Code coverage tests

This page documents the degree to which the PARI/GP source code is tested by our public test suite, distributed with the source distribution in directory src/test/. This is measured by the gcov utility; we then process gcov output using the lcov frond-end.

We test a few variants depending on Configure flags on the pari.math.u-bordeaux.fr machine (x86_64 architecture), and agregate them in the final report:

The target is to exceed 90% coverage for all mathematical modules (given that branches depending on DEBUGLEVEL or DEBUGMEM are not covered). This script is run to produce the results below.

LCOV - code coverage report
Current view: top level - basemath - trans1.c (source / functions) Hit Total Coverage
Test: PARI/GP v2.12.1 lcov report (development 24988-2584e74448) Lines: 2106 2166 97.2 %
Date: 2020-01-26 05:57:03 Functions: 158 160 98.8 %
Legend: Lines: hit not hit

          Line data    Source code
       1             : /* Copyright (C) 2000  The PARI group.
       2             : 
       3             : This file is part of the PARI/GP package.
       4             : 
       5             : PARI/GP is free software; you can redistribute it and/or modify it under the
       6             : terms of the GNU General Public License as published by the Free Software
       7             : Foundation. It is distributed in the hope that it will be useful, but WITHOUT
       8             : ANY WARRANTY WHATSOEVER.
       9             : 
      10             : Check the License for details. You should have received a copy of it, along
      11             : with the package; see the file 'COPYING'. If not, write to the Free Software
      12             : Foundation, Inc., 51 Franklin Street, Fifth Floor, Boston, MA 02110-1301 USA. */
      13             : 
      14             : /********************************************************************/
      15             : /**                                                                **/
      16             : /**                   TRANSCENDENTAL FUNCTIONS                     **/
      17             : /**                                                                **/
      18             : /********************************************************************/
      19             : #include "pari.h"
      20             : #include "paripriv.h"
      21             : 
      22             : #ifdef LONG_IS_64BIT
      23             : static const long SQRTVERYBIGINT = 3037000500L; /* ceil(sqrt(LONG_MAX)) */
      24             : #else
      25             : static const long SQRTVERYBIGINT = 46341L;
      26             : #endif
      27             : 
      28             : static THREAD GEN gcatalan, geuler, glog2, gpi;
      29             : void
      30      243026 : pari_init_floats(void)
      31             : {
      32      243026 :   gcatalan = geuler = gpi = zetazone = bernzone = glog2 = NULL;
      33      243026 : }
      34             : 
      35             : void
      36      239669 : pari_close_floats(void)
      37             : {
      38      239669 :   guncloneNULL(gcatalan);
      39      239142 :   guncloneNULL(geuler);
      40      238688 :   guncloneNULL(gpi);
      41      239049 :   guncloneNULL(glog2);
      42      239679 :   guncloneNULL(zetazone);
      43      240316 :   guncloneNULL_deep(bernzone);
      44      238547 : }
      45             : 
      46             : /********************************************************************/
      47             : /**                   GENERIC BINARY SPLITTING                     **/
      48             : /**                    (Haible, Papanikolaou)                      **/
      49             : /********************************************************************/
      50             : void
      51       75563 : abpq_init(struct abpq *A, long n)
      52             : {
      53       75563 :   A->a = (GEN*)new_chunk(n+1);
      54       75572 :   A->b = (GEN*)new_chunk(n+1);
      55       75583 :   A->p = (GEN*)new_chunk(n+1);
      56       75609 :   A->q = (GEN*)new_chunk(n+1);
      57       75612 : }
      58             : static GEN
      59     3228170 : mulii3(GEN a, GEN b, GEN c) { return mulii(mulii(a,b),c); }
      60             : static GEN
      61     1018210 : mulii4(GEN a, GEN b, GEN c, GEN d) { return mulii(mulii(a,b),mulii(c,d)); }
      62             : 
      63             : /* T_{n1,n1+1}, given P = p[n1]p[n1+1] */
      64             : static GEN
      65     1016066 : T2(struct abpq *A, long n1, GEN P)
      66             : {
      67     1016066 :   GEN u1 = mulii4(A->a[n1], A->p[n1], A->b[n1+1], A->q[n1+1]);
      68     1015805 :   GEN u2 = mulii3(A->b[n1],A->a[n1+1], P);
      69     1015759 :   return addii(u1, u2);
      70             : }
      71             : 
      72             : /* assume n2 > n1. Compute sum_{n1 <= n < n2} a/b(n) p/q(n1)... p/q(n) */
      73             : void
      74     1984286 : abpq_sum(struct abpq_res *r, long n1, long n2, struct abpq *A)
      75             : {
      76             :   struct abpq_res L, R;
      77             :   GEN u1, u2;
      78             :   pari_sp av;
      79             :   long n;
      80     1984286 :   switch(n2 - n1)
      81             :   {
      82             :     GEN b, p, q;
      83             :     case 1:
      84          48 :       r->P = A->p[n1];
      85          48 :       r->Q = A->q[n1];
      86          48 :       r->B = A->b[n1];
      87          48 :       r->T = mulii(A->a[n1], A->p[n1]);
      88     1020026 :       return;
      89             :     case 2:
      90      614512 :       r->P = mulii(A->p[n1], A->p[n1+1]);
      91      610678 :       r->Q = mulii(A->q[n1], A->q[n1+1]);
      92      610362 :       r->B = mulii(A->b[n1], A->b[n1+1]);
      93      610360 :       av = avma;
      94      610360 :       r->T = gerepileuptoint(av, T2(A, n1, r->P));
      95      613123 :       return;
      96             : 
      97             :     case 3:
      98      415230 :       p = mulii(A->p[n1+1], A->p[n1+2]);
      99      413074 :       q = mulii(A->q[n1+1], A->q[n1+2]);
     100      412846 :       b = mulii(A->b[n1+1], A->b[n1+2]);
     101      412908 :       r->P = mulii(A->p[n1], p);
     102      412982 :       r->Q = mulii(A->q[n1], q);
     103      413058 :       r->B = mulii(A->b[n1], b);
     104      413048 :       av = avma;
     105      413048 :       u1 = mulii3(b, q, A->a[n1]);
     106      412964 :       u2 = mulii(A->b[n1], T2(A, n1+1, p));
     107      412924 :       r->T = gerepileuptoint(av, mulii(A->p[n1], addii(u1, u2)));
     108      414511 :       return;
     109             :   }
     110             : 
     111      954496 :   av = avma;
     112      954496 :   n = (n1 + n2) >> 1;
     113      954496 :   abpq_sum(&L, n1, n, A);
     114      951848 :   abpq_sum(&R, n, n2, A);
     115             : 
     116      952079 :   r->P = mulii(L.P, R.P);
     117      943696 :   r->Q = mulii(L.Q, R.Q);
     118      944378 :   r->B = mulii(L.B, R.B);
     119      943564 :   u1 = mulii3(R.B, R.Q, L.T);
     120      944110 :   u2 = mulii3(L.B, L.P, R.T);
     121      943221 :   r->T = addii(u1,u2);
     122      943947 :   set_avma(av);
     123      944735 :   r->P = icopy(r->P);
     124      951408 :   r->Q = icopy(r->Q);
     125      952552 :   r->B = icopy(r->B);
     126      952142 :   r->T = icopy(r->T);
     127             : }
     128             : 
     129             : /********************************************************************/
     130             : /**                                                                **/
     131             : /**                               PI                               **/
     132             : /**                                                                **/
     133             : /********************************************************************/
     134             : /* replace *old clone by c. Protect against SIGINT */
     135             : static void
     136       48949 : swap_clone(GEN *old, GEN c)
     137       48949 : { GEN tmp = *old; *old = c; guncloneNULL(tmp); }
     138             : 
     139             : /*                         ----
     140             :  *  53360 (640320)^(1/2)   \    (6n)! (545140134 n + 13591409)
     141             :  *  -------------------- = /    ------------------------------
     142             :  *        Pi               ----   (n!)^3 (3n)! (-640320)^(3n)
     143             :  *                         n>=0
     144             :  *
     145             :  * Ramanujan's formula + binary splitting */
     146             : static GEN
     147       24155 : pi_ramanujan(long prec)
     148             : {
     149       24155 :   const ulong B = 545140134, A = 13591409, C = 640320;
     150       24155 :   const double alpha2 = 47.11041314; /* 3log(C/12) / log(2) */
     151             :   long n, nmax, prec2;
     152             :   struct abpq_res R;
     153             :   struct abpq S;
     154             :   GEN D, u;
     155             : 
     156       24155 :   nmax = (long)(1 + prec2nbits(prec)/alpha2);
     157             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     158       23782 :   D = utoipos(10939058860032000UL); /* C^3/24 */
     159             : #else
     160         373 :   D = uutoi(2546948UL,495419392UL);
     161             : #endif
     162       24158 :   abpq_init(&S, nmax);
     163       24161 :   S.a[0] = utoipos(A);
     164       24208 :   S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
     165      173932 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
     166             :   {
     167      149779 :     S.a[n] = addiu(muluu(B, n), A);
     168      149736 :     S.b[n] = gen_1;
     169      149736 :     S.p[n] = mulis(muluu(6*n-5, 2*n-1), 1-6*n);
     170      149768 :     S.q[n] = mulii(sqru(n), muliu(D,n));
     171             :   }
     172       24153 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S); prec2 = prec+EXTRAPRECWORD;
     173       24163 :   u = itor(muliu(R.Q,C/12), prec2);
     174       24160 :   return rtor(mulrr(divri(u, R.T), sqrtr_abs(utor(C,prec2))), prec);
     175             : }
     176             : 
     177             : #if 0 /* Much slower than binary splitting at least up to prec = 10^8 */
     178             : /* Gauss - Brent-Salamin AGM iteration */
     179             : static GEN
     180             : pi_brent_salamin(long prec)
     181             : {
     182             :   GEN A, B, C;
     183             :   pari_sp av2;
     184             :   long i, G;
     185             : 
     186             :   G = - prec2nbits(prec);
     187             :   incrprec(prec);
     188             : 
     189             :   A = real2n(-1, prec);
     190             :   B = sqrtr_abs(A); /* = 1/sqrt(2) */
     191             :   setexpo(A, 0);
     192             :   C = real2n(-2, prec); av2 = avma;
     193             :   for (i = 0;; i++)
     194             :   {
     195             :     GEN y, a, b, B_A = subrr(B, A);
     196             :     pari_sp av3 = avma;
     197             :     if (expo(B_A) < G) break;
     198             :     a = addrr(A,B); shiftr_inplace(a, -1);
     199             :     b = mulrr(A,B);
     200             :     affrr(a, A);
     201             :     affrr(sqrtr_abs(b), B); set_avma(av3);
     202             :     y = sqrr(B_A); shiftr_inplace(y, i - 2);
     203             :     affrr(subrr(C, y), C); set_avma(av2);
     204             :   }
     205             :   shiftr_inplace(C, 2);
     206             :   return divrr(sqrr(addrr(A,B)), C);
     207             : }
     208             : #endif
     209             : 
     210             : GEN
     211    13980251 : constpi(long prec)
     212             : {
     213             :   pari_sp av;
     214             :   GEN tmp;
     215    13980251 :   if (gpi && realprec(gpi) >= prec) return gpi;
     216             : 
     217       23989 :   av = avma;
     218       23989 :   tmp = gclone(pi_ramanujan(prec));
     219       24163 :   swap_clone(&gpi,tmp);
     220       24164 :   return gc_const(av, gpi);
     221             : }
     222             : 
     223             : GEN
     224    13980242 : mppi(long prec) { return rtor(constpi(prec), prec); }
     225             : 
     226             : /* Pi * 2^n */
     227             : GEN
     228     6030836 : Pi2n(long n, long prec)
     229             : {
     230     6030836 :   GEN x = mppi(prec); shiftr_inplace(x, n);
     231     6030835 :   return x;
     232             : }
     233             : 
     234             : /* I * Pi * 2^n */
     235             : GEN
     236        5243 : PiI2n(long n, long prec) { retmkcomplex(gen_0, Pi2n(n, prec)); }
     237             : 
     238             : /* 2I * Pi */
     239             : GEN
     240        4361 : PiI2(long prec) { return PiI2n(1, prec); }
     241             : 
     242             : /********************************************************************/
     243             : /**                                                                **/
     244             : /**                       EULER CONSTANT                           **/
     245             : /**                                                                **/
     246             : /********************************************************************/
     247             : 
     248             : GEN
     249       44385 : consteuler(long prec)
     250             : {
     251             :   GEN u,v,a,b,tmpeuler;
     252             :   long l, n1, n, k, x;
     253             :   pari_sp av1, av2;
     254             : 
     255       44385 :   if (geuler && realprec(geuler) >= prec) return geuler;
     256             : 
     257         405 :   av1 = avma; tmpeuler = cgetr_block(prec);
     258             : 
     259         405 :   incrprec(prec);
     260             : 
     261         405 :   l = prec+EXTRAPRECWORD; x = (long) (1 + prec2nbits_mul(l, M_LN2/4));
     262         405 :   a = utor(x,l); u=logr_abs(a); setsigne(u,-1); affrr(u,a);
     263         405 :   b = real_1(l);
     264         405 :   v = real_1(l);
     265         405 :   n = (long)(1+3.591*x); /* z=3.591: z*[ ln(z)-1 ]=1 */
     266         405 :   n1 = minss(n, SQRTVERYBIGINT);
     267         405 :   if (x < SQRTVERYBIGINT)
     268             :   {
     269         405 :     ulong xx = x*x;
     270         405 :     av2 = avma;
     271      138990 :     for (k=1; k<n1; k++)
     272             :     {
     273      138585 :       affrr(divru(mulur(xx,b),k*k), b);
     274      138585 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     275      138585 :       affrr(addrr(u,a), u);
     276      138585 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     277             :     }
     278         810 :     for (   ; k<=n; k++)
     279             :     {
     280         405 :       affrr(divru(divru(mulur(xx,b),k),k), b);
     281         405 :       affrr(divru(addrr(divru(mulur(xx,a),k),b),k), a);
     282         405 :       affrr(addrr(u,a), u);
     283         405 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     284             :     }
     285             :   }
     286             :   else
     287             :   {
     288           0 :     GEN xx = sqru(x);
     289           0 :     av2 = avma;
     290           0 :     for (k=1; k<n1; k++)
     291             :     {
     292           0 :       affrr(divru(mulir(xx,b),k*k), b);
     293           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     294           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     295           0 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     296             :     }
     297           0 :     for (   ; k<=n; k++)
     298             :     {
     299           0 :       affrr(divru(divru(mulir(xx,b),k),k), b);
     300           0 :       affrr(divru(addrr(divru(mulir(xx,a),k),b),k), a);
     301           0 :       affrr(addrr(u,a), u);
     302           0 :       affrr(addrr(v,b), v); set_avma(av2);
     303             :     }
     304             :   }
     305         405 :   divrrz(u,v,tmpeuler);
     306         405 :   swap_clone(&geuler,tmpeuler);
     307         405 :   return gc_const(av1, geuler);
     308             : }
     309             : 
     310             : GEN
     311       44385 : mpeuler(long prec) { return rtor(consteuler(prec), prec); }
     312             : 
     313             : /********************************************************************/
     314             : /**                                                                **/
     315             : /**                       CATALAN CONSTANT                         **/
     316             : /**                                                                **/
     317             : /********************************************************************/
     318             : /*        inf  256^i (580i^2 - 184i + 15) (2i)!^3 (3i)!^2
     319             :  * 64 G = SUM  ------------------------------------------
     320             :  *        i=1             i^3 (2i-1) (6i)!^2           */
     321             : static GEN
     322          14 : catalan(long prec)
     323             : {
     324          14 :   long i, nmax = 1 + prec2nbits(prec) / 7.509; /* / log2(729/4) */
     325             :   struct abpq_res R;
     326             :   struct abpq A;
     327             :   GEN u;
     328          14 :   abpq_init(&A, nmax);
     329          14 :   A.a[0] = gen_0; A.b[0] = A.p[0] = A.q[0] = gen_1;
     330        1750 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
     331             :   {
     332        1736 :     A.a[i] = addiu(muluu(580*i - 184, i), 15);
     333        1736 :     A.b[i] = muliu(powuu(i, 3), 2*i - 1);
     334        1736 :     A.p[i] = mului(64*i-32, powuu(i,3));
     335        1736 :     A.q[i] = sqri(muluu(6*i - 1, 18*i - 15));
     336             :   }
     337          14 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
     338          14 :   u = rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
     339          14 :   shiftr_inplace(u, -6); return u;
     340             : }
     341             : 
     342             : GEN
     343          14 : constcatalan(long prec)
     344             : {
     345          14 :   pari_sp av = avma;
     346             :   GEN tmp;
     347          14 :   if (gcatalan && realprec(gcatalan) >= prec) return gcatalan;
     348          14 :   tmp = gclone(catalan(prec));
     349          14 :   swap_clone(&gcatalan,tmp);
     350          14 :   return gc_const(av, gcatalan);
     351             : }
     352             : 
     353             : GEN
     354          14 : mpcatalan(long prec) { return rtor(constcatalan(prec), prec); }
     355             : 
     356             : /********************************************************************/
     357             : /**                                                                **/
     358             : /**          TYPE CONVERSION FOR TRANSCENDENTAL FUNCTIONS          **/
     359             : /**                                                                **/
     360             : /********************************************************************/
     361             : static GEN
     362      388792 : transvec(GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     363             : {
     364             :   long i, l;
     365      388792 :   GEN y = cgetg_copy(x, &l);
     366      388792 :   for (i=1; i<l; i++) gel(y,i) = f(gel(x,i),prec);
     367      388785 :   return y;
     368             : }
     369             : 
     370             : GEN
     371      867530 : trans_eval(const char *fun, GEN (*f)(GEN,long), GEN x, long prec)
     372             : {
     373      867530 :   pari_sp av = avma;
     374      867530 :   if (prec < 3) pari_err_BUG("trans_eval [prec < 3]");
     375      867530 :   switch(typ(x))
     376             :   {
     377      303024 :     case t_INT:    x = f(itor(x,prec),prec); break;
     378      175658 :     case t_FRAC:   x = f(fractor(x, prec),prec); break;
     379           7 :     case t_QUAD:   x = f(quadtofp(x,prec),prec); break;
     380          14 :     case t_POLMOD: x = transvec(f, polmod_to_embed(x,prec), prec); break;
     381             :     case t_VEC:
     382             :     case t_COL:
     383      388778 :     case t_MAT: return transvec(f, x, prec);
     384          49 :     default: pari_err_TYPE(fun,x); return NULL;
     385             :   }
     386      478682 :   return gerepileupto(av, x);
     387             : }
     388             : 
     389             : /*******************************************************************/
     390             : /*                                                                 */
     391             : /*                            POWERING                             */
     392             : /*                                                                 */
     393             : /*******************************************************************/
     394             : /* x a t_REAL 0, return exp(x) */
     395             : static GEN
     396       32640 : mpexp0(GEN x)
     397             : {
     398       32640 :   long e = expo(x);
     399       32640 :   return e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
     400             : }
     401             : static GEN
     402        3850 : powr0(GEN x)
     403        3850 : { return signe(x)? real_1(realprec(x)): mpexp0(x); }
     404             : 
     405             : /* x t_POL or t_SER, return scalarpol(Rg_get_1(x)) */
     406             : static GEN
     407      175555 : scalarpol_get_1(GEN x)
     408             : {
     409      175555 :   GEN y = cgetg(3,t_POL);
     410      175555 :   y[1] = evalvarn(varn(x)) | evalsigne(1);
     411      175555 :   gel(y,2) = Rg_get_1(x); return y;
     412             : }
     413             : /* to be called by the generic function gpowgs(x,s) when s = 0 */
     414             : static GEN
     415     3647460 : gpowg0(GEN x)
     416             : {
     417             :   long lx, i;
     418             :   GEN y;
     419             : 
     420     3647460 :   switch(typ(x))
     421             :   {
     422             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_PADIC:
     423      760697 :       return gen_1;
     424             : 
     425           7 :     case t_QUAD: x++; /*fall through*/
     426             :     case t_COMPLEX: {
     427       21486 :       pari_sp av = avma;
     428       21486 :       GEN a = gpowg0(gel(x,1));
     429       21494 :       GEN b = gpowg0(gel(x,2));
     430       21494 :       if (a == gen_1) return b;
     431          14 :       if (b == gen_1) return a;
     432           7 :       return gerepileupto(av, gmul(a,b));
     433             :     }
     434             :     case t_INTMOD:
     435         126 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);
     436         126 :       gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     437         126 :       gel(y,2) = is_pm1(gel(x,1))? gen_0: gen_1;
     438         126 :       return y;
     439             : 
     440        5761 :     case t_FFELT: return FF_1(x);
     441             : 
     442             :     case t_POLMOD:
     443         938 :       retmkpolmod(scalarpol_get_1(gel(x,1)), gcopy(gel(x,1)));
     444             : 
     445             :     case t_RFRAC:
     446           7 :       return scalarpol_get_1(gel(x,2));
     447             :     case t_POL: case t_SER:
     448      174610 :       return scalarpol_get_1(x);
     449             : 
     450             :     case t_MAT:
     451          84 :       lx=lg(x); if (lx==1) return cgetg(1,t_MAT);
     452          77 :       if (lx != lgcols(x)) pari_err_DIM("gpow");
     453          77 :       y = matid(lx-1);
     454          77 :       for (i=1; i<lx; i++) gcoeff(y,i,i) = gpowg0(gcoeff(x,i,i));
     455          77 :       return y;
     456          14 :     case t_QFR: return qfr_1(x);
     457     2683681 :     case t_QFI: return qfi_1(x);
     458          49 :     case t_VECSMALL: return identity_perm(lg(x) - 1);
     459             :   }
     460           7 :   pari_err_TYPE("gpow",x);
     461             :   return NULL; /* LCOV_EXCL_LINE */
     462             : }
     463             : 
     464             : static GEN
     465    43017305 : _sqr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return gsqr(x); }
     466             : static GEN
     467    17459238 : _mul(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return gmul(x,y); }
     468             : static GEN
     469      106302 : _one(void *x) { return gpowg0((GEN) x); }
     470             : static GEN
     471     7904099 : _sqri(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqri(x); }
     472             : static GEN
     473     5004877 : _muli(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulii(x,y); }
     474             : static GEN
     475     9089776 : _sqrr(void *data /* ignored */, GEN x) { (void)data; return sqrr(x); }
     476             : static GEN
     477     1726430 : _mulr(void *data /* ignored */, GEN x, GEN y) { (void)data; return mulrr(x,y); }
     478             : static GEN
     479       14512 : _oner(void *data /* prec */) { return real_1( *(long*) data); }
     480             : 
     481             : /* INTEGER POWERING (a^n for integer a != 0 and integer n > 0)
     482             :  *
     483             :  * Use left shift binary algorithm (RS is wasteful: multiplies big numbers,
     484             :  * with LS one of them is the base, hence small). Sign of result is set
     485             :  * to s (= 1,-1). Makes life easier for caller, which otherwise might do a
     486             :  * setsigne(gen_1 / gen_m1) */
     487             : static GEN
     488    46319800 : powiu_sign(GEN a, ulong N, long s)
     489             : {
     490             :   pari_sp av;
     491             :   GEN y;
     492             : 
     493    46319800 :   if (lgefint(a) == 3)
     494             :   { /* easy if |a| < 3 */
     495    42508600 :     ulong q = a[2];
     496    42508600 :     if (q == 1) return (s>0)? gen_1: gen_m1;
     497    34004752 :     if (q == 2) { a = int2u(N); setsigne(a,s); return a; }
     498    21507127 :     q = upowuu(q, N);
     499    21507170 :     if (q) return s>0? utoipos(q): utoineg(q);
     500             :   }
     501     4874333 :   if (N <= 2) {
     502     2871905 :     if (N == 2) return sqri(a);
     503       24191 :     a = icopy(a); setsigne(a,s); return a;
     504             :   }
     505     2002428 :   av = avma;
     506     2002428 :   y = gen_powu_i(a, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     507     2002428 :   setsigne(y,s); return gerepileuptoint(av, y);
     508             : }
     509             : /* a^n */
     510             : GEN
     511    46256077 : powiu(GEN a, ulong n)
     512             : {
     513             :   long s;
     514    46256077 :   if (!n) return gen_1;
     515    45785570 :   s = signe(a);
     516    45785570 :   if (!s) return gen_0;
     517    45772489 :   return powiu_sign(a, n, (s < 0 && odd(n))? -1: 1);
     518             : }
     519             : GEN
     520    22386617 : powis(GEN a, long n)
     521             : {
     522             :   long s;
     523             :   GEN t, y;
     524    22386617 :   if (n >= 0) return powiu(a, n);
     525       93355 :   s = signe(a);
     526       93355 :   if (!s) pari_err_INV("powis",gen_0);
     527       93355 :   t = (s < 0 && odd(n))? gen_m1: gen_1;
     528       93355 :   if (is_pm1(a)) return t;
     529             :   /* n < 0, |a| > 1 */
     530       93068 :   y = cgetg(3,t_FRAC);
     531       93068 :   gel(y,1) = t;
     532       93068 :   gel(y,2) = powiu_sign(a, -n, 1); /* force denominator > 0 */
     533       93068 :   return y;
     534             : }
     535             : GEN
     536    28657740 : powuu(ulong p, ulong N)
     537             : {
     538    28657740 :   pari_sp av = avma;
     539    28657740 :   long P[] = {evaltyp(t_INT)|_evallg(3), evalsigne(1)|evallgefint(3),0};
     540             :   ulong pN;
     541             :   GEN y;
     542    28657740 :   if (N <= 2)
     543             :   {
     544    24151161 :     if (N == 2) return sqru(p);
     545    21743845 :     if (N == 1) return utoi(p);
     546     4228243 :     return gen_1;
     547             :   }
     548     4506579 :   if (!p) return gen_0;
     549     4506579 :   pN = upowuu(p, N);
     550     4506579 :   if (pN) return utoipos(pN);
     551      901276 :   if (p == 2) return int2u(N);
     552      896439 :   P[2] = p; av = avma;
     553      896439 :   y = gen_powu_i(P, N, NULL, &_sqri, &_muli);
     554      896439 :   return gerepileuptoint(av, y);
     555             : }
     556             : 
     557             : /* return 0 if overflow */
     558             : static ulong
     559     5709701 : usqru(ulong p) { return p & HIGHMASK? 0: p*p; }
     560             : ulong
     561    33235065 : upowuu(ulong p, ulong k)
     562             : {
     563             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     564    28077425 :   const ulong CUTOFF3 = 2642245;
     565    28077425 :   const ulong CUTOFF4 = 65535;
     566    28077425 :   const ulong CUTOFF5 = 7131;
     567    28077425 :   const ulong CUTOFF6 = 1625;
     568    28077425 :   const ulong CUTOFF7 = 565;
     569    28077425 :   const ulong CUTOFF8 = 255;
     570    28077425 :   const ulong CUTOFF9 = 138;
     571    28077425 :   const ulong CUTOFF10 = 84;
     572    28077425 :   const ulong CUTOFF11 = 56;
     573    28077425 :   const ulong CUTOFF12 = 40;
     574    28077425 :   const ulong CUTOFF13 = 30;
     575    28077425 :   const ulong CUTOFF14 = 23;
     576    28077425 :   const ulong CUTOFF15 = 19;
     577    28077425 :   const ulong CUTOFF16 = 15;
     578    28077425 :   const ulong CUTOFF17 = 13;
     579    28077425 :   const ulong CUTOFF18 = 11;
     580    28077425 :   const ulong CUTOFF19 = 10;
     581    28077425 :   const ulong CUTOFF20 =  9;
     582             : #else
     583     5157640 :   const ulong CUTOFF3 = 1625;
     584     5157640 :   const ulong CUTOFF4 =  255;
     585     5157640 :   const ulong CUTOFF5 =   84;
     586     5157640 :   const ulong CUTOFF6 =   40;
     587     5157640 :   const ulong CUTOFF7 =   23;
     588     5157640 :   const ulong CUTOFF8 =   15;
     589     5157640 :   const ulong CUTOFF9 =   11;
     590     5157640 :   const ulong CUTOFF10 =   9;
     591     5157640 :   const ulong CUTOFF11 =   7;
     592     5157640 :   const ulong CUTOFF12 =   6;
     593     5157640 :   const ulong CUTOFF13 =   5;
     594     5157640 :   const ulong CUTOFF14 =   4;
     595     5157640 :   const ulong CUTOFF15 =   4;
     596     5157640 :   const ulong CUTOFF16 =   3;
     597     5157640 :   const ulong CUTOFF17 =   3;
     598     5157640 :   const ulong CUTOFF18 =   3;
     599     5157640 :   const ulong CUTOFF19 =   3;
     600     5157640 :   const ulong CUTOFF20 =   3;
     601             : #endif
     602             : 
     603    33235065 :   if (p <= 2)
     604             :   {
     605     2040154 :     if (p < 2) return p;
     606     1534506 :     return k < BITS_IN_LONG? 1UL<<k: 0;
     607             :   }
     608    31194911 :   switch(k)
     609             :   {
     610             :     ulong p2, p3, p4, p5, p8;
     611     2407690 :     case 0:  return 1;
     612    13553098 :     case 1:  return p;
     613     5709700 :     case 2:  return usqru(p);
     614     2439439 :     case 3:  if (p > CUTOFF3) return 0; return p*p*p;
     615      975008 :     case 4:  if (p > CUTOFF4) return 0; p2=p*p; return p2*p2;
     616     1393121 :     case 5:  if (p > CUTOFF5) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p;
     617      783638 :     case 6:  if (p > CUTOFF6) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2;
     618      168824 :     case 7:  if (p > CUTOFF7) return 0; p2=p*p; return p2*p2*p2*p;
     619      133528 :     case 8:  if (p > CUTOFF8) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4;
     620      514708 :     case 9:  if (p > CUTOFF9) return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p;
     621      717578 :     case 10: if (p > CUTOFF10)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2;
     622      349757 :     case 11: if (p > CUTOFF11)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p2*p;
     623       54041 :     case 12: if (p > CUTOFF12)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4;
     624       86639 :     case 13: if (p > CUTOFF13)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p;
     625       76821 :     case 14: if (p > CUTOFF14)return 0; p2=p*p; p4=p2*p2; return p4*p4*p4*p2;
     626       95519 :     case 15: if (p > CUTOFF15)return 0;
     627       26150 :       p2=p*p; p3=p2*p; p5=p3*p2; return p5*p5*p5;
     628       67705 :     case 16: if (p > CUTOFF16)return 0;
     629       18936 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p8*p8;
     630       40667 :     case 17: if (p > CUTOFF17)return 0;
     631       13781 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p8*p8;
     632       29840 :     case 18: if (p > CUTOFF18)return 0;
     633       12266 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p2*p8*p8;
     634      592900 :     case 19: if (p > CUTOFF19)return 0;
     635      577548 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p*p2*p8*p8;
     636       17310 :     case 20: if (p > CUTOFF20)return 0;
     637        7859 :       p2=p*p; p4=p2*p2; p8=p4*p4; return p4*p8*p8;
     638             :   }
     639             : #ifdef LONG_IS_64BIT
     640      828065 :   switch(p)
     641             :   {
     642       63630 :     case 3: if (k > 40) return 0;
     643       29142 :       break;
     644       16410 :     case 4: if (k > 31) return 0;
     645         240 :       return 1UL<<(2*k);
     646      265572 :     case 5: if (k > 27) return 0;
     647        4098 :       break;
     648       13386 :     case 6: if (k > 24) return 0;
     649          66 :       break;
     650       21024 :     case 7: if (k > 22) return 0;
     651        1152 :       break;
     652      448043 :     default: return 0;
     653             :   }
     654             :   /* no overflow */
     655             :   {
     656       34458 :     ulong q = upowuu(p, k >> 1);
     657       34458 :     q *= q ;
     658       34458 :     return odd(k)? q*p: q;
     659             :   }
     660             : #else
     661      159315 :   return 0;
     662             : #endif
     663             : }
     664             : 
     665             : GEN
     666         221 : upowers(ulong x, long n)
     667             : {
     668             :   long i;
     669         221 :   GEN p = cgetg(n + 2, t_VECSMALL);
     670         221 :   uel(p,1) = 1; if (n == 0) return p;
     671         221 :   uel(p,2) = x;
     672         418 :   for (i = 3; i <= n; i++)
     673         197 :     uel(p,i) = uel(p,i-1)*x;
     674         221 :   return p;
     675             : }
     676             : 
     677             : typedef struct {
     678             :   long prec, a;
     679             :   GEN (*sqr)(GEN);
     680             :   GEN (*mulug)(ulong,GEN);
     681             : } sr_muldata;
     682             : 
     683             : static GEN
     684     1534874 : _rpowuu_sqr(void *data, GEN x)
     685             : {
     686     1534874 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     687     1534874 :   if (typ(x) == t_INT && lgefint(x) >= D->prec)
     688             :   { /* switch to t_REAL */
     689      170701 :     D->sqr   = &sqrr;
     690      170701 :     D->mulug = &mulur; x = itor(x, D->prec);
     691             :   }
     692     1534874 :   return D->sqr(x);
     693             : }
     694             : 
     695             : static GEN
     696      641427 : _rpowuu_msqr(void *data, GEN x)
     697             : {
     698      641427 :   GEN x2 = _rpowuu_sqr(data, x);
     699      641427 :   sr_muldata *D = (sr_muldata *)data;
     700      641427 :   return D->mulug(D->a, x2);
     701             : }
     702             : 
     703             : /* return a^n as a t_REAL of precision prec. Assume a > 0, n > 0 */
     704             : GEN
     705      349880 : rpowuu(ulong a, ulong n, long prec)
     706             : {
     707             :   pari_sp av;
     708             :   GEN y, z;
     709             :   sr_muldata D;
     710             : 
     711      349880 :   if (a == 1) return real_1(prec);
     712      349880 :   if (a == 2) return real2n(n, prec);
     713      349880 :   if (n == 1) return utor(a, prec);
     714      346485 :   z = cgetr(prec);
     715      346485 :   av = avma;
     716      346485 :   D.sqr   = &sqri;
     717      346485 :   D.mulug = &mului;
     718      346485 :   D.prec = prec;
     719      346485 :   D.a = (long)a;
     720      346485 :   y = gen_powu_fold_i(utoipos(a), n, (void*)&D, &_rpowuu_sqr, &_rpowuu_msqr);
     721      346485 :   mpaff(y, z); return gc_const(av,z);
     722             : }
     723             : 
     724             : GEN
     725     6518235 : powrs(GEN x, long n)
     726             : {
     727     6518235 :   pari_sp av = avma;
     728             :   GEN y;
     729     6518235 :   if (!n) return powr0(x);
     730     6518235 :   y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqrr, &_mulr);
     731     6518861 :   if (n < 0) y = invr(y);
     732     6518581 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     733             : }
     734             : GEN
     735      946123 : powru(GEN x, ulong n)
     736             : {
     737      946123 :   pari_sp av = avma;
     738             :   GEN y;
     739      946123 :   if (!n) return powr0(x);
     740      942784 :   y = gen_powu_i(x, n, NULL, &_sqrr, &_mulr);
     741      942784 :   return gerepileuptoleaf(av,y);
     742             : }
     743             : 
     744             : GEN
     745       14512 : powersr(GEN x, long n)
     746             : {
     747       14512 :   long prec = realprec(x);
     748       14512 :   return gen_powers(x, n, 1, &prec, &_sqrr, &_mulr, &_oner);
     749             : }
     750             : 
     751             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     752             : GEN
     753           0 : powrshalf(GEN x, long s)
     754             : {
     755           0 :   if (s & 1) return sqrtr(powrs(x, s));
     756           0 :   return powrs(x, s>>1);
     757             : }
     758             : /* x^(s/2), assume x t_REAL */
     759             : GEN
     760       25372 : powruhalf(GEN x, ulong s)
     761             : {
     762       25372 :   if (s & 1) return sqrtr(powru(x, s));
     763        6277 :   return powru(x, s>>1);
     764             : }
     765             : /* x^(n/d), assume x t_REAL, return t_REAL */
     766             : GEN
     767         511 : powrfrac(GEN x, long n, long d)
     768             : {
     769             :   long z;
     770         511 :   if (!n) return powr0(x);
     771           0 :   z = cgcd(n, d); if (z > 1) { n /= z; d /= z; }
     772           0 :   if (d == 1) return powrs(x, n);
     773           0 :   x = powrs(x, n);
     774           0 :   if (d == 2) return sqrtr(x);
     775           0 :   return sqrtnr(x, d);
     776             : }
     777             : 
     778             : /* assume x != 0 */
     779             : static GEN
     780      560455 : pow_monome(GEN x, long n)
     781             : {
     782      560455 :   long i, d, dx = degpol(x);
     783             :   GEN A, b, y;
     784             : 
     785      560455 :   if (n < 0) { n = -n; y = cgetg(3, t_RFRAC); } else y = NULL;
     786             : 
     787      560455 :   if (HIGHWORD(dx) || HIGHWORD(n))
     788           8 :   {
     789             :     LOCAL_HIREMAINDER;
     790           9 :     d = (long)mulll((ulong)dx, (ulong)n);
     791           9 :     if (hiremainder || (d &~ LGBITS)) d = LGBITS; /* overflow */
     792           9 :     d += 2;
     793             :   }
     794             :   else
     795      560446 :     d = dx*n + 2;
     796      560455 :   if ((d + 1) & ~LGBITS) pari_err(e_OVERFLOW,"pow_monome [degree]");
     797      560448 :   A = cgetg(d+1, t_POL); A[1] = x[1];
     798      560448 :   for (i=2; i < d; i++) gel(A,i) = gen_0;
     799      560448 :   b = gpowgs(gel(x,dx+2), n); /* not memory clean if (n < 0) */
     800      560448 :   if (!y) y = A;
     801             :   else {
     802       20440 :     GEN c = denom_i(b);
     803       20440 :     gel(y,1) = c; if (c != gen_1) b = gmul(b,c);
     804       20440 :     gel(y,2) = A;
     805             :   }
     806      560448 :   gel(A,d) = b; return y;
     807             : }
     808             : 
     809             : /* x t_PADIC */
     810             : static GEN
     811      615678 : powps(GEN x, long n)
     812             : {
     813      615678 :   long e = n*valp(x), v;
     814      615678 :   GEN t, y, mod, p = gel(x,2);
     815             :   pari_sp av;
     816             : 
     817      615678 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     818          84 :     if (n < 0) pari_err_INV("powps",x);
     819          77 :     return zeropadic(p, e);
     820             :   }
     821      615594 :   v = z_pval(n, p);
     822             : 
     823      615594 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     824      615594 :   mod = gel(x,3);
     825      615594 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     826             :   else
     827             :   {
     828      611682 :     if (precp(x) == 1 && absequaliu(p, 2)) v++;
     829      611682 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     830      611682 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     831             :   }
     832      615594 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | evalvalp(e);
     833      615594 :   gel(y,2) = icopy(p);
     834      615594 :   gel(y,3) = mod;
     835             : 
     836      615594 :   av = avma; t = gel(x,4);
     837      615594 :   if (n < 0) { t = Fp_inv(t, mod); n = -n; }
     838      615594 :   t = Fp_powu(t, n, mod);
     839      615594 :   gel(y,4) = gerepileuptoint(av, t);
     840      615594 :   return y;
     841             : }
     842             : /* x t_PADIC */
     843             : static GEN
     844         161 : powp(GEN x, GEN n)
     845             : {
     846             :   long v;
     847         161 :   GEN y, mod, p = gel(x,2);
     848             : 
     849         161 :   if (valp(x)) pari_err_OVERFLOW("valp()");
     850             : 
     851         161 :   if (!signe(gel(x,4))) {
     852          14 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powp",x);
     853           7 :     return zeropadic(p, 0);
     854             :   }
     855         147 :   v = Z_pval(n, p);
     856             : 
     857         147 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
     858         147 :   mod = gel(x,3);
     859         147 :   if (v == 0) mod = icopy(mod);
     860             :   else
     861             :   {
     862          70 :     mod = mulii(mod, powiu(p,v));
     863          70 :     mod = gerepileuptoint((pari_sp)y, mod);
     864             :   }
     865         147 :   y[1] = evalprecp(precp(x) + v) | _evalvalp(0);
     866         147 :   gel(y,2) = icopy(p);
     867         147 :   gel(y,3) = mod;
     868         147 :   gel(y,4) = Fp_pow(gel(x,4), n, mod);
     869         147 :   return y;
     870             : }
     871             : static GEN
     872       30020 : pow_polmod(GEN x, GEN n)
     873             : {
     874       30020 :   GEN z = cgetg(3, t_POLMOD), a = gel(x,2), T = gel(x,1);
     875       30020 :   gel(z,1) = gcopy(T);
     876       30020 :   if (typ(a) != t_POL || varn(a) != varn(T) || lg(a) <= 3)
     877        3303 :     a = powgi(a, n);
     878             :   else {
     879       26717 :     pari_sp av = avma;
     880       26717 :     GEN p = NULL;
     881       26717 :     if (RgX_is_FpX(T, &p) && RgX_is_FpX(a, &p) && p)
     882             :     {
     883        7602 :       T = RgX_to_FpX(T, p); a = RgX_to_FpX(a, p);
     884        7602 :       if (lgefint(p) == 3)
     885             :       {
     886        7595 :         ulong pp = p[2];
     887        7595 :         a = Flxq_pow(ZX_to_Flx(a, pp), n, ZX_to_Flx(T, pp), pp);
     888        7595 :         a = Flx_to_ZX(a);
     889             :       }
     890             :       else
     891           7 :         a = FpXQ_pow(a, n, T, p);
     892        7602 :       a = FpX_to_mod(a, p);
     893        7602 :       a = gerepileupto(av, a);
     894             :     }
     895             :     else
     896             :     {
     897       19115 :       set_avma(av);
     898       19115 :       a = RgXQ_pow(a, n, gel(z,1));
     899             :     }
     900             :   }
     901       30020 :   gel(z,2) = a; return z;
     902             : }
     903             : 
     904             : GEN
     905   127494551 : gpowgs(GEN x, long n)
     906             : {
     907             :   long m;
     908             :   pari_sp av;
     909             :   GEN y;
     910             : 
     911   127494551 :   if (n == 0) return gpowg0(x);
     912   123996534 :   if (n == 1)
     913    72682870 :     switch (typ(x)) {
     914      802209 :       case t_QFI: return redimag(x);
     915          14 :       case t_QFR: return redreal(x);
     916    71880647 :       default: return gcopy(x);
     917             :     }
     918    51313664 :   if (n ==-1) return ginv(x);
     919    46981658 :   switch(typ(x))
     920             :   {
     921    22338651 :     case t_INT: return powis(x,n);
     922     6510441 :     case t_REAL: return powrs(x,n);
     923             :     case t_INTMOD:
     924       22239 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     925       22239 :       gel(y,2) = Fp_pows(gel(x,2), n, gel(x,1));
     926       22239 :       return y;
     927             :     case t_FRAC:
     928             :     {
     929      227070 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2);
     930      227070 :       long s = (signe(a) < 0 && odd(n))? -1: 1;
     931      227070 :       if (n < 0) {
     932          49 :         n = -n;
     933          49 :         if (is_pm1(a)) return powiu_sign(b, n, s); /* +-1/x[2] inverts to t_INT */
     934          42 :         swap(a, b);
     935             :       }
     936      227063 :       y = cgetg(3, t_FRAC);
     937      227063 :       gel(y,1) = powiu_sign(a, n, s);
     938      227063 :       gel(y,2) = powiu_sign(b, n, 1);
     939      227063 :       return y;
     940             :     }
     941      615678 :     case t_PADIC: return powps(x, n);
     942             :     case t_RFRAC:
     943             :     {
     944      249158 :       av = avma; y = cgetg(3, t_RFRAC); m = labs(n);
     945      249158 :       gel(y,1) = gpowgs(gel(x,1),m);
     946      249158 :       gel(y,2) = gpowgs(gel(x,2),m);
     947      249158 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     948      249158 :       return gerepileupto(av,y);
     949             :     }
     950             :     case t_POLMOD: {
     951       30013 :       long N[] = {evaltyp(t_INT) | _evallg(3),0,0};
     952       30013 :       affsi(n,N); return pow_polmod(x, N);
     953             :     }
     954             :     case t_POL:
     955      602661 :       if (RgX_is_monomial(x)) return pow_monome(x, n);
     956             :     default: {
     957    16427953 :       pari_sp av = avma;
     958    16427953 :       y = gen_powu_i(x, (ulong)labs(n), NULL, &_sqr, &_mul);
     959    16427949 :       if (n < 0) y = ginv(y);
     960    16427949 :       return gerepileupto(av,y);
     961             :     }
     962             :   }
     963             : }
     964             : 
     965             : /* n a t_INT */
     966             : GEN
     967   114168519 : powgi(GEN x, GEN n)
     968             : {
     969             :   GEN y;
     970             : 
     971   114168519 :   if (!is_bigint(n)) return gpowgs(x, itos(n));
     972             :   /* probable overflow for non-modular types (typical exception: (X^0)^N) */
     973        8822 :   switch(typ(x))
     974             :   {
     975             :     case t_INTMOD:
     976        8531 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(gel(x,1));
     977        8536 :       gel(y,2) = Fp_pow(gel(x,2), n, gel(x,1));
     978        8554 :       return y;
     979          59 :     case t_FFELT: return FF_pow(x,n);
     980         161 :     case t_PADIC: return powp(x, n);
     981             : 
     982             :     case t_INT:
     983          35 :       if (is_pm1(x)) return (signe(x) < 0 && mpodd(n))? gen_m1: gen_1;
     984          14 :       if (signe(x)) pari_err_OVERFLOW("lg()");
     985           7 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("powgi",gen_0);
     986           7 :       return gen_0;
     987             :     case t_FRAC:
     988           7 :       pari_err_OVERFLOW("lg()");
     989             : 
     990          13 :     case t_QFR: return qfrpow(x, n);
     991           7 :     case t_POLMOD: return pow_polmod(x, n);
     992             :     default: {
     993           9 :       pari_sp av = avma;
     994           9 :       y = gen_pow_i(x, n, NULL, &_sqr, &_mul);
     995           9 :       if (signe(n) < 0) return gerepileupto(av, ginv(y));
     996           9 :       return gerepilecopy(av,y);
     997             :     }
     998             :   }
     999             : }
    1000             : 
    1001             : /* Assume x = 1 + O(t), n a scalar. Return x^n */
    1002             : static GEN
    1003        7756 : ser_pow_1(GEN x, GEN n)
    1004             : {
    1005             :   long lx, mi, i, j, d;
    1006        7756 :   GEN y = cgetg_copy(x, &lx), X = x+2, Y = y + 2;
    1007        7756 :   y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    1008        7756 :   d = mi = lx-3; while (mi>=1 && isrationalzero(gel(X,mi))) mi--;
    1009        7756 :   gel(Y,0) = gen_1;
    1010      109305 :   for (i=1; i<=d; i++)
    1011             :   {
    1012      101549 :     pari_sp av = avma;
    1013      101549 :     GEN s = gen_0;
    1014      479178 :     for (j=1; j<=minss(i,mi); j++)
    1015             :     {
    1016      377629 :       GEN t = gsubgs(gmulgs(n,j),i-j);
    1017      377629 :       s = gadd(s, gmul(gmul(t, gel(X,j)), gel(Y,i-j)));
    1018             :     }
    1019      101549 :     gel(Y,i) = gerepileupto(av, gdivgs(s,i));
    1020             :   }
    1021        7756 :   return y;
    1022             : }
    1023             : 
    1024             : /* we suppose n != 0, valp(x) = 0 and leading-term(x) != 0. Not stack clean */
    1025             : static GEN
    1026        7875 : ser_pow(GEN x, GEN n, long prec)
    1027             : {
    1028             :   GEN y, c, lead;
    1029        7875 :   if (varncmp(gvar(n), varn(x)) <= 0) return gexp(gmul(n, glog(x,prec)), prec);
    1030        7756 :   lead = gel(x,2);
    1031        7756 :   if (gequal1(lead)) return ser_pow_1(x, n);
    1032        7434 :   x = ser_normalize(x);
    1033        7434 :   if (typ(n) == t_FRAC && !isinexact(lead) && ispower(lead, gel(n,2), &c))
    1034          77 :     c = powgi(c, gel(n,1));
    1035             :   else
    1036        7357 :     c = gpow(lead,n, prec);
    1037        7434 :   y = gmul(c, ser_pow_1(x, n));
    1038             :   /* gpow(t_POLMOD,n) can be a t_COL [conjvec] */
    1039        7434 :   if (typ(y) != t_SER) pari_err_TYPE("gpow", y);
    1040        7434 :   return y;
    1041             : }
    1042             : 
    1043             : static long
    1044        7770 : val_from_i(GEN E)
    1045             : {
    1046        7770 :   if (is_bigint(E)) pari_err_OVERFLOW("sqrtn [valuation]");
    1047        7763 :   return itos(E);
    1048             : }
    1049             : 
    1050             : /* return x^q, assume typ(x) = t_SER, typ(q) = t_INT/t_FRAC and q != 0 */
    1051             : static GEN
    1052        7777 : ser_powfrac(GEN x, GEN q, long prec)
    1053             : {
    1054        7777 :   GEN y, E = gmulsg(valp(x), q);
    1055             :   long e;
    1056             : 
    1057        7777 :   if (!signe(x))
    1058             :   {
    1059          21 :     if (gsigne(q) < 0) pari_err_INV("gpow", x);
    1060          21 :     return zeroser(varn(x), val_from_i(gfloor(E)));
    1061             :   }
    1062        7756 :   if (typ(E) != t_INT)
    1063           7 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gel(q,2)), x);
    1064        7749 :   e = val_from_i(E);
    1065        7749 :   y = leafcopy(x); setvalp(y, 0);
    1066        7749 :   y = ser_pow(y, q, prec);
    1067        7749 :   setvalp(y, e); return y;
    1068             : }
    1069             : 
    1070             : static GEN
    1071         133 : gpow0(GEN x, GEN n, long prec)
    1072             : {
    1073         133 :   pari_sp av = avma;
    1074             :   long i, lx;
    1075             :   GEN y;
    1076         133 :   switch(typ(n))
    1077             :   {
    1078             :     case t_INT: case t_REAL: case t_FRAC: case t_COMPLEX: case t_QUAD:
    1079          91 :       break;
    1080             :     case t_VEC: case t_COL: case t_MAT:
    1081          35 :       y = cgetg_copy(n, &lx);
    1082          35 :       for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow0(x,gel(n,i),prec);
    1083          35 :       return y;
    1084           7 :     default: pari_err_TYPE("gpow(0,n)", n);
    1085             :   }
    1086          91 :   n = real_i(n);
    1087          91 :   if (gsigne(n) <= 0) pari_err_DOMAIN("gpow(0,n)", "n", "<=", gen_0, n);
    1088          84 :   if (!precision(x)) return gcopy(x);
    1089             : 
    1090          21 :   x = ground(gmulsg(gexpo(x),n));
    1091          21 :   if (is_bigint(x) || uel(x,2) >= HIGHEXPOBIT)
    1092           7 :     pari_err_OVERFLOW("gpow");
    1093          14 :   set_avma(av); return real_0_bit(itos(x));
    1094             : }
    1095             : 
    1096             : GEN
    1097    15996771 : gpow(GEN x, GEN n, long prec)
    1098             : {
    1099    15996771 :   long prec0, i, lx, tx, tn = typ(n);
    1100             :   pari_sp av;
    1101             :   GEN y;
    1102             : 
    1103    15996771 :   if (tn == t_INT) return powgi(x,n);
    1104     3957677 :   tx = typ(x);
    1105     3957677 :   if (is_matvec_t(tx))
    1106             :   {
    1107          49 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1108          49 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gpow(gel(x,i),n,prec);
    1109          49 :     return y;
    1110             :   }
    1111     3957592 :   av = avma;
    1112     3957592 :   switch (tx)
    1113             :   {
    1114          28 :     case t_POL: case t_RFRAC: x = toser_i(x); /* fall through */
    1115             :     case t_SER:
    1116        7574 :       if (tn == t_FRAC) return gerepileupto(av, ser_powfrac(x, n, prec));
    1117         154 :       if (valp(x))
    1118          21 :         pari_err_DOMAIN("gpow [irrational exponent]",
    1119             :                         "valuation", "!=", gen_0, x);
    1120         133 :       if (lg(x) == 2) return gerepilecopy(av, x); /* O(1) */
    1121         126 :       return gerepileupto(av, ser_pow(x, n, prec));
    1122             :   }
    1123     3950018 :   if (gequal0(x)) return gpow0(x, n, prec);
    1124     3949935 :   if (tn == t_FRAC)
    1125             :   {
    1126     3514235 :     GEN p, z, a = gel(n,1), d = gel(n,2);
    1127             :     long D;
    1128     3514235 :     switch (tx)
    1129             :     {
    1130             :     case t_INT:
    1131             :     case t_FRAC:
    1132     3567786 :       if (ispower(x, d, &z)) return powgi(z, a);
    1133       91702 :       break;
    1134             : 
    1135             :     case t_INTMOD:
    1136          21 :       p = gel(x,1);
    1137          21 :       if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("gpow",p);
    1138          14 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1139          14 :       av = avma;
    1140          14 :       z = Fp_sqrtn(gel(x,2), d, p, NULL);
    1141          14 :       if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1142           7 :       gel(y,2) = gerepileuptoint(av, Fp_pow(z, a, p));
    1143           7 :       return y;
    1144             : 
    1145             :     case t_PADIC:
    1146          14 :       z = Qp_sqrtn(x, d, NULL); if (!z) pari_err_SQRTN("gpow",x);
    1147           7 :       return gerepileupto(av, powgi(z, a));
    1148             : 
    1149             :     case t_FFELT:
    1150          21 :       return gerepileupto(av,FF_pow(FF_sqrtn(x,d,NULL),a));
    1151             :     }
    1152     3511460 :     D = itos_or_0(d);
    1153     3511444 :     if (D == 2)
    1154             :     {
    1155     3071315 :       GEN y = gsqrt(x,prec);
    1156     3072405 :       if (!equali1(a))
    1157     2913160 :         y = gerepileupto(av, gmul(y, powgi(x, shifti(subiu(a,1), -1))));
    1158     3071454 :       return y;
    1159             :     }
    1160      440129 :     if (D && (is_real_t(tx) && gsigne(x) > 0))
    1161             :     {
    1162      399169 :       prec += nbits2extraprec(expi(a));
    1163      399169 :       if (tx != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    1164      399169 :       z = sqrtnr(x, D);
    1165      399169 :       if (!equali1(a)) z = powgi(z, a);
    1166      399169 :       return gerepileuptoleaf(av, z);
    1167             :     }
    1168             :   }
    1169      476660 :   i = precision(n);
    1170      476661 :   if (i) prec = i;
    1171      476661 :   prec0 = prec;
    1172      476661 :   if (!gprecision(x))
    1173             :   {
    1174       41370 :     long e = gexpo_safe(n); /* avoided if n = 0 or gexpo not defined */
    1175       41370 :     if (e > 2) prec += nbits2extraprec(e);
    1176             :   }
    1177      476661 :   y = gmul(n, glog(x,prec));
    1178      476633 :   y = gexp(y,prec);
    1179      476633 :   if (prec0 == prec) return gerepileupto(av, y);
    1180       30968 :   return gerepilecopy(av, gprec_wtrunc(y,prec0));
    1181             : }
    1182             : 
    1183             : GEN
    1184      176716 : gpowers0(GEN x, long n, GEN x0)
    1185             : {
    1186             :   long i, l;
    1187             :   GEN V;
    1188      176716 :   if (!x0) return gpowers(x,n);
    1189      163206 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1190      163206 :   l = n+2; V = cgetg(l, t_VEC); gel(V,1) = gcopy(x0);
    1191      163541 :   for (i = 2; i < l; i++) gel(V,i) = gmul(gel(V,i-1),x);
    1192      163197 :   return V;
    1193             : }
    1194             : 
    1195             : GEN
    1196      106309 : gpowers(GEN x, long n)
    1197             : {
    1198      106309 :   if (n < 0) return cgetg(1,t_VEC);
    1199      106302 :   return gen_powers(x, n, 1, (void*)x, &_sqr, &_mul, &_one);
    1200             : }
    1201             : 
    1202             : /* return [q^1,q^4,...,q^{n^2}] */
    1203             : GEN
    1204       34786 : gsqrpowers(GEN q, long n)
    1205             : {
    1206       34786 :   pari_sp av = avma;
    1207       34786 :   GEN L = gpowers0(gsqr(q), n, q); /* L[i] = q^(2i - 1), i <= n+1 */
    1208       34786 :   GEN v = cgetg(n+1, t_VEC);
    1209             :   long i;
    1210       34786 :   gel(v, 1) = gcopy(q);
    1211       34786 :   for (i = 2; i <= n ; ++i) gel(v, i) = q = gmul(q, gel(L,i)); /* q^(i^2) */
    1212       34786 :   return gerepileupto(av, v);
    1213             : }
    1214             : 
    1215             : /* 4 | N. returns a vector RU which contains exp(2*i*k*Pi/N), k=0..N-1 */
    1216             : static GEN
    1217      120243 : grootsof1_4(long N, long prec)
    1218             : {
    1219      120243 :   GEN z, RU = cgetg(N+1,t_COL), *v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1220      120243 :   long i, N2 = (N>>1), N4 = (N>>2), N8 = (N>>3);
    1221             :   /* z^N2 = -1, z^N4 = I; if z^k = a+I*b, then z^(N4-k) = I*conj(z) = b+a*I */
    1222             : 
    1223      120243 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1224      120243 :   if (odd(N4)) N8++;
    1225      162239 :   for (i=1; i<N8; i++)
    1226             :   {
    1227       41996 :     GEN t = v[i];
    1228       41996 :     v[i+1] = gmul(z, t);
    1229       41996 :     v[N4-i] = mkcomplex(gel(t,2), gel(t,1));
    1230             :   }
    1231      120243 :   for (i=0; i<N4; i++) v[i+N4] = mulcxI(v[i]);
    1232      120243 :   for (i=0; i<N2; i++) v[i+N2] = gneg(v[i]);
    1233      120243 :   return RU;
    1234             : }
    1235             : 
    1236             : /* as above, N arbitrary */
    1237             : GEN
    1238      161604 : grootsof1(long N, long prec)
    1239             : {
    1240             :   GEN z, RU, *v;
    1241             :   long i, k;
    1242             : 
    1243      161604 :   if (N <= 0) pari_err_DOMAIN("rootsof1", "N", "<=", gen_0, stoi(N));
    1244      161590 :   if ((N & 3) == 0) return grootsof1_4(N, prec);
    1245       41347 :   if (N <= 2) return N == 1? mkcol(gen_1): mkcol2(gen_1, gen_m1);
    1246       11051 :   k = (N+1)>>1;
    1247       11051 :   RU = cgetg(N+1,t_COL);
    1248       11051 :   v  = ((GEN*)RU) + 1;
    1249       11051 :   v[0] = gen_1; v[1] = z = rootsof1u_cx(N, prec);
    1250       11051 :   for (i=2; i<k; i++) v[i] = gmul(z, v[i-1]);
    1251       11051 :   if (!odd(N)) v[i++] = gen_m1; /*avoid loss of accuracy*/
    1252       11051 :   for (   ; i<N; i++) v[i] = gconj(v[N-i]);
    1253       11051 :   return RU;
    1254             : }
    1255             : 
    1256             : /********************************************************************/
    1257             : /**                                                                **/
    1258             : /**                        RACINE CARREE                           **/
    1259             : /**                                                                **/
    1260             : /********************************************************************/
    1261             : /* assume x unit, e = precp(x) */
    1262             : GEN
    1263      288344 : Z2_sqrt(GEN x, long e)
    1264             : {
    1265      288344 :   ulong r = signe(x)>=0?mod16(x):16-mod16(x);
    1266             :   GEN z;
    1267             :   long ez;
    1268             :   pari_sp av;
    1269             : 
    1270      288344 :   switch(e)
    1271             :   {
    1272           7 :     case 1: return gen_1;
    1273         119 :     case 2: return (r & 3UL) == 1? gen_1: NULL;
    1274      143724 :     case 3: return (r & 7UL) == 1? gen_1: NULL;
    1275       71064 :     case 4: if (r == 1) return gen_1;
    1276       35133 :             else return (r == 9)? utoipos(3): NULL;
    1277       73430 :     default: if ((r&7UL) != 1) return NULL;
    1278             :   }
    1279       73430 :   av = avma; z = (r==1)? gen_1: utoipos(3);
    1280       73430 :   ez = 3; /* number of correct bits in z (compared to sqrt(x)) */
    1281             :   for(;;)
    1282       47978 :   {
    1283             :     GEN mod;
    1284      121408 :     ez = (ez<<1) - 1;
    1285      121408 :     if (ez > e) ez = e;
    1286      121408 :     mod = int2n(ez);
    1287      121408 :     z = addii(z, remi2n(mulii(x, Fp_inv(z,mod)), ez));
    1288      121408 :     z = shifti(z, -1); /* (z + x/z) / 2 */
    1289      121408 :     if (e == ez) return gerepileuptoint(av, z);
    1290       47978 :     if (ez < e) ez--;
    1291       47978 :     if (gc_needed(av,2))
    1292             :     {
    1293           0 :       if (DEBUGMEM > 1) pari_warn(warnmem,"Qp_sqrt");
    1294           0 :       z = gerepileuptoint(av,z);
    1295             :     }
    1296             :   }
    1297             : }
    1298             : 
    1299             : /* x unit defined modulo p^e, e > 0 */
    1300             : GEN
    1301        1778 : Qp_sqrt(GEN x)
    1302             : {
    1303        1778 :   long pp, e = valp(x);
    1304        1778 :   GEN z,y,mod, p = gel(x,2);
    1305             : 
    1306        1778 :   if (gequal0(x)) return zeropadic(p, (e+1) >> 1);
    1307        1778 :   if (e & 1) return NULL;
    1308             : 
    1309        1764 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    1310        1764 :   pp = precp(x);
    1311        1764 :   mod = gel(x,3);
    1312        1764 :   z   = gel(x,4); /* lift to t_INT */
    1313        1764 :   e >>= 1;
    1314        1764 :   z = Zp_sqrt(z, p, pp);
    1315        1764 :   if (!z) return NULL;
    1316        1715 :   if (absequaliu(p,2))
    1317             :   {
    1318         805 :     pp  = (pp <= 3) ? 1 : pp-1;
    1319         805 :     mod = int2n(pp);
    1320             :   }
    1321         910 :   else mod = icopy(mod);
    1322        1715 :   y[1] = evalprecp(pp) | evalvalp(e);
    1323        1715 :   gel(y,2) = icopy(p);
    1324        1715 :   gel(y,3) = mod;
    1325        1715 :   gel(y,4) = z; return y;
    1326             : }
    1327             : 
    1328             : GEN
    1329         350 : Zn_sqrt(GEN d, GEN fn)
    1330             : {
    1331         350 :   pari_sp ltop = avma, btop;
    1332         350 :   GEN b = gen_0, m = gen_1;
    1333             :   long j, np;
    1334         350 :   if (typ(d) != t_INT) pari_err_TYPE("Zn_sqrt",d);
    1335         350 :   if (typ(fn) == t_INT)
    1336           0 :     fn = absZ_factor(fn);
    1337         350 :   else if (!is_Z_factorpos(fn))
    1338           0 :     pari_err_TYPE("Zn_sqrt",fn);
    1339         350 :   np = nbrows(fn);
    1340         350 :   btop = avma;
    1341        2800 :   for (j = 1; j <= np; ++j)
    1342             :   {
    1343             :     GEN  bp, mp, pr, r;
    1344        1050 :     GEN  p = gcoeff(fn, j, 1);
    1345        1050 :     long e = itos(gcoeff(fn, j, 2));
    1346        1050 :     long v = Z_pvalrem(d,p,&r);
    1347        1050 :     if (v >= e) bp =gen_0;
    1348             :     else
    1349             :     {
    1350         952 :       if (odd(v)) return NULL;
    1351         952 :       bp = Zp_sqrt(r, p, e-v);
    1352         952 :       if (!bp)    return NULL;
    1353         952 :       if (v) bp = mulii(bp, powiu(p, v>>1L));
    1354             :     }
    1355        1050 :     mp = powiu(p, e);
    1356        1050 :     pr = mulii(m, mp);
    1357        1050 :     b = Z_chinese_coprime(b, bp, m, mp, pr);
    1358        1050 :     m = pr;
    1359        1050 :     if (gc_needed(btop, 1))
    1360           0 :       gerepileall(btop, 2, &b, &m);
    1361             :   }
    1362         350 :   return gerepileupto(ltop, b);
    1363             : }
    1364             : 
    1365             : static GEN
    1366       17353 : sqrt_ser(GEN b, long prec)
    1367             : {
    1368       17353 :   long e = valp(b), vx = varn(b), lx, lold, j;
    1369             :   ulong mask;
    1370             :   GEN a, x, lta, ltx;
    1371             : 
    1372       17353 :   if (!signe(b)) return zeroser(vx, e>>1);
    1373       17353 :   a = leafcopy(b);
    1374       17353 :   x = cgetg_copy(b, &lx);
    1375       17353 :   if (e & 1)
    1376          14 :     pari_err_DOMAIN("sqrtn", "valuation", "!=", mkintmod(gen_0, gen_2), b);
    1377       17339 :   a[1] = x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(0) | _evalvalp(0);
    1378       17339 :   lta = gel(a,2);
    1379       17339 :   if (gequal1(lta)) ltx = lta;
    1380       14826 :   else if (!issquareall(lta,&ltx)) ltx = gsqrt(lta,prec);
    1381       17332 :   gel(x,2) = ltx;
    1382       17332 :   for (j = 3; j < lx; j++) gel(x,j) = gen_0;
    1383       17332 :   setlg(x,3);
    1384       17332 :   mask = quadratic_prec_mask(lx - 2);
    1385       17332 :   lold = 1;
    1386      100208 :   while (mask > 1)
    1387             :   {
    1388       65544 :     GEN y, x2 = gmul2n(x,1);
    1389       65544 :     long l = lold << 1, lx;
    1390             : 
    1391       65544 :     if (mask & 1) l--;
    1392       65544 :     mask >>= 1;
    1393       65544 :     setlg(a, l + 2);
    1394       65544 :     setlg(x, l + 2);
    1395       65544 :     y = sqr_ser_part(x, lold, l-1) - lold;
    1396       65544 :     for (j = lold+2; j < l+2; j++) gel(y,j) = gsub(gel(y,j), gel(a,j));
    1397       65544 :     y += lold; setvalp(y, lold);
    1398       65544 :     y = normalize(y);
    1399       65544 :     y = gsub(x, gdiv(y, x2)); /* = gmul2n(gsub(x, gdiv(a,x)), -1); */
    1400       65544 :     lx = minss(l+2, lg(y));
    1401       65544 :     for (j = lold+2; j < lx; j++) gel(x,j) = gel(y,j);
    1402       65544 :     lold = l;
    1403             :   }
    1404       17332 :   x[1] = evalsigne(1) | evalvarn(vx) | _evalvalp(e >> 1);
    1405       17332 :   return x;
    1406             : }
    1407             : 
    1408             : GEN
    1409    12069194 : gsqrt(GEN x, long prec)
    1410             : {
    1411             :   pari_sp av;
    1412             :   GEN y;
    1413             : 
    1414    12069194 :   switch(typ(x))
    1415             :   {
    1416             :     case t_INT:
    1417     3102591 :       if (!signe(x)) return real_0(prec); /* no loss of accuracy */
    1418     3102577 :       x = itor(x,prec); /* fall through */
    1419    11281501 :     case t_REAL: return sqrtr(x);
    1420             : 
    1421             :     case t_INTMOD:
    1422             :     {
    1423          35 :       GEN p = gel(x,1), a;
    1424          35 :       y = cgetg(3,t_INTMOD); gel(y,1) = icopy(p);
    1425          35 :       a = Fp_sqrt(gel(x,2),p);
    1426          21 :       if (!a)
    1427             :       {
    1428           7 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrt [modulus]",p);
    1429           7 :         pari_err_SQRTN("gsqrt",x);
    1430             :       }
    1431          14 :       gel(y,2) = a; return y;
    1432             :     }
    1433             : 
    1434             :     case t_COMPLEX:
    1435             :     { /* (u+iv)^2 = a+ib <=> u^2+v^2 = sqrt(a^2+b^2), u^2-v^2=a, 2uv=b */
    1436      594948 :       GEN a = gel(x,1), b = gel(x,2), r, u, v;
    1437      594948 :       if (isrationalzero(b)) return gsqrt(a, prec);
    1438      594948 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    1439             : 
    1440      594948 :       r = cxnorm(x);
    1441      594948 :       if (typ(r) == t_INTMOD || typ(r) == t_PADIC)
    1442           0 :         pari_err_IMPL("sqrt(complex of t_INTMODs)");
    1443      594948 :       r = gsqrt(r, prec); /* t_REAL, |a+Ib| */
    1444      594948 :       if (!signe(r))
    1445         123 :         u = v = gerepileuptoleaf(av, sqrtr(r));
    1446      594825 :       else if (gsigne(a) < 0)
    1447             :       {
    1448             :         /* v > 0 since r > 0, a < 0, rounding errors can't make the sum of two
    1449             :          * positive numbers = 0 */
    1450       69167 :         v = sqrtr( gmul2n(gsub(r,a), -1) );
    1451       69167 :         if (gsigne(b) < 0) togglesign(v);
    1452       69167 :         v = gerepileuptoleaf(av, v); av = avma;
    1453             :         /* v = 0 is impossible */
    1454       69167 :         u = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(v,1)));
    1455             :       } else {
    1456      525658 :         u = sqrtr( gmul2n(gadd(r,a), -1) );
    1457      525658 :         u = gerepileuptoleaf(av, u); av = avma;
    1458      525658 :         if (!signe(u)) /* possible if a = 0.0, e.g. sqrt(0.e-10+1e-10*I) */
    1459           7 :           v = u;
    1460             :         else
    1461      525651 :           v = gerepileuptoleaf(av, gdiv(b, shiftr(u,1)));
    1462             :       }
    1463      594948 :       gel(y,1) = u;
    1464      594948 :       gel(y,2) = v; return y;
    1465             :     }
    1466             : 
    1467             :     case t_PADIC:
    1468          63 :       y = Qp_sqrt(x);
    1469          63 :       if (!y) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",x);
    1470          42 :       return y;
    1471             : 
    1472          70 :     case t_FFELT: return FF_sqrt(x);
    1473             : 
    1474             :     default:
    1475      192563 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    1476       17353 :       return gerepilecopy(av, sqrt_ser(y, prec));
    1477             :   }
    1478      175210 :   return trans_eval("sqrt",gsqrt,x,prec);
    1479             : }
    1480             : /********************************************************************/
    1481             : /**                                                                **/
    1482             : /**                          N-th ROOT                             **/
    1483             : /**                                                                **/
    1484             : /********************************************************************/
    1485             : static void
    1486           7 : bug_logp(GEN p)
    1487             : {
    1488           7 :   if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("p-adic log",p);
    1489           0 :   pari_err_BUG("log_p");
    1490           0 : }
    1491             : /* Let x = 1 mod p and y := (x-1)/(x+1) = 0 (p). Then
    1492             :  * log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 \sum_{k odd} y^k / k.
    1493             :  * palogaux(x) returns the last sum (not multiplied by 2) */
    1494             : static GEN
    1495      175472 : palogaux(GEN x)
    1496             : {
    1497             :   long i, k, e, pp, t;
    1498      175472 :   GEN y,s,y2, p = gel(x,2);
    1499      175472 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    1500             : 
    1501      175472 :   y = subiu(gel(x,4), 1);
    1502      175472 :   if (!signe(y))
    1503             :   {
    1504         910 :     long v = valp(x)+precp(x);
    1505         910 :     if (is2) v--;
    1506         910 :     return zeropadic(p, v);
    1507             :   }
    1508             :   /* optimize t: log(x) = log(x^(p^t)) / p^t */
    1509      174562 :   e = Z_pval(y, p); /* valp(y) = e >= 1; precp(y) = precp(x)-e */
    1510      174562 :   if (!e) bug_logp(p);
    1511      174555 :   if (is2)
    1512        5432 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / e ); /* instead of (2*e) */
    1513             :   else
    1514      169123 :     t = sqrt( (double)(precp(x)-e) / (e * (expi(p) + hammingweight(p))) );
    1515      174555 :   for (i = 0; i < t; i++) x = gpow(x, p, 0);
    1516             : 
    1517      174555 :   y = gdiv(gaddgs(x,-1), gaddgs(x,1));
    1518      174555 :   e = valp(y); /* > 0 */
    1519      174555 :   if (e <= 0) bug_logp(p);
    1520      174555 :   pp = precp(y) + e;
    1521      174555 :   if (is2) pp--;
    1522             :   else
    1523             :   {
    1524             :     GEN p1;
    1525      169123 :     for (p1=utoipos(e); abscmpui(pp,p1) > 0; pp++) p1 = mulii(p1, p);
    1526      169123 :     pp -= 2;
    1527             :   }
    1528      174555 :   k = pp/e; if (!odd(k)) k--;
    1529      174555 :   if (DEBUGLEVEL>5)
    1530           0 :     err_printf("logp: [pp,k,e,t] = [%ld,%ld,%ld,%ld]\n",pp,k,e,t);
    1531      174555 :   if (k > 1)
    1532             :   {
    1533      172687 :     y2 = gsqr(y); s = gdivgs(gen_1,k);
    1534     1642138 :     while (k > 2)
    1535             :     {
    1536     1296764 :       k -= 2;
    1537     1296764 :       s = gadd(gmul(y2,s), gdivgs(gen_1,k));
    1538             :     }
    1539      172687 :     y = gmul(s,y);
    1540             :   }
    1541      174555 :   if (t) setvalp(y, valp(y) - t);
    1542      174555 :   return y;
    1543             : }
    1544             : 
    1545             : GEN
    1546      175479 : Qp_log(GEN x)
    1547             : {
    1548      175479 :   pari_sp av = avma;
    1549      175479 :   GEN y, p = gel(x,2), a = gel(x,4);
    1550             : 
    1551      175479 :   if (!signe(a)) pari_err_DOMAIN("Qp_log", "argument", "=", gen_0, x);
    1552      175472 :   y = leafcopy(x); setvalp(y,0);
    1553      175472 :   if (absequaliu(p,2))
    1554        5817 :     y = palogaux(gsqr(y));
    1555      169655 :   else if (gequal1(modii(a, p)))
    1556       52221 :     y = gmul2n(palogaux(y), 1);
    1557             :   else
    1558             :   { /* compute log(x^(p-1)) / (p-1) */
    1559      117434 :     GEN mod = gel(y,3), p1 = subiu(p,1);
    1560      117434 :     gel(y,4) = Fp_pow(a, p1, mod);
    1561      117434 :     p1 = diviiexact(subsi(1,mod), p1); /* 1/(p-1) */
    1562      117434 :     y = gmul(palogaux(y), shifti(p1,1));
    1563             :   }
    1564      175465 :   return gerepileupto(av,y);
    1565             : }
    1566             : 
    1567             : static GEN Qp_exp_safe(GEN x);
    1568             : 
    1569             : /*compute the p^e th root of x p-adic, assume x != 0 */
    1570             : static GEN
    1571         854 : Qp_sqrtn_ram(GEN x, long e)
    1572             : {
    1573         854 :   pari_sp ltop=avma;
    1574         854 :   GEN a, p = gel(x,2), n = powiu(p,e);
    1575         854 :   long v = valp(x), va;
    1576         854 :   if (v)
    1577             :   {
    1578             :     long z;
    1579         161 :     v = sdivsi_rem(v, n, &z);
    1580         161 :     if (z) return NULL;
    1581          91 :     x = leafcopy(x);
    1582          91 :     setvalp(x,0);
    1583             :   }
    1584             :   /*If p = 2, -1 is a root of 1 in U1: need extra check*/
    1585         784 :   if (absequaliu(p, 2) && mod8(gel(x,4)) != 1) return NULL;
    1586         749 :   a = Qp_log(x);
    1587         749 :   va = valp(a) - e;
    1588         749 :   if (va <= 0)
    1589             :   {
    1590         287 :     if (signe(gel(a,4))) return NULL;
    1591             :     /* all accuracy lost */
    1592         119 :     a = cvtop(remii(gel(x,4),p), p, 1);
    1593             :   }
    1594             :   else
    1595             :   {
    1596         462 :     setvalp(a, va); /* divide by p^e */
    1597         462 :     a = Qp_exp_safe(a);
    1598         462 :     if (!a) return NULL;
    1599             :     /* n=p^e and a^n=z*x where z is a (p-1)th-root of 1.
    1600             :      * Since z^n=z, we have (a/z)^n = x. */
    1601         462 :     a = gdiv(x, powgi(a,subiu(n,1))); /* = a/z = x/a^(n-1)*/
    1602         462 :     if (v) setvalp(a,v);
    1603             :   }
    1604         581 :   return gerepileupto(ltop,a);
    1605             : }
    1606             : 
    1607             : /*compute the nth root of x p-adic p prime with n*/
    1608             : static GEN
    1609         616 : Qp_sqrtn_unram(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1610             : {
    1611             :   pari_sp av;
    1612         616 :   GEN Z, a, r, p = gel(x,2);
    1613         616 :   long v = valp(x);
    1614         616 :   if (v)
    1615             :   {
    1616             :     long z;
    1617          84 :     v = sdivsi_rem(v,n,&z);
    1618          84 :     if (z) return NULL;
    1619             :   }
    1620         609 :   r = cgetp(x); setvalp(r,v);
    1621         609 :   Z = NULL; /* -Wall */
    1622         609 :   if (zetan) Z = cgetp(x);
    1623         609 :   av = avma; a = Fp_sqrtn(gel(x,4), n, p, zetan);
    1624         609 :   if (!a) return NULL;
    1625         595 :   affii(Zp_sqrtnlift(gel(x,4), n, a, p, precp(x)), gel(r,4));
    1626         595 :   if (zetan)
    1627             :   {
    1628          14 :     affii(Zp_sqrtnlift(gen_1, n, *zetan, p, precp(x)), gel(Z,4));
    1629          14 :     *zetan = Z;
    1630             :   }
    1631         595 :   return gc_const(av,r);
    1632             : }
    1633             : 
    1634             : GEN
    1635        1183 : Qp_sqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan)
    1636             : {
    1637             :   pari_sp av, tetpil;
    1638             :   GEN q, p;
    1639             :   long e;
    1640        1183 :   if (absequaliu(n, 2))
    1641             :   {
    1642          70 :     if (zetan) *zetan = gen_m1;
    1643          70 :     if (signe(n) < 0) x = ginv(x);
    1644          63 :     return Qp_sqrt(x);
    1645             :   }
    1646        1113 :   av = avma; p = gel(x,2);
    1647        1113 :   if (!signe(gel(x,4)))
    1648             :   {
    1649         203 :     if (signe(n) < 0) pari_err_INV("Qp_sqrtn", x);
    1650         203 :     q = divii(addis(n, valp(x)-1), n);
    1651         203 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1652         203 :     set_avma(av); return zeropadic(p, itos(q));
    1653             :   }
    1654             :   /* treat the ramified part using logarithms */
    1655         910 :   e = Z_pvalrem(n, p, &q);
    1656         910 :   if (e) { x = Qp_sqrtn_ram(x,e); if (!x) return NULL; }
    1657         637 :   if (is_pm1(q))
    1658             :   { /* finished */
    1659          21 :     if (signe(q) < 0) x = ginv(x);
    1660          21 :     x = gerepileupto(av, x);
    1661          21 :     if (zetan)
    1662          28 :       *zetan = (e && absequaliu(p, 2))? gen_m1 /*-1 in Q_2*/
    1663          21 :                                    : gen_1;
    1664          21 :     return x;
    1665             :   }
    1666         616 :   tetpil = avma;
    1667             :   /* use hensel lift for unramified case */
    1668         616 :   x = Qp_sqrtn_unram(x, q, zetan);
    1669         616 :   if (!x) return NULL;
    1670         595 :   if (zetan)
    1671             :   {
    1672             :     GEN *gptr[2];
    1673          14 :     if (e && absequaliu(p, 2))/*-1 in Q_2*/
    1674             :     {
    1675           7 :       tetpil = avma; x = gcopy(x); *zetan = gneg(*zetan);
    1676             :     }
    1677          14 :     gptr[0] = &x; gptr[1] = zetan;
    1678          14 :     gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    1679          14 :     return x;
    1680             :   }
    1681         581 :   return gerepile(av,tetpil,x);
    1682             : }
    1683             : 
    1684             : GEN
    1685       23950 : sqrtnint(GEN a, long n)
    1686             : {
    1687       23950 :   pari_sp ltop = avma;
    1688             :   GEN x, b, q;
    1689             :   long s, k, e;
    1690       23950 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1691       23950 :   if (typ(a) != t_INT) pari_err_TYPE("sqrtnint",a);
    1692       23950 :   if (n <= 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "<=", gen_0, stoi(n));
    1693       23943 :   if (n == 1) return icopy(a);
    1694       23943 :   s = signe(a);
    1695       23943 :   if (s < 0) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "x", "<", gen_0, a);
    1696       23936 :   if (!s) return gen_0;
    1697       23936 :   if (lgefint(a) == 3) return utoi(usqrtn(itou(a), n));
    1698       23527 :   e = expi(a); k = e/(2*n);
    1699       23527 :   if (k == 0)
    1700             :   {
    1701             :     long flag;
    1702         291 :     if (n > e) return gc_const(ltop, gen_1);
    1703         291 :     flag = cmpii(a, powuu(3, n)); set_avma(ltop);
    1704         291 :     return (flag < 0) ? gen_2: stoi(3);
    1705             :   }
    1706       23236 :   if (e < n*BITS_IN_LONG - 1)
    1707             :   {
    1708             :     ulong xs, qs;
    1709        7098 :     b = itor(a, (2*e < n*BITS_IN_LONG)? DEFAULTPREC: MEDDEFAULTPREC);
    1710        7098 :     x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1711        7098 :     xs = itou(floorr(x)) + 1; /* >= a^(1/n) */
    1712             :     for(;;) {
    1713       21258 :       q = divii(a, powuu(xs, nm1));
    1714       14178 :       if (lgefint(q) > 3) break;
    1715       14171 :       qs = itou(q); if (qs >= xs) break;
    1716        7080 :       xs -= (xs - qs + nm1)/n;
    1717             :     }
    1718        7098 :     return utoi(xs);
    1719             :   }
    1720       16138 :   b = addui(1, shifti(a, -n*k));
    1721       16138 :   x = shifti(addui(1, sqrtnint(b, n)), k);
    1722       16138 :   q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1723       50264 :   while (cmpii(q, x) < 0) /* a priori one iteration, no GC necessary */
    1724             :   {
    1725       17988 :     x = subii(x, divis(addui(nm1, subii(x, q)), n));
    1726       17988 :     q = divii(a, powiu(x, nm1));
    1727             :   }
    1728       16138 :   return gerepileuptoleaf(ltop, x);
    1729             : }
    1730             : 
    1731             : ulong
    1732         409 : usqrtn(ulong a, ulong n)
    1733             : {
    1734             :   ulong x, s, q;
    1735         409 :   const ulong nm1 = n - 1;
    1736         409 :   if (!n) pari_err_DOMAIN("sqrtnint", "n", "=", gen_0, utoi(n));
    1737         409 :   if (n == 1 || a == 0) return a;
    1738         409 :   s = 1 + expu(a)/n; x = 1UL << s;
    1739         409 :   q = (nm1*s >= BITS_IN_LONG)? 0: a >> (nm1*s);
    1740        1622 :   while (q < x) {
    1741             :     ulong X;
    1742         804 :     x -= (x - q + nm1)/n;
    1743         804 :     X = upowuu(x, nm1);
    1744         804 :     q = X? a/X: 0;
    1745             :   }
    1746         409 :   return x;
    1747             : }
    1748             : 
    1749             : static ulong
    1750      346846 : cubic_prec_mask(long n)
    1751             : {
    1752      346846 :   long a = n, i;
    1753      346846 :   ulong mask = 0;
    1754     1982469 :   for(i = 1;; i++, mask *= 3)
    1755     1635623 :   {
    1756     1982469 :     long c = a%3;
    1757     1982469 :     if (c) mask += 3 - c;
    1758     1982469 :     a = (a+2)/3;
    1759     2329315 :     if (a==1) return mask + upowuu(3, i);
    1760             :   }
    1761             : }
    1762             : 
    1763             : /* cubic Newton iteration, |a|^(1/n), assuming a != 0 */
    1764             : GEN
    1765      475670 : sqrtnr_abs(GEN a, long n)
    1766             : {
    1767             :   pari_sp av;
    1768             :   GEN x, b;
    1769             :   long eextra, eold, n1, n2, prec, B, v;
    1770             :   ulong mask;
    1771             : 
    1772      475670 :   if (n == 1) return mpabs(a);
    1773      474975 :   if (n == 2) return sqrtr_abs(a);
    1774             : 
    1775      448688 :   prec = realprec(a);
    1776      448688 :   B = prec2nbits(prec);
    1777      448688 :   eextra = expu(n)-1;
    1778      448688 :   n1 = n+1;
    1779      448688 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1780      448688 :   v = expo(a) / n;
    1781      448688 :   if (v) a = shiftr(a, -n*v);
    1782             : 
    1783      448688 :   b = rtor(a, DEFAULTPREC);
    1784      448688 :   x = mpexp(divru(logr_abs(b), n));
    1785      448688 :   if (prec == DEFAULTPREC)
    1786             :   {
    1787      124534 :     if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1788      124534 :     return gerepileuptoleaf(av, x);
    1789             :   }
    1790      324154 :   mask = cubic_prec_mask(B + 63);
    1791      324154 :   eold = 1;
    1792             :   for(;;)
    1793     1280525 :   { /* reach 64 */
    1794     1604679 :     long enew = eold * 3;
    1795     1604679 :     enew -= mask % 3;
    1796     1604679 :     if (enew > 64) break; /* back up one step */
    1797     1280525 :     mask /= 3;
    1798     1280525 :     eold = enew;
    1799             :   }
    1800             :   for(;;)
    1801      251903 :   {
    1802      576057 :     long pr, enew = eold * 3;
    1803             :     GEN y, z;
    1804      576057 :     enew -= mask % 3;
    1805      576057 :     mask /= 3;
    1806      576057 :     pr = nbits2prec(enew + eextra);
    1807      576057 :     b = rtor(a, pr); setsigne(b,1);
    1808      576057 :     x = rtor(x, pr);
    1809      576057 :     y = subrr(powru(x, n), b);
    1810      576057 :     z = divrr(y, addrr(mulur(n1, y), mulur(n2, b)));
    1811      576057 :     shiftr_inplace(z,1);
    1812      576057 :     x = mulrr(x, subsr(1,z));
    1813      576057 :     if (mask == 1)
    1814             :     {
    1815      324154 :       if (v) shiftr_inplace(x, v);
    1816      324154 :       return gerepileuptoleaf(av, gprec_wtrunc(x,prec));
    1817             :     }
    1818      251903 :     eold = enew;
    1819             :   }
    1820             : }
    1821             : 
    1822             : static void
    1823       37468 : shiftc_inplace(GEN z, long d)
    1824             : {
    1825       37468 :   shiftr_inplace(gel(z,1), d);
    1826       37468 :   shiftr_inplace(gel(z,2), d);
    1827       37468 : }
    1828             : 
    1829             : /* exp(2*Pi*I/n), same iteration as sqrtnr_abs, different initial point */
    1830             : static GEN
    1831      122652 : sqrtnof1(ulong n, long prec)
    1832             : {
    1833             :   pari_sp av;
    1834             :   GEN x;
    1835             :   long eold, n1, n2, B;
    1836             :   ulong mask;
    1837             : 
    1838      122652 :   B = prec2nbits(prec);
    1839      122652 :   n1 = n+1;
    1840      122652 :   n2 = 2*n; av = avma;
    1841             : 
    1842      122652 :   x = expIr(divru(Pi2n(1, LOWDEFAULTPREC), n));
    1843      122652 :   if (prec == LOWDEFAULTPREC) return gerepileupto(av, x);
    1844       22692 :   mask = cubic_prec_mask(B + BITS_IN_LONG-1);
    1845       22692 :   eold = 1;
    1846             :   for(;;)
    1847       88419 :   { /* reach BITS_IN_LONG */
    1848      111111 :     long enew = eold * 3;
    1849      111111 :     enew -= mask % 3;
    1850      111111 :     if (enew > BITS_IN_LONG) break; /* back up one step */
    1851       88419 :     mask /= 3;
    1852       88419 :     eold = enew;
    1853             :   }
    1854             :   for(;;)
    1855       14776 :   {
    1856       37468 :     long pr, enew = eold * 3;
    1857             :     GEN y, z;
    1858       37468 :     enew -= mask % 3;
    1859       37468 :     mask /= 3;
    1860       37468 :     pr = nbits2prec(enew);
    1861       37468 :     x = cxtofp(x, pr);
    1862       37468 :     y = gsub(gpowgs(x, n), gen_1);
    1863       37468 :     z = gdiv(y, gaddgs(gmulsg(n1, y), n2));
    1864       37468 :     shiftc_inplace(z,1);
    1865       37468 :     x = gmul(x, gsubsg(1, z));
    1866       37468 :     if (mask == 1) return gerepilecopy(av, gprec_w(x,prec));
    1867       14776 :     eold = enew;
    1868             :   }
    1869             : }
    1870             : 
    1871             : /* exp(2iPi/d) */
    1872             : GEN
    1873      277205 : rootsof1u_cx(ulong n, long prec)
    1874             : {
    1875      277205 :   switch(n)
    1876             :   {
    1877       13027 :     case 1: return gen_1;
    1878        2646 :     case 2: return gen_m1;
    1879       47584 :     case 4: return gen_I();
    1880             :     case 3: case 6: case 12:
    1881             :     {
    1882        6656 :       pari_sp av = avma;
    1883        6656 :       GEN a = (n == 3)? mkfrac(gen_m1,gen_2): ghalf;
    1884        6656 :       GEN sq3 = sqrtr_abs(utor(3, prec));
    1885        6656 :       shiftr_inplace(sq3, -1);
    1886        6656 :       a = (n == 12)? mkcomplex(sq3, a): mkcomplex(a, sq3);
    1887        6656 :       return gerepilecopy(av, a);
    1888             :     }
    1889             :     case 8:
    1890             :     {
    1891       84640 :       pari_sp av = avma;
    1892       84640 :       GEN sq2 = sqrtr_abs(utor(2, prec));
    1893       84640 :       shiftr_inplace(sq2,-1);
    1894       84640 :       return gerepilecopy(av, mkcomplex(sq2, sq2));
    1895             :     }
    1896             :   }
    1897      122652 :   return sqrtnof1(n, prec);
    1898             : }
    1899             : /* e(a/b) */
    1900             : GEN
    1901       13748 : rootsof1q_cx(long a, long b, long prec)
    1902             : {
    1903       13748 :   long g = cgcd(a,b);
    1904             :   GEN z;
    1905       13748 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1906       13748 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1907       13748 :   z = rootsof1u_cx(b, prec);
    1908       13748 :   if (a < 0) { z = conj_i(z); a = -a; }
    1909       13748 :   return gpowgs(z, a);
    1910             : }
    1911             : 
    1912             : /* initializes powers of e(a/b) */
    1913             : GEN
    1914       14378 : rootsof1powinit(long a, long b, long prec)
    1915             : {
    1916       14378 :   long g = cgcd(a,b);
    1917       14378 :   if (g != 1) { a /= g; b /= g; }
    1918       14378 :   if (b < 0) { b = -b; a = -a; }
    1919       14378 :   a %= b; if (a < 0) a += b;
    1920       14378 :   return mkvec2(grootsof1(b,prec), mkvecsmall2(a,b));
    1921             : }
    1922             : /* T = rootsof1powinit(a,b); return  e(a/b)^c */
    1923             : GEN
    1924    12511506 : rootsof1pow(GEN T, long c)
    1925             : {
    1926    12511506 :   GEN vz = gel(T,1), ab = gel(T,2);
    1927    12511506 :   long a = ab[1], b = ab[2]; /* a >= 0, b > 0 */
    1928    12511506 :   c %= b; if (c < 0) c += b;
    1929    12511506 :   a = Fl_mul(a, c, b);
    1930    12511506 :   return gel(vz, a + 1);
    1931             : }
    1932             : 
    1933             : /* exp(2iPi/d), assume d a t_INT */
    1934             : GEN
    1935        4158 : rootsof1_cx(GEN d, long prec)
    1936             : {
    1937        4158 :   if (lgefint(d) == 3) return rootsof1u_cx((ulong)d[2], prec);
    1938           0 :   return expIr(divri(Pi2n(1,prec), d));
    1939             : }
    1940             : 
    1941             : GEN
    1942        4011 : gsqrtn(GEN x, GEN n, GEN *zetan, long prec)
    1943             : {
    1944             :   long i, lx, tx;
    1945             :   pari_sp av;
    1946             :   GEN y, z;
    1947        4011 :   if (typ(n)!=t_INT) pari_err_TYPE("sqrtn",n);
    1948        4011 :   if (!signe(n)) pari_err_DOMAIN("sqrtn", "n", "=", gen_0, n);
    1949        4011 :   if (is_pm1(n))
    1950             :   {
    1951          70 :     if (zetan) *zetan = gen_1;
    1952          70 :     return (signe(n) > 0)? gcopy(x): ginv(x);
    1953             :   }
    1954        3941 :   if (zetan) *zetan = gen_0;
    1955        3941 :   tx = typ(x);
    1956        3941 :   if (is_matvec_t(tx))
    1957             :   {
    1958           7 :     y = cgetg_copy(x, &lx);
    1959           7 :     for (i=1; i<lx; i++) gel(y,i) = gsqrtn(gel(x,i),n,NULL,prec);
    1960           7 :     return y;
    1961             :   }
    1962        3934 :   av = avma;
    1963        3934 :   switch(tx)
    1964             :   {
    1965             :   case t_INTMOD:
    1966             :     {
    1967         175 :       GEN p = gel(x,1), s;
    1968         175 :       z = gen_0;
    1969         175 :       y = cgetg(3,t_INTMOD);  gel(y,1) = icopy(p);
    1970         175 :       if (zetan) { z = cgetg(3,t_INTMOD); gel(z,1) = gel(y,1); }
    1971         175 :       s = Fp_sqrtn(gel(x,2),n,p,zetan);
    1972         154 :       if (!s) {
    1973          28 :         if (zetan) return gc_const(av,gen_0);
    1974          21 :         if (!BPSW_psp(p)) pari_err_PRIME("sqrtn [modulus]",p);
    1975          14 :         pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1976             :       }
    1977         126 :       gel(y,2) = s;
    1978         126 :       if (zetan) { gel(z,2) = *zetan; *zetan = z; }
    1979         126 :       return y;
    1980             :     }
    1981             : 
    1982             :   case t_PADIC:
    1983          56 :     y = Qp_sqrtn(x,n,zetan);
    1984          49 :     if (!y) {
    1985           7 :       if (zetan) return gen_0;
    1986           7 :       pari_err_SQRTN("gsqrtn",x);
    1987             :     }
    1988          42 :     return y;
    1989             : 
    1990         196 :   case t_FFELT: return FF_sqrtn(x,n,zetan);
    1991             : 
    1992             :   case t_INT: case t_FRAC: case t_REAL: case t_COMPLEX:
    1993        3143 :     i = precision(x); if (i) prec = i;
    1994        3143 :     if (isint1(x))
    1995           7 :       y = real_1(prec);
    1996        3136 :     else if (gequal0(x))
    1997             :     {
    1998             :       long b;
    1999          21 :       if (signe(n) < 0) pari_err_INV("gsqrtn",x);
    2000          21 :       if (isinexactreal(x))
    2001          14 :         b = sdivsi(gexpo(x), n);
    2002             :       else
    2003           7 :         b = -prec2nbits(prec);
    2004          21 :       if (typ(x) == t_COMPLEX)
    2005             :       {
    2006           7 :         y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2007           7 :         gel(y,1) = gel(y,2) = real_0_bit(b);
    2008             :       }
    2009             :       else
    2010          14 :         y = real_0_bit(b);
    2011             :     }
    2012             :     else
    2013             :     {
    2014        3115 :       long nn = itos_or_0(n);
    2015        3115 :       if (tx == t_INT) { x = itor(x,prec); tx = t_REAL; }
    2016        3115 :       if (nn > 0 && tx == t_REAL && signe(x) > 0)
    2017        1166 :         y = sqrtnr(x, nn);
    2018             :       else
    2019        1949 :         y = gexp(gdiv(glog(x,prec), n), prec);
    2020        3115 :       y = gerepileupto(av, y);
    2021             :     }
    2022        3143 :     if (zetan) *zetan = rootsof1_cx(n, prec);
    2023        3143 :     return y;
    2024             : 
    2025             :   case t_QUAD:
    2026           7 :     return gsqrtn(quadtofp(x, prec), n, zetan, prec);
    2027             : 
    2028             :   default:
    2029         357 :     av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2030         357 :     return gerepileupto(av, ser_powfrac(y, ginv(n), prec));
    2031             :   }
    2032           0 :   pari_err_TYPE("sqrtn",x);
    2033             :   return NULL;/* LCOV_EXCL_LINE */
    2034             : }
    2035             : 
    2036             : /********************************************************************/
    2037             : /**                                                                **/
    2038             : /**                             EXP(X) - 1                         **/
    2039             : /**                                                                **/
    2040             : /********************************************************************/
    2041             : /* exp(|x|) - 1, assume x != 0.
    2042             :  * For efficiency, x should be reduced mod log(2): if so, we have a < 0 */
    2043             : GEN
    2044     8977954 : exp1r_abs(GEN x)
    2045             : {
    2046     8977954 :   long l = realprec(x), a = expo(x), b = prec2nbits(l), L, i, n, m, B;
    2047             :   GEN y, p2, X;
    2048             :   pari_sp av;
    2049             :   double d;
    2050             : 
    2051     8977797 :   if (b + a <= 0) return mpabs(x);
    2052             : 
    2053     8962092 :   y = cgetr(l); av = avma;
    2054     8961933 :   B = b/3 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG)/ b;
    2055     8961933 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 */
    2056     8961933 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    2057     8961933 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    2058             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2059             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    2060             :   * sum x^k/k!: this costs roughly
    2061             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} (k e + BITS_IN_LONG)^2
    2062             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    2063             :   * accuracy needed, so
    2064             :   *    B := (b / 3 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / b) ~ m(m-a)
    2065             :   * we want b ~ 3 m (m-a) or m~b+a hence
    2066             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b + a )
    2067             :   * NB: e ~ (b/3)^(1/2) as b -> oo
    2068             :   *
    2069             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    2070             :   *   sum_{k >= n+1} Y^k / k! < Y^(n+1) / (n+1)! (1-Y) < Y^(n+1) / n!
    2071             :   * We want Y^(n+1) / n! <= Y 2^-b, hence -n log_2 |Y| + log_2 n! >= b
    2072             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    2073             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    2074             :   * n (-1/log(2) -log_2 |Y| + log_2(n+1)) >= b  */
    2075     8962523 :   b += m;
    2076     8962523 :   d = m-dbllog2(x)-1/M_LN2; /* ~ -log_2 Y - 1/log(2) */
    2077     8962799 :   n = (long)(b / d);
    2078     8962799 :   if (n > 1)
    2079     8946397 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    2080     8962799 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    2081             : 
    2082     8962799 :   X = rtor(x,L); shiftr_inplace(X, -m); setsigne(X, 1);
    2083     8969344 :   if (n == 1) p2 = X;
    2084             :   else
    2085             :   {
    2086     8962493 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    2087     8962432 :     GEN unr = real_1(L);
    2088             :     pari_sp av2;
    2089             : 
    2090     8962310 :     p2 = cgetr(L); av2 = avma;
    2091   126552923 :     for (i=n; i>=2; i--, set_avma(av2))
    2092             :     { /* compute X^(n-1)/n! + ... + X/2 + 1 */
    2093             :       GEN p1, p3;
    2094   117652774 :       setprec(X,l1); p3 = divru(X,i);
    2095   117757274 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p3), &s); if (l1>L) l1=L;
    2096   117784970 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, i == n? p3: mulrr(p3,p2),1);
    2097   117457395 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); /* p2 <- 1 + (X/i)*p2 */
    2098             :     }
    2099     8961604 :     setprec(X,L); p2 = mulrr(X,p2);
    2100             :   }
    2101             : 
    2102    98462277 :   for (i=1; i<=m; i++)
    2103             :   {
    2104    89498610 :     if (realprec(p2) > L) setprec(p2,L);
    2105    89498610 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    2106             :   }
    2107     8963667 :   affrr_fixlg(p2,y); return gc_const(av,y);
    2108             : }
    2109             : 
    2110             : GEN
    2111       10160 : mpexpm1(GEN x)
    2112             : {
    2113       10160 :   const long s = 6;
    2114       10160 :   long l, sx = signe(x);
    2115             :   GEN y, z;
    2116             :   pari_sp av;
    2117       10160 :   if (!sx) return real_0_bit(expo(x));
    2118       10153 :   l = realprec(x);
    2119       10153 :   if (l > maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2120             :   {
    2121           6 :     long e = expo(x);
    2122           6 :     if (e < 0) x = rtor(x, l + nbits2extraprec(-e));
    2123           6 :     return subrs(mpexp(x), 1);
    2124             :   }
    2125       10147 :   if (sx > 0) return exp1r_abs(x);
    2126             :   /* compute exp(x) * (1 - exp(-x)) */
    2127        4604 :   av = avma; y = exp1r_abs(x);
    2128        4604 :   z = addsr(1, y); setsigne(z, -1);
    2129        4604 :   return gerepileupto(av, divrr(y, z));
    2130             : }
    2131             : 
    2132             : static GEN serexp(GEN x, long prec);
    2133             : GEN
    2134       12463 : gexpm1(GEN x, long prec)
    2135             : {
    2136       12463 :   switch(typ(x))
    2137             :   {
    2138        4508 :     case t_REAL: return mpexpm1(x);
    2139        5750 :     case t_COMPLEX: return cxexpm1(x,prec);
    2140          14 :     case t_PADIC: return gsubgs(Qp_exp(x), 1);
    2141             :     default:
    2142             :     {
    2143        2191 :       pari_sp av = avma;
    2144             :       long ey;
    2145             :       GEN y;
    2146        2191 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2147        2170 :       ey = valp(y);
    2148        2170 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("expm1","valuation", "<", gen_0, x);
    2149        2170 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2150        2163 :       if (ey)
    2151         567 :         return gerepileupto(av, gsubgs(serexp(y,prec), 1));
    2152             :       else
    2153             :       {
    2154        1596 :         GEN e1 = gexpm1(gel(y,2), prec), e = gaddgs(e1,1);
    2155        1596 :         y = gmul(e, serexp(serchop0(y),prec));
    2156        1596 :         gel(y,2) = e1;
    2157        1596 :         return gerepilecopy(av, y);
    2158             :       }
    2159             :     }
    2160             :   }
    2161          21 :   return trans_eval("expm1",gexpm1,x,prec);
    2162             : }
    2163             : /********************************************************************/
    2164             : /**                                                                **/
    2165             : /**                             EXP(X)                             **/
    2166             : /**                                                                **/
    2167             : /********************************************************************/
    2168             : 
    2169             : /* centermod(x, log(2)), set *sh to the quotient */
    2170             : static GEN
    2171     8915981 : modlog2(GEN x, long *sh)
    2172             : {
    2173     8915981 :   double d = rtodbl(x), da = fabs(d);
    2174     8916154 :   long q = (long) ((da + (M_LN2/2))/M_LN2);
    2175     8916154 :   if (da > M_LN2 * LONG_MAX)
    2176          14 :     pari_err_OVERFLOW("expo()"); /* avoid overflow in  q */
    2177     8916283 :   if (d < 0) q = -q;
    2178     8916283 :   *sh = q;
    2179     8916283 :   if (q) {
    2180     8370196 :     long l = realprec(x) + 1;
    2181     8370196 :     x = subrr(rtor(x,l), mulsr(q, mplog2(l)));
    2182     8369695 :     if (!signe(x)) return NULL;
    2183             :   }
    2184     8915782 :   return x;
    2185             : }
    2186             : 
    2187             : static GEN
    2188     8915932 : mpexp_basecase(GEN x)
    2189             : {
    2190     8915932 :   pari_sp av = avma;
    2191     8915932 :   long sh, l = realprec(x);
    2192             :   GEN y, z;
    2193             : 
    2194     8915932 :   y = modlog2(x, &sh);
    2195     8915695 :   if (!y) { set_avma(av); return real2n(sh, l); }
    2196     8915695 :   z = addsr(1, exp1r_abs(y));
    2197     8915276 :   if (signe(y) < 0) z = invr(z);
    2198     8916313 :   if (sh) {
    2199     8370208 :     shiftr_inplace(z, sh);
    2200     8370119 :     if (realprec(z) > l) z = rtor(z, l); /* spurious precision increase */
    2201             :   }
    2202             : #ifdef DEBUG
    2203             : {
    2204             :   GEN t = mplog(z), u = divrr(subrr(x, t),x);
    2205             :   if (signe(u) && expo(u) > 5-prec2nbits(minss(l,realprec(t))))
    2206             :     pari_err_BUG("exp");
    2207             : }
    2208             : #endif
    2209     8916550 :   return gerepileuptoleaf(av, z); /* NOT affrr, precision often increases */
    2210             : }
    2211             : 
    2212             : GEN
    2213     8948647 : mpexp(GEN x)
    2214             : {
    2215     8948647 :   const long s = 6; /*Initial steps using basecase*/
    2216     8948647 :   long i, p, l = realprec(x), sh;
    2217             :   GEN a, t, z;
    2218             :   ulong mask;
    2219             : 
    2220     8948647 :   if (l <= maxss(EXPNEWTON_LIMIT, (1L<<s) + 2))
    2221             :   {
    2222     8948592 :     if (!signe(x)) return mpexp0(x);
    2223     8915952 :     return mpexp_basecase(x);
    2224             :   }
    2225          13 :   z = cgetr(l); /* room for result */
    2226          13 :   x = modlog2(x, &sh);
    2227          13 :   if (!x) { set_avma((pari_sp)(z+lg(z))); return real2n(sh, l); }
    2228          13 :   constpi(l); /* precompute for later logr_abs() */
    2229          13 :   mask = quadratic_prec_mask(prec2nbits(l)+BITS_IN_LONG);
    2230          13 :   for(i=0, p=1; i<s+TWOPOTBITS_IN_LONG; i++) { p <<= 1; if (mask & 1) p-=1; mask >>= 1; }
    2231          13 :   a = mpexp_basecase(rtor(x, nbits2prec(p)));
    2232          13 :   x = addrs(x,1);
    2233          13 :   if (realprec(x) < l+EXTRAPRECWORD) x = rtor(x, l+EXTRAPRECWORD);
    2234          13 :   a = rtor(a, l+EXTRAPRECWORD); /*append 0s */
    2235          13 :   t = NULL;
    2236             :   for(;;)
    2237             :   {
    2238          15 :     p <<= 1; if (mask & 1) p--;
    2239          14 :     mask >>= 1;
    2240          14 :     setprec(x, nbits2prec(p));
    2241          14 :     setprec(a, nbits2prec(p));
    2242          14 :     t = mulrr(a, subrr(x, logr_abs(a))); /* a (x - log(a)) */
    2243          14 :     if (mask == 1) break;
    2244           1 :     affrr(t, a); set_avma((pari_sp)a);
    2245             :   }
    2246          13 :   affrr(t,z);
    2247          13 :   if (sh) shiftr_inplace(z, sh);
    2248          13 :   return gc_const((pari_sp)z, z);
    2249             : }
    2250             : 
    2251             : static long
    2252       20145 : Qp_exp_prec(GEN x)
    2253             : {
    2254       20145 :   long k, e = valp(x), n = e + precp(x);
    2255       20145 :   GEN p = gel(x,2);
    2256       20145 :   int is2 = absequaliu(p,2);
    2257       20146 :   if (e < 1 || (e == 1 && is2)) return -1;
    2258       20118 :   if (is2)
    2259             :   {
    2260        6328 :     n--; e--; k = n/e;
    2261        6328 :     if (n%e == 0) k--;
    2262             :   }
    2263             :   else
    2264             :   { /* e > 0, n > 0 */
    2265       13790 :     GEN r, t = subiu(p, 1);
    2266       13790 :     k = itos(dvmdii(subiu(muliu(t,n), 1), subiu(muliu(t,e), 1), &r));
    2267       13790 :     if (!signe(r)) k--;
    2268             :   }
    2269       20118 :   return k;
    2270             : }
    2271             : 
    2272             : static GEN
    2273       21580 : Qp_exp_safe(GEN x)
    2274             : {
    2275             :   long k;
    2276             :   pari_sp av;
    2277             :   GEN y;
    2278             : 
    2279       21580 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2280       20075 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2281       20077 :   if (k < 0) return NULL;
    2282       20070 :   av = avma;
    2283       20070 :   for (y=gen_1; k; k--) y = gaddsg(1, gdivgs(gmul(y,x), k));
    2284       20070 :   return gerepileupto(av, y);
    2285             : }
    2286             : 
    2287             : GEN
    2288       21118 : Qp_exp(GEN x)
    2289             : {
    2290       21118 :   GEN y = Qp_exp_safe(x);
    2291       21120 :   if (!y) pari_err_DOMAIN("gexp(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    2292       21113 :   return y;
    2293             : }
    2294             : 
    2295             : static GEN
    2296          49 : cos_p(GEN x)
    2297             : {
    2298             :   long k;
    2299             :   pari_sp av;
    2300             :   GEN x2, y;
    2301             : 
    2302          49 :   if (gequal0(x)) return gaddgs(x,1);
    2303          28 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2304          28 :   if (k < 0) return NULL;
    2305          21 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2306          21 :   if (k & 1) k--;
    2307         105 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2308             :   {
    2309          84 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k-1));
    2310          84 :     y = gsubsg(1, t);
    2311             :   }
    2312          21 :   return gerepileupto(av, y);
    2313             : }
    2314             : static GEN
    2315          63 : sin_p(GEN x)
    2316             : {
    2317             :   long k;
    2318             :   pari_sp av;
    2319             :   GEN x2, y;
    2320             : 
    2321          63 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2322          42 :   k = Qp_exp_prec(x);
    2323          42 :   if (k < 0) return NULL;
    2324          28 :   av = avma; x2 = gsqr(x);
    2325          28 :   if (k & 1) k--;
    2326         133 :   for (y=gen_1; k; k-=2)
    2327             :   {
    2328         105 :     GEN t = gdiv(gmul(y,x2), muluu(k, k+1));
    2329         105 :     y = gsubsg(1, t);
    2330             :   }
    2331          28 :   return gerepileupto(av, gmul(y, x));
    2332             : }
    2333             : 
    2334             : static GEN
    2335     1373977 : cxexp(GEN x, long prec)
    2336             : {
    2337     1373977 :   GEN r, p1, p2, y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    2338     1373977 :   pari_sp av = avma, tetpil;
    2339             :   long l;
    2340     1373977 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    2341     1373977 :   if (gequal0(gel(x,1)))
    2342             :   {
    2343      177665 :     gsincos(gel(x,2),&gel(y,2),&gel(y,1),prec);
    2344      177665 :     return y;
    2345             :   }
    2346     1196312 :   r = gexp(gel(x,1),prec);
    2347     1196312 :   gsincos(gel(x,2),&p2,&p1,prec);
    2348     1196312 :   tetpil = avma;
    2349     1196312 :   gel(y,1) = gmul(r,p1);
    2350     1196312 :   gel(y,2) = gmul(r,p2);
    2351     1196312 :   gerepilecoeffssp(av,tetpil,y+1,2);
    2352     1196312 :   return y;
    2353             : }
    2354             : 
    2355             : /* given a t_SER x^v s(x), with s(0) != 0, return x^v(s - s(0)), shallow */
    2356             : GEN
    2357       27853 : serchop0(GEN s)
    2358             : {
    2359       27853 :   long i, l = lg(s);
    2360             :   GEN y;
    2361       27853 :   if (l == 2) return s;
    2362       27853 :   if (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))) return s;
    2363       27853 :   y = cgetg(l, t_SER); y[1] = s[1];
    2364       27853 :   gel(y,2) = gen_0; for (i=3; i <l; i++) gel(y,i) = gel(s,i);
    2365       27853 :   return normalize(y);
    2366             : }
    2367             : 
    2368             : GEN
    2369          42 : serchop_i(GEN s, long n)
    2370             : {
    2371          42 :   long i, m, l = lg(s);
    2372             :   GEN y;
    2373          42 :   if (l == 2 || (l == 3 && isexactzero(gel(s,2))))
    2374             :   {
    2375          14 :     if (valp(s) < n) { s = shallowcopy(s); setvalp(s,n); }
    2376          14 :     return s;
    2377             :   }
    2378          28 :   m = n - valp(s); if (m < 0) return s;
    2379          21 :   if (l-m <= 2) return zeroser(varn(s), n);
    2380          14 :   y = cgetg(l-m, t_SER); y[1] = s[1]; setvalp(y, valp(y)+m);
    2381          14 :   for (i=m+2; i < l; i++) gel(y,i-m) = gel(s,i);
    2382          14 :   return normalize(y);
    2383             : }
    2384             : GEN
    2385          42 : serchop(GEN s, long n)
    2386             : {
    2387          42 :   pari_sp av = avma;
    2388          42 :   if (typ(s) != t_SER) pari_err_TYPE("serchop",s);
    2389          42 :   return gerepilecopy(av, serchop_i(s,n));
    2390             : }
    2391             : 
    2392             : static GEN
    2393       67361 : serexp(GEN x, long prec)
    2394             : {
    2395             :   pari_sp av;
    2396             :   long i,j,lx,ly,ex,mi;
    2397             :   GEN p1,y,xd,yd;
    2398             : 
    2399       67361 :   ex = valp(x);
    2400       67361 :   if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("exp","valuation", "<", gen_0, x);
    2401       67354 :   if (gequal0(x)) return gaddsg(1,x);
    2402       56602 :   lx = lg(x);
    2403       56602 :   if (ex)
    2404             :   {
    2405       43036 :     ly = lx+ex; y = cgetg(ly,t_SER);
    2406       43036 :     mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(x,mi))) mi--;
    2407       43036 :     mi += ex-2;
    2408       43036 :     y[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(x));
    2409             :     /* zd[i] = coefficient of X^i in z */
    2410       43036 :     xd = x+2-ex; yd = y+2; ly -= 2;
    2411       43036 :     gel(yd,0) = gen_1;
    2412       43036 :     for (i=1; i<ex; i++) gel(yd,i) = gen_0;
    2413      428197 :     for (   ; i<ly; i++)
    2414             :     {
    2415      385161 :       av = avma; p1 = gen_0;
    2416     2719087 :       for (j=ex; j<=minss(i,mi); j++)
    2417     2333926 :         p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(xd,j),gel(yd,i-j)),j));
    2418      385161 :       gel(yd,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,i));
    2419             :     }
    2420       43036 :     return y;
    2421             :   }
    2422       13566 :   av = avma;
    2423       13566 :   return gerepileupto(av, gmul(gexp(gel(x,2),prec), serexp(serchop0(x),prec)));
    2424             : }
    2425             : 
    2426             : static GEN
    2427        2737 : expQ(GEN x, long prec)
    2428             : {
    2429        2737 :   GEN p, q, z, z0 = NULL;
    2430             :   pari_sp av;
    2431        2737 :   long n, nmax, s, e, b = prec2nbits(prec);
    2432             :   double ex;
    2433             :   struct abpq_res R;
    2434             :   struct abpq S;
    2435             : 
    2436        2737 :   if (typ(x) == t_INT)
    2437             :   {
    2438        2639 :     if (!signe(x)) return real_1(prec);
    2439        2625 :     p = x; q = gen_1;
    2440        2625 :     e = expi(p);
    2441        2625 :     if (e > b) return mpexp(itor(x, prec));
    2442             :   }
    2443             :   else
    2444             :   {
    2445             :     long ep, eq;
    2446          98 :     p = gel(x,1); ep = expi(p);
    2447          98 :     q = gel(x,2); eq = expi(q);
    2448          98 :     if (ep > b || eq > b) return mpexp(fractor(x, prec));
    2449          98 :     e = ep - eq;
    2450          98 :     if (e < -3) prec += nbits2extraprec(-e); /* see addrr 'extend' rule */
    2451             :   }
    2452        2723 :   if (e > 2) { z0 = cgetr(prec); prec += EXTRAPRECWORD; b += BITS_IN_LONG; }
    2453        2723 :   z = cgetr(prec); av = avma;
    2454        2723 :   if (e > 0)
    2455             :   { /* simplify x/2^e = p / (q * 2^e) */
    2456        2478 :     long v = minss(e, vali(p));
    2457        2478 :     if (v) p = shifti(p, -v);
    2458        2478 :     if (e - v) q = shifti(q, e - v);
    2459             :   }
    2460        2723 :   s = signe(p);
    2461        2723 :   if (s < 0) p = negi(p);
    2462        2723 :   ex = exp2(dbllog2(x) - e) * 2.718281828; /* exp(1) * x / 2^e,  x / 2^e < 2 */
    2463        2723 :   nmax = (long)(1 + exp(dbllambertW0(M_LN2 * b / ex)) * ex);
    2464        2723 :   abpq_init(&S, nmax);
    2465        2723 :   S.a[0] = S.b[0] = S.p[0] = S.q[0] = gen_1;
    2466      392762 :   for (n = 1; n <= nmax; n++)
    2467             :   {
    2468      390039 :     S.a[n] = gen_1;
    2469      390039 :     S.b[n] = gen_1;
    2470      390039 :     S.p[n] = p;
    2471      390039 :     S.q[n] = muliu(q, n);
    2472             :   }
    2473        2723 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &S);
    2474        2723 :   if (s > 0) rdiviiz(R.T, R.Q, z); else rdiviiz(R.Q, R.T, z);
    2475        2723 :   if (e > 0)
    2476             :   {
    2477        2478 :     q = z; while (e--) q = sqrr(q);
    2478        2478 :     if (z0) { affrr(q, z0); z = z0; } else affrr(q,z);
    2479             :   }
    2480        2723 :   return gc_const(av,z);
    2481             : }
    2482             : 
    2483             : GEN
    2484     6948788 : gexp(GEN x, long prec)
    2485             : {
    2486     6948788 :   switch(typ(x))
    2487             :   {
    2488        2737 :     case t_INT: case t_FRAC: return expQ(x, prec);
    2489     5263775 :     case t_REAL: return mpexp(x);
    2490     1373977 :     case t_COMPLEX: return cxexp(x,prec);
    2491          56 :     case t_PADIC: return Qp_exp(x);
    2492             :     default:
    2493             :     {
    2494      308243 :       pari_sp av = avma;
    2495             :       GEN y;
    2496      308243 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    2497       51632 :       return gerepileupto(av, serexp(y,prec));
    2498             :     }
    2499             :   }
    2500      256611 :   return trans_eval("exp",gexp,x,prec);
    2501             : }
    2502             : 
    2503             : /********************************************************************/
    2504             : /**                                                                **/
    2505             : /**                           AGM(X, Y)                            **/
    2506             : /**                                                                **/
    2507             : /********************************************************************/
    2508             : static int
    2509     5242405 : agmr_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2510             : {
    2511     5242405 :   GEN d = subrr(b, a);
    2512     5242398 :   return (signe(d) && expo(d) - expo(b) >= L);
    2513             : }
    2514             : /* assume x > 0 */
    2515             : static GEN
    2516      364655 : agm1r_abs(GEN x)
    2517             : {
    2518      364655 :   long l = realprec(x), L = 5-prec2nbits(l);
    2519      364655 :   GEN a1, b1, y = cgetr(l);
    2520      364655 :   pari_sp av = avma;
    2521             : 
    2522      364655 :   a1 = addrr(real_1(l), x); shiftr_inplace(a1, -1);
    2523      364655 :   b1 = sqrtr_abs(x);
    2524     5607061 :   while (agmr_gap(a1,b1,L))
    2525             :   {
    2526     4877745 :     GEN a = a1;
    2527     4877745 :     a1 = addrr(a,b1); shiftr_inplace(a1, -1);
    2528     4877748 :     b1 = sqrtr_abs(mulrr(a,b1));
    2529             :   }
    2530      364655 :   affrr_fixlg(a1,y); return gc_const(av,y);
    2531             : }
    2532             : 
    2533             : struct agmcx_gap_t { long L, ex, cnt; };
    2534             : 
    2535             : static void
    2536       12406 : agmcx_init(GEN x, long *prec, struct agmcx_gap_t *S)
    2537             : {
    2538       12406 :   long l = precision(x);
    2539       12406 :   if (l) *prec = l;
    2540       12406 :   S->L = 1-prec2nbits(*prec);
    2541       12406 :   S->cnt = 0;
    2542       12406 :   S->ex = LONG_MAX;
    2543       12406 : }
    2544             : 
    2545             : static long
    2546       12406 : agmcx_a_b(GEN x, GEN *a1, GEN *b1, long prec)
    2547             : {
    2548       12406 :   long rotate = 0;
    2549       12406 :   if (gsigne(real_i(x))<0)
    2550             :   { /* Rotate by +/-Pi/2, so that the choice of the principal square
    2551             :      * root gives the optimal AGM. So a1 = +/-I*a1, b1=sqrt(-x). */
    2552        1484 :     if (gsigne(imag_i(x))<0) { *a1=mulcxI(*a1);  rotate=-1; }
    2553         980 :     else                     { *a1=mulcxmI(*a1); rotate=1; }
    2554        1484 :     x = gneg(x);
    2555             :   }
    2556       12406 :   *b1 = gsqrt(x, prec);
    2557       12406 :   return rotate;
    2558             : }
    2559             : /* return 0 if we must stop the AGM loop (a=b or a ~ b), 1 otherwise */
    2560             : static int
    2561      161742 : agmcx_gap(GEN a, GEN b, struct agmcx_gap_t *S)
    2562             : {
    2563      161742 :   GEN d = gsub(b, a);
    2564      161742 :   long ex = S->ex;
    2565      161742 :   S->ex = gexpo(d);
    2566      161742 :   if (gequal0(d) || S->ex - gexpo(b) < S->L) return 0;
    2567             :   /* if (S->ex >= ex) we're no longer making progress; twice in a row */
    2568      152353 :   if (S->ex < ex) S->cnt = 0;
    2569             :   else
    2570        6083 :     if (S->cnt++) return 0;
    2571      149336 :   return 1;
    2572             : }
    2573             : static GEN
    2574       12364 : agm1cx(GEN x, long prec)
    2575             : {
    2576             :   struct agmcx_gap_t S;
    2577             :   GEN a1, b1;
    2578       12364 :   pari_sp av = avma;
    2579             :   long rotate;
    2580       12364 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2581       12364 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2582       12364 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2583      173806 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2584             :   {
    2585      149078 :     GEN a = a1;
    2586      149078 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2587      149078 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2588             :   }
    2589       12364 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2590       12364 :   return gerepilecopy(av,a1);
    2591             : }
    2592             : 
    2593             : GEN
    2594          42 : zellagmcx(GEN a0, GEN b0, GEN r, GEN t, long prec)
    2595             : {
    2596             :   struct agmcx_gap_t S;
    2597          42 :   pari_sp av = avma;
    2598          42 :   GEN x = gdiv(a0, b0), a1, b1;
    2599             :   long rotate;
    2600          42 :   agmcx_init(x, &prec, &S);
    2601          42 :   a1 = gtofp(gmul2n(gadd(real_1(prec), x), -1), prec);
    2602          42 :   r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(r, x)), prec);
    2603          42 :   t = gmul(r, t);
    2604          42 :   rotate = agmcx_a_b(x, &a1, &b1, prec);
    2605         342 :   while (agmcx_gap(a1,b1,&S))
    2606             :   {
    2607         258 :     GEN a = a1, b = b1;
    2608         258 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b),-1);
    2609         258 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b), prec);
    2610         258 :     r = gsqrt(gdiv(gmul(a1,gaddgs(r, 1)),gadd(gmul(b, r), a )), prec);
    2611         258 :     t = gmul(r, t);
    2612             :   }
    2613          42 :   if (rotate) a1 = rotate>0 ? mulcxI(a1):mulcxmI(a1);
    2614          42 :   a1 = gmul(a1, b0);
    2615          42 :   t = gatan(gdiv(a1,t), prec);
    2616             :   /* send t to the fundamental domain if necessary */
    2617          42 :   if (gsigne(real_i(t))<0) t = gadd(t, mppi(prec));
    2618          42 :   return gerepileupto(av,gdiv(t,a1));
    2619             : }
    2620             : 
    2621             : static long
    2622          49 : ser_cmp_expo(GEN A, GEN B)
    2623             : {
    2624          49 :   long e = -(long)HIGHEXPOBIT, d = valp(B) - valp(A);
    2625          49 :   long i, la = lg(A), v = varn(B);
    2626        9849 :   for (i = 2; i < la; i++)
    2627             :   {
    2628        9800 :     GEN a = gel(A,i), b;
    2629             :     long ei;
    2630        9800 :     if (isexactzero(a)) continue;
    2631        9800 :     b = polcoef_i(B, i-2 + d, v);
    2632        9800 :     ei = gexpo(a);
    2633        9800 :     if (!isexactzero(b)) ei -= gexpo(b);
    2634        9800 :     e = maxss(e, ei);
    2635             :   }
    2636          49 :   return e;
    2637             : }
    2638             : 
    2639             : static GEN
    2640          21 : ser_agm1(GEN y, long prec)
    2641             : {
    2642          21 :   GEN a1 = y, b1 = gen_1;
    2643          21 :   long l = lg(y)-2, l2 = 6-prec2nbits(prec), eold = LONG_MAX;
    2644             :   for(;;)
    2645          84 :   {
    2646         105 :     GEN a = a1, p1;
    2647         105 :     a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2648         105 :     b1 = gsqrt(gmul(a,b1), prec);
    2649         105 :     p1 = gsub(b1,a1);
    2650         105 :     if (isinexactreal(p1))
    2651             :     {
    2652          49 :       long e = ser_cmp_expo(p1, b1);
    2653          49 :       if (e < l2 || e >= eold) break;
    2654          42 :       eold = e;
    2655             :     }
    2656          56 :     else if (valp(p1)-valp(b1) >= l || gequal0(p1)) break;
    2657             :   }
    2658          21 :   return a1;
    2659             : }
    2660             : 
    2661             : /* agm(1,x) */
    2662             : static GEN
    2663       16533 : agm1(GEN x, long prec)
    2664             : {
    2665             :   GEN y;
    2666             :   pari_sp av;
    2667             : 
    2668       16533 :   if (gequal0(x)) return gcopy(x);
    2669       16533 :   switch(typ(x))
    2670             :   {
    2671             :     case t_INT:
    2672          28 :       if (!is_pm1(x)) break;
    2673          21 :       return (signe(x) > 0)? real_1(prec): real_0(prec);
    2674             : 
    2675       10975 :     case t_REAL: return signe(x) > 0? agm1r_abs(x): agm1cx(x, prec);
    2676             : 
    2677             :     case t_COMPLEX:
    2678        5390 :       if (gequal0(gel(x,2))) return agm1(gel(x,1), prec);
    2679        5201 :       return agm1cx(x, prec);
    2680             : 
    2681             :     case t_PADIC:
    2682             :     {
    2683          14 :       GEN a1 = x, b1 = gen_1;
    2684          14 :       long l = precp(x);
    2685          14 :       av = avma;
    2686             :       for(;;)
    2687          14 :       {
    2688          28 :         GEN a = a1, p1;
    2689             :         long ep;
    2690          28 :         a1 = gmul2n(gadd(a,b1),-1);
    2691          28 :         a = gmul(a,b1);
    2692          28 :         b1 = Qp_sqrt(a); if (!b1) pari_err_SQRTN("Qp_sqrt",a);
    2693          21 :         p1 = gsub(b1,a1); ep = valp(p1)-valp(b1);
    2694          21 :         if (ep<=0) { b1 = gneg_i(b1); p1 = gsub(b1,a1); ep=valp(p1)-valp(b1); }
    2695          21 :         if (ep >= l || gequal0(p1)) return gerepilecopy(av,a1);
    2696             :       }
    2697             :     }
    2698             : 
    2699             :     default:
    2700         126 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    2701          21 :       return gerepilecopy(av, ser_agm1(y, prec));
    2702             :   }
    2703         112 :   return trans_eval("agm",agm1,x,prec);
    2704             : }
    2705             : 
    2706             : GEN
    2707       16197 : agm(GEN x, GEN y, long prec)
    2708             : {
    2709             :   pari_sp av;
    2710       16197 :   if (is_matvec_t(typ(y)))
    2711             :   {
    2712          14 :     if (is_matvec_t(typ(x))) pari_err_TYPE2("agm",x,y);
    2713           7 :     swap(x, y);
    2714             :   }
    2715       16190 :   if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    2716       16190 :   av = avma;
    2717       16190 :   return gerepileupto(av, gmul(y, agm1(gdiv(x,y), prec)));
    2718             : }
    2719             : 
    2720             : static GEN
    2721          42 : ellK_i(GEN b2, long prec)
    2722             : {
    2723          42 :   GEN b = gsqrt(b2, prec);
    2724          42 :   if (gequal0(b)) pari_err_DOMAIN("ellK", "k^2", "=", gen_1, gsubsg(1,b2));
    2725          35 :   return gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1(b, prec));
    2726             : }
    2727             : GEN
    2728          28 : ellK(GEN k, long prec)
    2729             : {
    2730          28 :   pari_sp av = avma;
    2731          28 :   return gerepileupto(av, ellK_i(gsubsg(1, gsqr(k)), prec));
    2732             : }
    2733             : 
    2734             : static int
    2735          84 : magm_gap(GEN a, GEN b, long L)
    2736             : {
    2737          84 :   GEN d = gsub(b, a);
    2738          84 :   return !gequal0(d) && gexpo(d) - gexpo(b) >= L;
    2739             : }
    2740             : 
    2741             : static GEN
    2742          14 : magm(GEN a, GEN b, long prec)
    2743             : {
    2744          14 :   long L = -prec2nbits(prec) + 16;
    2745          14 :   GEN c = gen_0;
    2746          98 :   while (magm_gap(a, b, L))
    2747             :   {
    2748          70 :     GEN u = gsqrt(gmul(gsub(a, c), gsub(b, c)), prec);
    2749          70 :     a = gmul2n(gadd(a, b), -1);
    2750          70 :     b = gadd(c, u); c = gsub(c, u);
    2751             :   }
    2752          14 :   return gmul2n(gadd(a, b), -1);
    2753             : }
    2754             : 
    2755             : GEN
    2756          14 : ellE(GEN k, long prec)
    2757             : {
    2758          14 :   pari_sp av = avma;
    2759          14 :   GEN b2 = gsubsg(1, gsqr(k));
    2760          14 :   return gerepileupto(av, gmul(ellK_i(b2, prec), magm(gen_1, b2, prec)));
    2761             : }
    2762             : 
    2763             : /********************************************************************/
    2764             : /**                                                                **/
    2765             : /**                             LOG(X)                             **/
    2766             : /**                                                                **/
    2767             : /********************************************************************/
    2768             : /* atanh(u/v) using binary splitting */
    2769             : static GEN
    2770       48741 : atanhQ_split(ulong u, ulong v, long prec)
    2771             : {
    2772             :   long i, nmax;
    2773       48741 :   GEN u2 = sqru(u), v2 = sqru(v);
    2774       48700 :   double d = ((double)v) / u;
    2775             :   struct abpq_res R;
    2776             :   struct abpq A;
    2777             :   /* satisfies (2n+1) (v/u)^2n > 2^bitprec */
    2778       48700 :   nmax = (long)(prec2nbits(prec) / (2*log2(d)));
    2779       48697 :   abpq_init(&A, nmax);
    2780       48731 :   A.a[0] = A.b[0] = gen_1;
    2781       48731 :   A.p[0] = utoipos(u);
    2782       48736 :   A.q[0] = utoipos(v);
    2783     1984860 :   for (i = 1; i <= nmax; i++)
    2784             :   {
    2785     1936103 :     A.a[i] = gen_1;
    2786     1936103 :     A.b[i] = utoipos((i<<1)+1);
    2787     1936068 :     A.p[i] = u2;
    2788     1936068 :     A.q[i] = v2;
    2789             :   }
    2790       48757 :   abpq_sum(&R, 0, nmax, &A);
    2791       48749 :   return rdivii(R.T, mulii(R.B,R.Q),prec);
    2792             : }
    2793             : /* log(2) = 10*atanh(1/17)+4*atanh(13/499); faster than logagmr_abs()
    2794             :  * and Pi/2M(1,4/2^n) ~ n log(2) */
    2795             : static GEN
    2796       24381 : log2_split(long prec)
    2797             : {
    2798       24381 :   GEN u = atanhQ_split(1, 17, prec);
    2799       24377 :   GEN v = atanhQ_split(13, 499, prec);
    2800       24373 :   shiftr_inplace(v, 2);
    2801       24375 :   return addrr(mulur(10, u), v);
    2802             : }
    2803             : GEN
    2804    11291554 : constlog2(long prec)
    2805             : {
    2806             :   pari_sp av;
    2807             :   GEN tmp;
    2808    11291554 :   if (glog2 && realprec(glog2) >= prec) return glog2;
    2809             : 
    2810       24258 :   tmp = cgetr_block(prec);
    2811       24381 :   av = avma;
    2812       24381 :   affrr(log2_split(prec+EXTRAPRECWORD), tmp);
    2813       24374 :   swap_clone(&glog2,tmp);
    2814       24378 :   return gc_const(av,glog2);
    2815             : }
    2816             : 
    2817             : GEN
    2818    11291468 : mplog2(long prec) { return rtor(constlog2(prec), prec); }
    2819             : 
    2820             : /* dont check that q != 2^expo(q), done in logr_abs */
    2821             : static GEN
    2822      353722 : logagmr_abs(GEN q)
    2823             : {
    2824      353722 :   long prec = realprec(q), e = expo(q), lim;
    2825      353722 :   GEN z = cgetr(prec), y, Q, _4ovQ;
    2826      353722 :   pari_sp av = avma;
    2827             : 
    2828      353722 :   incrprec(prec);
    2829      353722 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2830      353722 :   Q = rtor(q,prec);
    2831      353722 :   shiftr_inplace(Q,lim-e); setsigne(Q,1);
    2832             : 
    2833      353722 :   _4ovQ = invr(Q); shiftr_inplace(_4ovQ, 2); /* 4/Q */
    2834             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^(e-lim) */
    2835      353722 :   y = divrr(Pi2n(-1, prec), agm1r_abs(_4ovQ));
    2836      353722 :   y = addrr(y, mulsr(e - lim, mplog2(prec)));
    2837      353722 :   affrr_fixlg(y, z); return gc_const(av,z);
    2838             : }
    2839             : 
    2840             : /* sum_{k >= 0} y^(2k+1) / (2k+1), y close to 0 */
    2841             : static GEN
    2842     2630276 : logr_aux(GEN y)
    2843             : {
    2844     2630276 :   long k, L = realprec(y); /* should be ~ l+1 - (k-2) */
    2845             :   /* log(x) = log(1+y) - log(1-y) = 2 sum_{k odd} y^k / k
    2846             :    * Truncate the sum at k = 2n+1, the remainder is
    2847             :    *   2 sum_{k >= 2n+3} y^k / k < 2y^(2n+3) / (2n+3)(1-y) < y^(2n+3)
    2848             :    * We want y^(2n+3) < y 2^(-prec2nbits(L)), hence
    2849             :    *   n+1 > -prec2nbits(L) /-log_2(y^2) */
    2850     2630276 :   double d = -2*dbllog2r(y); /* ~ -log_2(y^2) */
    2851     2630276 :   k = (long)(2*(prec2nbits(L) / d));
    2852     2630276 :   k |= 1;
    2853     2630276 :   if (k >= 3)
    2854             :   {
    2855     2608588 :     GEN T, S = cgetr(L), y2 = sqrr(y), unr = real_1(L);
    2856     2608587 :     pari_sp av = avma;
    2857     2608587 :     long s = 0, incs = (long)d, l1 = nbits2prec((long)d);
    2858     2608587 :     setprec(S,  l1);
    2859     2608587 :     setprec(unr,l1); affrr(divru(unr,k), S);
    2860    44349775 :     for (k -= 2;; k -= 2) /* k = 2n+1, ..., 1 */
    2861             :     { /* S = y^(2n+1-k)/(2n+1) + ... + 1 / k */
    2862    86090965 :       setprec(y2, l1); T = mulrr(S,y2);
    2863    44349976 :       if (k == 1) break;
    2864             : 
    2865    41741389 :       l1 += dvmdsBIL(s + incs, &s); if (l1>L) l1=L;
    2866    41741376 :       setprec(S, l1);
    2867    41741366 :       setprec(unr,l1);
    2868    41741316 :       affrr(addrr(divru(unr, k), T), S); set_avma(av);
    2869             :     }
    2870             :     /* k = 1 special-cased for eficiency */
    2871     2608587 :     y = mulrr(y, addsr(1,T)); /* = log(X)/2 */
    2872             :   }
    2873     2630272 :   return y;
    2874             : }
    2875             : /*return log(|x|), assuming x != 0 */
    2876             : GEN
    2877     3147826 : logr_abs(GEN X)
    2878             : {
    2879     3147826 :   long EX, L, m, k, a, b, l = realprec(X);
    2880             :   GEN z, x, y;
    2881             :   ulong u;
    2882             :   double d;
    2883             : 
    2884             :  /* Assuming 1 < x < 2, we want delta = x-1, 1-x/2, 1-1/x, or 2/x-1 small.
    2885             :   * We have 2/x-1 > 1-x/2, 1-1/x < x-1. So one should be choosing between
    2886             :   * 1-1/x and 1-x/2 ( crossover sqrt(2), worse ~ 0.29 ). To avoid an inverse,
    2887             :   * we choose between x-1 and 1-x/2 ( crossover 4/3, worse ~ 0.33 ) */
    2888     3147826 :   EX = expo(X);
    2889     3147826 :   u = uel(X,2);
    2890     3147826 :   k = 2;
    2891     3147826 :   if (u > (~0UL / 3) * 2) { /* choose 1-x/2 */
    2892     1745717 :     EX++; u = ~u;
    2893     1745717 :     while (!u && ++k < l) { u = uel(X,k); u = ~u; }
    2894             :   } else { /* choose x - 1 */
    2895     1402109 :     u &= ~HIGHBIT; /* u - HIGHBIT, assuming HIGHBIT set */
    2896     1402109 :     while (!u && ++k < l) u = uel(X,k);
    2897             :   }
    2898     3147826 :   if (k == l) return EX? mulsr(EX, mplog2(l)): real_0(l);
    2899     2983953 :   a = prec2nbits(k) + bfffo(u); /* ~ -log2 |1-x| */
    2900     2983953 :   L = l+1;
    2901     2983953 :   b = prec2nbits(L - (k-2)); /* take loss of accuracy into account */
    2902     5232532 :   if (b > 24*a*log2(L) &&
    2903     2602300 :       prec2nbits(l) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT)) return logagmr_abs(X);
    2904             : 
    2905     2630232 :   z = cgetr(EX? l: l - (k-2));
    2906             : 
    2907             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    2908             :   * use AGM). Set Y = x^(1/2^m), y = (Y - 1) / (Y + 1) and compute truncated
    2909             :   * series sum y^(2k+1)/(2k+1): the costs is less than
    2910             :   *    m b^2 + sum_{k <= n} ((2k+1) e + BITS_IN_LONG)^2
    2911             :   * bit operations with |x-1| <  2^(1-a), |Y| < 2^(1-e) , m = e-a and b bits of
    2912             :   * accuracy needed (+ BITS_IN_LONG since bit accuracies increase by
    2913             :   * increments of BITS_IN_LONG), so
    2914             :   * 4n^3/3 e^2 + n^2 2e BITS_IN_LONG+ n BITS_IN_LONG ~ m b^2, with n ~ b/2e
    2915             :   * or b/6e + BITS_IN_LONG/2e + BITS_IN_LONG/2be ~ m
    2916             :   *    B := (b / 6 + BITS_IN_LONG/2 + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m+a)
    2917             :   *     m = min( -a/2 + sqrt(a^2/4 + B),  b - a )
    2918             :   * NB: e ~ (b/6)^(1/2) as b -> oo
    2919             :   * Instead of the above pessimistic estimate for the cost of the sum, use
    2920             :   * optimistic estimate (BITS_IN_LONG -> 0) */
    2921     2630232 :   d = -a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + b/6)); /* >= 0 */
    2922             : 
    2923     2630232 :   if (m > b-a) m = b-a;
    2924     2630232 :   if (m < 0.2*a) m = 0; else L += nbits2extraprec(m);
    2925     2630232 :   x = rtor(X,L);
    2926     2630232 :   setsigne(x,1); shiftr_inplace(x,-EX);
    2927             :   /* 2/3 < x < 4/3 */
    2928     2630235 :   for (k=1; k<=m; k++) x = sqrtr_abs(x);
    2929             : 
    2930     2630234 :   y = divrr(subrs(x,1), addrs(x,1)); /* = (x-1) / (x+1), close to 0 */
    2931     2630234 :   y = logr_aux(y); /* log(1+y) - log(1-y) = log(x) */
    2932     2630230 :   shiftr_inplace(y, m + 1);
    2933     2630230 :   if (EX) y = addrr(y, mulsr(EX, mplog2(l+1)));
    2934     2630230 :   affrr_fixlg(y, z); return gc_const((pari_sp)z, z);
    2935             : }
    2936             : 
    2937             : /* assume Im(q) != 0 and precision(q) >= prec. Compute log(q) with accuracy
    2938             :  * prec [disregard input accuracy] */
    2939             : GEN
    2940        7121 : logagmcx(GEN q, long prec)
    2941             : {
    2942        7121 :   GEN z = cgetc(prec), y, Q, a, b;
    2943             :   long lim, e, ea, eb;
    2944        7121 :   pari_sp av = avma;
    2945        7121 :   int neg = 0;
    2946             : 
    2947        7121 :   incrprec(prec);
    2948        7121 :   if (gsigne(gel(q,1)) < 0) { q = gneg(q); neg = 1; }
    2949        7121 :   lim = prec2nbits(prec) >> 1;
    2950        7121 :   Q = gtofp(q, prec);
    2951        7121 :   a = gel(Q,1);
    2952        7121 :   b = gel(Q,2);
    2953        7121 :   if (gequal0(a)) {
    2954           0 :     affrr_fixlg(logr_abs(b), gel(z,1));
    2955           0 :     y = Pi2n(-1, prec);
    2956           0 :     if (signe(b) < 0) setsigne(y, -1);
    2957           0 :     affrr_fixlg(y, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
    2958             :   }
    2959        7121 :   ea = expo(a);
    2960        7121 :   eb = expo(b);
    2961        7121 :   e = ea <= eb ? lim - eb : lim - ea;
    2962        7121 :   shiftr_inplace(a, e);
    2963        7121 :   shiftr_inplace(b, e);
    2964             : 
    2965             :   /* Pi / 2agm(1, 4/Q) ~ log(Q), q = Q * 2^e */
    2966        7121 :   y = gdiv(Pi2n(-1, prec), agm1cx( gdivsg(4, Q), prec ));
    2967        7121 :   a = gel(y,1);
    2968        7121 :   b = gel(y,2);
    2969        7121 :   a = addrr(a, mulsr(-e, mplog2(prec)));
    2970        7121 :   if (realprec(a) <= LOWDEFAULTPREC) a = real_0_bit(expo(a));
    2971       10866 :   if (neg) b = gsigne(b) <= 0? gadd(b, mppi(prec))
    2972        3745 :                              : gsub(b, mppi(prec));
    2973        7121 :   affrr_fixlg(a, gel(z,1));
    2974        7121 :   affrr_fixlg(b, gel(z,2)); return gc_const(av,z);
    2975             : }
    2976             : 
    2977             : GEN
    2978      108173 : mplog(GEN x)
    2979             : {
    2980      108173 :   if (signe(x)<=0) pari_err_DOMAIN("mplog", "argument", "<=", gen_0, x);
    2981      108173 :   return logr_abs(x);
    2982             : }
    2983             : 
    2984             : /* pe = p^e, p prime, 0 < x < pe a t_INT coprime to p. Return the (p-1)-th
    2985             :  * root of 1 in (Z/pe)^* congruent to x mod p, resp x mod 4 if p = 2.
    2986             :  * Simplified form of Zp_sqrtnlift: 1/(p-1) is trivial to compute */
    2987             : GEN
    2988        1344 : Zp_teichmuller(GEN x, GEN p, long e, GEN pe)
    2989             : {
    2990             :   GEN q, z, p1;
    2991             :   pari_sp av;
    2992             :   ulong mask;
    2993        1344 :   if (absequaliu(p,2)) return (mod4(x) & 2)? subiu(pe,1): gen_1;
    2994        1344 :   if (e == 1) return icopy(x);
    2995        1344 :   av = avma;
    2996        1344 :   p1 = subiu(p, 1);
    2997        1344 :   mask = quadratic_prec_mask(e);
    2998        1344 :   q = p; z = remii(x, p);
    2999        7868 :   while (mask > 1)
    3000             :   { /* Newton iteration solving z^{1 - p} = 1, z = x (mod p) */
    3001        5180 :     GEN w, t, qold = q;
    3002        5180 :     if (mask <= 3) /* last iteration */
    3003        1344 :       q = pe;
    3004             :     else
    3005             :     {
    3006        3836 :       q = sqri(q);
    3007        3836 :       if (mask & 1) q = diviiexact(q, p);
    3008             :     }
    3009        5180 :     mask >>= 1;
    3010             :     /* q <= qold^2 */
    3011        5180 :     if (lgefint(q) == 3)
    3012             :     {
    3013        5032 :       ulong Z = uel(z,2), Q = uel(q,2), P1 = uel(p1,2);
    3014        5032 :       ulong W = (Q-1) / P1; /* -1/(p-1) + O(qold) */
    3015        5032 :       ulong T = Fl_mul(W, Fl_powu(Z,P1,Q) - 1, Q);
    3016        5032 :       Z = Fl_mul(Z, 1 + T, Q);
    3017        5032 :       z = utoi(Z);
    3018             :     }
    3019             :     else
    3020             :     {
    3021         148 :       w = diviiexact(subiu(qold,1),p1); /* -1/(p-1) + O(qold) */
    3022         148 :       t = Fp_mul(w, subiu(Fp_pow(z,p1,q), 1), q);
    3023         148 :       z = Fp_mul(z, addui(1,t), q);
    3024             :     }
    3025             :   }
    3026        1344 :   return gerepileuptoint(av, z);
    3027             : }
    3028             : 
    3029             : GEN
    3030        1225 : teichmullerinit(long p, long n)
    3031             : {
    3032             :   GEN t, pn, g, v;
    3033             :   ulong gp, tp;
    3034             :   long a, m;
    3035             : 
    3036        1225 :   if (p == 2) return mkvec(gen_1);
    3037        1225 :   if (!uisprime(p)) pari_err_PRIME("teichmullerinit",utoipos(p));
    3038             : 
    3039        1225 :   m = p >> 1; /* (p-1)/2 */
    3040        1225 :   tp= gp= pgener_Fl(p); /* order (p-1), gp^m = -1 */
    3041        1225 :   pn = powuu(p, n);
    3042        1225 :   v = cgetg(p, t_VEC);
    3043        1225 :   t = g = Zp_teichmuller(utoipos(gp), utoipos(p), n, pn);
    3044        1225 :   gel(v, 1) = gen_1;
    3045        1225 :   gel(v, p-1) = subiu(pn,1);
    3046        3031 :   for (a = 1; a < m; a++)
    3047             :   {
    3048        1806 :     gel(v, tp) = t;
    3049        1806 :     gel(v, p - tp) = Fp_neg(t, pn); /* g^(m+a) = -g^a */
    3050        1806 :     if (a < m-1)
    3051             :     {
    3052        1029 :       t = Fp_mul(t, g, pn); /* g^(a+1) */
    3053        1029 :       tp = Fl_mul(tp, gp, p); /* t mod p  */
    3054             :     }
    3055             :   }
    3056        1225 :   return v;
    3057             : }
    3058             : 
    3059             : /* tab from teichmullerinit or NULL */
    3060             : GEN
    3061         238 : teichmuller(GEN x, GEN tab)
    3062             : {
    3063             :   GEN p, q, y, z;
    3064         238 :   long n, tx = typ(x);
    3065             : 
    3066         238 :   if (!tab)
    3067             :   {
    3068         126 :     if (tx == t_VEC && lg(x) == 3)
    3069             :     {
    3070           7 :       p = gel(x,1);
    3071           7 :       q = gel(x,2);
    3072           7 :       if (typ(p) == t_INT && typ(q) == t_INT)
    3073           7 :         return teichmullerinit(itos(p), itos(q));
    3074             :     }
    3075             :   }
    3076         112 :   else if (typ(tab) != t_VEC) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3077         231 :   if (tx!=t_PADIC) pari_err_TYPE("teichmuller",x);
    3078         231 :   z = gel(x,4);
    3079         231 :   if (!signe(z)) return gcopy(x);
    3080         231 :   p = gel(x,2);
    3081         231 :   q = gel(x,3);
    3082         231 :   n = precp(x);
    3083         231 :   y = cgetg(5,t_PADIC);
    3084         231 :   y[1] = evalprecp(n) | _evalvalp(0);
    3085         231 :   gel(y,2) = icopy(p);
    3086         231 :   gel(y,3) = icopy(q);
    3087         231 :   if (tab)
    3088             :   {
    3089         112 :     ulong pp = itou_or_0(p);
    3090         112 :     if (lg(tab) != (long)pp) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3091         112 :     z = gel(tab, umodiu(z, pp));
    3092         112 :     if (typ(z) != t_INT) pari_err_TYPE("teichmuller",tab);
    3093         112 :     z = remii(z, q);
    3094             :   }
    3095             :   else
    3096         119 :     z = Zp_teichmuller(z, p, n, q);
    3097         231 :   gel(y,4) = z;
    3098         231 :   return y;
    3099             : }
    3100             : GEN
    3101           0 : teich(GEN x) { return teichmuller(x, NULL); }
    3102             : 
    3103             : GEN
    3104     3205799 : glog(GEN x, long prec)
    3105             : {
    3106             :   pari_sp av, tetpil;
    3107             :   GEN y, p1;
    3108             :   long l;
    3109             : 
    3110     3205799 :   switch(typ(x))
    3111             :   {
    3112             :     case t_REAL:
    3113     2074112 :       if (signe(x) >= 0)
    3114             :       {
    3115     1800382 :         if (!signe(x)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3116     1800368 :         return logr_abs(x);
    3117             :       }
    3118      273730 :       retmkcomplex(logr_abs(x), mppi(realprec(x)));
    3119             : 
    3120             :     case t_FRAC:
    3121             :     {
    3122             :       GEN a, b;
    3123             :       long e1, e2;
    3124      126248 :       av = avma;
    3125      126248 :       a = gel(x,1);
    3126      126248 :       b = gel(x,2);
    3127      126248 :       e1 = expi(subii(a,b)); e2 = expi(b);
    3128      126248 :       if (e2 > e1) prec += nbits2nlong(e2 - e1);
    3129      126248 :       x = fractor(x, prec);
    3130      126248 :       return gerepileupto(av, glog(x, prec));
    3131             :     }
    3132             :     case t_COMPLEX:
    3133      570885 :       if (ismpzero(gel(x,2))) return glog(gel(x,1), prec);
    3134      569124 :       l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3135      569124 :       if (ismpzero(gel(x,1)))
    3136             :       {
    3137        4932 :         GEN a = gel(x,2), b;
    3138        4932 :         av = avma; b = Pi2n(-1,prec);
    3139        4932 :         if (gsigne(a) < 0) { setsigne(b, -1); a = gabs(a,prec); }
    3140        4932 :         a = isint1(a) ? gen_0: glog(a,prec);
    3141        4932 :         return gerepilecopy(av, mkcomplex(a, b));
    3142             :       }
    3143      564192 :       if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(x, prec);
    3144      557337 :       y = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3145      557337 :       gel(y,2) = garg(x,prec);
    3146      557337 :       av = avma; p1 = glog(cxnorm(x),prec); tetpil = avma;
    3147      557337 :       gel(y,1) = gerepile(av,tetpil,gmul2n(p1,-1)); return y;
    3148             : 
    3149         287 :     case t_PADIC: return Qp_log(x);
    3150             :     default:
    3151      434267 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3152         154 :       if (!signe(y)) pari_err_DOMAIN("log", "argument", "=", gen_0, x);
    3153         154 :       if (valp(y)) pari_err_DOMAIN("log", "series valuation", "!=", gen_0, x);
    3154         147 :       p1 = integser(gdiv(derivser(y), y)); /* log(y)' = y'/y */
    3155         147 :       if (!gequal1(gel(y,2))) p1 = gadd(p1, glog(gel(y,2),prec));
    3156         147 :       return gerepileupto(av, p1);
    3157             :   }
    3158      434113 :   return trans_eval("log",glog,x,prec);
    3159             : }
    3160             : 
    3161             : static GEN
    3162          42 : mplog1p(GEN x)
    3163             : {
    3164             :   long ex, a, b, l, L;
    3165          42 :   if (!signe(x)) return rcopy(x);
    3166          42 :   ex = expo(x); if (ex >= 0) return glog(addrs(x,1), 0);
    3167          42 :   a = -ex;
    3168          42 :   b = realprec(x); L = b+1;
    3169          42 :   if (b > a*log2(L) && prec2nbits(b) > prec2nbits(LOGAGM_LIMIT))
    3170             :   {
    3171           0 :     x = addrs(x,1); l = b + nbits2extraprec(a);
    3172           0 :     if (realprec(x) < l) x = rtor(x,l);
    3173           0 :     return logagmr_abs(x);
    3174             :   }
    3175          42 :   x = rtor(x, L);
    3176          42 :   x = logr_aux(divrr(x, addrs(x,2)));
    3177          42 :   if (realprec(x) > b) fixlg(x, b);
    3178          42 :   shiftr_inplace(x,1); return x;
    3179             : }
    3180             : 
    3181             : static GEN log1p_i(GEN x, long prec);
    3182             : static GEN
    3183          14 : cxlog1p(GEN x, long prec)
    3184             : {
    3185             :   pari_sp av;
    3186          14 :   GEN z, a, b = gel(x,2);
    3187             :   long l;
    3188          14 :   if (ismpzero(b)) return log1p_i(gel(x,1), prec);
    3189          14 :   l = precision(x); if (l > prec) prec = l;
    3190          14 :   if (prec >= LOGAGMCX_LIMIT) return logagmcx(gaddgs(x,1), prec);
    3191          14 :   a = gel(x,1);
    3192          14 :   z = cgetg(3,t_COMPLEX); av = avma;
    3193          14 :   a = gadd(gadd(gmul2n(a,1), gsqr(a)), gsqr(b));
    3194          14 :   a = log1p_i(a, prec); shiftr_inplace(a,-1);
    3195          14 :   gel(z,1) = gerepileupto(av, a);
    3196          14 :   gel(z,2) = garg(gaddgs(x,1),prec); return z;
    3197             : }
    3198             : static GEN
    3199          91 : log1p_i(GEN x, long prec)
    3200             : {
    3201          91 :   switch(typ(x))
    3202             :   {
    3203          42 :     case t_REAL: return mplog1p(x);
    3204          14 :     case t_COMPLEX: return cxlog1p(x, prec);
    3205           7 :     case t_PADIC: return Qp_log(gaddgs(x,1));
    3206             :     default:
    3207             :     {
    3208             :       long ey;
    3209             :       GEN y;
    3210          28 :       if (!(y = toser_i(x))) break;
    3211          21 :       ey = valp(y);
    3212          21 :       if (ey < 0) pari_err_DOMAIN("log1p","valuation", "<", gen_0, x);
    3213          21 :       if (gequal0(y)) return gcopy(y);
    3214          14 :       if (ey)
    3215           7 :         return glog(gaddgs(y,1),prec);
    3216             :       else
    3217             :       {
    3218           7 :         GEN a = gel(y,2), a1 = gaddgs(a,1);
    3219           7 :         y = gdiv(y, a1); gel(y,2) = gen_1;
    3220           7 :         return gadd(glog1p(a,prec), glog(y, prec));
    3221             :       }
    3222             :     }
    3223             :   }
    3224           7 :   return trans_eval("log1p",glog1p,x,prec);
    3225             : }
    3226             : GEN
    3227          77 : glog1p(GEN x, long prec)
    3228             : {
    3229          77 :   pari_sp av = avma;
    3230          77 :   return gerepileupto(av, log1p_i(x, prec));
    3231             : }
    3232             : /********************************************************************/
    3233             : /**                                                                **/
    3234             : /**                        SINE, COSINE                            **/
    3235             : /**                                                                **/
    3236             : /********************************************************************/
    3237             : 
    3238             : /* Reduce x0 mod Pi/2 to x in [-Pi/4, Pi/4]. Return cos(x)-1 */
    3239             : static GEN
    3240     4784338 : mpcosm1(GEN x, long *ptmod8)
    3241             : {
    3242     4784338 :   long a = expo(x), l = realprec(x), b, L, i, n, m, B;
    3243             :   GEN y, p2, x2;
    3244             :   double d;
    3245             : 
    3246     4784338 :   n = 0;
    3247     4784338 :   if (a >= 0)
    3248             :   {
    3249             :     long p;
    3250             :     GEN q;
    3251     3799406 :     if (a > 30)
    3252             :     {
    3253         203 :       GEN z, pitemp = Pi2n(-2, nbits2prec(a + 32));
    3254         203 :       z = addrr(x,pitemp); /* = x + Pi/4 */
    3255         203 :       if (expo(z) >= bit_prec(z) + 3) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3256         203 :       shiftr_inplace(pitemp, 1);
    3257         203 :       q = floorr( divrr(z,pitemp) ); /* round ( x / (Pi/2) ) */
    3258         203 :       p = l+EXTRAPRECWORD; x = rtor(x,p);
    3259             :     } else {
    3260     3799203 :       q = stoi((long)floor(rtodbl(x) / (M_PI/2) + 0.5));
    3261     3799203 :       p = l;
    3262             :     }
    3263     3799406 :     if (signe(q))
    3264             :     {
    3265     3799406 :       GEN y = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p))); /* x mod Pi/2  */
    3266     3799406 :       a = expo(y);
    3267     3799406 :       if (a >= -5) x = y;
    3268             :       else
    3269             :       {
    3270      579116 :         p += nbits2extraprec(-a); x = rtor(x, p);
    3271      579116 :         x = subrr(x, mulir(q, Pi2n(-1,p)));
    3272             :       }
    3273     3799406 :       if (!signe(x) && a >= 0) pari_err_PREC("mpcosm1");
    3274     3799406 :       n = mod4(q); if (n && signe(q) < 0) n = 4 - n;
    3275             :     }
    3276             :   }
    3277             :   /* a < 0 */
    3278     4784338 :   b = signe(x); *ptmod8 = (b < 0)? 4 + n: n;
    3279     4784338 :   if (!b) return real_0_bit(expo(x)*2 - 1);
    3280             : 
    3281     4784338 :   b = prec2nbits(l);
    3282     4784338 :   if (b + 2*a <= 0) {
    3283      442778 :     y = sqrr(x); shiftr_inplace(y, -1); setsigne(y, -1);
    3284      442778 :     return y;
    3285             :   }
    3286             : 
    3287     4341560 :   y = cgetr(l);
    3288     4341560 :   B = b/6 + BITS_IN_LONG + (BITS_IN_LONG*BITS_IN_LONG/2)/ b;
    3289     4341560 :   d = a/2.; m = (long)(d + sqrt(d*d + B)); /* >= 0 ,*/
    3290     4341560 :   if (m < (-a) * 0.1) m = 0; /* not worth it */
    3291     4341560 :   L = l + nbits2extraprec(m);
    3292             : 
    3293     4341560 :   b += m;
    3294     4341560 :   d = 2.0 * (m-dbllog2r(x)-1/M_LN2); /* ~ 2( - log_2 Y - 1/log(2) ) */
    3295     4341560 :   n = (long)(b / d);
    3296     4341560 :   if (n > 1)
    3297     4293026 :     n = (long)(b / (d + log2((double)n+1))); /* log~constant in small ranges */
    3298     4341560 :   while (n*(d+log2((double)n+1)) < b) n++; /* expect few corrections */
    3299             : 
    3300             :  /* Multiplication is quadratic in this range (l is small, otherwise we
    3301             :   * use logAGM + Newton). Set Y = 2^(-e-a) x, compute truncated series
    3302             :   * sum Y^2k/(2k)!: this costs roughly
    3303             :   *   m b^2 + sum_{k <= n} (2k e + BITS_IN_LONG)^2
    3304             :   *   ~ floor(b/2e) b^2 / 3  + m b^2
    3305             :   * bit operations with |x| <  2^(1+a), |Y| < 2^(1-e) , m = e+a and b bits of
    3306             :   * accuracy needed, so
    3307             :   *    B := ( b / 6 + BITS_IN_LONG + BITS_IN_LONG^2 / 2b) ~ m(m-a)
    3308             :   * we want b ~ 6 m (m-a) or m~b+a hence
    3309             :   *     m = min( a/2 + sqrt(a^2/4 + b/6),  b/2 + a )
    3310             :   * NB1: e ~ (b/6)^(1/2) or b/2.
    3311             :   * NB2: We use b/4 instead of b/6 in the formula above: hand-optimized...
    3312             :   *
    3313             :   * Truncate the sum at k = n (>= 1), the remainder is
    3314             :   * < sum_{k >= n+1} Y^2k / 2k! < Y^(2n+2) / (2n+2)!(1-Y^2) < Y^(2n+2)/(2n+1)!
    3315             :   * We want ... <= Y^2 2^-b, hence -2n log_2 |Y| + log_2 (2n+1)! >= b
    3316             :   *   log n! ~ (n + 1/2) log(n+1) - (n+1) + log(2Pi)/2,
    3317             :   * error bounded by 1/6(n+1) <= 1/12. Finally, we want
    3318             :   * 2n (-1/log(2) - log_2 |Y| + log_2(2n+2)) >= b  */
    3319     4341560 :   x = rtor(x, L); shiftr_inplace(x, -m); setsigne(x, 1);
    3320     4341560 :   x2 = sqrr(x);
    3321     4341560 :   if (n == 1) { p2 = x2; shiftr_inplace(p2, -1); setsigne(p2, -1); } /*-Y^2/2*/
    3322             :   else
    3323             :   {
    3324     4341560 :     GEN unr = real_1(L);
    3325             :     pari_sp av;
    3326     4341560 :     long s = 0, l1 = nbits2prec((long)(d + n + 16));
    3327             : 
    3328     4341560 :     p2 = cgetr(L); av = avma;
    3329    27648951 :     for (i=n; i>=2; i--)
    3330             :     {
    3331             :       GEN p1;
    3332    23307391 :       setprec(x2,l1); p1 = divrunu(x2, 2*i-1);
    3333    23307391 :       l1 += dvmdsBIL(s - expo(p1), &s); if (l1>L) l1=L;
    3334    23307391 :       if (i != n) p1 = mulrr(p1,p2);
    3335    23307391 :       setprec(unr,l1); p1 = addrr_sign(unr,1, p1,-signe(p1));
    3336    23307391 :       setprec(p2,l1); affrr(p1,p2); set_avma(av);
    3337             :     }
    3338     4341560 :     shiftr_inplace(p2, -1); togglesign(p2); /* p2 := -p2/2 */
    3339     4341560 :     setprec(x2,L); p2 = mulrr(x2,p2);
    3340             :   }
    3341             :   /* Now p2 = sum {1<= i <=n} (-1)^i x^(2i) / (2i)! ~ cos(x) - 1 */
    3342    39248899 :   for (i=1; i<=m; i++)
    3343             :   { /* p2 = cos(x)-1 --> cos(2x)-1 */
    3344    34907339 :     p2 = mulrr(p2, addsr(2,p2));
    3345    34907339 :     shiftr_inplace(p2, 1);
    3346    34907339 :     if ((i & 31) == 0) p2 = gerepileuptoleaf((pari_sp)y, p2);
    3347             :   }
    3348     4341560 :   affrr_fixlg(p2,y); return y;
    3349             : }
    3350             : 
    3351             : /* sqrt (|1 - (1+x)^2|) = sqrt(|x*(x+2)|). Sends cos(x)-1 to |sin(x)| */
    3352             : static GEN
    3353     3267727 : mpaut(GEN x)
    3354             : {
    3355     3267727 :   pari_sp av = avma;
    3356     3267727 :   GEN t = mulrr(x, addsr(2,x)); /* != 0 */
    3357     3267727 :   if (!signe(t)) return real_0_bit(expo(t) >> 1);
    3358     3267727 :   return gerepileuptoleaf(av, sqrtr_abs(t));
    3359             : }
    3360             : 
    3361             : /********************************************************************/
    3362             : /**                            COSINE                              **/
    3363             : /********************************************************************/
    3364             : 
    3365             : GEN
    3366     2702158 : mpcos(GEN x)
    3367             : {
    3368             :   long mod8;
    3369             :   pari_sp av;
    3370             :   GEN y,p1;
    3371             : 
    3372     2702158 :   if (!signe(x)) {
    3373           8 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3374           8 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3375           8 :     return real_1(l);
    3376             :   }
    3377             : 
    3378     2702150 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3379     2702150 :   switch(mod8)
    3380             :   {
    3381      748978 :     case 0: case 4: y = addsr(1,p1); break;
    3382      677998 :     case 1: case 7: y = mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3383      671600 :     case 2: case 6: y = subsr(-1,p1); break;
    3384      603574 :     default:        y = mpaut(p1); break; /* case 3: case 5: */
    3385             :   }
    3386     2702150 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3387             : }
    3388             : 
    3389             : /* convert INT or FRAC to REAL, which is later reduced mod 2Pi : avoid
    3390             :  * cancellation */
    3391             : static GEN
    3392        6468 : tofp_safe(GEN x, long prec)
    3393             : {
    3394       11256 :   return (typ(x) == t_INT || gexpo(x) > 0)? gadd(x, real_0(prec))
    3395        8932 :                                           : fractor(x, prec);
    3396             : }
    3397             : 
    3398             : GEN
    3399      111959 : gcos(GEN x, long prec)
    3400             : {
    3401             :   pari_sp av;
    3402             :   GEN a, b, u, v, y, u1, v1;
    3403             :   long i;
    3404             : 
    3405      111959 :   switch(typ(x))
    3406             :   {
    3407      111070 :     case t_REAL: return mpcos(x);
    3408             :     case t_COMPLEX:
    3409          49 :       a = gel(x,1);
    3410          49 :       b = gel(x,2);
    3411          49 :       if (isintzero(a)) return gcosh(b, prec);
    3412          35 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3413          35 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3414          35 :       if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
    3415          35 :       mpsinhcosh(b, &u1, &v1); u1 = mpneg(u1);
    3416          35 :       if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
    3417          35 :       mpsincos(a, &u, &v);
    3418          35 :       affrr_fixlg(gmul(v1,v), gel(y,1));
    3419          35 :       affrr_fixlg(gmul(u1,u), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
    3420             : 
    3421             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3422         756 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3423         756 :       affrr_fixlg(mpcos(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3424             : 
    3425          49 :     case t_PADIC: y = cos_p(x);
    3426          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gcos(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3427          42 :       return y;
    3428             : 
    3429             :     default:
    3430          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3431          28 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3432          28 :       if (valp(y) < 0)
    3433           7 :         pari_err_DOMAIN("cos","valuation", "<", gen_0, x);
    3434          21 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3435          21 :       return gerepilecopy(av,v);
    3436             :   }
    3437           7 :   return trans_eval("cos",gcos,x,prec);
    3438             : }
    3439             : /********************************************************************/
    3440             : /**                             SINE                               **/
    3441             : /********************************************************************/
    3442             : 
    3443             : GEN
    3444      390266 : mpsin(GEN x)
    3445             : {
    3446             :   long mod8;
    3447             :   pari_sp av;
    3448             :   GEN y,p1;
    3449             : 
    3450      390266 :   if (!signe(x)) return real_0_bit(expo(x));
    3451             : 
    3452      390103 :   av = avma; p1 = mpcosm1(x,&mod8);
    3453      390103 :   switch(mod8)
    3454             :   {
    3455      170065 :     case 0: case 6: y=mpaut(p1); break;
    3456       50081 :     case 1: case 5: y=addsr(1,p1); break;
    3457      124005 :     case 2: case 4: y=mpaut(p1); togglesign(y); break;
    3458       45952 :     default:        y=subsr(-1,p1); break; /* case 3: case 7: */
    3459             :   }
    3460      390103 :   return gerepileuptoleaf(av, y);
    3461             : }
    3462             : 
    3463             : GEN
    3464      421178 : gsin(GEN x, long prec)
    3465             : {
    3466             :   pari_sp av;
    3467             :   GEN a, b, u, v, y, v1, u1;
    3468             :   long i;
    3469             : 
    3470      421178 :   switch(typ(x))
    3471             :   {
    3472      385219 :     case t_REAL: return mpsin(x);
    3473             :     case t_COMPLEX:
    3474       30982 :       a = gel(x,1);
    3475       30982 :       b = gel(x,2);
    3476       30982 :       if (isintzero(a)) retmkcomplex(gen_0,gsinh(b,prec));
    3477       15680 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3478       15680 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3479       15680 :       if (typ(b) != t_REAL) b = gtofp(b, prec);
    3480       15680 :       mpsinhcosh(b, &u1, &v1);
    3481       15680 :       if (typ(a) != t_REAL) a = gtofp(a, prec);
    3482       15680 :       mpsincos(a, &u, &v);
    3483       15680 :       affrr_fixlg(gmul(v1,u), gel(y,1));
    3484       15680 :       affrr_fixlg(gmul(u1,v), gel(y,2)); return gc_const(av,y);
    3485             : 
    3486             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3487        4718 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3488        4718 :       affrr_fixlg(mpsin(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3489             : 
    3490          49 :     case t_PADIC: y = sin_p(x);
    3491          49 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsin(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3492          42 :       return y;
    3493             : 
    3494             :     default:
    3495         210 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3496         203 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3497         203 :       if (valp(y) < 0)
    3498           7 :         pari_err_DOMAIN("sin","valuation", "<", gen_0, x);
    3499         196 :       gsincos(y,&u,&v,prec);
    3500         196 :       return gerepilecopy(av,u);
    3501             :   }
    3502           7 :   return trans_eval("sin",gsin,x,prec);
    3503             : }
    3504             : /********************************************************************/
    3505             : /**                       SINE, COSINE together                    **/
    3506             : /********************************************************************/
    3507             : 
    3508             : void
    3509     1689825 : mpsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3510             : {
    3511             :   long mod8;
    3512             :   pari_sp av, tetpil;
    3513             :   GEN p1, *gptr[2];
    3514             : 
    3515     1689825 :   if (!signe(x))
    3516             :   {
    3517        3448 :     long e = expo(x);
    3518        3448 :     *s = real_0_bit(e);
    3519        3448 :     *c = e >= 0? real_0_bit(e): real_1_bit(-e);
    3520        6896 :     return;
    3521             :   }
    3522             : 
    3523     1686377 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3524     1686377 :   switch(mod8)
    3525             :   {
    3526      423140 :     case 0: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3527      127566 :     case 1: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3528      196399 :     case 2: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3529      112983 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3530      236302 :     case 4: *c=addsr( 1,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3531      145664 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=mpaut(p1); break;
    3532      328171 :     case 6: *c=subsr(-1,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3533      116152 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=mpaut(p1); togglesign(*c); break;
    3534             :   }
    3535     1686377 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3536     1686377 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3537             : }
    3538             : 
    3539             : /* SINE and COSINE - 1 */
    3540             : void
    3541        5708 : mpsincosm1(GEN x, GEN *s, GEN *c)
    3542             : {
    3543             :   long mod8;
    3544             :   pari_sp av, tetpil;
    3545             :   GEN p1, *gptr[2];
    3546             : 
    3547        5708 :   if (!signe(x))
    3548             :   {
    3549           0 :     long e = expo(x);
    3550           0 :     *s = real_0_bit(e);
    3551           0 :     *c = real_0_bit(2*e-1);
    3552           0 :     return;
    3553             :   }
    3554        5708 :   av=avma; p1=mpcosm1(x,&mod8); tetpil=avma;
    3555        5708 :   switch(mod8)
    3556             :   {
    3557        4770 :     case 0: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); break;
    3558          42 :     case 1: *s=addsr(1,p1); *c=addrs(mpaut(p1),1); togglesign(*c); break;
    3559           0 :     case 2: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3560           0 :     case 3: *s=subsr(-1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3561         805 :     case 4: *c=rcopy(p1); *s=mpaut(p1); togglesign(*s); break;
    3562          77 :     case 5: *s=addsr( 1,p1); *c=subrs(mpaut(p1),1); break;
    3563           7 :     case 6: *c=subsr(-2,p1); *s=mpaut(p1); break;
    3564           7 :     case 7: *s=subsr(-1,p1); *c=subsr(-1,mpaut(p1)); break;
    3565             :   }
    3566        5708 :   gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3567        5708 :   gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3568             : }
    3569             : 
    3570             : /* return exp(ix), x a t_REAL */
    3571             : GEN
    3572      184395 : expIr(GEN x)
    3573             : {
    3574      184395 :   pari_sp av = avma;
    3575      184395 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3576      184395 :   mpsincos(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3577      184395 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3578      182393 :   return v;
    3579             : }
    3580             : 
    3581             : /* return exp(ix)-1, x a t_REAL */
    3582             : static GEN
    3583        5708 : expm1_Ir(GEN x)
    3584             : {
    3585        5708 :   pari_sp av = avma;
    3586        5708 :   GEN v = cgetg(3,t_COMPLEX);
    3587        5708 :   mpsincosm1(x, (GEN*)(v+2), (GEN*)(v+1));
    3588        5708 :   if (!signe(gel(v,2))) return gerepilecopy(av, gel(v,1));
    3589        5708 :   return v;
    3590             : }
    3591             : 
    3592             : /* return exp(z)-1, z complex */
    3593             : GEN
    3594        5764 : cxexpm1(GEN z, long prec)
    3595             : {
    3596        5764 :   pari_sp av = avma;
    3597        5764 :   GEN X, Y, x = real_i(z), y = imag_i(z);
    3598        5764 :   long l = precision(z);
    3599        5764 :   if (l) prec = l;
    3600        5764 :   if (typ(x) != t_REAL) x = gtofp(x, prec);
    3601        5764 :   if (typ(y) != t_REAL) y = gtofp(y, prec);
    3602        5764 :   if (gequal0(y)) return mpexpm1(x);
    3603        5708 :   if (gequal0(x)) return expm1_Ir(y);
    3604        5582 :   X = mpexpm1(x); /* t_REAL */
    3605        5582 :   Y = expm1_Ir(y);
    3606             :   /* exp(x+iy) - 1 = (exp(x)-1)(exp(iy)-1) + exp(x)-1 + exp(iy)-1 */
    3607        5582 :   return gerepileupto(av, gadd(gadd(X,Y), gmul(X,Y)));
    3608             : }
    3609             : 
    3610             : void
    3611     1382986 : gsincos(GEN x, GEN *s, GEN *c, long prec)
    3612             : {
    3613             :   long i, j, ex, ex2, lx, ly, mi;
    3614             :   pari_sp av, tetpil;
    3615             :   GEN y, r, u, v, u1, v1, p1, p2, p3, p4, ps, pc;
    3616             :   GEN *gptr[4];
    3617             : 
    3618     1382986 :   switch(typ(x))
    3619             :   {
    3620             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3621         959 :       *s = cgetr(prec);
    3622         959 :       *c = cgetr(prec); av = avma;
    3623         959 :       mpsincos(tofp_safe(x, prec), &ps, &pc);
    3624         959 :       affrr_fixlg(ps,*s);
    3625     1383945 :       affrr_fixlg(pc,*c); set_avma(av); return;
    3626             : 
    3627             :     case t_REAL:
    3628     1377526 :       mpsincos(x,s,c); return;
    3629             : 
    3630             :     case t_COMPLEX:
    3631        4102 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3632        4102 :       ps = cgetc(prec); *s = ps;
    3633        4102 :       pc = cgetc(prec); *c = pc; av = avma;
    3634        4102 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3635        4102 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3636        4102 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3637        4102 :       gsincos(gel(x,1), &u,&v, prec);
    3638        4102 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,u), gel(ps,1));
    3639        4102 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,v), gel(ps,2));
    3640        4102 :       affrr_fixlg(mulrr(v1,v), gel(pc,1));
    3641        4102 :       affrr_fixlg(mulrr(u1,u), gel(pc,2)); togglesign(gel(pc,2));
    3642        4102 :       set_avma(av); return;
    3643             : 
    3644             :     case t_QUAD:
    3645           0 :       av = avma; gsincos(quadtofp(x, prec), s, c, prec);
    3646           0 :       gerepileall(av, 2, s, c); return;
    3647             : 
    3648             :     default:
    3649         399 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3650         399 :       if (gequal0(y)) { *s = gerepilecopy(av,y); *c = gaddsg(1,*s); return; }
    3651             : 
    3652         399 :       ex = valp(y); lx = lg(y); ex2 = 2*ex+2;
    3653         399 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("gsincos","valuation", "<", gen_0, x);
    3654         399 :       if (ex2 > lx)
    3655             :       {
    3656         105 :         *s = x == y? gcopy(y): gerepilecopy(av, y); av = avma;
    3657         105 :         *c = gerepileupto(av, gsubsg(1, gdivgs(gsqr(y),2)));
    3658         105 :         return;
    3659             :       }
    3660         294 :       if (!ex)
    3661             :       {
    3662          63 :         gsincos(serchop0(y),&u,&v,prec);
    3663          63 :         gsincos(gel(y,2),&u1,&v1,prec);
    3664          63 :         p1 = gmul(v1,v);
    3665          63 :         p2 = gmul(u1,u);
    3666          63 :         p3 = gmul(v1,u);
    3667          63 :         p4 = gmul(u1,v); tetpil = avma;
    3668          63 :         *c = gsub(p1,p2);
    3669          63 :         *s = gadd(p3,p4);
    3670          63 :         gptr[0]=s; gptr[1]=c;
    3671          63 :         gerepilemanysp(av,tetpil,gptr,2);
    3672          63 :         return;
    3673             :       }
    3674             : 
    3675         231 :       ly = lx+2*ex;
    3676         231 :       mi = lx-1; while (mi>=3 && isrationalzero(gel(y,mi))) mi--;
    3677         231 :       mi += ex-2;
    3678         231 :       pc = cgetg(ly,t_SER); *c = pc;
    3679         231 :       ps = cgetg(lx,t_SER); *s = ps;
    3680         231 :       pc[1] = evalsigne(1) | _evalvalp(0) | evalvarn(varn(y));
    3681         231 :       gel(pc,2) = gen_1; ps[1] = y[1];
    3682         231 :       for (i=2; i<ex+2; i++) gel(ps,i) = gcopy(gel(y,i));
    3683         231 :       for (i=3; i< ex2; i++) gel(pc,i) = gen_0;
    3684        3129 :       for (i=ex2; i<ly; i++)
    3685             :       {
    3686        2898 :         long ii = i-ex;
    3687        2898 :         av = avma; p1 = gen_0;
    3688        6678 :         for (j=ex; j<=minss(ii-2,mi); j++)
    3689        3780 :           p1 = gadd(p1, gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(ps,ii-j)),j));
    3690        2898 :         gel(pc,i) = gerepileupto(av, gdivgs(p1,2-i));
    3691        2898 :         if (ii < lx)
    3692             :         {
    3693        2660 :           av = avma; p1 = gen_0;
    3694        5726 :           for (j=ex; j<=minss(i-ex2,mi); j++)
    3695        3066 :             p1 = gadd(p1,gmulgs(gmul(gel(y,j-ex+2),gel(pc,i-j)),j));
    3696        2660 :           p1 = gdivgs(p1,i-2);
    3697        2660 :           gel(ps,ii) = gerepileupto(av, gadd(p1,gel(y,ii)));
    3698             :         }
    3699             :       }
    3700         231 :       return;
    3701             :   }
    3702           0 :   pari_err_TYPE("gsincos",x);
    3703             : }
    3704             : 
    3705             : /********************************************************************/
    3706             : /**                                                                **/
    3707             : /**                              SINC                              **/
    3708             : /**                                                                **/
    3709             : /********************************************************************/
    3710             : static GEN
    3711      107450 : mpsinc(GEN x)
    3712             : {
    3713      107450 :   pari_sp av = avma;
    3714             :   GEN s, c;
    3715             : 
    3716      107450 :   if (!signe(x)) {
    3717           0 :     long l = nbits2prec(-expo(x));
    3718           0 :     if (l < LOWDEFAULTPREC) l = LOWDEFAULTPREC;
    3719           0 :     return real_1(l);
    3720             :   }
    3721             : 
    3722      107450 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3723      107450 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,x));
    3724             : }
    3725             : 
    3726             : GEN
    3727      107562 : gsinc(GEN x, long prec)
    3728             : {
    3729             :   pari_sp av;
    3730             :   GEN r, u, v, y, u1, v1;
    3731             :   long i;
    3732             : 
    3733      107562 :   switch(typ(x))
    3734             :   {
    3735      107429 :     case t_REAL: return mpsinc(x);
    3736             :     case t_COMPLEX:
    3737          49 :       if (isintzero(gel(x,1)))
    3738             :       {
    3739          28 :         av = avma; x = gel(x,2);
    3740          28 :         if (gequal0(x)) return gcosh(x,prec);
    3741          14 :         return gerepileuptoleaf(av,gdiv(gsinh(x,prec),x));
    3742             :       }
    3743          21 :       i = precision(x); if (i) prec = i;
    3744          21 :       y = cgetc(prec); av = avma;
    3745          21 :       r = gexp(gel(x,2),prec);
    3746          21 :       v1 = gmul2n(addrr(invr(r),r), -1); /* = cos(I*Im(x)) */
    3747          21 :       u1 = subrr(r, v1); /* = I*sin(I*Im(x)) */
    3748          21 :       gsincos(gel(x,1),&u,&v,prec);
    3749          21 :       affc_fixlg(gdiv(mkcomplex(gmul(v1,u), gmul(u1,v)), x), y);
    3750          21 :       return gc_const(av,y);
    3751             : 
    3752             :     case t_INT:
    3753          14 :       if (!signe(x)) return real_1(prec); /*fall through*/
    3754             :     case t_FRAC:
    3755          21 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3756          21 :       affrr_fixlg(mpsinc(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3757             : 
    3758             :     case t_PADIC:
    3759          21 :       if (gequal0(x)) return cvtop(gen_1, gel(x,2), valp(x));
    3760          14 :       av = avma; y = sin_p(x);
    3761          14 :       if (!y) pari_err_DOMAIN("gsinc(t_PADIC)","argument","",gen_0,x);
    3762           7 :       return gerepileupto(av,gdiv(y,x));
    3763             : 
    3764             :     default:
    3765             :     {
    3766             :       long ex;
    3767          35 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3768          35 :       if (gequal0(y)) return gerepileupto(av, gaddsg(1,y));
    3769          35 :       ex = valp(y);
    3770          35 :       if (ex < 0) pari_err_DOMAIN("sinc","valuation", "<", gen_0, x);
    3771          28 :       if (ex)
    3772             :       {
    3773          28 :         gsincos(y,&u,&v,prec);
    3774          28 :         y = gerepileupto(av, gdiv(u,y));
    3775          28 :         if (lg(y) > 2) gel(y,2) = gen_1;
    3776          28 :         return y;
    3777             :       }
    3778             :       else
    3779             :       {
    3780           0 :         GEN z0, y0 = gel(y,2), y1 = serchop0(y), y10 = y1;
    3781           0 :         if (!gequal1(y0)) y10 = gdiv(y10, y0);
    3782           0 :         gsincos(y1,&u,&v,prec);
    3783           0 :         z0 = gdiv(gcos(y0,prec), y0);
    3784           0 :         y = gaddsg(1, y10);
    3785           0 :         u = gadd(gmul(gsinc(y0, prec),v), gmul(z0, u));
    3786           0 :         return gerepileupto(av,gdiv(u,y));
    3787             :       }
    3788             :     }
    3789             :   }
    3790           0 :   return trans_eval("sinc",gsinc,x,prec);
    3791             : }
    3792             : 
    3793             : /********************************************************************/
    3794             : /**                                                                **/
    3795             : /**                     TANGENT and COTANGENT                      **/
    3796             : /**                                                                **/
    3797             : /********************************************************************/
    3798             : static GEN
    3799          42 : mptan(GEN x)
    3800             : {
    3801          42 :   pari_sp av = avma;
    3802             :   GEN s, c;
    3803             : 
    3804          42 :   mpsincos(x,&s,&c);
    3805          42 :   if (!signe(c))
    3806           0 :     pari_err_DOMAIN("tan", "argument", "=", strtoGENstr("Pi/2 + kPi"),x);
    3807          42 :   return gerepileuptoleaf(av, divrr(s,c));
    3808             : }
    3809             : 
    3810             : GEN
    3811         112 : gtan(GEN x, long prec)
    3812             : {
    3813             :   pari_sp av;
    3814             :   GEN y, s, c;
    3815             : 
    3816         112 :   switch(typ(x))
    3817             :   {
    3818          35 :     case t_REAL: return mptan(x);
    3819             : 
    3820             :     case t_COMPLEX: {
    3821          28 :       if (isintzero(gel(x,1))) retmkcomplex(gen_0,gtanh(gel(x,2),prec));
    3822          14 :       av = avma; y = mulcxmI(gtanh(mulcxI(x), prec)); /* tan x = -I th(I x) */
    3823          14 :       gel(y,1) = gcopy(gel(y,1));
    3824          14 :       return gerepileupto(av, y);
    3825             :     }
    3826             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3827           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3828           7 :       affrr_fixlg(mptan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3829             : 
    3830             :     case t_PADIC:
    3831          14 :       av = avma;
    3832          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gsin(x,prec), gcos(x,prec)));
    3833             : 
    3834             :     default:
    3835          28 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3836          21 :       if (gequal0(y)) return gerepilecopy(av, y);
    3837          21 :       if (valp(y) < 0)
    3838           7 :         pari_err_DOMAIN("tan","valuation", "<", gen_0, x);
    3839          14 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3840          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(s,c));
    3841             :   }
    3842           7 :   return trans_eval("tan",gtan,x,prec);
    3843             : }
    3844             : 
    3845             : static GEN
    3846          63 : mpcotan(GEN x)
    3847             : {
    3848          63 :   pari_sp av=avma, tetpil;
    3849             :   GEN s,c;
    3850             : 
    3851          63 :   mpsincos(x,&s,&c); tetpil=avma;
    3852          63 :   return gerepile(av,tetpil,divrr(c,s));
    3853             : }
    3854             : 
    3855             : GEN
    3856        4137 : gcotan(GEN x, long prec)
    3857             : {
    3858             :   pari_sp av;
    3859             :   GEN y, s, c;
    3860             : 
    3861        4137 :   switch(typ(x))
    3862             :   {
    3863             :     case t_REAL:
    3864          56 :       return mpcotan(x);
    3865             : 
    3866             :     case t_COMPLEX:
    3867        3990 :       if (isintzero(gel(x,1))) {
    3868          21 :         GEN z = cgetg(3, t_COMPLEX);
    3869          21 :         gel(z,1) = gen_0;
    3870          21 :         av = avma;
    3871          21 :         gel(z,2) = gerepileupto(av, gneg(ginv(gtanh(gel(x,2),prec))));
    3872          21 :         return z;
    3873             :       }
    3874        3969 :       av = avma;
    3875        3969 :       gsincos(x,&s,&c,prec);
    3876        3969 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3877             : 
    3878             :     case t_INT: case t_FRAC:
    3879           7 :       y = cgetr(prec); av = avma;
    3880           7 :       affrr_fixlg(mpcotan(tofp_safe(x,prec)), y); return gc_const(av,y);
    3881             : 
    3882             :     case t_PADIC:
    3883          14 :       av = avma;
    3884          14 :       return gerepileupto(av, gdiv(gcos(x,prec), gsin(x,prec)));
    3885             : 
    3886             :     default:
    3887          70 :       av = avma; if (!(y = toser_i(x))) break;
    3888          63 :       if (gequal0(y)) pari_err_DOMAIN("cotan", "argument", "=", gen_0, y);
    3889          63 :       if (valp(y) < 0) pari_err_DOMAIN("cotan","valuation", "<", gen_0, x);
    3890          56 :       gsincos(y,&s,&c,prec);
    3891          56 :       return gerepileupto(av, gdiv(c,s));
    3892             :   }
    3893           7 :   return trans_eval("cotan",gcotan,x,prec);
    3894             : }

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