--)
    3228             :     {
    3229             :       GEN p1;
    3230    21569772 :       setprec(x2,l1); p1 = divrunu(x2, 2*i-1);
    3231    21569772 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p1), &s); if (l1>L) l1=L;
    3232    21569772 :       if (i != n) p1 = mulrr(p1,p2);
    3233    21569772 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, p1,-signe(p1));
    3234    21569772 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); avma = av;
    3235             :     }
    3236     4034662 :     shiftr_inplace(p2, -1); togglesign(p2); /* p2 := -p2/2 */
    3237     4034662 :     setprec(x2,L); p2 = mulrr(x2,p2);
    3238             :   }
    3239             :   /* Now p2 = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    3240    37007809 :   for (i=1; i<=m; i++)
    3241             :   { /* p2 = cos(x)-1 --> cos(2x)-1 */
    3242    32973147 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    3243    32973147 :     shiftr_inplace(p2, 1);
    3244    32973147 :     if ((i & 31) == 0) p2 = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, p2);
    3245             :   }
    3246     4034662 :   affrr_fixlg(p2,y); return y;
    3247             : }
    3248             : 
    3249             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    3250             : static GEN
    3251     2927857 : mpaut(GEN x)
    3252             : {
    3253     2927857 :   pari_sp av = avma;
    3254     2927857 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    3255     2927857 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    3256     2770774 :   return gerepileuptoleaf(av, sqrtr_abs(t));
    3257             : }
    3258             : 
    3259             : /********************************************************************/
    3260             : /**                            COSINE                              **/
    3261             : /********************************************************************/
    3262             : 
    3263             : GEN
    3264     2701948 : mpcos(GEN x)
    3265             : {
    3266             :   long mod8;
    3267             :   pari_sp av;
    3268             :   GEN y,p1;
    3269             : 
    3270     2701948 :   if (!signe(x)) {
    3271           8 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3272           8 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3273           8 :     return real_1(l);
    3274             :   }
    3275             : 
    3276     2701940 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3277     2701940 :   switch(mod8)
    3278             :   {
    3279      748775 :     case 0: case 4: y = addsr(1,p1); break;
    3280      677991 :     case 1: case 7: y = mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3281      671600 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,p1); break;
    3282      603574 :     default:        y = mpaut(p1); break; /* case 3: case 5: */
    3283             :   }
    3284     2701940 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3285             : }
    3286             : 
    3287             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    3288             :  * cancellation */
    3289             : static GEN
    3290       12369 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    3291             : {
    3292       23576 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    3293       14301 :                                           : fractor(x, prec);
    3294             : }
    3295             : 
    3296             : GEN
    3297      111742 : gcos(GEN x, long prec)
    3298             : {
    3299             :   pari_sp av;
    3300             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3301             :   long i;
    3302             : 
    3303      111742 :   switch(typ(x))
    3304             :   {
    3305      111070 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    3306             :     case t_COMPLEX:
    3307          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) return gcosh(gel(x,2), prec);
    3308          28 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3309          28 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3310          28 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3311          28 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3312          28 :       u1 = subrr(v1, r); /* = - I*sin(I*Im(x)) */
    3313          28 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3314          28 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    3315          28 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3316             : 
    3317             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3318         546 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3319         546 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3320             : 
    3321          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    3322          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3323          42 :       return y;
    3324             : 
    3325             :     default:
    3326          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3327          28 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3328          28 :       if (valp(y) < 0)
    3329           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3330          21 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3331          21 :       return gerepilecopy(av,v);
    3332             :   }
    3333           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3334             : }
    3335             : /********************************************************************/
    3336             : /**                             SINE                               **/
    3337             : /********************************************************************/
    3338             : 
    3339             : GEN
    3340      135312 : mpsin(GEN x)
    3341             : {
    3342             :   long mod8;
    3343             :   pari_sp av;
    3344             :   GEN y,p1;
    3345             : 
    3346      135312 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3347             : 
    3348      135164 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3349      135164 :   switch(mod8)
    3350             :   {
    3351       76364 :     case 0: case 6: y=mpaut(p1); break;
    3352       17635 :     case 1: case 5: y=addsr(1,p1); break;
    3353       23915 :     case 2: case 4: y=mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3354       17250 :     default:        y=subsr(-1,p1); break; /* case 3: case 7: */
    3355             :   }
    3356      135164 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3357             : }
    3358             : 
    3359             : GEN
    3360      138945 : gsin(GEN x, long prec)
    3361             : {
    3362             :   pari_sp av;
    3363             :   GEN r, u, v, y, v1, u1;
    3364             :   long i;
    3365             : 
    3366      138945 :   switch(typ(x))
    3367             :   {
    3368      123713 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3369             :     case t_COMPLEX:
    3370        3612 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gsinh(gel(x,2),prec));
    3371        3584 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3372        3584 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3373        3584 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3374        3584 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3375        3584 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3376        3584 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3377        3584 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3378        3584 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); avma = av; return y;
    3379             : 
    3380             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3381       11354 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3382       11354 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3383             : 
    3384          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3385          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3386          42 :       return y;
    3387             : 
    3388             :     default:
    3389         217 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3390         210 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3391         210 :       if (valp(y) < 0)
    3392           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3393         203 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3394         203 :       return gerepilecopy(av,u);
    3395             :   }
    3396           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3397             : }
    3398             : /********************************************************************/
    3399             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3400             : /********************************************************************/
    3401             : 
    3402             : void
    3403     1544328 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3404             : {
    3405             :   long mod8;
    3406             :   pari_sp av, tetpil;
    3407             :   GEN p1, *gptr[2];
    3408             : 
    3409     1544328 :   if (!signe(x))
    3410             :   {
    3411        3225 :     long e = expo(x);
    3412        3225 :     *s = real_0_bit(e);
    3413        3225 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3414        6450 :     return;
    3415             :   }
    3416             : 
    3417     1541103 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3418     1541103 :   switch(mod8)
    3419             :   {
    3420      345568 :     case 0: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3421      119577 :     case 1: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3422      307739 :     case 2: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3423      111029 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3424      232806 :     case 4: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3425      137676 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3426      170529 :     case 6: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3427      116179 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3428             :   }
    3429     1541103 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3430     1541103 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3431             : }
    3432             : 
    3433             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3434             : void
    3435        4910 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3436             : {
    3437             :   long mod8;
    3438             :   pari_sp av, tetpil;
    3439             :   GEN p1, *gptr[2];
    3440             : 
    3441        4910 :   if (!signe(x))
    3442             :   {
    3443           0 :     long e = expo(x);
    3444           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3445           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3446           0 :     return;
    3447             :   }
    3448        4910 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3449        4910 :   switch(mod8)
    3450             :   {
    3451        4490 :     case 0: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); break;
    3452          42 :     case 1: *s=addsr(1,p1); *c=addrs(mpaut(p1),1); togglesign(*c); break;
    3453           0 :     case 2: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3454           0 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3455         287 :     case 4: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3456          77 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3457           7 :     case 6: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3458           7 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=subsr(-1,mpaut(p1)); break;
    3459             :   }
    3460        4910 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3461        4910 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3462             : }
    3463             : 
    3464             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3465             : GEN
    3466      121708 : expIr(GEN x)
    3467             : {
    3468      121708 :   pari_sp av = avma;
    3469      121708 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3470      121708 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3471      121708 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3472      121162 :   return v;
    3473             : }
    3474             : 
    3475             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3476             : static GEN
    3477        4910 : expm1_Ir(GEN x)
    3478             : {
    3479        4910 :   pari_sp av = avma;
    3480        4910 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3481        4910 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3482        4910 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3483        4910 :   return v;
    3484             : }
    3485             : 
    3486             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3487             : GEN
    3488        5001 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3489             : {
    3490        5001 :   pari_sp av = avma;
    3491        5001 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3492        5001 :   long l = precision(z);
    3493        5001 :   if (l) prec = l;
    3494        5001 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3495        5001 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3496        5001 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3497        4910 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3498        4826 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3499        4826 :   Y = expm1_Ir(y);
    3500             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3501        4826 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3502             : }
    3503             : 
    3504             : void
    3505     1311978 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3506             : {
    3507             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3508             :   pari_sp av, tetpil;
    3509             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3510             :   GEN *gptr[4];
    3511             : 
    3512     1311978 :   switch(typ(x))
    3513             :   {
    3514             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3515         448 :       *s = cgetr(prec);
    3516         448 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3517         448 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3518         448 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3519     1312426 :       affrr_fixlg(pc,*c); avma = av; return;
    3520             : 
    3521             :     case t_REAL:
    3522     1310991 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3523             : 
    3524             :     case t_COMPLEX:
    3525         154 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3526         154 :       ps = cgetc(prec); *s = ps;
    3527         154 :       pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
    3528         154 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3529         154 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3530         154 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3531         154 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3532         154 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3533         154 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3534         154 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3535         154 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3536         154 :       avma = av; return;
    3537             : 
    3538             :     case t_QUAD:
    3539           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3540           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3541             : 
    3542             :     default:
    3543         385 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3544         385 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3545             : 
    3546         385 :       ex = valp(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3547         385 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3548         385 :       if (ex2 > lx)
    3549             :       {
    3550          98 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3551          98 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgs(gsqr(y),2)));
    3552          98 :         return;
    3553             :       }
    3554         287 :       if (!ex)
    3555             :       {
    3556          56 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3557          56 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3558          56 :         p1 = gmul(v1,v);
    3559          56 :         p2 = gmul(u1,u);
    3560          56 :         p3 = gmul(v1,u);
    3561          56 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3562          56 :         *c = gsub(p1,p2);
    3563          56 :         *s = gadd(p3,p4);
    3564          56 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3565          56 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3566          56 :         return;
    3567             :       }
    3568             : 
    3569         231 :       ly = lx+2*ex;
    3570         231 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3571         231 :       mi += ex-2;
    3572         231 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3573         231 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3574         231 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(y));
    3575         231 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3576         231 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3577         231 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3578        3129 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3579             :       {
    3580        2898 :         long ii = i-ex;
    3581        2898 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3582        6678 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3583        3780 :           p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3584        2898 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3585        2898 :         if (ii < lx)
    3586             :         {
    3587        2660 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3588        5726 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3589        3066 :             p1 = gadd(p1,gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3590        2660 :           p1 = gdivgs(p1,i-2);
    3591        2660 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3592             :         }
    3593             :       }
    3594         231 :       return;
    3595             :   }
    3596           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3597             : }
    3598             : 
    3599             : /********************************************************************/
    3600             : /**                                                                **/
    3601             : /**                              SINC                              **/
    3602             : /**                                                                **/
    3603             : /********************************************************************/
    3604             : static GEN
    3605      107436 : mpsinc(GEN x)
    3606             : {
    3607      107436 :   pari_sp av = avma;
    3608             :   GEN s, c;
    3609             : 
    3610      107436 :   if (!signe(x)) {
    3611           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3612           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3613           0 :     return real_1(l);
    3614             :   }
    3615             : 
    3616      107436 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3617      107436 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3618             : }
    3619             : 
    3620             : GEN
    3621      107534 : gsinc(GEN x, long prec)
    3622             : {
    3623             :   pari_sp av;
    3624             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3625             :   long i;
    3626             : 
    3627      107534 :   switch(typ(x))
    3628             :   {
    3629      107429 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3630             :     case t_COMPLEX:
    3631          42 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3632             :       {
    3633          28 :         av = avma; x = gel(x,2);
    3634          28 :         if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
    3635          14 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
    3636             :       }
    3637          14 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3638          14 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3639          14 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3640          14 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3641          14 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3642          14 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3643          14 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3644          14 :       avma = av; return y;
    3645             : 
    3646             :     case t_INT:
    3647           7 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3648             :     case t_FRAC:
    3649           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3650           7 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3651             : 
    3652             :     case t_PADIC:
    3653          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
    3654          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3655          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3656           7 :       return gerepileupto(av,gdiv(y,x));
    3657             : 
    3658             :     default:
    3659             :     {
    3660             :       long ex;
    3661          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3662          28 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3663          28 :       ex = valp(y);
    3664          28 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3665          21 :       if (ex)
    3666             :       {
    3667          21 :         gsincos(y,&u,&v,prec);
    3668          21 :         y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
    3669          21 :         if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
    3670          21 :         return y;
    3671             :       }
    3672             :       else
    3673             :       {
    3674           0 :         GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
    3675           0 :         if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
    3676           0 :         gsincos(y1,&u,&v,prec);
    3677           0 :         z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
    3678           0 :         y = gaddsg(1, y10);
    3679           0 :         u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
    3680           0 :         return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
    3681             :       }
    3682             :     }
    3683             :   }
    3684           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3685             : }
    3686             : 
    3687             : /********************************************************************/
    3688             : /**                                                                **/
    3689             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3690             : /**                                                                **/
    3691             : /********************************************************************/
    3692             : static GEN
    3693          35 : mptan(GEN x)
    3694             : {
    3695          35 :   pari_sp av = avma;
    3696             :   GEN s, c;
    3697             : 
    3698          35 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3699          35 :   if (!signe(c))
    3700           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3701          35 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3702             : }
    3703             : 
    3704             : GEN
    3705         105 : gtan(GEN x, long prec)
    3706             : {
    3707             :   pari_sp av;
    3708             :   GEN y, s, c;
    3709             : 
    3710         105 :   switch(typ(x))
    3711             :   {
    3712          28 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3713             : 
    3714             :     case t_COMPLEX: {
    3715          28 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3716          14 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3717          14 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1));
    3718          14 :       return gerepileupto(av, y);
    3719             :     }
    3720             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3721           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3722           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3723             : 
    3724             :     case t_PADIC:
    3725          14 :       av = avma;
    3726          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3727             : 
    3728             :     default:
    3729          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3730          21 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3731          21 :       if (valp(y) < 0)
    3732           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3733          14 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3734          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3735             :   }
    3736           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3737             : }
    3738             : 
    3739             : static GEN
    3740          35 : mpcotan(GEN x)
    3741             : {
    3742          35 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3743             :   GEN s,c;
    3744             : 
    3745          35 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3746          35 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3747             : }
    3748             : 
    3749             : GEN
    3750         154 : gcotan(GEN x, long prec)
    3751             : {
    3752             :   pari_sp av;
    3753             :   GEN y, s, c;
    3754             : 
    3755         154 :   switch(typ(x))
    3756             :   {
    3757             :     case t_REAL:
    3758          28 :       return mpcotan(x);
    3759             : 
    3760             :     case t_COMPLEX:
    3761          42 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3762          21 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3763          21 :         gel(z,1) = gen_0;
    3764          21 :         av = avma;
    3765          21 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3766          21 :         return z;
    3767             :       }
    3768          21 :       av = avma;
    3769          21 :       gsincos(x,&s,&c,prec);
    3770          21 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3771             : 
    3772             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3773           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3774           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); avma = av; return y;
    3775             : 
    3776             :     case t_PADIC:
    3777          14 :       av = avma;
    3778          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3779             : 
    3780             :     default:
    3781          63 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3782          56 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3783          56 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3784          49 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3785          49 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3786             :   }
    3787           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3788             : }

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